Cantos adjacentes. Ângulos adjacentes e verticais

A geometria é uma ciência muito multifacetada. Desenvolve lógica, imaginação e inteligência. É claro que, devido à sua complexidade e ao grande número de teoremas e axiomas, os alunos nem sempre gostam. Além disso, é necessário provar constantemente suas conclusões usando padrões geralmente aceitos e regras.

Ângulos adjacentes e verticais são parte integrante da geometria. Certamente muitos alunos simplesmente os adoram porque suas propriedades são claras e fáceis de provar.

Formação de cantos

Qualquer ângulo é formado pela intersecção de duas linhas retas ou pelo desenho de dois raios de um ponto. Eles podem ser chamados de uma ou três letras, que designam sequencialmente os pontos nos quais o ângulo é construído.

Os ângulos são medidos em graus e podem (dependendo do seu valor) ter nomes diferentes. Então, existe um ângulo reto, agudo, obtuso e desdobrado. Cada um dos nomes corresponde a uma determinada medida de grau ou seu intervalo.

Um ângulo agudo é um ângulo cuja medida não excede 90 graus.

Um ângulo obtuso é um ângulo maior que 90 graus.

Um ângulo é dito reto quando sua medida de grau é 90.

No caso em que é formado por uma reta contínua e sua medida de grau é 180, é denominado expandido.

Ângulos que têm um lado comum, cujo segundo lado continua um ao outro, são chamados de adjacentes. Eles podem ser afiados ou contundentes. A intersecção da linha forma ângulos adjacentes. Suas propriedades são as seguintes:

A soma desses ângulos será igual a 180 graus (existe um teorema que prova isso). Portanto, pode-se calcular facilmente um deles se o outro for conhecido.
Do primeiro ponto segue-se que ângulos adjacentes não podem ser formados por dois ângulos obtusos ou dois ângulos agudos.

Graças a estas propriedades, é sempre possível calcular a medida do grau de um ângulo dado o valor de outro ângulo, ou pelo menos a razão entre eles.

Ângulos verticais

Os ângulos cujos lados são continuações um do outro são chamados de verticais. Qualquer uma de suas variedades pode atuar como tal. Os ângulos verticais são sempre iguais entre si.

Eles são formados quando linhas retas se cruzam. Junto com eles, ângulos adjacentes estão sempre presentes. Um ângulo pode ser simultaneamente adjacente para um e vertical para outro.

Ao cruzar uma linha arbitrária, vários outros tipos de ângulos também são considerados. Essa linha é chamada de linha secante e forma ângulos correspondentes, unilaterais e cruzados. Eles são iguais entre si. Eles podem ser vistos à luz das propriedades dos ângulos verticais e adjacentes.

Assim, o tema dos ângulos parece bastante simples e compreensível. Todas as suas propriedades são fáceis de lembrar e provar. Resolver problemas não é difícil desde que os ângulos tenham valor numérico. Mais tarde, quando o estudo de sin e cos começar, você terá que memorizar muitas fórmulas complexas, suas conclusões e consequências. Até então, você pode apenas desfrutar de quebra-cabeças fáceis onde você precisa encontrar ângulos adjacentes.

No processo de estudo de um curso de geometria, os conceitos de “ângulo”, “ângulos verticais”, “ângulos adjacentes” surgem com bastante frequência. Compreender cada um dos termos ajudará você a entender o problema e resolvê-lo corretamente. O que são ângulos adjacentes e como determiná-los?

Ângulos adjacentes – definição do conceito

O termo “ângulos adjacentes” caracteriza dois ângulos formados por um raio comum e duas meias-retas adicionais situadas na mesma linha reta. Todos os três raios saem do mesmo ponto. Uma meia linha comum é simultaneamente um lado de um e do outro ângulo.

Ângulos adjacentes - propriedades básicas

1. Com base na formulação de ângulos adjacentes, é fácil perceber que a soma de tais ângulos sempre forma um ângulo reverso, cuja medida de grau é 180°:

Se μ e η são ângulos adjacentes, então μ + η = 180°.
Conhecendo a magnitude de um dos ângulos adjacentes (por exemplo, μ), você pode calcular facilmente a medida em graus do segundo ângulo (η) usando a expressão η = 180° – μ.

