Naraščajoče in padajoče funkcije, ekstremi. Ekstremi funkcije - v preprostem jeziku o kompleksnih stvareh

Naraščanje, padanje in ekstremi funkcije

Iskanje intervalov naraščanja, padanja in ekstremov funkcije je tako samostojna naloga kot bistveni del drugih nalog, zlasti študija celotne funkcije. Začetne informacije o naraščanju, padanju in ekstremih funkcije so podane v teoretično poglavje o izpeljanki, ki ga zelo priporočam za predhodno študijo (ali ponovitev)– tudi zato, ker sledeče gradivo temelji na zelo v bistvu izpeljanka, ki je harmonično nadaljevanje tega članka. Čeprav je čas kratek, je možna tudi čisto formalna praksa primerov iz današnje lekcije.

In danes je v zraku duh redkega soglasja in naravnost čutim, da vsi prisotni gori od želje naučite se raziskovati funkcijo z uporabo njene izpeljanke. Zato se razumna, dobra, večna terminologija takoj pojavi na zaslonih vaših monitorjev.

Za kaj? Eden od razlogov je najbolj praktičen: tako da bo jasno, kaj se na splošno zahteva od vas pri določeni nalogi!

Monotonost funkcije. Točke ekstrema in ekstremi funkcije

Oglejmo si nekaj funkcij. Poenostavljeno povedano, predvidevamo, da ona neprekinjeno na celotni številski premici:

Za vsak slučaj se takoj znebimo morebitnih iluzij, zlasti za tiste bralce, ki so se pred kratkim seznanili z intervali konstantnega predznaka funkcije. Zdaj mi NE ZANIMA, kako se nahaja graf funkcije glede na os (zgoraj, spodaj, kjer se os seka). Če želite biti prepričljivi, mentalno izbrišite osi in pustite en graf. Ker v tem je interes.

funkcija poveča na intervalu, če je za kateri koli dve točki tega intervala povezani z odnosom, neenakost drži. To pomeni, da večja vrednost argumenta ustreza večji vrednosti funkcije, njen graf pa gre "od spodaj navzgor". Predstavitvena funkcija z intervalom raste.

Prav tako funkcija zmanjša na intervalu, če za kateri koli dve točki danega intervala, tako da , Neenakost velja. To pomeni, da večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije, njen graf pa gre "od zgoraj navzdol". Naša funkcija se v intervalih zmanjšuje .

Če funkcija narašča ali pada v intervalu, se pokliče strogo monotono v tem intervalu. Kaj je monotonija? Vzemite dobesedno – monotonost.

Lahko tudi definirate nepadajoča funkcijo (sproščeno stanje v prvi definiciji) in nenaraščajoča funkcija (zmehčano stanje v 2. definiciji). Pokliče se nepadajoča ali nenaraščajoča funkcija na intervalu monotona funkcija v tem intervalu (stroga monotonost je poseben primer "enostavne" monotonosti).

Teorija upošteva tudi druge pristope k določanju povečanja/zmanjšanja funkcije, vključno s polintervali, segmenti, a da vam ne zlijemo olja-olja-olja na glavo, se strinjamo, da operiramo z odprtimi intervali s kategoričnimi definicijami. - to je bolj jasno in za reševanje številnih praktičnih problemov povsem dovolj.

torej v mojih člankih bo beseda "monotonost funkcije" skoraj vedno skrita intervalih stroga monotonija(strogo naraščajoča ali strogo padajoča funkcija).

Okolica točke. Besede, po katerih učenci bežijo, kamor lahko, in se prestrašeno skrivajo po kotih. ...Čeprav po postu Cauchyjeve meje Verjetno se ne skrivajo več, ampak le rahlo drhtijo =) Ne skrbite, zdaj ne bo nobenih dokazov izrekov matematične analize - potreboval sem okolico, da bi strožje oblikoval definicije ekstremne točke. Spomnimo se:

Okolica točke imenujemo interval, ki vsebuje dano točko, in zaradi udobja pogosto predpostavljamo, da je interval simetričen. Na primer, točka in njena standardna soseska:

Pravzaprav so definicije:

Točka se imenuje stroga najvišja točka, Če obstaja njena soseska, za vse vrednosti katerih, razen same točke, neenakost . V našem konkreten primer to je bistvo.

Točka se imenuje stroga minimalna točka, Če obstaja njena soseska, za vse vrednosti katerih, razen same točke, neenakost . Na risbi je točka "a".

