Površina formule nagnjene prizme. Prostornina in površina pravilne štirikotne prizme

Video tečaj »Get an A« vključuje vse teme, ki so potrebne za uspešno opravljen enotni državni izpit iz matematike s 60-65 točkami. Popolnoma vse naloge 1-13 profilnega enotnega državnega izpita iz matematike. Primeren tudi za opravljanje osnovnega enotnega državnega izpita iz matematike. Če želite opraviti enotni državni izpit z 90-100 točkami, morate 1. del rešiti v 30 minutah in brez napak!

Pripravljalni tečaj za enotni državni izpit za 10.-11. razred, pa tudi za učitelje. Vse, kar potrebujete za rešitev 1. dela Enotnega državnega izpita iz matematike (prvih 12 težav) in 13. naloga (trigonometrija). In to je več kot 70 točk na Enotnem državnem izpitu in brez njih ne more niti študent s 100 točkami niti študent humanistike.

Vsa potrebna teorija. Hitri načini rešitve, pasti in skrivnosti enotnega državnega izpita. Analizirane so bile vse trenutne naloge 1. dela iz banke nalog FIPI. Tečaj v celoti ustreza zahtevam Enotnega državnega izpita 2018.

Tečaj obsega 5 velikih tem, vsaka po 2,5 ure. Vsaka tema je podana od začetka, preprosto in jasno.

Na stotine nalog enotnega državnega izpita. Besedne težave in teorija verjetnosti. Preprosti in lahko zapomniti si algoritme za reševanje problemov. Geometrija. Teorija, referenčni material, analiza vseh vrst nalog enotnega državnega izpita. Stereometrija. Zvijačni triki rešitve, uporabne goljufije, razvoj prostorske domišljije. Trigonometrija od začetka do problema 13. Razumevanje namesto nabijanja. Jasne razlage kompleksnih konceptov. Algebra. Koreni, potence in logaritmi, funkcija in odvod. Osnova za reševanje kompleksnih problemov 2. dela enotnega državnega izpita.

To so najpogostejše tridimenzionalne figure med drugimi podobnimi, ki jih najdemo v vsakdanjem življenju in naravi. Stereometrija ali prostorska geometrija preučuje njihove lastnosti. V tem članku bomo obravnavali vprašanje, kako lahko najdete stransko površino običajnega trikotna prizma, pa tudi štirikotne in šesterokotne.

Kaj je prizma?

Preden izračunate stransko površino pravilne trikotne prizme in druge vrste te figure, morate razumeti, kaj so. Nato se bomo naučili določiti količine, ki nas zanimajo.

Prizma je z vidika geometrije prostorninsko telo, ki je omejeno z dvema poljubnima enakima mnogokotnikoma in n paralelogramov, kjer je n število stranic enega mnogokotnika. Takšno figuro je enostavno narisati; za to bi morali narisati nekakšen poligon. Nato iz vsake njegove oglišča narišite segment, ki bo enak po dolžini in vzporeden z vsemi ostalimi. Nato morate konce teh črt povezati skupaj, tako da dobite še en mnogokotnik, enak prvotnemu.

Zgoraj lahko vidite, da je lik omejen z dvema peterokotnikoma (imenujemo ju spodnja in zgornja osnova lika) in petimi paralelogrami, ki ustrezajo pravokotnikom na sliki.

Vse prizme se med seboj razlikujejo po dveh glavnih parametrih:

• vrsto poligona, ki je pod figuro;
• koti med paralelogrami in bazami.

Število stranic pravokotnika daje ime prizmi. Od tod dobimo zgoraj omenjene trikotne, šesterokotne in štirikotne figure.

Razlikujejo se tudi po višini naklona. Kar zadeva označene kote, če so enaki 90 o, se taka prizma imenuje ravna ali pravokotna (kot naklona je nič). Če nekateri od kotov niso pravi, se slika imenuje poševna. Razlika med njima je jasna že na prvi pogled. Spodnja slika prikazuje te sorte.

Kot lahko vidite, višina h sovpada z njegovo dolžino stransko rebro. V primeru poševnega kota je ta parameter vedno manjši.

Katera prizma se imenuje pravilna?

Ker moramo odgovoriti na vprašanje, kako najti stransko površino pravilna prizma(trikotne, štirikotne in tako naprej), potem morate definirati to vrsto volumetrična številka. Analizirajmo gradivo podrobneje.

Pravilna prizma je pravokotna figura, v kateri pravilni mnogokotnik tvori enake osnove. Ta številka je lahko enakostranični trikotnik, kvadrat ali drugi. Vsak n-kotnik, katerega dolžine stranic in koti so enaki, bo pravilen.

