การหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันหมายความว่าอย่างไร ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

ด้วยบริการนี้คุณสามารถทำได้ ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันตัวแปรหนึ่งตัว f(x) พร้อมโซลูชันที่จัดรูปแบบใน Word ถ้ากำหนดฟังก์ชัน f(x,y) ไว้ ก็จำเป็นต้องค้นหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว คุณยังสามารถค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่มและลดได้

กฎสำหรับการเข้าฟังก์ชั่น:

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับฟังก์ชันสุดขั้วของตัวแปรหนึ่งตัว

เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับปลายสุดของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว

ฉ" 0 (x *) = 0
ฉ"" 0 (x *) > 0

จากนั้นจุด x * คือจุดต่ำสุดภายใน (ทั่วโลก) ของฟังก์ชัน

หากตรงจุด x * ตรงตามเงื่อนไข:

ฉ" 0 (x *) = 0
ฉ"" 0 (x *)< 0

จากนั้นจุด x * คือค่าสูงสุดเฉพาะที่ (ทั่วโลก)

ตัวอย่างหมายเลข 1 ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน: บนเซ็กเมนต์
สารละลาย.

จุดวิกฤติคือหนึ่ง x 1 = 2 (f’(x)=0) จุดนี้เป็นของกลุ่ม (จุด x=0 ไม่สำคัญ เนื่องจาก 0∉)
เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและที่จุดวิกฤติ
ฉ(1)=9, ฉ(2)= 5 / 2 , ฉ(3)=3 8 / 81
คำตอบ: f นาที = 5/2 ที่ x=2; f สูงสุด =9 ที่ x=1

ตัวอย่างหมายเลข 2 ใช้อนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่า หาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชัน y=x-2sin(x)
สารละลาย.
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: y’=1-2cos(x) . มาหาจุดวิกฤตกัน: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z เราพบว่า y''=2sin(x) คำนวณ ซึ่งหมายความว่า x= π / 3 +2πk, k∈Z คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน ซึ่งหมายความว่า x=- π / 3 +2πk, k∈Z คือจุดสูงสุดของฟังก์ชัน

ตัวอย่างหมายเลข 3 ตรวจสอบฟังก์ชันปลายสุดในบริเวณใกล้กับจุด x=0
สารละลาย. ในที่นี้จำเป็นต้องค้นหาจุดสุดขีดของฟังก์ชัน หากค่าสุดขั้ว x=0 ให้ค้นหาประเภทของค่านั้น (ค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุด) หากจุดที่พบไม่มี x = 0 ให้คำนวณค่าของฟังก์ชัน f(x=0)
ควรสังเกตว่าเมื่ออนุพันธ์ในแต่ละด้านของจุดที่กำหนดไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย สถานการณ์ที่เป็นไปได้จะไม่หมดลงแม้แต่ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้: มันสามารถเกิดขึ้นได้สำหรับย่านใกล้เคียงขนาดเล็กโดยพลการที่ด้านหนึ่งของจุด x 0 หรือ ทั้งสองด้านมีเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์ ณ จุดเหล่านี้ จำเป็นต้องใช้วิธีอื่นเพื่อศึกษาฟังก์ชันในระดับสุดขั้ว

ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

ค่าสูงสุดของฟังก์ชันคือค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ค่าน้อยที่สุดคือค่าที่น้อยที่สุดในบรรดาค่าทั้งหมด

ฟังก์ชันสามารถมีค่าที่ใหญ่ที่สุดได้เพียงค่าเดียวและค่าน้อยที่สุดเพียงค่าเดียวเท่านั้น หรืออาจไม่มีค่าเลยก็ได้ การค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่องจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของฟังก์ชันเหล่านี้:

1) หากในช่วงเวลาหนึ่ง (จำกัดหรือไม่มีที่สิ้นสุด) ฟังก์ชัน y=f(x) มีความต่อเนื่องและมีเพียงหนึ่งจุดสุดขั้ว และหากนี่คือค่าสูงสุด (ต่ำสุด) มันจะเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชัน ในช่วงเวลานี้

2) หากฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องกันในบางเซ็กเมนต์ ก็จำเป็นต้องมีค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในเซ็กเมนต์นี้ ถึงค่าเหล่านี้ที่จุดปลายสุดซึ่งอยู่ภายในส่วนหรือที่ขอบเขตของส่วนนี้

หากต้องการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในเซ็กเมนต์ ขอแนะนำให้ใช้โครงร่างต่อไปนี้:

1. ค้นหาอนุพันธ์

2. ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันที่มี =0 หรือไม่มีอยู่

3. ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติและที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์แล้วเลือกค่า f max ที่ใหญ่ที่สุดและค่า f max ที่เล็กที่สุด

เมื่อแก้ไขปัญหาที่ใช้ โดยเฉพาะการปรับให้เหมาะสม ปัญหาในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด (สูงสุดทั่วโลกและต่ำสุดทั่วโลก) ของฟังก์ชันในช่วงเวลา X มีความสำคัญ ในการแก้ปัญหาดังกล่าว ควรทำตามเงื่อนไข เลือกตัวแปรอิสระและแสดงค่าที่กำลังศึกษาผ่านตัวแปรนี้ จากนั้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดที่ต้องการของฟังก์ชันผลลัพธ์ ในกรณีนี้ ช่วงการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรอิสระซึ่งอาจมีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุดก็ถูกกำหนดจากเงื่อนไขของปัญหาด้วย

ตัวอย่าง.ถังที่มีรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านบนเปิดและมีก้นสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะต้องบรรจุกระป๋องไว้ด้านใน ขนาดของถังควรมีขนาดเท่าใดหากความจุ 108 ลิตร? น้ำเพื่อให้ต้นทุนในการกักเก็บน้อยที่สุด?

สารละลาย.ค่าใช้จ่ายในการเคลือบถังด้วยดีบุกจะน้อยที่สุดหากพื้นที่ผิวของถังมีน้อยตามความจุที่กำหนด ให้เราแสดงด้วย dm ด้านข้างของฐาน b dm ความสูงของถัง แล้วพื้นที่ S ของพื้นผิวจะเท่ากับ

และ

ความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นจะสร้างความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ผิวของอ่างเก็บน้ำ S (ฟังก์ชัน) และด้านข้างของฐาน a (อาร์กิวเมนต์) ให้เราตรวจสอบฟังก์ชัน S สำหรับส่วนปลายสุด ลองหาอนุพันธ์ตัวแรก จัดให้เป็นศูนย์แล้วแก้สมการผลลัพธ์:

ดังนั้น a = 6 (a) > 0 สำหรับ a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

ตัวอย่าง- ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน ในช่วงเวลา

สารละลาย: ฟังก์ชั่นที่ระบุต่อเนื่องกันบนเส้นจำนวนทั้งหมด อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

อนุพันธ์สำหรับและสำหรับ มาคำนวณค่าฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้:

.

ค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของช่วงเวลาที่กำหนดจะเท่ากัน เพราะฉะนั้น, มูลค่าสูงสุดฟังก์ชันเท่ากับ at ค่าน้อยที่สุดของฟังก์ชันเท่ากับ at

คำถามทดสอบตัวเอง

1. กำหนดกฎของโลปิตาลสำหรับการเปิดเผยความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม รายการ ประเภทต่างๆความไม่แน่นอนที่สามารถใช้กฎของโลปิตาลได้

2. กำหนดสัญญาณของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน

3. กำหนดค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน

4. กำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของสุดขั้ว

5. ค่าใดของอาร์กิวเมนต์ (จุดใด) ที่เรียกว่าวิกฤต? จะหาจุดเหล่านี้ได้อย่างไร?

6. อะไรคือสัญญาณที่เพียงพอของการมีอยู่ของฟังก์ชันสุดขั้ว? เขียนโครงร่างการศึกษาฟังก์ชันที่จุดสุดขั้วโดยใช้อนุพันธ์อันดับ 1

7. สรุปโครงร่างการศึกษาฟังก์ชันที่จุดสุดขีดโดยใช้อนุพันธ์อันดับสอง

8. กำหนดความนูนและความเว้าของเส้นโค้ง

9. จุดเปลี่ยนเว้าของกราฟของฟังก์ชันเรียกว่าอะไร? ระบุวิธีการหาจุดเหล่านี้

10. กำหนดสัญญาณที่จำเป็นและเพียงพอของความนูนและความเว้าของเส้นโค้งบนส่วนที่กำหนด

11. กำหนดเส้นกำกับของเส้นโค้ง จะค้นหาเส้นกำกับแนวตั้ง แนวนอน และแนวเฉียงของกราฟของฟังก์ชันได้อย่างไร

12. โครงร่าง โครงการทั่วไปค้นคว้าฟังก์ชันและวาดกราฟของมัน

13. กำหนดกฎสำหรับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนด

ในบทความนี้ฉันจะพูดถึง อัลกอริธึมสำหรับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดฟังก์ชั่นจุดต่ำสุดและสูงสุด

ตามทฤษฎีแล้วมันจะมีประโยชน์สำหรับเราอย่างแน่นอน ตารางอนุพันธ์และ กฎความแตกต่าง- ทั้งหมดอยู่ในจานนี้:

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด

มันสะดวกกว่าสำหรับฉันที่จะอธิบาย ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง- พิจารณา:

ตัวอย่าง:ค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน y=x^5+20x^3–65x บนเซ็กเมนต์ [–4;0]

ขั้นตอนที่ 1เราหาอนุพันธ์

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

ขั้นตอนที่ 2การหาจุดสุดยอด

จุดสุดขั้วเราเรียกจุดที่ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด

ในการค้นหาจุดสุดขั้ว คุณต้องเทียบอนุพันธ์ของฟังก์ชันให้เป็นศูนย์ (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

ทีนี้ลองแก้ไบนี้กัน สมการกำลังสองและรากที่พบคือจุดสุดขั้วของเรา

ฉันแก้สมการดังกล่าวโดยแทนที่ t = x^2 จากนั้น 5t^2 + 60t - 65 = 0

ลองลดสมการลง 5 เราจะได้: t^2 + 12t - 13 = 0

ง = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + ตร.ม.(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - ตร.ม.(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

เราทำการเปลี่ยนแปลงแบบย้อนกลับ x^2 = t:

X_(1 และ 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 และ 4) = ±sqrt(-13) (เราไม่รวม เพราะไม่มี ตัวเลขติดลบเว้นแต่ว่าเรากำลังพูดถึงจำนวนเชิงซ้อน)

ผลรวม: x_(1) = 1 และ x_(2) = -1 - นี่คือจุดสุดขั้วของเรา

ขั้นตอนที่ 3กำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด

วิธีการทดแทน

ในเงื่อนไข เราได้รับเซ็กเมนต์ [b][–4;0] จุด x=1 ไม่รวมอยู่ในส่วนนี้ เราจึงไม่พิจารณาเรื่องนี้. แต่นอกเหนือจากจุด x=-1 แล้ว เรายังต้องพิจารณาขอบเขตด้านซ้ายและขวาของเซ็กเมนต์ของเราด้วย ซึ่งก็คือจุด -4 และ 0 เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เราจะแทนที่จุดทั้งสามนี้ลงในฟังก์ชันดั้งเดิม โปรดทราบว่าต้นฉบับคืออันที่กำหนดในเงื่อนไข (y=x^5+20x^3–65x) บางคนเริ่มแทนที่มันเป็นอนุพันธ์...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

ซึ่งหมายความว่าค่าสูงสุดของฟังก์ชันคือ [b]44 และบรรลุที่จุด [b]-1 ซึ่งเรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ [-4; 0].

เราตัดสินใจแล้วได้รับคำตอบ เราเก่งมาก สบายใจได้ แต่หยุด! คุณไม่คิดว่าการคำนวณ y(-4) นั้นยากเกินไปหรือ? ในระยะเวลาที่จำกัด ควรใช้วิธีอื่นดีกว่า ฉันเรียกสิ่งนี้ว่า:

ผ่านช่วงเวลาแห่งความมั่นคงของสัญญาณ

ช่วงเหล่านี้พบได้จากอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งก็คือสมการกำลังสองของเรา

ฉันทำแบบนี้ ฉันวาดส่วนที่กำกับ ฉันวางคะแนน: -4, -1, 0, 1 แม้ว่าข้อเท็จจริงที่ว่า 1 จะไม่รวมอยู่ในส่วนที่กำหนด แต่ก็ควรสังเกตไว้เพื่อกำหนดช่วงเวลาของความคงที่ของเครื่องหมายอย่างถูกต้อง ลองหาจำนวนที่มากกว่า 1 หลายเท่า เช่น 100 แล้วแทนที่มันลงในสมการกำลังสองของเรา 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 แม้จะไม่ได้นับอะไรเลย ก็ชัดเจนว่าที่จุด 100 ฟังก์ชั่นมีเครื่องหมายบวก ซึ่งหมายความว่าในช่วงตั้งแต่ 1 ถึง 100 จะมีเครื่องหมายบวก เมื่อผ่าน 1 (เราไปจากขวาไปซ้าย) ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นลบ เมื่อผ่านจุด 0 ฟังก์ชันจะคงเครื่องหมายไว้ เนื่องจากนี่เป็นเพียงขอบเขตของเซกเมนต์ ไม่ใช่รากของสมการ เมื่อผ่าน -1 ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นเครื่องหมายบวกอีกครั้ง

จากทฤษฎี เรารู้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันอยู่ที่ไหน (และเราวาดมันมาเพื่อมันโดยเฉพาะ) เครื่องหมายเปลี่ยนจากบวกเป็นลบ (จุด -1 ในกรณีของเรา)ฟังก์ชั่นถึง สูงสุดในท้องถิ่น (y(-1)=44 ตามที่คำนวณไว้ก่อนหน้านี้)ในส่วนนี้ (นี่เป็นเหตุผลที่เข้าใจได้มาก ฟังก์ชันหยุดเพิ่มเนื่องจากถึงค่าสูงสุดและเริ่มลดลง)

ดังนั้น ที่ไหน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก, บรรลุแล้ว ฟังก์ชันขั้นต่ำในท้องถิ่น- ใช่ ใช่ เรายังพบว่าจุดต่ำสุดในพื้นที่คือ 1 และ y(1) คือค่าต่ำสุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ กล่าวคือตั้งแต่ -1 ถึง +∞ กรุณาชำระเงิน ความสนใจอย่างมากว่านี่เป็นเพียงขั้นต่ำในท้องถิ่นเท่านั้น นั่นคือขั้นต่ำสำหรับบางเซ็กเมนต์ เนื่องจากค่าต่ำสุดจริง (ทั่วโลก) ของฟังก์ชันจะไปถึงจุดนั้น ที่ -∞

