Deljenje navadnih ulomkov: pravila, primeri, rešitve. Množenje enostavnih in mešanih ulomkov z različnimi imenovalci

Če želite rešiti različne probleme iz tečajev matematike in fizike, morate deliti ulomke. To je zelo enostavno narediti, če poznate določena pravila za izvajanje te matematične operacije.

Preden preidemo na oblikovanje pravila za deljenje ulomkov, se spomnimo nekaj matematičnih izrazov:

1. Zgornji del ulomka imenujemo števec, spodnji del pa imenujemo imenovalec.
2. Pri deljenju se števila imenujejo takole: dividenda: delitelj = količnik

Kako deliti ulomke: preprosti ulomki

Če želite razdeliti dva preprosta ulomka, pomnožite dividendo z recipročno vrednostjo delitelja. Ta ulomek imenujemo tudi obrnjeni, ker ga dobimo z zamenjavo števca in imenovalca. Na primer:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Kako delimo ulomke: mešani ulomki

Če moramo razdeliti mešane frakcije, potem je tudi tukaj vse precej preprosto in jasno. Najprej pretvorimo mešani ulomek v navadni nepravi ulomek. Če želite to narediti, pomnožite imenovalec takega ulomka s celim številom in dobljenemu produktu dodajte števec. Posledično smo dobili nov števec mešanega ulomka, vendar bo njegov imenovalec ostal nespremenjen. Nadalje bo delitev ulomkov izvedena na popolnoma enak način kot delitev preprostih ulomkov. Na primer:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Kako deliti ulomek s številom

Da bi razdelili enostavni ulomekštevilu, naj bo slednje zapisano kot ulomek (nepravilno). To je zelo enostavno narediti: to število je napisano namesto števca, imenovalec takega ulomka pa je enak eni. Nadaljnja delitev se izvede na običajen način. Poglejmo si to na primeru:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Kako deliti decimalke

Pogosto ima odrasel človek težave z deljenjem celega števila ali decimalnega ulomka z decimalnim ulomkom brez pomoči kalkulatorja.

Torej narediti delitev decimalke, morate samo prečrtati vejico v delilniku in nehati biti pozoren na to. V dividendi je treba vejico premakniti v desno natanko za toliko mest, kot je bila v ulomku delitelja, in po potrebi dodati ničle. In nato izvedejo običajno deljenje s celim številom. Da bo to bolj jasno, razmislite o naslednjem primeru.

Množenje in deljenje ulomkov.

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Ta operacija je veliko lepša od seštevanja-odštevanja! Ker je lažje. Opomba: če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate pomnožiti števce (to bo števec rezultata) in imenovalce (to bo imenovalec). To je:

Na primer:

Vse je izjemno preprosto. In prosim, ne iščite skupnega imenovalca! Tukaj ga ni treba ...

Če želite deliti ulomek z ulomkom, morate obrniti drugo(to je pomembno!) ulomek in jih pomnožite, tj.

Na primer:

Če naletite na množenje ali deljenje s celimi števili in ulomki, je v redu. Tako kot pri seštevanju naredimo ulomek iz celega števila z enico v imenovalcu - in nadaljujte! Na primer:

V srednji šoli se moraš pogosto ukvarjati s trinadstropnimi (ali celo štirinadstropnimi!) frakcijami. Na primer:

Kako naj ta ulomek izgleda spodobno? Da, zelo preprosto! Uporabite delitev na dve točki:

A ne pozabite na vrstni red delitve! Za razliko od množenja je to tukaj zelo pomembno! Seveda ne bomo zamenjali 4:2 ali 2:4. Toda v trinadstropni frakciji je enostavno narediti napako. Upoštevajte na primer:

V prvem primeru (izraz na levi):

V drugem (izraz na desni):

Ali čutite razliko? 4 in 1/9!

Kaj določa vrstni red delitve? Ali z oklepaji ali (kot tukaj) z dolžino vodoravnih črt. Razvijte svoje oko. In če ni oklepajev ali pomišljajev, na primer:

nato deli in pomnoži po vrsti, od leve proti desni!

In še ena zelo preprosta in pomembna tehnika. Pri dejanjih z diplomami vam bo zelo koristilo! Eno delimo s poljubnim ulomkom, na primer s 13/15:

Strel se je obrnil! In to se vedno zgodi. Pri delitvi 1 s poljubnim ulomkom je rezultat isti ulomek, le da je obrnjen na glavo.

To je to za operacije z ulomki. Zadeva je precej enostavna, vendar daje več kot dovolj napak. Prosimo, upoštevajte praktičen nasvet, pa jih bo (napak) manj!

Praktični nasveti:

1. Najpomembnejša stvar pri delu z ulomki je natančnost in pozornost! To niso splošne besede, ne dobre želje! To je nujno! Vse izračune na Enotnem državnem izpitu naredite kot popolno nalogo, osredotočeno in jasno. Bolje je napisati dve dodatni vrstici v osnutku, kot pa se zamočiti pri miselnih izračunih.

2. V zgledih z različne vrste ulomki - pojdite na navadne ulomke.

3. Zmanjšamo vse frakcije, dokler se ne ustavijo.

4. Večnivojske ulomke reduciramo na navadne z deljenjem skozi dve točki (upoštevamo vrstni red deljenja!).

5. Enoto v glavi razdelite na ulomek, tako da ulomek preprosto obrnete.

Tukaj so naloge, ki jih morate zagotovo rešiti. Odgovori so podani po vseh nalogah. Uporabite materiale o tej temi in praktične nasvete. Oceni, koliko primerov si uspel pravilno rešiti. Prav prvič! Brez kalkulatorja! In naredite prave zaključke ...

Ne pozabite - pravilen odgovor je prejeto od drugič (zlasti tretjič) čas ne šteje! Tako je kruto življenje.

Torej, rešiti v izpitnem načinu ! Mimogrede, to je že priprava na enotni državni izpit. Primer rešimo, preverimo, rešimo naslednjega. Odločili smo se za vse - ponovno preverili od prvega do zadnjega. In samo Potem poglej odgovore.

Izračunajte:

Ste se odločili?

Iščemo odgovore, ki ustrezajo vašim. Namenoma sem jih zapisal neurejeno, tako rekoč stran od skušnjave ... Tukaj so, odgovori, zapisani s podpičjem.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Zdaj delamo zaključke. Če je vse uspelo, sem vesel zate! Osnovni izračuni z ulomki niso vaš problem! Lahko počnete resnejše stvari. Če ne ...

Torej imate eno od dveh težav. Ali oboje hkrati.) Pomanjkanje znanja in (ali) nepazljivost. Ampak ... To rešljiv težave.

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

) in imenovalec za imenovalcem (dobimo imenovalec produkta).

Formula za množenje ulomkov:

Na primer:

Preden začnete množiti števce in imenovalce, morate preveriti, ali je mogoče ulomek zmanjšati. Če lahko ulomek zmanjšate, boste lažje delali nadaljnje izračune.

Deljenje navadnega ulomka z ulomkom.

Deljenje ulomkov z naravnimi števili.

Ni tako strašno, kot se zdi. Tako kot pri seštevanju pretvorimo celo število v ulomek z ena v imenovalcu. Na primer:

Množenje mešanih ulomkov.

Pravila za množenje ulomkov (mešano):

• pretvori mešane ulomke v neprave ulomke;
• množenje števcev in imenovalcev ulomkov;
• zmanjšajte delež;
• Če dobiš nepravi ulomek, potem nepravi ulomek pretvorimo v mešani ulomek.

Pozor!Če želite pomnožiti mešani ulomek z drugim mešanim ulomkom, jih morate najprej pretvoriti v obliko nepravilnih ulomkov in nato pomnožiti po pravilu množenja navadni ulomki.

Drugi način množenja ulomka z naravnim številom.

Morda bo bolj priročno uporabiti drugo metodo množenja navadnega ulomka s številom.

Pozor!Če želite ulomek pomnožiti z naravnim številom, morate imenovalec ulomka deliti s tem številom, števec pa pustiti nespremenjen.

Iz zgornjega primera je razvidno, da je ta možnost bolj priročna za uporabo, ko je imenovalec ulomka brez ostanka deljen z naravnim številom.

Večnadstropni ulomki.

V srednji šoli pogosto srečamo trinadstropne (ali več) frakcije. primer:

Da bi tak ulomek zmanjšali na znan pogled, uporabite deljenje na 2 točki:

Pozor! Pri deljenju ulomkov je vrstni red deljenja zelo pomemben. Bodite previdni, tukaj se zlahka zmedete.

Prosimo, upoštevajte Na primer:

Pri delitvi enega s katerimkoli ulomkom bo rezultat isti ulomek, le obrnjen:

Praktični nasveti za množenje in deljenje ulomkov:

1. Najpomembnejša stvar pri delu z ulomki je natančnost in pozornost. Vse izračune opravite previdno in natančno, zbrano in jasno. Bolje je, da v osnutek napišete nekaj dodatnih vrstic, kot da se izgubite v miselnih izračunih.

2. Pri nalogah z različnimi vrstami ulomkov pojdite na vrsto navadnih ulomkov.

3. Zmanjšujemo vse ulomke, dokler ni več mogoče zmanjševati.

4. Večnivojske ulomke pretvorimo v navadne z deljenjem na 2 točki.

5. Enoto v glavi razdelite na ulomek, tako da ulomek preprosto obrnete.

Zadnjič smo se naučili seštevati in odštevati ulomke (glej lekcijo »Seštevanje in odštevanje ulomkov«). večina težak trenutek ta dejanja so vključevala spravljanje ulomkov na skupni imenovalec.

Zdaj je čas, da se ukvarjamo z množenjem in deljenjem. Dobra novica je, da so te operacije celo preprostejše od seštevanja in odštevanja. Najprej poglejmo najpreprostejši primer, ko sta dva pozitivna ulomka brez ločenega celega dela.

Če želite pomnožiti dva ulomka, morate ločeno pomnožiti njune števce in imenovalce. Prvo število bo števec novega ulomka, drugo pa imenovalec.

Če želite razdeliti dva ulomka, morate prvi ulomek pomnožiti z "obrnjenim" drugim ulomkom.

Oznaka:

Iz definicije sledi, da se deljenje ulomkov zmanjša na množenje. Če želite "obrniti" ulomek, preprosto zamenjajte števec in imenovalec. Zato bomo skozi lekcijo obravnavali predvsem množenje.

Kot rezultat množenja lahko nastane (in pogosto nastane) zmanjšljiv ulomek - seveda ga je treba zmanjšati. Če se po vseh zmanjšanjih izkaže, da ulomek ni pravilen, je treba poudariti cel del. Toda tisto, kar se pri množenju zagotovo ne bo zgodilo, je redukcija na skupni imenovalec: brez navzkrižnih metod, največji faktorji in najmanjši skupni večkratniki.

Po definiciji imamo:

Množenje ulomkov s celimi deli in negativnimi ulomki

Če ulomki vsebujejo celo število, jih je treba pretvoriti v nepravilne - in šele nato pomnožiti v skladu z zgoraj navedenimi shemami.

Če je v števcu ulomka, v imenovalcu ali pred njim minus, ga lahko izločimo iz množenja ali popolnoma odstranimo po naslednjih pravilih:

1. Plus z minusom daje minus;
2. Dve nikalnici pomenita pritrdilno.

Doslej so se s temi pravili srečevali le pri seštevanju in odštevanju negativnih ulomkov, ko se je bilo treba znebiti celega dela. Za delo jih je mogoče posplošiti, da bi "zažgali" več pomanjkljivosti hkrati:

1. Negative prečrtamo v parih, dokler popolnoma ne izginejo. V skrajnih primerih lahko preživi en minus - tisti, za katerega ni bilo para;
2. Če ni več minusov, je operacija končana - lahko začnete množiti. Če zadnji minus ni prečrtan, ker zanj ni bilo para, ga vzamemo iz meja množenja. Rezultat je negativen ulomek.

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Vse ulomke pretvorimo v neprave, nato pa iz množenja odstranimo minuse. Kar ostane, pomnožimo po običajnih pravilih. Dobimo:

Naj vas še enkrat spomnim, da se minus, ki se pojavi pred ulomkom s poudarjenim celim delom, nanaša prav na celoten ulomek in ne le na njegov cel del (to velja za zadnja dva primera).

Upoštevajte tudi negativna števila: Pri množenju so v oklepajih. To naredimo zato, da ločimo minuse od znakov za množenje in naredimo celoten zapis natančnejši.

Zmanjševanje ulomkov sproti

Množenje je zelo delovno intenzivna operacija. Številke tukaj se izkažejo za precej velike in za poenostavitev težave lahko poskusite ulomek še zmanjšati pred množenjem. V bistvu so števci in imenovalci ulomkov navadni faktorji, zato jih je mogoče zmanjšati z uporabo osnovne lastnosti ulomka. Oglejte si primere:

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Po definiciji imamo:

V vseh primerih so z rdečo označena števila, ki so bila zmanjšana, in tisto, kar je od njih ostalo.

Upoštevajte: v prvem primeru so bili množitelji popolnoma zmanjšani. Na njihovem mestu ostanejo enote, ki jih na splošno ni treba pisati. V drugem primeru ni bilo mogoče doseči popolnega zmanjšanja, vendar se je skupna količina izračunov vseeno zmanjšala.

Vendar te tehnike nikoli ne uporabljajte pri seštevanju in odštevanju ulomkov! Da, včasih so podobne številke, ki jih želite samo zmanjšati. Tukaj, poglej:

Tega ne smeš!

Do napake pride, ker pri seštevanju števec ulomka ustvari vsoto in ne produkt števil. Zato je nemogoče uporabiti osnovno lastnost ulomka, saj v tej lastnosti govorimo o posebej o množenju števil.

Drugih razlogov za zmanjševanje ulomkov preprosto ni, torej prava odločitev prejšnja naloga izgleda takole:

Pravilna rešitev:

Kot lahko vidite, se pravilni odgovor ni izkazal za tako lepega. Na splošno bodite previdni.

Z ulomki lahko počnete vse, vključno z deljenjem. Ta članek prikazuje deljenje navadnih ulomkov. Podane bodo definicije in obravnavani bodo primeri. Oglejmo si podrobneje deljenje ulomkov z naravnimi števili in obratno. Obravnavali bomo deljenje navadnega ulomka z mešanim številom.

Deljenje ulomkov

Deljenje je obratno od množenja. Pri deljenju se neznani faktor najde z znanim zmnožkom drugega faktorja, pri čemer se njegov podani pomen ohrani z navadnimi ulomki.

Če je treba navadni ulomek a b razdeliti na c d, potem morate za določitev takšnega števila pomnožiti z deliteljem c d, kar bo na koncu dalo dividendo a b. Vzemimo število in ga zapišimo a b · d c , kjer je d c inverzno število c d. Enačbe lahko zapišemo z uporabo lastnosti množenja, in sicer: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, kjer je izraz a b · d c količnik deljenja a b s c d.

Od tu dobimo in oblikujemo pravilo za deljenje navadnih ulomkov:

Definicija 1

Če želite razdeliti navadni ulomek a b s c d, morate dividendo pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja.

Zapišimo pravilo v obliki izraza: a b: c d = a b · d c

Pravila deljenja se spustijo na množenje. Če želite vztrajati pri tem, morate dobro razumeti množenje ulomkov.

Preidimo k obravnavanju deljenja navadnih ulomkov.

Primer 1

Deli 9 7 s 5 3. Rezultat zapiši kot ulomek.

rešitev

Število 5 3 je recipročni ulomek 3 5. Uporabiti je treba pravilo za deljenje navadnih ulomkov. Ta izraz zapišemo takole: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

odgovor: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Pri zmanjševanju ulomkov ločite cel del, če je števec večji od imenovalca.

Primer 2

Deli 8 15 : 24 65. Odgovor zapiši kot ulomek.

rešitev

Če želite rešiti, morate preiti iz deljenja na množenje. Zapišimo ga v tej obliki: 8 15 : 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Potrebno je zmanjšati in to naredimo na naslednji način: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Izberite cel del in dobite 13 9 = 1 4 9.

odgovor: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Deljenje izjemnega ulomka z naravnim številom

Za deljenje ulomka z naravnim številom uporabljamo pravilo: če želite a b deliti z naravnim številom n, morate samo imenovalec pomnožiti z n. Od tod dobimo izraz: a b: n = a b · n.

Pravilo deljenja je posledica pravila množenja. Zato predstavitev naravno število v obliki ulomka bo dala enakost tega tipa: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Razmislite o tej delitvi ulomka s številom.

Primer 3

Ulomek 16 45 delite s številom 12.

rešitev

Uporabimo pravilo za deljenje ulomka s številom. Dobimo izraz v obliki 16 45: 12 = 16 45 · 12.

Zmanjšajmo ulomek. Dobimo 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.

odgovor: 16 45: 12 = 4 135 .

Deljenje naravnega števila z ulomkom

Pravilo delitve je podobno O pravilo za deljenje naravnega števila z navadnim ulomkom: da bi naravno število n delili z navadnim ulomkom a b, je treba število n pomnožiti z recipročno vrednostjo ulomka a b.

Na podlagi pravila imamo n: a b = n · b a, zaradi pravila množenja naravnega števila z navadnim ulomkom pa dobimo izraz v obliki n: a b = n · b a. To delitev je treba obravnavati na primeru.

Primer 4

Deli 25 s 15 28.

rešitev

Od deljenja moramo preiti k množenju. Zapišimo ga v obliki izraza 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Zmanjšajmo ulomek in dobimo rezultat v obliki ulomka 46 2 3.

odgovor: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Deljenje ulomka z mešanim številom

Ko delite navadni ulomek z mešanim številom, lahko preprosto začnete deliti navadne ulomke. Potreben je prenos mešano število v nepravi ulomek.

Primer 5

Razdelite ulomek 35 16 s 3 1 8.

rešitev

Ker je 3 1 8 mešano število, ga predstavimo v obliki nepravilni ulomek. Potem dobimo 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Zdaj pa razdelimo ulomke. Dobimo 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

odgovor: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Deljenje mešanega števila poteka na enak način kot navadna števila.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter