Sosednji vogali. Celotne lekcije – Hipermarket znanja

Koti, pri katerih je ena stranica skupna, druge stranice pa ležijo na isti premici (na sliki sta kota 1 in 2 sosednja). riž. k čl. Sosednji koti... Velika sovjetska enciklopedija

SOSEDNJI VOGALI- koti, ki imajo skupno oglišče in eno skupno stranico, drugi dve stranici pa ležita na isti premici... Velika politehnična enciklopedija

Glej kot ... Veliki enciklopedični slovar

SOSEDNJA KOTNIKA, dva kota, katerih vsota je 180°. Vsak od teh kotov se dopolnjuje do polnega kota... Znanstveni in tehnični enciklopedični slovar

Glej Kot. * * * SOSEDNJI VOGALI SOSEDNJI VOGALI, glej Kot (glej KOT) ... enciklopedični slovar

- (Sosednji koti) tisti, ki imajo skupno oglišče in skupno stranico. Večinoma se to ime nanaša na takšne C. kote, katerih drugi dve strani ležita v nasprotnih smereh ene ravne črte, narisane skozi vrh ... Enciklopedični slovar F.A. Brockhaus in I.A. Efron

Glej kot ... Naravoslovje. enciklopedični slovar

Dve ravni črti se sekata, da ustvarita par navpičnih kotov. En par sestavljata kota A in B, drugi pa C in D. V geometriji dva kota imenujemo navpična, če nastaneta s presečiščem dveh ... Wikipedia

Par komplementarnih kotov, ki se dopolnjujeta do 90 stopinj. Komplementarni koti so pari kotov, ki se dopolnjujejo do 90 stopinj. Če sta dva komplementarna kota sosednja (tj. imata skupno oglišče in sta ločena le... ... Wikipedia

Par komplementarnih kotov, ki se dopolnjujeta do 90 stopinj. Komplementarni koti so pari kotov, ki se dopolnjujeta do 90 stopinj. Če dva dodatni kot so z... Wikipedijo

knjige

• O dokazu v geometriji, Fetisov A.I. Ta knjiga bo izdelana v skladu z vašim naročilom s tehnologijo Print-on-Demand. Nekoč, na samem začetku šolsko leto, moral sem slišati pogovor med dvema dekletoma. Najstarejši med njimi ...
• Obsežen zvezek za kontrolo znanja. Geometrija. 7. razred. Zvezni državni izobraževalni standard, Babenko Svetlana Pavlovna, Markova Irina Sergeevna. V priročniku so predstavljena kontrolno-merilna gradiva (KM) iz geometrije za izvajanje tekočega, tematskega in zaključnega preverjanja kakovosti znanja učencev 7. razreda. Vsebina priročnika ...

POGLAVJE I.

OSNOVNI POJMI.

§enajst. SOSEDNJI IN NAVPIČNI VOGALI.

1. Sosednji koti.

Če stranico poljubnega kota razširimo čez njegovo oglišče, dobimo dva kota (slika 72): / In sonce in / SVD, pri katerem je ena stran BC skupna, drugi dve A in BD pa tvorita ravno črto.

Dva kota, pri katerih je ena stranica skupna, drugi dve pa tvorita ravno črto, imenujemo sosednja kota.

Sosednje kote lahko dobimo tudi na ta način: če iz neke točke na premici (ki ne leži na dani premici) potegnemo žarek, dobimo sosednje kote.
na primer / ADF in / FDВ - sosednji koti (slika 73).

Sosednji koti imajo lahko najrazličnejše položaje (slika 74).

Sosednji koti se seštejejo v ravni kot, torej umma dveh sosednjih kotov je enaka 2d.

Zato lahko pravi kot definiramo kot kot, ki je enak sosednjemu kotu.

Če poznamo velikost enega od sosednjih kotov, lahko ugotovimo velikost drugega kota, ki meji nanj.

Na primer, če je eden od sosednjih kotov 3/5 d, potem bo drugi kot enak:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Navpični koti.

Če stranice kota podaljšamo čez njegovo oglišče, dobimo navpični koti. Na risbi 75 sta kota EOF in AOC navpična; tudi kota AOE in COF sta navpična.

Dva kota imenujemo navpična, če sta strani enega kota nadaljevanja stranic drugega kota.

Pustiti / 1 = 7 / 8 d(Slika 76). V bližini / 2 bo enako 2 d- 7 / 8 d, tj. 1 1/8 d.

Na enak način lahko izračunate, čemu so enaki / 3 in / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Slika 77).

To vidimo / 1 = / 3 in / 2 = / 4.

Lahko rešite še več istih problemov in vsakič boste dobili enak rezultat: navpični koti so enaki drug drugemu.

Da pa bi bili navpični koti med seboj vedno enaki, ni dovolj, da upoštevamo posamezne numerične primere, saj so sklepi iz posameznih primerov včasih lahko napačni.

Treba je preveriti veljavnost lastnosti navpičnih kotov s sklepanjem, z dokazom.

Dokaz lahko izvedemo na naslednji način (slika 78):

/ a +/ c = 2d;
/ b+/ c = 2d;

(ker je vsota sosednjih kotov 2 d).

/ a +/ c = / b+/ c

(ker je tudi leva stran te enakosti enaka 2 d, njegova desna stran pa je prav tako enaka 2 d).

Ta enakost vključuje isti kot z.

Če od enakih količin odštejemo enake količine, ostanejo enake količine. Rezultat bo: / a = / b, to pomeni, da sta navpična kota med seboj enaka.

Pri obravnavanju problematike navpičnih kotov smo najprej pojasnili, kateri koti se imenujejo navpični, tj. definicija navpični koti.

Nato smo izrekli sodbo (izjavo) o enakosti navpičnih kotov in se z dokazom prepričali o veljavnosti te sodbe. Takšne sodbe, katerih veljavnost je treba dokazati, se imenujejo izreki. Tako smo v tem razdelku podali definicijo navpičnih kotov, navedli in dokazali pa smo tudi izrek o njihovih lastnostih.

V prihodnosti se bomo pri proučevanju geometrije nenehno srečevali z definicijami in dokazi izrekov.

3. Vsota kotov, ki imajo skupno oglišče.

Na risbi 79 / 1, / 2, / 3 in / 4 se nahajajo na eni strani premice in imajo na tej premici skupno oglišče. V seštevku ti koti sestavljajo ravni kot, tj.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Na risbi 80 / 1, / 2, / 3, / 4 in / 5 ima skupno oglišče. V seštevku sestavljajo ti koti polni kot, tj. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

vaje.

1. Eden od sosednjih kotov je 0,72 d. Izračunajte kot, ki ga tvorita simetrali teh sosednjih kotov.

2. Dokaži, da simetrali dveh sosednjih kotov tvorita pravi kot.

3. Dokaži, da če sta kota enaka, sta enaka tudi sosednja kota.

4. Koliko parov sosednjih kotov je na risbi 81?

5. Ali je lahko par sosednjih kotov sestavljen iz dveh ostri koti? iz dveh topih kotov? iz pravih in topih kotov? pod pravim in ostrim kotom?

6. Če je eden od sosednjih kotov pravi, kaj potem lahko rečemo o velikosti sosednjega kota?

7. Če je v presečišču dveh ravnih črt en kot pravi, kaj potem lahko rečemo o velikosti ostalih treh kotov?

2) Koliko skupnih točk imata lahko 2 premici?
3) Pojasnite, kaj je segment?
4) Pojasnite, kaj je žarek?
5) Kateri lik se imenuje kot? Pojasni, kaj so vrh in stranice kota?
6) Kateri kot se imenuje razgrnjen?
7) Katere številke imenujemo enake?
8) Pojasnite, kako primerjati 2 segmenta
9) Katero točko imenujemo središče odseka?
10) Pojasnite, kako primerjati 2 kota.
11) Kateri žarek imenujemo simetrala kota?
12) Točka C deli odsek AB na 2 odseka. Kako najti dolžino odseka AB, če sta znani dolžini odseka AC in CB?
13) Katera orodja se uporabljajo za merjenje razdalj?
14) Kaj je stopinjska mera kota?
15) Žarek OS deli kot AOB na 2 kota. Kako najti stopinjsko mero kota AOB, če sta znani stopinjski meri kota AOC in COB?
16) Kateri kot se imenuje oster?
17) Katere kote imenujemo sosednji? Kolikšna je vsota sosednjih kotov?
18) Katere kote imenujemo navpični? Katere lastnosti imajo navpični koti?
19) Katere premice imenujemo pravokotne?
20) Pojasnite, zakaj se 2 premici, pravokotni na 3., ne sekata?
21) Kateri instrumenti se uporabljajo za konstruiranje pravih kotov na tleh?

2 Koliko skupnih točk imata lahko dve premici?
3pojasni, kaj je segment
4 Pojasni, kaj je žarek. Kako so žarki označeni?
5 kateri lik se imenuje kot? razloži, kaj sta oglišče in stranice kota
6 Kateri kot imenujemo ravni kot?
7katere figure se imenujejo enake
8pojasni, kako primerjati dva segmenta
9katera točka se imenuje središče odseka
10 razloži, kako primerjati dva kota
11 kateri žarek imenujemo simetrala kota
12 točka c deli odsek ab na dva odseka. Kako najti dolžino odseka ab, če sta znani dolžini odseka ac in sb
13katera orodja se uporabljajo za merjenje razdalj
14kaj je stopinjska mera kota
15 žarek oc deli kot aob na dva kota. Kako najti stopinjsko mero kota aob, če sta znani meri kota aoc
16 Kateri kot imenujemo oster?, pravi?, top?.
17 Katere kote imenujemo sosednji? Kolikšna je vsota sosednjih kotov?
18Katerim kotom pravimo navpični? Kakšne lastnosti imajo navpični koti?
19katere premice imenujemo pravokotnice
20pojasni, zakaj se dve premici, pravokotni na tretjo, ne sekata
21 Katere naprave se uporabljajo za sestavljanje pravih kotov na podlagi?

kakšne lastnosti imajo navpični koti 5)

7. Dokaži, da če dve vzporedni premici seka tretja premica, sta sekajoča notranja kota enaka in je vsota notranjih enostraničnih kotov 180 stopinj.

8. Dokaži, da sta dve premici, pravokotni na tretjo, vzporedni. Če je premica pravokotna na eno od dveh vzporednih premic, je pravokotna tudi na drugo.

9. Dokaži, da je vsota kotov trikotnika 180 stopinj.

10. Dokaži, da ima vsak trikotnik vsaj dva ostra kota.

11. Kaj je zunanji kotiček trikotnik?

12. Dokaži, da je zunanji kot trikotnika enak vsoti dveh notranjih kotov, ki mu ne mejita.

13. Dokaži, da je zunanji kot trikotnika večji od katerega koli notranji kotiček, ki ne meji nanj.

14. Kateri trikotnik imenujemo pravokotni trikotnik?

15. Kolikšna je vsota ostrih kotov pravokotnega trikotnika?

16. Katero stranico pravokotnega trikotnika imenujemo hipotenuza? Katere stranice se imenujejo noge?

17. Oblikujte znak enakosti pravokotne trikotnike vzdolž hipotenuze in kraka.

18. Dokaži, da lahko iz katere koli točke, ki ne leži na dani premici, spustiš navpično na to premico in to samo eno.

19. Kako se imenuje razdalja od točke do premice?

20. Pojasnite, kakšna je razdalja med vzporednicama.

V procesu preučevanja tečaja geometrije se pogosto pojavljajo koncepti "kota", "navpični koti", "sosednji koti". Razumevanje vsakega izmed izrazov vam bo pomagalo razumeti težavo in jo pravilno rešiti. Kaj so sosednji koti in kako jih določimo?

Sosednji koti – opredelitev pojma

Izraz "sosednji koti" označuje dva kota, ki ju tvorita skupni žarek in dve dodatni polpremici, ki ležita na isti ravni črti. Vsi trije žarki izhajajo iz iste točke. Skupna polpremica je hkrati stranica enega in drugega kota.

Sosednji koti – osnovne lastnosti

1. Na podlagi formulacije sosednjih kotov je lahko opaziti, da vsota takšnih kotov vedno tvori obratni kot, katerega stopinjska mera je 180 °:

• Če sta μ in η sosednja kota, potem je μ + η = 180°.
• Če poznate velikost enega od sosednjih kotov (na primer μ), lahko preprosto izračunate stopinjsko mero drugega kota (η) z uporabo izraza η = 180° – μ.

2. Ta lastnost kotov nam omogoča, da potegnemo naslednji sklep: kot, ki meji na pravi kot, bo tudi pravi.

3. Upoštevanje trigonometrične funkcije(sin, cos, tg, ctg), na podlagi redukcijskih formul za sosednja kota μ in η velja naslednje:

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Sosednji koti - primeri

Primer 1

Podan je trikotnik z oglišči M, P, Q – ΔMPQ. Poiščite kote, ki mejijo na kote ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Vsako stran trikotnika podaljšajmo z ravno črto.
• Ker vemo, da se sosednji koti dopolnjujejo do obrnjenega kota, ugotovimo, da:

ki meji na kot ∠QMP je ∠LMP,

ki meji na kot ∠MPQ je ∠SPQ,

ki meji na kot ∠PQM je ∠HQP.

Primer 2

Vrednost enega sosednjega kota je 35°. Kakšna je stopinjska mera drugega sosednjega kota?

• Seštevek dveh sosednjih kotov znaša 180°.
• Če je ∠μ = 35°, potem je sosednji kot ∠η = 180° – 35° = 145°.

Primer 3

Določite vrednosti sosednjih kotov, če je znano, da je stopinjska mera enega izmed njih trikrat večja od stopinjske mere drugega kota.

• Velikost enega (manjšega) kota označimo z – ∠μ = λ.
• Potem bo glede na pogoje problema vrednost drugega kota enaka ∠η = 3λ.
• Na osnovi osnovne lastnosti sosednjih kotov sledi μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

To pomeni, da je prvi kot ∠μ = λ = 45°, drugi kot pa ∠η = 3λ = 135°.

Sposobnost uporabe terminologije in tudi poznavanje osnovnih lastnosti sosednjih kotov vam bo pomagalo pri reševanju številnih geometrijskih problemov.