Matematično pričakovanje je večje od 1. Formula matematičnega pričakovanja

Matematično pričakovanje naključne spremenljivke X je srednja vrednost.

1. M(C) = C

2. M(CX) = CM(X), Kje C= konst

3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y)

4. Če naključne spremenljivke X in Y so neodvisni, torej M(XY) = M(X) M(Y)

Razpršenost

Imenuje se varianca naključne spremenljivke X

D(X) = S(x – M(X)) 2 p = M(X 2 ) – M 2 (X).

Disperzija je merilo odstopanja vrednosti naključne spremenljivke od njene srednje vrednosti.

1. D(C) = 0

2. D(X + C) = D(X)

3. D(CX) = C 2 D(X), Kje C= konst

4. Za neodvisne naključne spremenljivke

D(X ± Y) = D(X) + D(Y)

5. D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(x, y)

Kvadratni koren variance naključne spremenljivke X se imenuje standardni odklon .

@Naloga 3: Naj naključna spremenljivka X zavzame samo dve vrednosti (0 ali 1) z verjetnostjo q, str, Kje p + q = 1. Poiščite matematično pričakovanje in varianco.

rešitev:

M(X) = 1 p + 0 q = p; D(X) = (1 – p) 2 p + (0 – p) 2 q = pq.

@ Naloga 4: Pričakovanje in varianca naključne spremenljivke X sta enaki 8. Poiščite matematično pričakovanje in varianco naključnih spremenljivk: a) X – 4; b) 3X – 4.

Rešitev: M(X – 4) = M(X) – 4 = 8 – 4 = 4; D(X – 4) = D(X) = 8; M(3X – 4) = 3M(X) – 4 = 20; D(3X – 4) = 9D(X) = 72.

@ Problem 5: Celota družin ima naslednjo porazdelitev po številu otrok:

Določite x 1, x 2 in p2, če se ve, da M(X) = 2; D(X) = 0,9.

Rešitev: Verjetnost p 2 je enaka p 2 = 1 – 0,1 – 0,4 – 0,35 = 0,15. Neznanke x najdemo iz enačb: M(X) = x 1 ·0,1 + x 2 ·0,15 + 2·0,4 + 3·0,35 = 2; D(X) = ·0,1 + ·0,15 + 4·0,4 + 9·0,35 – 4 = 0,9. x 1 = 0; x 2 = 1.

Populacija in vzorec. Ocene parametrov

Selektivno opazovanje

Statistično opazovanje Organizirate lahko neprekinjeno in neprekinjeno. Kontinuirano opazovanje vključuje pregled vseh enot proučevane populacije (splošna populacija). Prebivalstvo je skupek fizičnih oz pravne osebe, ki jih raziskovalec proučuje glede na svojo nalogo. To pogosto ni ekonomsko upravičeno in včasih nemogoče. V zvezi s tem se preučuje le del splošne populacije - vzorčna populacija .

Rezultate, pridobljene iz vzorčne populacije, lahko posplošimo na splošno populacijo, če sledimo po načelih:

1. Vzorčno populacijo je treba določiti naključno.

2. Število enot v vzorčni populaciji mora biti zadostno.

3. Mora biti zagotovljena reprezentativnost ( reprezentativnost) vzorca. Reprezentativni vzorec je manjši, a natančen model populacije, ki naj bi jo odražal.

Vzorčne vrste

V praksi se uporabljajo naslednje vrste vzorcev:

a) strogo naključno, b) mehansko, c) tipično, d) serijsko, e) kombinirano.

Pravilno naključno vzorčenje

pri dejanski naključni vzorec izbor enot v vzorčni populaciji poteka naključno, na primer z žrebom ali uporabo generatorja naključnih števil.

Vzorci se lahko ponavljajo ali neponavljajo. Pri ponovnem vzorčenju se vzorčena enota vrne in ohrani enake možnosti za ponovno vzorčenje. Pri neponovljivem vzorčenju populacijska enota, ki je vključena v vzorec, v prihodnje ne sodeluje v vzorcu.

