Delitelji in večkratniki. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) – definicija, primeri in lastnosti

Razmislimo o rešitvi naslednja naloga. Korak fantka je 75 cm, korak deklice pa 60 cm. Treba je najti najmanjšo razdaljo, na kateri oba naredita celo število korakov.

rešitev. Celotna pot, ki jo bodo prehodili otroci, mora biti deljiva s 60 in 70, saj mora vsak narediti celo število korakov. Z drugimi besedami, odgovor mora biti večkratnik 75 in 60.

Najprej bomo zapisali vse večkratnike števila 75. Dobimo:

  • 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Sedaj pa zapišimo števila, ki bodo večkratnika 60. Dobimo:

  • 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Zdaj poiščemo številke, ki so v obeh vrsticah.

  • Navadni večkratniki števil bi bili 300, 600 itd.

Najmanjše med njimi je število 300. V tem primeru se bo imenovalo najmanjši skupni večkratnik števil 75 in 60.

Če se vrnemo k pogoju problema, bo najmanjša razdalja, na kateri bodo fantje naredili celo število korakov, 300 cm. Fant bo to pot prehodil v 4 korakih, deklica pa bo morala narediti 5 korakov.

Določanje najmanjšega skupnega večkratnika

  • Najmanjši skupni večkratnik dveh naravnih števil a in b je najmanjši naravno število, ki je večkratnik obeh a in b.

Da bi našli najmanjši skupni večkratnik dveh števil, ni treba zapisati vseh večkratnikov teh števil po vrsti.

Uporabite lahko naslednjo metodo.

Kako najti najmanjši skupni večkratnik

Najprej morate te številke razstaviti na glavni dejavniki.

  • 60 = 2*2*3*5,
  • 75=3*5*5.

Sedaj pa zapišimo vse faktorje, ki so v razširitvi prvega števila (2,2,3,5) in ji prištejmo vse manjkajoče faktorje iz razširitve drugega števila (5).

Kot rezultat dobimo niz praštevil: 2,2,3,5,5. Zmnožek teh števil bo najmanjši skupni faktor za ta števila. 2*2*3*5*5 = 300.

Splošna shema za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika

  • 1. Razdelite števila na prafaktorje.
  • 2. Zapišite prafaktorje, ki so del enega od njih.
  • 3. Tem dejavnikom prištejte vse tiste, ki so v razširitvi drugih, ne pa tudi v izbranem.
  • 4. Poiščite zmnožek vseh zapisanih faktorjev.

Ta metoda je univerzalna. Uporablja se lahko za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika poljubnega števila naravnih števil.

Kako najti LCM (najmanjši skupni večkratnik)

Skupni večkratnik dveh celih števil je celo število, ki je enakomerno deljivo z obema danima številoma brez ostanka.

Najmanjši skupni večkratnik dveh celih števil je najmanjše od vseh celih števil, ki je deljivo z obema danima številoma brez ostanka.

1. metoda. LCM lahko najdete po vrsti za vsako od danih števil, tako da v naraščajočem vrstnem redu zapišete vsa števila, ki jih dobite, če jih pomnožite z 1, 2, 3, 4 itd.

Primer za številki 6 in 9.
Število 6 pomnožimo zaporedno z 1, 2, 3, 4, 5.
Dobimo: 6, 12, 18 , 24, 30
Število 9 pomnožimo zaporedno z 1, 2, 3, 4, 5.
Dobimo: 9, 18 , 27, 36, 45
Kot lahko vidite, bo LCM za številki 6 in 9 enak 18.

Ta metoda je priročna, kadar sta obe števili majhni in ju je enostavno pomnožiti z zaporedjem celih števil. So pa trenutki, ko morate najti LCM za dvomestno oz trimestna števila, pa tudi kadar so tri ali celo več začetnih številk.

Metoda 2. LCM lahko najdete tako, da prvotna števila faktorizirate na prafaktorje.
Po razčlenjevanju je treba iz nastalega niza prafaktorjev prečrtati enaka števila. Preostale številke prvega števila bodo množitelj za drugo, preostale številke drugega pa bodo množitelj za prvo.

