จะหาตัวคูณร่วมน้อยได้อย่างไร? ตัวหารและตัวคูณ

เครื่องคิดเลขออนไลน์ช่วยให้คุณค้นหาสิ่งที่ใหญ่ที่สุดได้อย่างรวดเร็ว ตัวหารร่วมและตัวคูณร่วมน้อยของสองหรือจำนวนอื่นๆ

เครื่องคิดเลขสำหรับค้นหา GCD และ LCM

ค้นหา GCD และ LOC

พบ GCD และ LOC: 5806

วิธีใช้เครื่องคิดเลข

ป้อนตัวเลขในช่องป้อนข้อมูล
หากคุณป้อนอักขระไม่ถูกต้อง ช่องป้อนข้อมูลจะถูกเน้นด้วยสีแดง
คลิกปุ่ม "ค้นหา GCD และ LCM"

วิธีใส่ตัวเลข

ป้อนตัวเลขโดยคั่นด้วยช่องว่าง จุด หรือลูกน้ำ
ความยาวของตัวเลขที่ป้อนไม่ จำกัดดังนั้นให้หา gcd และ lcd ตัวเลขยาวมันจะไม่ใช่เรื่องยาก

GCD และ NOC คืออะไร?

ตัวหารร่วมมากตัวเลขหลายตัวเป็นจำนวนเต็มธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุด โดยที่ตัวเลขเดิมทั้งหมดหารลงตัวได้โดยไม่มีเศษ ตัวหารร่วมมากใช้อักษรย่อว่า จีซีดี.
ตัวคูณร่วมน้อยตัวเลขหลายตัวคือจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วยตัวเลขเดิมแต่ละตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ตัวคูณร่วมน้อยใช้อักษรย่อว่า NOC.

จะตรวจสอบได้อย่างไรว่าตัวเลขนั้นหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งโดยไม่มีเศษ?

หากต้องการทราบว่าจำนวนหนึ่งหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งโดยไม่มีเศษหรือไม่ คุณสามารถใช้คุณสมบัติบางประการของการหารตัวเลขได้ จากนั้นเมื่อรวมเข้าด้วยกัน คุณจะสามารถตรวจสอบการแบ่งแยกของบางส่วนและชุดค่าผสมได้

สัญญาณบางประการของการหารตัวเลข

1. การทดสอบการหารจำนวนด้วย 2 ลงตัว
ในการพิจารณาว่าตัวเลขหารด้วยสองลงตัวหรือไม่ (ไม่ว่าจะเป็นเลขคู่) ก็เพียงพอแล้วที่จะดูหลักสุดท้ายของตัวเลขนี้: ถ้ามันเท่ากับ 0, 2, 4, 6 หรือ 8 แสดงว่าตัวเลขนั้นเป็นเลขคู่ ซึ่งหมายความว่าหารด้วย 2 ลงตัว.
ตัวอย่าง:ตรวจสอบว่าตัวเลข 34938 หารด้วย 2 ลงตัวหรือไม่
สารละลาย:ดูที่หลักสุดท้าย: 8 หมายถึงตัวเลขหารด้วยสองลงตัว

2. การทดสอบการหารจำนวนด้วย 3 ลงตัว
ตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัวเมื่อผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น เพื่อตรวจสอบว่าตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ คุณต้องคำนวณผลรวมของตัวเลขและตรวจสอบว่าตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ แม้ว่าผลรวมของตัวเลขจะมีขนาดใหญ่มาก คุณก็สามารถทำซ้ำขั้นตอนเดิมอีกครั้งได้
ตัวอย่าง:ตรวจสอบว่าตัวเลข 34938 หารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่
สารละลาย:เรานับผลรวมของตัวเลข: 3+4+9+3+8 = 27 27 หารด้วย 3 ลงตัว ซึ่งหมายความว่าตัวเลขนั้นหารด้วยสามลงตัว

3. การทดสอบการหารจำนวนด้วย 5 ลงตัว
ตัวเลขหารด้วย 5 ได้เมื่อหลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือห้า
ตัวอย่าง:ตรวจสอบว่าตัวเลข 34938 หารด้วย 5 ลงตัวหรือไม่
สารละลาย:ดูที่หลักสุดท้าย: 8 หมายความว่าตัวเลขหารด้วยห้าไม่ลงตัว

4. การทดสอบการหารจำนวนด้วย 9 ลงตัว
เครื่องหมายนี้คล้ายกับเครื่องหมายของการหารด้วยสามลงตัว: ตัวเลขหารด้วย 9 ลงตัวเมื่อผลรวมของตัวเลขหารด้วย 9 ลงตัว
ตัวอย่าง:ตรวจสอบว่าตัวเลข 34938 หารด้วย 9 ลงตัวหรือไม่
สารละลาย:เรานับผลรวมของตัวเลข: 3+4+9+3+8 = 27 27 หารด้วย 9 ลงตัว ซึ่งหมายความว่าตัวเลขนั้นหารด้วย 9 ลงตัว

วิธีค้นหา GCD และ LCM ของตัวเลขสองตัว

วิธีค้นหา gcd ของตัวเลขสองตัว

ที่สุด ด้วยวิธีง่ายๆการคำนวณตัวหารร่วมมากที่สุดของตัวเลขสองตัวคือการค้นหาตัวหารที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวเลขเหล่านี้แล้วเลือกค่าที่มากที่สุด

ลองพิจารณาวิธีนี้โดยใช้ตัวอย่างการค้นหา GCD(28, 36):

เราแยกตัวประกอบตัวเลขทั้งสอง: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
เราพบตัวประกอบร่วม นั่นคือ ตัวเลขทั้งสองมี: 1, 2 และ 2
เราคำนวณผลคูณของปัจจัยเหล่านี้: 1 2 2 = 4 - นี่คือตัวหารร่วมมากของตัวเลข 28 และ 36

วิธีค้นหา LCM ของตัวเลขสองตัว

มีวิธีทั่วไปสองวิธีในการค้นหาผลคูณน้อยที่สุดของตัวเลขสองตัว วิธีแรกคือคุณสามารถจดเลขทวีคูณแรกของตัวเลขสองตัว จากนั้นเลือกตัวเลขที่จะเหมือนกันกับตัวเลขทั้งสองและในเวลาเดียวกันก็มีค่าน้อยที่สุด อย่างที่สองคือหา gcd ของตัวเลขเหล่านี้ ลองพิจารณาดูเท่านั้น

ในการคำนวณ LCM คุณต้องคำนวณผลคูณของตัวเลขเดิมแล้วหารด้วย GCD ที่พบก่อนหน้านี้ มาหา LCM สำหรับตัวเลข 28 และ 36 ที่เหมือนกัน:

ค้นหาผลคูณของตัวเลข 28 และ 36: 28·36 = 1008
GCD(28, 36) ตามที่ทราบอยู่แล้ว มีค่าเท่ากับ 4
ล.ซม.(28, 36) = 1008/4 = 252 .

ค้นหา GCD และ LCM สำหรับตัวเลขหลายตัว

ตัวหารร่วมมากสามารถหาได้จากหลายจำนวน ไม่ใช่เพียงสองเท่านั้น เพื่อจุดประสงค์นี้ ตัวเลขที่จะหาได้ของตัวหารร่วมมากจะถูกแยกย่อยออกเป็น ปัจจัยสำคัญแล้วหาผลคูณของตัวประกอบเฉพาะร่วมของตัวเลขเหล่านี้ คุณยังสามารถใช้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้เพื่อค้นหา gcd ของตัวเลขหลายตัวได้: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

ความสัมพันธ์ที่คล้ายกันใช้กับตัวคูณร่วมน้อย: ค.ล.(ก, ข, ค) = ค.ค. (ค.ค. (ก, ข), ค)

ตัวอย่าง:ค้นหา GCD และ LCM สำหรับหมายเลข 12, 32 และ 36

อันดับแรก แยกตัวประกอบตัวเลขก่อน: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3
มาหาปัจจัยร่วม: 1, 2 และ 2
ผลิตภัณฑ์ของพวกเขาจะให้ GCD: 1·2·2 = 4
ทีนี้ เรามาค้นหา LCM กันดีกว่า โดยจะหา LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 ก่อน
เพื่อค้นหา NOC ของทุกคน ตัวเลขสามตัวคุณต้องหา GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2·2·3 = 12 .
ล.ซม.(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288

ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหา งานต่อไป- ก้าวของเด็กชายคือ 75 ซม. และก้าวของเด็กหญิงคือ 60 ซม. จำเป็นต้องหาระยะทางที่น้อยที่สุดที่ทั้งคู่ก้าวเดินเป็นจำนวนเต็ม

สารละลาย.เส้นทางทั้งหมดที่เด็กๆ จะผ่านไปจะต้องหารด้วย 60 และ 70 ลงตัว เนื่องจากพวกเขาแต่ละคนจะต้องเดินเป็นจำนวนเต็ม กล่าวอีกนัยหนึ่ง คำตอบต้องเป็นจำนวนทวีคูณของทั้ง 75 และ 60

ขั้นแรก เราจะเขียนผลคูณทั้งหมดของเลข 75 เราได้:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

ทีนี้ลองเขียนตัวเลขที่จะเป็นตัวคูณของ 60 กัน เราได้:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

ตอนนี้เราพบตัวเลขที่อยู่ในทั้งสองแถวแล้ว

ผลคูณร่วมของตัวเลขจะเป็น 300, 600 เป็นต้น

จำนวนที่น้อยที่สุดคือ 300 ในกรณีนี้จะเรียกว่าตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 75 และ 60

เมื่อกลับสู่สภาพปัญหา ระยะทางที่น้อยที่สุดที่ผู้ชายจะต้องเดินเป็นจำนวนเต็มคือ 300 ซม. เด็กชายจะครอบคลุมเส้นทางนี้ใน 4 ขั้นตอน และเด็กผู้หญิงจะต้องเดิน 5 ก้าว

การหาตัวคูณร่วมน้อย

ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนธรรมชาติสองตัว a และ b มีค่าน้อยที่สุด จำนวนธรรมชาติซึ่งเป็นผลคูณของทั้ง a และ b

เพื่อที่จะหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสองตัวนั้น ไม่จำเป็นต้องจดเลขทวีคูณทั้งหมดของตัวเลขเหล่านี้ติดกัน

คุณสามารถใช้วิธีการต่อไปนี้

วิธีหาตัวคูณร่วมน้อย

ก่อนอื่น คุณต้องแยกตัวประกอบตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะก่อน

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

ทีนี้ลองเขียนปัจจัยทั้งหมดที่อยู่ในส่วนขยายของตัวเลขแรก (2,2,3,5) แล้วบวกปัจจัยที่ขาดหายไปทั้งหมดจากการขยายตัวเลขที่สอง (5)

ผลลัพธ์ที่ได้คือชุดของจำนวนเฉพาะ: 2,2,3,5,5 ผลคูณของตัวเลขเหล่านี้จะเป็นตัวประกอบร่วมที่น้อยที่สุดสำหรับตัวเลขเหล่านี้ 2*2*3*5*5 = 300

รูปแบบทั่วไปสำหรับการค้นหาตัวคูณร่วมน้อย

1. แบ่งตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ
2. เขียนปัจจัยเฉพาะที่เป็นส่วนหนึ่งของปัจจัยเหล่านั้น
3. เพิ่มปัจจัยเหล่านี้ทั้งหมดที่อยู่ในการขยายตัวของปัจจัยอื่น ๆ แต่ไม่ใช่ในปัจจัยที่เลือก
4. หาผลคูณของตัวประกอบทั้งหมดที่จดไว้

วิธีนี้เป็นสากล สามารถใช้ค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนธรรมชาติจำนวนเท่าใดก็ได้

ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสองตัวมีความสัมพันธ์โดยตรงกับตัวหารร่วมมากของตัวเลขเหล่านั้น นี้ การเชื่อมต่อระหว่าง GCD และ NOCถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท.

ผลคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวกสองตัว a และ b เท่ากับผลคูณของ a และ b หารด้วยตัวหารร่วมมากของ a และ b นั่นคือ LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

การพิสูจน์.

อนุญาต M เป็นผลคูณของจำนวน a และ b นั่นคือ M หารด้วย a ลงตัว และตามคำจำกัดความของการหารลงตัว จะมีจำนวนเต็ม k บางตัวที่ทำให้ความเท่าเทียมกัน M=a·k เป็นจริง แต่ M ก็หารด้วย b ลงตัวเช่นกัน แล้ว a·k ก็หารด้วย b ลงตัว

ลองแสดงว่า gcd(a, b) เป็น d จากนั้นเราสามารถเขียนค่าเท่ากัน a=a 1 ·d และ b=b 1 ·d และ a 1 =a:d และ b 1 =b:d จะเป็นจำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างมาก ดังนั้น เงื่อนไขที่ได้รับในย่อหน้าก่อนหน้าที่ว่า a · k หารด้วย b ลงตัวสามารถจัดรูปแบบใหม่ได้ดังนี้: a 1 · d · k หารด้วย b 1 · d และนี่ เนื่องจากคุณสมบัติการหารลงตัว จึงเทียบเท่ากับเงื่อนไข ว่า a 1 · k หารด้วย b 1 ลงตัว