2. Esta propriedade dos ângulos permite-nos tirar a seguinte conclusão: um ângulo adjacente ângulo certo, também será direto.

3. Considerando funções trigonométricas(sin, cos, tg, ctg), com base nas fórmulas de redução para ângulos adjacentes μ e η, o seguinte é verdadeiro:

sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Ângulos adjacentes - exemplos

Exemplo 1

Dado um triângulo com vértices M, P, Q – ΔMPQ. Encontre os ângulos adjacentes aos ângulos ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

Vamos estender cada lado do triângulo com uma linha reta.
Sabendo que ângulos adjacentes se complementam até formar um ângulo inverso, descobrimos que:

adjacente ao ângulo ∠QMP é ∠LMP,

adjacente ao ângulo ∠MPQ é ∠SPQ,

adjacente ao ângulo ∠PQM é ∠HQP.

Exemplo 2

O valor de um ângulo adjacente é 35°. Qual é a medida em graus do segundo ângulo adjacente?

Dois ângulos adjacentes somam 180°.
Se ∠μ = 35°, então adjacente a ele ∠η = 180° – 35° = 145°.

Exemplo 3

Determine os valores dos ângulos adjacentes se for sabido que a medida do grau de um deles é três vezes maior que a medida do grau do outro ângulo.

Vamos denotar a magnitude de um ângulo (menor) por – ∠μ = λ.
Então, de acordo com as condições do problema, o valor do segundo ângulo será igual a ∠η = 3λ.
Com base na propriedade básica dos ângulos adjacentes, μ + η = 180° segue

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Isso significa que o primeiro ângulo é ∠μ = λ = 45°, e o segundo ângulo é ∠η = 3λ = 135°.

A capacidade de usar a terminologia, bem como o conhecimento das propriedades básicas dos ângulos adjacentes, o ajudarão a resolver muitos problemas geométricos.

Dois ângulos são chamados adjacentes se tiverem um lado em comum e os outros lados desses ângulos forem raios complementares. Na Figura 20, os ângulos AOB e BOC são adjacentes.

A soma dos ângulos adjacentes é 180°

Teorema 1. A soma dos ângulos adjacentes é 180°.

Prova. A viga OB (ver Fig. 1) passa entre os lados do ângulo desdobrado. É por isso ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Segue-se do Teorema 1 que se dois ângulos são iguais, então seus ângulos adjacentes são iguais.

Os ângulos verticais são iguais

Dois ângulos são chamados de verticais se os lados de um ângulo são raios complementares dos lados do outro. Os ângulos AOB e COD, BOD e AOC, formados na intersecção de duas retas, são verticais (Fig. 2).

Teorema 2. Os ângulos verticais são iguais.

Prova. Consideremos os ângulos verticais AOB e COD (ver Fig. 2). O ângulo BOD é adjacente a cada um dos ângulos AOB e COD. Pelo Teorema 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Disto concluímos que ∠ AOB = ∠ COD.

Corolário 1. Um ângulo adjacente a um ângulo reto é um ângulo reto.

Vamos considerar duas retas que se cruzam AC e BD (Fig. 3). Eles formam quatro cantos. Se um deles for reto (ângulo 1 na Fig. 3), então os ângulos restantes também serão retos (ângulos 1 e 2, 1 e 4 são adjacentes, ângulos 1 e 3 são verticais). Nesse caso, dizem que essas linhas se cruzam em ângulos retos e são chamadas de perpendiculares (ou mutuamente perpendiculares). A perpendicularidade das linhas AC e BD é denotada da seguinte forma: AC ⊥ BD.

Uma bissetriz perpendicular a um segmento é uma linha perpendicular a esse segmento e que passa por seu ponto médio.

AN - perpendicular a uma linha

Consideremos uma linha reta a e um ponto A que não está nela (Fig. 4). Vamos conectar o ponto A com um segmento ao ponto H com a reta a. O segmento AN é chamado de perpendicular traçada do ponto A à linha a se as linhas AN e a forem perpendiculares. O ponto H é chamado de base da perpendicular.

Quadrado de desenho

O seguinte teorema é verdadeiro.

