Kaj pomeni najti največjo vrednost funkcije. Največja in najmanjša vrednost funkcije

S to storitvijo lahko poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije eno spremenljivko f(x) z rešitvijo, oblikovano v Wordu. Če je funkcija f(x,y) podana, je torej treba najti ekstrem funkcije dveh spremenljivk. Najdete lahko tudi intervale naraščajočih in padajočih funkcij.

Pravila za vnos funkcij:

Nujen pogoj za ekstrem funkcije ene spremenljivke

Zadosten pogoj za ekstrem funkcije ene spremenljivke

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Potem je točka x * točka lokalnega (globalnega) minimuma funkcije.

Če je v točki x * izpolnjen pogoj:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Potem je točka x * lokalni (globalni) maksimum.

Primer št. 1. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije: na segmentu.
rešitev.

Kritična točka je ena x 1 = 2 (f’(x)=0). Ta točka pripada segmentu. (Točka x=0 ni kritična, saj je 0∉).
Izračunamo vrednosti funkcije na koncih segmenta in na kritični točki.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2, f(3)=3 8 / 81
Odgovor: f min = 5 / 2 pri x=2; f max =9 pri x=1

Primer št. 2. Z uporabo odvodov višjega reda poiščite ekstremum funkcije y=x-2sin(x) .
rešitev.
Poiščite odvod funkcije: y’=1-2cos(x) . Poiščimo kritične točke: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Najdemo y’’=2sin(x), izračunamo , kar pomeni x= π / 3 +2πk, k∈Z so minimalne točke funkcije; , kar pomeni x=- π / 3 +2πk, k∈Z so največje točke funkcije.

Primer št. 3. Raziščite funkcijo ekstrema v okolici točke x=0.
rešitev. Tu je potrebno najti ekstreme funkcije. Če je ekstrem x=0, potem ugotovite njegovo vrsto (minimum ali maksimum). Če med najdenimi točkami ni x = 0, potem izračunamo vrednost funkcije f(x=0).
Opozoriti je treba, da kadar odvod na vsaki strani dane točke ne spremeni predznaka, možne situacije niso izčrpane niti za diferenciabilne funkcije: lahko se zgodi, da za poljubno majhno sosesko na eni strani točke x 0 oz. na obeh straneh izpeljanka spremeni predznak. Na teh točkah je treba uporabiti druge metode za preučevanje funkcij v ekstremu.

Največja in najmanjša vrednost funkcije

Največja vrednost funkcije je največja, najmanjša pa najmanjša od vseh njenih vrednosti.

Funkcija ima lahko samo eno največjo in samo eno najmanjšo vrednost ali pa je sploh nima. Iskanje največjih in najmanjših vrednosti zveznih funkcij temelji na naslednjih lastnostih teh funkcij:

1) Če je v nekem intervalu (končnem ali neskončnem) funkcija y=f(x) zvezna in ima samo en ekstrem in če je ta maksimum (minimum), potem bo to največja (najmanjša) vrednost funkcije v tem intervalu.

2) Če je funkcija f(x) zvezna na določenem segmentu, potem ima nujno največjo in najmanjšo vrednost na tem segmentu. Te vrednosti so dosežene bodisi na ekstremnih točkah, ki ležijo znotraj segmenta, bodisi na mejah tega segmenta.

Za iskanje največjih in najmanjših vrednosti na segmentu je priporočljivo uporabiti naslednjo shemo:

1. Poiščite izpeljanko.

2. Poiščite kritične točke funkcije, kjer =0 ali ne obstaja.

3. Poiščite vrednosti funkcije na kritičnih točkah in na koncih odseka ter med njimi izberite največji f max in najmanjši f max.

Pri reševanju uporabnih problemov, zlasti optimizacijskih, so pomembni problemi iskanja največje in najmanjše vrednosti (globalni maksimum in globalni minimum) funkcije na intervalu X. Za rešitev takšnih problemov je treba na podlagi pogoja , izberite neodvisno spremenljivko in izrazite preučevano vrednost skozi to spremenljivko. Nato poiščite želeno največjo ali najmanjšo vrednost dobljene funkcije. V tem primeru je iz pogojev problema določen tudi interval spreminjanja neodvisne spremenljivke, ki je lahko končen ali neskončen.

