Brez računanja ugotovite, ali gre za pravi ali nepravi ulomek. Nepravilen ulomek

Navadne ulomke delimo na \textit (pravilne) in \textit (neprave) ulomke. Ta delitev temelji na primerjavi števca in imenovalca.

Pravilni ulomki

Pravi ulomek Imenuje se navadni ulomek $\frac(m)(n)$, pri katerem je števec manjši od imenovalca, tj. mio $

Primer 1

Pravilni so na primer ulomki $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ , torej kako je v vsakem od njih števec manjši od imenovalca, kar ustreza definiciji pravega ulomka.

Obstaja definicija pravega ulomka, ki temelji na primerjavi ulomka z enico.

pravilno, če je manj kot ena:

Primer 2

Na primer, navadni ulomek $\frac(6)(13)$ je pravilen, ker pogoj $\frac(6)(13) je izpolnjen

Nepravilni ulomki

Nepravilen ulomek Imenuje se navadni ulomek $\frac(m)(n)$, pri katerem je števec večji ali enak imenovalcu, tj. $m\ge n$.

Primer 3

Na primer, ulomki $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ so nepravilni , torej kako je v vsakem od njih števec večji ali enak imenovalcu, kar ustreza definiciji nepravilnega ulomka.

Dajmo definicijo nepravilnega ulomka, ki temelji na njegovi primerjavi z enico.

Navadni ulomek $\frac(m)(n)$ je narobe, če je enako ali večje od ena:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Primer 4

Na primer, navadni ulomek $\frac(21)(4)$ je nepravilen, ker pogoj $\frac(21)(4) >1$ je izpolnjen;

navadni ulomek $\frac(8)(8)$ je nepravilen, ker pogoj $\frac(8)(8)=1$ je izpolnjen.

Oglejmo si podrobneje koncept nepravilnega ulomka.

Vzemimo za primer nepravi ulomek $\frac(7)(7)$. Pomen tega ulomka je vzeti sedem deležev predmeta, ki je razdeljen na sedem enakih delov. Tako je iz sedmih deležev, ki so na voljo, mogoče sestaviti celoten objekt. Tisti. nepravi ulomek $\frac(7)(7)$ opisuje celoten predmet in $\frac(7)(7)=1$. Torej nepravi ulomki, pri katerih je števec enak imenovalcu, opisujejo en cel predmet in tak ulomek lahko nadomestimo z naravnim številom $1$.

$\frac(5)(2)$ -- povsem očitno je, da lahko iz teh petih sekundnih delov sestavite $2$ celih predmetov (en cel predmet bo sestavljen iz $2$ delov in za sestavljanje dveh celih predmetov morate potrebujete $2+2=4$ delnic) in ostane ena druga delnica. To pomeni, da nepravi ulomek $\frac(5)(2)$ opisuje $2$ predmeta in $\frac(1)(2)$ delež tega predmeta.

$\frac(21)(7)$ -- iz enaindvajsetih delov lahko sestavite $3$ celih objektov ($3$ objektov s po $7$ deležev v vsakem). Tisti. ulomek $\frac(21)(7)$ opisuje $3$ celih predmetov.

Iz obravnavanih primerov lahko sklepamo naslednje: nepravi ulomek je mogoče nadomestiti z naravnim številom, če je števec deljiv z imenovalcem (na primer $\frac(7)(7)=1$ in $\frac (21)(7)=3$) ali vsota naravnega števila in pravilnega ulomka, če števec ni popolnoma deljiv z imenovalcem (na primer $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). Zato se takšni ulomki imenujejo narobe.

Definicija 1

Postopek predstavitve nepravilnega ulomka kot vsote naravnega števila in pravega ulomka (na primer $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) se imenuje ločevanje celega dela od nepravilnega ulomka.

Pri delu z nepravilnimi ulomki obstaja tesna povezava med njimi in mešana števila.

Nepravilen ulomek pogosto zapisano kot mešano število – število, ki je sestavljeno iz celega in ulomka.