Napake, povezane z opazovanjem vzorčenja, ki nastanejo zaradi dejstva, da vzorčna populacija ne reproducira v celoti splošne populacije, se imenujejo standardne napake . Predstavljajo srednjo kvadratno razliko med vrednostmi kazalnikov, dobljenih iz vzorca, in ustreznimi vrednostmi kazalnikov splošne populacije.

Formule za izračun standardne napake za naključno ponovljeno vzorčenje so naslednje: , za naključno neponovljivo vzorčenje pa naslednje: , kjer je S 2 varianca vzorčne populacije, n/n – vzorčni delež, n, N- število enot v vzorčni in generalni populaciji. pri n = N standardna napaka m = 0.

Mehansko vzorčenje

pri mehansko vzorčenje Populacija je razdeljena na enake intervale in iz vsakega intervala je naključno izbrana ena enota.

Na primer, pri 2-odstotni stopnji vzorčenja je s seznama populacije izbrana vsaka 50. enota.

Standardna napaka mehanskega vzorčenja je opredeljena kot napaka resnično naključnega neponovljivega vzorčenja.

Tipičen vzorec

pri tipični vzorec splošna populacija je razdeljena na homogene tipične skupine, nato pa so iz vsake skupine naključno izbrane enote.

V primeru heterogene populacije se uporabi tipičen vzorec. Tipičen vzorec daje več natančne rezultate, ker je reprezentativnost zagotovljena.

Na primer, učitelji kot splošna populacija so razdeljeni v skupine po naslednjih kriterijih: spol, izkušnje, kvalifikacije, izobrazba, mestni in podeželske šole itd.

Standardne napake tipičnega vzorca so opredeljene kot napake resnično naključnega vzorca, z edino razliko, da S 2 se nadomesti s povprečjem varianc znotraj skupine.

Serijsko vzorčenje

pri serijsko vzorčenje splošna populacija je razdeljena v ločene skupine (serije), nato pa so naključno izbrane skupine podvržene stalnemu opazovanju.

Standardne napake serijskega vzorca so opredeljene kot napake resnično naključnega vzorca, z edino razliko, da S 2 se nadomesti s povprečjem varianc med skupinami.

Kombinirani vzorec

Kombinirani vzorec je kombinacija dveh ali več vrst vzorcev.

Točkovna ocena

Končni cilj vzorčno opazovanje je iskanje značilnosti populacije. Ker tega ni mogoče storiti neposredno, se značilnosti vzorčne populacije razširijo na splošno populacijo.

Temeljna možnost določanja aritmetične sredine populacije iz podatkov povprečni vzorec je dokazano Čebiševljev izrek. Z neomejeno povečavo n verjetnost, da bo razlika med vzorčnim in splošnim povprečjem poljubno majhna, se nagiba k 1.

To pomeni, da značilnosti populacije z natančnostjo . Ta ocena se imenuje točka .

Intervalna ocena

Osnova intervalne ocene je centralni mejni izrek.

Intervalna ocena nam omogoča odgovor na vprašanje: znotraj katerega intervala in s kakšno verjetnostjo se nahaja neznana, želena vrednost populacijskega parametra?

Običajno govorimo o verjetnosti zaupanja str = 1 – a, s katerim bo v intervalu – D< < + D, где D = t cr m > 0 mejna napaka vzorci, a - stopnja pomembnosti (verjetnost, da bo neenakost napačna), t cr- kritična vrednost, ki je odvisna od vrednosti n in a. Za majhen vzorec n< 30 t cr je podana z uporabo kritične vrednosti Studentove t-porazdelitve za dvostranski test z n– 1 prostostne stopnje s stopnjo pomembnosti a ( t cr(n – 1, a) najdete iz tabele "Kritične vrednosti Studentove t-porazdelitve", Dodatek 2). Za n > 30, t cr je kvantil normalnega porazdelitvenega zakona ( t cr najdemo iz tabele vrednosti Laplaceove funkcije F(t) = (1 – a)/2 kot argument). Pri p = 0,954 kritična vrednost t cr= 2 pri p = 0,997 kritične vrednosti t cr= 3. To pomeni, da je mejna napaka običajno 2-3 krat večja od standardne napake.