ในความคิดของฉัน วิธีแรกนั้นง่ายกว่าในทางทฤษฎี และวิธีที่สองนั้นง่ายกว่าจากมุมมองของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ แต่ซับซ้อนกว่ามากจากมุมมองของทฤษฎี ท้ายที่สุดแล้ว บางครั้งก็มีกรณีที่ฟังก์ชันไม่เปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านรากของสมการ และโดยทั่วไปแล้ว คุณอาจสับสนกับค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดในระดับท้องถิ่น ทั่วโลกได้ แม้ว่าคุณจะต้องเชี่ยวชาญเรื่องนี้เป็นอย่างดีอยู่แล้วหากคุณ วางแผนที่จะเข้ามหาวิทยาลัยเทคนิค (และเพราะเหตุใดจึงต้องใช้โปรไฟล์ Unified State Exam และแก้ไขปัญหานี้) แต่การฝึกฝนและการฝึกฝนเท่านั้นที่จะสอนให้คุณแก้ปัญหาดังกล่าวได้เพียงครั้งเดียวและตลอดไป และคุณสามารถฝึกอบรมบนเว็บไซต์ของเราได้ ที่นี่ .

หากคุณมีคำถามหรือบางสิ่งที่ไม่ชัดเจน โปรดถาม ฉันยินดีที่จะตอบคุณและทำการเปลี่ยนแปลงและเพิ่มเติมบทความ จำไว้ว่าเรากำลังสร้างเว็บไซต์นี้ด้วยกัน!

และเพื่อแก้ปัญหานี้คุณจะต้องมีความรู้ขั้นต่ำในหัวข้อนี้ อันต่อไปก็จบ ปีการศึกษาใครๆ ก็อยากไปเที่ยวพักผ่อน และเพื่อให้ช่วงเวลานี้ใกล้ชิดยิ่งขึ้น ฉันจะตรงประเด็น:

เริ่มจากพื้นที่กันก่อน พื้นที่ที่อ้างถึงในสภาพคือ จำกัด ปิด ชุดของจุดบนเครื่องบิน ตัวอย่างเช่น เซตของจุดที่ล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยม รวมถึงสามเหลี่ยมทั้งหมดด้วย (ถ้าจาก เส้นขอบ“แทงออก” อย่างน้อย 1 จุด แล้วเขตจะไม่ถูกปิดอีกต่อไป)- ในทางปฏิบัติ ยังมีพื้นที่ที่เป็นสี่เหลี่ยม วงกลม และใหญ่กว่าเล็กน้อยอีกด้วย รูปร่างที่ซับซ้อน- ควรสังเกตว่าในทฤษฎีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์นั้นให้คำจำกัดความที่เข้มงวด ข้อจำกัด ความแตกแยก ขอบเขต ฯลฯแต่ฉันคิดว่าทุกคนตระหนักถึงแนวคิดเหล่านี้ในระดับสัญชาตญาณ และตอนนี้ไม่ต้องการอะไรอีกแล้ว

พื้นที่ราบจะแสดงด้วยตัวอักษรมาตรฐาน และตามกฎแล้วจะถูกระบุเชิงวิเคราะห์ - ด้วยสมการหลายประการ (ไม่จำเป็นต้องเป็นเส้นตรง)- ความไม่เท่าเทียมกันน้อยลง คำฟุ่มเฟือยทั่วไป: “พื้นที่ปิด ล้อมรอบด้วยเส้น ».

ส่วนสำคัญของงานที่อยู่ระหว่างการพิจารณาคือการก่อสร้างพื้นที่ในรูปวาด วิธีการทำเช่นนี้? คุณต้องวาดเส้นทั้งหมดที่แสดงไว้ (ในกรณีนี้คือ 3 ตรง) และวิเคราะห์สิ่งที่เกิดขึ้น พื้นที่ที่ค้นหามักจะแรเงาเล็กน้อย และมีเส้นขอบกำกับด้วยเส้นหนา:


สามารถกำหนดพื้นที่เดียวกันได้ อสมการเชิงเส้น: ซึ่งด้วยเหตุผลบางประการมักเขียนเป็นรายการแจกแจงมากกว่า ระบบ.
เนื่องจากเขตแดนเป็นของภูมิภาค แน่นอนว่าความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด หละหลวม.

และตอนนี้สาระสำคัญของงาน ลองนึกภาพว่าแกนออกมาตรงเข้าหาคุณจากจุดกำเนิด พิจารณาฟังก์ชันนั้น อย่างต่อเนื่อง ในแต่ละจุดพื้นที่ กราฟของฟังก์ชันนี้แสดงถึงบางส่วน พื้นผิวและความสุขเล็กๆ น้อยๆ ก็คือการแก้ปัญหาในปัจจุบันโดยไม่จำเป็นต้องรู้ว่าพื้นผิวนี้เป็นอย่างไร มันสามารถอยู่ในตำแหน่งที่สูงขึ้น, ต่ำลง, ตัดกับระนาบ - ทั้งหมดนี้ไม่สำคัญ และที่สำคัญดังต่อไปนี้ตาม ทฤษฎีบทของไวเออร์ชตราส, อย่างต่อเนื่องวี จำกัดปิดพื้นที่ที่ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุด (“สูงสุด”)และอย่างน้อยที่สุด ("ต่ำสุด")คุณค่าที่จำเป็นต้องค้นหา บรรลุถึงคุณค่าดังกล่าว หรือวี จุดคงที่, ที่เป็นของภูมิภาคดี , หรือณ จุดที่อยู่บริเวณขอบบริเวณนี้ สิ่งนี้นำไปสู่อัลกอริธึมโซลูชันที่เรียบง่ายและโปร่งใส:

