Ko minus krat minus da plus. Dejanja z minusom

"Sovražnik mojega sovražnika je moj prijatelj"

Zakaj je minus ena krat minus ena enako plus ena? Zakaj je minus ena krat plus ena enako minus ena? Najlažje je odgovoriti: »Ker so takšna pravila delovanja mimo negativna števila" Pravila, ki se jih naučimo v šoli in jih uporabljamo vse življenje. Učbeniki pa ne pojasnjujejo, zakaj so pravila takšna, kot so. Najprej bomo to poskušali razumeti na podlagi zgodovine razvoja aritmetike, nato pa bomo na to vprašanje odgovorili z vidika sodobne matematike.

Pred davnimi časi so ljudje poznali samo naravna števila: uporabljali so jih za štetje pripomočkov, plena, sovražnikov itd. Številke same po sebi pa so precej neuporabne - z njimi je treba znati ravnati. Seštevanje je jasno in razumljivo, poleg tega pa je naravno število tudi vsota dveh naravnih števil (matematik bi rekel, da je množica naravnih števil sklenjena glede na operacijo seštevanja). Množenje je v bistvu enako seštevanju, če govorimo o naravnih številih. V življenju pogosto izvajamo dejanja, povezana s tema dvema operacijama (na primer pri nakupovanju seštevamo in množimo), in nenavadno je misliti, da so se naši predniki z njimi srečevali manj pogosto - seštevanje in množenje je človeštvo obvladalo zelo dolgo nazaj. Pogosto morate nekatere količine deliti z drugimi, vendar tukaj rezultat ni vedno izražen kot naravno število - tako ulomkov.

Seveda tudi brez odštevanja ne gre. Toda v praksi običajno odštejemo manjše število od večjega števila in ni treba uporabljati negativnih števil. (Če imam sladkarije in jih dam svoji sestri, mi bo ostalo nekaj sladkarij, vendar ji jih ne morem dati, tudi če bi jih hotel.) To lahko pojasni, zakaj ljudje že dolgo ne uporabljajo negativnih števil.

Negativna števila se v indijskih dokumentih pojavljajo od 7. stoletja našega štetja; Kitajci so jih očitno začeli uporabljati nekoliko prej. Uporabljali so jih za obračun dolgov ali v vmesnih izračunih za poenostavitev reševanja enačb – to je bilo le orodje za pridobitev pozitivnega odgovora. Močno nezaupanje je povzročilo dejstvo, da negativna števila za razliko od pozitivnih ne izražajo prisotnosti nobene entitete. Ljudje so se dobesedno izogibali negativnim številom: če je imela težava negativen odgovor, so verjeli, da odgovora sploh ni. To nezaupanje je trajalo zelo dolgo in celo Descartes - eden od "utemeljiteljev" moderne matematike - jih je označil za "lažne" (v 17. stoletju!).

Vzemimo enačbo kot primer.

Rešimo ga lahko tako: člene z neznanko premaknemo na levo stran, ostale pa na desno, izkaže se , , .

S to rešitvijo sploh nismo naleteli na negativna števila. Vendar je bilo mogoče pomotoma narediti drugače: člene z neznanko premakniti na desno stran in dobiti , .Če želite najti neznanko, morate eno negativno število deliti z drugim: . Toda pravilen odgovor je znan in še vedno je treba sklepati, da . Kaj dokazuje ta preprost primer? Prvič, postane jasna logika, ki je določala pravila za dejanja na negativnih številih: rezultati teh dejanj morajo sovpadati z odgovori, ki so pridobljeni na drugačen način, brez negativnih števil. Drugič, z dovoljenjem uporabe negativnih števil se znebimo dolgočasnega (če se enačba izkaže za bolj zapleteno, z

Pravila za delovanje z negativnimi števili niso nastala takoj, ampak so postala posplošitev številnih primerov, ki so se pojavili pri reševanju uporabnih problemov. Na splošno lahko razvoj matematike razdelimo na stopnje: vsaka naslednja faza se razlikuje od prejšnje z novo stopnjo abstrakcije pri preučevanju predmetov. Tako so matematiki v 19. stoletju spoznali, da imajo cela števila in polinomi kljub vsem zunanjim razlikam veliko skupnega: oboje je mogoče seštevati, odštevati in množiti. Za te operacije veljajo iste zakonitosti – tako v primeru števil kot v primeru polinomov. Toda deljenje celih števil eno z drugim, tako da je rezultat spet cela števila, ni vedno mogoče. Enako je s polinomi.

Nato so bili odkriti drugi nizi matematičnih objektov, na katerih bi lahko izvajali takšne operacije: formalne potenčne vrste, zvezne funkcije ... Končno je prišlo do razumevanja, da če preučujete lastnosti samih operacij, potem lahko rezultate uporabite za vse te množice predmetov (ta pristop je značilen za vso sodobno matematiko).