Bistvo metode vzorčenja je torej v tem, da je mogoče na podlagi statističnih podatkov določenega manjšega dela populacije najti interval, v katerem se z verjetnostjo zaupanja str najde se želena značilnost splošne populacije ( povprečno število delavci, povprečna ocena, povprečna produktivnost, povprečje standardni odklon itd.).

@Naloga 1. Za določitev hitrosti poravnave z upniki podjetij družbe je bil v poslovni banki izveden naključni vzorec 100 plačilnih dokumentov, za katere se je izkazalo, da je povprečni čas prenosa in prejema denarja 22 dni (= 22) z standardni odklon 6 dni (S = 6). Z verjetnostjo str= 0,954 določi največjo napako vzorčnega povprečja in intervala zaupanja povprečno trajanje poravnave podjetij te družbe.

Rešitev: Mejna napaka vzorčnega povprečja glede na(1)enako D= 2· 0,6 = 1,2, interval zaupanja pa je definiran kot (22 – 1,2; 22 + 1,2), tj. (20,8; 23,2).

§6.5 Korelacija in regresija

Značilnosti DSV in njihove lastnosti. Pričakovanje, varianca, standardni odklon

Zakon porazdelitve v celoti karakterizira naključno spremenljivko. Če pa ni mogoče najti distribucijskega zakona ali to ni potrebno, se lahko omejite na iskanje vrednosti, imenovanih numerične značilnosti naključne spremenljivke. Te vrednosti določajo neko povprečno vrednost, okoli katere so razvrščene vrednosti naključne spremenljivke, in stopnjo, do katere so razpršene okoli te povprečne vrednosti.

Matematično pričakovanje Diskretna naključna spremenljivka je vsota produktov vseh možnih vrednosti naključne spremenljivke in njihovih verjetnosti.

Matematično pričakovanje obstaja, če vrsta na desni strani enakosti absolutno konvergira.

Z vidika verjetnosti lahko rečemo, da je matematično pričakovanje približno enako aritmetični sredini opazovanih vrednosti naključne spremenljivke.

Primer. Zakon porazdelitve diskretne naključne spremenljivke je znan. Poiščite matematično pričakovanje.

rešitev:

9.2 Lastnosti matematično pričakovanje

1. Matematično pričakovanje konstantne vrednosti je enako konstanti sami.

2. Konstantni faktor lahko izvzamemo kot znak matematičnega pričakovanja.

3. Matematično pričakovanje produkta dveh neodvisnih naključnih spremenljivk je enako produktu njunih matematičnih pričakovanj.

Ta lastnost velja za poljubno število naključnih spremenljivk.

4. Matematično pričakovanje vsote dveh naključnih spremenljivk je enako vsoti matematičnih pričakovanj členov.

Ta lastnost velja tudi za poljubno število naključnih spremenljivk.

Naj bo opravljenih n neodvisnih poskusov, pri katerih je verjetnost pojava dogodka A enaka p.

Izrek. Matematično pričakovanje M(X) števila pojavitev dogodka A v n neodvisnih poskusih je enako zmnožku števila poskusov in verjetnosti pojava dogodka v vsakem poskusu.

Primer. Poiščite matematično pričakovanje naključne spremenljivke Z, če sta znana matematična pričakovanja X in Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

rešitev:

9.3 Disperzija diskretne slučajne spremenljivke

Vendar pa matematično pričakovanje ne more v celoti opisati naključnega procesa. Poleg matematičnega pričakovanja je potrebno vnesti vrednost, ki označuje odstopanje vrednosti naključne spremenljivke od matematičnega pričakovanja.

To odstopanje je enako razliki med naključno spremenljivko in njenim matematičnim pričakovanjem. V tem primeru je matematično pričakovanje odstopanja nič. To je razloženo z dejstvom, da so nekatera možna odstopanja pozitivna, druga negativna in kot posledica njihovega medsebojnega preklica dobimo nič.

Disperzija (razpršenost) diskretne naključne spremenljivke je matematično pričakovanje kvadrata odstopanja naključne spremenljivke od njenega matematičnega pričakovanja.

V praksi je ta metoda izračuna variance neprijetna, ker vodi do okornih izračunov za veliko število vrednosti naključnih spremenljivk.

Zato se uporablja druga metoda.

