Največja in najmanjša vrednost funkcije na segmentu. Največja in najmanjša vrednost funkcije dveh spremenljivk v zaprti domeni
Pogosto morate v fiziki in matematiki najti najmanjša vrednost funkcije. Zdaj vam bomo povedali, kako to storiti.
Kako najti najmanjšo vrednost funkcije: navodila
- Če želite izračunati najmanjšo vrednost zvezne funkcije na danem segmentu, morate slediti naslednjemu algoritmu:
- Poiščite odvod funkcije.
- Na danem segmentu poiščite točke, v katerih je odvod enak nič, ter vse kritične točke. Nato ugotovite vrednosti funkcije na teh točkah, torej rešite enačbo, kjer je x enak nič. Ugotovite, katera vrednost je najmanjša.
- Ugotovite, kakšno vrednost ima funkcija na končnih točkah. Določite najmanjšo vrednost funkcije v teh točkah.
- Dobljene podatke primerjajte z najnižjo vrednostjo. Manjša od dobljenih številk bo najmanjša vrednost funkcije.
Upoštevajte, da če funkcija na segmentu nima najmanjših točk, to pomeni, da na tem segmentu narašča ali pada. Zato je treba najmanjšo vrednost izračunati na končnih segmentih funkcije.
V vseh drugih primerih se vrednost funkcije izračuna po določenem algoritmu. Na vsaki točki algoritma boste morali rešiti preprosto linearna enačba z eno korenino. Rešite enačbo s pomočjo slike, da se izognete napakam.
Kako najti najmanjšo vrednost funkcije na polodprtem segmentu? V napol odprtem ali odprtem obdobju funkcije je treba najmanjšo vrednost najti na naslednji način. Na končnih točkah vrednosti funkcije izračunajte enostransko mejo funkcije. Z drugimi besedami, rešite enačbo, v kateri so nagibne točke podane z vrednostma a+0 in b+0, kjer sta a in b imeni kritične točke.
Zdaj veste, kako najti najmanjšo vrednost funkcije. Glavna stvar je, da vse izračune opravite pravilno, natančno in brez napak.
Izjava o problemu 2:
Dana je funkcija, ki je definirana in zvezna na določenem intervalu. Na tem intervalu morate najti največjo (najmanjšo) vrednost funkcije.
Teoretične osnove.
Izrek (drugi Weierstrassov izrek):
Če je funkcija definirana in zvezna v zaprtem intervalu, potem doseže največjo in najmanjšo vrednost v tem intervalu.
Funkcija lahko doseže svoje največje in najmanjše vrednosti na notranjih točkah intervala ali na njegovih mejah. Ponazorimo vse možne možnosti. 
Pojasnilo:
1) Funkcija doseže največjo vrednost na levi meji intervala v točki , najmanjšo vrednost pa na desni meji intervala v točki .
2) Funkcija doseže največjo vrednost v točki (to je največja točka), najmanjšo vrednost pa na desni meji intervala v točki.
3) Funkcija doseže največjo vrednost na levi meji intervala v točki , najmanjšo vrednost pa v točki (to je točka minimuma).
4) Funkcija je konstantna na intervalu, tj. doseže svojo najmanjšo in največjo vrednost na kateri koli točki v intervalu, najmanjša in največja vrednost pa sta med seboj enaki.
5) Funkcija doseže največjo vrednost v točki , najmanjšo vrednost pa v točki (kljub temu, da ima funkcija na tem intervalu maksimum in minimum).
6) Funkcija doseže največjo vrednost v točki (to je točka maksimuma), najmanjšo vrednost pa v točki (to je točka minimuma).
komentar:
»Največja« in »največja vrednost« sta različni stvari. To izhaja iz definicije maksimuma in intuitivnega razumevanja izraza "največja vrednost".
Algoritem za rešitev problema 2.
4) Izmed dobljenih vrednosti izberite največjo (najmanjšo) in zapišite odgovor.
Primer 4:
Določite največjo in najmanjšo vrednost funkcije 
na segmentu.
rešitev:
1) Poiščite odvod funkcije. 
2) Z reševanjem enačbe poiščite stacionarne točke (in točke, za katere sumite, da so ekstremne). Bodite pozorni na točke, v katerih ni dvostranskega končnega odvoda. 