Primer. Rezervoar, ki ima obliko pravokotnega paralelepipeda z odprtim vrhom in kvadratnim dnom, mora biti v notranjosti pocinkan s kositrom. Kakšne naj bodo mere rezervoarja, če je njegova prostornina 108 litrov? vode, tako da je strošek konzerviranja minimalen?

rešitev. Stroški prevleke rezervoarja s kositrom bodo minimalni, če je za dano kapaciteto njegova površina minimalna. Označimo z a dm stranico baze, b dm višino rezervoarja. Potem je površina S njegove površine enaka

IN

Nastalo razmerje vzpostavlja razmerje med površino rezervoarja S (funkcija) in stranico osnove a (argument). Preglejmo funkcijo S za ekstrem. Poiščemo prvi odvod, ga enačimo z nič in rešimo dobljeno enačbo:

Zato je a = 6. (a) > 0 za a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Primer. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na intervalu.

rešitev: Določena funkcija zvezna na celotni številski premici. Odvod funkcije

Izpeljanka za in za . Izračunajmo vrednosti funkcij na teh točkah:

.

Vrednosti funkcije na koncih danega intervala so enake. torej najvišja vrednost funkcija je enaka pri , najmanjša vrednost funkcije je enaka pri .

Vprašanja za samotestiranje

1. Oblikujte L'Hopitalovo pravilo za razkrivanje negotovosti oblike. Seznam Različne vrste negotovosti, za katere se lahko uporabi L'Hopitalovo pravilo.

2. Formulirajte znake naraščajočih in padajočih funkcij.

3. Določite maksimum in minimum funkcije.

4. Formulirajte nujen pogoj za obstoj ekstrema.

5. Katere vrednosti argumenta (katere točke) se imenujejo kritične? Kako najti te točke?

6. Kateri so zadostni znaki za obstoj ekstrema funkcije? Opišite shemo za preučevanje funkcije na ekstremu z uporabo prvega odvoda.

7. Oris sheme za preučevanje funkcije v ekstremumu z uporabo drugega odvoda.

8. Določite konveksnost in konkavnost krivulje.

9. Kaj imenujemo prevojna točka grafa funkcije? Navedite način iskanja teh točk.

10. Formulirajte potrebne in zadostne znake konveksnosti in konkavnosti krivulje na danem segmentu.

11. Definirajte asimptoto krivulje. Kako najti navpično, vodoravno in poševno asimptoto grafa funkcije?

12. Oris splošna shema raziskovanje funkcije in risanje njenega grafa.

13. Oblikujte pravilo za iskanje največjih in najmanjših vrednosti funkcije na danem intervalu.

V tem članku bom govoril o algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije, minimalne in maksimalne točke.

Teoretično nam bo zagotovo koristilo izpeljana tabela in pravila razlikovanja. Vse je na tem krožniku:

Algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti.

Zame je bolj priročno razložiti konkreten primer. Razmislite:

primer: Poiščite največjo vrednost funkcije y=x^5+20x^3–65x na odseku [–4;0].

Korak 1. Vzamemo izpeljanko.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

2. korak Iskanje ekstremnih točk.

Ekstremna točka imenujemo tiste točke, v katerih funkcija doseže največjo ali najmanjšo vrednost.

Če želite najti ekstremne točke, morate izenačiti odvod funkcije na nič (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Zdaj pa rešimo ta bi kvadratna enačba in najdene korenine so naše ekstremne točke.

Takšne enačbe rešujem tako, da zamenjam t = x^2, nato 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Zmanjšajmo enačbo za 5, dobimo: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Naredimo obratno spremembo x^2 = t:

X_(1 in 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 in 4) = ±sqrt(-13) (izključujemo, ne more biti negativna števila, razen če seveda govorimo o kompleksnih številih)

Skupaj: x_(1) = 1 in x_(2) = -1 - to sta naši ekstremni točki.