ตัวอย่างที่ 1

ในจำนวนจำกัด พื้นที่ปิด

สารละลาย: ก่อนอื่น คุณต้องพรรณนาถึงพื้นที่ในภาพวาด น่าเสียดายที่เป็นเรื่องยากในทางเทคนิคสำหรับฉันที่จะสร้างแบบจำลองเชิงโต้ตอบของปัญหา ดังนั้นฉันจะนำเสนอภาพประกอบขั้นสุดท้ายทันที ซึ่งจะแสดงประเด็นที่ “น่าสงสัย” ทั้งหมดที่พบในระหว่างการวิจัย โดยปกติแล้วจะมีการระบุไว้ตามลำดับเมื่อมีการค้นพบ:

จากคำนำ การตัดสินใจสามารถแบ่งออกเป็นสองประเด็นได้อย่างสะดวก:

I) ค้นหาจุดคงที่ นี่เป็นการกระทำมาตรฐานที่เราทำซ้ำๆ ในชั้นเรียน เกี่ยวกับสุดขั้วของตัวแปรหลายตัว:

พบจุดคงที่ เป็นของพื้นที่: (ทำเครื่องหมายบนภาพวาด)ซึ่งหมายความว่าเราควรคำนวณค่าของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด:

- เช่นเดียวกับในบทความ ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ฉันจะเน้นผลลัพธ์ที่สำคัญด้วยตัวหนา สะดวกในการติดตามด้วยสมุดบันทึกด้วยดินสอ

ใส่ใจกับความสุขครั้งที่สองของเรา - ไม่มีประโยชน์ที่จะตรวจสอบ สภาพที่เพียงพอสำหรับสุดขั้ว- ทำไม แม้ว่าฟังก์ชันจะไปถึงจุดหนึ่งแล้วก็ตาม เช่น ขั้นต่ำในท้องถิ่นแล้วนี่ไม่ได้หมายความว่าค่าผลลัพธ์จะเป็น น้อยที่สุดทั่วทั้งภูมิภาค (ดูตอนต้นบทเรียน เกี่ยวกับความสุดขั้วที่ไม่มีเงื่อนไข) .

จะทำอย่างไรถ้าจุดหยุดนิ่งไม่อยู่ในพื้นที่? แทบไม่มีอะไรเลย! ควรสังเกตและไปยังจุดถัดไป

II) เราสำรวจขอบเขตของภูมิภาค

เนื่องจากเส้นขอบประกอบด้วยด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม จึงสะดวกในการแบ่งการศึกษาออกเป็น 3 ส่วนย่อย แต่อย่าทำเลยจะดีกว่า จากมุมมองของฉัน การพิจารณาส่วนที่ขนานกับแกนพิกัดจะมีประโยชน์มากกว่าเป็นอันดับแรก และประการแรกคือส่วนที่อยู่บนแกนเอง หากต้องการเข้าใจลำดับและตรรกะของการกระทำทั้งหมด ให้ลองศึกษาตอนจบ "ในลมหายใจเดียว":

1) มาจัดการกับด้านล่างของสามเหลี่ยมกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่โดยตรงในฟังก์ชัน:

หรือคุณสามารถทำเช่นนี้:

ในเชิงเรขาคณิต นี่หมายถึงระนาบพิกัด (ซึ่งได้รับจากสมการด้วย)"แกะสลัก" ออกจาก พื้นผิวพาราโบลา "เชิงพื้นที่" ซึ่งส่วนบนสุดสงสัยทันที มาหาคำตอบกัน เธออยู่ที่ไหน:

– ค่าผลลัพธ์ที่ได้ “ตกลง” ลงในพื้นที่ และอาจกลายเป็นว่า ณ จุดนั้นก็ได้ (ทำเครื่องหมายบนภาพวาด)ฟังก์ชันถึงค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดในภูมิภาคทั้งหมด ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง เรามาคำนวณกัน:

แน่นอนว่า "ผู้สมัคร" คนอื่นๆ ก็คือจุดสิ้นสุดของกลุ่มนี้ ลองคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดต่างๆ (ทำเครื่องหมายบนภาพวาด):

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถทำการตรวจช่องปากขนาดเล็กโดยใช้เวอร์ชัน "ถอดออก" ได้:

2) เพื่อการวิจัย ด้านขวาเราแทนที่สามเหลี่ยมเป็นฟังก์ชันและ "วางสิ่งต่าง ๆ ตามลำดับ":

ที่นี่เราจะทำการตรวจสอบคร่าวๆ ทันที โดย "ส่งเสียง" ส่วนที่ประมวลผลแล้วของเซ็กเมนต์:
, ยอดเยี่ยม.