Izrek. Varianca je enaka razliki med matematičnim pričakovanjem kvadrata naključne spremenljivke X in kvadratom njenega matematičnega pričakovanja..

Dokaz. Ob upoštevanju dejstva, da sta matematično pričakovanje M(X) in kvadrat matematičnega pričakovanja M2(X) konstantni količini, lahko zapišemo:

Primer. Poiščite varianco diskretne naključne spremenljivke, ki jo določa distribucijski zakon.

Rešitev: .

9.4 Disperzijske lastnosti

1. Varianca konstantne vrednosti je nič. .

2. Konstantni faktor lahko vzamemo iz disperzijskega predznaka tako, da ga kvadriramo. .

3. Varianca vsote dveh neodvisnih slučajnih spremenljivk je enaka vsoti varianc teh spremenljivk. .

4. Varianca razlike med dvema neodvisnima naključnima spremenljivkama je enaka vsoti varianc teh spremenljivk. .

Izrek. Varianca števila pojavitev dogodka A v n neodvisnih poskusih, pri vsakem od katerih je verjetnost p pojava dogodka konstantna, je enaka zmnožku števila poskusov z verjetnostmi pojava in ne- pojav dogodka v vsakem poskusu.

9.5 Standardni odklon diskretne naključne spremenljivke

Standardni odklon se imenuje naključna spremenljivka X Kvadratni koren iz disperzije.

Izrek. Standardni odklon vsote končnega števila medsebojno neodvisnih naključnih spremenljivk je enak kvadratnemu korenu vsote kvadratov standardnih odklonov teh spremenljivk.

2. Osnove teorije verjetnosti

Pričakovana vrednost

Razmislite o naključni spremenljivki s številskimi vrednostmi. S to funkcijo je pogosto koristno povezati številko - njeno "srednjo vrednost" ali, kot pravijo, "povprečno vrednost", "indeks osrednje težnje". Zaradi številnih razlogov, od katerih bodo nekateri postali jasni kasneje, se matematično pričakovanje običajno uporablja kot "povprečna vrednost".

Definicija 3. Matematično pričakovanje naključne spremenljivke X klicano številko

tiste. matematično pričakovanje naključne spremenljivke je utežena vsota vrednosti naključne spremenljivke z utežmi, enake verjetnosti ustreznih elementarnih dogodkov.

Primer 6. Izračunajmo matematično pričakovanje števila, ki se pojavi na zgornji strani kocke. Iz definicije 3 neposredno izhaja, da

Izjava 2. Naj naključna spremenljivka X prevzame vrednosti x 1, x 2,…, xm. Potem je enakost resnična

(5)

tiste. Matematično pričakovanje naključne spremenljivke je utežena vsota vrednosti naključne spremenljivke z utežmi, ki so enake verjetnosti, da naključna spremenljivka zavzame določene vrednosti.

Za razliko od (4), kjer se seštevanje izvaja neposredno po elementarnih dogodkih, je lahko naključni dogodek sestavljen iz več elementarnih dogodkov.

Včasih se relacija (5) vzame kot definicija matematičnega pričakovanja. Vendar pa je z uporabo definicije 3, kot je prikazano spodaj, lažje ugotoviti lastnosti matematičnega pričakovanja, potrebnega za konstrukcijo verjetnostnih modelov realnih pojavov, kot z uporabo relacije (5).

Da bi dokazali razmerje (5), združimo v (4) člene z enake vrednosti naključna spremenljivka:

Ker lahko stalni faktor vzamemo iz predznaka vsote, torej

Z ugotavljanjem verjetnosti dogodka

Z uporabo zadnjih dveh odnosov dobimo zahtevano:

Koncept matematičnega pričakovanja v verjetnostno-statistični teoriji ustreza konceptu težišča v mehaniki. Dajmo to v točke x 1, x 2,…, xm na osi masnega števila p(X= x 1 ), p(X= x 2 ),…, p(X= x m) oz. Nato enakost (5) pokaže, da težišče tega sistema materialnih točk sovpada z matematičnim pričakovanjem, kar kaže na naravnost definicije 3.

Izjava 3. Pustiti X- naključna vrednost, M(X)– njegovo matematično pričakovanje, A– določeno število. Potem

1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 .

