Formula za iskanje vsote aritmetične progresije. Algebrsko napredovanje

Vrsta lekcije: učenje nove snovi.

Cilji lekcije:

• širjenje in poglabljanje učenčevega razumevanja problemov, rešenih z aritmetično progresijo; organiziranje iskalnih dejavnosti učencev pri izpeljavi formule za vsoto prvih n členov aritmetične progresije;
• razvijanje zmožnosti samostojnega pridobivanja novega znanja in uporabe že pridobljenega znanja za dosego zadane naloge;
• razvijanje želje in potrebe po posploševanju pridobljenih dejstev, razvijanje samostojnosti.

Naloge:

• povzeti in sistematizirati obstoječe znanje o temi "Aritmetična progresija";
• izpeljati formule za izračun vsote prvih n členov aritmetične progresije;
• naučiti uporabe pridobljenih formul pri reševanju različnih problemov;
• učence opozoriti na postopek iskanja vrednosti številskega izraza.

Oprema:

• kartice z nalogami za delo v skupinah in parih;
• ocenjevalni papir;
• predstavitev “Aritmetična progresija”.

I. Posodabljanje temeljnega znanja.

1. Samostojno delo v parih.

1. možnost:

Določite aritmetično progresijo. Zapišite recidivno formulo, ki definira aritmetično progresijo. Navedite primer aritmetične progresije in navedite njeno razliko.

2. možnost:

Zapišite formulo za n-ti člen aritmetičnega napredovanja. Poiščite 100. člen aritmetične progresije ( a n}: 2, 5, 8 …
V tem času dva učenca na zadnji strani table pripravljata odgovore na ista vprašanja.
Učenci ocenijo partnerjevo delo tako, da ga preverijo na tabli. (Oddajo se listi z odgovori.)

2. Igralni trenutek.

vaja 1.

učiteljica. Pomislil sem na aritmetično progresijo. Zastavite mi le dve vprašanji, da boste po odgovorih lahko hitro imenovali 7. člen tega napredovanja. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)

Vprašanja študentov.

1. Kaj je šesti člen napredovanja in kakšna je razlika?
2. Kaj je osmi člen napredovanja in kakšna je razlika?

Če ni več vprašanj, jih lahko učitelj spodbudi - "prepoved" d (razlika), to pomeni, da ni dovoljeno vprašati, čemu je razlika enaka. Postavljate lahko vprašanja: čemu je enak 6. člen progresije in čemu 8. člen progresije?

Naloga 2.

Na tabli je napisanih 20 številk: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Učitelj stoji s hrbtom obrnjen proti tabli. Učenci pokličejo številko, učitelj pa jo takoj pokliče. Pojasnite, kako lahko to storim?

Učitelj si zapomni formulo za n-ti člen a n = 3n – 2 in z zamenjavo podanih vrednosti n najde ustrezne vrednosti a n.

II. Postavitev učne naloge.

Predlagam rešitev starodavnega problema iz 2. tisočletja pred našim štetjem, najdenega v egiptovskih papirusih.

Naloga:"Naj vam rečejo: razdelite 10 mer ječmena med 10 ljudi, razlika med vsakim in njegovim sosedom je 1/8 mere."

• Kako je ta problem povezan z aritmetično progresijo teme? (Vsaka naslednja oseba prejme 1/8 mere več, kar pomeni, da je razlika d=1/8, 10 oseb, kar pomeni n=10.)
• Kaj mislite, kaj pomeni število 10 ukrepov? (Vsota vseh pogojev napredovanja.)
• Kaj še morate vedeti, da boste lahko in preprosto razdelili ječmen glede na pogoje problema? (Prvi rok napredovanja.)

Cilj lekcije– pridobitev odvisnosti vsote členov progresije od njihovega števila, prvega člena in razlike ter preverjanje, ali je bil problem v starih časih pravilno rešen.

Preden izpeljemo formulo, poglejmo, kako so problem rešili stari Egipčani.

In rešili so ga takole:

1) 10 meritev: 10 = 1 merica – povprečni delež;
2) 1 merica ∙ = 2 merici – podvojeno povprečje deliti.
Podvojeno povprečje delež je vsota deležev 5. in 6. osebe.
3) 2 takta – 1/8 takta = 1 7/8 takta – dvojni delež pete osebe.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – del petine; in tako naprej, lahko najdete delež vsake prejšnje in naslednje osebe.

Dobimo zaporedje:

III. Reševanje problema.

1. Delo v skupinah

Skupina I: Poiščite vsoto 20 zaporednih naravna števila: S 20 =(20+1)∙10 =210.

IN splošni pogled

II skupina: Poišči vsoto naravnih števil od 1 do 100 (Legenda o malem Gaussu).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Zaključek:

III skupina: Poišči vsoto naravnih števil od 1 do 21.

Rešitev: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Zaključek:

IV skupina: Poišči vsoto naravnih števil od 1 do 101.

Zaključek:

Ta metoda reševanja obravnavanih problemov se imenuje "Gaussova metoda".

2. Vsaka skupina na tablo predstavi rešitev problema.

3. Posplošitev predlaganih rešitev za poljubno aritmetično progresijo:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Poiščimo to vsoto s podobnim razmišljanjem:

4. Ali smo rešili težavo?(Da.)

IV. Primarno razumevanje in uporaba pridobljenih formul pri reševanju nalog.

1. Preverjanje rešitve starodavne težave s formulo.

2. Uporaba formule pri reševanju različnih problemov.

3. Vaje za razvijanje sposobnosti uporabe formul pri reševanju problemov.

A) Št. 613

Podano: ( a n) – aritmetična progresija;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Najti: S 1500

rešitev: , a 1 = 1 in 1500 = 1500,

B) Glede na: ( a n) – aritmetična progresija;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Najti: n
rešitev:

V. Samostojno delo z medsebojnim preverjanjem.

Denis je začel delati kot kurir. V prvem mesecu je njegova plača znašala 200 rubljev, v vsakem naslednjem mesecu pa se je povečala za 30 rubljev. Koliko je skupaj zaslužil v enem letu?