Opomba : zahteva po soseski simetriji sploh ni potrebna. Poleg tega je pomembno samo dejstvo obstoja okolica (tudi majhna, celo mikroskopska), zadovoljiva določene pogoje

Točke se imenujejo strogo ekstremne točke ali preprosto ekstremne točke funkcije. To pomeni, da je posplošen izraz za največje število točk in najmanjše število točk.

Kako razumemo besedo "ekstremno"? Da, tako neposredno kot monotonija. Skrajne točke toboganov.

Tako kot v primeru monotonosti obstajajo ohlapni postulati, ki so še pogostejši v teoriji (kar seveda spadajo obravnavani strogi primeri!):

Točka se imenuje največja točka, Če obstaja njegova okolica je taka, da za vse
Točka se imenuje najmanjša točka, Če obstaja njegova okolica je taka, da za vse vrednosti te soseske, neenakost velja.

Upoštevajte, da se v skladu z zadnjima dvema definicijama vsaka točka konstantne funkcije (ali "ploskega odseka" funkcije) šteje za največjo in minimalno točko! Mimogrede, funkcija je nenaraščujoča in ne padajoča, to je monotona. Vendar bomo te premisleke prepustili teoretikom, saj v praksi skoraj vedno razmišljamo o tradicionalnih "hribih" in "kotanjah" (glej risbo) z edinstvenim "kraljem hriba" ali "princeso močvirja". Kot sorta se pojavlja napitnina, usmerjen navzgor ali navzdol, na primer minimum funkcije v točki.

Oh, in ko smo že pri licenčnini:
– pomen se imenuje maksimum funkcije;
– pomen se imenuje najmanj funkcije.

Pogosto ime - skrajnosti funkcije.

Prosim, bodite previdni z besedami!

Ekstremne točke– to so vrednosti "X".
Ekstremi– pomen "igre".

! Opomba : včasih se našteti izrazi nanašajo na točke “X-Y”, ki ležijo neposredno na GRAFU SAME funkcije.

Koliko ekstremov ima lahko funkcija?

Brez, 1, 2, 3, ... itd. do neskončnosti. Na primer, sinus ima neskončno veliko minimumov in maksimumov.

POMEMBNO! Izraz "največja funkcija" ni enaka izraz "največja vrednost funkcije". Preprosto je opaziti, da je vrednost največja samo v lokalni soseski, levo zgoraj pa so "hladnejši tovariši". Prav tako "minimum funkcije" ni isto kot "minimalna vrednost funkcije", na risbi pa vidimo, da je vrednost minimalna samo na določenem območju. V zvezi s tem se imenujejo tudi ekstremne točke lokalne ekstremne točke, in ekstremi – lokalni ekstremi. Sprehajajo se potepajo v bližini ter globalno bratje. Vsaka parabola ima torej na vrhu globalni minimum oz globalni maksimum. Poleg tega ne bom razlikoval med vrstami ekstremov, razlaga pa je izražena bolj v splošne izobraževalne namene - dodatni pridevniki "lokalno" / "globalno" vas ne bi smeli presenetiti.

Povzemimo naš kratek izlet v teorijo s testnim posnetkom: kaj pomeni naloga "poiskati intervale monotonosti in ekstremne točke funkcije"?

Besedilo vas spodbuja, da najdete:

– intervali naraščajoče/padajoče funkcije (nepadajoča, nenaraščajoča se pojavlja veliko redkeje);

– najvišje in/ali najnižje točke (če obstajajo). No, da bi se izognili neuspehu, je bolje, da sami poiščete minimum/maksimum ;-)

Kako vse to določiti? Uporaba funkcije izpeljave!

Kako najti intervale naraščanja, padanja,
ekstremne točke in ekstremi funkcije?

Mnoga pravila namreč že poznamo in jih razumemo pouk o pomenu izpeljanke.

Tangentni odvod prinaša veselo novico, da se funkcija vseskozi povečuje domena definicije.

S kotangensom in njegovim odvodom situacija je ravno obratna.

Arksinus narašča v intervalu - odvod je tukaj pozitiven: .
Ko je funkcija definirana, vendar ni diferenciacijska. Vendar sta na kritični točki desnosučni odvod in desnosučna tangenta, na drugem robu pa njuni levi dvojniki.

