Osnove igralnega ravnotežja: naključnost in verjetnost nastanka različnih dogodkov. Teorija verjetnosti

Teorija verjetnosti je sprva le zbirka informacij in empiričnih opažanj o igri s kockami postala temeljita znanost. Prva, ki sta ji dala matematični okvir, sta bila Fermat in Pascal.

Od razmišljanja o večnem do teorije verjetnosti

Dva posameznika, ki jima teorija verjetnosti dolguje veliko svojih temeljnih formul, Blaise Pascal in Thomas Bayes, sta znana kot globoko verna človeka, slednji je bil prezbiterijanski minister. Očitno je želja teh dveh znanstvenikov, da bi dokazali napačnost mnenja o tem, da bogastvo dajalo srečo svojim ljubljencem, spodbudilo raziskave na tem področju. Navsezadnje je pravzaprav vsaka igra na srečo s svojimi dobitki in izgubami le simfonija matematičnih principov.

Zahvaljujoč strasti Chevalierja de Mereja, ki je bil enako kockar in človek, ki ni bil ravnodušen do znanosti, je bil Pascal prisiljen najti način za izračun verjetnosti. De Mereja je zanimalo naslednje vprašanje: "Kolikokrat morate vreči dve kocki v paru, da bo verjetnost, da dobite 12 točk, večja od 50%?" Drugo vprašanje, ki je gospoda zelo zanimalo: "Kako razdeliti stavo med udeležence nedokončane igre?" Seveda je Pascal uspešno odgovoril na obe vprašanji de Mereja, ki je postal nehote začetnik razvoja teorije verjetnosti. Zanimivo je, da je oseba de Mere ostala znana na tem območju in ne v literaturi.

Prej še noben matematik ni poskušal izračunati verjetnosti dogodkov, saj je veljalo, da je to le ugibna rešitev. Blaise Pascal je podal prvo definicijo verjetnosti dogodka in pokazal, da gre za določeno številko, ki jo je mogoče matematično utemeljiti. Teorija verjetnosti je postala osnova za statistiko in se pogosto uporablja v sodobni znanosti.

Kaj je naključnost

Če upoštevamo test, ki ga je mogoče ponoviti neskončno velikokrat, potem lahko definiramo naključni dogodek. To je eden od verjetnih rezultatov poskusa.

Izkušnja je izvajanje določenih dejanj v stalnih pogojih.

Za delo z rezultati eksperimenta so dogodki običajno označeni s črkami A, B, C, D, E ...

Verjetnost naključnega dogodka

Za začetek matematičnega dela verjetnosti je treba definirati vse njene komponente.

Verjetnost dogodka je številčna mera možnosti, da se nek dogodek (A ali B) zgodi kot posledica izkušnje. Verjetnost je označena kot P(A) ali P(B).

V teoriji verjetnosti razlikujejo:

zanesljiv dogodek se bo zagotovo zgodil kot rezultat izkušnje P(Ω) = 1;
nemogoče dogodek se nikoli ne more zgoditi P(Ø) = 0;
naključen dogodek leži med zanesljivim in nemogočim, to pomeni, da je verjetnost njegovega pojava možna, ni pa zajamčena (verjetnost naključnega dogodka je vedno v območju 0≤Р(А)≤ 1).

Odnosi med dogodki

Upošteva se tako ena kot vsota dogodkov A+B, ko se dogodek šteje, ko je izpolnjena vsaj ena od komponent, A ali B, ali obe, A in B.

Med seboj so dogodki lahko:

Enako možno.
Združljiv.
Nezdružljivo.
Nasprotje (medsebojno izključujoče).
Odvisni.

Če se lahko zgodita dva dogodka z enaka verjetnost potem oni enako možno.

Če pojav dogodka A ne zmanjša verjetnosti nastopa dogodka B na nič, potem združljiv.

Če se dogodka A in B nikoli ne pojavita hkrati v isti izkušnji, se imenujeta nezdružljivo. met kovanca - dober primer: pojav glav je samodejno nepojav glav.

Verjetnost za vsoto takih nezdružljivih dogodkov je sestavljena iz vsote verjetnosti vsakega od dogodkov:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Če pojav enega dogodka onemogoči pojav drugega, se imenujejo nasprotni. Potem je eden od njih označen kot A, drugi pa - Ā (beri kot "ne A"). Pojav dogodka A pomeni, da se Ā ni zgodil. Ta dva dogodka tvorita popolno skupino z vsoto verjetnosti enako 1.

Odvisni dogodki medsebojno vplivajo in zmanjšujejo ali povečujejo verjetnost drug drugega.

Odnosi med dogodki. Primeri

Z uporabo primerov je veliko lažje razumeti načela teorije verjetnosti in kombinacij dogodkov.

Eksperiment, ki bo izveden, je sestavljen iz jemanja žog iz škatle, rezultat vsakega poskusa pa je elementarni izid.

Dogodek je eden od možnih rezultatov eksperimenta - rdeča krogla, modra krogla, krogla s številko šest itd.

Test št. 1. V igri je 6 žogic, od katerih so tri modre z lihimi številkami, druge tri pa rdeče s sodimi številkami.

Test št. 2. Vključenih je 6 žog modre barve s številkami od ena do šest.

Na podlagi tega primera lahko poimenujemo kombinacije:

Zanesljiv dogodek. V španščini št. 2 dogodek »dobi modro žogo« je zanesljiv, saj je verjetnost njegovega pojava enaka 1, saj so vse kroglice modre in ne more biti zgrešenega. Medtem ko je dogodek "dobi žogo s številko 1" naključen.
Nemogoč dogodek. V španščini št. 1 z modrimi in rdečimi žogicami je dogodek »dobiti vijolično žogico« nemogoč, saj je verjetnost njegovega pojava enaka 0.
Enako možni dogodki. V španščini št. 1 sta enako možna dogodka »dobiti žogico s številko 2« in »dobiti žogico s številko 3« ter dogodka »dobiti žogico s sodo številko« in »dobiti žogico s številko 2«. ” imajo različne verjetnosti.
Združljivi dogodki. Dobiti šestico dvakrat zaporedoma med metanjem kocke je združljiv dogodek.
Nezdružljivi dogodki. V isti španščini št. 1, dogodka »dobi rdečo žogico« in »dobi žogico z liho številko« ni mogoče združiti v isto izkušnjo.
Nasprotni dogodki. večina svetel zgled To je met kovanca, kjer je črpanje glav enakovredno nevlečenju repov, vsota njihovih verjetnosti pa je vedno 1 (polna skupina).
Odvisni dogodki. Torej v španščini Št. 1, lahko si postavite cilj, da dvakrat zapored izvlečete rdečo kroglico. Ne glede na to, ali je prvič pridobljen ali ne, vpliva na verjetnost, da bo ponovno pridobljen.

Vidimo, da prvi dogodek pomembno vpliva na verjetnost drugega (40% in 60%).

Formula verjetnosti dogodka

Prehod od vedeževanja do natančnih podatkov se zgodi s prevodom teme na matematično ravnino. To pomeni, da je mogoče presoje o naključnem dogodku, kot je "visoka verjetnost" ali "minimalna verjetnost", prevesti v specifične numerične podatke. Tako gradivo je že dovoljeno vrednotiti, primerjati in vnašati v zahtevnejše izračune.

Z računskega vidika je določanje verjetnosti dogodka razmerje med številom elementarnih pozitivnih izidov in številom vseh možnih izidov izkušenj glede določenega dogodka. Verjetnost je označena s P(A), kjer P pomeni besedo "probabilite", ki je iz francoščine prevedena kot "verjetnost".

Torej, formula za verjetnost dogodka je:

Kjer je m število ugodnih izidov za dogodek A, je n vsota vseh možnih izidov za to izkušnjo. V tem primeru je verjetnost dogodka vedno med 0 in 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Izračun verjetnosti dogodka. Primer

Vzemimo španščino. 1 s kroglicami, ki smo jih opisali prej: 3 modre kroglice s številkami 1/3/5 in 3 rdeče kroglice s številkami 2/4/6.

Na podlagi tega preizkusa je mogoče obravnavati več različnih težav:

A - rdeča žoga, ki pada ven. Obstajajo 3 rdeče kroglice, skupaj pa je 6 možnosti. To je najpreprostejši primer, v katerem je verjetnost dogodka P(A)=3/6=0,5.
B - kotaljenje sodega števila. Obstajajo 3 soda števila (2,4,6), skupno število možnih številskih možnosti pa je 6. Verjetnost tega dogodka je P(B)=3/6=0,5.
C - pojav števila, večjega od 2. Obstajajo 4 takšne možnosti (3,4,5,6) od skupnega števila možnih izidov 6. Verjetnost dogodka C je enaka P(C)=4 /6=0,67.

Kot je razvidno iz izračunov, ima dogodek C večjo verjetnost, saj je število verjetnih pozitivnih izidov večje kot pri A in B.

Nezdružljivi dogodki

Takšni dogodki se ne morejo pojaviti hkrati v isti izkušnji. Kot v španščini št. 1, nemogoče je dobiti modro in rdečo žogo hkrati. To pomeni, da lahko dobite modro ali rdečo žogo. Na enak način se v kocki ne moreta pojaviti sodo in liho število hkrati.

Verjetnost dveh dogodkov se obravnava kot verjetnost njune vsote ali produkta. Vsota takih dogodkov A+B se šteje za dogodek, ki je sestavljen iz pojava dogodka A ali B, njun produkt AB pa je pojav obeh. Na primer, pojav dveh šestic hkrati na straneh dveh kock v enem metu.

Vsota več dogodkov je dogodek, ki predpostavlja pojav vsaj enega od njih. Produkcija več dogodkov je skupni dogodek vseh.

V teoriji verjetnosti uporaba veznika "in" praviloma označuje vsoto, veznik "ali" pa množenje. Formule s primeri vam bodo pomagale razumeti logiko seštevanja in množenja v teoriji verjetnosti.

Verjetnost vsote nezdružljivih dogodkov

Če upoštevamo verjetnost nezdružljivih dogodkov, potem je verjetnost vsote dogodkov enaka seštevku njihovih verjetnosti:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Na primer: izračunajmo verjetnost, da v španščini. 1 z modro in rdečo kroglico se bo pojavilo število med 1 in 4, ki ne bo izračunal v enem dejanju, ampak z vsoto verjetnosti elementarnih komponent. Torej, v takem poskusu je samo 6 žog ali 6 vseh možnih izidov. Števili, ki izpolnjujeta pogoj, sta 2 in 3. Verjetnost, da dobimo število 2, je 1/6, verjetnost, da dobimo število 3, je prav tako 1/6. Verjetnost, da dobite številko med 1 in 4, je:

Verjetnost vsote nekompatibilnih dogodkov celotne skupine je 1.

Če torej pri poskusu s kocko seštejemo verjetnosti vseh števil, ki se pojavijo, bo rezultat ena.

To velja tudi za nasprotne dogodke, na primer pri poskusu s kovancem, kjer je ena stran dogodek A, druga pa nasprotni dogodek Ā, kot je znano,

P(A) + P(Ā) = 1

Verjetnost pojava nezdružljivih dogodkov

Množenje verjetnosti se uporablja, ko upoštevamo pojav dveh ali več nezdružljivih dogodkov v enem opazovanju. Verjetnost, da se dogodka A in B v njej pojavita hkrati, je enaka zmnožku njunih verjetnosti oziroma:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Denimo verjetnost, da v španščini št. 1, kot rezultat dveh poskusov, se bo dvakrat pojavila modra krogla, enaka

To pomeni, da je verjetnost dogodka, ko se zaradi dveh poskusov izvlečenja žogic izvlečejo samo modre žogice, 25 %. Zelo enostavno je narediti praktične poskuse s to težavo in ugotoviti, ali je temu res tako.

Skupni dogodki

Dogodki se štejejo za skupne, če lahko pojav enega od njih sovpada z nastopom drugega. Kljub temu, da sta skupna, se upošteva verjetnost neodvisnih dogodkov. Na primer, met dveh kock lahko da rezultat, ko se na obeh pojavi številka 6. Čeprav sta dogodka sovpadala in se pojavila istočasno, sta neodvisna drug od drugega – izpade lahko le ena šestica, druga kocka pa ne. vpliv na to.

Verjetnost skupnih dogodkov se obravnava kot verjetnost njihove vsote.

Verjetnost vsote skupnih dogodkov. Primer

Verjetnost vsote dogodkov A in B, ki sta medsebojno povezana, je enaka vsoti verjetnosti dogodka, zmanjšani za verjetnost njunega pojava (torej njunega skupnega nastopa):

R sklep (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Predpostavimo, da je verjetnost zadetka tarče z enim strelom 0,4. Potem dogodek A zadene tarčo v prvem poskusu, B - v drugem. Ti dogodki so skupni, saj je možno, da lahko zadenete tarčo tako s prvim kot z drugim strelom. Toda dogodki niso odvisni. Kolikšna je verjetnost dogodka, da bi tarčo zadeli z dvema streloma (vsaj z enim)? Po formuli:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odgovor na vprašanje je: "Verjetnost zadetka tarče z dvema streloma je 64%."

To formulo za verjetnost dogodka lahko uporabimo tudi za nekompatibilne dogodke, kjer je verjetnost skupnega nastopa dogodka P(AB) = 0. To pomeni, da lahko verjetnost vsote nekompatibilnih dogodkov obravnavamo kot poseben primer predlagane formule.

Geometrija verjetnosti za jasnost

Zanimivo je, da lahko verjetnost vsote skupnih dogodkov predstavimo kot dve področji A in B, ki se med seboj sekata. Kot je razvidno iz slike, je območje njihove zveze enako celotna površina minus območje njihovega presečišča. Ta geometrijska razlaga naredi na videz nelogično formulo bolj razumljivo. Upoštevajte, da geometrijske rešitve niso neobičajne v teoriji verjetnosti.

Določanje verjetnosti vsote številnih (več kot dveh) skupnih dogodkov je precej okorno. Če ga želite izračunati, morate uporabiti formule, ki so na voljo za te primere.