Da bi to dokazali, najprej razmislimo o naključni spremenljivki, ki je konstantna, tj. funkcija preslika prostor elementarnih dogodkov v eno točko A. Ker lahko konstantni množitelj vzamemo čez predznak vsote, torej

Če je vsak član neke vsote razdeljen na dva člena, potem je celotna vsota razdeljena na dva seštevka, od katerih je prvi sestavljen iz prvih členov, drugi pa iz drugega. Zato je matematično pričakovanje vsote dveh naključnih spremenljivk X+Y, definirana na istem prostoru elementarnih dogodkov, je enaka vsoti matematičnih pričakovanj M(X) in M(U) te naključne spremenljivke:

M(X+Y) = M(X) + M(Y).

In zato M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Kot je prikazano zgoraj, M(M(X)) = M(X). torej M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.

Zaradi (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - a)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - a) + (M(X) – a) 2 , To M[(X - a) 2 ] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - a)} + M[(M(X) – a) 2 ]. Poenostavimo zadnjo enakost. Kot je prikazano na začetku dokaza trditve 3, je matematično pričakovanje konstante sama konstanta, zato M[(M(X) – a) 2 ] = (M(X) – a) 2 . Ker lahko konstantni faktor vzamemo čez predznak vsote, torej M{2(X - M(X))(M(X) - a)} = 2(M(X) - a)M(X - M(X)). Desna stran zadnje enakosti je 0, ker, kot je prikazano zgoraj, M(X-M(X))=0. torej M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 , kar je bilo treba dokazati.

Iz navedenega izhaja, da M[(X- a) 2 ] doseže minimum A, enako M[(X- M(X)) 2 ], pri a = M(X), ker je drugi člen v enačbi 3) ​​vedno nenegativen in je enak 0 samo za navedeno vrednost A.

Izjava 4. Naj naključna spremenljivka X prevzame vrednosti x 1, x 2,…, xm in f je neka funkcija numeričnega argumenta. Potem

Da bi to dokazali, združimo na desni strani enakosti (4), ki definira matematično pričakovanje, člene z enakimi vrednostmi:

Če uporabimo dejstvo, da je konstantni faktor mogoče vzeti iz predznaka vsote, in definicijo verjetnosti naključnega dogodka (2), dobimo

Q.E.D.

Izjava 5. Pustiti X in U– naključne spremenljivke definirane na istem prostoru elementarnih dogodkov, A in b- nekaj številk. Potem M(aX+ od Y)= aM(X)+ bM(Y).

Z uporabo definicije matematičnega pričakovanja in lastnosti simbola seštevka dobimo verigo enačb:

Zahtevano je bilo dokazano.

Iz zgornjega je razvidno, kako je matematično pričakovanje odvisno od prehoda na drugo referenčno točko in na drugo mersko enoto (prehod Y=aX+b), kot tudi na funkcije naključnih spremenljivk. Dobljeni rezultati se nenehno uporabljajo v tehnični in ekonomski analizi, pri ocenjevanju finančnih in gospodarskih dejavnosti podjetja, pri prehodu iz ene valute v drugo v zunanjeekonomskih izračunih, v regulativni in tehnični dokumentaciji itd. Obravnavani rezultati omogočajo uporaba istih formul za izračun za različne parametre merilo in premik.

Vsaka posamezna vrednost je popolnoma določena s svojo distribucijsko funkcijo. Tudi za reševanje praktičnih problemov je dovolj poznati več numeričnih značilnosti, zaradi katerih je mogoče predstaviti glavne značilnosti naključne spremenljivke v kratki obliki.

Te količine vključujejo predvsem pričakovana vrednost in disperzija .

Pričakovana vrednost— povprečna vrednost naključne spremenljivke v teoriji verjetnosti. Označeno kot .

Večina na preprost način matematično pričakovanje naključne spremenljivke X(w), poišči kako integralLebesgue glede na verjetnostno mero R original verjetnostni prostor

Matematično pričakovanje vrednosti lahko najdete tudi kot Lebesguev integral od X z verjetnostno porazdelitvijo R X količine X:

kjer je množica vseh možnih vrednosti X.