Če želite zapisati nepravilni ulomek kot mešano število, morate števec deliti z imenovalcem z ostankom. Količnik bo celoštevilski del mešanega števila, ostanek števec ulomka, delitelj pa imenovalec ulomka.

Primer 5

Zapišite nepravilni ulomek $\frac(37)(12)$ kot mešano število.

rešitev.

Števec delimo z imenovalcem z ostankom:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (ostanek\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Odgovori.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

Če želite mešano število zapisati kot nepravilni ulomek, morate imenovalec pomnožiti s celim delom števila, dobljenemu zmnožku dodati števec ulomka in dobljeni znesek zapisati v števec ulomka. Imenovalec nepravilnega ulomka bo enak imenovalcu ulomka mešanega števila.

Primer 6

Mešano število $5\frac(3)(7)$ zapišite kot nepravi ulomek.

rešitev.

Odgovori.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Seštevanje mešanih števil in pravilnih ulomkov

Seštevanje mešanih števil$a\frac(b)(c)$ in pravi ulomek$\frac(d)(e)$ se izvede tako, da se danemu ulomku doda ulomek danega mešanega števila:

Primer 7

Seštejte pravi ulomek $\frac(4)(15)$ in mešano število $3\frac(2)(5)$.

rešitev.

Uporabimo formulo za seštevanje mešanega števila in pravilnega ulomka:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\levo(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\desno)=3+\ levo(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\desno)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

Z deljenjem s številom \textit(5) lahko ugotovimo, da je ulomek $\frac(10)(15)$ skrčljiv. Izvedemo redukcijo in poiščemo rezultat seštevanja:

Torej je rezultat seštevanja pravega ulomka $\frac(4)(15)$ in mešanega števila $3\frac(2)(5)$ $3\frac(2)(3)$.

odgovor:$3\frac(2)(3)$

Seštevanje mešanih števil in nepravilnih ulomkov

Seštevanje nepravilnih ulomkov in mešanih števil zmanjša na seštevek dveh mešanih števil, za kar je dovolj, da izoliramo cel del od nepravilnega ulomka.

Primer 8

Izračunajte vsoto mešanega števila $6\frac(2)(15)$ in nepravilnega ulomka $\frac(13)(5)$.

rešitev.

Najprej izluščimo celo število iz nepravilnega ulomka $\frac(13)(5)$:

odgovor:$8\frac(11)(15)$.

Ob besedi »ulomki« se marsikomu naježi koža. Ker se spomnim šole in nalog, ki so se reševale pri matematiki. To je bila dolžnost, ki jo je bilo treba izpolniti. Kaj pa, če bi težave, ki vključujejo pravilne in nepravilne ulomke, obravnavali kot uganko? Navsezadnje se veliko odraslih odloči za digitalno in Japonske križanke. Ugotovili smo pravila in to je to. Tukaj je enako. Samo poglobiti se je treba v teorijo - in vse bo postalo na svoje mesto. In primeri se bodo spremenili v način za urjenje vaših možganov.

Katere vrste ulomkov obstajajo?

Začnimo s tem, kar je. Ulomek je število, ki ima del ena. Zapišemo ga lahko v dveh oblikah. Prvi se imenuje navaden. To je tisti, ki ima vodoravno ali poševno črto. Enakovredno je znaku deljenja.

V tem zapisu se število nad črto imenuje števec, število pod njim pa imenovalec.

Med navadnimi ulomki ločimo prave in neprave ulomke. Pri prvem je absolutna vrednost števca vedno manjša od imenovalca. Napačni se tako imenujejo, ker imajo vse obratno. Vrednost pravilnega ulomka je vedno manjša od ena. Medtem ko je nepravilna vedno večja od te številke.

Obstajajo tudi mešana števila, torej tista, ki imajo celo število in ulomek.

Druga vrsta zapisa je decimalni ulomek. O njej je ločen pogovor.

Kako se nepravi ulomki razlikujejo od mešanih števil?

V bistvu nič. To so samo različni posnetki iste številke. Nepravilni ulomki zlahka postanejo mešana števila po preprostih korakih. In obratno.