Mislim, da vam ne bo preveč težko izvesti podobnega sklepanja za ark kosinus in njegov odvod.

Vsi zgoraj navedeni primeri, od katerih jih je veliko tabularne izpeljanke, spomnim vas, sledite neposredno iz izpeljane definicije.

Zakaj raziskovati funkcijo z uporabo njene izpeljanke?

Za boljše razumevanje, kako izgleda graf te funkcije: kje gre »od spodaj navzgor«, kje »zgoraj navzdol«, kje doseže minimume in maksimume (če jih sploh doseže). Niso vse funkcije tako preproste – v večini primerov sploh nimamo pojma o grafu določene funkcije.

Čas je, da preidemo na bolj smiselne primere in razmislimo algoritem za iskanje intervalov monotonosti in ekstremov funkcije:

Primer 1

Poiščite intervale naraščanja/padanja in ekstreme funkcije

rešitev:

1) Prvi korak je najti domena funkcije, in upoštevajte tudi prekinitvene točke (če obstajajo). V tem primeru je funkcija zvezna na celotni številski premici in to dejanje do neke mere formalno. Toda v številnih primerih se tukaj razplamtijo resne strasti, zato obravnavajmo odstavek brez prezira.

2) Druga točka algoritma je posledica

nujen pogoj za ekstrem:

Če je v točki ekstrem, potem bodisi vrednost ne obstaja.

Vas zmede konec? Ekstremum funkcije “modul x”. .

Pogoj je nujen, vendar ne dovolj, in obratno ne drži vedno. Torej iz enakosti še ne sledi, da funkcija doseže maksimum ali minimum v točki . Klasičen primer je bil že poudarjen zgoraj - to je kubična parabola in njena kritična točka.

Kakor koli že, nujen pogoj za ekstrem narekuje potrebo po iskanju sumljivih točk. Če želite to narediti, poiščite izpeljanko in rešite enačbo:

Na začetku prvega članka o funkcijskih grafih Povedal sem vam, kako hitro zgraditi parabolo na primeru : “...vzamemo prvi odvod in ga enačimo z nič: ...Torej, rešitev naše enačbe: - na tej točki se nahaja oglišče parabole...”. Zdaj mislim, da vsi razumejo, zakaj se vrh parabole nahaja točno na tej točki =) Na splošno bi morali začeti s podobnim primerom, vendar je preveč preprost (tudi za čajnik). Poleg tega je analog na samem koncu lekcije o odvod funkcije. Zato povečajmo stopnjo:

Primer 2

Poiščite intervale monotonosti in ekstreme funkcije

To je primer za neodvisna odločitev. Popolna rešitev in približen končni vzorec naloge na koncu lekcije.

Prišel je dolgo pričakovani trenutek srečanja z ulomno-racionalnimi funkcijami:

Primer 3

Raziščite funkcijo z uporabo prvega odvoda

Upoštevajte, kako različno je mogoče preoblikovati eno in isto nalogo.

rešitev:

1) Funkcija trpi neskončne diskontinuitete v točkah.

2) Zaznaj kritične točke. Poiščimo prvi odvod in ga enačimo z nič:

Rešimo enačbo. Ulomek je nič, če je njegov števec enak nič:

Tako dobimo tri kritične točke:

3) Na številsko premico narišemo VSE zaznane točke in intervalna metoda definiramo znake IZPELJAVE:

Opomnim vas, da morate vzeti neko točko v intervalu in na njej izračunati vrednost derivata in določi njegov predznak. Bolj donosno je niti ne šteti, ampak "oceniti" ustno. Vzemimo na primer točko, ki pripada intervalu, in izvedemo zamenjavo: .

Dva "plus" in en "minus" pomenita "minus", kar pomeni, da je izpeljanka negativna v celotnem intervalu.

Ukrep, kot razumete, je treba izvesti za vsakega od šestih intervalov. Mimogrede, upoštevajte, da sta faktor števca in imenovalec strogo pozitivna za katero koli točko v katerem koli intervalu, kar močno poenostavi nalogo.

Izpeljanka nam je torej povedala, da se SAMA FUNKCIJA poveča za in se zmanjša za. Intervale iste vrste je priročno povezati z ikono za združevanje.

Takrat funkcija doseže svoj maksimum:
Na točki funkcija doseže minimum:

Pomislite, zakaj vam druge vrednosti ni treba preračunati ;-)

Pri prehodu skozi točko odvod ne spremeni predznaka, zato funkcija tam NI EKSTREMUMA - zmanjšala se je in ostala padajoča.