Teorema 3. De qualquer ponto que não esteja sobre uma reta, é possível traçar uma perpendicular a essa reta e, além disso, apenas uma.

Para traçar uma perpendicular de um ponto a uma linha reta em um desenho, use um esquadro de desenho (Fig. 5).

Comente. A formulação do teorema geralmente consiste em duas partes. Uma parte fala sobre o que é dado. Esta parte é chamada de condição do teorema. A outra parte fala sobre o que precisa ser comprovado. Esta parte é chamada de conclusão do teorema. Por exemplo, a condição do Teorema 2 é que os ângulos sejam verticais; conclusão - esses ângulos são iguais.

Qualquer teorema pode ser expresso detalhadamente em palavras de modo que sua condição comece com a palavra “se” e sua conclusão com a palavra “então”. Por exemplo, o Teorema 2 pode ser enunciado em detalhes da seguinte forma: “Se dois ângulos são verticais, então eles são iguais”.

Exemplo 1. Um dos ângulos adjacentes é 44°. A que o outro é igual?

Solução. Vamos denotar a medida de grau de outro ângulo por x, então de acordo com o Teorema 1.
44° + x = 180°.
Resolvendo a equação resultante, descobrimos que x = 136°. Portanto, o outro ângulo é 136°.

Exemplo 2. Deixe o ângulo COD na Figura 21 ser 45°. Quais são os ângulos AOB e AOC?

Solução. Os ângulos COD e AOB são verticais, portanto, pelo Teorema 1.2 eles são iguais, ou seja, ∠ AOB = 45°. O ângulo AOC é adjacente ao ângulo COD, o que significa de acordo com o Teorema 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Exemplo 3. Encontre ângulos adjacentes se um deles for 3 vezes maior que o outro.

Solução. Vamos denotar a medida do grau do ângulo menor por x. Então a medida do grau do ângulo maior será 3x. Como a soma dos ângulos adjacentes é igual a 180° (Teorema 1), então x + 3x = 180°, de onde x = 45°.
Isso significa que os ângulos adjacentes são 45° e 135°.

Exemplo 4. A soma de dois ângulos verticais é 100°. Encontre o tamanho de cada um dos quatro ângulos.

Solução. Deixe a Figura 2 atender às condições do problema. Os ângulos verticais COD a AOB são iguais (Teorema 2), o que significa que suas medidas de grau também são iguais. Portanto, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (sua soma de acordo com a condição é 100°). O ângulo BOD (também ângulo AOC) é adjacente ao ângulo COD e, portanto, pelo Teorema 1
∠ DBO = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Questão 1. Quais ângulos são chamados de adjacentes?
Responder. Dois ângulos são chamados adjacentes se tiverem um lado em comum e os outros lados desses ângulos forem meias-linhas complementares.
Na Figura 31, os ângulos (a 1 b) e (a 2 b) são adjacentes. Eles têm o lado b em comum e os lados a 1 e a 2 são meias-linhas adicionais.

Questão 2. Prove que a soma dos ângulos adjacentes é 180°.
Responder. Teorema 2.1. A soma dos ângulos adjacentes é 180°.
Prova. Sejam o ângulo (a 1 b) e o ângulo (a 2 b) ângulos adjacentes (ver Fig. 31). O raio b passa entre os lados a 1 e a 2 de um ângulo reto. Portanto, a soma dos ângulos (a 1 b) e (a 2 b) é igual ao ângulo desdobrado, ou seja, 180°. Q.E.D.

Questão 3. Prove que se dois ângulos são iguais, então seus ângulos adjacentes também são iguais.
Responder.

Do teorema 2.1 Segue-se que se dois ângulos são iguais, então seus ângulos adjacentes são iguais.
Digamos que os ângulos (a 1 b) e (c 1 d) sejam iguais. Precisamos provar que os ângulos (a 2 b) e (c 2 d) também são iguais.
A soma dos ângulos adjacentes é 180°. Segue-se disso que a 1 b + a 2 b = 180° e c 1 d + c 2 d = 180°. Portanto, a 2 b = 180° - a 1 b e c 2 d = 180° - c 1 d. Como os ângulos (a 1 b) e (c 1 d) são iguais, obtemos que a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Pela propriedade de transitividade do sinal de igual segue-se que a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Pergunta 4. Que ângulo é chamado de reto (agudo, obtuso)?
Responder. Um ângulo igual a 90° é chamado de ângulo reto.
Um ângulo menor que 90° é chamado de ângulo agudo.
Um ângulo maior que 90° e menor que 180° é chamado de obtuso.