Odvisni dogodki

Dogodki se imenujejo odvisni, če pojav enega (A) od njih vpliva na verjetnost pojava drugega (B). Poleg tega je upoštevan vpliv tako nastopa dogodka A kot njegovega nepostojanja. Čeprav se dogodki po definiciji imenujejo odvisni, je le eden od njih odvisen (B). Navadno verjetnost smo označili kot P(B) ali verjetnost neodvisnih dogodkov. Pri odvisnih dogodkih je uveden nov koncept - pogojna verjetnost P A (B), ki je verjetnost odvisnega dogodka B, odvisno od pojava dogodka A (hipoteza), od katerega je odvisen.

Toda dogodek A je tudi naključen, zato ima tudi verjetnost, ki jo je treba in jo je mogoče upoštevati pri izvedenih izračunih. Naslednji primer bo pokazal, kako delati z odvisnimi dogodki in hipotezo.

Primer izračuna verjetnosti odvisnih dogodkov

Dober primer za izračun odvisnih dogodkov bi bil standardni komplet kart.

Na primeru kompleta 36 kart si poglejmo odvisne dogodke. Določiti moramo verjetnost, da bo druga izvlečena karta iz kompleta karo, če je prva izvlečena karta:

Bubnovaja.
Drugačna barva.

Očitno je verjetnost drugega dogodka B odvisna od prvega A. Torej, če je prva možnost resnična, da je v kompletu 1 karta (35) in 1 karo (8) manj, je verjetnost dogodka B:

R A (B) = 8/35 = 0,23

Če je druga možnost resnična, ima krov zdaj 35 kart in polna številka tamburin (9), potem verjetnost naslednjega dogodka B:

R A (B) =9/35=0,26.

Vidimo lahko, da če je dogodek A pogojen s tem, da je prva karta diamant, se verjetnost dogodka B zmanjša in obratno.

Množenje odvisnih dogodkov

Na podlagi prejšnjega poglavja sprejmemo prvi dogodek (A) kot dejstvo, ki pa je v bistvu naključne narave. Verjetnost tega dogodka, namreč izvlečenja diamanta iz kompleta kart, je enaka:

P(A) = 9/36=1/4

Ker teorija ne obstaja sama po sebi, ampak je namenjena temu, da služi praktične namene, potem je pošteno opozoriti, da je najpogosteje potrebna verjetnost ustvarjanja odvisnih dogodkov.

Po izreku o produktu verjetnosti odvisnih dogodkov je verjetnost nastopa skupaj odvisnih dogodkov A in B enaka verjetnosti enega dogodka A, pomnoženi s pogojno verjetnostjo dogodka B (odvisnega od A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Potem je v primeru kompleta verjetnost, da izvlečete dve karti z barvo karo:

9/36*8/35=0,0571 ali 5,7 %

In verjetnost, da najprej ne izvlečete diamantov in nato diamantov, je enaka:

27/36*9/35=0,19 ali 19 %

Vidimo lahko, da je verjetnost, da se zgodi dogodek B, večja, če je prva izvlečena karta v barvi, ki ni karo. Ta rezultat je povsem logičen in razumljiv.

Skupna verjetnost dogodka

Ko problem s pogojnimi verjetnostmi postane večplasten, ga ni mogoče izračunati z običajnimi metodami. Kadar obstajata več kot dve hipotezi, in sicer A1, A2,…, A n, .. tvori celotno skupino dogodkov, če:

P(A i)>0, i=1,2,…
A i ∩ A j =Ø,i≠j.
Σ k A k =Ω.

Torej je formula za celotno verjetnost za dogodek B s celotno skupino naključnih dogodkov A1, A2,..., A n enaka:

Pogled v prihodnost

Verjetnost naključnega dogodka je izjemno potrebna na mnogih področjih znanosti: ekonometriji, statistiki, fiziki itd. Ker nekaterih procesov ni mogoče deterministično opisati, saj so sami po sebi verjetnostne narave, so potrebne posebne metode dela. Teorija verjetnosti dogodka se lahko uporablja na katerem koli tehnološkem področju kot način za ugotavljanje možnosti napake ali okvare.

Lahko rečemo, da s prepoznavanjem verjetnosti na nek način naredimo teoretični korak v prihodnost, ki jo pogledamo skozi prizmo formul.

Želite izvedeti matematične možnosti, da bo vaša stava uspešna? Potem sta za vas dve dobri novici. Prvič: za izračun tekaške sposobnosti vam ni treba izvajati zapletenih izračunov in porabiti veliko časa. Dovolj je za uporabo preproste formule, delo s katerim bo trajalo nekaj minut. Drugič: po branju tega članka lahko enostavno izračunate verjetnost, da bo katera koli vaša transakcija uspela.

Za pravilno določitev sposobnosti teka na smučeh morate narediti tri korake:

Izračunajte odstotek verjetnosti izida dogodka glede na stavnico;
Sami izračunajte verjetnost s statističnimi podatki;
Ugotovite vrednost stave ob upoštevanju obeh verjetnosti.

Oglejmo si vsak korak podrobno, pri čemer ne uporabljamo samo formul, ampak tudi primere.

Hiter prehod

Izračun verjetnosti, vključene v stavne kvote

Prvi korak je ugotoviti, s kakšno verjetnostjo stavnica sama ocenjuje možnosti posameznega izida. Jasno je, da stavnice ne postavljajo kvot kar tako. Za to uporabimo naslednjo formulo:

pB=(1/K)*100%,

kjer je P B verjetnost izida po mnenju stavnice;

K – kvota stavnice za izid.

Recimo, da je kvota za zmago londonskega Arsenala na tekmi proti Bayern Münchnu 4. To pomeni, da je verjetnost njihove zmage stavnica ocenila kot (1/4)*100%=25%. Ali pa Đoković igra proti Youzhnyju. Množitelj Novakove zmage je 1,2, njegove možnosti so (1/1,2)*100%=83%.

Tako stavnica sama ocenjuje možnosti za uspeh posameznega igralca in ekipe. Ko zaključimo prvi korak, preidemo na drugega.

Izračun verjetnosti dogodka s strani igralca

Druga točka našega načrta je lastna ocena verjetnosti dogodka. Ker parametrov, kot sta motivacija in ton igre, matematično ne moremo upoštevati, bomo uporabili poenostavljen model in uporabili samo statistiko iz prejšnjih srečanj. Za izračun statistične verjetnosti izida uporabimo formulo:

pIN=(UM/M)*100%,

KjepIN– verjetnost dogodka glede na igralca;

UM – število uspešnih tekem, v katerih se je tak dogodek zgodil;

M – skupno število tekem.

Da bo bolj jasno, navedimo primere. Andy Murray in Rafael Nadal sta med seboj odigrala 14 dvobojev. V 6 od njih je bilo skupno manj kot 21 iger, v 8 več. Ugotoviti morate verjetnost, da bo naslednja tekma odigrana z višjim seštevkom: (8/14)*100=57%. Valencia je proti Atleticu na Mestalli odigrala 74 tekem, na katerih je dosegla 29 zmag. Verjetnost zmage Valencie: (29/74)*100%=39%.

In vse to izvemo samo zaradi statistike prejšnjih iger! Seveda takšne verjetnosti za novo ekipo ali igralca ne bo mogoče izračunati, zato je ta stavna strategija primerna le za tekme, v katerih se nasprotnika srečata več kot enkrat. Zdaj vemo, kako določiti stavniško in lastno verjetnost izidov in imamo vse znanje, da preidemo na zadnji korak.

Določitev vrednosti stave

Vrednost (vrednost) stave in prehodnost sta neposredno povezani: višja kot je vrednost, večja je možnost prehoda. Vrednost se izračuna na naslednji način:

V=pIN*K-100%,

kjer je V vrednost;

P I – verjetnost izida po stavniku;

K – kvota stavnice za izid.

Recimo, da želimo staviti na zmago Milana na tekmi proti Romi in izračunamo, da je verjetnost zmage "rdeče-črnih" 45-odstotna. Stavnica nam za ta izid ponuja kvoto 2,5. Bi bila taka stava vredna? Izvajamo izračune: V=45%*2,5-100%=12,5%. Odlično, imamo dragoceno stavo z dobrimi možnostmi za prehod.

Vzemimo drug primer. Marija Šarapova igra proti Petri Kvitovi. Želimo skleniti posel za zmago Marije, katere verjetnost je po naših izračunih 60-odstotna. Stavnice za ta izid ponujajo množitelj 1,5. Določimo vrednost: V=60%*1,5-100=-10%. Kot lahko vidite, ta stava nima vrednosti in se ji je treba izogibati.

kot ontološka kategorija odraža obseg možnosti nastanka katere koli entitete pod kakršnimi koli pogoji. V nasprotju z matematično in logično razlago tega pojma se ontološka matematika ne povezuje z obveznostjo kvantitativnega izražanja. Pomen V. se razkriva v kontekstu razumevanja determinizma in narave razvoja nasploh.

Odlična definicija

Nepopolna definicija ↓

VERJETNOST

koncept, ki označuje količine. merilo možnosti nastopa določenega dogodka ob določenem pogoji. V znanstvenem znanja obstajajo tri razlage V. Klasični koncept V., ki je nastal iz matemat. analizo igre na srečo in najbolj v celoti razvil B. Pascal, J. Bernoulli in P. Laplace, obravnava V. kot razmerje med številom ugodnih primerov in skupno število vse enako možno. Na primer, pri metanju kocke, ki ima 6 strani, lahko pričakujemo, da bo vsaka pristala z vrednostjo 1/6, saj nobena stran nima prednosti pred drugo. Takšna simetrija eksperimentalnih izidov se posebej upošteva pri organizaciji iger, vendar je razmeroma redka pri proučevanju objektivnih dogodkov v znanosti in praksi. Klasična V.-ova interpretacija se je umaknila statističnim. V.-ove koncepte, ki temeljijo na dejan opazovanje nastanka določenega dogodka v daljšem časovnem obdobju. izkušnje pod točno določenimi pogoji. Praksa potrjuje, da pogosteje kot se zgodi dogodek, večja je stopnja objektivne možnosti njegovega nastanka oziroma B. Torej statistično. V.-jeva interpretacija temelji na konceptu odnosov. frekvenco, ki jo lahko določimo eksperimentalno. V. kot teoretično koncept nikoli ne sovpada z empirično določeno frekvenco, vendar v množini. V primerih se praktično malo razlikuje od relativnega. pogostost, ugotovljena kot rezultat trajanja. opazovanja. Številni statistiki menijo, da je V. "dvojno" nanašanje. frekvence, so robovi določeni statistično. študija rezultatov opazovanja

ali poskusi. Manj realistična je bila definicija V. kot meja. frekvence množičnih dogodkov ali skupin, ki jih je predlagal R. Mises. Kot nadaljnji razvoj frekvenčnega pristopa k V. je predstavljena dispozicijska ali propenzitivna razlaga V. (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). V skladu s to razlago V. označuje lastnost generiranja pogojev, npr. poskus. naprave za pridobitev zaporedja množičnih naključnih dogodkov. Prav ta odnos poraja telesno dispozicije ali predispozicije, V. ki jih lahko preverimo s pomočjo sorodnikov. pogostost

Statistični Razlaga V. prevladuje v znanstvenih raziskavah. spoznanje, saj odseva specifične. narava vzorcev, ki so lastni množičnim pojavom naključne narave. V številnih fizičnih, bioloških, ekonomskih, demografskih. in drugih družbenih procesov, je treba upoštevati delovanje številnih naključnih dejavnikov, za katere je značilna stabilna frekvenca. Prepoznavanje teh stabilnih frekvenc in količin. njeno ocenjevanje s pomočjo V. omogoča razkrivanje nujnosti, ki si utira pot skozi kumulativno delovanje številnih nesreč. Tu se manifestira dialektika spreminjanja naključja v nujnost (glej F. Engels, v knjigi: K. Marx in F. Engels, Dela, zv. 20, str. 535-36).

Logično ali induktivno sklepanje označuje razmerje med premisami in zaključkom nedemonstrativnega in zlasti induktivnega sklepanja. Za razliko od dedukcije premise indukcije ne zagotavljajo resničnosti zaključka, ampak ga le naredijo bolj ali manj verjetnega. To verodostojnost z natančno oblikovanimi premisami lahko včasih ocenimo z V. Vrednost tega V. največkrat ugotavljamo s primerjavo. pojmov (več kot, manj kot ali enako), včasih pa tudi na numerični način. Logično interpretacija se pogosto uporablja za analizo induktivnega sklepanja in konstruiranja različne sisteme verjetnostne logike (R. Carnap, R. Jeffrey). V semantiki logični pojmi V. je pogosto definiran kot stopnja, do katere je ena izjava potrjena z drugimi (na primer hipoteza s svojimi empiričnimi podatki).

V povezavi z razvojem teorij odločanja in iger, t.i personalistična interpretacija V. Čeprav V. hkrati izraža stopnjo vere subjekta in pojav določenega dogodka, morajo biti V. sami izbrani tako, da so zadoščeni aksiomom računa V. Zato V. s tako razlago izraža ne toliko stopnjo subjektivne, temveč bolj razumne vere. Posledično bodo odločitve, sprejete na podlagi takega V., racionalne, ker ne upoštevajo psihološkega. značilnosti in nagnjenja subjekta.

Z epistemološkim t.zr. razlika med statističnim, logičnim. in personalistične interpretacije V. je, da če prva označuje objektivne lastnosti in razmerja množičnih pojavov naključne narave, potem zadnja dva analizirata značilnosti subjektivnega, spoznavnega. človekove dejavnosti v pogojih negotovosti.

VERJETNOST

eden od najpomembnejši pojmi znanost, ki označuje posebno sistemsko vizijo sveta, njegovo strukturo, razvoj in znanje. Specifičnost verjetnostnega pogleda na svet se razkriva skozi vključitev konceptov naključnosti, neodvisnosti in hierarhije (ideje o nivojih v strukturi in določitvi sistemov) med osnovne koncepte obstoja.

Predstave o verjetnosti so nastale že v antiki in so bile povezane z značilnostmi našega znanja, pri čemer je bil priznan obstoj verjetnostnega znanja, ki se razlikuje od zanesljivega znanja in od lažnega znanja. Vpliv ideje o verjetnosti na znanstveno razmišljanje in na razvoj znanja je neposredno povezan z razvojem teorije verjetnosti kot matematične discipline. Začetki matematične doktrine verjetnosti segajo v 17. stoletje, ko se je razvilo jedro konceptov, ki omogočajo. kvantitativne (numerične) značilnosti in izražanje verjetnostne ideje.