Posledično se je pojavil nov koncept: prstan. To je le niz elementov in dejanj, ki jih je mogoče izvesti na njih. Temeljna pravila tukaj so ravno pravila (imenujejo se aksiomi), ki so jim podvržena dejanja, in ne narava elementov nabora (tukaj je, nova raven abstrakcije!). V želji poudariti, da je pomembna struktura, ki nastane po uvedbi aksiomov, matematiki pravijo: obroč celih števil, obroč polinomov itd. Izhajajoč iz aksiomov je mogoče izpeljati druge lastnosti obročev.

Oblikovali bomo aksiome obroča (ki so seveda podobni pravilom za delovanje s celimi števili) in nato dokazali, da v vsakem obroču množenje minusa z minusom ustvari plus.

Obroč je niz z dvema binarnima operacijama (to pomeni, da vsaka operacija vključuje dva elementa obroča), ki ju tradicionalno imenujemo seštevanje in množenje, in naslednjimi aksiomi:

Upoštevajte, da obroči v najsplošnejši konstrukciji ne zahtevajo niti komutabilnosti množenja niti njegove invertibilnosti (to pomeni, da delitve ni mogoče vedno izvesti) niti obstoja enote - nevtralnega elementa pri množenju. Če uvedemo te aksiome, dobimo različne algebraične strukture, vendar bodo v njih vsi izreki, dokazani za obroče, resnični.

Zdaj pa dokažimo, da za vse elemente in poljuben obroč velja, prvič, , In drugič, .

Za to bomo morali ugotoviti nekaj dejstev. Najprej dokažemo, da ima lahko vsak element samo eno nasprotje. Pravzaprav naj ima element dve nasprotji: in .

To je . Razmislimo o znesku.

Z uporabo asociativnih in komutativnih zakonov ter lastnosti ničle ugotovimo, da je vsota na eni strani enaka , na drugi strani pa .

Pomeni,.

Upoštevajte zdaj, da sta oba in nasprotja istega elementa, zato morata biti enaka.

Prvo dejstvo se izkaže takole: to je, da je nasprotno, kar pomeni, da je enako.
Če želimo biti matematično strogi, razložimo tudi, zakaj za kateri koli element.

Pravzaprav .

To pomeni, da dodajanje ne spremeni količine. To pomeni, da je ta produkt enak nič.

In dejstvo, da je v obroču natanko ena ničla (navsezadnje aksiomi pravijo, da tak element obstaja, nič pa ne pove o njegovi edinstvenosti!), bomo bralcu prepustili kot preprosto vajo. Evgenij Epifanov"Elementi" Komentarji: 0 Jacques Sesiano V dveh tisočletjih je prišlo do treh pomembnih širitev numerične domene. Prvič, okoli leta 450 pr. Znanstveniki iz pitagorejske šole so dokazali obstoj iracionalnih števil. Njihovo začetni cilj

je bil

številski izraz diagonale enotskega kvadrata. Drugič, v XIII-XV stoletju so evropski znanstveniki reševali sisteme linearne enačbe , dopuščal možnost ene negativne odločitve. In tretjič, leta 1572 je italijanski algebraist Raphael Bombelli uporabil kompleksna števila, da bi dobil pravo rešitev določene kubične enačbe. Proskuryakov I. V.

Namen te knjige je strogo opredeliti števila, polinome in algebraične ulomke ter utemeljiti njihove že iz šole znane lastnosti in ne seznanjati bralca z novimi lastnostmi. Zato bralec tu ne bo našel dejstev, ki so mu nova (mogoče z izjemo nekaterih lastnosti, realnih in kompleksnih števil), ampak bo izvedel, kako se dokazujejo stvari, ki so mu dobro znane, začenši z "dvakrat je štiri" in ki se konča s pravili delovanja s polinomi And

algebrski ulomki . Toda bralec se bo seznanil s številnimi splošni pojmi

, ki igra pomembno vlogo v algebri.

To bodo štiri kratke zgodbe. Začeli bomo s številkami, nato bomo govorili o gibanju, o spremembah, nato bomo razpravljali o oblikah in velikostih, nato pa o začetku in koncu. V tem nekoliko šifriranem slogu bomo skušali pogledati matematiko od znotraj in od zunaj ter prav kot predmet. O čem razmišljajo in živijo matematiki - o tem lahko govorimo kasneje.

Vladlen Timorin

Matematik Vladlen Timorin o prednostih kompleksnih števil, Hamiltonovih kvaternionih, osemdimenzionalnih Cayleyevih številih in raznolikosti števil v geometriji.

To pomeni, da dodajanje ne spremeni količine. To pomeni, da je ta produkt enak nič.