Matematično pričakovanje funkcij od naključne spremenljivke X našli z distribucijo R X. Na primer, Če X- naključna spremenljivka z vrednostmi v in f(x)- nedvoumno Borelovafunkcijo X , to:

če F(x)- distribucijska funkcija X, potem je matematično pričakovanje predstavljivo integralLebesgue - Stieltjes (ali Riemann - Stieltjes):

v tem primeru integrabilnost X V smislu ( * ) ustreza končnosti integrala

V posebnih primerih, če X ima diskretno porazdelitev z verjetnimi vrednostmi x k, k=1, 2, . , in verjetnosti, torej

če X ima absolutno zvezno porazdelitev z gostoto verjetnosti p(x), To

v tem primeru je obstoj matematičnega pričakovanja enakovreden absolutni konvergenci ustrezne vrste ali integrala.

Lastnosti matematičnega pričakovanja naključne spremenljivke.

• Matematično pričakovanje konstantne vrednosti je enako tej vrednosti:

C- konstantna;

• M=C.M[X]

• Matematično pričakovanje vsote naključno vzetih vrednosti je enako vsoti njihovih matematičnih pričakovanj:

• Matematično pričakovanje produkta neodvisnih naključno vzetih spremenljivk = produkt njihovih matematičnih pričakovanj:

M=M[X]+M[Y]

če X in Y neodvisen.

če vrsta konvergira:

Algoritem za izračun matematičnega pričakovanja.

Lastnosti diskretnih naključnih spremenljivk: vse njihove vrednosti je mogoče preštevilčiti z naravnimi številkami; vsaki vrednosti dodelite neničelno verjetnost.

1. Pomnožite pare enega za drugim: x i na p i.

2. Dodajte izdelek vsakega para x i p i.

Na primer, Za n = 4 :

Porazdelitvena funkcija diskretne naključne spremenljivke stopničasto se nenadoma poveča na tistih točkah, katerih verjetnosti imajo pozitiven predznak.

primer: Poiščite matematično pričakovanje s pomočjo formule.

Osnovne numerične značilnosti diskretnih in zveznih slučajnih spremenljivk: matematično pričakovanje, disperzija in standardni odklon. Njihove lastnosti in primeri.

Porazdelitveni zakon (porazdelitvena funkcija in porazdelitveni niz ali gostota verjetnosti) popolnoma opiše obnašanje naključne spremenljivke. Toda v številnih težavah je dovolj poznati nekatere numerične značilnosti preučevane vrednosti (na primer njeno povprečno vrednost in morebitno odstopanje od nje), da bi odgovorili na zastavljeno vprašanje. Razmislimo o glavnih numeričnih značilnostih diskretnih naključnih spremenljivk.

Opredelitev 7.1.Matematično pričakovanje Diskretna naključna spremenljivka je vsota produktov njenih možnih vrednosti in njihovih ustreznih verjetnosti:

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p p str.(7.1)

Če je število možnih vrednosti naključne spremenljivke neskončno, potem, če nastala serija konvergira absolutno.

Opomba 1. Včasih se imenuje matematično pričakovanje Povprečna teža, saj je približno enaka aritmetični sredini opazovanih vrednosti naključne spremenljivke pri veliko število poskusi.

Opomba 2. Iz definicije matematičnega pričakovanja izhaja, da njegova vrednost ni manjša od najmanjše možne vrednosti naključne spremenljivke in ne večja od največje.

Opomba 3. Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke je nenaključno(stalno. Kasneje bomo videli, da enako velja za zvezne naključne spremenljivke.

Primer 1. Poiščite matematično pričakovanje naključne spremenljivke X- število standardnih delov med tremi izbranimi iz serije 10 delov, vključno z 2 okvarjenima. Ustvarimo distribucijsko serijo za X. Iz problemskih pogojev izhaja, da X lahko sprejme vrednosti 1, 2, 3. Potem

Primer 2. Določite matematično pričakovanje naključne spremenljivke X- število metov kovancev pred prvim nastopom grba. Ta količina lahko zavzame neskončno število vrednosti (množica možnih vrednosti je množica naravna števila). Njegova porazdelitvena serija ima obliko:

+ (pri izračunu formula za vsoto neskončno padajočega geometrijsko napredovanje: , kje ).