Primer za številki 75 in 60.
Najmanjši skupni večkratnik števil 75 in 60 lahko poiščemo, ne da bi zaporedoma zapisali večkratnike teh števil. Če želite to narediti, faktorizirajmo 75 in 60 na preproste faktorje:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kot lahko vidite, se faktorja 3 in 5 pojavita v obeh vrsticah. Miselno jih »prečrtamo«.
Zapišimo preostale faktorje, vključene v razširitev vsakega od teh števil. Pri razčlenjevanju števila 75 nam ostane število 5, pri razčlenjevanju števila 60 pa 2 * 2.
To pomeni, da moramo za določitev LCM za števili 75 in 60 pomnožiti preostala števila iz razširitve 75 (to je 5) s 60 in pomnožiti števila, ki ostanejo iz razširitve 60 (to je 2 * 2) s 75. To pomeni, da zaradi lažjega razumevanja rečemo, da množimo "navzkrižno".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Tako smo našli LCM za števili 60 in 75. To je število 300.

Primer. Določite NKM za števila 12, 16, 24
V tem primeru bodo naša dejanja nekoliko bolj zapletena. Toda najprej, kot vedno, faktorizirajmo vse številke
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Za pravilno določitev LCM izberemo najmanjše od vseh števil (to je število 12) in gremo zaporedno skozi njegove faktorje ter jih prečrtamo, če v vsaj eni od drugih vrstic števil naletimo na enak faktor, ki še ni prečrtano.

Korak 1 . Vidimo, da se 2 * 2 pojavlja v vseh serijah števil. Prečrtajmo jih.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

2. korak. V prafaktorjih števila 12 ostane samo število 3, prisotno pa je v prafaktorjih števila 24. Število 3 prečrtamo iz obeh vrstic, medtem ko za število 16 ne pričakujemo nobenih dejanj. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kot lahko vidite, smo pri razgradnji števila 12 "prečrtali" vse številke. To pomeni, da je ugotovitev LOC zaključena. Ostaja le še izračunati njegovo vrednost.
Za število 12 vzemite preostale faktorje števila 16 (naslednji v naraščajočem vrstnem redu)
12 * 2 * 2 = 48
To je NOC

Kot lahko vidite, je bilo v tem primeru iskanje LCM nekoliko težje, ko pa ga morate najti za tri ali več številk, vam ta metoda omogoča, da to storite hitreje. Vendar sta obe metodi iskanja LCM pravilni.

Šolarji dobijo veliko nalog pri matematiki. Med njimi so zelo pogosto težave z naslednjo formulacijo: obstajata dva pomena. Kako najti najmanjši skupni večkratnik danih števil? Takšne naloge je treba znati opravljati, saj se pridobljene veščine uporabljajo za delo z ulomki, ko različne imenovalce. V tem članku si bomo ogledali, kako najti LOC in osnovne pojme.

Preden najdete odgovor na vprašanje, kako najti LCM, morate definirati izraz večkratnik. Najpogosteje se formulacija tega koncepta sliši takole: večkratnik določene vrednosti A je naravno število, ki bo deljivo z A brez ostanka. Torej, za 4 bodo večkratniki 8, 12, 16, 20, in tako naprej do zahtevane meje.

V tem primeru je lahko število deliteljev za določeno vrednost omejeno, večkratnikov pa je neskončno veliko. Enaka vrednost je tudi za naravne vrednote. To je indikator, ki je razdeljen nanje brez ostanka. Ko smo razumeli koncept najmanjše vrednosti za določene kazalnike, pojdimo na to, kako jo najti.

Iskanje NOC

Najmanjši večkratnik dveh ali več eksponentov je najmanjše naravno število, ki je v celoti deljivo z vsemi določenimi števili.