คุณต้องเขียนข้อพิสูจน์ที่สำคัญสองประการจากทฤษฎีบทที่พิจารณาด้วย

ผลคูณร่วมของตัวเลขสองตัวจะเหมือนกับผลคูณของตัวคูณร่วมน้อย

เป็นเช่นนี้จริง เนื่องจากตัวคูณร่วมใดๆ ของ M ของ a และ b ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน M=LMK(a, b)·t สำหรับค่าจำนวนเต็ม t

ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนบวกที่เป็นจำนวนเฉพาะร่วมกัน a และ b เท่ากับผลคูณของมัน

เหตุผลสำหรับข้อเท็จจริงข้อนี้ค่อนข้างชัดเจน เนื่องจาก a และ b ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น gcd(a, b)=1 ดังนั้น GCD(a, b)=ab: GCD(a, b)=a b:1=a b.

ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไป

การค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไปสามารถลดเป็นการค้นหา LCM ของตัวเลขสองตัวตามลำดับ วิธีการทำถูกระบุไว้ในทฤษฎีบทต่อไปนี้ a 1 , a 2 , …, a k ตรงกับผลคูณร่วมของตัวเลข m k-1 และ a k ดังนั้น จึงตรงกับผลคูณร่วมของตัวเลข m k และเนื่องจากตัวคูณบวกที่น้อยที่สุดของตัวเลข m k คือตัวเลข m k นั่นเอง ดังนั้นตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุดของตัวเลข a 1, a 2, ..., a k ก็คือ m k

บรรณานุกรม.

วิเลนคิน เอ็น.ยา. และอื่น ๆ คณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษาทั่วไป
วิโนกราดอฟ ไอ.เอ็ม. พื้นฐานของทฤษฎีจำนวน
มิเคโลวิช ช.เอช. ทฤษฎีจำนวน
Kulikov L.Ya. และอื่นๆ รวบรวมปัญหาพีชคณิตและทฤษฎีจำนวน: บทช่วยสอนสำหรับนักศึกษาวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ เฉพาะทางของสถาบันการสอน

หมายเลขที่สอง: ข=

ตัวคั่นหลักพันไม่มีตัวคั่นช่องว่าง "´

ผลลัพธ์:

ตัวหารร่วมมาก gcd( ก,ข)=6

ตัวคูณร่วมน้อยของ LCM( ก,ข)=468

เรียกว่า จำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถหารด้วยจำนวน a และ b โดยไม่มีเศษเหลือ ตัวหารร่วมมาก(GCD) ของตัวเลขเหล่านี้ เขียนแทนด้วย gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) หรือ hcf(a,b)

ตัวคูณร่วมน้อย LCM ของจำนวนเต็มสองตัว a และ b คือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่หารด้วย a และ b ลงตัวโดยไม่มีเศษ แสดงว่า LCM(a,b) หรือ lcm(a,b)

เรียกจำนวนเต็ม a และ b สำคัญซึ่งกันและกันถ้าไม่มีตัวหารร่วมกันนอกจาก +1 และ −1

ตัวหารร่วมมาก

ให้สองอันเลย ตัวเลขบวก ก 1 และ ก 2 1) จำเป็นต้องค้นหาตัวหารร่วมของตัวเลขเหล่านี้ เช่น หาตัวเลขดังกล่าว λ ซึ่งแบ่งตัวเลข ก 1 และ ก 2 ในเวลาเดียวกัน มาอธิบายอัลกอริทึมกัน

1) ในบทความนี้ เราจะเข้าใจว่าคำว่า number เป็นจำนวนเต็ม

อนุญาต ก 1 ≥ ก 2 และปล่อยให้

ที่ไหน ม 1 , ก 3 เป็นจำนวนเต็มบางตัว ก 3 <ก 2 (ส่วนที่เหลือของดิวิชั่น ก 1 ต่อ ก 2 ควรน้อยกว่านี้ ก 2).