Lastnosti matematičnega pričakovanja.

1) Matematično pričakovanje konstante je enako konstanti sami:

M(Z) = Z.(7.2)

Dokaz. Če upoštevamo Z kot diskretna naključna spremenljivka, ki ima samo eno vrednost Z z verjetnostjo R= 1, torej M(Z) = Z?1 = Z.

2) Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka matematičnega pričakovanja:

M(CX) = CM(X). (7.3)

Dokaz. Če je naključna spremenljivka X glede na razdelitvene serije

Potem M(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p p = Z(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r str) = CM(X).

Opredelitev 7.2. Kličemo dve naključni spremenljivki neodvisen, če distribucijski zakon enega od njih ni odvisen od vrednosti, ki jih je sprejel drugi. Sicer pa naključne spremenljivke odvisen.

Opredelitev 7.3. Pokličimo produkt neodvisnih naključnih spremenljivk X in Y naključna spremenljivka XY, katerih možne vrednosti so enake produktom vseh možnih vrednosti X za vse možne vrednosti Y, ustrezne verjetnosti pa so enake produktom verjetnosti faktorjev.

3) Matematično pričakovanje produkta dveh neodvisnih naključnih spremenljivk je enako produktu njunih matematičnih pričakovanj:

M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)

Dokaz. Za poenostavitev izračunov se omejimo na primer, ko X in Y sprejme samo dve možni vrednosti:

torej M(XY) = x 1 l 1 ?str 1 g 1 + x 2 l 1 ?str 2 g 1 + x 1 l 2 ?str 1 g 2 + x 2 l 2 ?str 2 g 2 = l 1 g 1 (x 1 str 1 + x 2 str 2) + + l 2 g 2 (x 1 str 1 + x 2 str 2) = (l 1 g 1 + l 2 g 2) (x 1 str 1 + x 2 str 2) = M(X)?M(Y).

Opomba 1. Podobno lahko dokažemo to lastnost za več možne vrednosti dejavnikov.

Opomba 2. Lastnost 3 velja za produkt poljubnega števila neodvisnih naključnih spremenljivk, kar je dokazano z matematično indukcijo.

Opredelitev 7.4. Določimo vsota naključnih spremenljivk X in Y kot naključna spremenljivka X+Y, katerih možne vrednosti so enake vsotam vsake možne vrednosti X z vsako možno vrednostjo Y; verjetnosti takih vsot so enake zmnožkom verjetnosti členov (za odvisne naključne spremenljivke - zmnožki verjetnosti enega izraza s pogojno verjetnostjo drugega).

4) Matematično pričakovanje vsote dveh naključnih spremenljivk (odvisnih ali neodvisnih) je enako vsoti matematičnih pričakovanj členov:

M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)

Dokaz.

Ponovno razmislimo o naključnih spremenljivkah, definiranih s porazdelitvenimi serijami, podanimi v dokazu lastnosti 3. Potem so možne vrednosti X+Y so X 1 + pri 1 , X 1 + pri 2 , X 2 + pri 1 , X 2 + pri 2. Označimo njihove verjetnosti kot R 11 , R 12 , R 21 in R 22. Bomo našli M(X+Y) = (x 1 + l 1)str 11 + (x 1 + l 2)str 12 + (x 2 + l 1)str 21 + (x 2 + l 2)str 22 =

= x 1 (str 11 + str 12) + x 2 (str 21 + str 22) + l 1 (str 11 + str 21) + l 2 (str 12 + str 22).

Dokažimo to R 11 + R 22 = R 1. Res dogodek, ki X+Y bo prevzel vrednosti X 1 + pri 1 oz X 1 + pri 2 in katere verjetnost je R 11 + R 22 sovpada z dogodkom, ki X = X 1 (njegova verjetnost je R 1). Na podoben način se dokazuje, da str 21 + str 22 = R 2 , str 11 + str 21 = g 1 , str 12 + str 22 = g 2. pomeni,

M(X+Y) = x 1 str 1 + x 2 str 2 + l 1 g 1 + l 2 g 2 = M (X) + M (Y).

Komentiraj. Iz lastnosti 4 sledi, da je vsota poljubnega števila naključnih spremenljivk enaka vsoti matematičnih pričakovanj členov.