Intenzivne aplikacije verjetnosti za razvoj kognicije se pojavljajo v 2. pol. 19 - 1. polčas. 20. stoletje Verjetnost je vstopila v strukture temeljnih ved o naravi, kot so klasična statistična fizika, genetika, kvantna teorija in kibernetika (teorija informacij). V skladu s tem verjetnost pooseblja tisto stopnjo v razvoju znanosti, ki je danes opredeljena kot neklasična znanost. Da bi razkrili novost in značilnosti verjetnostnega načina razmišljanja, je treba izhajati iz analize predmeta teorije verjetnosti in temeljev njenih številnih aplikacij. Teorija verjetnosti je običajno definirana kot matematična disciplina, ki preučuje vzorce množičnih naključnih pojavov pod določene pogoje. Naključnost pomeni, da v okviru množičnosti obstoj posameznega elementarnega pojava ni odvisen in ni določen z obstojem drugih pojavov. Hkrati ima sama množična narava pojavov stabilno strukturo in vsebuje določene pravilnosti. Masovni pojav je precej strogo razdeljen na podsisteme, relativno število elementarnih pojavov v vsakem od podsistemov (relativna frekvenca) pa je zelo stabilno. Ta stabilnost se primerja z verjetnostjo. Masovni pojav kot celoto je označen z verjetnostno porazdelitvijo, to je z določitvijo podsistemov in njihovih ustreznih verjetnosti. Jezik teorije verjetnosti je jezik verjetnostnih porazdelitev. V skladu s tem je teorija verjetnosti opredeljena kot abstraktna znanost o delovanju s porazdelitvami.

Verjetnost je v znanosti spodbudila ideje o statističnih vzorcih in statističnih sistemih. Zadnja esenca sisteme, oblikovane iz neodvisnih ali kvazi neodvisnih entitet, je njihova struktura označena z verjetnostnimi porazdelitvami. Toda kako je mogoče oblikovati sisteme iz neodvisnih entitet? Običajno se predpostavlja, da je za nastanek sistemov z integralnimi značilnostmi potrebno, da med njihovimi elementi obstajajo dovolj stabilne povezave, ki sisteme cementirajo. Stabilnost statističnih sistemov zagotavlja prisotnost zunanjih pogojev, zunanje okolje, zunanji, ne notranje sile. Sama definicija verjetnosti vedno temelji na postavitvi pogojev za nastanek začetnega množičnega pojava. Druga pomembna ideja, ki označuje verjetnostno paradigmo, je ideja hierarhije (podrejenosti). Ta ideja izraža razmerje med značilnostmi posameznih elementov in integralnimi značilnostmi sistemov: slednji so tako rekoč zgrajeni nad prvimi.

Pomen verjetnostnih metod v spoznavanju je v tem, da omogočajo preučevanje in teoretično izražanje vzorcev strukture in obnašanja objektov in sistemov, ki imajo hierarhično, "dvonivojsko" strukturo.

Analiza narave verjetnosti temelji na njeni pogostosti, statistični interpretaciji. Hkrati je v znanosti zelo dolgo prevladovalo takšno razumevanje verjetnosti, ki se je imenovalo logična ali induktivna verjetnost. Logično verjetnost zanimajo vprašanja veljavnosti ločene, individualne sodbe pod določenimi pogoji. Ali je možno kvantitativno ovrednotiti stopnjo potrjenosti (zanesljivosti, resničnosti) induktivnega sklepa (hipotetičnega sklepa)? Med razvojem teorije verjetnosti so se o takšnih vprašanjih večkrat razpravljali in začeli so govoriti o stopnjah potrditve hipotetičnih zaključkov. Ta mera verjetnosti je določena z razpoložljivimi ta oseba informacije, njegove izkušnje, poglede na svet in psihološko miselnost. V vseh takšnih primerih velikost verjetnosti ni podvržena strogim meritvam in je praktično izven pristojnosti teorije verjetnosti kot dosledne matematične discipline.

Objektivna, frekventistična interpretacija verjetnosti se je v znanosti uveljavila s precejšnjimi težavami. Sprva so na razumevanje narave verjetnosti močno vplivali tisti filozofski in metodološki pogledi, ki so bili značilni za klasično znanost. Zgodovinsko gledano se je razvoj verjetnostnih metod v fiziki zgodil pod odločilnim vplivom idej mehanike: statistični sistemi so bili interpretirani preprosto kot mehanski. Ker ustreznih problemov niso rešili s strogimi metodami mehanike, so se pojavile trditve, da je obračanje k verjetnostnim metodam in statističnim zakonom posledica nepopolnosti našega znanja. V zgodovini razvoja klasične statistične fizike je bilo veliko poskusov, da bi jo utemeljili na podlagi klasične mehanike, vendar vsi niso uspeli. Osnova verjetnosti je, da izraža strukturne značilnosti določenega razreda sistemov, razen mehanskih sistemov: za stanje elementov teh sistemov je značilna nestabilnost in posebna (ki je ni mogoče reducirati na mehaniko) narava interakcij.

Vstop verjetnosti v znanje vodi v zanikanje koncepta trdega determinizma, v zanikanje osnovnega modela bivanja in vednosti, ki se je razvil v procesu nastajanja klasične znanosti. Osnovni modeli, ki jih predstavljajo statistične teorije, so drugačne, bolj splošne narave: vključujejo ideje naključnosti in neodvisnosti. Ideja verjetnosti je povezana z razkritjem notranje dinamike predmetov in sistemov, ki je ni mogoče v celoti določiti. zunanje razmere in okoliščine.

Koncept verjetnostne vizije sveta, ki temelji na absolutizaciji idej o neodvisnosti (kot pred paradigmo rigidne determiniranosti), je zdaj pokazal svoje omejitve, kar najmočneje vpliva na tranzicijo moderna znanost do analitičnih metod za preučevanje kompleksnih sistemov ter fizikalnih in matematičnih temeljev pojavov samoorganizacije.

Odlična definicija

Nepopolna definicija ↓

To je razmerje med številom tistih opazovanj, v katerih se je zgodil zadevni dogodek, in skupnim številom opazovanj. Ta razlaga je sprejemljiva v primeru dovolj velikega števila opazovanj ali poskusov. Na primer, če je približno polovica ljudi, ki jih srečate na ulici, žensk, potem lahko rečete, da je verjetnost, da bo oseba, ki jo srečate na ulici, ženska, 1/2. Z drugimi besedami, ocena verjetnosti dogodka je lahko pogostost njegovega pojavljanja v dolgem nizu neodvisnih ponovitev naključnega eksperimenta.

Verjetnost v matematiki

V sodobnem matematičnem pristopu je klasična (to je ne kvantna) verjetnost podana z aksiomatiko Kolmogorova. Verjetnost je merilo p, ki je definiran na nizu X, ki se imenuje verjetnostni prostor. Ta ukrep mora imeti naslednje lastnosti:

Od določene pogoje sledi, da je verjetnostna mera p ima tudi lastnino aditivnost: če nizi A 1 in A 2 ne sekata, potem . Če želite dokazati, morate dati vse A 3 , A 4 , ... enaka prazni množici in uporabi lastnost štetne aditivnosti.

Verjetnostna mera morda ni definirana za vse podmnožice niza X. Dovolj je, da jo definiramo na sigma algebri, sestavljeni iz nekaj podmnožic množice X. V tem primeru so naključni dogodki definirani kot merljive podmnožice prostora X, torej kot elementi sigma algebre.

Občutek verjetnosti

Ko ugotovimo, da razlogi za neko možno dejstvo dejansko prevladajo nad nasprotnimi razlogi, to dejstvo upoštevamo verjetno, drugače - neverjetno. Ta prevlada pozitivnih baz nad negativnimi in obratno lahko predstavlja nedoločen niz stopenj, zaradi česar verjetnost(In neverjetnost) Zgodi se več oz manj .

Zapletena posamezna dejstva ne dopuščajo natančnega izračuna stopenj njihove verjetnosti, vendar je tudi tu pomembno vzpostaviti nekaj velikih podrazdelitev. Tako na primer na pravnem področju, ko se osebno dejstvo, ki je predmet sojenja, ugotovi na podlagi pričevanja, vedno ostane, strogo gledano, samo verjetno, pri čemer je treba vedeti, kako pomembna je ta verjetnost; v rimskem pravu je bila tu sprejeta četverna delitev: probatio plena(kjer se verjetnost praktično spremeni v zanesljivost), Nadalje - probatio minus plena, potem - probatio semiplena major in končno probatio semiplena minor .

Poleg vprašanja verjetnosti primera se lahko tako na pravnem kot tudi na moralnem področju (z določenim etičnim vidikom) pojavi vprašanje, kolikšna je verjetnost, da določeno dejstvo predstavlja kršitev običajno pravo. To vprašanje, ki služi kot glavni motiv v verski pravni praksi Talmuda, je tudi v rimskokatoliški moralni teologiji (zlasti od konca 16. stoletja) povzročilo zelo zapletene sistematične konstrukcije in ogromno literature, dogmatične in polemične (zlasti od konca 16. stoletja) ( glej verjetnost).

Koncept verjetnosti omogoča določen numerični izraz, če se uporablja le za takšna dejstva, ki so del določene homogene serije. Torej (v najpreprostejšem primeru), ko nekdo vrže kovanec stokrat zapored, najdemo tukaj eno splošno ali veliko serijo (vsota vseh padcev kovanca), sestavljeno iz dveh zasebnih ali manjših, v tem primeru številčno enako, serija (padci "glave" in padci "repi"); Verjetnost, da bo tokrat kovanec pristal na glavo, to je, da bo ta novi član splošne serije pripadal tej od dveh manjših serij, je enaka ulomku, ki izraža številčno razmerje med to majhno serijo in večjo, in sicer 1/2, kar pomeni, da enaka verjetnost pripada enemu ali drugemu od dveh določenih nizov. V manj preprosti primeri zaključka ni mogoče izpeljati neposredno iz podatkov samega problema, ampak zahteva predhodno indukcijo. Tako se na primer postavlja vprašanje: kakšna je verjetnost, da bo dani novorojenček dočakal 80 let? Tu bi morala obstajati splošna ali velika serija določenega števila ljudi, rojenih v podobnih razmerah in v njih umrlih v različnih starostih(to število mora biti dovolj veliko za odpravo naključna odstopanja, in dovolj majhna, da ohrani homogenost serije, saj je za človeka, rojenega na primer v Sankt Peterburgu v premožni kulturni družini, celotno milijonsko prebivalstvo mesta, katerega pomemben del sestavljajo ljudje iz različne skupine, ki lahko prezgodaj umrejo – vojaki, novinarji, delavci nevarni poklici, - predstavlja skupino, ki je preveč heterogena za pravo določitev verjetnosti); naj ta splošna serija obsega deset tisoč človeških življenj; vključuje manjše serije, ki predstavljajo število ljudi, ki preživijo določeno starost; ena od teh manjših serij predstavlja število ljudi, ki živijo do starosti 80 let. Nemogoče pa je določiti število te manjše serije (kot vseh drugih) a priori; to se naredi povsem induktivno, s statistiko. Recimo statistične raziskave ugotovili, da jih od 10.000 prebivalcev srednjega razreda Sankt Peterburga le 45 doživi 80 let; Tako je ta manjša serija povezana z večjo, kot je 45 proti 10.000, verjetnost, da bo določena oseba pripadala tej manjši seriji, torej dočakala 80 let, pa je izražena kot ulomek 0,0045. Preučevanje verjetnosti z matematičnega vidika tvori posebno disciplino - teorijo verjetnosti.

Poglej tudi

Opombe

Literatura

Alfred Renyi. Pisma o verjetnosti / prev. iz madžarščine D. Saas in A. Crumley, ur. B. V. Gnedenko. M.: Mir. 1970
Gnedenko B.V. Predmet teorije verjetnosti. M., 2007. 42 str.
Kuptsov V.I. Determinizem in verjetnost. M., 1976. 256 str.

Fundacija Wikimedia. 2010.

Sopomenke:

Protipomenke:

Poglejte, kaj je "verjetnost" v drugih slovarjih:

Splošno znanstveno in filozofsko. kategorija, ki označuje kvantitativno stopnjo možnosti pojava množičnih naključnih dogodkov pri določenih pogojih opazovanja, ki označuje stabilnost njihovih relativnih frekvenc. V logiki, semantična stopnja ... ... Filozofska enciklopedija

VERJETNOST, število v območju od nič do vključno ena, ki predstavlja možnost, da se določen dogodek zgodi. Verjetnost dogodka je opredeljena kot razmerje med številom možnosti, da se dogodek lahko zgodi, in skupnim številom možnih... ... Znanstveni in tehnični enciklopedični slovar

Po vsej verjetnosti.. Slovar ruskih sinonimov in podobnih izrazov. Spodaj. izd. N. Abramova, M.: Ruski slovarji, 1999. verjetnost možnost, verjetnost, možnost, objektivna možnost, maza, dopustnost, tveganje. Mravlja. nemogoče...... Slovar sinonimov

verjetnost- Merilo, da se bo dogodek verjetno zgodil. Opomba Matematična definicija verjetnosti je: "realno število med 0 in 1, ki je povezano z naključnim dogodkom." Število lahko odraža relativno pogostost v nizu opazovanj... ... Priročnik za tehnične prevajalce

Verjetnost- "matematična, numerična značilnost stopnje možnosti pojava katerega koli dogodka v določenih specifičnih pogojih, ki se lahko ponovi neomejeno število krat." Na podlagi te klasike...... Ekonomski in matematični slovar

- (verjetnost) Možnost pojava dogodka ali določenega rezultata. Lahko ga predstavimo v obliki lestvice z razdelki od 0 do 1. Če je verjetnost dogodka enaka nič, je njegov nastop nemogoč. Z verjetnostjo, enako 1, nastop... Slovar poslovnih izrazov

Verjetnost nasprotnega dogodka

Razmislite o nekem naključnem dogodku A, in pustite njegovo verjetnost p(A) znan. Potem verjetnost nasprotnega dogodka je določena s formulo

. (1.8)

Dokaz. Spomnimo se, da po aksiomu 3 za neskupne dogodke

p(A+B) = p(A) + p(B).