เรามาแกล้งทำเป็นว่า λ แบ่ง ก 1 และ ก 2 แล้ว λ แบ่ง ม 1 ก 2 และ λ แบ่ง ก 1 −ม 1 ก 2 =ก 3 (ข้อความที่ 2 ของบทความ “การหารของตัวเลข การทดสอบการหาร”) ตามมาด้วยตัวหารร่วมทุกตัว ก 1 และ ก 2 คือตัวหารร่วม ก 2 และ ก 3. สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกันหาก λ ตัวหารร่วม ก 2 และ ก 3 แล้ว ม 1 ก 2 และ ก 1 =ม 1 ก 2 +ก 3 ก็หารด้วย λ - ดังนั้นตัวหารร่วม ก 2 และ ก 3 เป็นตัวหารร่วมด้วย ก 1 และ ก 2. เพราะ ก 3 <ก 2 ≤ก 1 แล้วเราก็บอกได้ว่าคำตอบของโจทย์การหาตัวหารร่วมของตัวเลข ก 1 และ ก 2 ลดเหลือเป็นปัญหาที่ง่ายกว่าในการหาตัวหารร่วมของตัวเลข ก 2 และ ก 3 .

ถ้า ก 3 ≠0 เราก็หารได้ ก 2 บน ก 3. แล้ว

ที่ไหน ม 1 และ ก 4 เป็นจำนวนเต็มบางตัว ( กเหลืออีก 4 นัดจากดิวิชั่น ก 2 บน ก 3 (ก 4 <ก 3)). ด้วยเหตุผลเดียวกัน เราก็ได้ข้อสรุปว่าตัวหารร่วมของตัวเลข ก 3 และ ก 4 เกิดขึ้นพร้อมกับตัวหารร่วมของตัวเลข ก 2 และ ก 3 และยังมีตัวหารร่วมด้วย ก 1 และ ก 2. เพราะ ก 1 , ก 2 , ก 3 , ก 4, ... คือจำนวนที่ลดลงอย่างต่อเนื่อง และเนื่องจากมีจำนวนเต็มระหว่างจำนวนจำกัด ก 2 และ 0 จากนั้นในบางขั้นตอน nส่วนที่เหลือของการแบ่ง กไม่มี ก n+1 จะเท่ากับศูนย์ ( ก n+2 =0)

ตัวหารร่วมทุกตัว λ ตัวเลข ก 1 และ ก 2 เป็นตัวหารของตัวเลขด้วย ก 2 และ ก 3 , ก 3 และ ก 4 , .... กและ ก n+1 . บทสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน นั่นคือตัวหารร่วมของตัวเลข กและ ก n+1 ก็เป็นตัวหารของตัวเลขเช่นกัน ก n−1 และ กไม่ , .... , ก 2 และ ก 3 , ก 1 และ ก 2. แต่ตัวหารร่วมของตัวเลข กและ ก n+1 คือตัวเลข ก n+1 เพราะ กและ ก n+1 หารด้วย ก n+1 (จำไว้ว่า ก n+2 =0) เพราะฉะนั้น ก n+1 ก็เป็นตัวหารของตัวเลขเช่นกัน ก 1 และ ก 2 .

โปรดทราบว่าหมายเลข ก n+1 เป็นตัวหารที่มากที่สุดของตัวเลข กและ ก n+1 เนื่องจากตัวหารที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ก n+1 คือตัวมันเอง ก n+1 . ถ้า ก n+1 สามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเต็มได้ จากนั้นตัวเลขเหล่านี้ก็เป็นตัวหารร่วมของตัวเลขเช่นกัน ก 1 และ ก 2. ตัวเลข กเรียกว่า n+1 ตัวหารร่วมมากตัวเลข ก 1 และ ก 2 .

ตัวเลข ก 1 และ ก 2 อาจเป็นจำนวนบวกหรือลบก็ได้ ถ้าตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวหารร่วมมากของตัวเลขเหล่านี้จะเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของอีกจำนวนหนึ่ง ตัวหารร่วมมากที่สุดของจำนวนศูนย์นั้นไม่ได้ถูกกำหนดไว้

อัลกอริทึมข้างต้นเรียกว่า อัลกอริทึมแบบยุคลิดเพื่อหาตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองตัว

ตัวอย่างการหาตัวหารร่วมมากของตัวเลขสองตัว

ค้นหาตัวหารร่วมมากของตัวเลขสองตัว 630 และ 434

ขั้นตอนที่ 1 หารตัวเลข 630 ด้วย 434 ส่วนที่เหลือคือ 196
ขั้นตอนที่ 2 หารตัวเลข 434 ด้วย 196 ส่วนที่เหลือคือ 42
ขั้นตอนที่ 3 หารตัวเลข 196 ด้วย 42 ส่วนที่เหลือคือ 28
ขั้นตอนที่ 4 หารตัวเลข 42 ด้วย 28 ส่วนที่เหลือคือ 14
ขั้นตอนที่ 5 หารตัวเลข 28 ด้วย 14 ส่วนที่เหลือคือ 0

ในขั้นตอนที่ 5 ส่วนที่เหลือของการหารคือ 0 ดังนั้น ตัวหารร่วมมากของตัวเลข 630 และ 434 จึงเป็น 14 โปรดทราบว่าตัวเลข 2 และ 7 ก็เป็นตัวหารของตัวเลข 630 และ 434 เช่นกัน

ตัวเลขโคไพรม์

คำนิยาม 1. ให้ตัวหารร่วมมากของตัวเลข ก 1 และ ก 2 เท่ากับหนึ่ง จากนั้นจึงเรียกหมายเลขเหล่านี้ ซึ่งกันและกัน จำนวนเฉพาะ โดยไม่มีตัวหารร่วมกัน

ทฤษฎีบท 1. ถ้า ก 1 และ ก 2 หมายเลขโคไพรม์ และ λ ตัวเลขจำนวนหนึ่ง แล้วก็ตัวหารร่วมของตัวเลข แล 1 และ ก 2 เป็นตัวหารร่วมของตัวเลขด้วย λ และ ก 2 .

การพิสูจน์. พิจารณาอัลกอริทึมแบบยุคลิดในการค้นหาตัวหารร่วมมากของตัวเลข ก 1 และ ก 2 (ดูด้านบน)

จากเงื่อนไขของทฤษฎีบท จะได้ว่าตัวหารร่วมมากของจำนวนนั้นเป็นไปตามนั้น ก 1 และ ก 2 และดังนั้น กและ ก n+1 คือ 1 นั่นคือ ก n+1 = 1

ลองคูณความเท่าเทียมกันทั้งหมดนี้ด้วย λ , แล้ว

ให้ตัวหารร่วม ก 1 λ และ ก 2 ใช่ δ - แล้ว δ มาเป็นตัวคูณใน ก 1 λ , ม 1 ก 2 λ และใน ก 1 λ -ม 1 ก 2 λ =ก 3 λ (ดู "การหารตัวเลข" คำแถลง 2) ไกลออกไป δ มาเป็นตัวคูณใน ก 2 λ และ ม 2 ก 3 λ และดังนั้นจึงรวมเป็นปัจจัยใน ก 2 λ -ม 2 ก 3 λ =ก 4 λ .

ด้วยการใช้เหตุผลเช่นนี้ เราก็มั่นใจว่า δ มาเป็นตัวคูณใน ก n−1 λ และ ม n−1 ก n λ และด้วยเหตุนี้จึงเข้า ก n−1 λ −ม n−1 ก n λ =ก n+1 λ - เพราะ ก n+1 =1 แล้ว δ มาเป็นตัวคูณใน λ - ดังนั้นจำนวน δ เป็นตัวหารร่วมของตัวเลข λ และ ก 2 .

ให้เราพิจารณากรณีพิเศษของทฤษฎีบท 1

ผลที่ตามมา 1. อนุญาต กและ คจำนวนเฉพาะค่อนข้างมาก ข- แล้วผลิตภัณฑ์ของพวกเขา เครื่องปรับอากาศเป็นจำนวนเฉพาะเทียบกับ ข.

จริงหรือ. จากทฤษฎีบท 1 เครื่องปรับอากาศและ ขมีตัวหารร่วมเหมือนกันกับ คและ ข- แต่ตัวเลข คและ ขค่อนข้างง่าย เช่น มีตัวหารร่วมเพียงตัวเดียวคือ 1. แล้ว เครื่องปรับอากาศและ ขมีตัวหารร่วมร่วมตัวเดียวคือ 1 ดังนั้น เครื่องปรับอากาศและ ขเรียบง่ายซึ่งกันและกัน

ผลที่ตามมา 2. อนุญาต กและ ขตัวเลขโคไพรม์แล้วปล่อยให้ ขแบ่ง อาก้า- แล้ว ขแบ่งและ เค.

