Odštevanje navadnih ulomkov z enakimi imenovalci. Seštevanje in odštevanje algebrskih ulomkov z različnimi imenovalci (osnovna pravila, najenostavnejši primeri)

§ 87. Seštevanje ulomkov.

Seštevanje ulomkov je veliko podobno seštevanju celih števil. Seštevanje ulomkov je dejanje, ki je sestavljeno iz dejstva, da se več danih števil (izrazov) združi v eno število (vsoto), ki vsebuje vse enote in ulomke enot izrazov.

Zaporedoma bomo obravnavali tri primere:

1. Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.
2. Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.
3. Seštevanje mešanih števil.

1. Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.

Razmislite o primeru: 1/5 + 2/5.

Vzemimo segment AB (slika 17), ga vzemimo kot enega in ga razdelimo na 5 enakih delov, potem bo del AC tega segmenta enak 1/5 segmenta AB, del istega segmenta CD pa bo enak 2/5 AB.

Iz risbe je razvidno, da če vzamemo segment AD, bo ta enak 3/5 AB; vendar je segment AD natanko vsota segmentov AC in CD. Torej lahko zapišemo:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Ob upoštevanju teh členov in dobljene vsote vidimo, da smo števec vsote dobili s seštevanjem števcev členov, imenovalec pa je ostal nespremenjen.

Od tu naprej naslednje pravilo: Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate njihove števce sešteti in pustiti enak imenovalec.

Poglejmo primer:

2. Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.

Seštejmo ulomke: 3 / 4 + 3 / 8 Najprej jih je treba zreducirati na najmanjši skupni imenovalec:

Vmesnega člena 6/8 + 3/8 ni bilo mogoče napisati; tukaj smo zapisali zaradi jasnosti.

Torej, če želite sešteti ulomke z različnimi imenovalci, jih morate najprej zmanjšati na najmanjši skupni imenovalec, sešteti njihove števce in označiti skupni imenovalec.

Oglejmo si primer (nad ustreznimi ulomki bomo zapisali dodatne faktorje):

3. Seštevanje mešanih števil.

Seštejmo številki: 2 3/8 + 3 5/6.

Najprej spravimo ulomke naših števil na skupni imenovalec in jih ponovno zapišimo:

Sedaj zaporedno seštevamo cela in ulomka:

§ 88. Odštevanje ulomkov.

Odštevanje ulomkov je definirano na enak način kot odštevanje celih števil. To je dejanje, s pomočjo katerega se glede na vsoto dveh členov in enega od njiju najde drug člen. Oglejmo si tri primere zaporedoma:

1. Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.
2. Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.
3. Odštevanje mešanih števil.

1. Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.

Poglejmo primer:

13 / 15 - 4 / 15

Vzemimo segment AB (slika 18), ga vzemimo kot enoto in ga razdelimo na 15 enakih delov; potem bo del AC tega segmenta predstavljal 1/15 AB, del AD istega segmenta pa bo ustrezal 13/15 AB. Odložimo še en segment ED, ki je enak 4/15 AB.

Od 13/15 moramo odšteti ulomek 4/15. Na risbi to pomeni, da je treba segment ED odšteti od segmenta AD. Posledično bo ostal segment AE, ki je 9/15 segmenta AB. Torej lahko zapišemo:

Primer, ki smo ga naredili, kaže, da smo števec razlike dobili z odštevanjem števcev, imenovalec pa je ostal enak.

Zato morate za odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci odšteti števec odštevanca od števca manjšega in pustiti isti imenovalec.

2. Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.

Primer. 3/4 - 5/8

Najprej zmanjšajmo te ulomke na najmanjši skupni imenovalec:

Vmesna povezava 6 / 8 - 5 / 8 je tukaj zapisana zaradi jasnosti, vendar jo lahko od zdaj naprej preskočite.

Če želite torej od ulomka odšteti ulomek, ju morate najprej zreducirati na najmanjši skupni imenovalec, nato odšteti števec manjšega od števca manjšega in skupni imenovalec podpisati pod njihovo razliko.

Poglejmo primer:

3. Odštevanje mešanih števil.

Primer. 10 3/4 - 7 2/3.

Zmanjšajmo ulomke manjšega in odštevanca na najmanjši skupni imenovalec:

Od celote smo odšteli celoto in od ulomka ulomek. Toda obstajajo primeri, ko je delni del tega, kar se odšteje, večji od delnega dela tega, kar se zmanjšuje. V takšnih primerih morate vzeti eno enoto iz celega dela minuenda, jo razdeliti na tiste dele, v katerih je izražen ulomek, in jo dodati ulomljenemu delu minuenda. In potem bo odštevanje izvedeno na enak način kot v prejšnjem primeru:

§ 89. Množenje ulomkov.

Pri preučevanju množenja ulomkov bomo upoštevali naslednja vprašanja:

1. Množenje ulomka s celim številom.
2. Iskanje ulomka danega števila.
3. Množenje celega števila z ulomkom.
4. Množenje ulomka z ulomkom.
5. Množenje mešanih števil.
6. Koncept obresti.
7. Iskanje odstotka danega števila. Razmislimo o njih zaporedno.

1. Množenje ulomka s celim številom.

Množenje ulomka s celim številom ima enak pomen kot množenje celega števila s celim številom. Množenje ulomka (množnika) s celim številom (faktorjem) pomeni ustvariti vsoto enakih členov, v kateri je vsak člen enak množitelju, število členov pa je enako množitelju.

To pomeni, da če morate pomnožiti 1/9 s 7, lahko to storite takole:

Rezultat smo zlahka dobili, saj se je dejanje zmanjšalo na seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci. torej

Upoštevanje tega dejanja pokaže, da je množenje ulomka s celim številom enakovredno povečanju tega ulomka za tolikokrat, kot je število enot, ki jih vsebuje celo število. In ker se povečanje ulomka doseže s povečanjem njegovega števca

ali z zmanjšanjem njegovega imenovalca , potem lahko bodisi pomnožimo števec s celim številom bodisi z njim delimo imenovalec, če je tako deljenje možno.

Od tu dobimo pravilo:

Če želite pomnožiti ulomek s celim številom, pomnožite števec s tem celim številom in pustite imenovalec enak ali, če je mogoče, delite imenovalec s tem številom, števec pa pustite nespremenjen.

Pri množenju so možne okrajšave, npr.

2. Iskanje ulomka danega števila. Obstaja veliko nalog, pri katerih morate najti ali izračunati del danega števila. Razlika med temi problemi in drugimi je v tem, da podajajo število nekaterih predmetov ali merskih enot in morate najti del tega števila, ki je tudi tukaj označen z določenim ulomkom. Za lažje razumevanje bomo najprej navedli primere tovrstnih problemov, nato pa predstavili metodo za njihovo reševanje.

Naloga 1. Imel sem 60 rubljev; 1/3 tega denarja sem porabil za nakup knjig. Koliko so stale knjige?

Naloga 2. Vlak mora prevoziti razdaljo med mestoma A in B, ki je enaka 300 km. Prevozil je že 2/3 te razdalje. Koliko kilometrov je to?

Naloga 3. V vasi je 400 hiš, 3/4 so zidane, ostale so lesene. Koliko skupaj zidane hiše?

Tukaj je nekaj teh številne naloge najti dele danega števila, ki jih srečamo. Običajno se imenujejo naloge iskanja ulomka danega števila.