สถานการณ์ทางเรขาคณิตเกี่ยวข้องกับประเด็นก่อนหน้า:

– ค่าผลลัพธ์ยัง “เข้ามาในขอบเขตที่เราสนใจ” ซึ่งหมายความว่าเราต้องคำนวณว่าฟังก์ชัน ณ จุดที่ปรากฏนั้นเท่ากับเท่าใด:

เรามาตรวจสอบส่วนที่สองของส่วนนี้กัน:

การใช้ฟังก์ชัน เรามาทำการตรวจสอบการควบคุมกัน:

3) ทุกคนคงเดาได้ว่าจะสำรวจด้านที่เหลืออย่างไร เราแทนที่มันลงในฟังก์ชันและดำเนินการลดความซับซ้อน:

จุดสิ้นสุดของส่วน มีการวิจัยมาแล้ว แต่ในร่าง เรายังตรวจสอบว่าเราพบฟังก์ชันถูกต้องหรือไม่ :
– ตรงกับผลลัพธ์ของย่อหน้าย่อยที่ 1
– ตรงกับผลลัพธ์ของย่อหน้าย่อยที่ 2

ยังคงต้องดูว่ามีอะไรน่าสนใจในกลุ่มนี้หรือไม่:

- มี! เมื่อแทนเส้นตรงลงในสมการ เราจะได้พิกัดของ "ความน่าสนใจ" นี้:

เราทำเครื่องหมายจุดบนภาพวาดและค้นหาค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน:

มาตรวจสอบการคำนวณโดยใช้เวอร์ชัน "งบประมาณ" กัน :
, คำสั่ง.

และขั้นตอนสุดท้าย: เราพิจารณาตัวเลข "ตัวหนา" ทั้งหมดอย่างรอบคอบ ฉันขอแนะนำให้ผู้เริ่มต้นสร้างรายการเดียว:

ซึ่งเราเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด คำตอบมาเขียนในรูปแบบของปัญหาการหากัน ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์:

ในกรณีนี้ ฉันจะแสดงความคิดเห็นอีกครั้งเกี่ยวกับความหมายทางเรขาคณิตของผลลัพธ์:
– นี่คือจุดสูงสุดของพื้นผิวในภูมิภาค
– นี่คือจุดต่ำสุดของพื้นผิวในพื้นที่

ในงานที่ได้รับการวิเคราะห์ เราได้ระบุจุด "น่าสงสัย" 7 จุด แต่จำนวนจุดจะแตกต่างกันไปในแต่ละงาน สำหรับพื้นที่สามเหลี่ยม “ชุดการวิจัย” ขั้นต่ำประกอบด้วยสามจุด สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อมีการระบุฟังก์ชัน เป็นต้น เครื่องบิน– เป็นที่ชัดเจนว่าไม่มีจุดที่อยู่นิ่ง และฟังก์ชันสามารถเข้าถึงค่าสูงสุด/ต่ำสุดได้เฉพาะที่จุดยอดของรูปสามเหลี่ยมเท่านั้น แต่มีตัวอย่างที่คล้ายกันเพียงหนึ่งหรือสองตัวอย่างเท่านั้น โดยปกติแล้วคุณจะต้องจัดการกับตัวอย่างบางประเภท พื้นผิวลำดับที่ 2.

หากคุณแก้ไขงานดังกล่าวเพียงเล็กน้อย สามเหลี่ยมก็อาจทำให้หัวของคุณหมุนได้ และนั่นคือสาเหตุที่ฉันได้เตรียมตัวอย่างที่ผิดปกติมาให้คุณเพื่อทำให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส :))

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน ในพื้นที่ปิดที่มีเส้นกั้น

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในพื้นที่ปิดที่จำกัด

ความสนใจเป็นพิเศษให้ความสนใจกับลำดับเหตุผลและเทคนิคในการศึกษาขอบเขตของภูมิภาคตลอดจนห่วงโซ่การตรวจสอบระดับกลางซึ่งเกือบจะหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในการคำนวณได้เกือบทั้งหมด โดยทั่วไป คุณสามารถแก้ปัญหาได้ตามที่คุณต้องการ แต่ในปัญหาบางอย่าง เช่น ในตัวอย่างที่ 2 มีโอกาสที่จะทำให้ชีวิตของคุณยากขึ้นทุกครั้ง ตัวอย่างงานมอบหมายสุดท้ายโดยประมาณในตอนท้ายของบทเรียน

มาจัดระบบอัลกอริธึมการแก้ปัญหากัน ไม่อย่างนั้นด้วยความขยันของฉันในฐานะแมงมุม มันก็หายไปจากความคิดเห็นอันยาวเหยียดของตัวอย่างที่ 1:

– ในขั้นตอนแรก เราสร้างพื้นที่ แนะนำให้แรเงาและเน้นเส้นขอบด้วยเส้นหนา ในระหว่างการแก้ปัญหา จุดที่ต้องทำเครื่องหมายบนภาพวาดจะปรากฏขึ้น

– ค้นหาจุดคงที่และคำนวณค่าของฟังก์ชัน เฉพาะในนั้นเท่านั้นที่เป็นของภูมิภาค เราเน้นค่าผลลัพธ์ในข้อความ (เช่น วงกลมด้วยดินสอ) หากจุดที่อยู่นิ่งไม่ได้เป็นของภูมิภาค เราจะทำเครื่องหมายข้อเท็จจริงนี้ด้วยไอคอนหรือด้วยวาจา หากไม่มีจุดคงที่เราจะสรุปเป็นลายลักษณ์อักษรว่าขาดไป จุดนี้ยังไงก็ข้ามไม่ได้!