O Diofantu vemo malo. Mislim, da je živel v Aleksandriji. Nihče od grških matematikov ga ne omenja pred 4. stoletjem, zato je verjetno živel sredi 3. stoletja. Najbolj glavno delo Diofant, »Aritmetika« (Ἀριθμητικά), je potekala v začetku 13 »knjig« (βιβλία), to je poglavij. Danes jih imamo 10, in sicer: 6 v grškem besedilu in 4 druge v srednjeveškem arabskem prevodu, katerih mesto je v sredini grških knjig: knjige I-III v grščini, IV-VII v arabščini, VIII-X. v grščini. Diofantova "Aritmetika" je predvsem zbirka problemov, skupaj približno 260. Resnici na ljubo ni teorije; obstajajo le splošna navodila v uvodu knjige in zasebni komentarji pri nekaterih problemih, kadar je to potrebno. »Aritmetika« ima že značilnosti algebraične razprave. Prvič uporablja Diofant različna znamenja izražati neznanko in njene moči, tudi nekaj računanj; tako kot vsa algebraična simbolika srednjega veka, njena simbolika izvira iz matematičnih besed. Nato Diofant razloži, kako algebraično rešiti problem. Toda Diofantovi problemi niso algebraični v običajnem smislu, saj se skoraj vsi zvodijo na reševanje nedoločene enačbe ali sistemov takih enačb.

Svet matematike je nepredstavljiv brez njih – brez praštevil. Kaj se je zgodilo praštevila kaj so na njih posebnega in kakšen pomen imajo vsakdanjem življenju? V tem filmu bo britanski profesor matematike Marcus du Sautoy razkril skrivnost praštevil.

Georgij Šabat

V šoli nam vsi vcepljajo zmotno idejo, da na množici racionalnih števil Q obstaja edinstvena naravna razdalja (modul razlike), glede na katero so vse aritmetične operacije zvezne. Obstaja pa tudi neskončno število razdalj, tako imenovanih p-adičnih, ena za vsako število p. Po teoremu Ostrovskega “navadna” distanca skupaj z vsemi p-adičnimi že v resnici izčrpa vse razumne distance Q. Izraz adelična demokracija je uvedel Yu I. Manin. V skladu z načelom adelne demokracije so vse razumne razdalje na Q enake pred zakoni matematike (morda le tradicionalno "malo=nekoliko enako ..."). z vsemi temi razdaljami hkrati.

Vladimir Arnold

J. L. Lagrange je dokazal, da je zaporedje nepopolnih količnikov (ki se začnejo z določenega mesta) periodično, če in samo če je število x kvadratna iracionalnost. R. O. Kuzmin je dokazal, da je v zaporedju nepopolnih količnikov skoraj katerega koli realnega števila ulomek d_m, ki je enak m nepopolnim količnikom, enak (za tipična realna števila). Ulomek d_m pada kot m→∞ kot 1/m^2 in njegovo vrednost je napovedal Gauss (ki ni dokazal ničesar). V.I. Arnold je (pred 20 leti) izrazil hipotezo, da Gauss–Kuzminova statistika d_m velja tudi za obdobja zveznih ulomkov korenov. kvadratne enačbe x^2+px+q=0 (s celim številom p in q): če skupaj zapišemo nepopolne količnike, ki sestavljajo periode vseh zveznih ulomkov korenov takih enačb s p^2+q^2≤R ^2, potem se bo delež nepopolnega kvocienta m med njimi nagibal k številu d_m kot R→∞. V. A. Bykovsky in njegovi učenci iz Habarovska so nedavno dokazali to dolgoletno hipotezo. Kljub temu vprašanje statistike ne črk, temveč iz njih sestavljenih besed, ki so periode zveznih ulomkov poljubnih x korenov enačb x^2+px+q=0, še zdaleč ni rešeno.

Reed Miles

Naslov in povzetek pustim čim bolj nejasna, da lahko govorim o vsem, kar se mi na dan zdi. Številne sorte, ki so zanimive za klasifikacijo sort, so pridobljene kot Spec ali Proj Gorensteinovega obroča. V kodimenziji ⩽3 dobro znana strukturna teorija zagotavlja eksplicitne metode računanja z Gorensteinovimi obroči. Nasprotno pa ni uporabne teorije strukture za obroče kodimenzije ⩾4. Kljub temu v mnogih primerih Gorensteinova projekcija (in njena inverzna, Kustin–Millerjeva neprojekcija) zagotavlja metode za napad na te obroče. Te metode veljajo za občasne razrede kanoničnih obročev pravilnih algebrskih površin in za bolj sistematične konstrukcije Q-Fano 3-kratnikov, Sarkisovljevih povezav med njimi in 3-kratnih preobratov tipa A Mori teorije.

Minus in plus sta znaka negativnih in pozitivnih števil v matematiki. Sami s seboj komunicirajo drugače, zato je treba pri izvajanju kakršnih koli operacij s številkami, na primer deljenja, množenja, odštevanja, seštevanja itd., upoštevati pravila znaka. Brez teh pravil nikoli ne boste mogli rešiti niti najpreprostejšega algebrskega ali geometrijskega problema. Brez poznavanja teh pravil ne boste mogli študirati ne le matematike, ampak tudi fizike, kemije, biologije in celo geografije.