Rešitev problema 1. Od 60 rub. 1/3 sem porabil za knjige; To pomeni, da morate za ugotovitev cene knjig število 60 deliti s 3:

Reševanje problema 2. Bistvo problema je v tem, da morate najti 2/3 od 300 km. Najprej izračunajmo 1/3 od 300; to dobimo tako, da 300 km delimo s 3:

300: 3 = 100 (to je 1/3 od 300).

Če želite najti dve tretjini od 300, morate dobljeni količnik podvojiti, tj. pomnožiti z 2:

100 x 2 = 200 (to je 2/3 od 300).

Reševanje problema 3. Tukaj morate določiti število zidanih hiš, ki sestavljajo 3/4 od 400. Najprej poiščemo 1/4 od 400,

400: 4 = 100 (to je 1/4 od 400).

Za izračun treh četrtin od 400 je treba dobljeni količnik potrojiti, tj. pomnožiti s 3:

100 x 3 = 300 (to je 3/4 od 400).

Na podlagi rešitve teh problemov lahko izpeljemo naslednje pravilo:

Če želite poiskati vrednost ulomka iz danega števila, morate to število deliti z imenovalcem ulomka in dobljeni količnik pomnožiti z njegovim števcem.

3. Množenje celega števila z ulomkom.

Prej (§ 26) je bilo ugotovljeno, da je treba množenje celih števil razumeti kot seštevanje enakih členov (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). V tem odstavku (1. točka) je bilo ugotovljeno, da množenje ulomka s celim številom pomeni iskanje vsote enakih členov, ki so enaki temu ulomku.

V obeh primerih je množenje obsegalo iskanje vsote enakih členov.

Zdaj preidemo na množenje celega števila z ulomkom. Tukaj bomo naleteli na primer na množenje: 9 2 / 3. Jasno je, da prejšnja definicija množenja v tem primeru ne velja. To je razvidno iz dejstva, da takega množenja ne moremo nadomestiti s seštevanjem enakih števil.

Zaradi tega bomo morali podati novo definicijo množenja, torej z drugimi besedami odgovoriti na vprašanje, kaj naj razumemo pod množenjem z ulomkom, kako to dejanje razumeti.

Pomen množenja celega števila z ulomkom je jasen iz naslednje definicije: množenje celega števila (množnika) z ulomkom (množnika) pomeni iskanje tega ulomka množenika.

Namreč pomnožiti 9 z 2/3 pomeni najti 2/3 od devetih enot. V prejšnjem odstavku so bili tovrstni problemi rešeni; zato je enostavno ugotoviti, da bomo na koncu imeli 6.

Zdaj pa se postavlja zanimivo in pomembno vprašanje: zakaj se tako na videz različne operacije, kot sta iskanje vsote enakih števil in iskanje ulomka števila, v aritmetiki imenujejo z isto besedo »množenje«?

To se zgodi zato, ker prejšnje dejanje (večkratno ponavljanje števila s členi) in novo dejanje (iskanje ulomka števila) dajeta odgovore na homogena vprašanja. To pomeni, da tukaj izhajamo iz tega, da se homogena vprašanja ali naloge rešujejo z istim dejanjem.

Da bi to razumeli, razmislite naslednja naloga: »1 m blaga stane 50 rubljev. Koliko bo stalo 4 m takega blaga?

Ta problem se reši tako, da se število rubljev (50) pomnoži s številom metrov (4), to je 50 x 4 = 200 (rubljev).

Vzemimo isto težavo, vendar bo v njej količina blaga izražena kot ulomek: »1 m blaga stane 50 rubljev. Koliko bo stalo 3/4 m takega blaga?«

Tudi ta problem je treba rešiti tako, da se število rubljev (50) pomnoži s številom metrov (3/4).

Številke v njem lahko še večkrat spremenite, ne da bi spremenili pomen problema, na primer vzemite 9/10 m ali 2 3/10 m itd.

Ker imajo te naloge enako vsebino in se razlikujejo le po številkah, dejanja, ki se uporabljajo pri njihovem reševanju, imenujemo z isto besedo – množenje.

Kako pomnožiš celo število z ulomkom?

Vzemimo številke, ki smo jih našli pri zadnji težavi:

Po definiciji moramo najti 3/4 od 50. Najprej poiščemo 1/4 od 50 in nato 3/4.

1/4 od 50 je 50/4;

3/4 števila 50 je .

Zato.

Poglejmo še en primer: 12 5 / 8 =?

1/8 števila 12 je 12/8,

5/8 števila 12 je .

torej

Od tu dobimo pravilo:

Če želite pomnožiti celo število z ulomkom, morate celo število pomnožiti s števcem ulomka in narediti ta produkt števec, imenovalec tega ulomka pa podpisati kot imenovalec.

Zapišimo to pravilo s črkami:

Da bo to pravilo popolnoma jasno, si je treba zapomniti, da lahko ulomek obravnavamo kot količnik. Zato je koristno najdeno pravilo primerjati s pravilom za množenje števila s količnikom, ki je bilo določeno v 38. §.

Pomembno si je zapomniti, da morate pred izvajanjem množenja narediti (če je mogoče) zmanjšanja, na primer:

4. Množenje ulomka z ulomkom. Množenje ulomka z ulomkom ima enak pomen kot množenje celega števila z ulomkom, tj. pri množenju ulomka z ulomkom morate najti ulomek, ki je v faktorju iz prvega ulomka (množenik).

Namreč pomnožiti 3/4 z 1/2 (polovico) pomeni najti polovico 3/4.

Kako pomnožiš ulomek z ulomkom?

Vzemimo primer: 3/4 pomnoženo s 5/7. To pomeni, da morate najti 5/7 od 3/4. Najprej poiščimo 1/7 od 3/4 in nato 5/7

1/7 števila 3/4 bo izražena kot sledi:

5/7 številke 3/4 bodo izražene na naslednji način:

torej

Drug primer: 5/8 pomnoženo s 4/9.

1/9 od 5/8 je,

4/9 števila 5/8 je .

torej

Iz teh primerov je mogoče razbrati naslednje pravilo:

Če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate števec pomnožiti s števcem in imenovalec z imenovalcem, pri čemer bo prvi produkt števec, drugi produkt pa imenovalec produkta.

To je pravilo v splošni pogled lahko zapišemo takole:

Pri množenju je treba (če je mogoče) zmanjšati. Poglejmo si primere:

5. Množenje mešanih števil. Ker je mešana števila zlahka zamenjati z nepravilnimi ulomki, se ta okoliščina običajno uporablja pri množenju mešanih števil. To pomeni, da se v primerih, ko sta množitelj ali faktor ali oba faktorja izražena kot mešana števila, nadomestita z nepravilnimi ulomki. Pomnožimo na primer mešana števila: 2 1/2 in 3 1/5. Spremenimo vsakega od njih v nepravilni ulomek nato pa bomo nastale ulomke pomnožili po pravilu za množenje ulomka z ulomkom:

Pravilo.Če želite pomnožiti mešana števila, jih morate najprej pretvoriti v neprave ulomke in jih nato pomnožiti po pravilu za množenje ulomkov z ulomki.