– เรากำลังสำรวจชายแดนของภูมิภาค ประการแรก การทำความเข้าใจเส้นตรงที่ขนานกับแกนพิกัดจะเป็นประโยชน์ (ถ้ามีเลย)- นอกจากนี้เรายังเน้นค่าฟังก์ชันที่คำนวณ ณ จุดที่น่าสงสัย มีการกล่าวมากมายข้างต้นเกี่ยวกับเทคนิคการแก้ปัญหา และอย่างอื่นจะกล่าวถึงด้านล่าง - อ่าน อ่านซ้ำ เจาะลึก!

– จากตัวเลขที่เลือก ให้เลือกค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุดแล้วให้คำตอบ บางครั้งมันเกิดขึ้นที่ฟังก์ชันถึงค่าดังกล่าวหลายจุดพร้อมกัน - ในกรณีนี้ จุดทั้งหมดเหล่านี้ควรจะสะท้อนให้เห็นในคำตอบ ยกตัวอย่างว่า และปรากฎว่านี่คือค่าที่น้อยที่สุด จากนั้นเราจะเขียนลงไปว่า

ตัวอย่างสุดท้ายมีไว้สำหรับผู้อื่น ความคิดที่เป็นประโยชน์ซึ่งจะเป็นประโยชน์ในทางปฏิบัติ ดังนี้

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในพื้นที่ปิด .

ฉันยังคงรักษาสูตรของผู้เขียนไว้ ซึ่งพื้นที่นี้ถูกให้ไว้ในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า เงื่อนไขนี้สามารถเขียนโดยระบบที่เทียบเท่ากันหรือในรูปแบบดั้งเดิมสำหรับปัญหานี้:

ฉันเตือนคุณว่าด้วย ไม่เชิงเส้นเราพบความไม่เท่าเทียมกันใน และหากคุณไม่เข้าใจความหมายทางเรขาคณิตของสัญกรณ์ โปรดอย่ารอช้าและชี้แจงสถานการณ์ในขณะนี้ ;-)

สารละลายเช่นเคย เริ่มต้นด้วยการสร้างพื้นที่ที่แสดงถึง "พื้นรองเท้า" แบบหนึ่ง:

อืม บางครั้งคุณต้องเคี้ยวไม่เพียงแต่หินแกรนิตแห่งวิทยาศาสตร์เท่านั้น...

I) ค้นหาจุดคงที่:

ระบบคือความฝันของคนงี่เง่า :)

จุดที่อยู่นิ่งเป็นของภูมิภาค กล่าวคือ อยู่บนขอบเขต

ไม่เป็นไร... บทเรียนผ่านไปด้วยดี - การดื่มชาที่ถูกต้องหมายถึงอะไร =)

II) เราสำรวจขอบเขตของภูมิภาค เพื่อเป็นการไม่ให้เสียเวลา เรามาเริ่มกันที่แกน x:

1) ถ้า แล้ว

มาดูกันว่าจุดยอดของพาราโบลาอยู่ที่ใด:
– ชื่นชมช่วงเวลาดังกล่าว – คุณได้ “ตี” ทันทีจนถึงจุดที่ทุกอย่างชัดเจนอยู่แล้ว แต่เราก็ยังไม่ลืมที่จะตรวจสอบ:

มาคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์:

2) มาจัดการกับส่วนล่างของ "แต่เพียงผู้เดียว" "ในคราวเดียว" - โดยไม่ต้องใช้คอมเพล็กซ์ใด ๆ ที่เราแทนที่มันลงในฟังก์ชันและเราจะสนใจเฉพาะในส่วนนี้เท่านั้น:

ควบคุม:

สิ่งนี้นำความตื่นเต้นมาสู่การขับขี่ที่น่าเบื่อหน่ายไปตามทางที่มีปุ่มนูน มาหาจุดวิกฤติกัน:

มาตัดสินใจกัน สมการกำลังสองคุณจำอะไรอีกเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ไหม? ...อย่างไรก็ตาม จำไว้ แน่นอน ไม่เช่นนั้นคุณจะไม่อ่านบรรทัดเหล่านี้ =) หากในสองตัวอย่างก่อนหน้านี้มีการคำนวณใน ทศนิยม(ซึ่งหายากมาก) คนปกติก็รอเราอยู่ที่นี่ เศษส่วนทั่วไป- เราค้นหาราก "X" และใช้สมการเพื่อกำหนดพิกัด "เกม" ที่สอดคล้องกันของคะแนน "ผู้สมัคร":


ลองคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดที่พบ:

ตรวจสอบฟังก์ชั่นด้วยตัวเอง

ตอนนี้เราศึกษาถ้วยรางวัลที่ได้รับอย่างระมัดระวังและจดบันทึก คำตอบ:

เหล่านี้คือ "ผู้สมัคร" เหล่านี้คือ "ผู้สมัคร"!