Oglejmo si podrobneje osnovna pravila znakov.

Delitev.

Če »plus« delimo z »minusom«, vedno dobimo »minus«. Če »minus« delimo s »plusom«, vedno dobimo tudi »minus«. Če »plus« delimo s »plus«, dobimo »plus«. Če »minus« delimo z »minusom«, potem nenavadno dobimo tudi »plus«.

Množenje.

Če pomnožimo "minus" s "plus", vedno dobimo "minus". Če »plus« pomnožimo z »minusom«, vedno dobimo tudi »minus«. Če pomnožimo "plus" s "plus", dobimo pozitivno število, to je "plus". Enako velja za dve negativni števili. Če "minus" pomnožimo z "minusom", dobimo "plus".

Odštevanje in seštevanje.

Temeljijo na različnih principih. Če je negativno število v absolutni vrednosti večje od našega pozitivnega, potem bo rezultat seveda negativen. Zagotovo se sprašujete, kaj je modul in zakaj je sploh tukaj. Je zelo preprosto. Modul je vrednost števila, vendar brez predznaka. Na primer -7 in 3. Modulo -7 bo preprosto 7, 3 pa bo ostal 3. Kot rezultat vidimo, da je 7 večje, to pomeni, da se izkaže, da je naše negativno število večje. Tako se izkaže -7+3 = -4. Lahko se naredi še bolj preprosto. Samo daj pozitivno število na prvo mesto, pa se bo izkazalo 3-7 = -4, morda je to komu bolj jasno. Odštevanje deluje po popolnoma istem principu.

Ali pravilno razumemo množenje?

"- A in B sta sedela na cevi. A je padel, B je izginil, kaj je ostalo na cevi?
"Vaše pismo I ostaja."

(Iz filma "Mladi v vesolju")

Zakaj množenje števila z nič povzroči nič?

7 * 0 = 0

Zakaj z množenjem dveh negativnih števil nastane pozitivno število?

7 * (-3) = + 21

Učitelji najdejo vse, kar lahko, da bi odgovorili na ti dve vprašanji.

A nihče nima poguma priznati, da so v formulaciji množenja tri pomenske napake!

Ali je možna napaka pri osnovni aritmetiki? Navsezadnje se matematika postavlja kot natančna znanost ...

Šolski učbeniki matematike ne dajejo odgovorov na ta vprašanja, razlage nadomeščajo s pravili, ki si jih je treba zapomniti. Morda je to temo težko razložiti v srednji šoli? Poskusimo razumeti ta vprašanja.

7 je množitelj. 3 je množitelj. 21-delo.

Po uradnem besedilu:

pomnožiti število z drugim številom pomeni prišteti toliko množiteljev, kot jih predpisuje množitelj.

V skladu s sprejeto formulacijo nam faktor 3 pove, da bi morale biti na desni strani enakosti tri sedmice.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Toda ta formulacija množenja ne more pojasniti zgoraj zastavljenih vprašanj.

Popravimo besedilo množenja

Ponavadi je pri matematiki veliko mišljenega, a se o tem ne govori in ne zapisuje.

To se nanaša na znak plus pred prvimi sedmimi na desni strani enačbe. Zapišimo ta plus.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Toda čemu je dodano prvih sedem? To seveda pomeni na ničlo. Zapišimo nulo.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

Kaj pa, če pomnožimo s tri minus sedem?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

Zapišemo seštevek množitelja -7, v resnici pa večkrat odštejemo od nič. Odprimo oklepaje.

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

Zdaj lahko podamo prečiščeno formulacijo množenja.

Množenje je postopek večkratnega dodajanja (ali odštevanja od nič) množitelju (-7) tolikokrat, kot kaže množitelj. Množitelj (3) in njegov predznak (+ ali -) označujeta število operacij, ki se dodajo ali odštejejo od nič.

Z uporabo te izpopolnjene in rahlo spremenjene formulacije množenja so preprosto razložena "predznakovalna pravila" za množenje, ko je množitelj negativen.

7 * (-3) - za ničlo morajo biti trije znaki minus = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

7 * (-3) - spet morajo biti trije znaki minus za ničlo =

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Pomnoži z nič

7 * 0 = 0 + ... brez dodatka ničelnim operacijam.

Če je množenje dodatek k ničli in množitelj prikazuje število operacij dodajanja k ničli, potem množitelj nič kaže, da nič ni dodano nič. Zato ostaja nič.

Tako smo v obstoječi formulaciji množenja našli tri semantične napake, ki blokirajo razumevanje dveh "predznakovnih pravil" (ko je množitelj negativen) in množenje števila z ničlo.