Podano: ( a n) – aritmetična progresija;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Najti: S 12
rešitev:

Odgovor: Denis je za leto prejel 4380 rubljev.

VI. Navodila za domačo nalogo.

1. Razdelek 4.3 – naučite se izpeljave formule.
2. №№ 585, 623 .
3. Sestavite problem, ki ga je mogoče rešiti s formulo za vsoto prvih n členov aritmetičnega napredovanja.

VII. Povzetek lekcije.

1. Točkovni list

2. Nadaljuj povedi

• Danes sem se v razredu naučil...
• Naučene formule ...
• Verjamem, da …

3. Znaš najti vsoto števil od 1 do 500? Katero metodo boste uporabili za rešitev te težave?

Bibliografija.

1. Algebra, 9. razred. Vadnica za izobraževalne ustanove. Ed. G.V. Dorofejeva. M.: "Razsvetljenje", 2009.

I. V. Jakovlev | Materiali za matematiko | MathUs.ru

Aritmetična progresija

Aritmetična progresija je posebna vrsta zaporedja. Zato se moramo pred definiranjem aritmetične (in nato geometrijske) progresije na kratko pogovoriti pomemben koncept številčno zaporedje.

Naknadno zaporedje

Predstavljajte si napravo, na zaslonu katere se ena za drugo izpisujejo določene številke. Recimo 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Ta niz številk je natanko primer zaporedja.

Opredelitev. Številsko zaporedje je niz števil, v katerem je vsakemu številu mogoče pripisati enolično število (to je, povezano z enim samim naravnim številom)1. Pokličemo število s številko n n-ti izraz zaporedja.

Torej, v zgornjem primeru je prvo število 2, to je prvi član zaporedja, ki ga lahko označimo z a1; število pet ima število 6 peti člen zaporedja, ki ga lahko označimo z a5. Nasploh, n-ti izraz zaporedja so označena z (ali bn, cn itd.).

Zelo priročna situacija je, ko lahko n-ti člen zaporedja podamo z neko formulo. Na primer, formula an = 2n 3 določa zaporedje: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n podaja zaporedje: 1; 1; 1; 1; : : :

Vsak niz številk ni zaporedje. Tako segment ni zaporedje; vsebuje "preveč" številk, ki bi jih bilo treba preštevilčiti. Tudi množica R vseh realnih števil ni zaporedje. Ta dejstva so dokazana z matematično analizo.

Aritmetična progresija: osnovne definicije

Zdaj smo pripravljeni definirati aritmetično progresijo.

Opredelitev. Aritmetična progresija je zaporedje, v katerem je vsak člen (začenši od drugega) enak vsoti prejšnjega člena in nekega fiksnega števila (imenovanega razlika aritmetične progresije).

Na primer, zaporedje 2; 5; 8; enajst; : : : je aritmetična progresija s prvim členom 2 in razliko 3. Zaporedje 7; 2; 3; 8; : : : je aritmetična progresija s prvim členom 7 in razliko 5. Zaporedje 3; 3; 3; : : : je aritmetična progresija z razliko, ki je enaka nič.

Ekvivalentna definicija: zaporedje an imenujemo aritmetična progresija, če je razlika an+1 an konstantna vrednost (neodvisna od n).

Aritmetična progresija se imenuje naraščajoča, če je razlika pozitivna, in padajoča, če je razlika negativna.

1 Tukaj pa je bolj jedrnata definicija: zaporedje je funkcija, definirana na množici naravnih števil. Na primer, zaporedje realnih števil je funkcija f: N ! R.

Zaporedja se privzeto štejejo za neskončna, kar pomeni, da vsebujejo neskončno število števil. Toda nihče nas ne moti, da upoštevamo končna zaporedja; pravzaprav lahko vsako končno množico števil imenujemo končno zaporedje. Na primer, končno zaporedje je 1; 2; 3; 4; 5 je sestavljeno iz petih številk.

Formula za n-ti člen aritmetične progresije

Zlahka je razumeti, da aritmetično napredovanje v celoti določata dve števili: prvi člen in razlika. Zato se postavlja vprašanje: kako, če poznamo prvi člen in razliko, najti poljuben člen aritmetičnega napredovanja?

Zahtevane formule za n-ti člen aritmetične progresije ni težko dobiti. Naj an

Naloga 1. V aritmetični progresiji 2; 5; 8; enajst; : : : poišči formulo za n-ti člen in izračunaj stoti člen.

rešitev. Po formuli (1) imamo:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Lastnost in znak aritmetične progresije

Lastnost aritmetične progresije. V aritmetični progresiji za katero koli

Z drugimi besedami, vsak člen aritmetične progresije (začenši od drugega) je aritmetična sredina sosednjih članov.

kar je bilo zahtevano.

Na splošno aritmetična progresija an izpolnjuje enakost

a n = a n k+ a n+k

za vsak n > 2 in vsak naravni k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Izkazalo se je, da formula (2) služi ne le kot nujen, temveč tudi kot zadosten pogoj, da je zaporedje aritmetična progresija.

Znak za aritmetično progresijo. Če enakost (2) velja za vse n > 2, potem je zaporedje an aritmetična progresija.

Dokaz. Prepišimo formulo (2) na naslednji način:

a na n 1= a n+1a n:

Iz tega lahko vidimo, da razlika an+1 an ni odvisna od n, kar natanko pomeni, da je zaporedje an aritmetična progresija.

Lastnost in znak aritmetične progresije je mogoče oblikovati v obliki ene izjave; Zaradi udobja bomo to storili za tri številke(to je situacija, ki se pogosto pojavi pri težavah).

Karakterizacija aritmetične progresije. Tri števila a, b, c tvorijo aritmetično progresijo, če in samo če je 2b = a + c.