วิธีแก้ไขด้วยตนเอง:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน ในพื้นที่ปิด

รายการที่มีเครื่องหมายปีกกาจะอ่านได้ดังนี้: “ชุดของจุดเช่นนั้น”

บางครั้งพวกเขาก็ใช้ในตัวอย่างนี้ วิธีตัวคูณลากรองจ์แต่ไม่น่าจะมีความจำเป็นที่จะต้องใช้มันจริงๆ ตัวอย่างเช่นหากให้ฟังก์ชันที่มีพื้นที่ "de" เท่ากันหลังจากแทนที่เข้าไปแล้ว - ด้วยอนุพันธ์จากไม่มีปัญหา; ยิ่งไปกว่านั้น ทุกอย่างถูกวาดเป็น "บรรทัดเดียว" (มีเครื่องหมาย) โดยไม่จำเป็นต้องพิจารณาครึ่งวงกลมบนและล่างแยกกัน แต่แน่นอนว่ายังมีอีกมาก กรณีที่ซับซ้อนโดยที่ไม่มีฟังก์ชันลากรองจ์ (โดยที่ เป็นสมการเดียวกันของวงกลม)มันยากที่จะผ่านไป เช่นเดียวกับที่มันยากที่จะผ่านไปโดยไม่ได้พักผ่อนให้เพียงพอ!

ขอให้ทุกคนมีช่วงเวลาที่ดี แล้วพบกันใหม่ในฤดูกาลหน้า!

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2: สารละลาย: ลองพรรณนาพื้นที่ในรูปวาด:

ค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) ของฟังก์ชันคือค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) ที่ยอมรับได้ของการเรียงลำดับในช่วงเวลาที่พิจารณา

ในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดของฟังก์ชัน คุณต้อง:

1. ตรวจสอบว่ามีจุดคงที่ใดบ้างรวมอยู่ในส่วนที่กำหนด
2. คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและที่ จุดคงที่จากจุดที่ 3
3. เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดจากผลลัพธ์ที่ได้รับ

หากต้องการค้นหาคะแนนสูงสุดหรือต่ำสุด คุณต้อง:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f"(x)$
2. หาจุดคงที่โดยการแก้สมการ $f"(x)=0$
3. แยกตัวประกอบอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
4. วาดเส้นพิกัด วางจุดที่อยู่นิ่งบนเส้นนั้น และกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาผลลัพธ์ โดยใช้สัญลักษณ์ในขั้นตอนที่ 3
5. ค้นหาจุดสูงสุดหรือต่ำสุดตามกฎ: หาก ณ จุดหนึ่งอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ นี่จะเป็นจุดสูงสุด (หากจากลบเป็นบวก นี่จะเป็นจุดต่ำสุด) ในทางปฏิบัติ จะสะดวกในการใช้รูปลูกศรตามช่วงเวลา: ในช่วงที่อนุพันธ์เป็นบวก ลูกศรจะถูกดึงขึ้นด้านบนและในทางกลับกัน

ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานบางส่วน:

กฎพื้นฐานของการสร้างความแตกต่าง

1. อนุพันธ์ของผลรวมและผลต่างเท่ากับอนุพันธ์ของแต่ละเทอม

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

อนุพันธ์ของผลรวมและผลต่างเท่ากับอนุพันธ์ของแต่ละเทอม

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

จงหาอนุพันธ์ $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. อนุพันธ์ของผลหาร

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

หาอนุพันธ์ $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙อี^x)/((อี^x)^2)$

4. อนุพันธ์ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นภายนอกอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - บาป(5x)∙5= -5sin(5x)$

ค้นหาจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. ค้นหา ODZ ของฟังก์ชัน: $x+11>0; x>-11$

2. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. ค้นหาจุดคงที่โดยให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

$(2x+21)/(x+11)=0$

เศษส่วนจะเท่ากับศูนย์ถ้าตัวเศษเป็นศูนย์และตัวส่วนไม่เป็นศูนย์

$2x+21=0; x≠-11$

4. ลองวาดเส้นพิกัด วางจุดที่นิ่งไว้ และกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาผลลัพธ์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่ตัวเลขใดๆ จากขอบเขตด้านขวาสุดไปเป็นอนุพันธ์ เช่น ศูนย์

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. ที่จุดต่ำสุด อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก ดังนั้นจุด $-10.5$ คือจุดต่ำสุด

คำตอบ: $-10.5$

ค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน $y=6x^5-90x^3-5$ บนส่วน $[-5;1]$

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y′=30x^4-270x^2$

2. เทียบอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์แล้วหาจุดคงที่

$30x^4-270x^2=0$

ลองนำตัวประกอบทั้งหมด $30x^2$ ออกจากวงเล็บกัน

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

ลองเทียบแต่ละปัจจัยให้เป็นศูนย์

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. เลือกจุดคงที่ที่อยู่ในส่วนที่กำหนด $[-5;1]$

จุดคงที่ $x=0$ และ $x=-3$ เหมาะกับเรา

4. คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและจุดที่อยู่นิ่งจากขั้นตอนที่ 3