Vse je odvisno od konkretne situacije. Včasih je v nalogah bolj priročno uporabiti nepravilni ulomek. In včasih ga je treba pretvoriti v mešano število in takrat bo primer zelo enostavno rešen. Torej, kaj uporabiti: nepravilne ulomke, mešana števila, je odvisno od sposobnosti opazovanja osebe, ki rešuje problem.

Mešano število primerjamo tudi z vsoto celega dela in ulomka. Poleg tega je drugi vedno manjši od ena.

Kako predstaviti mešano število kot nepravilni ulomek?

Če morate izvesti katero koli dejanje z več številkami, ki so zapisane v različne vrste, potem jih morate narediti enake. Eden od načinov je predstavitev števil kot nepravilnih ulomkov.

V ta namen boste morali izvesti naslednji algoritem:

pomnožite imenovalec s celim delom;
rezultatu dodajte vrednost števca;
odgovor napišite nad črto;
pustite imenovalec enak.

Tukaj so primeri, kako zapisati nepravilne ulomke iz mešanih števil:

17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

Kako zapisati nepravilni ulomek kot mešano število?

Naslednja tehnika je nasprotna od zgoraj obravnavane. To je, ko so vsa mešana števila nadomeščena z nepravilnimi ulomki. Algoritem dejanj bo naslednji:

števec delimo z imenovalcem, da dobimo ostanek;
zapiši količnik namesto celega dela mešanega;
ostanek naj bo nad črto;
delitelj bo imenovalec.

Primeri takšne preobrazbe:

76/14; 76:14 = 5 z ostankom 6; odgovor bo 5 celo in 6/14; ulomek v tem primeru je treba zmanjšati za 2, kar ima za posledico 3/7; končni odgovor je 5 točk 3/7.

108/54; po deljenju dobimo količnik 2 brez ostanka; to pomeni, da vseh nepravilnih ulomkov ni mogoče predstaviti kot mešano število; odgovor bo celo število - 2.

Kako spremeniti celo število v nepravilen ulomek?

Obstajajo situacije, ko je takšno ukrepanje potrebno. Če želite dobiti nepravilne ulomke z znanim imenovalcem, boste morali izvesti naslednji algoritem:

pomnožiti celo število z želenim imenovalcem;
zapišite to vrednost nad črto;
pod njim postavite imenovalec.

Najenostavnejša možnost je, ko je imenovalec enak ena. Potem vam ni treba ničesar množiti. Dovolj je, da preprosto napišete celo število, podano v primeru, in eno postavite pod črto.

Primer: Naj bo 5 nepravilen ulomek z imenovalcem 3. Če pomnožimo 5 s 3, dobimo 15. To število bo imenovalec. Odgovor naloge je ulomek: 15/3.

Dva pristopa k reševanju problemov z različnimi števili

Primer zahteva izračun vsote in razlike ter produkta in količnika dveh števil: 2 celih števil 3/5 in 14/11.

V prvem pristopu mešano število bo predstavljeno kot nepravilni ulomek.

Po izvedbi zgoraj opisanih korakov boste dobili naslednjo vrednost: 13/5.

Če želite izvedeti vsoto, morate ulomke zmanjšati na isti imenovalec. 13/5 po množenju z 11 postane 143/55. In 14/11 po množenju s 5 bo videti kot: 70/55. Za izračun vsote morate le sešteti števca: 143 in 70, nato pa odgovor zapisati z enim imenovalcem. 213/55 - ta nepravi ulomek je odgovor na problem.

Pri ugotavljanju razlike se enaka števila odštejejo: 143 - 70 = 73. Odgovor bo ulomek: 73/55.

Pri množenju 13/5 in 14/11 vam ju ni treba reducirati na skupni imenovalec. Dovolj je, da števce in imenovalce pomnožimo v parih. Odgovor bo: 182/55.

Enako velja za delitev. Za prava odločitev deljenje morate zamenjati z množenjem in delitelj obrniti: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

Pri drugem pristopu nepravilni ulomek postane mešano število.

Po izvedbi dejanj algoritma se bo 14/11 spremenilo v mešano število s celim delom 1 in delnim delom 3/11.