Ni vam treba dodati množitelja, ampak ga dodajte ničli.
Množenje ni samo seštevanje na nič, ampak tudi odštevanje od nič.
Množitelj in njegov predznak ne kažeta števila členov, temveč število predznakov plus ali minus pri razgradnji množenja na člene (ali odštete).

Ko smo formulacijo nekoliko razjasnili, smo lahko razložili pravila predznakov za množenje in množenje števila z nič brez pomoči komutativnega zakona množenja, brez distribucijskega zakona, brez vključevanja analogij s številsko premico, brez enačb. , brez dokaza iz nasprotne strani itd.

Pravila znakov za prečiščeno formulacijo množenja so izpeljana zelo preprosto.

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

Množitelj in njegov znak (+3 ali -3) označujeta število znakov "+" ali "-" na desni strani enačbe.

Spremenjena formulacija množenja ustreza operaciji dviga števila na potenco.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2^0 = 1 (ena se ne pomnoži ali deli z ničemer, tako da ostane ena)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Matematiki se strinjajo, da dvig števila na pozitivno potenco pomeni večkratno množenje števila. In dvig številke na negativna stopnja je večkratna delitev enote.

Operacija množenja bi morala biti podobna operaciji potenciranja.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2*0 = 0 (nič ni dodano nič in nič ni odšteto od nič)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

Spremenjena formulacija množenja ne spreminja ničesar v matematiki, ampak vrača prvotni pomen operacije množenja, pojasnjuje "pravila znakov", množenje števila z ničlo in usklajuje množenje s potenciranjem.

Preverimo, ali je naša formulacija množenja skladna z operacijo deljenja.

15: 5 = 3 (obratno množenje 5 * 3 = 15)

Kvocient (3) ustreza številu operacij dodajanja na nič (+3) med množenjem.

Deljenje števila 15 s 5 pomeni ugotoviti, kolikokrat morate 5 odšteti od 15. To se naredi z zaporednim odštevanjem, dokler ne dobimo rezultata nič.

Če želite najti rezultat deljenja, morate prešteti število minusov. Trije so.

15: 5 = 3 operacije odštevanja pet od 15, da dobimo nič.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (delitev 15:5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (množenje 5 * 3)

Deljenje z ostankom.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17: 5 = 3 in 2 ostanek

Če obstaja deljenje z ostankom, zakaj ne bi bilo množenja z dodatkom?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Poglejmo razliko v besedilu na kalkulatorju

Obstoječa formulacija množenja (trije členi).

10 + 10 + 10 = 30

Popravljena formulacija množenja (trije dodatki k ničelnim operacijam).

0 + 10 = = = 30

(Trikrat pritisnite »enako«.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Množitelj 3 pomeni, da je treba množitelj 10 trikrat dodati ničli.

Poskusite pomnožiti (-10) * (-3) tako, da trikrat dodate člen (-10) minus!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

Kaj pomeni znak minus za tri? Morda tako?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

Ops ... Ne morem produkta razstaviti na vsoto (ali razliko) členov (-10).

Spremenjeno besedilo je to pravilno.

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Množitelj (-3) pomeni, da je treba množitelj (-10) trikrat odšteti od nič.

Pravila znaka za seštevanje in odštevanje

Zgoraj smo pokazali preprost način za izpeljavo pravil znakov za množenje s spreminjanjem pomena besedila množenja.

Za zaključek pa smo uporabili pravila znakov za seštevanje in odštevanje. So skoraj enaki kot pri množenju. Ustvarimo vizualizacijo pravil znakov za seštevanje in odštevanje, da jo bo razumel tudi prvošolec.

Kaj je "minus", "negativ"?

V naravi ni nič negativnega. št negativna temperatura, brez negativne smeri, brez negativne mase, brez negativnih nabojev ... Tudi sinus je po svoji naravi lahko samo pozitiven.

Toda matematiki so prišli do negativnih števil. za kaj? Kaj pomeni "minus"?

Znak minus pomeni nasprotno smer. Levo - desno. Zgoraj - spodaj. V smeri urinega kazalca - v nasprotni smeri urinega kazalca. Naprej - nazaj. Hladno - vroče. Lahka - težka. Počasi - hitro. Če pomislite, lahko navedete veliko drugih primerov, kjer je priročno uporabljati negativne vrednosti količine

V svetu, ki ga poznamo, se neskončnost začne od nič in gre do plus neskončnosti.

"Minus neskončnost" v resničnem svetu ne obstaja. To je enaka matematična konvencija kot koncept "minus".

Torej "minus" označuje nasprotno smer: gibanje, vrtenje, proces, množenje, seštevanje. Analizirajmo različne smeri pri seštevanju in odštevanju pozitivnih in negativnih (naraščajočih v drugo smer) števil.