จริงหรือ. จากเงื่อนไขการอนุมัติ อาก้าและ ขมีตัวหารร่วมกัน ข- โดยอาศัยทฤษฎีบทที่ 1 ขจะต้องเป็นตัวหารร่วม ขและ เค- เพราะฉะนั้น ขแบ่ง เค.

ข้อพิสูจน์ที่ 1 สามารถสรุปได้

ผลที่ตามมา 3. 1. ให้ตัวเลข ก 1 , ก 2 , ก 3 , ..., ก m เป็นจำนวนเฉพาะสัมพันธ์กับจำนวน ข- แล้ว ก 1 ก 2 , ก 1 ก 2 · ก 3 , ..., ก 1 ก 2 ก 3 ··· ก m ผลคูณของจำนวนเหล่านี้เป็นจำนวนเฉพาะสัมพันธ์กับจำนวนนั้น ข.

2. ขอให้เรามีตัวเลขสองแถว

โดยให้ทุกจำนวนในชุดแรกเป็นจำนวนเฉพาะในอัตราส่วนของทุกจำนวนในชุดที่สอง แล้วสินค้า

คุณต้องค้นหาตัวเลขที่หารด้วยตัวเลขเหล่านี้แต่ละตัว

ถ้าจำนวนนั้นหารด้วย ก 1 แล้วก็มีรูปแบบ ซา 1 ที่ไหน สหมายเลขบางอย่าง ถ้า ถามเป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข ก 1 และ ก 2 แล้ว

ที่ไหน ส 1 เป็นจำนวนเต็ม แล้ว

เป็น ผลคูณร่วมน้อยของตัวเลข ก 1 และ ก 2 .

ก 1 และ ก 2 ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ จากนั้นก็เป็นตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนนั้น ก 1 และ ก 2:

เราจำเป็นต้องหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเหล่านี้

จากที่กล่าวมาข้างต้นจะเป็นไปตามจำนวนทวีคูณใดๆ ก 1 , ก 2 , ก 3 ต้องเป็นจำนวนทวีคูณ ε และ ก 3 และกลับ. ให้ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข ε และ ก 3 ใช่ ε 1. ต่อไปเป็นทวีคูณของตัวเลข ก 1 , ก 2 , ก 3 , ก 4 ต้องเป็นจำนวนทวีคูณ ε 1 และ ก 4. ให้ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข ε 1 และ ก 4 ใช่ ε 2. ดังนั้นเราจึงพบว่ามีจำนวนทวีคูณทั้งหมด ก 1 , ก 2 , ก 3 ,...,ก m ตรงกับผลคูณของจำนวนหนึ่ง ε n ซึ่งเรียกว่าตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนที่กำหนด

ในกรณีพิเศษเมื่อมีตัวเลข ก 1 , ก 2 , ก 3 ,...,ก m ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ จากนั้นก็เป็นตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนนั้น ก 1 , ก 2 ดังแสดงข้างต้น มีรูปแบบ (3) ต่อไปตั้งแต่ ก 3 ไพรม์สัมพันธ์กับตัวเลข ก 1 , ก 2 แล้ว ก 3 จำนวนเฉพาะ ก 1 · ก 2 (ข้อพิสูจน์ 1) หมายถึงตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข ก 1 ,ก 2 ,ก 3 เป็นตัวเลข ก 1 · ก 2 · ก 3. เมื่อพิจารณาในทำนองเดียวกัน เราก็ได้ข้อความต่อไปนี้

คำแถลง 1. ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนโคไพรม์ ก 1 , ก 2 , ก 3 ,...,ก m เท่ากับผลคูณของมัน ก 1 · ก 2 · ก 3 ··· กม.

คำแถลง 2. จำนวนใดๆ ที่หารด้วยจำนวนโคไพรม์แต่ละตัวลงตัว ก 1 , ก 2 , ก 3 ,...,ก m ก็หารด้วยผลคูณของมันได้เช่นกัน ก 1 · ก 2 · ก 3 ··· กม.

ทวีคูณทั่วไป

พูดง่ายๆ ก็คือ จำนวนเต็มใดๆ ที่หารด้วยตัวเลขที่กำหนดแต่ละตัวได้คือ หลายรายการทั่วไปให้จำนวนเต็ม

คุณสามารถหาตัวคูณร่วมของสองและได้ มากกว่าจำนวนเต็ม

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณผลคูณร่วมของตัวเลขสองตัว: $2$ และ $5$

สารละลาย.