Problem 2. (MSU, Ekonomska fakulteta, 2007) Tri števila 8x, 3 x2 in 4 v navedenem vrstnem redu tvorijo padajočo aritmetično progresijo. Poiščite x in označite razliko te progresije.

rešitev. Po lastnosti aritmetične progresije imamo:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Če je x = 1, potem dobimo padajočo progresijo 8, 2, 4 z razliko 6. Če je x = 5, potem dobimo naraščajočo progresijo 40, 22, 4; ta primer ni primeren.

Odgovor: x = 1, razlika je 6.

Vsota prvih n členov aritmetične progresije

Legenda pravi, da je nekega dne učitelj otrokom rekel, naj poiščejo vsoto števil od 1 do 100, in tiho sedel in bral časopis. Vendar je v nekaj minutah en fant rekel, da je rešil težavo. To je bil 9-letni Carl Friedrich Gauss, pozneje eden največjih matematikov v zgodovini.

Ideja malega Gaussa je bila naslednja. Pustiti

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Zapišimo ta znesek v obratnem vrstnem redu:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

in dodajte ti dve formuli:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Vsak izraz v oklepaju je enak 101, skupno pa je torej 100 izrazov

2S = 101 100 = 10100;

To idejo uporabimo za izpeljavo formule vsote

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Uporabno modifikacijo formule (3) dobimo, če vanjo nadomestimo formulo n-tega člena an = a1 + (n 1)d:

Naloga 3. Poiščite vsoto vseh pozitivnih trimestnih števil, deljivih s 13.

rešitev. Trimestna števila, ki so večkratniki 13, tvorijo aritmetično napredovanje, pri čemer je prvi člen 104, razlika pa 13; N-ti člen tega napredovanja ima obliko:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Ugotovimo, koliko členov vsebuje naše napredovanje. Če želite to narediti, rešimo neenakost:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Torej, v našem napredovanju je 69 članov. S formulo (4) najdemo zahtevano količino:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Prva stopnja

Aritmetična progresija. Podrobna teorija s primeri (2019)

Zaporedje številk

Torej, usedimo se in začnimo pisati nekaj številk. Na primer:
Napišete lahko poljubne številke in jih je lahko poljubno (v našem primeru jih je). Ne glede na to, koliko števil napišemo, vedno lahko povemo, katera je prva, katera druga in tako naprej do zadnje, torej jih lahko oštevilčimo. To je primer številskega zaporedja:

Zaporedje številk
Na primer za naše zaporedje:

Dodeljena številka je specifična samo za eno številko v zaporedju. Z drugimi besedami, v zaporedju ni treh drugih številk. Drugo število (tako kot th) je vedno enako.
Število s številom se imenuje th člen zaporedja.

Običajno imenujemo celotno zaporedje z neko črko (na primer,), in vsak člen tega zaporedja je ista črka z indeksom, ki je enak številu tega člena: .

V našem primeru:

Recimo, da imamo številsko zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi števili enaka in enaka.
Na primer:

itd.
To številsko zaporedje imenujemo aritmetična progresija.
Izraz »progresija« je uvedel rimski avtor Boecij že v 6. stoletju in ga je razumel v širšem smislu kot neskončno številčno zaporedje. Ime "aritmetika" je bilo preneseno iz teorije zveznih razmerij, ki so jo preučevali stari Grki.

To je številsko zaporedje, katerega vsak člen je enak prejšnjemu, dodanemu istemu številu. To število imenujemo razlika aritmetične progresije in je označeno.

Poskusite ugotoviti, katera številska zaporedja so aritmetična progresija in katera ne:

a)
b)
c)
d)

Razumem? Primerjajmo naše odgovore:
je aritmetična progresija - b, c.
Ni aritmetična progresija - a, d.

Vrnimo se k dani progresiji () in poskusimo najti vrednost njenega th člena. obstaja dva način, kako ga najti.

1. Metoda

Število napredovanja lahko dodajamo prejšnji vrednosti, dokler ne dosežemo th člena napredovanja. Še dobro, da nimamo veliko za povzemati - samo tri vrednosti:

Torej je th člen opisane aritmetične progresije enak.

2. Metoda

Kaj pa, če bi morali najti vrednost th člena napredovanja? Seštevanje bi nam vzelo več kot eno uro in ni dejstvo, da se pri seštevanju številk ne bi zmotili.
Seveda so se matematiki domislili načina, da prejšnji vrednosti ni treba dodajati razlike aritmetične progresije. Pobližje si oglejte narisano sličico ... Zagotovo ste že opazili določen vzorec in sicer:

Na primer, poglejmo, iz česa je sestavljena vrednost th člena te aritmetične progresije:


Z drugimi besedami:

Poskusite na ta način sami poiskati vrednost člana dane aritmetične progresije.

Ste izračunali? Primerjajte svoje zapiske z odgovorom:

Upoštevajte, da ste dobili popolnoma enako število kot v prejšnji metodi, ko smo prejšnji vrednosti zaporedno dodali člene aritmetičnega napredovanja.
Poskusimo "depersonalizirati" to formulo - postavimo jo v splošno obliko in dobimo:

Aritmetične progresije so lahko naraščajoče ali padajoče.

Povečanje- progresije, pri katerih je vsaka naslednja vrednost členov večja od prejšnje.
Na primer:

Sestopanje- progresije, pri katerih je vsaka naslednja vrednost členov manjša od prejšnje.
Na primer:

Izpeljana formula se uporablja pri izračunu členov v naraščajočih in padajočih členih aritmetične progresije.
Preverimo to v praksi.
Dobili smo aritmetično progresijo, sestavljeno iz naslednjih števil: Preverite, kakšno bo th število te aritmetične progresije, če za izračun uporabimo našo formulo:

Od takrat:

Tako smo prepričani, da formula deluje tako v padajoči kot v naraščajoči aritmetični progresiji.
Poskusite sami poiskati th in th člen te aritmetične progresije.