Pri izračunu vsote morate ločeno sešteti cele in ulomke. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Končni odgovor je 3 točke 48/55. Pri prvem pristopu je bil ulomek 213/55. Njegovo pravilnost lahko preverite tako, da ga pretvorite v mešano število. Ko 213 delimo s 55, je količnik 3, ostanek pa 48. Z lahkoto ugotovimo, da je odgovor pravilen.

Pri odštevanju se znak “+” zamenja z “-”. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Za preverjanje je treba odgovor iz prejšnjega pristopa pretvoriti v mešano število: 73 je deljeno s 55 in količnik je 1, ostanek pa 18.

Za iskanje produkta in količnika je neprijetno uporabljati mešana števila. Tukaj je vedno priporočljivo preiti na neprave ulomke.

Pravi ulomek

Četrtine

Urejenost. a in b obstaja pravilo, ki vam omogoča enolično identifikacijo enega in samo enega od treh odnosov med njimi: "< », « >« ali » = «. To pravilo se imenuje pravilo naročanja in se oblikuje na naslednji način: dve nenegativni števili in sta povezani z enakim razmerjem kot dve celi števili in ; dve nepozitivni števili a in b sta povezani z enakim razmerjem kot dve nenegativni števili in ; če nenadoma a nenegativno, ampak b- torej negativno a > b.
src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Seštevanje ulomkov Operacija dodajanja. a in b obstaja tako imenovani pravilo seštevanja c. Še več, sama številka c klical znesekštevilke a in b in je označena z , postopek iskanja takšnega števila pa se imenuje seštevanje. Pravilo seštevanja ima naslednjo obliko: .
Operacija množenja. Operacija dodajanja. a in b obstaja tako imenovani pravilo množenja, ki jim dodeli neko racionalno število c. Še več, sama številka c klical deloštevilke a in b in ga označimo z , postopek iskanja takšnega števila pa tudi imenujemo množenje. Pravilo množenja izgleda takole: .
Tranzitivnost relacije reda. Za poljubno trojko racionalnih števil a , b in cče a manj b in b manj c, To a manj c, in če a enako b in b enako c, To a enako c.
6435">Komutativnost seštevanja. Zamenjava mest racionalnih členov ne spremeni vsote. Asociativnost dodajanja.
Vrstni red seštevanja treh racionalnih števil ne vpliva na rezultat. Prisotnost ničle.
Obstaja racionalno število 0, ki ob seštevanju ohrani vsako drugo racionalno število. Prisotnost nasprotnih števil.
Vsako racionalno število ima nasprotno racionalno število, ki, če ga seštejemo, da 0. Komutativnost množenja.
Zamenjava mest racionalnih dejavnikov ne spremeni izdelka. Asociativnost množenja.
Vrstni red množenja treh racionalnih števil ne vpliva na rezultat. Razpoložljivost enote.
Obstaja racionalno število 1, ki pri množenju ohrani vsako drugo racionalno število. Prisotnost vzajemnih števil.
Vsako racionalno število ima inverzno racionalno število, ki, če ga pomnožimo z, da 1. Distributivnost množenja glede na seštevanje.
Operacija množenja je usklajena z operacijo seštevanja preko distribucijskega zakona: Povezava relacije reda z operacijo seštevanja.
Levi in desni strani racionalne neenakosti lahko dodamo isto racionalno število./pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> a Arhimedov aksiom. a Ne glede na racionalno število

, lahko vzamete toliko enot, da njihova vsota presega

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Dodatne lastnosti

Številčenje racionalnih števil

Če želite oceniti število racionalnih števil, morate najti kardinalnost njihovega niza. Preprosto je dokazati, da je množica racionalnih števil števna. Za to je dovolj podati algoritem, ki našteje racionalna števila, torej vzpostavi bijekcijo med množicami racionalnih in naravnih števil.

Najenostavnejši od teh algoritmov izgleda takole. Nastane neskončna miza navadni ulomki, na vsakem i-th vrstico v vsaki j th stolpec, v katerem se nahaja ulomek. Za natančnost se predpostavlja, da so vrstice in stolpci te tabele oštevilčeni od ena. Celice tabele so označene z , kjer je i- številko vrstice tabele, v kateri se nahaja celica, in j- številka stolpca.

