Raziščite dane funkcije z uporabo metod diferencialnega računa na spletu. MOJI spretni potovalni zapiski

Na tej strani smo poskušali za vas zbrati najbolj popolne informacije o študiju funkcije. Nič več Googlanja! Samo preberite, preučite, prenesite, sledite izbranim povezavam.

Splošna zasnova študije

Čemu služi? sprašujete, ali obstaja veliko storitev, ki bodo ustvarjene za najbolj izpopolnjene funkcije? Da bi ugotovili lastnosti in značilnosti dane funkcije: kako se obnaša v neskončnosti, kako hitro spreminja predznak, kako gladko ali ostro narašča ali pada, kam so usmerjene "grbe" konveksnosti, kam vrednosti niso definirani itd.

In na podlagi teh "lastnosti" je zgrajena postavitev grafa - slika, ki je pravzaprav sekundarna (čeprav je za izobraževalne namene pomembna in potrjuje pravilnost vaše odločitve).

Začnimo seveda z načrt. Funkcijska študija - volumetrični problem(morda najobsežnejši med tradicionalnimi tečaji višje matematike, običajno od 2 do 4 strani, vključno z risbo), zato, da ne pozabimo, kaj storiti v kakšnem vrstnem redu, sledimo spodaj opisanim točkam.

Algoritem

Poiščite domeno definicije. Izberite posebne točke (prelomne točke).
Preverite prisotnost navpičnih asimptot na točkah diskontinuitete in na mejah območja definicije.
Poiščite presečišča s koordinatnimi osemi.
Ugotovite, ali je funkcija soda ali liha.
Ugotovite, ali je funkcija periodična ali ne (samo za trigonometrične funkcije).
Poiščite ekstremne točke in intervale monotonosti.
Poiščite prevojne točke in konveksno-konkavne intervale.
Poiščite poševne asimptote. Raziščite obnašanje v neskončnosti.
Izberite dodatne točke in izračunajte njihove koordinate.
Sestavi graf in asimptote.

IN različnih virov(učbeniki, priročniki, predavanja vašega učitelja) ima seznam lahko drugačno obliko od tega: nekatere postavke so zamenjane, kombinirane z drugimi, skrajšane ali odstranjene. Prosimo, da pri odločitvi upoštevate zahteve/preference vašega učitelja.

Študijski diagram v formatu pdf: prenos.

Celoten primer rešitve na spletu

Ravnanje popolna raziskava in narišite funkcijo $$ y(x)=\frac(x^2+8)(1-x). $$

1) Domena funkcije. Ker je funkcija ulomek, moramo poiskati ničle imenovalca. $$1-x=0, \quad \Rightarrow \quad x=1.$$ Iz domene definicije funkcije izključimo edino točko $x=1$ in dobimo: $$ D(y)=(-\ infty; 1) \cup (1;+\infty). $$

2) Preučimo obnašanje funkcije v bližini diskontinuitetne točke. Poiščimo enostranske meje:

Ker so meje enake neskončnosti, je točka $x=1$ diskontinuiteta druge vrste, premica $x=1$ je navpična asimptota.

3) Določite točke presečišča grafa funkcije s koordinatnimi osemi.

Poiščemo presečišča z ordinatno osjo $Oy$, za katere enačimo $x=0$:

Tako ima presečišče z osjo $Oy$ koordinate $(0;8)$.

Poiščemo presečišča z abscisno osjo $Ox$, za katere smo postavili $y=0$:

Enačba je brez korenin, zato ni presečišč z osjo $Ox$.

Upoštevajte, da $x^2+8>0$ za vsak $x$. Zato za $x \in (-\infty; 1)$ funkcija $y>0$ (vzame pozitivne vrednosti, graf je nad absciso), pri $x \in (1; +\infty)$ funkcija $y\lt 0$ (zavzema negativne vrednosti, graf je pod absciso).