Težave pri razumevanju pravil znakov za seštevanje in odštevanje so posledica dejstva, da so ta pravila običajno razložena na številski premici. Na številski premici se mešajo tri različne komponente, iz katerih izhajajo pravila. In zaradi zmede, zaradi zlaganja različnih pojmov na en kup, nastajajo težave z razumevanjem.

Da bi razumeli pravila, moramo razdeliti:

prvi člen in vsota (bodo na vodoravni osi);
drugi člen (bo na navpični osi);
smer operacij seštevanja in odštevanja.

Ta delitev je jasno prikazana na sliki. Mentalno si predstavljajte, da se navpična os lahko vrti in se prekriva z vodoravno osjo.

Operacija seštevanja se vedno izvede z vrtenjem navpične osi v smeri urinega kazalca (znak plus). Operacija odštevanja se vedno izvede z vrtenjem navpične osi v nasprotni smeri urnega kazalca (predznak minus).

Primer. Diagram v spodnjem desnem kotu.

Vidi se, da sta v bližini dva stoječi znak Znak minus (znak operacije odštevanja in znak števila 3) imata različen pomen. Prvi minus kaže smer odštevanja. Drugi minus je predznak števila na navpični osi.

Poiščite prvi člen (-2) na vodoravni osi. Poiščite drugi člen (-3) na navpični osi. Mentalno zavrtite navpično os v nasprotni smeri urinega kazalca, dokler se (-3) ne poravna s številko (+1) na vodoravni osi. Število (+1) je rezultat seštevanja.

Operacija odštevanja

daje enak rezultat kot operacija seštevanja v diagramu v zgornjem desnem kotu.

Zato lahko dva sosednja znaka minus nadomestimo z enim znakom plus.

Vsi smo navajeni uporabljati že pripravljena aritmetična pravila, ne da bi razmišljali o njihovem pomenu. Zato pogosto sploh ne opazimo, kako se pravila znakov za seštevanje (odštevanje) razlikujejo od pravil znakov za množenje (deljenje). Ali se zdijo enaki? Skoraj ... Na naslednji sliki je vidna majhna razlika.

Zdaj imamo vse, kar potrebujemo za izpeljavo predznakovnih pravil za množenje. Izhodno zaporedje je naslednje.

Nazorno pokažemo, kako dobimo pravila znakov za seštevanje in odštevanje.
Pomensko spremenimo obstoječo formulacijo množenja.
Na podlagi spremenjene formulacije množenja in pravil znakov za seštevanje izpeljemo pravila znakov za množenje.

Opomba.

Spodaj so napisani Pravila znaka za seštevanje in odštevanje, pridobljeno iz vizualizacije. In v rdeči barvi, za primerjavo, ista pravila znakov iz učbenika za matematiko. Sivi plus v oklepaju je nevidni plus, ki se ne piše pri pozitivnem številu.

Med pojmi sta vedno dva znaka: znak za operacijo in znak za številko (ne pišemo plusa, ampak mislimo). Pravila znakov predpisujejo zamenjavo enega para znakov z drugim parom brez spreminjanja rezultata seštevanja (odštevanja). Pravzaprav obstajata samo dve pravili.

Pravili 1 in 3 (za vizualizacijo) - dvojnik pravil 4 in 2.. Pravili 1 in 3 v šolski interpretaciji ne sovpadata z vizualno shemo, zato ne veljata za pravila znakov za dodajanje. To so neka druga pravila...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+).......... + - = - (+) ok

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - = + (+) ok

Šolsko pravilo 1. (rdeča barva) omogoča zamenjavo dveh plusov zapored z enim plusom. Pravilo ne velja za zamenjavo znakov pri seštevanju in odštevanju.

Šolsko pravilo 3. (rdeča) dovoljuje, da po operaciji odštevanja ne zapišete plusa za pozitivno število. Pravilo ne velja za zamenjavo znakov pri seštevanju in odštevanju.

Pomen pravil predznakov za seštevanje je zamenjava enega PARA predznakov z drugim PAR predznakov brez spremembe rezultata seštevanja.

Šolski metodologi so zmešali dve pravili v eno pravilo:

Dva pravila predznakov pri seštevanju in odštevanju pozitivnih in negativnih števil (zamenjava enega para predznakov z drugim parom predznakov);

Dve pravili, da ne pišete znaka plus za pozitivno število.

Dva različna pravila, pomešana v eno, so podobna pravilom predznakov pri množenju, kjer dva predznaka povzročita tretjega. Izgledata popolnoma enako.

Velika zmeda! Še enkrat isto, za boljše razčesavanje. Označimo operacijske znake z rdečo barvo, da jih ločimo od številskih znakov.

1. Seštevanje in odštevanje. Dve predznakovni pravili, po katerih se pari predznakov med pojmi zamenjujejo. Znak operacije in znak številke.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. Dve pravili, po katerih je dovoljeno, da znaka plus za pozitivno število ne pišemo. To so pravila za prijavnico. Ne velja za dodajanje. Pri pozitivnem številu se zapiše samo predznak operacije.