Takšno vrednost lahko najdete na več načinov, razmislite o naslednjih metodah:

  1. Če so števila majhna, zapiši na črto vsa tista, ki so z njim deljiva. To počnite, dokler ne najdete nekaj skupnega med njimi. V pisni obliki jih označujemo s črko K. Na primer, za 4 in 3 je najmanjši večkratnik 12.
  2. Če so ti veliki ali morate najti večkratnik 3 ali več vrednosti, potem uporabite drugo tehniko, ki vključuje razgradnjo števil na prafaktorje. Najprej postavite največjega na seznamu, nato vse ostale. Vsak od njih ima svoje število množiteljev. Kot primer razčlenimo 20 (2*2*5) in 50 (5*5*2). Pri manjšem podčrtaj faktorje in jih prištej največjemu. Rezultat bo 100, ki bo najmanjši skupni večkratnik zgornjih števil.
  3. Pri iskanju 3 števil (16, 24 in 36) so principi enaki kot pri drugih dveh. Razširimo vsakega od njih: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Samo dve dvojki iz razširitve števila 16 nista bili vključeni v razširitev največjega. Seštejemo ju in dobimo 144, kar je najmanjši rezultat za prej navedene številčne vrednosti.

Zdaj vemo, kakšna je splošna tehnika za iskanje najmanjše vrednosti za dve, tri ali več vrednosti. Vendar pa obstajajo tudi zasebne metode, pomoč pri iskanju NOC, če prejšnji ne pomagajo.

Kako najti GCD in NOC.

Zasebne metode iskanja

Kot pri vsakem matematičnem delu obstajajo posebni primeri iskanja LCM, ki pomagajo v posebnih situacijah:

  • če je eno od števil deljivo z drugimi brez ostanka, potem mu je najmanjši večkratnik teh števil enak (NKM 60 in 15 je 15);
  • relativno praštevila nimajo skupnih praštevil. Njihova najmanjša vrednost je enaka produktu teh števil. Tako bo za številki 7 in 8 56;
  • isto pravilo velja za druge primere, vključno s posebnimi, o katerih lahko preberete v strokovni literaturi. Sem spadajo tudi primeri razgradnje sestavljenih števil, ki so tema posameznih člankov in celo kandidatskih disertacij.

Posebni primeri so manj pogosti kot standardni primeri. Toda zahvaljujoč njim se lahko naučite delati z ulomki različnih stopenj kompleksnosti. To še posebej velja za ulomke, kjer so neenaki imenovalci.

Nekaj ​​primerov

Oglejmo si nekaj primerov, ki vam bodo pomagali razumeti načelo iskanja najmanjšega večkratnika:

  1. Poiščite LOC (35; 40). Najprej razstavimo 35 = 5*7, nato 40 = 5*8. Najmanjšemu številu dodajte 8 in dobite LOC 280.
  2. NOC (45; 54). Vsakega od njih razstavimo: 45 = 3*3*5 in 54 = 3*3*6. Število 6 dodamo 45. Dobimo LCM, ki je enak 270.
  3. No, zadnji primer. Obstajata 5 in 4. Njunih pramkratnikov ni, zato bo najmanjši skupni večkratnik v tem primeru njun produkt, ki je enak 20.

Zahvaljujoč primerom lahko razumete, kako se nahaja NOC, kakšne so nianse in kakšen je pomen takšnih manipulacij.

Iskanje NOC je veliko lažje, kot se sprva zdi. Za to se uporablja tako preprosto širjenje kot množenje preproste vrednote Drug drugega. Sposobnost dela s tem delom matematike pomaga pri nadaljnjem študiju matematičnih tem, zlasti ulomkov različne stopnje težave.

Ne pozabi občasno reševati primerov različne metode, to razvija logični aparat in vam omogoča, da si zapomnite številne izraze. Naučite se poiskati takšen eksponent in dobro se boste odrezali pri ostalih delih matematike. Srečno učenje matematike!

Video

Ta videoposnetek vam bo pomagal razumeti in si zapomniti, kako najti najmanjši skupni večkratnik.

Kako najti najmanjši skupni večkratnik?

    Poiskati moramo vsak faktor vsakega od obeh števil, za katerega najdemo najmanjši skupni večkratnik, nato pa faktorje, ki sovpadajo v prvem in drugem številu, pomnožiti drug z drugim. Rezultat produkta bo zahtevani večkratnik.