! Ponovimo pomembna točka : točke se ne štejejo za kritične - vsebujejo funkcijo ni določeno. V skladu s tem tukaj Načeloma ne more biti skrajnosti(tudi če izpeljanka spremeni predznak).

Odgovori: funkcija se poveča za in se zmanjša za V točki, ko je dosežen maksimum funkcije: , pri točki pa – minimum: .

Poznavanje intervalov monotonosti in ekstremov, skupaj z uveljavljenimi asimptoteže daje zelo dobro predstavo o videz funkcijska grafika. Povprečno usposobljena oseba lahko ustno ugotovi, da ima graf funkcije dve navpični asimptoti in eno poševno asimptoto. Tukaj je naš junak:

Poskusite še enkrat povezati rezultate študije z grafom te funkcije.
Ekstremuma na kritični točki ni, je pa pregib grafa(kar se praviloma zgodi v podobnih primerih).

Primer 4

Poiščite ekstreme funkcije

Primer 5

Poiščite intervale monotonosti, maksimume in minimume funkcije

…danes je skoraj kot nekakšen “X v kocki” praznik....
Soooo, kdo v galeriji se je ponudil piti za to? =)

Vsaka naloga ima svoje vsebinske nianse in tehnične podrobnosti, ki so komentirane na koncu lekcije.

Funkcije, sploh ni potrebno vedeti o prisotnosti prvega in drugega derivata in razumeti njihov fizični pomen. Najprej morate razumeti naslednje:

• ekstremi funkcije maksimizirajo ali, nasprotno, minimizirajo vrednost funkcije v poljubno majhni okolici;
• v ekstremni točki ne sme biti diskontinuitete funkcije.

In zdaj je ista stvar, samo v preprostem jeziku. Poglej konico palice kemični svinčnik. Če je pero postavljeno navpično, s pisnim koncem navzgor, bo sredina krogle ekstrem - najvišja točka. V tem primeru govorimo o maksimumu. Zdaj, če obrnete pero s pisalnim koncem navzdol, potem bo na sredini krogle že minimalna funkcija. S pomočjo tukaj navedene slike si lahko predstavljate naštete manipulacije s svinčnikom. Torej so ekstremi funkcije vedno kritične točke: njen maksimum ali minimum. Sosednji del grafa je lahko poljubno oster ali gladek, vendar mora obstajati na obeh straneh, le v tem primeru je točka ekstrem. Če je graf prisoten samo na eni strani, ta točka ne bo ekstrem, tudi če so na eni strani izpolnjeni pogoji ekstrema. Zdaj pa preučimo ekstreme funkcije z znanstvena točka vizija. Da se točka šteje za ekstrem, je potrebno in zadostuje, da:

• prvi odvod je bil nič ali v točki ni obstajal;
• prva izpeljanka je na tem mestu spremenila predznak.

Z vidika odvodov višjega reda se pogoj razlaga nekoliko drugače: za funkcijo, ki je v točki diferenciabilna, zadošča, da obstaja odvod lihega reda, ki ni enak nič, medtem ko morajo obstajati vsi odvodi nižjega reda. in biti enaka nič. To je najpreprostejša razlaga izrekov iz učbenikov Ampak za večino navadni ljudje To točko je vredno pojasniti s primerom. Osnova je navadna parabola. Takoj rezervirajmo: na ničelni točki ima minimum. Samo malo matematike:

• prva izpeljanka (X 2) | = 2X, za ničelno točko 2X = 0;
• drugi derivat (2X) | = 2, za ničelno točko 2 = 2.

Na ta preprost način so ponazorjeni pogoji, ki določajo ekstreme funkcije za odvode prvega in višjega reda. K temu lahko dodamo, da je drugi odvod natanko isti odvod lihega reda, ki ni enak nič, o čemer smo razpravljali pravkar zgoraj. Ko gre za ekstreme funkcije dveh spremenljivk, morajo biti pogoji izpolnjeni za oba argumenta. Ko pride do posploševanja, se uporabijo delni izpeljanki. To pomeni, da v točki obstaja ekstrem, morata biti oba odvoda prvega reda enaka nič ali pa vsaj eden od njiju ne obstaja. Za zagotovitev zadostne prisotnosti ekstremuma se preučuje izraz, ki je razlika med produktom odvodov drugega reda in kvadratom mešanega odvoda funkcije drugega reda. Če je ta izraz večji od nič, potem obstaja ekstrem, če pa je enak nič, potem ostaja vprašanje odprto in so potrebne dodatne raziskave.