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. Štiri pravila znakov za množenje. Kadar dva znaka dejavnikov povzročita tretji znak produkta. Pravila o znakih za množenje vsebujejo samo znake za številke.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

Zdaj, ko smo ločili pravila oblike, mora biti jasno, da predznakovna pravila za seštevanje in odštevanje niso prav nič podobna predznakovalnim pravilom za množenje.

V. Kozarenko

Dve nikalnici pomenita pritrdilno- To je pravilo, ki smo se ga naučili v šoli in ga uporabljamo vse življenje. In koga od nas je zanimalo zakaj? Seveda si je lažje zapomniti to izjavo, ne da bi postavljali nepotrebna vprašanja in se ne poglobili v bistvo vprašanja. Zdaj je že dovolj informacij, ki jih je treba "prebaviti". Toda za tiste, ki jih to vprašanje še vedno zanima, bomo poskušali podati razlago tega matematičnega pojava.

Že od pradavnine so ljudje uporabljali pozitivna naravna števila: 1, 2, 3, 4, 5,... S števili so šteli živino, pridelke, sovražnike itd. Pri seštevanju in množenju dveh pozitivnih števil so vedno dobili pozitivno število, pri deljenju ene količine z drugo niso vedno dobili naravnih števil - tako so se pojavila ulomka. Kaj pa odštevanje? Že od otroštva vemo, da je bolje k več prišteti manj in od več odšteti manj in spet ne uporabljamo negativnih števil. Izkazalo se je, da če imam 10 jabolk, lahko nekomu dam le manj kot 10 ali 10. Nikakor ne morem dati 13 jabolk, ker jih nimam. Dolgo časa ni bilo potrebe po negativnih številih.

Šele od 7. stoletja našega štetja. Negativna števila so bila v nekaterih sistemih štetja uporabljena kot pomožne količine, ki so omogočile pridobitev pozitivnega števila v odgovoru.

Poglejmo si primer, 6x – 30 = 3x – 9. Za iskanje odgovora je potrebno pustiti člene z neznankami na levi strani, ostale pa na desni: 6x – 3x = 30 – 9, 3x = 21, x = 7 .Pri reševanju te enačbe smo celo Ni bilo negativnih števil. Članke z neznankami bi lahko premaknili na desno stran, brez neznank pa na levo: 9 – 30 = 3x – 6x, (-21) = (-3x). Ko negativno število delimo z negativnim številom, dobimo pozitiven odgovor: x = 7.

Kaj vidimo?

Delo z negativnimi števili bi nas moralo pripeljati do enakega odgovora kot delo samo z pozitivna števila. Ni nam več treba razmišljati o praktični nezmožnosti in smiselnosti dejanj - pomagajo nam rešiti problem veliko hitreje, ne da bi enačbo reducirali na obliko s samo pozitivnimi števili. V našem primeru nismo uporabljali zapletenih izračunov, če pa je izrazov veliko, nam lahko izračuni z negativnimi števili olajšajo delo.

Sčasoma je bilo po dolgotrajnih poskusih in izračunih mogoče prepoznati pravila, ki urejajo vsa števila in operacije z njimi (v matematiki jih imenujemo aksiomi). Od tod je prišlo aksiom, ki pravi, da ko pomnožimo dve negativni števili, dobimo pozitivno število.

blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.

1) Zakaj je minus ena krat minus ena enako plus ena?

2) Zakaj je minus ena krat plus ena enako minus ena?

Sovražnik mojega sovražnika je moj prijatelj

Najlažji odgovor je: "Ker so to pravila za delovanje z negativnimi števili." Pravila, ki se jih naučimo v šoli in jih uporabljamo vse življenje. Učbeniki pa ne pojasnjujejo, zakaj so pravila takšna, kot so. Najprej bomo to poskušali razumeti na podlagi zgodovine razvoja aritmetike, nato pa bomo na to vprašanje odgovorili z vidika sodobne matematike.

Pred davnimi časi so ljudje poznali le naravna števila: 1, 2, 3, ... Uporabljali so jih za štetje pripomočkov, plena, sovražnikov itd. Števila sama po sebi pa so čisto neuporabna - z njimi je treba znati ravnati. Seštevanje je jasno in razumljivo, poleg tega pa je naravno število tudi vsota dveh naravnih števil (matematik bi rekel, da je množica naravnih števil sklenjena glede na operacijo seštevanja). Množenje je v bistvu enako seštevanju, če govorimo o naravnih številih. V življenju pogosto izvajamo dejanja, povezana s tema dvema operacijama (na primer pri nakupovanju seštevamo in množimo), in nenavadno je misliti, da so se naši predniki z njimi srečevali manj pogosto - seštevanje in množenje je človeštvo obvladalo zelo dolgo nazaj. Pogosto morate nekatere količine deliti z drugimi, vendar tukaj rezultat ni vedno izražen kot naravno število - tako so se pojavila ulomna števila.