Zaradi nezdružljivosti A in

Posledica., kar pomeni, da je verjetnost nemogočega dogodka enaka nič.

Z uporabo formule (1.8) se na primer določi verjetnost zgrešenega zadetka, če je znana verjetnost zadetka (ali obratno, verjetnost zadetka, če je znana verjetnost zgrešenega zadetka; na primer, če je verjetnost zadetka zadetek za pištolo je 0,9, verjetnost zgrešenega strela je (1 – 0, 9 = 0,1).

Verjetnost vsote dveh dogodkov

Tukaj bi bilo primerno spomniti na to za neskupne dogodke ta formula izgleda takole:

Primer. Obrat proizvede 85 % izdelkov prvega razreda in 10 % izdelkov drugega razreda. Preostali izdelki se štejejo za pomanjkljive. Kakšna je verjetnost, da dobimo napako, če vzamemo izdelek naključno?

rešitev. P = 1 – (0,85 + 0,1) = 0,05.

Verjetnost vsote katerih koli dveh naključnih dogodkov enako

Dokaz. Predstavljajmo si dogodek A + B kot vsota nezdružljivih dogodkov

Glede na nezdružljivost A in , dobimo v skladu z aksiomom 3

Podobno ugotavljamo

Če slednjo zamenjamo v prejšnjo formulo, dobimo želeno (1.10) (slika 2).

Primer. Od 20 dijakov jih je 5 opravilo izpit iz zgodovine s slabo oceno, 4 izpit iz angleški jezik, 3 učenci pa so bili pri obeh predmetih slabi. Kolikšen je odstotek učencev v skupini, ki pri teh predmetih nimajo neuspeha?

rešitev. P = 1 – (5/20 + 4/20 – 3/20) = 0,7 (70 %).

Pogojna verjetnost

V nekaterih primerih je treba določiti verjetnost naključnega dogodka B pod pogojem, da se je zgodil naključen dogodek A, ki ima neničelno verjetnost. Kaj je dogodek A zgodilo, zoži prostor elementarnega dogajanja na množico A ki ustreza temu dogodku. Nadaljnje razprave bomo izvedli z uporabo primera klasična shema. Naj W sestoji iz n enako možnih elementarnih dogodkov (izidov) in dogodka A uslug m(A), in dogodek AB - m(AB) rezultati. Označimo pogojno verjetnost dogodka B pod pogojem, da A zgodilo, - p(B|A). A-priory,

= .

če A zgodilo, nato je eden od m(A) izidi in dogodek B se lahko zgodi le, če je eden od izidov naklonjen AB; takšni rezultati m(AB). Zato je naravno postaviti pogojno verjetnost dogodka B pod pogojem, da A zgodilo, enako razmerju

Če povzamemo, dajmo splošno definicijo: pogojna verjetnost dogodka B, pod pogojem, da se dogodek A zgodi z neničelno verjetnostjo , klical

. (1.11)

Preprosto je preveriti, da tako uvedena definicija zadošča vsem aksiomom in so zato veljavni vsi predhodno dokazani izreki.

Pogosto pogojna verjetnost p(B|A) lahko preprosto najdete v izjavi o problemu v več težkih primerih moramo uporabiti definicijo (1.11).

Primer.Žara vsebuje N kroglic, od katerih je n belih in N-n črna. Iz njega se vzame žoga in, ne da bi jo vrnili nazaj ( vzorec brez vračila ), vzamejo še enega. Kolikšna je verjetnost, da sta obe žogi beli?

rešitev. Pri reševanju tega problema uporabimo tako klasično definicijo verjetnosti kot pravilo produkta: z A označimo dogodek, ko je bila prva izvlečena bela kroglica (nato je bila prva izvlečena črna), z B pa dogodek, ko je bila druga je bila izžrebana bela krogla; Potem

Lahko vidimo, da je verjetnost, da so tri zaporedoma izžrebane kroglice (brez zamenjave) bele:

itd.

Primer. Od 30 izpitnih listkov jih je študent pripravil le 25. Če noče odgovoriti na prvo vzeto listko (ki je ne pozna), potem sme vzeti drugo. Določite verjetnost, da bo druga vstopnica srečna.

rešitev. Naj dogodek A je, da se je prva izvlečena vstopnica izkazala za "slabo" za študenta in B- drugi - ²dobro². Ker po dogodku A ena od "slabih" je že odstranjena, potem je ostalo samo še 29 vstopnic, od katerih jih študent pozna 25. Zato je želena verjetnost, ob predpostavki, da je pojav katere koli vstopnice enako možen in se ne vrnejo, enaka .

Verjetnost izdelka

Relacija (1.11) ob predpostavki, da p(A) oz p(B) niso enaki nič, lahko zapišemo v obliki

To razmerje se imenuje izrek o verjetnosti produkta dveh dogodkov , ki se lahko posploši na poljubno število dejavnikov, na primer za tri ima obliko

Primer. S pomočjo pogojev prejšnjega primera poiščite verjetnost uspešnega opravljanja izpita, če mora študent za to odgovoriti na prvo vozovnico ali, ne da bi odgovoril na prvo, odgovoriti na drugo.

rešitev. Naj dogodki A in B sta, da sta prva in druga vstopnica ²dobri². Potem - prvič se pojavi "slaba" vstopnica. Izpit se opravi, če pride do dogodka A ali hkrati B. To pomeni, da je želeni dogodek C - uspešno opravljen izpit - izražen na naslednji način: C = A+ .Od tukaj

Tukaj smo izkoristili nekompatibilnost A in s tem nezdružljivost A in , izreki o verjetnosti vsote in zmnožka ter klasična definicija verjetnosti pri računanju p(A) in .

To težavo je mogoče preprosteje rešiti, če uporabimo izrek o verjetnosti nasprotnega dogodka:

Neodvisnost dogodkov

Naključna dogodka A in Bpokličimoneodvisen, Če

Za neodvisne dogodke iz (1.11) sledi, da ; Velja tudi obratno.

Neodvisnost dogodkovpomeni, da pojav dogodka A ne spremeni verjetnosti nastopa dogodka B, to pomeni, da je pogojna verjetnost enaka brezpogojni verjetnosti .

Primer. Oglejmo si prejšnji primer z žaro, ki vsebuje N kroglic, od katerih je n belih, vendar spremenimo poskus: ko vzamemo kroglico, jo vrnemo nazaj in šele nato vzamemo naslednjo ( vzorec z vračilom ).

A je dogodek, da je prva izvlečena bela krogla, dogodek, da je prva izvlečena črna krogla, in B je dogodek, da je bela krogla izvlečena druga; Potem

to pomeni, da sta v tem primeru dogodka A in B neodvisna.

Tako so pri vzorčenju z vračanjem dogodki drugega izvleka žogice neodvisni od dogodkov prvega izvleka, pri vzorčenju brez vračanja pa temu ni tako. Vendar pa sta pri velikih N in n te verjetnosti zelo blizu druga drugi. To se uporablja, ker se včasih izvaja vzorčenje brez vrnitve (na primer med nadzorom kakovosti, ko testiranje predmeta vodi do njegovega uničenja), izračuni pa se izvajajo z uporabo formul za vzorčenje z vrnitvijo, ki so enostavnejše.