3. korak Določite največjo in najmanjšo vrednost.

Metoda zamenjave.

V pogoju smo dobili segment [b][–4;0]. Točka x=1 ni vključena v ta segment. Torej tega ne upoštevamo. Toda poleg točke x=-1 moramo upoštevati tudi levo in desno mejo našega segmenta, to sta točki -4 in 0. Da bi to naredili, nadomestimo vse te tri točke v prvotno funkcijo. Upoštevajte, da je prvotni tisti, ki je podan v pogoju (y=x^5+20x^3–65x), nekateri ljudje ga začnejo nadomeščati v izpeljanko ...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

To pomeni, da je največja vrednost funkcije [b]44 in jo doseže v točki [b]-1, ki jo imenujemo točka maksimuma funkcije na odseku [-4; 0].

Odločili smo se in prejeli odgovor, super smo, lahko se sprostite. Ampak nehaj! Se vam ne zdi, da je izračunavanje y(-4) nekako pretežko? V razmerah omejenega časa je bolje uporabiti drugo metodo, jaz jo imenujem takole:

Skozi intervale konstantnosti predznaka.

Te intervale najdemo za odvod funkcije, to je za našo bikvadratno enačbo.

Jaz to naredim takole. Narišem usmerjen segment. Postavljam točke: -4, -1, 0, 1. Kljub temu, da 1 ni vključen v dani segment, ga je treba vseeno zabeležiti, da pravilno določimo intervale konstantnosti predznaka. Vzemimo neko število, mnogokrat večje od 1, recimo 100, in ga v mislih nadomestimo z našo bikvadratno enačbo 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Tudi brez štetja postane očitno, da je v točki 100 funkcija ima znak plus. To pomeni, da ima za intervale od 1 do 100 predznak plus. Pri prehodu skozi 1 (gremo od desne proti levi) funkcija spremeni predznak v minus. Pri prehodu skozi točko 0 bo funkcija ohranila svoj predznak, saj je to le meja segmenta in ne koren enačbe. Pri prehodu skozi -1 bo funkcija ponovno spremenila predznak v plus.

Iz teorije vemo, da kje je odvod funkcije (in to smo narisali ravno zanjo) spremeni znak iz plusa v minus (točka -1 v našem primeru) funkcija doseže njegov lokalni maksimum (y(-1)=44, kot je izračunano prej) na tem segmentu (to je logično zelo razumljivo, funkcija je prenehala naraščati, ker je dosegla svoj maksimum in začela padati).

V skladu s tem, kjer je odvod funkcije spremeni znak iz minusa v plus, je dosežen lokalni minimum funkcije. Da, da, prav tako smo ugotovili, da je lokalna najmanjša točka 1 in y(1) je najmanjša vrednost funkcije na segmentu, recimo od -1 do +∞. Prosimo, upoštevajte velika pozornost, da je to le LOKALNI MINIMUM, torej minimum na določenem segmentu. Ker bo realni (globalni) minimum funkcije dosegel nekje tam, pri -∞.

Prva metoda je po mojem mnenju enostavnejša teoretično, druga pa z vidika aritmetičnih operacij enostavnejša, s stališča teorije pa veliko bolj kompleksna. Navsezadnje so včasih primeri, ko funkcija ne spremeni predznaka, ko gre skozi koren enačbe, in na splošno se lahko zmedeš s temi lokalnimi, globalnimi maksimumi in minimumi, čeprav boš moral to vseeno dobro obvladati, če nameravate vstopiti na tehnično univerzo (in zakaj drugače opravite profilni enotni državni izpit in rešite to nalogo). Toda praksa in samo praksa vas bo naučila rešiti takšne težave enkrat za vselej. In lahko trenirate na naši spletni strani. Tukaj.

Če imate kakršna koli vprašanja ali kaj ni jasno, vprašajte. Z veseljem vam bom odgovoril in spremenil in dopolnil članek. Ne pozabite, da to spletno mesto ustvarjamo skupaj!