Poglejmo si dva zoba znanega profila žage. Usmerimo os vzdolž ploske stranice žage, os pa pravokotno nanjo. Dobimo graf neke funkcije, ki je prikazan na sl. 1.

Povsem očitno je, da so tako v točki kot v točki vrednosti funkcije največje v primerjavi z vrednostmi v sosednjih točkah desno in levo, v točki pa so najmanjše v primerjavi s sosednjimi točke. Točke se imenujejo ekstremne točke funkcije (iz latinskega extremum - "ekstremno"), točke in - največje točke in točka - minimalna točka (iz latinskega maksimuma in minimuma - "največji" in "najmanjši" «).

Naj pojasnimo definicijo ekstrema.

Za funkcijo v točki pravimo, da ima maksimum, če obstaja interval, ki vsebuje točko in pripada domeni definicije funkcije, tako da za vse točke tega intervala velja . V skladu s tem ima funkcija v točki minimum, če je pogoj izpolnjen za vse točke določenega intervala.

Na sl. 2 in 3 prikazujeta grafa funkcij, ki imajo ekstrem v točki.

Bodimo pozorni na dejstvo, da mora biti ekstremna točka po definiciji znotraj intervala, ki določa funkcijo, in ne na njegovem koncu. Zato je za funkcijo, prikazano na sl. 1, ne moremo domnevati, da ima v točki minimum.

Če v ta definicija maksimum (minimum) funkcije, strogo neenačbo nadomestimo z nestrogo , potem dobimo definicijo nestriktnega maksimuma (nestriktnega minimuma). Oglejmo si na primer profil gorskega vrha (slika 4). Vsaka točka ravnega območja - segmenta - je točka nestriktnega maksimuma.

V diferencialnem računu je preučevanje funkcije za ekstreme zelo učinkovito in precej preprosto z uporabo odvoda. Eden glavnih izrekov diferencialnega računa, ki vzpostavlja nujen pogoj za ekstrem diferenciabilne funkcije, je Fermatov izrek (glej Fermatov izrek). Naj ima funkcija ekstrem v točki. Če na tej točki obstaja odvod, potem je enak nič.

V geometrijskem jeziku Fermatov izrek pomeni, da je v ekstremni točki tangenta na graf funkcije vodoravna (slika 5). Nasprotna trditev seveda ne drži, kot kaže na primer graf na sl. 6.

Izrek je dobil ime po francoskem matematiku P. Fermatu, ki je bil eden prvih, ki je rešil vrsto ekstremnih problemov. Pojma izpeljanke še ni imel, temveč je pri svojem raziskovanju uporabljal metodo, katere bistvo je izraženo v izjavi izreka.

Zadosten pogoj za ekstrem diferenciabilne funkcije je sprememba predznaka odvoda. Če v neki točki odvod spremeni predznak iz minusa v plus, tj. njeno zmanjšanje se nadomesti s povečanjem, potem bo točka minimalna točka. Nasprotno, točka bo največja točka, če izpeljanka spremeni predznak iz plusa v minus, tj. gre od naraščanja k padanju.

Točka, kjer je odvod funkcije enak nič, se imenuje stacionarna. Če diferenciabilno funkcijo preučujemo za njen ekstrem, potem je treba poiskati vse njene stacionarne točke in upoštevati znake odvoda levo in desno od njih.

Preglejmo funkcijo za ekstrem.

Poiščimo njegovo izpeljanko: .

Vrednosti funkcije najdemo na ekstremnih točkah: , . Funkcijski graf je prikazan na sl. 8.

Upoštevajte, da so možni primeri, ko je ekstrem dosežen na točki, kjer izpeljanka ne obstaja. To so ekstremne točke profila žage; primer takšne funkcije je podan na sl. 1.

Največji in minimalni problemi so izjemnega pomena v fiziki, mehaniki in različnih aplikacijah matematike. Te težave so pripeljale matematiko do ustvarjanja diferencialnega računa in diferencialni račun dal močan splošna metoda reševanje ekstremnih problemov z uporabo derivatov.