Pergunta 5. Prove que um ângulo adjacente a um ângulo reto é um ângulo reto.
Responder. Do teorema da soma dos ângulos adjacentes segue-se que um ângulo adjacente a um ângulo reto é um ângulo reto: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Pergunta 6. Quais ângulos são chamados de verticais?
Responder. Dois ângulos são chamados de verticais se os lados de um ângulo são meias-linhas complementares dos lados do outro.

Pergunta 7. Prove que os ângulos verticais são iguais.
Responder. Teorema 2.2. Os ângulos verticais são iguais.
Prova. Sejam (a 1 b 1) e (a 2 b 2) os ângulos verticais dados (Fig. 34). O ângulo (a 1 b 2) é adjacente ao ângulo (a 1 b 1) e ao ângulo (a 2 b 2). A partir daqui, usando o teorema da soma dos ângulos adjacentes, concluímos que cada um dos ângulos (a 1 b 1) e (a 2 b 2) complementa o ângulo (a 1 b 2) a 180°, ou seja, os ângulos (a 1 b 1) e (a 2 b 2) são iguais. Q.E.D.

Pergunta 8. Prove que se, quando duas retas se cruzam, um dos ângulos é reto, então os outros três ângulos também são retos.
Responder. Suponha que as linhas AB e CD se cruzem no ponto O. Suponha que o ângulo AOD seja 90°. Como a soma dos ângulos adjacentes é 180°, obtemos que AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. O ângulo COB é vertical ao ângulo AOD, portanto eles são iguais. Ou seja, ângulo COB = 90°. O ângulo COA é vertical ao ângulo BOD, portanto eles são iguais. Ou seja, ângulo BOD = 90°. Assim, todos os ângulos são iguais a 90°, ou seja, são todos ângulos retos. Q.E.D.

Pergunta 9. Quais linhas são chamadas de perpendiculares? Que sinal é usado para indicar a perpendicularidade das linhas?
Responder. Duas linhas são chamadas perpendiculares se se cruzam em ângulos retos.
A perpendicularidade das linhas é indicada pelo sinal \(\perp\). A entrada \(a\perp b\) diz: “A linha a é perpendicular à linha b.”

Pergunta 10. Prove que através de qualquer ponto de uma reta você pode traçar uma reta perpendicular a ele, e apenas uma.
Responder. Teorema 2.3. Através de cada linha você pode traçar uma linha perpendicular a ela, e apenas uma.
Prova. Seja a uma determinada reta e A um determinado ponto dela. Denotemos por 1 uma das meias retas da reta a com o ponto inicial A (Fig. 38). Subtraímos um ângulo (a 1 b 1) igual a 90° da semi-reta a 1. Então a reta que contém o raio b 1 será perpendicular à reta a.

Suponhamos que exista outra reta, também passando pelo ponto A e perpendicular à reta a. Denotemos por c 1 a meia reta desta reta situada no mesmo semiplano com o raio b 1 .
Os ângulos (a 1 b 1) e (a 1 c 1), cada um igual a 90°, são dispostos em um semiplano a partir da meia reta a 1. Mas a partir da semi-reta 1, apenas um ângulo igual a 90° pode ser colocado em um determinado semiplano. Portanto, não pode haver outra reta passando pelo ponto A e perpendicular à reta a. O teorema foi provado.

Pergunta 11. O que é perpendicular a uma linha?
Responder. Uma perpendicular a uma determinada reta é um segmento de reta perpendicular a uma dada reta, que tem uma de suas extremidades no ponto de interseção. Esta extremidade do segmento é chamada base perpendicular.