V praksi pri računanju verjetnosti pogosto uporabljajo pravilo, po katerem iz fizične neodvisnosti dogodkov sledi njihova neodvisnost v teoretično-verjetnostnem smislu .

Primer. Verjetnost, da oseba, stara 60 let, v naslednjem letu ne bo umrla, je 0,91. Zavarovalnica za eno leto zavaruje življenje dveh 60-letnikov.

Verjetnost, da nobeden od njiju ne bo umrl: 0,91 × 0,91 = 0,8281.

Verjetnost, da oba umreta:

(1 – 0,91) × (1 – 0,91) = 0,09 × 0,09 = 0,0081.

Verjetnost smrti vsaj en:

1 – 0,91 × 0,91 = 1 – 0,8281 = 0,1719.

Verjetnost smrti eno:

0,91 × 0,09 + 0,09 × 0,91 = 0,1638.

Sistem dogodkov A 1 , A 2 ,..., A n Imenujemo ga neodvisen v agregatu, če je verjetnost produkta enaka produktu verjetnosti za poljubno kombinacijo faktorjev iz tega sistema. V tem primeru še posebej

Primer. Varna koda je sestavljena iz sedmih decimalnih mest. Kakšna je verjetnost, da jo bo tat prvič pravilno vtipkal?

Na vsakem od 7 položajev lahko pokličete katero koli od 10 števk 0,1,2,...,9, skupaj 107 številk, ki se začnejo od 0000000 do 9999999.

Primer. Varna koda je sestavljena iz ruske črke (33 jih je) in treh številk. Kakšna je verjetnost, da jo bo tat prvič pravilno vtipkal?

P = (1/33) × (1/10) 3 .

Primer. V več splošni pogled problem zavarovanja: verjetnost, da oseba, stara ... ne bo umrla v naslednjem letu, je p. Zavarovalnica za eno leto zavaruje življenja n ljudi te starosti.

Verjetnost, da nihče od njih ne bo umrl: pn (nihče ne bo moral plačati zavarovalnine).

Verjetnost smrti vsaj en: 1 – p n (plačila prihajajo).

Verjetnost, da bodo Vse bo umrl: (1 – p) n (največja izplačila).

Verjetnost smrti eno: n × (1 – p) × p n-1 (če so ljudje oštevilčeni, ima lahko tisti, ki umre, številko 1, 2,…, n je n razne prireditve, od katerih ima vsak verjetnost (1 – p) × p n-1).

Formula skupne verjetnosti

Naj dogodki H 1 , H 2 , ... , H n izpolnjevati pogoje

če .

Takšna zbirka se imenuje celotna skupina dogodkov.

Predpostavimo, da so verjetnosti znane str(H i), str(A/H i). V tem primeru velja formula skupne verjetnosti

. (1.14)

Dokaz. Uporabimo dejstvo, da H i(običajno se imenujejo hipoteze ) so parno nekompatibilni (torej nezdružljivi in H i× A), njihova vsota pa je zanesljiv dogodek

Ta shema se pojavi vedno, ko lahko govorimo o razdelitvi celotnega dogajalnega prostora na več, splošno rečeno, heterogenih regij. V ekonomiji je to delitev države ali regije na regije različne velikosti in različni pogoji, ko je znan delež posamezne regije p(živjo) in verjetnost (delež) nekega parametra v vsaki regiji (npr. odstotek brezposelnih - vsaka regija ima svojega) - p(A/H i). Skladišče lahko vsebuje izdelke iz treh različnih tovarn, ki dobavljajo različne količine izdelkov z različnimi odstotki napak itd.

Primer. Ulivanje surovcev poteka iz dveh delavnic v tretjo: 70% iz prve in 30% iz druge. Hkrati imajo izdelki prve delavnice 10% napak, druge pa 20%. Poiščite verjetnost, da ima en naključno vzeti slepi vzorec napako.

rešitev: p(H1) = 0,7; p(H2) = 0,3; p(A/H 1) = 0,1; p(A/H2) = 0,2;

P = 0,7 × 0,1 + 0,3 × 0,2 = 0,13 (v povprečju je v tretji delavnici okvarjenih 13 % ingotov).

Matematični model bi lahko bil na primer takšen: obstaja več žar različnih sestav; prva žara vsebuje n 1 kroglic, od katerih je m 1 belih itd. S formulo popolne verjetnosti iščemo verjetnost, da naključno izberemo žaro in iz nje izvlečemo belo kroglico.

Ista shema se uporablja za reševanje problemov v splošnem primeru.

Primer. Vrnimo se k primeru žare, ki vsebuje N kroglic, od katerih je n belih. Iz njega vzamemo dve žogi (brez vračanja). Kolikšna je verjetnost, da je druga krogla bela?

rešitev. H 1 – prva krogla je bela; p(H1)=n/N;

H 2 – prva krogla je črna; p(H2)=(N-n)/N;

B - druga krogla je bela; p(B|H 1)=(n-1)/(N-1); p(B|H2)=n/(N-1);

Isti model lahko uporabimo za rešitev naslednjega problema: od N vstopnic se je učenec naučil le n. Kaj se mu bolj splača - prvi ali drugi izžrebati listek? Izkazalo se je, da je v vsakem primeru verjetno n/N bo izžrebal dober listek in z verjetnostjo ( N-n)/N – slab.

Primer. Določite verjetnost, da bo potnik, ki zapusti točko A, končal v točki B, če na razcepu naključno izbere katero koli cesto (razen povratne). Cestni zemljevid je prikazan na sl. 1.3.

rešitev. Naj bodo popotnikov prihod v točke H 1, H 2, H 3 in H 4 ustrezne hipoteze. Očitno tvorijo popolno skupino dogodkov in glede na pogoje problema

p(H 1) = p(H 2) = p(H 3) = p(H 4) = 0,25.

(Vse smeri iz A so za popotnika enako možne). Glede na zemljevid ceste so pogojne verjetnosti vstopa v B, če je potnik šel skozi Hi, enake:

Z uporabo formule popolne verjetnosti dobimo

Bayesova formula

Predpostavimo, da so izpolnjeni pogoji iz prejšnjega odstavka in je dodatno znano, da dogodek A zgodilo. Poiščimo verjetnost, da se je hipoteza uresničila H k. Z definicijo pogojne verjetnosti

. (1.15)

Nastalo razmerje se imenuje Bayesova formula. Omogoča po znanem
(pred eksperimentom) apriorne verjetnosti hipotez p(živjo) in pogojne verjetnosti p(A|H i) določi pogojno verjetnost p(H k |A) ki se imenuje a posteriori (to je pridobljeno pod pogojem, da je kot posledica izkušnje dogodek A se je že zgodilo).

Primer. V prvo socialno skupino spada 30 % bolnikov, sprejetih v bolnišnico, v drugo 20 % in v tretjo 50 %. Verjetnost okužbe s tuberkulozo za predstavnika vsakega družbena skupina je enako 0,02, 0,03 in 0,01. Testi, opravljeni pri naključno izbranem bolniku, so pokazali prisotnost tuberkuloze. Poiščite verjetnost, da je to predstavnik tretje skupine.