Številne takšne prizme so shematično prikazane na spodnji sliki.

Bočna površina prizme

Kot je bilo rečeno, je ta slika sestavljena iz n + 2 ravnin, ki, sekajoč, tvorijo n + 2 ploskvi. Dve od njih pripadata bazam, ostale tvorijo paralelogrami. Površina celotne površine je sestavljena iz vsote površin navedenih ploskev. Če ne vključimo vrednosti obeh baz, potem dobimo odgovor na vprašanje, kako najti stransko površino prizme. Torej lahko določite njegov pomen in osnove ločeno drug od drugega.

Spodaj je za katere stransko površino tvorijo trije štirikotniki.

Oglejmo si postopek izračuna naprej. Očitno je površina stranske površine prizme enaka vsoti n površin ustreznih paralelogramov. Tu je n število strani mnogokotnika, ki tvori osnovo figure. Ploščino vsakega paralelograma lahko najdete tako, da pomnožite dolžino njegove stranice z njegovo višino. To velja za splošni primer.

Če je prizma, ki jo preučujemo, ravna, potem je postopek za določanje površine njene stranske površine S b močno poenostavljen, saj je taka površina sestavljena iz pravokotnikov. V tem primeru lahko uporabite naslednjo formulo:

Kjer je h višina figure, P o obseg njene osnove

Pravilna prizma in njena stranska površina

V primeru takšne številke ima formula, navedena v zgornjem odstavku, zelo specifično obliko. Ker je obseg n-kotnika enak zmnožku števila njegovih stranic in dolžine ene, dobimo naslednjo formulo:

Kjer je a stranska dolžina ustreznega n-kotnika.

Bočna površina je štirikotna in šesterokotna

Uporabimo zgornjo formulo za določitev zahtevanih vrednosti za tri navedene vrste oblik. Izračuni bodo videti takole:

Za trikotno formulo bo oblika:

Na primer, stranica trikotnika je 10 cm, višina figure pa 7 cm, potem:

S 3 b = 3*10*7 = 210 cm 2

V primeru štirikotne prizme ima želeni izraz obliko:

Če vzamemo enake vrednosti dolžine kot v prejšnjem primeru, dobimo:

S 4 b = 4*10*7 = 280 cm 2

Bočna površina heksagonalna prizma izračunano po formuli:

Če nadomestimo iste številke kot v prejšnjih primerih, imamo:

S 6 b = 6*10*7 = 420 cm 2

Upoštevajte, da je v primeru pravilne prizme katere koli vrste njena stranska površina sestavljena iz enakih pravokotnikov. V zgornjih primerih je bila površina vsakega od njih a*h = 70 cm 2.

Izračun za poševno prizmo

Določanje vrednosti bočne površine za določeno figuro je nekoliko težje kot za pravokotno. Kljub temu zgornja formula ostaja enaka, le namesto osnovnega oboda je treba vzeti pravokotno odrezan obseg, namesto višine pa dolžino stranskega roba.

Zgornja slika prikazuje štirikotno poševno prizmo. Osenčeni paralelogram je pravokotni rez, katerega obseg P sr je treba izračunati. Dolžina stranskega roba na sliki je označena s črko C. Nato dobimo formulo:

Obseg reza je mogoče najti, če so znani koti paralelogramov, ki tvorijo stransko površino.

Različne prizme se med seboj razlikujejo. Hkrati imata veliko skupnega. Če želite najti območje baze prizme, boste morali razumeti, kakšno vrsto ima.

Splošna teorija

Prizma je vsak polieder straneh ki imajo obliko paralelograma. Poleg tega je njegova osnova lahko kateri koli polieder - od trikotnika do n-kotnika. Poleg tega sta osnovici prizme med seboj vedno enaki. Za stranske ploskve ne velja, da se lahko zelo razlikujejo po velikosti.

Pri reševanju problemov se ne srečuje le območje baze prizme. Morda bo zahtevalo poznavanje stranske ploskve, torej vseh ploskev, ki niso baze. Celotna površina bo združitev vseh ploskev, ki sestavljajo prizmo.

Včasih so težave povezane z višino. Je pravokotna na osnove. Diagonala poliedra je odsek, ki v paru povezuje poljubni dve oglišči, ki ne pripadata isti ploskvi.

Upoštevati je treba, da osnovno območje ravne ali nagnjene prizme ni odvisno od kota med njimi in stranskimi ploskvami. Če imata na zgornji in spodnji ploskvi enake figure, bosta njuni površini enaki.

Trikotna prizma

Na dnu ima lik s tremi oglišči, to je trikotnik. Kot veste, je lahko drugače. Če je tako, je dovolj, da se spomnite, da je njegova površina določena s polovico produkta nog.