Primerjajmo rezultate:

Lastnost aritmetične progresije

Zakomplicirajmo problem – izpeljali bomo lastnost aritmetične progresije.
Recimo, da imamo naslednji pogoj:
- aritmetična progresija, poiščite vrednost.
Enostavno, rečete in začnete šteti po formuli, ki jo že poznate:

Naj, ah, potem pa:

Popolnoma prav. Izkazalo se je, da najprej najdemo, nato dodamo prvi številki in dobimo, kar iščemo. Če je progresija predstavljena z majhnimi vrednostmi, potem ni nič zapletenega, kaj pa, če so nam v pogoju podane številke? Strinjam se, obstaja možnost napake pri izračunih.
Zdaj pomislite, ali je mogoče ta problem rešiti v enem koraku s katero koli formulo? Seveda da, in to je tisto, kar bomo zdaj poskušali razkriti.

Zahtevani člen aritmetične progresije označimo tako, da nam je formula za iskanje znana - to je ista formula, ki smo jo izpeljali na začetku:
, potem:

• prejšnji izraz napredovanja je:
• naslednji člen napredovanja je:

Povzemimo prejšnje in nadaljnje pogoje napredovanja:

Izkazalo se je, da je vsota prejšnjega in naslednjih členov napredovanja dvojna vrednost člena napredovanja, ki se nahaja med njima. Z drugimi besedami, da bi našli vrednost napredovalnega izraza z znanimi prejšnjimi in zaporednimi vrednostmi, jih morate sešteti in deliti z.

Tako je, dobili smo isto številko. Zavarujmo material. Vrednost za napredovanje izračunajte sami, sploh ni težko.

Dobro opravljeno! O napredovanju veš skoraj vse! Najti je treba samo eno formulo, ki jo je po legendi zlahka izvedel eden največjih matematikov vseh časov, "kralj matematikov" - Karl Gauss ...

Ko je bil Carl Gauss star 9 let, je učiteljica, zaposlena s preverjanjem dela učencev v drugih razredih, v razredu vprašala naslednja naloga: “Preštej vsoto vseh naravnih števil od do (po drugih virih do) vključno.” Predstavljajte si učiteljevo presenečenje, ko je eden od njegovih učencev (to je bil Karl Gauss) minuto pozneje dal pravilen odgovor na nalogo, medtem ko je večina pogumnih sošolcev po dolgih izračunih dobila napačen rezultat ...

Mladi Carl Gauss je opazil določen vzorec, ki ga zlahka opazite tudi vi.
Recimo, da imamo aritmetično progresijo, sestavljeno iz -th členov: Najti moramo vsoto teh členov aritmetične progresije. Seveda lahko ročno seštejemo vse vrednosti, a kaj, če naloga zahteva iskanje vsote njegovih členov, kot je iskal Gauss?

Upodabljajmo napredovanje, ki nam je dano. Pobliže si oglejte označena števila in poskusite z njimi izvajati različne matematične operacije.


Ste poskusili? Kaj ste opazili? Prav! Njuni vsoti sta enaki

Zdaj pa mi povejte, koliko je takih parov skupaj v napredovanju, ki nam je dano? Seveda natanko polovica vseh številk, tj.
Na podlagi dejstva, da je vsota dveh členov aritmetične progresije enaka, podobni pari pa enaki, dobimo, da je skupna vsota enaka:
.
Tako bo formula za vsoto prvih členov katerega koli aritmetičnega napredovanja:

Pri nekaterih težavah ne poznamo th-tega člena, poznamo pa razliko napredovanja. Poskusite zamenjati formulo th člena v formulo vsote.
Kaj si dobil?

Dobro opravljeno! Zdaj pa se vrnimo k problemu, ki je bil zastavljen Carlu Gaussu: sami izračunajte, čemu je enaka vsota števil, ki se začnejo s th, in vsota števil, ki se začnejo s th.

Koliko si dobil?
Gauss je ugotovil, da je vsota členov enaka in vsota členov. Ste se tako odločili?

Pravzaprav je formulo za vsoto členov aritmetične progresije dokazal starogrški znanstvenik Diofant že v 3. stoletju in ves ta čas so duhoviti ljudje v celoti izkoristili lastnosti aritmetične progresije.
Predstavljajte si na primer Stari Egipt in največji gradbeni podvig tistega časa – gradnjo piramide... Slika prikazuje njeno eno stran.

Kje je tu napredek, pravite? Pozorno poglejte in poiščite vzorec v številu peščenih blokov v vsaki vrsti stene piramide.


Zakaj ne aritmetična progresija? Izračunajte, koliko blokov je potrebnih za gradnjo ene stene, če so bloki opeke postavljeni na dno. Upam, da ne boste šteli med premikanjem prsta po monitorju, se spomnite zadnje formule in vsega, kar smo povedali o aritmetični progresiji?

V tem primeru je napredovanje videti takole: .
Razlika aritmetične progresije.
Število členov aritmetične progresije.
Nadomestimo naše podatke v zadnje formule (izračunajte število blokov na 2 načina).

1. metoda.

Metoda 2.

In zdaj lahko izračunate na monitorju: primerjajte dobljene vrednosti s številom blokov, ki so v naši piramidi. Razumem? Bravo, obvladali ste vsoto n-tih členov aritmetičnega napredovanja.
Seveda ne morete zgraditi piramide iz blokov na dnu, ampak iz? Poskusite izračunati, koliko peščenih opek je potrebnih za gradnjo stene s tem pogojem.
Vam je uspelo?
Pravilen odgovor je bloki:

Usposabljanje

Naloge:

1. Maša se pripravlja na poletje. Vsak dan poveča število počepov za. Kolikokrat bo Maša naredila počepe v enem tednu, če je počepe naredila na prvem treningu?
2. Kakšna je vsota vseh lihih števil v.
3. Drvarji pri skladiščenju polen zlagajo tako, da je v vsaki zgornji plasti en polen manj kot v prejšnji. Koliko brun je v enem zidu, če je temelj zidu bruna?

odgovori:

1. Določimo parametre aritmetične progresije. V tem primeru
   (tedni = dnevi).

   odgovor:Čez dva tedna naj Maša dela počepe enkrat na dan.

2. najprej liho število, zadnja številka.
   Razlika aritmetične progresije.
   Število lihih števil je polovica, vendar preverimo to dejstvo s formulo za iskanje th člena aritmetičnega napredovanja:

   Številke vsebujejo liha števila.
   Zamenjajmo razpoložljive podatke v formulo:

   odgovor: Vsota vseh lihih števil v je enaka.

3. Spomnimo se problema o piramidah. Za naš primer je a , ker je vsaka zgornja plast zmanjšana za en dnevnik, potem je skupaj kup plasti, tj.
   Zamenjajmo podatke v formulo:

   odgovor: V zidu so hlodi.

Naj povzamemo

1. - številsko zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi števili enaka in enaka. Lahko se povečuje ali zmanjšuje.
2. Iskanje formule 3. člen aritmetičnega napredovanja zapišemo s formulo - , kjer je število števil v napredovanju.
3. Lastnost članov aritmetične progresije- - kjer je število števil v napredovanju.
4. Vsota členov aritmetične progresije lahko najdete na dva načina:
   
   , kjer je število vrednosti.

ARITMETIČNA PROGRESIJA. POVPREČNA STOPNJA

Zaporedje številk

Usedimo se in začnimo pisati nekaj številk. Na primer:

Napišete lahko poljubne številke in lahko jih je poljubno veliko. Vedno pa lahko rečemo, katera je prva, katera druga in tako naprej, se pravi, da jih lahko oštevilčimo. To je primer številskega zaporedja.

Zaporedje številk je niz številk, od katerih je vsakemu mogoče dodeliti edinstveno številko.

Z drugimi besedami, vsako število je mogoče povezati z določenim naravnim številom in edinstvenim. In te številke ne bomo dodelili nobeni drugi številki iz tega niza.

Število s številko imenujemo th člen zaporedja.

Običajno imenujemo celotno zaporedje z neko črko (na primer,), in vsak člen tega zaporedja je ista črka z indeksom, ki je enak številu tega člena: .

Zelo priročno je, če lahko th člen zaporedja podamo z neko formulo. Na primer, formula

nastavi zaporedje:

In formula je naslednje zaporedje:

Na primer, aritmetična progresija je zaporedje (prvi člen je enak, razlika pa je). Ali (, razlika).

Formula n-ti člen

Formulo imenujemo ponavljajoča se, v kateri morate, da bi ugotovili th člen, poznati prejšnjega ali več prejšnjih:

Da bi našli na primer th člen napredovanja s to formulo, bomo morali izračunati prejšnjih devet. Na primer, pustite. Nato:

No, je zdaj jasno, kakšna je formula?

V vsaki vrstici dodamo, pomnožimo z določeno številko. Kateri? Zelo preprosto: to je številka trenutnega člana minus:

Zdaj je veliko bolj priročno, kajne? Preverjamo:

Odločite se sami:

V aritmetični progresiji poiščite formulo za n-ti člen in poiščite stoti člen.

rešitev:

Prvi izraz je enak. Kakšna je razlika? Evo kaj:

(Zato se imenuje razlika, ker je enaka razliki zaporednih členov napredovanja).

Torej, formula:

Potem je stoti člen enak:

Kolikšna je vsota vseh naravnih števil od do?

Po legendi je veliki matematik Carl Gauss kot 9-letni deček v nekaj minutah izračunal to količino. Opazil je, da sta vsota prvega in zadnjega števila enaka, vsota drugega in predzadnjega enaka, vsota tretjega in 3. od konca itd. Koliko je teh parov skupaj? Tako je, točno polovica števila vseh števil, torej. Torej,

Splošna formula za vsoto prvih členov katerega koli aritmetičnega napredovanja bo:

primer:
Poiščite vsoto vseh dvomestna števila, večkratniki.

rešitev:

Prva taka številka je ta. Vsako naslednje število dobimo s seštevanjem prejšnjega števila. Tako števila, ki nas zanimajo, tvorijo aritmetično progresijo s prvim členom in razliko.

Formula th člena za to napredovanje:

Koliko členov je v progresiji, če morajo biti vsi dvomestni?

Zelo enostavno: .

Zadnji člen napredovanja bo enak. Nato vsota:

Odgovor: .

Zdaj se odločite sami:

1. Vsak dan športnik preteče več metrov kot prejšnji dan. Koliko skupno kilometrov bo pretekel v tednih, če je prvi dan pretekel km m?
2. Kolesar vsak dan prevozi več kilometrov kot prejšnji dan. Prvi dan je prevozil km. Koliko dni mora potovati, da premaga kilometer? Koliko kilometrov bo prevozil v zadnjem dnevu svojega potovanja?
3. Vsako leto se za toliko zniža cena hladilnika v trgovini. Ugotovite, za koliko se je vsako leto znižala cena hladilnika, če je bil dan v prodajo za rublje šest let kasneje prodan za rublje.

odgovori:

1. Pri tem je najpomembnejše prepoznati aritmetično progresijo in določiti njene parametre. V tem primeru (tedni = dnevi). Določiti morate vsoto prvih členov tega napredovanja:
   .
   odgovor:
2. Tukaj je podano: , je treba najti.
   Očitno morate uporabiti isto formulo vsote kot v prejšnjem problemu:
   .
   Zamenjajte vrednosti:

   Koren očitno ne ustreza, zato je odgovor.
   Izračunajmo pot, prevoženo v zadnjem dnevu, z uporabo formule th člena:
   (km).
   odgovor:

3. Podano: . Najti: .
   Ne more biti bolj preprosto:
   (drgniti).
   odgovor:

ARITMETIČNA PROGRESIJA. NA KRATKO O GLAVNEM

To je številsko zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi številkami enaka in enaka.

Aritmetična progresija je lahko naraščajoča () in padajoča ().

Na primer:

Formula za iskanje n-tega člena aritmetične progresije

se zapiše s formulo, kjer je število števil v progresiji.

Lastnost članov aritmetične progresije

Omogoča vam enostavno iskanje člena progresije, če so njegovi sosednji členi znani - kje je število števil v progresiji.

Vsota členov aritmetične progresije

Znesek lahko najdete na dva načina:

Kje je število vrednosti.

Kje je število vrednosti.

Kaj glavna točka formule?

Ta formula vam omogoča iskanje kaj PO NJEGOVI ŠTEVILKI" n" .

Seveda je treba poznati tudi prvi izraz a 1 in razlika v napredovanju d, no, brez teh parametrov ne morete zapisati določenega napredovanja.

Pomnjenje (ali pisanje) te formule ni dovolj. Razumeti morate njeno bistvo in formulo uporabiti pri različnih težavah. Pa tudi da ne pozabiš v pravem trenutku, ja...) Kako ne pozabi- Nevem. In tukaj kako si zapomnitiČe bo treba, vam bom zagotovo svetoval. Za tiste, ki dokončajo lekcijo do konca.)

Torej, poglejmo formulo za n-ti člen aritmetičnega napredovanja.

Kaj sploh je formula? Mimogrede, poglejte, če niste prebrali. Tam je vse preprosto. Še vedno je treba ugotoviti, kaj je n-ti izraz.

Napredovanje na splošno lahko zapišemo kot niz števil:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- označuje prvi člen aritmetične progresije, a 3- tretji član, a 4- četrti in tako naprej. Če nas zanima peti mandat, recimo, da delamo s a 5, če sto dvajseti - s a 120.

Kako ga lahko na splošno opredelimo? kajčlen aritmetičnega napredovanja, s kajštevilka? Zelo preprosto! Všečkaj to:

a n

Tako je n-ti člen aritmetične progresije.Črka n skriva vse številke članov hkrati: 1, 2, 3, 4 itd.

In kaj nam tak zapis daje? Samo pomislite, namesto številke so zapisali črko ...

Ta zapis nam daje močno orodje za delo z aritmetično progresijo. Uporaba notacije a n, lahko hitro najdemo kajčlan kaj aritmetična progresija. In rešiti kup drugih težav pri napredovanju. Dalje se boste prepričali sami.

V formuli za n-ti člen aritmetičnega napredovanja:

a 1- prvi člen aritmetične progresije;

n- članska številka.

Formula povezuje ključne parametre katerega koli napredovanja: a n ; a 1; d in n. Vse težave pri napredovanju se vrtijo okoli teh parametrov.

Formulo n-tega člena lahko uporabite tudi za zapis določenega napredovanja. Težava lahko na primer pravi, da je napredovanje določeno s pogojem:

a n = 5 + (n-1) 2.

Takšna težava je lahko slepa ulica ... Ni niti niza niti razlike ... Toda če primerjamo stanje s formulo, je enostavno razumeti, da v tem napredovanju a 1 =5 in d=2.

In lahko je še slabše!) Če vzamemo enak pogoj: a n = 5 + (n-1) 2, Da, odprite oklepaje in prinesite podobne? Dobimo novo formulo:

a n = 3 + 2n.

to Samo ne splošno, ampak za določen napredek. Tu se skriva past. Nekateri mislijo, da je prvi člen trojka. Čeprav je v resnici prvi člen pet ... Malo nižje bomo delali s tako spremenjeno formulo.

Pri težavah z napredovanjem obstaja še en zapis - a n+1. To je, kot ste uganili, "n plus prvi" člen napredovanja. Njegov pomen je preprost in neškodljiv.) To je član napredovanja, katerega število je za ena večje od števila n. Na primer, če v neki težavi vzamemo a n peti mandat torej a n+1 bo šesti član. itd.

Najpogosteje oznaka a n+1 najdemo v ponavljajočih se formulah. Ne bojte se te strašne besede!) To je samo način izražanja člana aritmetičnega napredovanja skozi prejšnjega. Recimo, da imamo aritmetično progresijo v tej obliki z uporabo ponavljajoče se formule:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Četrti - skozi tretji, peti - skozi četrti in tako naprej. Kako lahko takoj štejemo recimo dvajseti mandat? a 20? Ampak ni možnosti!) Dokler ne ugotovimo 19. termina, ne moremo šteti 20. To je to temeljna razlika rekurentna formula iz formule n-tega člena. Ponavljajoče deluje samo skozi prejšnjičlen, formula n-tega člena pa je skozi prvi in dovoljuje takoj poiščite katerega koli člana po njegovi številki. Brez izračuna celotnega niza števil po vrstnem redu.

V aritmetični progresiji je ponavljajočo se formulo enostavno spremeniti v navadno. Preštejte par zaporednih členov, izračunajte razliko d, poiščite, če je treba, prvi člen a 1, zapišite formulo v njeni običajni obliki in delajte z njo. Takšne naloge se pogosto srečujejo v Državni akademiji znanosti.

Uporaba formule za n-ti člen aritmetične progresije.

Najprej si poglejmo neposredno uporabo formule. Na koncu prejšnje lekcije je prišlo do težave:

Podana je aritmetična progresija (a n). Poiščite 121, če je a 1 =3 in d=1/6.

Ta problem je mogoče rešiti brez kakršnih koli formul, preprosto na podlagi pomena aritmetičnega napredovanja. Dodaj in dodajaj ... Uro ali dve.)

In po formuli bo rešitev trajala manj kot minuto. Lahko ga merite.) Odločimo se.

Pogoji zagotavljajo vse podatke za uporabo formule: a 1 =3, d=1/6.Še vedno je treba ugotoviti, kaj je enako n. Brez problema! Moramo najti a 121. Torej pišemo:

Prosim, bodite pozorni! Namesto indeksa n pojavilo se je točno določeno število: 121. Kar je povsem logično.) Zanima nas člen aritmetične progresije. številka sto enaindvajset. To bo naše n. To je pomen n= 121 bomo nadomestili naprej v formulo, v oklepajih. V formulo nadomestimo vse številke in izračunamo:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

To je to. Prav tako hitro bi se našel petsto deseti člen, tisoč tretjina pa katerikoli. Namesto tega smo postavili nželeno številko v indeksu poleg črke " a" in v oklepaju, in štejemo.

Naj vas spomnim na bistvo: ta formula vam omogoča, da najdete kajčlen aritmetične progresije PO NJEGOVI ŠTEVILKI" n" .

Rešimo problem na bolj zvit način. Naj naletimo na naslednjo težavo:

Poiščite prvi člen aritmetične progresije (a n), če je a 17 =-2; d=-0,5.

Če imate kakršne koli težave, vam povem prvi korak. Zapiši formulo za n-ti člen aritmetičnega napredovanja! Da Da. Zapišite z rokami, kar v svoj zvezek:

In zdaj, ko pogledamo črke formule, razumemo, katere podatke imamo in kaj manjka? Na voljo d=-0,5, tam je sedemnajsti član... Je to to? Če mislite, da je to to, potem ne boste rešili problema, ja ...

Še vedno imamo številko n! V stanju a 17 =-2 skrit dva parametra. To je hkrati vrednost sedemnajstega člena (-2) in njegovo število (17). Tisti. n=17. Ta »malenkost« pogosto zdrsne mimo glave in brez nje (brez »malenkosti«, ne glave!) problema ni mogoče rešiti. Čeprav ... tudi brez glave.)

Zdaj lahko svoje podatke preprosto neumno nadomestimo s formulo:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

o ja, a 17 vemo, da je -2. V redu, zamenjajmo:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

To je v bistvu vse. Iz formule je treba izraziti prvi člen aritmetičnega napredovanja in ga izračunati. Odgovor bo: a 1 = 6.

Ta tehnika – zapis formule in preprosta zamenjava znanih podatkov – je odlična pomoč pri preprostih opravilih. No, seveda moraš znati spremenljivko izraziti iz formule, a kaj storiti!? Brez te veščine se matematike morda sploh ne bo dalo učiti ...

Še ena priljubljena uganka:

Poiščite razliko aritmetične progresije (a n), če je a 1 =2; a 15 =12.

Kaj počnemo? Presenečeni boste, mi pišemo formulo!)

Poglejmo, kaj vemo: a 1 =2; a 15 =12; in (še posebej bom poudaril!) n=15. To lahko nadomestite s formulo:

12=2 + (15-1)d

Delamo aritmetiko.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

To je pravilen odgovor.

Torej, naloge za a n, a 1 in d odločila. Vse, kar ostane, je naučiti se najti številko:

Število 99 je člen aritmetične progresije (a n), kjer je a 1 =12; d=3. Poiščite številko tega člana.

V formulo n-tega člena nadomestimo znane količine:

a n = 12 + (n-1) 3

Na prvi pogled sta tu dve neznani količini: a n in n. Ampak a n- to je neki člen progresije s številko n... In tega člana napredovanja poznamo! 99 je. Ne vemo njegove številke. n, To številko je torej tisto, kar morate najti. V formulo nadomestimo člen progresije 99:

99 = 12 + (n-1) 3

Izražamo iz formule n, mislimo. Dobimo odgovor: n=30.

In zdaj problem na isto temo, vendar bolj ustvarjalen):

Ugotovi, ali je število 117 člen aritmetične progresije (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Ponovno zapišimo formulo. Kaj, ni parametrov? Hm ... Zakaj so nam dane oči?) Ali vidimo prvi člen napredovanja? Vidimo. To je -3,6. Lahko mirno napišete: a 1 = -3,6. Razlika d lahko določiš iz serije? Enostavno je, če veste, kakšna je razlika aritmetičnega napredovanja:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Torej, naredili smo najpreprostejšo stvar. Ostaja še ukvarjanje z neznano številko n in nerazumljivo število 117. Pri prejšnji nalogi je bilo vsaj znano, da je bil podan člen progresije. Tukaj pa sploh ne vemo ... Kaj storiti!? No, kako biti, kako biti ... Vklopite svoje ustvarjalne sposobnosti!)

mi domnevam da je 117 navsezadnje član našega napredovanja. Z neznano številko n. In, tako kot v prejšnjem problemu, poskusimo najti to številko. Tisti. napišemo formulo (da, da!)) in nadomestimo naše številke:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Spet izražamo iz formulen, preštejemo in dobimo:

Ups! Številka se je izkazala ulomek! Sto ena in pol. In ulomkov v progresijah ne more biti. Kakšen zaključek lahko naredimo? ja! Številka 117 ničlan našega napredovanja. Je nekje med sto prvim in sto drugim terminom. Če se je številka izkazala za naravno, tj. je pozitivno celo število, potem bi bilo število član progresije z najdenim številom. In v našem primeru bo odgovor na problem: št.

Na podlagi naloge prava možnost GIA:

Aritmetična progresija je podana s pogojem:

a n = -4 + 6,8n

Poiščite prvi in ​​deseti člen napredovanja.

Tu je napredovanje zastavljeno na nenavaden način. Nekakšna formula ... Se zgodi.) Vendar pa je ta formula (kot sem napisal zgoraj) - tudi formula za n-ti člen aritmetične progresije! Ona tudi dovoljuje poiščite katerega koli člana progresije po njegovem številu.

Iščemo prvega člana. Tisti, ki misli. da je prvi člen minus štiri, je usodna napaka!) Ker je formula v nalogi spremenjena. Prvi člen aritmetičnega napredovanja v njem skrit. V redu je, zdaj ga bomo našli.)

Tako kot v prejšnjih težavah zamenjamo n=1 v to formulo:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Tukaj! Prvi člen je 2,8, ne -4!

Na enak način iščemo deseti člen:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

To je to.

In zdaj, za tiste, ki so prebrali te vrstice, obljubljeni bonus.)

Recimo, da ste v težki bojni situaciji državnega izpita ali enotnega državnega izpita pozabili uporabno formulo za n-ti člen aritmetičnega napredovanja. Nečesa se spomnim, a nekako negotovo ... Oz n tja, oz n+1, oz n-1... Kako biti!?

umirjeno! To formulo je enostavno izpeljati. Ne zelo strogo, ampak za samozavest in prava odločitev vsekakor dovolj!) Za zaključek je dovolj, da se spomnite osnovnega pomena aritmetičnega napredovanja in imate nekaj minut časa. Samo narisati morate sliko. Za jasnost.

Nariši številsko premico in na njej označi prvo. drugi, tretji itd. člani. In ugotavljamo razliko d med člani. Všečkaj to:

Pogledamo sliko in razmišljamo: čemu je enak drugi člen? drugič eno d:

a 2 =a 1 + 1 d

Kaj je tretji izraz? Tretjiččlen je enak prvemu členu plus dva d.

a 3 =a 1 + 2 d

Ali razumeš? Ni zaman, da nekatere besede poudarjam s krepkim tiskom. V redu, še en korak).

Kaj je četrti izraz? Četrtiččlen je enak prvemu členu plus tri d.

a 4 =a 1 + 3 d

Čas je, da spoznamo, da število vrzeli, tj. d, Nenehno enega manj od števila članov, ki jih iščete n. Se pravi na število n, število presledkov volja n-1. Zato bo formula (brez sprememb!):

Na splošno so vizualne slike zelo koristne pri reševanju številnih problemov v matematiki. Ne zanemarjajte slik. Če pa je težko narisati sliko, potem ... samo formula!) Poleg tega vam formula n-tega člena omogoča, da z rešitvijo povežete celoten močan arzenal matematike - enačbe, neenakosti, sisteme itd. V enačbo ne moreš vstaviti slike ...

Naloge za samostojno reševanje.

Za ogrevanje:

1. V aritmetični progresiji (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Poiščite 3.

Namig: po sliki je problem rešljiv v 20 sekundah... Po formuli izpade težje. Toda za obvladovanje formule je bolj uporabno.) V razdelku 555 je ta problem rešen z uporabo slike in formule. Občutite razliko!)

In to ni več ogrevanje.)

2. V aritmetični progresiji (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Poišči a 3 .

Kaj, ne želite risati slike?) Seveda! Bolje po formuli, ja...

3. Aritmetična progresija je podana s pogojem:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Poiščite sto petindvajseti člen tega napredovanja.

V tej nalogi je napredovanje določeno na ponavljajoč se način. Toda štetje do sto petindvajsetega člena ... Ni vsakdo sposoben takšnega podviga.) Toda formula n-tega člena je v moči vsakega!

4. Glede na aritmetično progresijo (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Poiščite število najmanjšega pozitivnega člena progresije.

5. Glede na pogoje naloge 4 poiščite vsoto najmanjšega pozitivnega in največjega negativnega člena progresije.

6. Zmnožek petega in dvanajstega člena naraščajoče aritmetične progresije je enak -2,5, vsota tretjega in enajstega člena pa je enaka nič. Poiščite 14.

Ni najlažja naloga, ja ...) Metoda "s prstom" tukaj ne bo delovala. Napisati boste morali formule in rešiti enačbe.

Odgovori (v neredu):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Se je zgodilo? Lepo je!)

Ne uspe vse? Se zgodi. Mimogrede, v zadnji nalogi je ena subtilna točka. Pri branju problema bo potrebna previdnost. In logika.

Rešitev vseh teh težav je podrobno obravnavana v razdelku 555. In element fantazije za četrto in subtilna točka za šesto ter splošni pristopi za reševanje kakršnih koli težav, ki vključujejo formulo n-tega člena - vse je opisano. Priporočam.

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Koncept številskega zaporedja pomeni, da vsako naravno število ustreza neki realni vrednosti. Takšna vrsta števil je lahko poljubna ali ima določene lastnosti - napredovanje. V slednjem primeru lahko vsak naslednji element (člen) zaporedja izračunamo s prejšnjim.

Aritmetična progresija je zaporedje številskih vrednosti, v katerem se njeni sosednji člani med seboj razlikujejo za isto število (vsi elementi serije, začenši z 2., imajo podobno lastnost). To število - razlika med prejšnjim in naslednjim členom - je konstantno in se imenuje progresijska razlika.

Razlika v napredovanju: definicija

Razmislite o zaporedju, sestavljenem iz j vrednosti A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j pripada množici naravnih števil N. Aritmetika progresija je po definiciji zaporedje, v katerem je a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Vrednost d je želena razlika tega napredovanja.

d = a(j) – a(j-1).

Poudarek:

• Naraščajoče napredovanje, v tem primeru je d > 0. Primer: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Zmanjševanje napredovanja, nato d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresija razlike in njeni poljubni elementi

Če sta znana 2 poljubna člena napredovanja (i-th, k-th), potem lahko razliko za dano zaporedje določimo na podlagi razmerja:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, kar pomeni d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Razlika v napredovanju in njegovem prvem členu

Ta izraz bo pomagal določiti neznano vrednost samo v primerih, ko je znana številka elementa zaporedja.

Razlika napredovanja in njena vsota

Vsota progresije je vsota njenih členov. Za izračun skupne vrednosti prvih j elementov uporabite ustrezno formulo:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ampak ker a(j) = a(1) + d(j – 1), potem je S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.