ตามคำนิยาม ตัวคูณร่วมของ $2$ และ $5$ คือ $10$ เพราะว่า มันเป็นผลคูณของตัวเลข $2$ และตัวเลข $5$:

ผลคูณร่วมของตัวเลข $2$ และ $5$ จะเป็นตัวเลข $–10, 20, –20, 30, –30$ เป็นต้น เนื่องจาก พวกเขาทั้งหมดแบ่งออกเป็นตัวเลข $2$ และ $5$

หมายเหตุ 1

0 คือตัวคูณร่วมของจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์จำนวนเท่าใดก็ได้

ตามคุณสมบัติของการหารลงตัว หากจำนวนหนึ่งเป็นตัวคูณร่วมของจำนวนหลายจำนวน จำนวนที่อยู่ตรงข้ามในเครื่องหมายก็จะเป็นตัวคูณร่วมของจำนวนที่กำหนดด้วย ดังจะเห็นได้จากตัวอย่างที่พิจารณา

สำหรับจำนวนเต็มที่กำหนด คุณสามารถค้นหาตัวคูณร่วมของพวกมันได้เสมอ

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณผลคูณร่วมของ $111$ และ $55$

สารละลาย.

ลองคูณตัวเลขที่กำหนด: $111\div 55=6105$ เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าตัวเลข $6105$ หารด้วยตัวเลข $111$ และตัวเลข $55$ ลงตัว:

$6105\div 111=$55;

$6105\div 55=$111

ดังนั้น $6105$ จึงเป็นผลคูณร่วมของ $111$ และ $55$

คำตอบ: ผลคูณร่วมของ $111$ และ $55$ คือ $6105$

แต่อย่างที่เราได้เห็นแล้วจากตัวอย่างที่แล้ว ตัวคูณร่วมนี้ไม่ใช่หนึ่ง ตัวคูณร่วมอื่นๆ ได้แก่ $–6105, 12210, –12210, 61050, –61050$ เป็นต้น ดังนั้นเราจึงได้ข้อสรุปดังต่อไปนี้:

โน้ต 2

จำนวนเต็มชุดใดๆ มีจำนวนตัวคูณร่วมร่วมไม่สิ้นสุด

ในทางปฏิบัติ พวกมันจำกัดอยู่เพียงการค้นหาตัวคูณร่วมของจำนวนเต็มบวก (ธรรมชาติ) เท่านั้น เพราะว่า เซตของทวีคูณของจำนวนที่กำหนดและตรงข้ามกัน

การหาตัวคูณร่วมน้อย

จากจำนวนทวีคูณทั้งหมดของตัวเลขที่กำหนด ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ถูกใช้บ่อยที่สุด

คำจำกัดความ 2

ตัวคูณร่วมบวกน้อยที่สุดของจำนวนเต็มที่กำหนดคือ ตัวคูณร่วมน้อยตัวเลขเหล่านี้

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณ LCM ของตัวเลข $4$ และ $7$

สารละลาย.

เพราะ ตัวเลขเหล่านี้ไม่มีตัวหารร่วม ดังนั้น $LCM(4,7)=28$

คำตอบ: $NOK (4,7)=28$.

ค้นหา NOC ผ่าน GCD

เพราะ มีการเชื่อมต่อระหว่าง LCM และ GCD โดยคุณสามารถคำนวณได้ LCM ของจำนวนเต็มบวกสองตัว:

หมายเหตุ 3

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณ LCM ของตัวเลข $232$ และ $84$

สารละลาย.

ลองใช้สูตรเพื่อค้นหา LCM ผ่าน GCD:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$

มาหา GCD ของตัวเลข $232$ และ $84$ โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cดอท 1+20$,

$64=20\cดอท 3+4$,

เหล่านั้น. $GCD(232, 84)=4$.

มาหา $LCC (232, 84)$:

$NOK (232.84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

คำตอบ: $NOK (232.84)=$4872.

ตัวอย่างที่ 5

คำนวณ $LCD(23, 46)$

สารละลาย.

เพราะ $46$ หารด้วย $23$ แล้ว $gcd (23, 46)=23$ มาหา LOC กัน:

$NOK (23.46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

คำตอบ: $NOK (23.46)=$46.

ดังนั้นใครๆ ก็สามารถกำหนดได้ กฎ:

หมายเหตุ 4