Matematični zapis je videti takole: S = ½ av.

Če želite izvedeti območje baze v splošni pogled, bosta uporabni formuli: Heron in tista, pri kateri je polovica stranice vzeta na višino, ki ji je narisana.

Prvo formulo je treba zapisati na naslednji način: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Ta zapis vsebuje polobod (p), to je vsoto treh strani, deljeno z dva.

Drugič: S = ½ n a * a.

Če želite ugotoviti površino osnove trikotne prizme, ki je pravilna, potem se izkaže, da je trikotnik enakostranični. Za to obstaja formula: S = ¼ a 2 * √3.

Štirikotna prizma

Njegova osnova je kateri koli od znanih štirikotnikov. Lahko je pravokotnik ali kvadrat, paralelopiped ali romb. V vsakem primeru boste za izračun površine osnove prizme potrebovali svojo formulo.

Če je osnova pravokotnik, potem je njegova površina določena na naslednji način: S = ab, kjer sta a, b stranice pravokotnika.

Kdaj govorimo o o štirikotni prizmi, potem se površina osnove pravilne prizme izračuna po formuli za kvadrat. Ker je on tisti, ki leži v temelju. S = a 2.

V primeru, da je osnova paralelepiped, bo potrebna naslednja enakost: S = a * n a. Zgodi se, da sta podana stranica paralelepipeda in eden od kotov. Nato boste za izračun višine morali uporabiti dodatno formulo: n a = b * sin A. Poleg tega kot A meji na stran "b", višina n pa nasproti tega kota.

Če je na dnu prizme romb, boste za določitev njegovega območja potrebovali isto formulo kot za paralelogram (ker je njegov poseben primer). Uporabite pa lahko tudi to: S = ½ d 1 d 2. Tukaj sta d 1 in d 2 dve diagonali romba.

Pravilna peterokotna prizma

V tem primeru gre za razdelitev mnogokotnika na trikotnike, katerih območja je lažje ugotoviti. Čeprav se zgodi, da imajo lahko figure različno število oglišč.

Ker je osnova prizme pravilen peterokotnik, jo lahko razdelimo na pet enakostraničnih trikotnikov. Potem je površina osnove prizme enaka površini enega takega trikotnika (formulo lahko vidite zgoraj), pomnoženo s pet.

Pravilna šesterokotna prizma

Po principu, opisanem za peterokotno prizmo, je možno šesterokotnik osnove razdeliti na 6 enakostraničnih trikotnikov. Formula za osnovno površino takšne prizme je podobna prejšnji. Le pomnožiti ga je treba s šest.

Formula bo videti takole: S = 3/2 a 2 * √3.

Naloge

Št. 1. Glede na pravilno ravno črto, njena diagonala je 22 cm, višina poliedra je 14 cm. Izračunajte površino osnove prizme in celotno površino.

rešitev. Osnova prizme je kvadrat, vendar njena stranica ni znana. Njegovo vrednost lahko ugotovite iz diagonale kvadrata (x), ki je povezana z diagonalo prizme (d) in njeno višino (h). x 2 = d 2 - n 2. Po drugi strani pa je ta segment "x" hipotenuza v trikotniku, katerega noge so enake strani kvadrata. To pomeni, da je x 2 = a 2 + a 2. Tako se izkaže, da je a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Zamenjajte številko 22 namesto d in zamenjajte "n" z njegovo vrednostjo - 14, izkaže se, da je stranica kvadrata 12 cm. Zdaj samo ugotovite površino osnove: 12 * 12 = 144 cm 2.

Če želite izvedeti površino celotne površine, morate dvakrat dodati osnovno površino in štirikrat povečati stransko površino. Slednje je mogoče zlahka najti s formulo za pravokotnik: pomnožite višino poliedra in stranico osnove. To je 14 in 12, to število bo enako 168 cm 2. celotna površina Izkaže se, da je površina prizme 960 cm 2.

Odgovori. Površina osnove prizme je 144 cm 2. Celotna površina je 960 cm 2.

Št. 2. Podano Na dnu je trikotnik s stranico 6 cm. V tem primeru je diagonala stranske ploskve 10 cm.

rešitev. Ker je prizma pravilna, je njena osnova enakostranični trikotnik. Zato se izkaže, da je njegova ploščina enaka 6 na kvadrat, pomnoženo z ¼ in kvadratnim korenom iz 3. Preprost izračun vodi do rezultata: 9√3 cm 2. To je površina ene baze prizme.

Vse stranske ploskve so enake in so pravokotniki s stranicami 6 in 10 cm. Če želite izračunati njuni površini, pomnožite ta števila. Nato jih pomnožite s tri, saj ima prizma točno toliko stranskih ploskev. Nato se površina stranske površine rane izkaže za 180 cm 2.