3) Izračunajte vrednosti funkcije na stacionarnih točkah in na mejah intervala.
4) Izmed dobljenih vrednosti izberite največjo (najmanjšo) in zapišite odgovor.
Funkcija na tem segmentu doseže največjo vrednost v točki s koordinatami .
Funkcija na tem segmentu doseže najmanjšo vrednost v točki s koordinatami .
Pravilnost izračunov lahko preverite tako, da si ogledate graf proučevane funkcije. 
komentar: Funkcija doseže največjo vrednost na maksimalni točki, najmanjšo pa na meji segmenta.
Poseben primer.
Recimo, da morate najti največjo in najmanjšo vrednost neke funkcije na segmentu. Po zaključku prve točke algoritma, tj. izvedenega izračuna, postane jasno, da na primer traja samo negativne vrednosti na celotnem obravnavanem segmentu. Ne pozabite, da če je odvod negativen, potem funkcija pada. Ugotovili smo, da funkcija pada na celotnem segmentu. To stanje prikazuje graf št. 1 na začetku članka.
Funkcija se zmanjšuje na segmentu, tj. nima ekstremnih točk. Iz slike je razvidno, da bo funkcija dobila najmanjšo vrednost na desni meji segmenta in najvišjo vrednost- na levi. če je odvod na segmentu povsod pozitiven, potem funkcija narašča. Najmanjša vrednost je na levi meji segmenta, največja pa na desni.
, neskončen interval.
to za kogarkoli 
neenakost je res.
to za kogarkoli 
se doseže pri x=1 in najmanjši vrednosti 
– pri x=2.
. Graf te funkcije izgleda takole:
na segmentu.
. Pri prehodu skozi točke in odvod spremeni predznak.| funkcija | Izpeljanka |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^(n-1), n∈N$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $(1)/x(^n), n∈N$ | $-(n)/(x^(n+1)), n∈N$ |
| $√^n(x), n∈N$ | $(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
| $cos^2x$ | $-sin2x$ |
| $greh^2x$ | $sin2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $log_(a)x$ | $(1)/(xlna)$ |
Osnovna pravila razlikovanja
1. Odvod vsote in razlike je enak odvodu vsakega člena
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
Poiščite odvod funkcije $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$
Odvod vsote in razlike je enak odvodu vsakega člena
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$
2. Izpeljanka izdelka.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
Poiščite odvod $f(x)=4x∙cosx$
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. Izpeljava količnika
$((f(x))/(g(x)"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$
Poiščite odvod $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$
4. Izpeljanka kompleksna funkcija enak zmnožku odvoda zunanja funkcija na derivat notranje funkcije
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
Poiščite najmanjšo točko funkcije $y=2x-ln(x+11)+4$
1. Poiščite ODZ funkcije: $x+11>0; x>-11$
2. Poiščite odvod funkcije $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$
3. Poiščite stacionarne točke tako, da izenačite odvod na nič
$(2x+21)/(x+11)=0$
Ulomek je enak nič, če je števec enak nič in imenovalec ni nič.
$2x+21=0; x≠-11$
4. Narišimo koordinatno premico, nanjo postavimo stacionarne točke in v nastalih intervalih določimo predznake odvoda. Če želite to narediti, zamenjajte poljubno število iz skrajno desnega območja v izpeljanko, na primer nič.
$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$
5. V točki minimuma odvod spremeni predznak iz minusa v plus, zato je točka $-10,5$ točka minimuma.
Odgovor: $-10,5 $
Poiščite največjo vrednost funkcije $y=6x^5-90x^3-5$ na odseku $[-5;1]$
1. Poiščite odvod funkcije $y′=30x^4-270x^2$
2. Izenačite odvod na nič in poiščite stacionarne točke
$30x^4-270x^2=0$
Vzemimo skupni faktor $30x^2$ iz oklepaja
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(x-3)(x+3)=0$
Izenačimo vsak faktor z nič
$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$
$x=0;x=3;x=-3$
3. Izberite stacionarne točke, ki pripadajo podanemu segmentu $[-5;1]$
Ustrezata nam stacionarni točki $x=0$ in $x=-3$
4. Izračunajte vrednost funkcije na koncih segmenta in na stacionarnih točkah iz 3. koraka