Nastala tabela se prečka z uporabo "kače" v skladu z naslednjim formalnim algoritmom.

Ta pravila se iščejo od zgoraj navzdol, naslednji položaj pa se izbere glede na prvo ujemanje.

V procesu takšnega prehoda je vsako novo racionalno število povezano z drugim naravno število. To pomeni, da je ulomek 1/1 dodeljen številu 1, ulomek 2/1 številu 2 itd. Upoštevati je treba, da so oštevilčeni le nezmanjšljivi ulomki. Formalni znak nezmanjšanosti je, da je največji skupni delitelj števca in imenovalca ulomka enak ena.

Po tem algoritmu lahko naštejemo vsa pozitivna racionalna števila. To pomeni, da je množica pozitivnih racionalnih števil števna. Enostavno je vzpostaviti bijekcijo med množicami pozitivnih in negativnih racionalnih števil tako, da vsakemu racionalnemu številu preprosto pripišemo njegovo nasprotje. to. množica negativnih racionalnih števil je tudi števna. Njihova unija je števna tudi po lastnosti štetnih množic. Množica racionalnih števil je števna tudi kot unija števne množice s končno.

Trditev o štetnosti množice racionalnih števil lahko povzroči nekaj zmede, saj se na prvi pogled zdi, da je mnogo obsežnejša od množice naravnih števil. Pravzaprav ni tako in naravnih števil je dovolj, da lahko naštejemo vsa racionalna.

Pomanjkanje racionalnih števil

Hipotenuze takega trikotnika ni mogoče izraziti z nobenim racionalnim številom

Racionalna števila oblike 1 / n na prostosti n lahko merimo poljubno majhne količine. To dejstvo ustvarja zavajajoč vtis, da je mogoče racionalna števila uporabiti za merjenje poljubnih geometrijskih razdalj. Lahko je dokazati, da to ni res.

Iz Pitagorovega izreka vemo, da je hipotenuza pravokotnega trikotnika izražena kot kvadratni koren vsote kvadratov njegovih katet. to. dolžina hipotenuze enakokrakega pravokotni trikotnik z enotskim krakom je enako, tj. število, katerega kvadrat je 2.

Če predpostavimo, da je število mogoče predstaviti z nekim racionalnim številom, potem takšno celo število obstaja m in tako naravno število n, da , in ulomek je nezmanjšljiv, tj. števila m in n- medsebojno preprosta.

Če, potem , tj. m 2 = 2n 2. Zato je število m 2 je sodo, vendar produkt dveh liha števila liho, kar pomeni, da število samo m tudi celo. Torej obstaja naravno število k, tako da število m lahko predstavimo v obliki m = 2k. Številski kvadrat m v tem smislu m 2 = 4k 2, a na drugi strani m 2 = 2n 2 pomeni 4 k 2 = 2n 2, oz n 2 = 2k 2. Kot je prikazano prej za številko m, to pomeni, da število n– tudi kot m. Toda potem nista relativno praštevilna, saj sta oba razpolovljena. Nastalo protislovje dokazuje, da ni racionalno število.

Med študijem kraljice vseh ved – matematike, se vsak na neki točki sreča z ulomki. Čeprav ta koncept (tako kot same vrste ulomkov ali matematične operacije z njimi) ni prav nič zapleten, je treba z njim ravnati previdno, saj v resnično življenje Izven šole bo zelo koristno. Pa osvežimo znanje o ulomkih: kaj so, čemu so namenjeni, katere vrste so in kako z njimi izvajati različne aritmetične operacije.

Njeno veličanstvo frakcija: kaj je to

Ulomki v matematiki so števila, od katerih je vsako sestavljeno iz enega ali več delov enote. Takšni ulomki se imenujejo tudi navadni ali preprosti. Praviloma so zapisane kot dve številki, ki sta ločeni z vodoravno ali poševno črto, imenujemo jo »ulomek«. Na primer: ½, ¾.