Opomba.Če je eden od faktorjev celo število, se lahko množenje izvede na podlagi distribucijskega zakona, kot sledi:

6. Koncept obresti. Pri reševanju nalog in izvajanju različnih praktičnih izračunov uporabljamo vse vrste ulomkov. Vendar se je treba zavedati, da številne količine zanje ne dopuščajo kakršnih koli, temveč naravne delitve. Na primer, lahko vzamete stotinko (1/100) rublja, to bo kopejka, dve stotinki je 2 kopejka, tri stotinke pa 3 kopejka. Lahko vzamete 1/10 rublja, to bo "10 kopeck ali kos za deset kopecks". Lahko vzamete četrt rublja, to je 25 kopecks, pol rublja, to je 50 kopecks (petdeset kopecks). Ampak praktično ne jemljejo, na primer 2/7 rublja, ker rubelj ni razdeljen na sedmine.

Enota za težo, to je kilogram, omogoča predvsem decimalno deljenje, na primer 1/10 kg ali 100 g. Takšni deli kilograma, kot so 1/6, 1/11, 1/13, niso pogosti.

Na splošno so naše (metrične) mere decimalne in omogočajo decimalno deljenje.

Vendar je treba opozoriti, da je izredno uporabno in priročno v najrazličnejših primerih uporabljati enak (enoten) način delitve količin. Dolgoletne izkušnje so pokazale, da je tako upravičena delitev »stotina«. Oglejmo si več primerov, ki se nanašajo na najrazličnejša področja človeške prakse.

1. Cena knjig se je znižala za 12/100 prejšnje cene.

Primer. Prejšnja cena knjige je bila 10 rubljev. Zmanjšal se je za 1 rubelj. 20 kopejk

2. Hranilnice izplačajo vlagateljem med letom 2/100 zneska varčevanja.

Primer. 500 rubljev se položi v blagajno, dohodek od tega zneska za leto je 10 rubljev.

3. Število diplomantov ene šole je bilo 5/100 celotnega števila dijakov.

PRIMER Na šoli je bilo le 1200 dijakov, od tega jih je 60 maturiralo.

Stotinko števila imenujemo odstotek.

Beseda "odstotek" je izposojena iz latinski jezik in njen koren "cent" pomeni sto. Skupaj s predlogom (pro centum) ta beseda pomeni »za sto«. Pomen takega izraza izhaja iz dejstva, da sprva v stari Rim obresti so bile denar, ki ga je dolžnik plačal posojilodajalcu »za vsakih sto«. Besedo "cent" slišimo v tako znanih besedah: centner (sto kilogramov), centimeter (recimo centimeter).

Na primer, namesto da rečemo, da je tovarna v preteklem mesecu proizvedla 1/100 vseh svojih izdelkov kot pomanjkljivih, bomo rekli tole: v zadnjem mesecu je tovarna proizvedla en odstotek pomanjkljivih. Namesto da je obrat proizvedel 4/100 izdelkov več od postavljenega plana, bomo rekli: obrat je plan presegel za 4 odstotke.

Zgornje primere je mogoče izraziti drugače:

1. Cene knjig so se znižale za 12 odstotkov prejšnje cene.

2. Hranilnice plačujejo vlagateljem 2 odstotka letno od zneska, položenega v prihrankih.

3. Število diplomantov ene šole je bilo 5 odstotkov vseh dijakov.

Za skrajšanje črke je običajno namesto besede "odstotek" napisati simbol %.

Ne pozabite pa, da pri izračunih znak % običajno ni zapisan, lahko je zapisan v izjavi o nalogi in v končnem rezultatu. Pri izračunih morate namesto celega števila s tem simbolom napisati ulomek z imenovalcem 100.

Celo število z navedeno ikono morate znati zamenjati z ulomkom z imenovalcem 100:

Nasprotno pa se morate navaditi pisati celo število z navedenim simbolom namesto ulomka z imenovalcem 100:

7. Iskanje odstotka danega števila.

Naloga 1.Šola je dobila 200 kubičnih metrov. m drv, od tega 30 % brezovih drv. Koliko je bilo brezovih drv?

Pomen tega problema je v tem, da so brezova drva predstavljala le del drv, ki so bila dostavljena šoli, in ta del je izražen v razmerju 30/100. To pomeni, da imamo nalogo najti ulomek števila. Da bi jo rešili, moramo 200 pomnožiti s 30/100 (probleme iskanja ulomka števila rešujemo tako, da število pomnožimo z ulomkom.).

To pomeni, da je 30 % od 200 enako 60.

Ulomek 30/100, na katerega naletimo v tem problemu, je mogoče zmanjšati za 10. To zmanjšanje bi bilo možno izvesti že od samega začetka; rešitev problema se ne bi spremenila.

Naloga 2. V taborišču je bilo 300 otrok različne starosti. Otroci stari 11 let so predstavljali 21 %, otroci stari 12 let 61 % in končno 18 % otroci stari 13 let. Koliko otrok vsake starosti je bilo v taborišču?

V tej nalogi morate izvesti tri izračune, tj. zaporedno poiskati število otrok, starih 11 let, nato 12 let in nazadnje 13 let.

To pomeni, da boste morali tukaj trikrat najti ulomek števila. Naredimo to:

1) Koliko je bilo 11-letnih otrok?

2) Koliko je bilo 12-letnih otrok?

3) Koliko je bilo 13-letnih otrok?

Po rešitvi problema je koristno sešteti najdena števila; njihova vsota naj bo 300:

63 + 183 + 54 = 300

Upoštevati je treba tudi, da je vsota odstotkov, navedenih v izjavi o problemu, 100:

21% + 61% + 18% = 100%

To nakazuje, da skupno število otroci v taborišču so bili vzeti kot 100 %.

3 a d a h a 3. Delavec je prejel 1200 rubljev na mesec. Od tega je porabil 65 % za hrano, 6 % za stanovanja in ogrevanje, 4 % za plin, elektriko in radio, 10 % za kulturne potrebe in 15 % privarčeval. Koliko denarja je bilo porabljenega za potrebe, navedene v nalogi?

Če želite rešiti to težavo, morate najti ulomek 1200 5-krat.

1) Koliko denarja je bilo porabljenega za hrano? Problem pravi, da je ta strošek 65% celotnega zaslužka, torej 65/100 od števila 1200. Naredimo izračun:

2) Koliko denarja ste plačali za stanovanje z ogrevanjem? S podobnim razmišljanjem kot prejšnji pridemo do naslednjega izračuna:

3) Koliko denarja ste plačali za plin, elektriko in radio?

4) Koliko denarja je bilo porabljenega za kulturne potrebe?

5) Koliko denarja je delavec privarčeval?

Za preverjanje je koristno sešteti števila, ki jih najdete v teh 5 vprašanjih. Znesek mora biti 1200 rubljev. Vsi zaslužki so vzeti kot 100 %, kar je enostavno preveriti tako, da seštejete odstotne številke, navedene v izjavi o problemu.

Rešili smo tri težave. Kljub temu, da so se ti problemi nanašali na različne stvari (dostava drv za šolo, število otrok različnih starosti, stroški delavca), so jih reševali na enak način. To se je zgodilo, ker je bilo pri vseh nalogah potrebno najti več odstotkov danih števil.

§ 90. Delitev ulomkov.