In za rešitev boste potrebovali minimalno znanje o temi. Naslednji se konča študijsko leto, vsi si želijo na dopust in da približam ta trenutek, preidem takoj k bistvu:

Začnimo z območjem. Območje, na katero se nanaša pogoj, je omejeno zaprto množica točk na ravnini. Na primer množica točk, ki jih omejuje trikotnik, vključno s CELIM trikotnikom (če iz meje"izbodite" vsaj eno točko, potem regija ne bo več zaprta). V praksi obstajajo tudi pravokotne, krožne in nekoliko večje površine. kompleksne oblike. Opozoriti je treba, da so v teoriji matematične analize podane stroge definicije omejitve, izolacija, meje itd., vendar mislim, da se vsi zavedajo teh konceptov na intuitivni ravni in zdaj ni potrebno nič več.

Ravno območje je standardno označeno s črko in je praviloma določeno analitično - z več enačbami (ni nujno linearno); redkeje neenakosti. Tipično besedilo: "zaprto območje, omejeno s črtami ».

Sestavni del obravnavane naloge je konstrukcija območja na risbi. Kako narediti? Narisati morate vse navedene črte (v tem primeru 3 naravnost) in analizirajte, kaj se je zgodilo. Iskano območje je običajno rahlo zasenčeno, njegova meja pa je označena z debelo črto:


Nastavite lahko tudi isto območje linearne neenakosti: , ki so iz neznanega razloga pogosto napisani kot oštevilčen seznam in ne sistem.
Ker meja pripada regiji, potem vse neenakosti seveda ohlapen.

In zdaj bistvo naloge. Predstavljajte si, da gre os iz izhodišča naravnost proti vam. Razmislite o funkciji, ki neprekinjeno v vsakem območna točka. Graf te funkcije predstavlja nekaj površino, majhna sreča pa je, da nam za rešitev današnjega problema ni treba vedeti, kako ta površina izgleda. Lahko se nahaja višje, nižje, seka ravnino - vse to ni pomembno. In pomembno je naslednje: po Weierstrassovi izreki, neprekinjeno V omejeno zaprto območju funkcija doseže največjo vrednost (najvišja") in najmanj (najnižji") vrednosti, ki jih je treba najti. Takšne vrednosti so dosežene oz V stacionarne točke, ki pripadajo regijiD , oz na točkah, ki ležijo na meji tega območja. To vodi do preprostega in preglednega algoritma rešitve:

Primer 1

V omejenem zaprto območje

rešitev: Najprej morate prikazati območje na risbi. Na žalost mi je tehnično težko izdelati interaktivni model problema, zato bom takoj predstavil končno ilustracijo, ki prikazuje vse "sumljive" točke, ki so bile odkrite med raziskavo. Običajno so navedeni drug za drugim, ko so odkriti:

Na podlagi preambule lahko odločitev priročno razdelimo na dve točki:

I) Poiščite stacionarne točke. To je standardno dejanje, ki smo ga večkrat izvajali v razredu. o ekstremih več spremenljivk:

Najdena stacionarna točka pripada območja: (označi na risbi), kar pomeni, da bi morali izračunati vrednost funkcije na dani točki:

- kot v članku Največja in najmanjša vrednost funkcije na segmentu, bom pomembne rezultate izpostavil s krepkim tiskom. Priročno jih je prerisati v zvezek s svinčnikom.

Bodite pozorni na našo drugo srečo - nima smisla preverjati zadosten pogoj za ekstrem. Zakaj? Tudi če na neki točki funkcija doseže npr. lokalni minimum, potem to NE POMENI, da bo dobljena vrednost minimalno po vsej regiji (glej začetek lekcije o brezpogojnih skrajnostih) .

Kaj storiti, če stacionarna točka NE pripada območju? Skoraj nič! To je treba upoštevati in preiti na naslednjo točko.

II) Raziskujemo mejo regije.