Uvod

Na številnih področjih znanosti in praktične dejavnosti Pogosto se moramo soočiti s problemom iskanja ekstrema funkcije. Dejstvo je, da veliko tehničnih, ekonomskih itd. procese modelira funkcija ali več funkcij, ki so odvisne od spremenljivk – dejavnikov, ki vplivajo na stanje modeliranega pojava. Za določitev optimalnega (racionalnega) stanja in vodenja procesa je potrebno najti ekstreme takih funkcij. V ekonomiji se torej pogosto rešuje problem minimiziranja stroškov ali maksimiranja dobička – mikroekonomski problem podjetja. V tem delu se ne ukvarjamo z modeliranjem, ampak le z algoritmi za iskanje ekstremov funkcij v najenostavnejši različici, ko na spremenljivke niso postavljene nobene omejitve (brezpogojna optimizacija), ekstrem pa se išče samo za eno ciljno funkcijo.

EKSTREMI FUNKCIJE

Razmislite o grafu zvezne funkcije y=f(x) prikazano na sliki. Vrednost funkcije v točki x 1 bo več vrednot deluje na vseh sosednjih točkah tako levo kot desno od x 1. V tem primeru pravimo, da ima funkcija v točki x največ 1. Na točki x Funkcija 3 ima očitno tudi maksimum. Če upoštevamo bistvo x 2, potem je vrednost funkcije v njej manjša od vseh sosednjih vrednosti. V tem primeru pravimo, da ima funkcija v točki x 2 najmanj. Enako za bistvo x 4 .

funkcija y=f(x) na točki x 0 ima maksimum, če je vrednost funkcije na tej točki večja od njenih vrednosti na vseh točkah nekega intervala, ki vsebuje točko x 0, tj. če obstaja takšna okolica točke x 0, ki je za vse x ≠x 0 , ki pripada tej soseski, velja neenakost f(x) <f(x 0 ) .

funkcija y=f(x) Ima najmanj na točki x 0 , če obstaja takšna okolica točke x 0 , to je za vse x ≠x 0, ki pripada tej soseski, velja neenakost f(x) >f(x 0 .

Točke, v katerih funkcija doseže svoj maksimum in minimum, se imenujejo ekstremne točke, vrednosti funkcije v teh točkah pa se imenujejo ekstremi funkcije.

Bodimo pozorni na dejstvo, da lahko funkcija, definirana na segmentu, doseže svoj maksimum in minimum le v točkah znotraj obravnavanega segmenta.

Upoštevajte, da če ima funkcija maksimum v točki, to ne pomeni, da ima funkcija v tej točki najvišjo vrednost po celotnem območju definicije. Na zgornji sliki je funkcija v točki x 1 ima največ, čeprav obstajajo točke, v katerih so vrednosti funkcije večje kot v točki x 1 . Še posebej, f (x 1) < f (x 4) tj. minimum funkcije je večji od maksimuma. Iz definicije maksimuma izhaja le, da je to največ velik pomen deluje na točkah, ki so dovolj blizu največji točki.

Izrek 1. ( Predpogoj obstoj ekstrema.) Če diferenciabilna funkcija y=f(x) ima na točki x= x 0 ekstrem, potem njegov odvod na tej točki postane nič.

Dokaz. Naj, za določnost, na točki x 0 funkcija ima maksimum. Nato za dovolj majhne prirastke Δ x imamo f(x 0 + Δ x) 0 ) , tj.

Potem pa

Prehajanje teh neenakosti do meje pri Δ x→ 0 in ob upoštevanju, da je odvod f "(x 0) obstaja in zato meja na levi ni odvisna od tega, kako je Δ x→ 0, dobimo: pri Δ x → 0 – 0 f" (x 0) ≥ 0 a pri Δ x → 0 + 0 f" (x 0) ≤ 0. Ker f" (x 0) definira število, potem sta ti dve neenakosti združljivi le, če f" (x 0) = 0.

Dokazani izrek navaja, da sta najvišja in najmanjša točka lahko le med tistimi vrednostmi argumenta, pri katerih izpeljanka postane nič.

Upoštevali smo primer, ko ima funkcija odvod v vseh točkah določenega segmenta. Kakšna je situacija v primerih, ko izpeljanka ne obstaja? Poglejmo si primere.

l =|x |.