    Na primer, imamo števili 3 in 5 in moramo najti LCM (najmanjši skupni večkratnik). nas treba pomnožiti in tri in pet za vse številke od 1 2 3 ... in tako naprej, dokler ne vidimo istega števila na obeh mestih.

    Pomnožite tri in dobite: 3, 6, 9, 12, 15

    Pomnožite s pet in dobite: 5, 10, 15

    Metoda prafaktorizacije je najbolj klasična metoda za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) več števil. Ta metoda je jasno in preprosto prikazana v naslednjem videu:

    Seštevanje, množenje, deljenje, zmanjševanje na skupni imenovalec in druge aritmetične operacije so zelo vznemirljiva dejavnost, občudujem predvsem primere, ki zavzamejo cel list.

    Poiščite torej skupni večkratnik dveh števil, ki bo najmanjše število, s katerim se števili delita. Rad bi opozoril, da se v prihodnosti ni treba zatekati k formulam, da bi našli tisto, kar iščete, če lahko štejete v glavi (in to je mogoče trenirati), potem se številke same pojavijo v vaši glavi in potem frakcije pokajo kot orehi.

    Za začetek se naučimo, da lahko dve števili pomnožimo eno z drugim, nato pa to številko zmanjšamo in izmenično delimo s tema dvema številoma, tako da bomo našli najmanjši večkratnik.

    Na primer dve števili 15 in 6. Pomnožite in dobite 90. To je očitno večje število. Poleg tega je 15 deljivo s 3 in 6 je deljivo s 3, kar pomeni, da tudi 90 delimo s 3. Dobimo 30. Poskušamo 30 deliti 15 je enako 2. In 30 deliti 6 je enako 5. Ker je 2 meja, se obrne da je najmanjši večkratnik za števila 15 in 6 bo 30.

    Z večjimi številkami bo malo težje. če pa veste, katera števila dajejo ostanek nič pri deljenju ali množenju, potem načeloma ni velikih težav.

  • Kako najti NOC

    Tukaj je video, ki vam bo ponudil dva načina za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM). Ko vadite uporabo prve od predlaganih metod, lahko bolje razumete, kaj je najmanjši skupni večkratnik.

    • Predstavljam še en način iskanja najmanjšega skupnega večkratnika. Poglejmo si to z jasnim primerom.

    Najti morate LCM treh številk hkrati: 16, 20 in 28.

    • Vsako število predstavimo kot produkt njegovih prafaktorjev:
    • Zapišemo moči vseh prafaktorjev:

    16 = 224 = 2^24^1

    20 = 225 = 2^25^1

    28 = 227 = 2^27^1

    • Izberemo vse pradeležnike (množitelje) z največjimi potencami, jih pomnožimo in poiščemo LCM:

    LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

    LCM(16, 20, 28) = 560.

    Tako je bil rezultat izračuna število 560. Je najmanjši skupni večkratnik, to je, da je deljivo z vsakim od treh števil brez ostanka.

    Najmanjši skupni večkratnik je število, ki ga lahko razdelimo na več danih števil brez ostanka. Če želite izračunati takšno številko, morate vzeti vsako številko in jo razstaviti na preproste faktorje. Tiste številke, ki se ujemajo, so odstranjene. Pusti vse enega po enega, jih pomnoži med seboj in dobi želenega - najmanjši skupni večkratnik.

    NOC, oz najmanjši skupni večkratnik, je najmanjše naravno število dveh ali več števil, ki je deljivo z vsakim od danih števil brez ostanka.

    Tukaj je primer, kako najti najmanjši skupni večkratnik 30 in 42.

    • Prvi korak je razložiti ta števila na prafaktorje.

    Za 30 je 2 x 3 x 5.

    Za 42 je to 2 x 3 x 7. Ker sta 2 in 3 v razširitvi števila 30, ju prečrtamo.

    • Zapišemo faktorje, ki so vključeni v razširitev števila 30. To je 2 x 3 x 5.
    • Zdaj jih moramo pomnožiti z manjkajočim faktorjem, ki ga imamo pri razširitvi 42, ki je 7. Dobimo 2 x 3 x 5 x 7.
    • Ugotovimo, čemu je enako 2 x 3 x 5 x 7, in dobimo 210.