Primer. Poiščite matematično pričakovanje vsote števila točk, pridobljenih pri metanju petih kock.

Poiščimo matematično pričakovanje števila vrženih točk pri metu ene kocke:

M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Enako število je enako matematičnemu pričakovanju števila vrženih točk na kateri koli kocki. Zato po lastnosti 4 M(X)=

Razpršenost.

Da bi imeli predstavo o obnašanju naključne spremenljivke, ni dovolj poznati le njeno matematično pričakovanje. Razmislite o dveh naključnih spremenljivkah: X in Y, določene z distribucijsko serijo obrazca

Bomo našli M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Kot lahko vidite, so matematična pričakovanja obeh količin enaka, če pa za HM(X) dobro opisuje obnašanje naključne spremenljivke, saj je njena najverjetnejša možna vrednost (in preostale vrednosti se ne razlikujejo veliko od 50), potem vrednosti Y znatno odmaknjen od M(Y). Zato je poleg matematičnega pričakovanja zaželeno vedeti, koliko vrednosti naključne spremenljivke od njega odstopajo. Za karakterizacijo tega kazalnika se uporablja varianca.

Opredelitev 7.5.Disperzija (razpršenost) naključne spremenljivke je matematično pričakovanje kvadrata njenega odstopanja od njenega matematičnega pričakovanja:

D(X) = M (X-M(X))². (7,6)

Poiščimo varianco naključne spremenljivke X(število standardnih delov med izbranimi) v primeru 1 tega predavanja. Izračunajmo kvadrat odstopanja vsake možne vrednosti od matematičnega pričakovanja:

(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. torej

Opomba 1. Pri določanju disperzije se ne ocenjuje samo odstopanje od sredine, temveč njen kvadrat. To se naredi tako, da se odstopanja različnih znakov med seboj ne izničijo.

Opomba 2. Iz definicije disperzije sledi, da ima ta količina samo nenegativne vrednosti.

Opomba 3. Obstaja formula za izračun variance, ki je primernejša za izračune, katere veljavnost je dokazana v naslednjem izreku:

Izrek 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Dokaz.

Uporaba česa M(X) konstantna vrednost in lastnosti matematičnega pričakovanja transformiramo formulo (7.6) v obliko:

D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), kar je bilo treba dokazati.

Primer. Izračunajmo variance naključnih spremenljivk X in Y razpravljali na začetku tega razdelka. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(Y) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Torej je varianca druge naključne spremenljivke nekaj tisočkrat večja od variance prve. Torej, tudi brez poznavanja distribucijskih zakonov teh količin, lahko na podlagi znanih vrednosti disperzije trdimo, da X malo odstopa od svojega matematičnega pričakovanja, medtem ko za Y to odstopanje je precejšnje.

Lastnosti disperzije.

1) Varianca konstantne vrednosti Z enako nič:

D (C) = 0. (7.8)

Dokaz. D(C) = M((C-M(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.

2) Konstantni faktor lahko vzamemo iz disperzijskega predznaka tako, da ga kvadriramo:

D(CX) = C² D(X). (7.9)

Dokaz. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =

= C² D(X).

3) Varianca vsote dveh neodvisnih naključnih spremenljivk je enaka vsoti njunih varianc:

D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)

Dokaz. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +

+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).

Posledica 1. Varianca vsote več med seboj neodvisnih naključnih spremenljivk je enaka vsoti njihovih varianc.

Posledica 2. Varianca vsote konstante in naključne spremenljivke je enaka varianci naključne spremenljivke.

4) Varianca razlike med dvema neodvisnima naključnima spremenljivkama je enaka vsoti njunih varianc:

D(X-Y) = D(X) + D(Y). (7.11)

Dokaz. D(X-Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).

Varianca podaja povprečno vrednost kvadrata odklona naključne spremenljivke od povprečja; Za ovrednotenje samega odstopanja se uporablja vrednost, imenovana standardni odklon.

Opredelitev 7.6.Standardni odklonσ naključna spremenljivka X se imenuje kvadratni koren variance:

Primer. V prejšnjem primeru povprečja standardni odkloni X in Y sta enaka oz