Ko preučujemo deljenje ulomkov, bomo obravnavali naslednja vprašanja:

1. Deli celo število s celim številom.
2. Deljenje ulomka s celim številom
3. Deljenje celega števila z ulomkom.
4. Deljenje ulomka z ulomkom.
5. Deljenje mešanih števil.
6. Iskanje števila iz njegovega danega ulomka.
7. Iskanje števila po odstotku.

Razmislimo o njih zaporedno.

1. Deli celo število s celim številom.

Kot je bilo navedeno v oddelku za cela števila, je deljenje dejanje, ki je sestavljeno iz dejstva, da se glede na zmnožek dveh faktorjev (dividend) in enega od teh faktorjev (delitelj) najde drug faktor.

V razdelku o celih številih smo si ogledali deljenje celega števila s celim številom. Tam smo naleteli na dva primera deljenja: deljenje brez ostanka oziroma »v celoti« (150 : 10 = 15) in deljenje z ostankom (100 : 9 = 11 in 1 ostanek). Lahko torej rečemo, da na področju celih števil natančna delitev ni vedno mogoča, saj dividenda ni vedno zmnožek delitelja s celim številom. Po uvedbi množenja z ulomkom lahko štejemo za možne vse primere deljenja celih števil (izključeno je le deljenje z ničlo).

Na primer, deljenje 7 z 12 pomeni iskanje števila, katerega produkt z 12 bi bil enak 7. Takšno število je ulomek 7/12, ker je 7/12 12 = 7. Drug primer: 14: 25 = 14 / 25, ker je 14 / 25 25 = 14.

Torej, če želite deliti celo število s celim številom, morate ustvariti ulomek, katerega števec je enak dividendi in imenovalec enak delitelju.

2. Deljenje ulomka s celim številom.

Delite ulomek 6/7 s 3. V skladu z definicijo deljenja, podano zgoraj, imamo tukaj produkt (6/7) in enega od faktorjev (3); potrebno je poiskati drugi faktor, ki bi, če bi ga pomnožili s 3, dal dani produkt 6/7. Očitno bi moral biti trikrat manjši od tega izdelka. To pomeni, da je bila pred nami postavljena naloga zmanjšati ulomek 6/7 za 3-krat.

Vemo že, da lahko ulomek skrajšamo tako, da zmanjšamo njegov števec ali povečamo njegov imenovalec. Zato lahko napišete:

V tem primeru je števec 6 deljiv s 3, zato je treba števec zmanjšati za 3-krat.

Vzemimo drug primer: 5/8 deljeno z 2. Tukaj števec 5 ni deljiv z 2, kar pomeni, da bo treba imenovalec pomnožiti s tem številom:

Na podlagi tega je mogoče narediti pravilo: Če želite deliti ulomek s celim številom, morate števec ulomka deliti s tem celim številom.(če je mogoče), pustite enak imenovalec ali pa pomnožite imenovalec ulomka s tem številom in pustite enak števec.

3. Deljenje celega števila z ulomkom.

Naj bo treba 5 deliti z 1/2, tj. najti število, ki bo po množenju z 1/2 dalo produkt 5. Očitno mora biti to število večje od 5, saj je 1/2 pravi ulomek , pri množenju števila pa mora biti produkt pravilnega ulomka manjši od produkta, ki ga množimo. Da bo to jasnejše, zapišimo svoja dejanja na naslednji način: 5: 1 / 2 = X , kar pomeni x 1/2 = 5.

Takšno številko moramo najti X , kar bi, če bi ga pomnožili z 1/2, dalo 5. Ker množenje določenega števila z 1/2 pomeni iskanje 1/2 tega števila, potem je torej 1/2 neznanega števila X je enako 5 in celo število X dvakrat toliko, tj. 5 2 = 10.

Torej 5: 1/2 = 5 2 = 10

Preverimo:

Poglejmo še en primer. Recimo, da želite 6 deliti z 2/3. Najprej poskusimo najti želeni rezultat s pomočjo risbe (slika 19).

Slika 19

Narišimo odsek AB, ki je enak 6 enotam, in vsako enoto razdelimo na 3 enake dele. V vsaki enoti so tri tretjine (3/3) celotnega segmenta AB 6-krat večje, tj. e. 18/3. Z majhnimi oklepaji povežemo 18 nastalih segmentov 2; Segmentov bo samo 9. To pomeni, da je ulomek 2/3 vsebovan v 6 enotah 9-krat, ali z drugimi besedami, ulomek 2/3 je 9-krat manjši od 6 celih enot. torej

Kako do tega rezultata brez risbe samo z izračuni? Recimo takole: 6 moramo deliti z 2/3, tj. odgovoriti moramo na vprašanje, kolikokrat 2/3 vsebuje 6. Ugotovimo najprej: kolikokrat 1/3 vsebuje 6? V celi enoti so 3 tretjine, v 6 enotah pa 6-krat več, to je 18 tretjin; da bi našli to število, moramo 6 pomnožiti s 3. To pomeni, da je 1/3 vsebovana v b enotah 18-krat, 2/3 pa je vsebovana v b enotah ne 18-krat, ampak polovico manj, tj. 18: 2 = 9 Zato smo pri deljenju 6 z 2/3 naredili naslednje:

Od tu dobimo pravilo za deljenje celega števila z ulomkom. Če želite celo število deliti z ulomkom, morate to celo število pomnožiti z imenovalcem danega ulomka in tako, da je ta produkt števec, ga deliti s števcem danega ulomka.

Zapišimo pravilo s črkami:

Da bo to pravilo popolnoma jasno, si je treba zapomniti, da lahko ulomek obravnavamo kot količnik. Zato je koristno najdeno pravilo primerjati s pravilom za deljenje števila s količnikom, ki je bilo navedeno v 38. §. Upoštevajte, da je bila tam pridobljena ista formula.

Pri delitvi so možne okrajšave, npr.

4. Deljenje ulomka z ulomkom.

Recimo, da moramo 3/4 deliti s 3/8. Kaj pomeni število, ki nastane pri deljenju? Odgovoril bo na vprašanje, kolikokrat je ulomek 3/8 vsebovan v ulomku 3/4. Da bi razumeli to težavo, naredimo risbo (slika 20).

Vzemimo odsek AB, ga vzemimo kot enega, ga razdelimo na 4 enake dele in označimo 3 take dele. Odsek AC bo enak 3/4 segmenta AB. Razdelimo zdaj vsakega od štirih prvotnih segmentov na pol, potem bo segment AB razdeljen na 8 enakih delov in vsak tak del bo enak 1/8 segmenta AB. Povežimo 3 takšne segmente z loki, potem bo vsak od segmentov AD in DC enak 3/8 segmenta AB. Risba kaže, da je segment, enak 3/8, vsebovan v segmentu, ki je enak 3/4, točno 2-krat; To pomeni, da lahko rezultat deljenja zapišemo takole:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Poglejmo še en primer. Recimo, da moramo 15/16 deliti s 3/32:

Lahko sklepamo takole: najti moramo število, ki bo po množenju s 3/32 dalo produkt enak 15/16. Zapišimo izračune takole:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 neznana številka X so 15/16

1/32 neznanega števila X je,

32/32 številke X make up .

torej

Torej, če želite deliti ulomek z ulomkom, morate števec prvega ulomka pomnožiti z imenovalcem drugega in imenovalec prvega ulomka s števcem drugega in prvi produkt narediti števec, drugi pa imenovalec.