Zgornji ali prvi od teh števil je števec (pokaže, koliko delov je vzetih iz števila), spodnji ali drugi pa je imenovalec (pokaže, na koliko delov je enota razdeljena).

Vrstica za ulomke dejansko deluje kot znak za deljenje. Na primer 7:9=7/9

Tradicionalno so navadni ulomki manjši od ena. Medtem ko so lahko decimale večje od tega.

Čemu so ulomki? Da, za vse, saj v resničnem svetu niso vsa števila cela števila. Na primer, dve šolarki sta v kavarni skupaj kupili eno okusno čokoladico. Ko sta si želela deliti sladico, sta srečala prijateljico in se odločila, da jo bosta tudi pogostila. Zdaj pa je treba čokoladico pravilno razdeliti, saj je sestavljena iz 12 kvadratov.

Sprva so dekleta želela vse enakomerno razdeliti, potem pa bi vsaka dobila štiri kose. Toda po premisleku sta se odločila, da svojega prijatelja pogostita ne z 1/3, ampak z 1/4 čokolade. In ker se učenke niso dobro naučile ulomkov, niso upoštevale, da bi v takšni situaciji na koncu dobile 9 kosov, ki jih je zelo težko razdeliti na dva. Ta dokaj preprost primer kaže, kako pomembno je pravilno najti del števila. Toda v življenju je takšnih primerov veliko več.

Vrste ulomkov: navadni in decimalni

Vsi matematični ulomki so razdeljeni v dve veliki kategoriji: navadne in decimalne. Značilnosti prvega od njih so bile opisane v prejšnjem odstavku, zato je zdaj vredno posvetiti pozornost drugemu.

Decimalnost je položajni zapis ulomka števila, ki je zapisan pisno, ločen z vejico, brez pomišljaja ali poševnice. Na primer: 0,75, 0,5.

Pravzaprav je decimalni ulomek enak navadnemu ulomku, vendar je njegov imenovalec vedno ena, ki mu sledijo ničle - od tod tudi njegovo ime.

Število pred vejico je celo število, vse za njim pa ulomek. Všeč mi je enostavni ulomek se lahko pretvori v decimalno. Tako lahko decimalne ulomke, navedene v prejšnjem primeru, zapišemo kot običajno: ¾ in ½.

Treba je omeniti, da so tako decimalni kot navadni ulomki lahko pozitivni ali negativni. Če je pred njimi znak »-«, je ta ulomek negativen, če je »+« pozitiven ulomek.

Podvrste navadnih ulomkov

Obstajajo te vrste preprostih ulomkov.

Podvrste decimalnih ulomkov

Za razliko od preprostega ulomka je decimalni ulomek razdeljen na samo 2 vrsti.

Končno - to ime je prejelo zaradi dejstva, da ima za decimalno vejico omejeno (končno) število števk: 19,25.
Neskončni ulomek je število z neskončnim številom števk za decimalno vejico. Na primer, ko delite 10 s 3, bo rezultat neskončen ulomek 3,333 ...

Seštevanje ulomkov

Izvajanje različnih aritmetičnih manipulacij z ulomki je nekoliko težje kot z običajnimi številkami. Vendar, če razumete osnovna pravila, reševanje katerega koli primera z njimi ne bo težko.

Na primer: 2/3+3/4. Najmanjši skupni večkratnik zanje bo 12, zato je potrebno, da je to število v vsakem imenovalcu. Da bi to naredili, pomnožimo števec in imenovalec prvega ulomka s 4, izkaže se 8/12, enako storimo z drugim členom, vendar pomnožimo le s 3 - 9/12. Zdaj lahko enostavno rešite primer: 8/12+9/12= 17/12. Dobljeni ulomek je nepravilna vrednost, ker je števec večji od imenovalca. Lahko in mora se pretvoriti v pravilno mešano z delitvijo 17:12 = 1 in 5/12.

Pri seštevanju mešanih ulomkov se operacije izvajajo najprej s celimi števili, nato pa z ulomki.