4) Funkcija ni niti soda niti liha, saj:

5) Funkcijo preverimo glede periodičnosti. Funkcija ni periodična, saj je delno racionalna funkcija.

6) Funkcijo preverimo na ekstreme in monotonost. Da bi to naredili, najdemo prvi derivat funkcije:

Izenačimo prvi odvod na nič in poiščemo stacionarne točke(v katerem $y"=0$):

Imamo tri kritične točke: $x=-2, x=1, x=4$. Razdelimo celotno domeno definicije funkcije na intervale s temi točkami in v vsakem intervalu določimo predznake odvoda:

Za $x \in (-\infty; -2), (4;+\infty)$ je odvod $y" \lt 0$, tako da funkcija pada na teh intervalih.

Ko je $x \in (-2; 1), (1;4)$ odvod $y" >0$, funkcija narašča na teh intervalih.

V tem primeru je $x=-2$ točka lokalnega minimuma (funkcija pada in nato narašča), $x=4$ je lokalna točka maksimuma (funkcija narašča in nato pada).

Poiščimo vrednosti funkcije na teh točkah:

Tako je najnižja točka $(-2;4)$, najvišja točka pa $(4;-8)$.

7) Funkcijo preučimo za pregibe in konveksnost. Poiščimo drugi odvod funkcije:

Izenačimo drugi odvod na nič:

Nastala enačba je brez korenin, zato ni prevojnih točk. Poleg tega, ko je $x \in (-\infty; 1)$ izpolnjeno $y"" \gt 0$, kar pomeni, da je funkcija konkavna, ko je $x \in (1;+\infty)$ izpolnjeno $ y"" \ lt 0$, kar pomeni, da je funkcija konveksna.

8) Oglejmo si obnašanje funkcije v neskončnosti, to je pri .

Ker so meje neskončne, ni horizontalnih asimptot.

Poskusimo določiti poševne asimptote oblike $y=kx+b$. Vrednosti $k, b$ izračunamo po znanih formulah:

Ugotovili smo, da ima funkcija eno poševno asimptoto $y=-x-1$.

9) Dodatne točke. Izračunajmo vrednost funkcije na nekaterih drugih točkah, da lahko natančneje sestavimo graf.

$$ y(-5)=5,5; \quad y(2)=-12; \quad y(7)=-9,5. $$

10) Na podlagi pridobljenih podatkov bomo zgradili graf, ga dopolnili z asimptotami $x=1$ (modra), $y=-x-1$ (zelena) in označili karakteristične točke (vijolično presečišče z ordinatno osjo, oranžni ekstremi, črne dodatne točke):

Primeri rešitev raziskovanja funkcij

Različne funkcije (polinomi, logaritmi, ulomki) imajo lastne značilnosti med raziskovanjem(diskontinuitete, asimptote, število ekstremov, omejeno območje definicije), zato smo tukaj poskušali zbrati testne primere za preučevanje funkcij najpogostejših vrst. Zabavajte se pri učenju!

Naloga 1. Raziščite funkcijo z metodami diferencialnega računa in zgradite graf.

$$y=\frac(e^x)(x).$$

Naloga 2. Raziščite funkcijo in zgradite njen graf.

$$y=-\frac(1)(4)(x^3-3x^2+4).$$

Naloga 3. Raziščite funkcijo z uporabo njene izpeljanke in narišite graf.

$$y=\ln \frac(x+1)(x+2).$$

Naloga 4. Izvedite popolno študijo funkcije in narišite graf.

$$y=\frac(x)(\sqrt(x^2+x)).$$

Naloga 5. Raziščite funkcijo z diferencialnim računom in zgradite graf.

$$y=\frac(x^3-1)(4x^2).$$

Naloga 6. Preglejte funkcijo za ekstreme, monotonost, konveksnost in zgradite graf.

$$y=\frac(x^3)(x^2-1).$$

Naloga 7. Izvedite študijo funkcije z risanjem grafa.

$$y=\frac(x^3)(2(x+5)^2).$$

Kako zgraditi grafikon na spletu?

Tudi če učitelj od vas zahteva, da oddate nalogo, ročno napisano, z risbo na listu papirja v škatli, vam bo izjemno koristno, da med odločitvijo v posebnem programu (ali storitvi) zgradite graf, da preverite potek rešitve, primerjate njen videz s tem, kar je pridobljeno ročno, in morda našli napake v svojih izračunih (ko se grafi očitno obnašajo drugače).

Spodaj boste našli več povezav do spletnih mest, ki vam omogočajo izdelavo priročne, hitre, lepe in seveda brezplačne grafike za skoraj vsako funkcijo. Pravzaprav je takih storitev veliko več, a ali se splača pogledati, če so izbrane najboljše?

Grafični kalkulator Desmos

Druga povezava je praktična za tiste, ki se želijo naučiti sestavljati čudovite grafikone na Desmos.com (glejte opis zgoraj): Popolna navodila za delo z Desmosom. To navodilo je precej staro, od takrat se je spremenil vmesnik spletnega mesta boljša stran, vendar osnove ostajajo nespremenjene in vam bodo pomagale hitro razumeti pomembne funkcije storitev.

Uradna navodila, primere in video navodila v angleščini najdete tukaj: Learn Desmos.

Rešebnik

Potrebujete nujno opravljeno nalogo? Več kot sto različnih funkcij s popolno raziskavo že čaka na vas. Podrobna rešitev, hitro plačilo preko SMS in nizka cena- blizu 50 rubljev. Je morda vaša naloga že pripravljena? Preverite!

Uporabni videi

Webinar o delu z Desmos.com. To je že popoln pregled funkcij spletnega mesta, kar 36 minut. Na žalost je vključen angleški jezik, a osnovno znanje jezika in pozornost zadostujeta, da večino razumemo.

Kul stari poljudnoznanstveni film "Matematika. Funkcije in grafi." Razlage na dosegu roke v dobesednem pomenu besede, same osnove.

Preučimo funkcijo $y= \frac(x^3)(1-x) $ in zgradimo njen graf.

1. Obseg opredelitve.
Področje definicije racionalne funkcije (ulomka) bo: imenovalec ni enak nič, tj. $1 -x \ne 0 => x \ne 1$. Domena $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. Prelomne točke funkcij in njihova klasifikacija.
Funkcija ima eno prelomno točko x = 1
Oglejmo si točko x= 1. Poiščimo limito funkcije desno in levo od diskontinuitetne točke, desno $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1 -x)) = -\infty $$ in levo od točke $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ To je točka diskontinuitete druge vrste, ker enostranske omejitve so enake $\infty$.

Premica $x = 1$ je navpična asimptota.

3. Funkcijska pariteta.
Preverimo pariteto $f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) $ funkcija ni niti soda niti liha.

4. Ničle funkcije (presečišča z osjo Ox). Intervali konstantnega predznaka funkcije.
Funkcijske ničle ( točka presečišča z osjo Ox): enačimo $y=0$, dobimo $\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 $. Krivulja ima eno presečišče z osjo Ox s koordinatami $(0;0)$.

Intervali konstantnega predznaka funkcije.
Na obravnavanih intervalih $(-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$ ima krivulja eno presečišče z osjo Ox, zato bomo področje definicije obravnavali na treh intervalih.

Določimo predznak funkcije na intervalih definicijskega področja:
interval $(-\infty; 0) $ poiščite vrednost funkcije v kateri koli točki $f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 $, на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0 $, т.е. находится ниже оси Ox
interval $(0; 1) $ najdemo vrednost funkcije v kateri koli točki $f(0,5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 $, na tem intervalu je funkcija pozitivno $f(x ) > 0 $, tj. se nahaja nad osjo Ox.
interval $(1;+\infty) $ poiščite vrednost funkcije v kateri koli točki $f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 $, на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0 $, т.е. находится ниже оси Ox

5. Presečišča z osjo Oy: enačimo $x=0$, dobimo $f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0$. Koordinate presečišča z osjo Oy $(0; 0)$

6. Intervali monotonije. Ekstremi funkcije.
Poiščimo kritične (stacionarne) točke, za to poiščemo prvi odvod in ga enačimo na nič $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1 -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ enako 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Poiščimo vrednost funkcije na tej točki $ f(0) = 0$ in $f(\frac(3)(2)) = -6,75$. Dobili smo dve kritični točki s koordinatama $(0;0)$ in $(1,5;-6,75)$

Intervali monotonije.
Funkcija ima dve kritični točki (možni ekstremni točki), zato bomo obravnavali monotonost na štirih intervalih:
interval $(-\infty; 0) $ poiščite vrednost prvega odvoda na kateri koli točki v intervalu $f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2) >
interval \((0;1)$ najdemo vrednost prvega odvoda na kateri koli točki v intervalu $f(0,5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0$ , funkcija narašča v tem intervalu.
interval $(1;1,5)$ najdemo vrednost prvega odvoda na kateri koli točki v intervalu $f(1,2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0$ , funkcija narašča v tem intervalu.
interval $(1,5; +\infty)$ poiščite vrednost prvega odvoda na kateri koli točki v intervalu $f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0$, на этом интервале функция убывает.

Ekstremi funkcije.

Pri proučevanju funkcije smo dobili dve kritični (stacionarni) točki na intervalu definicijskega področja. Ugotovimo, ali so skrajnosti. Oglejmo si spremembo predznaka odvoda pri prehodu skozi kritične točke:

točka $x = 0$ izpeljanka spremeni predznak z $\quad +\quad 0 \quad + \quad$ - točka ni ekstrem.
točka $x = 1,5$ izpeljanka spremeni predznak z $\quad +\quad 0 \quad - \quad$ - točka je največja točka.

7. Intervali konveksnosti in konkavnosti. Prevojne točke.

Za iskanje intervalov konveksnosti in konkavnosti poiščemo drugi odvod funkcije in ga enačimo z nič $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$Enako na nič $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1 -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Funkcija ima eno kritično točko druge vrste s koordinatami $(0;0)$ .
Definirajmo konveksnost na intervalih definicijskega področja, pri čemer upoštevamo kritično točko druge vrste (točko možnega prevoja).

interval $(-\infty; 0)$ poiščite vrednost drugega odvoda v kateri koli točki $f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 $, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f""(x) < 0 $ - функция выпуклая вверх (вогнутая).
interval $(0; 1)$ najdemo vrednost drugega odvoda v kateri koli točki $f""(0,5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 $, na tem intervalu je drugi odvod funkcije pozitiven $f""(x) > 0 $ funkcija je konveksna navzdol (konveksna).
interval $(1; \infty)$ poiščite vrednost drugega odvoda v kateri koli točki $f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 $, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f""(x) < 0 $ - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Prevojne točke.

Oglejmo si spremembo predznaka drugega odvoda pri prehodu skozi kritično točko druge vrste:
V točki $x =0$ drugi odvod spremeni predznak z $\quad - \quad 0 \quad + \quad$, graf funkcije spremeni konveksnost, tj. to je prevojna točka s koordinatami $(0;0)$.

8. Asimptote.

Navpična asimptota. Graf funkcije ima eno navpično asimptoto $x =1$ (glej odstavek 2).
Poševna asimptota.
Da bi imel graf funkcije $y= \frac(x^3)(1-x) $ pri $x \to \infty$ poševno asimptoto $y = kx+b$ , je nujno in zadostno , tako da obstajata dve meji $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$najdemo $$ \lim_(x \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ in druga meja $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, ker $k = \infty$ - ni poševne asimptote.

Horizontalna asimptota: da bi horizontalna asimptota obstajala, je nujno, da obstaja meja $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ poiščimo jo $$ \lim_(x \to +\infty )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ infty$$
Horizontalne asimptote ni.

9. Funkcijski graf.