    Posledično ugotovimo, da je LCM števil 30 in 42 210.

    Da bi našli najmanjši skupni večkratnik, morate izvesti več zaporedoma preprosta dejanja. Poglejmo to na primeru dveh številk: 8 in 12

    1. Obe števili razložimo na prafaktorje: 8=2*2*2 in 12=3*2*2
    2. Zmanjšamo iste faktorje enega od števil. V našem primeru 2 * 2 sovpadata, zmanjšajmo jih za število 12, potem bo 12 imel en faktor: 3.
    3. Poiščite produkt vseh preostalih faktorjev: 2*2*2*3=24

    Ob preverjanju se prepričamo, da je 24 deljivo tako z 8 kot z 12 in je to najmanjše naravno število, ki je deljivo z vsakim od teh števil. Tukaj smo našli najmanjši skupni večkratnik.

    Poskušal bom razložiti na primeru števila 6 in 8. Najmanjši skupni večkratnik je število, ki ga lahko delimo s tema številoma (v našem primeru 6 in 8) in ne bo ostanka.

    Torej, najprej začnemo množiti 6 z 1, 2, 3 itd. in 8 z 1, 2, 3 itd.

Najmanjši skupni večkratnik dveh števil je neposredno povezan z največjim skupnim deliteljem teh števil. to povezava med GCD in NOC je določen z naslednjim izrekom.

Izrek.

Najmanjši skupni večkratnik dveh pozitivnih celih števil a in b je enak produktu a in b, deljenemu z največjim skupni delilnikštevili a in b, tj. LCM(a, b)=a b:NOT(a, b).

Dokaz.

Pustiti M je nekaj večkratnika števil a in b. To pomeni, da je M deljiv z a in po definiciji deljivosti obstaja neko celo število k, tako da velja enakost M=a·k. Toda M je tudi deljiv z b, potem je a·k deljiv z b.

Označimo gcd(a, b) kot d. Potem lahko zapišemo enakosti a=a 1 ·d in b=b 1 ·d, a 1 =a:d in b 1 =b:d pa bosta relativno praštevili. Posledično lahko pogoj, dobljen v prejšnjem odstavku, da je a · k deljiv z b, preoblikujemo takole: a 1 · d · k je deljeno z b 1 · d , kar je zaradi lastnosti deljivosti enakovredno pogoju da je a 1 · k deljiv z b 1 .

Zapisati morate tudi dve pomembni posledici obravnavanega izreka.

    Skupni večkratniki dveh števil so enaki večkratnikom njunega najmanjšega skupnega večkratnika.

    To je res tako, saj je vsak skupni večkratnik M števil a in b določen z enakostjo M=LMK(a, b)·t za neko celo vrednost t.

    Najmanjši skupni večkratnik sopraštevil pozitivna števila a in b sta enaka svojemu produktu.

    Utemeljitev tega dejstva je povsem očitna. Ker sta a in b relativno praštevila, potem je gcd(a, b)=1, torej GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil

Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika treh ali več števil se lahko zmanjša na zaporedno iskanje LCM dveh števil. Kako se to naredi, je prikazano v naslednjem izreku 1 , a 2 , …, a k sovpadajo s skupnimi večkratniki števil m k-1 in a k torej sovpadajo s skupnimi večkratniki števila m k . In ker je najmanjši pozitivni večkratnik števila m k samo število m k, potem je najmanjši skupni večkratnik števil a 1, a 2, ..., a k m k.

Bibliografija.

  • Vilenkin N.Ya. in drugi. 6. razred: učbenik za splošnoizobraževalne ustanove.
  • Vinogradov I.M. Osnove teorije števil.
  • Mikhelovich Sh.H. Teorija števil.
  • Kulikov L.Ya. in drugi. Zbirka nalog iz algebre in teorije števil: Vadnica za študente fizike in matematike. specialnosti pedagoških zavodov.


Deli s prijatelji:
Povezane publikacije