Seveda tudi brez odštevanja ne gre. Toda v praksi običajno odštejemo manjše število od večjega števila in ni treba uporabljati negativnih števil. (Če imam 5 bonbonov in dam svoji sestri 3, potem mi bo ostalo 5 - 3 = 2 bonbona, vendar ji ne morem dati 7 bonbonov, tudi če hočem.) To lahko pojasni, zakaj ljudje niso uporabili negativnih števil za dolgo časa.

Upoštevajte na primer enačbo 7x – 17 = 2x – 2. To je mogoče rešiti tako: člene z neznanko premaknite na levo stran, ostale pa na desno, izkazalo se bo 7x – 2x = 17 – 2, 5x = 15, x = 3. S to rešitvijo sploh nismo naleteli na negativna števila.

Vendar je bilo mogoče po nesreči narediti drugače: premakniti izraze z neznanko na desno stran in dobiti 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Če želite najti neznanko, morate eno negativno število deliti z drugim: x = (–15)/(–5). Toda pravi odgovor je znan in to je treba še zaključiti (–15)/(–5) = 3 .

Kaj dokazuje ta preprost primer? Prvič, postane jasna logika, ki je določala pravila za delovanje z negativnimi števili: rezultati teh dejanj se morajo ujemati z odgovori, pridobljenimi na drug način, brez negativnih števil. Drugič, z dovoljenjem uporabe negativnih števil se znebimo dolgočasnega (če se enačba izkaže za bolj zapleteno, z velikim številom členov) iskanja rešitve, pri kateri se vsa dejanja izvajajo samo na naravnih številih. Še več, morda ne bomo več vsakič razmišljali o smiselnosti preoblikovanih količin - in to je že korak k temu, da matematiko spremenimo v abstraktno znanost.

Posledično se je pojavil nov koncept: prstan. To je le niz elementov in dejanj, ki jih je mogoče izvesti na njih. Temeljna pravila tukaj so pravila (imenujejo se aksiomi), ki so predmet dejanj in ne narave elementov niza (tukaj je, nova raven abstrakcije!). V želji poudariti, da je pomembna struktura, ki nastane po uvedbi aksiomov, matematiki pravijo: obroč celih števil, obroč polinomov itd. Izhajajoč iz aksiomov je mogoče razbrati druge lastnosti obročev.

Oblikovali bomo aksiome obroča (ki so seveda podobni pravilom za delovanje s celimi števili) in nato dokazali, da v vsakem obroču množenje minusa z minusom ustvari plus.

Prstan je niz z dvema binarnima operacijama (to pomeni, da vsaka operacija vključuje dva elementa obroča), ki ju tradicionalno imenujemo seštevanje in množenje, in naslednjimi aksiomi:

dodajanje elementov obroča je predmet komutativnega ( A + B = B + A za poljubne elemente A in B) in asociativno ( A + (B + C) = (A + B) + C) zakoni; v prstanu je poseben element 0 (nevtralni dodatek), tako da A+0=A, in za kateri koli element A obstaja nasprotni element (označeno (–A)), kaj A + (–A) = 0;
množenje se ravna po kombinacijskem zakonu: A·(B·C) = (A·B)·C;
Seštevanje in množenje sta povezana z naslednjimi pravili za odpiranje oklepajev: (A + B) C = A C + B C in A (B + C) = A B + A C.

Zdaj to dokažemo za vse elemente A in B poljubnega obroča velja, prvič, (–A) B = –(A B), in drugič (–(–A)) = A. Iz tega zlahka sledijo izjave o enotah: (–1) 1 = –(1 1) = –1 in (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1.

Za to bomo morali ugotoviti nekaj dejstev. Najprej dokažemo, da ima lahko vsak element samo eno nasprotje. Pravzaprav naj element A obstajata dve nasprotji: B in Z. To je A + B = 0 = A + C. Razmislimo o znesku A+B+C. Z uporabo asociativnih in komutativnih zakonov ter lastnosti ničle dobimo, da je na eni strani vsota enaka B:B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, na drugi strani pa je enaka C:A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. pomeni, B=C.

Naj zdaj to opazimo A, In (–(–A)) so nasprotja istega elementa (–A), zato morata biti enaka.

Prvo dejstvo gre takole: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, to je (–A)·B nasprotje A·B, kar pomeni, da je enak –(A B).

Če smo matematično strogi, pojasnimo tudi, zakaj 0·B = 0 za katerikoli element B. pravzaprav 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Se pravi dodatek 0·B ne spremeni zneska. To pomeni, da je ta produkt enak nič.

Upoštevajte zdaj, da sta oba in nasprotja istega elementa, zato morata biti enaka.