Odgovori. Območja: osnova - 9√3 cm 2, stranska površina prizme - 180 cm 2.

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate zahtevo, lahko zbiramo razne informacije, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom E-naslov itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim postopkom, pravnim postopkom in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

Bočna površina prizme. Zdravo! V tej publikaciji bomo analizirali skupino problemov v stereometriji. Razmislimo o kombinaciji teles – prizme in valja. Vklopljeno ta trenutek Ta članek zaključuje celotno serijo člankov, povezanih z obravnavo tipov nalog v stereometriji.

Če se v banki opravil pojavijo novi, bodo blog v prihodnosti seveda dopolnjeni. Kar pa je že tam, je povsem dovolj, da se naučiš reševati vse naloge s kratkim odgovorom v okviru izpita. Snovi bo dovolj še leta (program matematike je statičen).

Predstavljene naloge vključujejo izračun ploščine prizme. Ugotavljam, da spodaj obravnavamo ravno prizmo (in s tem ravni valj).

Brez poznavanja formul razumemo, da so stranske ploskve prizme vse njene stranske ploskve. Ravna prizma ima pravokotne stranske ploskve.

Površina stranske površine takšne prizme je enaka vsoti površin vseh njenih stranskih ploskev (to je pravokotnikov). Če govorimo o pravilni prizmi, v katero je vpisan valj, potem je jasno, da so vse ploskve te prizme ENAKOPRAVNE pravokotnice.

Formalno se stranska površina pravilne prizme lahko odraža na naslednji način:

27064. Pravilna štirikotna prizma je opisana okoli valja, katerega osnovni polmer in višina sta enaka 1. Poiščite stransko površino prizme.

Stranska ploskev te prizme je sestavljena iz štirih enako velikih pravokotnikov. Višina ploskve je 1, rob osnove prizme je 2 (to sta dva polmera valja), zato je površina stranske ploskve enaka:

Stranska površina:

73023. Poiščite stransko površino pravilne trikotne prizme, ki je obrobljena okrog valja, katerega osnovni radij je √0,12 in višina 3.

Bočna površina te prizme je enaka vsoti tri kvadrate stranske ploskve (pravokotniki). Če želite najti območje stranske ploskve, morate poznati njegovo višino in dolžino osnovnega roba. Višina je tri. Poiščimo dolžino osnovnega roba. Razmislite o projekciji (pogled od zgoraj):

Imamo pravilen trikotnik, v katerega je vpisana krožnica s polmerom √0,12. Iz pravokotnega trikotnika AOC najdemo AC. In nato AD (AD=2AC). Po definiciji tangente:

To pomeni AD = 2AC = 1,2. Tako je stranska površina enaka:

27066. Poiščite stransko površino pravilne šesterokotne prizme, ki je obkrožena z valjem, katerega osnovni radij je √75 in višina 1.

Zahtevana površina je enaka vsoti ploščin vseh stranskih ploskev. Pravilna šestkotna prizma ima stranske ploskve, ki so enaki pravokotniki.

Če želite najti površino obraza, morate poznati njegovo višino in dolžino osnovnega roba. Višina je znana, enaka je 1.

Poiščimo dolžino osnovnega roba. Razmislite o projekciji (pogled od zgoraj):

Imamo pravilni šestkotnik, v katerega je vpisan krog s polmerom √75.

Razmislimo pravokotni trikotnik AVO. Poznamo krak OB (to je polmer valja). Določimo lahko tudi kot AOB, ta je enak 300 (trikotnik AOC je enakostranični, OB je simetrala).

Uporabimo definicijo tangente v pravokotnem trikotniku:

AC = 2AB, saj je OB mediana, to pomeni, da AC deli na pol, kar pomeni AC = 10.

Tako je površina stranske površine 1∙10=10 in površina stranske površine je:

76485. Poiščite stransko površino pravilne trikotne prizme, včrtane v valj, katerega osnovni polmer je 8√3 in višina 6.

Območje stranske površine določene prizme treh enako velikih ploskev (pravokotnikov). Da bi našli ploščino, morate poznati dolžino roba baze prizme (mi poznamo višino). Če upoštevamo projekcijo (pogled od zgoraj), imamo pravilen trikotnik, včrtan v krog. Stranica tega trikotnika je izražena s polmerom kot:

Podrobnosti o tem razmerju. Torej bo enakovredno

Potem je površina stranske ploskve: 24∙6=144. In zahtevano območje:

245354. Pravilna štirikotna prizma je opisana okrog valja, katerega osnovni polmer je 2. Stranska površina prizme je 48. Poiščite višino valja.