Zapišimo pravilo s črkami:

Pri delitvi so možne okrajšave, npr.

5. Deljenje mešanih števil.

Ko delite mešana števila, jih morate najprej pretvoriti v neprave ulomke, nato pa dobljene ulomke razdeliti po pravilih deljenja. ulomkov. Poglejmo primer:

Pretvorimo mešana števila v nepravilne ulomke:

Zdaj pa razdelimo:

Če želite deliti mešana števila, jih morate torej pretvoriti v neprave ulomke in nato deliti po pravilu za deljenje ulomkov.

6. Iskanje števila iz njegovega danega ulomka.

Med različnimi težavami z ulomki so včasih tudi takšne, v katerih je podana vrednost nekega ulomka neznanega števila in to število morate najti. Ta vrsta problema bo inverzna problemu iskanja ulomka danega števila; tam je bilo podano število in bilo je potrebno najti nek delček tega števila, tukaj je bil podan delček števila in zahtevano je bilo najti to število samo. Ta ideja bo postala še bolj jasna, če se bomo posvetili reševanju tovrstnih problemov.

Naloga 1. Prvi dan so steklarji zasteklili 50 oken, kar je 1/3 vseh oken zgrajene hiše. Koliko oken je v tej hiši?

rešitev. Problem pravi, da 50 zastekljenih oken predstavlja 1/3 vseh oken v hiši, kar pomeni, da je vseh oken 3x več, tj.

Hiša je imela 150 oken.

Naloga 2. V trgovini so prodali 1500 kg moke, kar je 3/8 celotne zaloge moke v trgovini. Kakšna je bila začetna zaloga moke v trgovini?

rešitev. Iz pogojev problema je razvidno, da 1500 kg prodane moke predstavlja 3/8 celotne zaloge; to pomeni, da bo 1/8 te rezerve 3-krat manjša, tj. da jo izračunate, morate 1500 zmanjšati za 3-krat:

1.500 : 3 = 500 (to je 1/8 rezerve).

Očitno bo celotna ponudba 8-krat večja. torej

500 8 = 4000 (kg).

Začetna zaloga moke v trgovini je bila 4000 kg.

Iz obravnave tega problema je mogoče izpeljati naslednje pravilo.

Če želite najti število iz dane vrednosti njegovega ulomka, je dovolj, da to vrednost delite s števcem ulomka in rezultat pomnožite z imenovalcem ulomka.

Rešili smo dve nalogi iskanja števila po danem ulomku. Takšne probleme, kot je še posebej razvidno iz zadnjega, rešujemo z dvema dejanjema: deljenjem (ko najdemo en del) in množenjem (ko najdemo celo število).

Ko pa smo se naučili deliti ulomke, lahko zgornje probleme rešimo z enim dejanjem, in sicer z deljenjem z ulomkom.

Na primer, zadnjo nalogo je mogoče rešiti z enim dejanjem, kot je ta:

V prihodnje bomo naloge iskanja števila iz njegovega ulomka reševali z enim dejanjem – deljenjem.

7. Iskanje števila po odstotku.

V teh nalogah boste morali najti število, ki pozna nekaj odstotkov tega števila.

Naloga 1. V začetku tega leta sem od hranilnice prejel 60 rubljev. dohodek od zneska, ki sem ga privarčeval pred enim letom. Koliko denarja sem dal v hranilnico? (Blagajne dajejo vlagateljem 2-odstotni donos na leto.)

Pomen problema je v tem, da sem dal določeno vsoto denarja v hranilnico in tam ostal eno leto. Po enem letu sem od nje prejel 60 rubljev. dohodka, kar je 2/100 denarja, ki sem ga položil. Koliko denarja sem vložil?

Posledično, če poznamo del tega denarja, izražen na dva načina (v rubljih in frakcijah), moramo najti celoten, še neznan znesek. To je navaden problem iskanja števila glede na njegov ulomek. Z delitvijo se rešujejo naslednji problemi:

To pomeni, da je bilo v hranilnici položenih 3000 rubljev.

Naloga 2. Mesečni načrt so ribiči v dveh tednih izpolnili za 64 % in ulovili 512 ton rib. Kakšen je bil njihov načrt?

Iz pogojev problema je razvidno, da so ribiči izpolnili del načrta. Ta del znaša 512 ton, kar je 64% načrta. Ne vemo, koliko ton rib je treba pripraviti po načrtu. Iskanje te številke bo rešitev problema.

Takšne težave se rešujejo z delitvijo:

To pomeni, da je po načrtu treba pripraviti 800 ton rib.

Naloga 3. Vlak je šel iz Rige v Moskvo. Ko je prevozil 276. kilometer, je eden od potnikov vprašal mimovozečega sprevodnika, koliko poti so že prevozili. Na to je sprevodnik odgovoril: "Prevozili smo že 30% celotne poti." Kakšna je razdalja od Rige do Moskve?

Iz pogojev problema je jasno, da je 30% poti od Rige do Moskve 276 km. Najti moramo celotno razdaljo med temi mesti, tj. za ta del najti celoto:

§ 91. Vzajemna števila. Zamenjava deljenja z množenjem.

Vzemimo ulomek 2/3 in zamenjamo števec namesto imenovalca, dobimo 3/2. Dobili smo inverzijo tega ulomka.

Da bi dobili obratni ulomek, morate njegov števec postaviti namesto imenovalca in imenovalec namesto števca. Na ta način lahko dobimo recipročno vrednost katerega koli ulomka. Na primer:

3/4, vzvratno 4/3; 5/6, vzvratno 6/5

Dva ulomka, ki imata to lastnost, da je števec prvega imenovalec drugega, imenovalec prvega pa števec drugega, imenujemo medsebojno obratno.

Zdaj pa pomislimo, kateri ulomek bo recipročna vrednost 1/2. Očitno bo 2/1 ali samo 2. Z iskanjem inverznega ulomka danega smo dobili celo število. In ta primer ni osamljen; nasprotno, za vse ulomke s števcem 1 (ena) bodo recipročne vrednosti cela števila, na primer:

1/3, hrbtna stran 3; 1/5, vzvratno 5

Ker smo se pri iskanju recipročnih ulomkov srečali tudi s celimi števili, v nadaljevanju ne bomo govorili o recipročnih ulomkih, ampak o recipročnih številih.

Ugotovimo, kako zapisati inverzno celo število. Za ulomke je to mogoče preprosto rešiti: namesto števca morate postaviti imenovalec. Na enak način lahko dobite inverzno število za celo število, saj ima lahko vsako celo število imenovalec 1. To pomeni, da bo inverzno število 7 1/7, ker je 7 = 7/1; za število 10 bo obratno 1/10, saj je 10 = 10/1

To idejo je mogoče izraziti drugače: recipročno vrednost danega števila dobimo tako, da ena delimo z danim številom. Ta trditev ne velja samo za cela števila, ampak tudi za ulomke. Pravzaprav, če moramo zapisati inverzijo ulomka 5/9, potem lahko vzamemo 1 in ga delimo s 5/9, tj.

Zdaj pa poudarimo eno stvar premoženje recipročne številke, ki nam bodo koristile: produkt vzajemnih števil je enak ena. Pravzaprav:

Z uporabo te lastnosti lahko najdemo recipročna števila na naslednji način. Recimo, da moramo najti obratno število 8.