Če primer vsebuje decimalni in navadni ulomek, je treba oba narediti enostavna, nato ju spraviti na isti imenovalec in ju sešteti. Na primer 3,1+1/2. Število 3.1 lahko zapišemo kot mešana frakcija 3 in 1/10 oziroma kot nepravilno - 31/10. Skupni imenovalec za izraze bo 10, zato morate števec in imenovalec 1/2 izmenično pomnožiti s 5, dobili boste 5/10. Potem lahko enostavno izračunate vse: 31/10+5/10=35/10. Dobljeni rezultat je nepravilen zmanjšljiv ulomek, ga spravimo v normalno obliko in ga zmanjšamo za 5: 7/2 = 3 in 1/2 ali decimalno - 3,5.

Pri seštevanju 2 decimalnih ulomkov je pomembno, da je za decimalno vejico enako število števk. Če temu ni tako, morate samo dodati zahtevano število ničel, ker v decimalno to je mogoče narediti neboleče. Na primer 3,5+3,005. Če želite rešiti to težavo, morate prvi številki dodati 2 ničli in nato dodati eno za drugo: 3,500+3,005=3,505.

Odštevanje ulomkov

Pri odštevanju ulomkov ravnajte enako kot pri seštevanju: zmanjšajte na skupni imenovalec, odštejte en števec od drugega in po potrebi rezultat pretvorite v mešani ulomek.

Na primer: 16/20-5/10. Skupni imenovalec bo 20. Drugi ulomek morate prinesti na ta imenovalec tako, da oba njegova dela pomnožite z 2, dobite 10/20. Zdaj lahko rešite primer: 16/20-10/20= 6/20. Vendar ta rezultat velja za pomanjšane ulomke, zato je vredno obe strani deliti z 2 in rezultat je 3/10.

Množenje ulomkov

Deljenje in množenje ulomkov – veliko več preprosti koraki kot seštevanje in odštevanje. Dejstvo je, da pri opravljanju teh nalog ni treba iskati skupnega imenovalca.

Če želite pomnožiti ulomke, morate enega za drugim pomnožiti oba števca in nato še oba imenovalca. Zmanjšajte dobljeni rezultat, če je ulomek pomanjšana količina.

Na primer: 4/9x5/8. Po izmeničnem množenju je rezultat 4x5/9x8=20/72. Ta ulomek je mogoče zmanjšati za 4, tako da je končni odgovor v primeru 5/18.

Kako deliti ulomke

Tudi deljenje ulomkov je preprosta operacija; Če želite en ulomek deliti z drugim, morate drugega obrniti in pomnožiti s prvim.

Na primer, deljenje ulomkov 5/19 in 5/7. Če želite rešiti primer, morate zamenjati imenovalec in števec drugega ulomka in pomnožiti: 5/19x7/5=35/95. Rezultat se lahko zmanjša za 5 - izkaže se 7/19.

Če morate ulomek deliti s praštevilom, je tehnika nekoliko drugačna. Sprva morate to številko zapisati kot nepravilen ulomek in nato razdeliti po isti shemi. Na primer, 2/13:5 je treba zapisati kot 2/13: 5/1. Zdaj morate obrniti 5/1 in pomnožiti nastale ulomke: 2/13x1/5= 2/65.

Včasih morate razdeliti mešane frakcije. Z njimi morate ravnati tako, kot bi s celimi števili: spremeniti jih v nepravilne ulomke, obrniti delitelj in vse pomnožiti. Na primer, 8 ½: 3. Vse pretvorite v nepravilne ulomke: 17/2: 3/1. Temu sledi obračanje 3/1 in množenje: 17/2x1/3= 17/6. Zdaj bi morali nepravilni ulomek pretvoriti v pravilnega - 2 cela in 5/6.

Torej, ko ste ugotovili, kaj so ulomki in kako lahko z njimi izvajate različne aritmetične operacije, se morate potruditi, da na to ne pozabite. Konec koncev so ljudje vedno bolj nagnjeni k temu, da nekaj razdelimo na dele kot dodajamo, zato morate biti sposobni to narediti pravilno.