Pergunta 12. Explique em que consiste a prova por contradição.
Responder. O método de prova que usamos no Teorema 2.3 é chamado de prova por contradição. Este método de prova consiste em primeiro fazer uma suposição oposta ao que afirma o teorema. Então, raciocinando com base em axiomas e teoremas comprovados, chegamos a uma conclusão que contradiz as condições do teorema, ou um dos axiomas, ou um teorema previamente provado. Com base nisso, concluímos que nossa suposição estava incorreta e, portanto, a afirmação do teorema é verdadeira.

Pergunta 13. Qual é a bissetriz de um ângulo?
Responder. A bissetriz de um ângulo é um raio que emana do vértice do ângulo, passa entre seus lados e divide o ângulo ao meio.

Seitmambetova Ilvira Alimseitovna

Tópico da lição: Cantos adjacentes.

Lições objetivas:

Educacional: introduzir o conceito de ângulos adjacentes;

Ensine os alunos a construir ângulos adjacentes;

Prove o teorema e suas consequências;

Considerar tipos diferentes cantos

Educacional: desenvolvimento pensamento lógico;

Desenvolvimento da imaginação geométrica;

Educacional: formação de uma cultura matemática de registro de soluções.

Tipo de aula: dominar novos conhecimentos;

Equipamento: modelo de ângulos adjacentes, quadro interativo

Durante as aulas

EU Tempo de organização (os alunos formulam saudações, anúncio do tema da aula, objetivos da aula de forma independente)

II Verificando o dever de casa. (análise das dificuldades identificadas, verificação aleatória de respostas e soluções)

III Atualizar conhecimento prévio e habilidades

Tarefa de aula

Desenhe dois raios adicionais OA e OB (lembre-se da definição de raios adicionais ao resolver o problema)

Que ângulo esses raios formam?

Qual é o seu tamanho?

Desenhe um raio passando entre os lados do ângulo girado

Qual raio é considerado passando entre os lados do ângulo? (qualquer raio que emerge do vértice de um ângulo diferente dos lados do ângulo)

Formule um axioma para medir ângulos (a figura mostra o raio OS, os números indicam os ângulos e anote∠ 1+ ∠ 2= ∠ AOB

4 Aprendendo novo material

Os conceitos são introduzidos de tal forma que os alunos formulam de forma independente a definição de ângulos adjacentes, um teorema, e tentam prová-lo.

Introdução do conceito de “ângulos adjacentes”

Tarefa para a turma (um aluno trabalha no quadro)

Desenhe dois ângulos que compartilham um lado

Desenhe dois ângulos que tenham um lado

o primeiro dos cantos é um raio adicional do lado do segundo canto.

Desenhe dois ângulos em que um lado é comum e os outros dois são raios adicionais

Conclusão: os ângulos mostrados no último desenho são

são adjacentes.

Formulando a definição de ângulos adjacentes:

Dois ângulos são chamados adjacentes se tiverem um lado em comum e

os outros dois são raios adicionais.

Reforço primário oral

Encontre ângulos adjacentes no desenho e anote-os

a) b)

Tarefa de aula

O professor constrói um ângulo no quadro.

É necessário construir um ângulo adjacente a este. Quantas soluções esse problema tem? Que conclusão pode ser tirada do problema considerado?

Propriedade de ângulos adjacentes

Atribuição de aula:

Problema: Dados dois ângulos adjacentes∠ BCDE∠ DAC, e∠ BCD= 35 Ó

Encontrar∠ DAC.

Opção de raciocínio:∠ ACQuando desdobrado, portanto, sua medida de grau é 180 Ó . RaioCDpassa entre os lados deste ângulo, pois emerge de seu vértice e é distinto de seus lados. De acordo com o axioma∠ DAC+ ∠ BCD= ∠ ACB, ou seja∠ DAC+ ∠ BCD=180 Ó . por isso,∠ DAC=180 Ó - ∠ BCD=180 Ó -35 Ó =145 Ó .

Que propriedade dos ângulos adjacentes você consegue notar?

Conclusão: A soma dos ângulos adjacentes é 180 Ó .

Prova do teorema.

Teorema: A soma dos ângulos adjacentes é 180 Ó .