Označimo ga s črko X , nato 8 X = 1, torej X = 1/8. Poiščimo drugo število, ki je obratno od 7/12 in ga označimo s črko X , nato 7/12 X = 1, torej X = 1: 7 / 12 ali X = 12 / 7 .

Tu smo predstavili koncept recipročnih števil, da bi nekoliko dopolnili informacije o deljenju ulomkov.

Ko število 6 delimo s 3/5, naredimo naslednje:

Prosim plačaj posebna pozornost do izraza in ga primerjaj z danim: .

Če vzamemo izraz ločeno, brez povezave s prejšnjim, potem je nemogoče rešiti vprašanje, od kod izvira: iz deljenja 6 s 3/5 ali iz množenja 6 s 5/3. V obeh primerih se zgodi isto. Zato lahko rečemo da lahko deljenje enega števila z drugim nadomestimo z množenjem dividende z inverzno vrednostjo delitelja.

Primeri, ki jih navajamo spodaj, v celoti potrjujejo to ugotovitev.

Kalkulator ulomkov zasnovan za hitro računanje operacij z ulomki, vam bo pomagal enostavno seštevati, množiti, deliti ali odštevati ulomke.

Sodobni šolarji začnejo ulomke preučevati že v 5. razredu, vaje z njimi pa so vsako leto bolj zapletene. Matematični izrazi in količine, ki se jih učimo v šoli, nam le redkokdaj lahko koristijo v življenju. odraslo življenje. Vendar pa ulomke, za razliko od logaritmov in potenc, pogosto najdemo v vsakdanjem življenju (merjenje razdalj, tehtanje blaga itd.). Naš kalkulator je zasnovan za hitra izvedba operacije z ulomki.

Najprej opredelimo, kaj so ulomki in kaj so. Ulomki so razmerje enega števila proti drugemu; to je število, sestavljeno iz celega števila ulomkov enote.

Vrste ulomkov:

• Navadna
• decimalno
• Mešano

Primer navadni ulomki:

Zgornja vrednost je števec, spodnja je imenovalec. Pomišljaj nam pokaže, da je zgornje število deljivo s spodnjim številom. Namesto te oblike pisanja, ko je pomišljaj vodoraven, lahko pišete drugače. Lahko postavite nagnjeno črto, na primer:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Decimale so najbolj priljubljena vrsta ulomkov. Sestavljeni so iz celega in ulomka, ločenih z vejico.

Primer decimalnih ulomkov:

0,2 ali 6,71 ali 0,125

Sestavljen je iz celega števila in ulomka. Če želite izvedeti vrednost tega ulomka, morate sešteti celo število in ulomek.

Primer mešane frakcije:

Kalkulator ulomkov na našem spletnem mestu lahko hitro izvede poljubne matematične operacije z ulomki na spletu:

• Dodatek
• Odštevanje
• Množenje
• Delitev

Če želite izvesti izračun, morate v polja vnesti številke in izbrati dejanje. Pri ulomkih morate vnesti števec in imenovalec, ne smete zapisati celega števila (če je ulomek navaden). Ne pozabite klikniti na gumb "enako".

Priročno je, da kalkulator takoj ponudi postopek reševanja primera z ulomki in ne le pripravljenega odgovora. Zahvaljujoč razporejeni rešitvi lahko uporabite ta material pri odločanju šolske naloge ter za boljše obvladovanje obravnavane snovi.

Izvesti morate primer izračuna:

Po vnosu indikatorjev v polja obrazca dobimo:

Za lasten izračun vnesite podatke v obrazec.

Kalkulator ulomkov

Povezani razdelki.

V članku bomo pokazali kako rešiti ulomke z uporabo preprostih, razumljivih primerov. Ugotovimo, kaj je ulomek in razmislimo reševanje ulomkov!

Koncept ulomki se uvaja v tečaje matematike od 6. razreda srednje šole.

Ulomki imajo obliko: ±X/Y, kjer je Y imenovalec, pove na koliko delov je bila celota razdeljena, X pa je števec, ki pove, koliko takih delov je bilo vzetih. Za jasnost vzemimo primer s torto:

V prvem primeru je bila torta enako razrezana in vzeta ena polovica, tj. 1/2. V drugem primeru je bila torta razrezana na 7 delov, od katerih so bili vzeti 4 deli, tj. 4/7.

Če del deljenja enega števila z drugim ni celo število, ga zapišemo kot ulomek.

Na primer, izraz 4:2 = 2 daje celo število, vendar 4:7 ni deljivo s celoto, zato je ta izraz zapisan kot ulomek 4/7.

Z drugimi besedami ulomek je izraz, ki označuje deljenje dveh števil ali izrazov in je zapisan s poševnico.

Če je števec manjši od imenovalca, je ulomek pravi, če je obratno, je nepravi ulomek. Ulomek lahko vsebuje celo število.

Na primer 5 celih 3/4.

Ta vnos pomeni, da za pridobitev celih 6 manjka en del štirice.

Če se želite spomniti, kako rešiti ulomke za 6. razred, to morate razumeti reševanje ulomkov, se v bistvu zmanjša na razumevanje nekaj preprostih stvari.

• Ulomek je v bistvu izraz ulomka. To je numerični izraz tega, kateri del je dano vrednost iz ene celote. Na primer, ulomek 3/5 izraža, če smo nekaj celote razdelili na 5 delov in je število deležev ali delov te celote tri.
• Ulomek je lahko manjši od 1, na primer 1/2 (ali v bistvu polovica), potem je pravilen. Če je ulomek večji od 1, na primer 3/2 (tri polovice ali ena in pol), potem ni pravilen in za poenostavitev rešitve je bolje, da izberemo cel del 3/2 = 1 celo 1 /2.
• Ulomki so enaka števila kot 1, 3, 10 in celo 100, le da števila niso cela, temveč ulomki. Z njimi lahko izvajate vse enake operacije kot s številkami. Štetje ulomkov ni nič težje in naprej konkretni primeri bomo pokazali.

Kako rešiti ulomke. Primeri.

Za ulomke se lahko uporabljajo številne aritmetične operacije.

Zmanjšanje ulomka na skupni imenovalec

Na primer, morate primerjati ulomka 3/4 in 4/5.

Za rešitev problema najprej poiščemo najmanjši skupni imenovalec, tj. najmanjše število, ki je brez ostanka deljiva z vsakim od imenovalcev ulomkov

Najmanjši skupni imenovalec (4,5) = 20

Nato se imenovalec obeh ulomkov zmanjša na najmanjši skupni imenovalec

Odgovor: 15/20

Seštevanje in odštevanje ulomkov

Če je treba izračunati vsoto dveh ulomkov, ju najprej spravimo na skupni imenovalec, nato seštejemo števce, imenovalec pa ostane nespremenjen. Razlika med ulomki se izračuna na enak način, razlika je le v tem, da se števci odštejejo.

Na primer, morate najti vsoto ulomkov 1/2 in 1/3

Zdaj pa poiščimo razliko med ulomkoma 1/2 in 1/4

Množenje in deljenje ulomkov

Tukaj reševanje ulomkov ni težko, tukaj je vse precej preprosto:

• Množenje - števce in imenovalce ulomkov pomnožimo skupaj;
• Deljenje - najprej dobimo ulomek, inverzen drugemu ulomku, tj. Zamenjamo njegov števec in imenovalec, nato pa dobljene ulomke pomnožimo.