Nepravilen ulomek

Četrtine

Urejenost. a in b obstaja pravilo, ki vam omogoča enolično identifikacijo enega in samo enega od treh odnosov med njimi: "< », « >« ali » = «. To pravilo se imenuje pravilo naročanja in se oblikuje na naslednji način: dve nenegativni števili in sta povezani z enakim razmerjem kot dve celi števili in ; dve nepozitivni števili a in b sta povezani z enakim razmerjem kot dve nenegativni števili in ; če nenadoma a nenegativno, ampak b- torej negativno a > b.
src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Seštevanje ulomkov Operacija dodajanja. a in b obstaja tako imenovani pravilo seštevanja c. Še več, sama številka c klical znesekštevilke a in b in je označena z , postopek iskanja takšnega števila pa se imenuje seštevanje. Pravilo seštevanja ima naslednjo obliko: .
Operacija množenja. Operacija dodajanja. a in b obstaja tako imenovani pravilo množenja, ki jim dodeli neko racionalno število c. Še več, sama številka c klical deloštevilke a in b in ga označimo z , postopek iskanja takšnega števila pa tudi imenujemo množenje. Pravilo množenja izgleda takole: .
Tranzitivnost relacije reda. Za poljubno trojko racionalnih števil a , b in cče a manj b in b manj c, To a manj c, in če a enako b in b enako c, To a enako c.
6435">Komutativnost seštevanja. Zamenjava mest racionalnih členov ne spremeni vsote. Asociativnost dodajanja.
Vrstni red seštevanja treh racionalnih števil ne vpliva na rezultat. Prisotnost ničle.
Obstaja racionalno število 0, ki ob seštevanju ohrani vsako drugo racionalno število. Prisotnost nasprotnih števil.
Vsako racionalno število ima nasprotno racionalno število, ki, če ga seštejemo, da 0. Komutativnost množenja.
Zamenjava mest racionalnih dejavnikov ne spremeni izdelka. Asociativnost množenja.
Vrstni red množenja treh racionalnih števil ne vpliva na rezultat. Razpoložljivost enote.
Obstaja racionalno število 1, ki pri množenju ohrani vsako drugo racionalno število. Prisotnost vzajemnih števil.
Vsako racionalno število ima inverzno racionalno število, ki, če ga pomnožimo z, da 1. Distributivnost množenja glede na seštevanje.
Operacija množenja je usklajena z operacijo seštevanja preko distribucijskega zakona: Povezava relacije reda z operacijo seštevanja.
Levi in desni strani racionalne neenakosti lahko dodamo isto racionalno število./pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> a Arhimedov aksiom. a Ne glede na racionalno število

, lahko vzamete toliko enot, da njihova vsota presega

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Dodatne lastnosti

Številčenje racionalnih števil

Najenostavnejši od teh algoritmov izgleda takole. Na vsakem je sestavljena neskončna tabela navadnih ulomkov i-th vrstico v vsaki j th stolpec, v katerem se nahaja ulomek. Za natančnost se predpostavlja, da so vrstice in stolpci te tabele oštevilčeni od ena. Celice tabele so označene z , kjer je i- številko vrstice tabele, v kateri se nahaja celica, in j- številka stolpca.

Nastala tabela se prečka z uporabo "kače" v skladu z naslednjim formalnim algoritmom.

Ta pravila se iščejo od zgoraj navzdol, naslednji položaj pa se izbere glede na prvo ujemanje.

V procesu takšnega prečkanja je vsako novo racionalno število povezano z drugim naravnim številom. To pomeni, da je ulomek 1/1 dodeljen številu 1, ulomek 2/1 številu 2 itd. Upoštevati je treba, da so oštevilčeni le nezmanjšljivi ulomki. Formalni znak nezmanjšanosti je, da je največji skupni delitelj števca in imenovalca ulomka enak ena.

Pomanjkanje racionalnih števil

Hipotenuze takega trikotnika ni mogoče izraziti z nobenim racionalnim številom

Iz Pitagorovega izreka vemo, da je hipotenuza pravokotnega trikotnika izražena kot kvadratni koren vsote kvadratov njegovih katet. to. dolžina hipotenuze enakokrakega pravokotnega trikotnika z enotskim krakom je enaka , tj. številu, katerega kvadrat je 2.