Dado: ∠1 e ∠2 – ângulos adjacentes

Provar: ∠1 e ∠2=180 Ó

Prova:

Por condição,∠1 e ∠2 são ângulos adjacentes, portanto, CA e CB são raios adicionais (definição de ângulos adjacentes). Então ∠ACV-desenvolvido (definição de um ângulo desenvolvido).

∠DIA=180 Ó (axioma).

RaioCDpassa entre os lados de um ângulo reto (por definição). Então,∠1 e ∠2=∠ASV, ou seja, ∠1 e ∠2=180 Ó

O teorema foi provado.

Ao estudar alguns corolários do teorema e tipos de ângulos, é conveniente usar modelo simples cantos adjacentes. É feito assim: os setores são fixados no lado móvel, fixados no topo dos cantos adjacentes, em ambos os lados. Durante a rotação com um lado comum, ambos os setores se movem em ranhuras feitas ao longo dos outros dois lados. Usando escalas marcadas nos setores, são demonstrados ângulos adjacentes de vários tamanhos.

Corolários do teorema:

Se dois ângulos são iguais, então seus ângulos adjacentes são iguais

Prova

Vamos denotar a medida de grau ângulos iguais através de x, então o valor de cada um dos ângulos adjacentes será igual a 180 Ó -x, ou seja esses ângulos serão iguais.

Se o ângulo não for girado, será menor que 180 Ó

Prova

Deixe um ângulo não desenvolvido arbitrário ser dado∠( ab), portanto ∠(ab) não é igual180 Ó . Vamos construir um raio 1, adicional ao raio a. Por definição, ângulos( ab) E (A 1 b) será adjacente. Pelo teorema ∠ (ab) +∠ ( A 1 b)= 180 Ó ou∠ ( A 1 b) = 180 Ó - ∠ ( Ab). Suponhamos que o ângulo (ab) não menos180 Ó . Se isso contradiz o axioma. Significa que. Significa, .

Um ângulo adjacente a um ângulo reto é reto

Prova

Um ângulo igual é chamado de ângulo reto. Seja um dos ângulos adjacentes uma linha reta, ou seja, igual. Como a soma dos ângulos adjacentes é igual, então o segundo ângulo é igual, portanto é correto.

Tipos de ângulos (os alunos já sabem, generalizem a partir da tabela)

V Consolidação de novos conhecimentos e habilidades

Solução de problemas

A soma de dois ângulos é igual, prove que eles não são adjacentes.

Um dos ângulos adjacentes é igual, encontre o segundo ângulo.

Um dos ângulos adjacentes é maior que o segundo. Encontre esses ângulos.

Deixe a medida do grau do menor dos dois ângulos ser x. Então o ângulo maior será igual a (x+), e sua soma será (x+(x+40)) ou (por teorema).

Vamos compor e resolver a equação

x+(x+40)=;

Resposta: eu.

Um dos ângulos adjacentes é 3 vezes maior que o segundo. Encontre esses ângulos.

Um dos ângulos adjacentes é maior que o segundo. Encontre esses ângulos.

Nota: os dois últimos problemas podem ser resolvidos de duas maneiras: usando uma equação e sem criar uma equação.

Os valores dos ângulos adjacentes estão na proporção 2:3. Encontre esses ângulos.

Solução (algebricamente)

Deixe a medida do grau dos ângulos adjacentes ser x. Então o ângulo maior será igual a 3x e o ângulo menor será 2x. A soma deles é 2x+3x=5x ou (de acordo com o teorema).

Vamos compor e resolver a equação

5x=;

Isso significa que o menor dos ângulos adjacentes é igual e o maior é igual.

Resposta: eu.

VI Resumindo a lição. Reflexão

É verdade que se a soma de dois ângulos for 180, então eles são adjacentes? (Não, é apropriado dar um contra-exemplo)

A diferença de dois ângulos adjacentes pode ser igual a um ângulo reto (Sim,)

VII Lição de casa

Duas linhas se cruzam. Quantos pares de ângulos adjacentes foram formados? (resposta: 4)

Encontre as medidas de graus de ângulos adjacentes se:

eles se referem a 7:29 (resposta);
a diferença deles é igual? (responder);

Aprenda a definição de ângulos adjacentes, seja capaz de provar o teorema sobre ângulos adjacentes e suas consequências.