Funkcija v točki nima odvoda x=0 (na tej točki graf funkcije nima definirane tangente), na tej točki pa ima funkcija minimum, saj l(0)=0 in za vse x ≠ 0l > 0.

nima izpeljanke pri x=0, saj gre v neskončnost pri x=0. Toda na tej točki ima funkcija maksimum. nima izpeljanke pri x=0, saj pri x→0. Na tej točki funkcija nima niti maksimuma niti minimuma. res, f(x)=0 in pri x <0f(x) <0, а при x >0f(x) >0.

Tako je iz navedenih primerov in formuliranega izreka razvidno, da ima lahko funkcija ekstrem le v dveh primerih: 1) v točkah, kjer odvod obstaja in je enak nič; 2) na mestu, kjer izpeljanka ne obstaja.

Vendar, če v nekem trenutku x 0 to vemo f "(x 0 ) =0, potem iz tega ne moremo sklepati, da je v točki x 0 ima funkcija ekstrem.

Na primer.

.

Ampak pika x=0 ni ekstremna točka, saj se levo od te točke vrednosti funkcije nahajajo pod osjo Ox, in desno zgoraj.

Vrednosti argumenta iz domene funkcije, pri katerih izpeljanka funkcije izgine ali ne obstaja, imenujemo kritične točke .

Iz vsega navedenega sledi, da so ekstremne točke funkcije med kritičnimi točkami, vendar ni vsaka kritična točka ekstremna točka. Če želite torej najti ekstrem funkcije, morate poiskati vse kritične točke funkcije in nato vsako od teh točk posebej preučiti za maksimum in minimum. Temu služi naslednji izrek.

Izrek 2. (Zadosten pogoj za obstoj ekstrema.) Naj bo funkcija zvezna na nekem intervalu, ki vsebuje kritično točko x 0 in je diferencibilna v vseh točkah tega intervala (razen morda same točke x 0). Če pri premikanju od leve proti desni skozi to točko derivat spremeni predznak iz plusa v minus, potem v točki x = x 0 funkcija ima maksimum. Če pri prehodu skozi x 0 od leve proti desni, odvod spremeni predznak iz minusa v plus, potem ima funkcija na tej točki minimum.

Torej, če

f "(x)>0 pri x <x 0 in f "(x)< 0 pri x>x 0, torej x 0 – največja točka;

pri x <x 0 in f "(x)> 0 pri x>x 0, torej x 0 – najmanjša točka.

Dokaz. Najprej predpostavimo, da ob prehodu x 0 odvod spremeni predznak iz plusa v minus, tj. pred vsemi x, blizu bistva x 0 f "(x)> 0 za x< x 0 , f "(x)< 0 za x>x 0 . Uporabimo Lagrangeov izrek za razliko f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), kjer c leži med x in x 0 .

Pustiti x< x 0 . Potem c< x 0 in f "(c)> 0. Zato f "(c)(x- x 0)< 0 in zato

f(x) - f(x 0 )< 0, tj. f(x)< f(x 0 ).

Pustiti x > x 0 . Potem c>x 0 in f "(c)< 0. Pomeni f "(c)(x- x 0)< 0. Zato f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .

Torej za vse vrednosti x dovolj blizu x 0 f(x) < f(x 0 ) . In to pomeni, da na točki x 0 funkcija ima maksimum.

Drugi del minimalnega izreka dokažemo na podoben način.

Naj pomen tega izreka ponazorimo na sliki. Pustiti f "(x 1 ) =0 in za katero koli x, dovolj blizu x 1, so neenakosti izpolnjene

f "(x)< 0 pri x< x 1 , f "(x)> 0 pri x>x 1 .

Nato levo od točke x 1 funkcija narašča in pada na desni, torej, ko x = x 1 funkcija gre od naraščajočega k padajočemu, to pomeni, da ima maksimum.

Podobno lahko upoštevamo točke x 2 in x 3 .

Vse zgoraj je lahko shematično prikazano na sliki:

Pravilo za študij funkcije y=f(x) za ekstrem

Poiščite domeno funkcije f(x).

Poiščite prvi odvod funkcije f "(x) .

Določite kritične točke za to:

poiščite prave korenine enačbe f "(x) =0;

najti vse vrednosti x za katerega izpeljanka f "(x) ne obstaja.

Določite predznak odvoda levo in desno od kritične točke. Ker predznak odvoda ostane konstanten med dvema kritičnima točkama, zadostuje, da določimo predznak odvoda v eni točki levo in eni točki desno od kritične točke.

Izračunajte vrednost funkcije v točkah ekstrema.