Na primer:

To je približno to kako rešiti ulomke, Vse. Če imate še kakršna koli vprašanja o reševanje ulomkov, če kaj ni jasno, napišite v komentarje in zagotovo vam bomo odgovorili.

Če ste učitelj, potem je mogoče prenesti predstavitev za osnovna šola(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) vam bo prišel prav.

Dejanja z ulomki.

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Torej, kaj so ulomki, vrste ulomkov, transformacije - spomnili smo se. Pojdimo k glavnemu vprašanju.

Kaj lahko storite z ulomki? Ja, vse je tako kot pri navadnih številkah. Seštevajte, odštevajte, množite, delite.

Vsa ta dejanja z decimalno delo z ulomki se ne razlikuje od dela s celimi števili. Pravzaprav je to tisto, kar je dobro pri njih, decimalnih. Edina stvar je, da morate vejico pravilno postaviti.

Mešane številke , kot sem že rekel, so malo uporabni za večino dejanj. Še vedno jih je treba pretvoriti v navadne ulomke.

Toda dejanja z navadni ulomki bolj zviti bodo. In še veliko bolj pomembno! Naj vas spomnim: vsa dejanja z ulomki s črkami, sinusi, neznankami in tako naprej in tako naprej se ne razlikujejo od dejanj z navadnimi ulomki! Operacije z navadnimi ulomki so osnova vse algebre. Zaradi tega razloga bomo tukaj zelo podrobno analizirali vso to aritmetiko.

Seštevanje in odštevanje ulomkov.

Vsak zna seštevati (odštevati) ulomke z enakimi imenovalci (močno upam!). No, čisto pozabljive naj spomnim: pri seštevanju (odštevanju) se imenovalec ne spremeni. Števci se seštejejo (odštejejo), da dobimo števec rezultata. Tip:

Skratka na splošno:

Kaj pa, če so imenovalci različni? Nato z uporabo osnovne lastnosti ulomka (tukaj pride spet prav!) naredimo imenovalce enake! Na primer:

Tukaj smo morali narediti ulomek 4/10 iz ulomka 2/5. Z edinim namenom, da bi bili imenovalci enaki. Naj za vsak slučaj pripomnim, da sta 2/5 in 4/10 isti ulomek! Samo 2/5 je za nas neprijetno, 4/10 pa je res v redu.

Mimogrede, to je bistvo reševanja kakršnih koli matematičnih problemov. Ko smo iz neprijetno delamo izraze ista stvar, vendar bolj priročna za reševanje.

Še en primer:

Situacija je podobna. Tukaj naredimo 48 od 16. S preprostim množenjem do 3. Vse je jasno. Toda naleteli smo na nekaj takega:

Kako biti?! Težko je iz sedmice narediti devet! Ampak smo pametni, poznamo pravila! Preobrazimo se vsak ulomek, tako da sta imenovalca enaka. To se imenuje "zmanjšaj na skupni imenovalec":

Vau! Kako sem vedel za 63? Zelo enostavno! 63 je število, ki je deljivo s 7 in 9 hkrati. Takšno število lahko vedno dobimo z množenjem imenovalcev. Če število pomnožimo na primer s 7, bo rezultat zagotovo deljiv s 7!

Če morate sešteti (odšteti) več ulomkov, tega ni treba narediti v parih, korak za korakom. Samo najti morate imenovalec, ki je skupen vsem ulomkom, in vsak ulomek zmanjšati na ta isti imenovalec. Na primer:

In kaj bo skupni imenovalec? Seveda lahko pomnožite 2, 4, 8 in 16. Dobimo 1024. Nočna mora. Lažje je oceniti, da je število 16 popolnoma deljivo z 2, 4 in 8. Zato je iz teh števil enostavno dobiti 16. To število bo skupni imenovalec. Spremenimo 1/2 v 8/16, 3/4 v 12/16 in tako naprej.

Mimogrede, če vzamete 1024 za skupni imenovalec, se bo vse izšlo, na koncu se bo vse zmanjšalo. A do tega konca ne bodo prišli vsi, zaradi izračunov ...

Sami dopolnite primer. Ne nekakšen logaritem ... Izkazalo bi se moralo biti 29/16.

Torej je seštevanje (odštevanje) ulomkov jasno, upam? Seveda je lažje delati v skrajšani različici, z dodatnimi množitelji. Toda ta užitek je na voljo tistim, ki so pošteno delali v nižjih razredih ... In niso ničesar pozabili.

In zdaj bomo naredili enaka dejanja, vendar ne z ulomki, ampak z ulomki izrazi. Tukaj bodo razkrite nove rake, ja ...

Sešteti moramo torej dva ulomka:

Imenovalci morajo biti enaki. In samo s pomočjo množenje! To narekuje glavna lastnost ulomka. Zato X v prvem ulomku v imenovalcu ne morem dodati ena. (to bi bilo lepo!). Če pa imenovalce pomnožiš, vidiš, vse skupaj raste! Torej zapišemo vrstico ulomka, pustimo na vrhu prazen prostor, nato ga seštejemo, spodaj pa zapišemo produkt imenovalcev, da ne pozabimo:

In seveda ničesar ne množimo na desni strani, ne odpiramo oklepajev! In zdaj, ko pogledamo skupni imenovalec na desni strani, ugotovimo: da bi dobili imenovalec x(x+1) v prvem ulomku, morate števec in imenovalec tega ulomka pomnožiti z (x+1) . In v drugem ulomku - do x. Tole dobite:

Pozor! Tukaj so oklepaji! To so grablje, na katere stopi marsikdo. Seveda ne oklepaji, ampak njihova odsotnost. Oklepaj se pojavi, ker množimo vseštevnik in vse imenovalec! In ne njihovih posameznih kosov...

V števec na desni strani zapišemo vsoto števcev, vse je kot v številčni ulomki, nato odprite oklepaj v števcu desne strani, tj. Vse pomnožimo in damo podobno. Ni vam treba odpirati oklepajev v imenovalcih ali ničesar množiti! Na splošno je v imenovalcih (kateri koli) izdelek vedno prijetnejši! Dobimo:

Tako smo dobili odgovor. Postopek se zdi dolg in težaven, vendar je odvisen od prakse. Ko rešiš primere, se navadiš, bo vse postalo preprosto. Tisti, ki so ulomke obvladali pravočasno, delajo vse te operacije z eno levo roko, samodejno!

In še ena opomba. Mnogi se pametno ukvarjajo z ulomki, zataknejo pa se pri primerih z celaštevilke. Na primer: 2 + 1/2 + 3/4=? Kam pritrditi dvodelno? Ni vam ga treba nikamor pritrditi, iz dveh morate narediti delček. Ni lahko, ampak zelo preprosto! 2=2/1. Takole. Vsako celo število lahko zapišemo kot ulomek. Števec je samo število, imenovalec je ena. 7 je 7/1, 3 je 3/1 in tako naprej. Enako je s črkami. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 itd. In potem s temi ulomki delamo po vseh pravilih.