Ker je meja sestavljena iz stranic trikotnika, je študijo primerno razdeliti na 3 pododdelke. Vendar je bolje, da tega vseeno ne storite. Z mojega vidika je najprej ugodneje upoštevati segmente, ki so vzporedni s koordinatnimi osemi, in najprej tiste, ki ležijo na samih oseh. Če želite razumeti celotno zaporedje in logiko dejanj, poskusite preučiti konec "v enem dihu":

1) Ukvarjajmo se s spodnjo stranjo trikotnika. Če želite to narediti, zamenjajte neposredno v funkcijo:

Druga možnost je, da to storite takole:

Geometrijsko to pomeni, da koordinatna ravnina (kar je tudi podano z enačbo)"izrezuje" iz površine»prostorska« parabola, katere vrh takoj pride pod sum. Pa ugotovimo kje se nahaja:

– dobljena vrednost je "padla" v območje in lahko se izkaže, da na točki (označeno na risbi) funkcija doseže največjo ali najmanjšo vrednost v celotni regiji. Tako ali drugače naredimo izračune:

Ostali »kandidati« so seveda konci segmenta. Izračunajmo vrednosti funkcije v točkah (označeno na risbi):

Tukaj, mimogrede, lahko izvedete ustno mini preverjanje z uporabo "skrajšane" različice:

2) Za raziskave desna stran trikotnik zamenjamo v funkcijo in "spravimo stvari v red":

Tukaj bomo takoj izvedli grobo preverjanje, "pozvonili" že obdelan konec segmenta:
, Super.

Geometrijska situacija je povezana s prejšnjo točko:

– tudi nastala vrednost je »prišla v sfero naših interesov«, kar pomeni, da moramo izračunati, čemu je enaka funkcija na prikazani točki:

Oglejmo si drugi konec segmenta:

Uporaba funkcije , opravimo kontrolni pregled:

3) Verjetno lahko vsak ugane, kako raziskati preostalo stran. Nadomestimo ga v funkcijo in izvedemo poenostavitve:

Konci segmenta so že raziskane, vendar v osnutku še preverjamo, ali smo funkcijo pravilno našli :
– sovpada z rezultatom iz 1. pododstavka;
– sovpada z rezultatom 2. pododstavka.

Še vedno je treba ugotoviti, ali je znotraj segmenta kaj zanimivega:

- Tukaj je! Če nadomestimo ravno črto v enačbo, dobimo ordinato te "zanimivosti":

Na risbi označimo točko in poiščemo ustrezno vrednost funkcije:

Preverimo izračune z uporabo "proračunske" različice :
, naročilo.

In zadnji korak: POZORNO pregledamo vse "krepke" številke, priporočam, da začetniki naredijo celo en seznam:

med katerimi izberemo največjo in najmanjšo vrednost. Odgovori Zapišimo v stilu problema iskanja največja in najmanjša vrednost funkcije na segmentu:

Za vsak slučaj bom še enkrat komentiral geometrijski pomen rezultata:
– tukaj je najvišja točka površja v regiji;
– tukaj je najnižja točka površja na območju.

V analizirani nalogi smo identificirali 7 »sumljivih« točk, vendar se njihovo število od naloge do naloge razlikuje. Za trikotno regijo je najmanjši "raziskovalni niz" sestavljen iz treh točk. To se zgodi, ko funkcija na primer določi letalo– popolnoma jasno je, da stacionarnih točk ni in funkcija lahko doseže svoje največje/najmanjše vrednosti samo na ogliščih trikotnika. Toda podobna primera sta le en ali dva - običajno se moraš z nekaterimi soočiti površina 2. reda.

Če malo rešite takšne naloge, potem se vam lahko trikotniki zvrtijo v glavi in ​​zato sem vam pripravila nenavadne primere, da postane kvadrat :))

Primer 2

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije v zaprtem območju, omejenem s črtami

Primer 3

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije v omejenem zaprtem območju.

Posebna pozornost Bodite pozorni na racionalen vrstni red in tehniko preučevanja meje območja ter na verigo vmesnih pregledov, ki bodo skoraj popolnoma preprečile računske napake. Na splošno lahko to rešite na kakršenkoli način, vendar pri nekaterih težavah, na primer v primeru 2, obstaja velika verjetnost, da si močno otežite življenje. Približen vzorec zaključnih nalog na koncu lekcije.

Sistematizirajmo algoritem rešitve, sicer se je z mojo pridnostjo pajka nekako izgubil v dolgi niti komentarjev 1. primera:

– Na prvem koraku zgradimo območje, priporočljivo je, da ga zasenčimo in poudarimo mejo s krepko črto. Med reševanjem se bodo pojavile točke, ki jih je treba označiti na risbi.

– Poiščite stacionarne točke in izračunajte vrednosti funkcije le v tistih izmed njih ki pripadajo regiji. Dobljene vrednosti označimo v besedilu (na primer obkrožite jih s svinčnikom). Če stacionarna točka NE pripada regiji, potem to dejstvo označimo z ikono ali ustno. Če stacionarnih točk sploh ni, naredimo pisni sklep, da jih ni. V nobenem primeru te točke ni mogoče preskočiti!

– Raziskujemo meje regije. Najprej je koristno razumeti ravne črte, ki so vzporedne s koordinatnimi osemi (če sploh obstajajo). Izpostavimo tudi vrednosti funkcij, izračunane na "sumljivih" točkah. Zgoraj je bilo veliko povedanega o tehniki reševanja in nekaj drugega bo povedano spodaj - preberite, ponovno preberite, poglobite se v to!

– Izmed izbranih števil izberite največjo in najmanjšo vrednost ter podajte odgovor. Včasih se zgodi, da funkcija doseže takšne vrednosti na več točkah hkrati - v tem primeru bi se morale vse te točke odražati v odgovoru. Naj npr. in izkazalo se je, da je to najmanjša vrednost. Potem to zapišemo

Končni primeri so namenjeni drugim uporabne ideje kar bo koristno v praksi:

Primer 4

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije v zaprtem območju .

Ohranil sem avtorjevo formulacijo, v kateri je ploščina podana v obliki dvojne neenakosti. Ta pogoj se lahko zapiše z enakovrednim sistemom ali v bolj tradicionalni obliki za to težavo:

Opomnim vas, da z nelinearno naleteli smo na neenakosti, in če ne razumete geometrijskega pomena zapisa, prosimo, da ne odlašate in razjasnite situacijo takoj;-)

rešitev, kot vedno, se začne z gradnjo območja, ki predstavlja nekakšen "podplat":

Hmm, včasih je treba žvečiti ne samo granit znanosti ...

I) Poiščite stacionarne točke:

Sistem so idiotske sanje :)

Stacionarna točka pripada regiji, namreč leži na njeni meji.

In tako je v redu ... lekcija je šla dobro - to pomeni piti pravi čaj =)

II) Raziskujemo mejo regije. Brez odlašanja, začnimo z osjo x:

1) Če , potem

Ugotovimo, kje je vrh parabole:
– cenite takšne trenutke – “zadeli” ste prav do točke, od koder je že vse jasno. Še vedno pa ne pozabimo na preverjanje:

Izračunajmo vrednosti funkcije na koncih segmenta:

2) Ukvarjajmo se s spodnjim delom "podplata" "v eni seji" - brez kakršnih koli kompleksov ga nadomestimo v funkcijo in zanimal nas bo samo segment:

Nadzor:

Že to vnaša nekaj razburjenja v monotono vožnjo po narebričeni stezi. Poiščimo kritične točke:

Odločimo se kvadratna enačba, se spomniš še česa o tem? ...Vendar ne pozabite, seveda, drugače ne bi brali teh vrstic =) Če bi v prejšnjih dveh primerih izračuni v decimalke(kar je, mimogrede, redko), potem nas tukaj čakajo običajni navadni ulomki. Poiščemo korenine "X" in uporabimo enačbo za določitev ustreznih koordinat "igre" točk "kandidatov":


Izračunajmo vrednosti funkcije na najdenih točkah:

Funkcijo preverite sami.

Zdaj natančno preučujemo osvojene trofeje in jih zapisujemo odgovor:

To so “kandidati”, to so “kandidati”!

Če želite to rešiti sami:

Primer 5

Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije v zaprtem prostoru

Vnos z zavitimi oklepaji se glasi takole: "nabor točk, tako da."

Včasih v takih primerih uporabljajo Lagrangeova metoda množitelja, vendar verjetno ne bo resnične potrebe po uporabi. Torej, na primer, če je podana funkcija z enakim območjem "de", potem po zamenjavi vanjo - z izpeljanko brez težav; Poleg tega je vse sestavljeno v "eni vrstici" (z znaki), ne da bi bilo treba ločeno upoštevati zgornji in spodnji polkrog. A jih je seveda še več zapleteni primeri, kjer brez Lagrangeove funkcije (kjer je na primer enaka enačba kroga) Težko je preživeti - tako kot je težko preživeti brez dobrega počitka!

Lepo se imejte vsi in se kmalu vidimo naslednjo sezono!

Rešitve in odgovori:

Primer 2: rešitev: Na risbi upodabljamo območje:

Največja (najmanjša) vrednost funkcije je največja (najmanjša) sprejeta vrednost ordinate na obravnavanem intervalu.

Če želite najti največjo ali najmanjšo vrednost funkcije, morate:

1. Preverite, katere stacionarne točke so vključene v določen segment.
2. Izračunajte vrednost funkcije na koncih odseka in pri stacionarne točke iz 3. točke
3. Med dobljenimi rezultati izberite največjo ali najmanjšo vrednost.

Če želite najti največje ali najmanjše število točk, morate:

1. Poiščite odvod funkcije $f"(x)$
2. Poiščite stacionarne točke z reševanjem enačbe $f"(x)=0$
3. Faktoriziraj odvod funkcije.
4. Narišite koordinatno premico, nanjo postavite stacionarne točke in v dobljenih intervalih določite predznake odvoda z uporabo zapisa v 3. koraku.
5. Poiščite največje ali najmanjše točke po pravilu: če v neki točki odvod spremeni predznak iz plusa v minus, bo to največja točka (če iz minusa v plus, potem bo to najmanjša točka). V praksi je priročno uporabiti sliko puščic na intervalih: na intervalu, kjer je odvod pozitiven, je puščica narisana navzgor in obratno.

Tabela odvodov nekaterih elementarnih funkcij:

Osnovna pravila razlikovanja

1. Odvod vsote in razlike je enak odvodu vsakega člena

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Poiščite odvod funkcije $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Odvod vsote in razlike je enak odvodu vsakega člena

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Izpeljanka izdelka.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Poiščite odvod $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Izpeljava količnika

$((f(x))/(g(x)"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Poiščite odvod $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Izpeljanka kompleksna funkcija enak produktu odvoda zunanja funkcija na derivat notranje funkcije

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Poiščite najmanjšo točko funkcije $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Poiščite ODZ funkcije: $x+11>0; x>-11$

2. Poiščite odvod funkcije $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Poiščite stacionarne točke tako, da izenačite odvod na nič

$(2x+21)/(x+11)=0$

Ulomek je enak nič, če je števec enak nič in imenovalec ni nič.

$2x+21=0; x≠-11$

4. Narišimo koordinatno premico, nanjo postavimo stacionarne točke in v nastalih intervalih določimo predznake odvoda. Če želite to narediti, zamenjajte poljubno število iz skrajno desnega območja v izpeljanko, na primer nič.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. V točki minimuma odvod spremeni predznak iz minusa v plus, zato je točka $-10,5$ točka minimuma.

Odgovor: $-10,5 $

Poiščite največjo vrednost funkcije $y=6x^5-90x^3-5$ na odseku $[-5;1]$

1. Poiščite odvod funkcije $y′=30x^4-270x^2$

2. Izenačite odvod na nič in poiščite stacionarne točke

$30x^4-270x^2=0$

Vzemimo skupni faktor $30x^2$ iz oklepaja

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Izenačimo vsak faktor z nič

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Izberite stacionarne točke, ki pripadajo podanemu segmentu $[-5;1]$

Ustrezata nam stacionarni točki $x=0$ in $x=-3$

4. Izračunajte vrednost funkcije na koncih segmenta in na stacionarnih točkah iz 3. koraka