No, osvežili smo znanje seštevanja in odštevanja ulomkov. Pretvarjanje ulomkov iz ene vrste v drugo se je ponavljalo. Lahko se tudi pregledate. Naj se malo dogovorimo?)

Izračunajte:

Odgovori (v neredu):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Množenje/deljenje ulomkov – v naslednji lekciji. Na voljo so tudi naloge za vse operacije z ulomki.

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Dejanja z ulomki. V tem članku si bomo ogledali primere, vse podrobno z razlagami. Upoštevali bomo navadne ulomke. Kasneje si bomo ogledali decimalke. Priporočam, da si ogledate celotno stvar in jo preučite zaporedno.

1. Vsota ulomkov, razlika ulomkov.

Pravilo: pri seštevanju ulomkov z enakimi imenovalci je rezultat ulomek, katerega imenovalec ostane enak, njegov števec pa bo enak vsoti števcev ulomkov.

Pravilo: pri izračunu razlike ulomkov z enakimi imenovalci dobimo ulomek - imenovalec ostane enak, števec drugega pa se odšteje od števca prvega ulomka.

Formalni zapis za vsoto in razliko ulomkov z enakimi imenovalci:

Primeri (1):

Jasno je, da ko so podani navadni ulomki, je vse preprosto, kaj pa, če so mešani? Nič zapletenega ...

Možnost 1– lahko jih pretvorite v navadne in nato izračunate.

Možnost 2– lahko "delate" ločeno s celimi in ulomki.

Primeri (2):

več:

Kaj pa, če je podana razlika dveh mešanih ulomkov in je števec prvega ulomka manjši od števca drugega? Delujete lahko tudi na dva načina.

Primeri (3):

*Pretvoril v navadne ulomke, izračunal razliko, pretvoril nastali nepravi ulomek v mešani ulomek.

*Razdelili smo ga na cele in ulomke, dobili trojko, nato predstavili 3 kot vsoto 2 in 1, z enico, predstavljeno kot 11/11, nato pa našli razliko med 11/11 in 7/11 in izračunali rezultat . Pomen zgornjih transformacij je, da vzamemo (izberemo) enoto in jo predstavimo v obliki ulomka z imenovalcem, ki ga potrebujemo, nato pa lahko od tega ulomka odštejemo drugo.

Še en primer:

Zaključek: obstaja univerzalen pristop - da bi izračunali vsoto (razliko) mešanih ulomkov z enakimi imenovalci, jih je mogoče vedno pretvoriti v nepravilne, nato pa izvesti potrebno dejanje. Če je rezultat nato nepravilni ulomek, ga pretvorimo v mešani ulomek.

Zgoraj smo si ogledali primere z ulomki, ki imajo enaka imenovalca. Kaj pa, če so imenovalci različni? V tem primeru se ulomki zmanjšajo na isti imenovalec in izvede se navedeno dejanje. Za spreminjanje (preoblikovanje) ulomka se uporablja osnovna lastnost ulomka.

Poglejmo preproste primere:

V teh primerih takoj vidimo, kako lahko enega od ulomkov preoblikujemo, da dobimo enake imenovalce.

Če določimo načine reduciranja ulomkov na isti imenovalec, potem bomo temu rekli PRVA METODA.

To pomeni, da morate takoj pri "ocenjevanju" ulomka ugotoviti, ali bo ta pristop deloval - preverimo, ali je večji imenovalec deljiv z manjšim. In če je deljivo, potem izvedemo transformacijo - pomnožimo števec in imenovalec, tako da postaneta imenovalca obeh ulomkov enaka.

Poglejte zdaj te primere:

Ta pristop zanje ni primeren. Obstajajo tudi načini redukcije ulomkov na skupni imenovalec;

DRUGA metoda.

Števec in imenovalec prvega ulomka pomnožimo z imenovalcem drugega, števec in imenovalec drugega ulomka pa z imenovalcem prvega:

* Pravzaprav ulomke skrčimo na obliko, ko se imenovalca izenačita. Nato uporabimo pravilo za seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.

primer:

*To metodo lahko imenujemo univerzalna in vedno deluje. Edina pomanjkljivost je, da lahko po izračunih na koncu dobite delček, ki ga bo treba še dodatno zmanjšati.

Poglejmo primer:

Vidimo, da sta števec in imenovalec deljiva s 5:

Metoda TRETJI.

Najti morate najmanjši skupni večkratnik (LCM) imenovalcev. To bo skupni imenovalec. Kakšna številka je to? To je najmanj naravno število, ki je deljivo z vsakim izmed števil.

Poglejte, tukaj sta dve števili: 3 in 4, veliko je števil, ki so deljiva z njima - to so 12, 24, 36, ... Najmanjše med njimi je 12. Ali pa 6 in 15, 30, 60, 90 so deljivo z njimi.... Najmanj je 30. Vprašanje je - kako določiti ta najmanjši skupni večkratnik?

Obstaja jasen algoritem, vendar je pogosto to mogoče storiti takoj brez izračunov. Na primer, glede na zgornje primere (3 in 4, 6 in 15) algoritem ni potreben, vzeli smo velika števila (4 in 15), jih podvojili in videli, da so deljiva z drugo številko, vendar lahko pari števil drugi, na primer 51 in 119.

Algoritem. Če želite določiti najmanjši skupni večkratnik več števil, morate:

- vsako število razstavite na PREPROSTI dejavniki

— zapiši razgradnjo VEČJEGA izmed njih

- pomnožite z MANJKAJOČIMI faktorji drugih števil

Poglejmo si primere:

50 in 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

v razgradnji več ena petica manjka

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 in 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

v razširitvi večjega števila dve in tri manjkata

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Najmanjši skupni večkratnik dveh praštevila enako njihovemu produktu

vprašanje! Zakaj je iskanje najmanjšega skupnega večkratnika uporabno, saj lahko uporabite drugo metodo in preprosto zmanjšate dobljeni ulomek? Da, možno je, vendar ni vedno priročno. Poglejte imenovalec števil 48 in 72, če ju enostavno pomnožite 48∙72 = 3456. Strinjate se, da je prijetneje delati z manjšimi števili.

Poglejmo si primere:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

razširitvi večjega števila manjka trojka

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

Zdaj pa uporabimo prvo metodo:

* Poglejte razliko v izračunih, v prvem primeru jih je najmanj, v drugem pa morate ločeno delati na listu papirja in celo delež, ki ste ga prejeli, je treba zmanjšati. Iskanje LOC bistveno poenostavi delo.

Več primerov:

*V drugem primeru je jasno, da je najmanjše število, ki je deljivo s 40 in 60, 120.

REZULTAT! SPLOŠNI RAČUNALNIŠKI ALGORITEM!

— ulomke skrčimo na navadne, če je celoštevilski del.

- ulomke spravimo na skupni imenovalec (najprej pogledamo, ali je en imenovalec deljiv z drugim; če je deljiv, pomnožimo števec in imenovalec tega drugega ulomka; če ni deljiv, ukrepamo po drugih metodah) navedeno zgoraj).

- Ko prejmemo ulomke z enakimi imenovalci, izvajamo operacije (seštevanje, odštevanje).

- po potrebi zmanjšamo rezultat.

- po potrebi izberite celoten del.

2. Zmnožek ulomkov.

Pravilo je preprosto. Pri množenju ulomkov se njihovi števci in imenovalci pomnožijo:

Primeri: