หลายรากของสมการกำลังสอง ความหมายและตัวอย่างสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

เป็นที่ทราบกันว่าเป็นเวอร์ชันเฉพาะของความเท่าเทียมกัน ax 2 + bx + c = o โดยที่ a, b และ c เป็นสัมประสิทธิ์จริงสำหรับ x ที่ไม่รู้จักและโดยที่ ≠ o และ b และ c จะเป็นศูนย์ - พร้อมกันหรือ แยกกัน ตัวอย่างเช่น c = o, b ≠ o หรือในทางกลับกัน เราเกือบจำนิยามของสมการกำลังสองได้แล้ว

ตรีโกณมิติระดับที่สองเป็นศูนย์ สัมประสิทธิ์แรก a ≠ o, b และ c สามารถใช้ค่าใดก็ได้ ค่าของตัวแปร x จะเป็นเมื่อการทดแทนเปลี่ยนให้เป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง มาเน้นที่รากที่แท้จริง แม้ว่าการแก้สมการก็สามารถเป็นได้ตามปกติ
ลองแก้ตัวอย่างกัน 2x 2 -9x-5 = โอ้ เราเจอแล้ว
ง = 81+40 = 121,
D เป็นบวก ซึ่งหมายความว่ามีราก x 1 = (9+√121):4 = 5 และค่าที่สอง x 2 = (9-√121):4 = -o.5 การตรวจสอบจะช่วยให้แน่ใจว่าถูกต้อง

ต่อไปนี้เป็นวิธีแก้ปัญหาสมการกำลังสองแบบทีละขั้นตอน

เมื่อใช้การแบ่งแยก คุณสามารถแก้สมการทางด้านซ้ายซึ่งทราบสมการได้ ตรีโกณมิติกำลังสองสำหรับ ≠ o ในตัวอย่างของเรา 2x 2 -9x-5 = 0 (ขวาน 2 +ใน+s = o)

ลองพิจารณาว่าสมการระดับที่สองที่ไม่สมบูรณ์คืออะไร

1. ขวาน 2 +ใน = o พจน์อิสระ คือสัมประสิทธิ์ c ที่ x 0 เท่ากับศูนย์ในที่นี้ ใน ≠ o
   จะแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ประเภทนี้ได้อย่างไร? ลองเอา x ออกจากวงเล็บ. จำไว้ว่าเมื่อผลคูณของสองปัจจัยเท่ากับศูนย์
   x(ax+b) = o อาจเป็นเมื่อ x = o หรือเมื่อ ax+b = o
   เมื่อแก้อันที่ 2 แล้ว เราก็จะได้ x = -в/а
   เป็นผลให้เรามีราก x 1 = 0 ตามการคำนวณ x 2 = -b/a
2. ตอนนี้ค่าสัมประสิทธิ์ของ x เท่ากับ o และ c ไม่เท่ากับ (≠) o
   x 2 +c = o ลองย้าย c ไปทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน เราจะได้ x 2 = -с สมการนี้มีรากจริงเมื่อ -c เท่านั้น จำนวนบวก(มี ‹ o)
   x 1 เท่ากับ √(-c) ตามลำดับ x 2 คือ -√(-c) มิฉะนั้นสมการก็ไม่มีรากเลย
3. ตัวเลือกสุดท้าย: b = c = o นั่นคือขวาน 2 = o โดยธรรมชาติแล้ว สมการง่ายๆ ดังกล่าวจะมีหนึ่งราก นั่นคือ x = o

กรณีพิเศษ

เราดูวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ และตอนนี้ เรามาวิธีแก้สมการกำลังสองแบบใดก็ได้กันดีกว่า

• ในสมการกำลังสองสมบูรณ์ ค่าสัมประสิทธิ์ที่สองของ x คือ เลขคู่.
  ให้ k = o.5b เรามีสูตรในการคำนวณการแบ่งแยกและราก
  D/4 = k 2 - ac รากจะคำนวณเป็น x 1,2 = (-k±√(D/4))/a สำหรับ D › o
  x = -k/a ที่ D = o
  ไม่มีรากสำหรับ D ‹ o
• มีให้ สมการกำลังสองเมื่อสัมประสิทธิ์ของ x กำลังสองเป็น 1 มักจะเขียนว่า x 2 +рх+ q = o สูตรข้างต้นทั้งหมดใช้กับสูตรเหล่านี้ได้ แต่การคำนวณค่อนข้างง่ายกว่า
  ตัวอย่าง x 2 -4x-9 = 0 คำนวณ D: 2 2 +9, D = 13
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13
• นอกจากนี้ มันง่ายที่จะนำไปใช้กับค่าที่กำหนด โดยบอกว่าผลรวมของรากของสมการเท่ากับ -p ซึ่งเป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายลบ (หมายถึงเครื่องหมายตรงกันข้าม) และผลคูณของรากเดียวกันนี้จะ เท่ากับ q ซึ่งเป็นเทอมอิสระ ดูว่าการระบุรากของสมการนี้ด้วยวาจาจะง่ายดายเพียงใด สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้ลดลง (สำหรับสัมประสิทธิ์ทั้งหมดไม่เท่ากับศูนย์) ทฤษฎีบทนี้สามารถใช้ได้ดังนี้: ผลรวม x 1 + x 2 เท่ากับ -b/a ผลคูณ x 1 · x 2 เท่ากับ c/a

ผลรวมของเทอมอิสระ c และสัมประสิทธิ์แรก a เท่ากับสัมประสิทธิ์ b ในสถานการณ์นี้ สมการต้องมีอย่างน้อยหนึ่งราก (พิสูจน์ได้ง่าย) รากแรกจำเป็นต้องเท่ากับ -1 และรากที่สอง -c/a หากมีอยู่ คุณสามารถตรวจสอบวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ได้ด้วยตัวเอง มันไม่ง่ายไปกว่านี้อีกแล้ว ค่าสัมประสิทธิ์อาจมีความสัมพันธ์บางอย่างซึ่งกันและกัน

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o
• ผลรวมของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับ o
  รากของสมการดังกล่าวคือ 1 และ c/a ตัวอย่าง 2x 2 -15x+13 = o
  x 1 = 1, x 2 = 13/2

มีวิธีอื่นๆ อีกหลายวิธีในการแก้สมการระดับ 2 แบบต่างๆ ตัวอย่างเช่น นี่คือวิธีการแยกกำลังสองที่สมบูรณ์จากพหุนามที่กำหนด มีวิธีการแบบกราฟิกหลายวิธี เมื่อคุณจัดการกับตัวอย่างดังกล่าวบ่อยครั้ง คุณจะได้เรียนรู้ที่จะ "คลิก" พวกมันเหมือนเมล็ดพืช เพราะวิธีการทั้งหมดจะเข้ามาในความคิดของคุณโดยอัตโนมัติ

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 หรือ x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

เมื่อเรียนรู้ที่จะแก้สมการระดับแรกแล้ว แน่นอนว่าคุณต้องการทำงานร่วมกับผู้อื่นโดยเฉพาะกับสมการระดับที่สองซึ่งเรียกอีกอย่างว่ากำลังสอง

สมการกำลังสองคือสมการเช่น ax² + bx + c = 0 โดยที่ตัวแปรคือ x ตัวเลขคือ a, b, c โดยที่ a ไม่เท่ากับศูนย์

ถ้าในสมการกำลังสองค่าสัมประสิทธิ์ค่าหนึ่งหรือค่าอื่น (c หรือ b) เท่ากับศูนย์ สมการนี้จะถูกจัดเป็นสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

จะแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ได้อย่างไรหากนักเรียนสามารถแก้สมการระดับแรกได้เท่านั้น พิจารณาสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ประเภทต่างๆและ วิธีง่ายๆการตัดสินใจของพวกเขา

a) ถ้าสัมประสิทธิ์ c เท่ากับ 0 และสัมประสิทธิ์ b ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ax ² + bx + 0 = 0 จะลดลงเป็นสมการในรูปแบบ ax ² + bx = 0

ในการแก้สมการดังกล่าว คุณจำเป็นต้องรู้สูตรในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ซึ่งประกอบด้วยการแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ แล้วใช้เงื่อนไขที่ว่าผลคูณเท่ากับศูนย์ในภายหลัง

ตัวอย่างเช่น 5x² - 20x = 0 เราแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ ในขณะที่ดำเนินการทางคณิตศาสตร์ตามปกติ: โดยนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

5x (x - 4) = 0

เราใช้เงื่อนไขว่าผลคูณมีค่าเท่ากับศูนย์

5 x = 0 หรือ x - 4 = 0

คำตอบคือ: รูทแรกคือ 0; รากที่สองคือ 4

b) ถ้า b = 0 และเทอมอิสระไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นสมการ ax ² + 0x + c = 0 จะลดลงเป็นสมการในรูปแบบ ax ² + c = 0 สมการได้รับการแก้ไขในสองวิธี : a) โดยแยกตัวประกอบพหุนามของสมการทางด้านซ้าย ; b) การใช้คุณสมบัติของรากที่สองทางคณิตศาสตร์ สมการดังกล่าวสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่งเช่น:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2 คำตอบคือ: รูตแรกคือ 5/2; รากที่สองเท่ากับ - 5/2

c) ถ้า b เท่ากับ 0 และ c เท่ากับ 0 ดังนั้น ax ² + 0 + 0 = 0 จะลดลงเป็นสมการในรูปแบบ ax ² = 0 ในสมการดังกล่าว x จะเท่ากับ 0

อย่างที่คุณเห็น สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์สามารถมีรากได้ไม่เกินสองราก

มาทำงานกับ สมการกำลังสอง- เหล่านี้เป็นสมการที่ได้รับความนิยมมาก! ในตัวมาก มุมมองทั่วไปสมการกำลังสองมีลักษณะดังนี้:

ตัวอย่างเช่น:

ที่นี่ ก =1; ข = 3; ค = -4

ที่นี่ ก =2; ข = -0,5; ค = 2,2

ที่นี่ ก =-3; ข = 6; ค = -18

คุณก็เข้าใจ...

จะแก้สมการกำลังสองได้อย่างไร?หากคุณมีสมการกำลังสองอยู่ตรงหน้าในรูปแบบนี้ ทุกอย่างก็ง่ายดาย มาจำกัน คำวิเศษ เลือกปฏิบัติ - นักเรียนมัธยมปลายไม่เคยได้ยินคำนี้มาก่อน! วลีที่ว่า “เราแก้ปัญหาด้วยการเลือกปฏิบัติ” สร้างแรงบันดาลใจให้เกิดความมั่นใจและความมั่นใจ เพราะไม่จำเป็นต้องคาดหวังกลอุบายจากผู้เลือกปฏิบัติ! มันใช้งานง่ายและไร้ปัญหา ดังนั้น สูตรในการหารากของสมการกำลังสองมีลักษณะดังนี้:

สำนวนที่อยู่ใต้สัญลักษณ์ของรูตคือสำนวนหนึ่ง เลือกปฏิบัติ- อย่างที่คุณเห็นในการค้นหา X เราใช้ เฉพาะ a, b และ c- เหล่านั้น. สัมประสิทธิ์จากสมการกำลังสอง เพียงทดแทนค่าต่างๆ อย่างระมัดระวัง ก ข และคนี่คือสูตรที่เราคำนวณ มาทดแทนกันเถอะ ด้วยสัญญาณของคุณเอง! ตัวอย่างเช่น สำหรับสมการแรก ก =1; ข = 3; ค= -4. ที่นี่เราเขียนมันลงไป:

ตัวอย่างนี้เกือบจะได้รับการแก้ไขแล้ว:

แค่นั้นแหละ.

กรณีใดบ้างที่สามารถทำได้เมื่อใช้สูตรนี้? มีเพียงสามกรณีเท่านั้น

1. การเลือกปฏิบัติเป็นบวก ซึ่งหมายความว่าสามารถแยกรากออกมาได้ ไม่ว่ารากจะถูกสกัดออกมาได้ดีหรือไม่ดีนั้นเป็นคำถามที่แตกต่างกัน สิ่งสำคัญคือสิ่งที่สกัดออกมาในหลักการ แล้วสมการกำลังสองของคุณมีสองราก สองโซลูชั่นที่แตกต่างกัน

2. การเลือกปฏิบัติเป็นศูนย์ ถ้าอย่างนั้นคุณมีทางออกหนึ่งทาง พูดอย่างเคร่งครัดนี่ไม่ใช่รากเดียว แต่ สองอันเหมือนกัน- แต่สิ่งนี้มีบทบาทในความไม่เท่าเทียมกันซึ่งเราจะศึกษาประเด็นนี้โดยละเอียดยิ่งขึ้น

3. การเลือกปฏิบัติเป็นลบ จาก จำนวนลบ รากที่สองไม่ได้สกัด โอ้ดี. ซึ่งหมายความว่าไม่มีวิธีแก้ไข

มันง่ายมาก แล้วคุณคิดว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะทำผิดพลาดเหรอ? ใช่แล้วยังไง...
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือความสับสนกับค่าสัญญาณ ก ข และค- หรือไม่ใช่ด้วยสัญญาณของพวกเขา (จะสับสนได้ที่ไหน) แต่ด้วยการแทนที่ค่าลบเป็นสูตรในการคำนวณราก สิ่งที่ช่วยได้คือการบันทึกสูตรโดยละเอียดพร้อมตัวเลขเฉพาะ หากมีปัญหาในการคำนวณ ทำอย่างนั้น!

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ที่นี่ ก = -6; ข = -5; ค = -1

สมมติว่าคุณรู้ว่าคุณไม่ค่อยได้รับคำตอบในครั้งแรก

เอาล่ะ อย่าขี้เกียจนะ จะใช้เวลาประมาณ 30 วินาทีในการเขียนบรรทัดเพิ่มเติมและจำนวนข้อผิดพลาด จะลดลงอย่างรวดเร็ว- ดังนั้นเราจึงเขียนโดยละเอียดพร้อมวงเล็บและเครื่องหมายทั้งหมด:

ดูเหมือนเป็นเรื่องยากมากที่จะเขียนออกมาอย่างระมัดระวัง แต่ดูเหมือนเป็นเช่นนั้นเท่านั้น ลองดูสิ ดีหรือเลือก อะไรจะดีไปกว่า รวดเร็ว หรือถูกต้อง? นอกจากนี้ฉันจะทำให้คุณมีความสุข หลังจากนั้นไม่นาน ก็ไม่จำเป็นต้องเขียนทุกอย่างลงอย่างระมัดระวัง มันจะออกมาถูกต้องเอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากคุณใช้เทคนิคเชิงปฏิบัติตามที่อธิบายไว้ด้านล่างนี้ ตัวอย่างที่ชั่วร้ายที่มีข้อเสียมากมายนี้สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายและไม่มีข้อผิดพลาด!

ดังนั้น, วิธีแก้สมการกำลังสองผ่านการเลือกปฏิบัติที่เราจำได้ หรือพวกเขาเรียนรู้ซึ่งก็ดีเช่นกัน คุณรู้วิธีกำหนดอย่างถูกต้อง ก ข และค- คุณรู้ได้อย่างไร? อย่างตั้งใจแทนที่พวกมันลงในสูตรรูทและ อย่างตั้งใจนับผลลัพธ์ คุณเข้าใจว่าคำสำคัญที่นี่คือ อย่างตั้งใจ?

อย่างไรก็ตาม สมการกำลังสองมักจะดูแตกต่างออกไปเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

นี้ สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ - พวกเขายังสามารถแก้ไขได้ด้วยการเลือกปฏิบัติ คุณแค่ต้องเข้าใจให้ถูกต้องว่ามันเท่ากับอะไรตรงนี้ ก ข และค.

คุณคิดออกแล้วหรือยัง? ในตัวอย่างแรก ก = 1; ข = -4;ก ค- มันไม่ได้อยู่ที่นั่นเลย! ใช่แล้ว ถูกต้องแล้ว ในทางคณิตศาสตร์ก็หมายความว่าอย่างนั้น ค = 0 - แค่นั้นแหละ. แทนศูนย์ลงในสูตรแทน คและเราจะประสบความสำเร็จ เช่นเดียวกับตัวอย่างที่สอง มีเพียงเราเท่านั้นที่ไม่มีศูนย์ที่นี่ กับ, ก ข !

แต่สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์สามารถแก้ไขได้ง่ายกว่ามาก โดยไม่มีการเลือกปฏิบัติใดๆ ลองพิจารณาสิ่งแรก สมการที่ไม่สมบูรณ์- ด้านซ้ายทำอะไรได้บ้าง? คุณสามารถเอา X ออกจากวงเล็บได้! เอามันออกไปเถอะ

แล้วนี่ล่ะ? และความจริงที่ว่าผลคูณเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อปัจจัยใดๆ เท่ากับศูนย์เท่านั้น! ไม่เชื่อฉันเหรอ? เอาล่ะ คิดเลขที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวที่เมื่อคูณแล้วจะได้ศูนย์!
ไม่ทำงานเหรอ? แค่นั้นแหละ...
ดังนั้นเราจึงเขียนได้อย่างมั่นใจ: x = 0, หรือ x = 4

ทั้งหมด. พวกนี้จะเป็นรากของสมการของเรา ทั้งสองมีความเหมาะสม เมื่อแทนที่ค่าใดค่าหนึ่งลงในสมการดั้งเดิม เราจะได้ข้อมูลประจำตัวที่ถูกต้อง 0 = 0 ดังที่คุณเห็นแล้วว่าการแก้ปัญหานั้นง่ายกว่าการใช้การแบ่งแยกมาก

สมการที่สองสามารถแก้ได้ง่ายๆ เช่นกัน เลื่อน 9 ไปทางด้านขวา เราได้รับ:

สิ่งที่เหลืออยู่คือการแยกรูตออกจาก 9 เท่านี้ก็เรียบร้อย ปรากฎว่า:

สองรากเช่นกัน - x = +3 และ x = -3.

นี่คือวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ทั้งหมด โดยการวาง X ออกจากวงเล็บ หรือเพียงเลื่อนตัวเลขไปทางขวาแล้วแยกรากออก
เป็นเรื่องยากมากที่จะสร้างความสับสนให้กับเทคนิคเหล่านี้ เพียงเพราะในกรณีแรก คุณจะต้องแยกรากของ X ซึ่งไม่สามารถเข้าใจได้ และในกรณีที่สอง ไม่มีอะไรจะออกจากวงเล็บ...

ตอนนี้ให้สังเกตเทคนิคเชิงปฏิบัติที่ช่วยลดจำนวนข้อผิดพลาดได้อย่างมาก อันเกิดจากการไม่ตั้งใจ...ซึ่งต่อมากลับกลายเป็นความเจ็บปวดและขุ่นเคือง...

นัดแรก- อย่าขี้เกียจก่อนที่จะแก้สมการกำลังสองแล้วนำไปปฏิบัติ มุมมองมาตรฐาน- สิ่งนี้หมายความว่าอย่างไร?
สมมติว่าหลังจากการแปลงทั้งหมดคุณจะได้สมการต่อไปนี้:

อย่ารีบเขียนสูตรรูต! คุณเกือบจะได้รับโอกาสปะปนกันอย่างแน่นอน ก ข และคสร้างตัวอย่างอย่างถูกต้อง อย่างแรก X กำลังสอง จากนั้นไม่มีกำลังสอง ตามด้วยพจน์อิสระ แบบนี้:

และอีกครั้งอย่ารีบเร่ง! ลบหน้า X กำลังสองอาจทำให้คุณเสียใจได้ ลืมง่าย...กำจัดลบทิ้งไป ยังไง? ใช่แล้ว ตามที่สอนในหัวข้อที่แล้ว! เราจำเป็นต้องคูณสมการทั้งหมดด้วย -1 เราได้รับ:

แต่ตอนนี้คุณสามารถเขียนสูตรสำหรับรากได้อย่างปลอดภัย คำนวณการแบ่งแยก และแก้ไขตัวอย่างให้เสร็จสิ้น ตัดสินใจด้วยตัวเอง ตอนนี้คุณควรมีรูต 2 และ -1

แผนกต้อนรับที่สองเช็คต้นตอ! ตามทฤษฎีบทของเวียตตา ไม่ต้องกลัว ฉันจะอธิบายทุกอย่าง! กำลังตรวจสอบ ล่าสุดสมการ เหล่านั้น. อันที่เราใช้เขียนสูตรรูตลงไป ถ้า (ดังตัวอย่างนี้) ค่าสัมประสิทธิ์ ก = 1การตรวจสอบรากเป็นเรื่องง่าย มันก็เพียงพอแล้วที่จะคูณพวกมัน ผลลัพธ์ควรเป็นสมาชิกฟรีเช่น ในกรณีของเรา -2 โปรดทราบว่าไม่ใช่ 2 แต่เป็น -2! สมาชิกฟรี ด้วยสัญญาณของคุณ - หากไม่ได้ผลก็หมายความว่าพวกเขาทำผิดพลาดอยู่ที่ไหนสักแห่งแล้ว มองหาข้อผิดพลาด หากได้ผลคุณจะต้องเพิ่มราก การตรวจสอบครั้งสุดท้ายและครั้งสุดท้าย ค่าสัมประสิทธิ์ควรจะเป็น ขกับ ตรงข้าม คุ้นเคย. ในกรณีของเรา -1+2 = +1 ค่าสัมประสิทธิ์ ขซึ่งอยู่ก่อน X เท่ากับ -1 ดังนั้นทุกอย่างถูกต้อง!
น่าเสียดายที่นี่เป็นเพียงตัวอย่างที่ x กำลังสองมีค่าบริสุทธิ์และมีค่าสัมประสิทธิ์เท่านั้น ก = 1แต่อย่างน้อยก็ตรวจสอบสมการดังกล่าว! ทั้งหมด ข้อผิดพลาดน้อยลงจะ.

แผนกต้อนรับที่สาม- หากสมการของคุณมีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วน ให้กำจัดเศษส่วนออก! คูณสมการด้วยตัวส่วนร่วมตามที่อธิบายไว้ใน ส่วนก่อนหน้า- เมื่อทำงานกับเศษส่วน ข้อผิดพลาดก็คืบคลานเข้ามาด้วยเหตุผลบางประการ...

อย่างไรก็ตามฉันสัญญาว่าจะทำให้ตัวอย่างที่ชั่วร้ายง่ายขึ้นด้วยข้อเสียมากมาย โปรด! นี่เขาอยู่

เพื่อไม่ให้สับสนกับเครื่องหมายลบ เราจะคูณสมการด้วย -1 เราได้รับ:

แค่นั้นแหละ! การแก้ปัญหาคือความสุข!

เรามาสรุปหัวข้อกัน

คำแนะนำการปฏิบัติ:

1. ก่อนที่จะแก้โจทย์ เรานำสมการกำลังสองมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐานและสร้างมันขึ้นมา ขวา.

2. หากมีสัมประสิทธิ์ลบอยู่หน้า X กำลังสอง เราจะกำจัดมันโดยการคูณสมการทั้งหมดด้วย -1

3. ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วน เราจะกำจัดเศษส่วนโดยการคูณสมการทั้งหมดด้วยตัวประกอบที่เกี่ยวข้อง

4. ถ้า x กำลังสองบริสุทธิ์ ค่าสัมประสิทธิ์ของมันจะเท่ากับ 1 สามารถตรวจสอบคำตอบได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตต้า ทำมัน!

สมการเศษส่วน โอดีซ.

เรายังคงเชี่ยวชาญสมการต่อไป เรารู้วิธีทำงานกับสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองแล้ว วิวสุดท้ายที่เหลือ - สมการเศษส่วน- หรือเรียกอีกอย่างว่าน่านับถือกว่ามาก - สมการตรรกยะเศษส่วน- มันเป็นเรื่องเดียวกัน

สมการเศษส่วน

ตามชื่อที่บอกเป็นนัย สมการเหล่านี้จำเป็นต้องมีเศษส่วน แต่ไม่ใช่แค่เศษส่วน แต่เป็นเศษส่วนที่มี ไม่ทราบในตัวส่วน- อย่างน้อยก็ในหนึ่ง ตัวอย่างเช่น:

ขอเตือนไว้ก่อนว่าถ้าตัวส่วนเป็นเพียง ตัวเลขเหล่านี้คือสมการเชิงเส้น

ตัดสินใจอย่างไร สมการเศษส่วน- ก่อนอื่น กำจัดเศษส่วนให้ได้ก่อน! หลังจากนี้ สมการส่วนใหญ่มักจะเปลี่ยนเป็นเชิงเส้นหรือกำลังสอง แล้วเราก็รู้ว่าต้องทำอย่างไร... ในบางกรณี อาจกลายเป็นข้อมูลระบุตัวตน เช่น 5=5 หรือนิพจน์ที่ไม่ถูกต้อง เช่น 7=2 แต่สิ่งนี้ไม่ค่อยเกิดขึ้น ฉันจะพูดถึงสิ่งนี้ด้านล่าง

แต่จะกำจัดเศษส่วนยังไง!? ง่ายมาก ใช้การแปลงที่เหมือนกันเหมือนกัน

เราจำเป็นต้องคูณสมการทั้งหมดด้วยนิพจน์เดียวกัน เพื่อให้ตัวส่วนทั้งหมดลดลง! ทุกอย่างจะง่ายขึ้นทันที ให้ฉันอธิบายด้วยตัวอย่าง เราต้องแก้สมการ:

คุณได้รับการสอนอย่างไรในโรงเรียนประถมศึกษา? เราย้ายทุกอย่างไปด้านใดด้านหนึ่ง นำมาเป็นตัวส่วนร่วม ฯลฯ ลืมวิธีการ ฝันร้าย- นี่คือสิ่งที่คุณต้องทำเมื่อคุณบวกหรือลบเศษส่วน หรือคุณทำงานกับความไม่เท่าเทียมกัน และในสมการ เราจะคูณทั้งสองข้างทันทีด้วยนิพจน์ที่จะให้โอกาสเราลดตัวส่วนทั้งหมด (นั่นคือ โดยพื้นฐานแล้วคือด้วยตัวส่วนร่วม) และสำนวนนี้คืออะไร?

ทางด้านซ้าย การลดตัวส่วนต้องคูณด้วย x+2- และทางด้านขวาจะต้องคูณด้วย 2 ซึ่งหมายความว่าจะต้องคูณสมการด้วย 2(x+2)- คูณ:

นี่คือการคูณเศษส่วนทั่วไป แต่ฉันจะอธิบายโดยละเอียด:

โปรดทราบว่าฉันยังไม่ได้เปิดวงเล็บ (x + 2)- ผมจึงเขียนโดยย่อว่า

ทางด้านซ้ายจะหดตัวทั้งหมด (x+2)และทางขวา 2. ซึ่งก็คือสิ่งที่จำเป็น! หลังจากลดแล้วเราก็จะได้ เชิงเส้นสมการ:

และทุกคนก็สามารถแก้สมการนี้ได้! x = 2.

ลองแก้ตัวอย่างอื่นที่ซับซ้อนกว่านี้หน่อย:

หากเราจำได้ว่า 3 = 3/1 และ 2x = 2x/ 1 เราสามารถเขียนได้:

และอีกครั้งที่เรากำจัดสิ่งที่เราไม่ชอบจริงๆ นั่นก็คือเศษส่วน

เราเห็นว่าหากต้องการลดตัวส่วนด้วย X เราจำเป็นต้องคูณเศษส่วนด้วย (x – 2)- และบางอย่างก็ไม่ใช่อุปสรรคสำหรับเรา เรามาคูณกัน. ทั้งหมดด้านซ้ายและ ทั้งหมดด้านขวา:

วงเล็บอีกครั้ง (x – 2)ฉันไม่เปิดเผย ฉันทำงานกับวงเล็บโดยรวมราวกับว่ามันเป็นตัวเลขเดียว! ต้องทำสิ่งนี้เสมอไม่เช่นนั้นจะไม่มีอะไรลดลง

ด้วยความรู้สึกพึงพอใจอย่างลึกซึ้ง เราจึงลดลง (x – 2)และเราจะได้สมการที่ไม่มีเศษส่วนด้วยไม้บรรทัด!

ตอนนี้เรามาเปิดวงเล็บ:

เรานำสิ่งที่คล้ายกันมาย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายแล้วรับ:

สมการกำลังสองคลาสสิก แต่ลบข้างหน้าไม่ดี คุณสามารถกำจัดมันออกไปได้เสมอด้วยการคูณหรือหารด้วย -1 แต่ถ้าคุณดูตัวอย่างอย่างใกล้ชิด คุณจะสังเกตเห็นว่า ทางที่ดีควรหารสมการนี้ด้วย -2! ในคราวเดียว เครื่องหมายลบจะหายไป และราคาต่อรองจะน่าดึงดูดยิ่งขึ้น! หารด้วย -2. ทางด้านซ้าย - เทอมต่อเทอม และทางขวา - เพียงหารศูนย์ด้วย -2, ศูนย์แล้วเราจะได้:

เราแก้ปัญหาด้วยการแยกแยะและตรวจสอบโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตตา เราได้รับ x = 1 และ x = 3- สองราก.

อย่างที่คุณเห็น ในกรณีแรก สมการหลังการแปลงกลายเป็นเส้นตรง แต่ตรงนี้กลายเป็นกำลังสอง บังเอิญว่าหลังจากกำจัดเศษส่วนแล้ว ค่า X ทั้งหมดจะลดลง บางสิ่งยังคงอยู่ เช่น 5=5 นี่หมายความว่า x สามารถเป็นอะไรก็ได้- อะไรก็ตามมันก็จะลดลงเช่นกัน และกลายเป็นความจริงล้วนๆ 5=5 แต่หลังจากกำจัดเศษส่วนไปแล้ว ก็อาจกลายเป็นว่าไม่จริงเลย เช่น 2=7 และนี่หมายความว่า ไม่มีวิธีแก้ปัญหา- X ใดๆ ปรากฏว่าไม่จริง

ที่ตระหนักรู้ ทางหลักโซลูชั่น สมการเศษส่วน- มันง่ายและมีเหตุผล เราเปลี่ยนสำนวนดั้งเดิมเพื่อให้ทุกสิ่งที่เราไม่ชอบหายไป หรือมันรบกวน.. ในกรณีนี้คือเศษส่วน เราจะทำเช่นเดียวกันกับทุกชนิด ตัวอย่างที่ซับซ้อนด้วยลอการิทึม ไซน์ และความน่ากลัวอื่นๆ เรา เสมอมากำจัดทั้งหมดนี้กันเถอะ

อย่างไรก็ตาม เราจำเป็นต้องเปลี่ยนการแสดงออกดั้งเดิมไปในทิศทางที่เราต้องการ ตามกฎใช่... ความเชี่ยวชาญคือการเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ ดังนั้นเราจึงเชี่ยวชาญมัน

ตอนนี้เราจะเรียนรู้วิธีหลีกเลี่ยงสิ่งใดสิ่งหนึ่ง การซุ่มโจมตีหลักในการสอบ Unified State- แต่ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าคุณจะตกอยู่ในนั้นหรือไม่?

ลองดูตัวอย่างง่ายๆ:

เรื่องที่คุ้นเคยอยู่แล้วเราคูณทั้งสองข้างด้วย (x – 2)เราได้รับ:

ฉันเตือนคุณด้วยวงเล็บ (x – 2)เราทำงานราวกับเป็นหนึ่งเดียว การแสดงออกเชิงบูรณาการ!

ที่นี่ฉันไม่ได้เขียนตัวส่วนอีกต่อไป มันไม่สง่างาม... และฉันไม่ได้วาดวงเล็บในตัวส่วนยกเว้น x – 2ไม่มีอะไรคุณไม่จำเป็นต้องวาด มาย่อให้สั้นลง:

เปิดวงเล็บ ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย และให้สิ่งที่คล้ายกัน:

เราแก้ ตรวจสอบ เราได้สองราก x = 2และ x = 3- ยอดเยี่ยม.

สมมติว่างานมอบหมายให้เขียนราก หรือผลรวมหากมีมากกว่าหนึ่งราก เราจะเขียนอะไร?

หากคุณตัดสินใจว่าคำตอบคือ 5 คุณ ถูกซุ่มโจมตี- และงานจะไม่ได้รับเครดิตให้กับคุณ พวกเขาทำงานโดยเปล่าประโยชน์... คำตอบที่ถูกต้องคือ 3

เกิดอะไรขึ้น?! และคุณพยายามที่จะทำการตรวจสอบ แทนค่าของสิ่งที่ไม่รู้จักเข้าไป ต้นฉบับตัวอย่าง. และถ้า ณ x = 3ทุกอย่างจะเติบโตไปด้วยกันอย่างมหัศจรรย์ เราจะได้ 9 = 9 แล้วเมื่อไร x = 2มันจะหารด้วยศูนย์! สิ่งที่คุณทำไม่ได้อย่างแน่นอน วิธี x = 2ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา และไม่ได้นำมาพิจารณาในคำตอบ นี่คือสิ่งที่เรียกว่ารากภายนอกหรือรากพิเศษ เราก็ทิ้งมันไป รากสุดท้ายคือหนึ่ง x = 3.

ยังไงล่ะ! - ฉันได้ยินเสียงอุทานอย่างขุ่นเคือง เราได้รับการสอนว่าสมการสามารถคูณด้วยนิพจน์ได้! นี่คือการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน!

ใช่เหมือนกัน ที่ สภาพเล็ก– สำนวนที่เราคูณ (หาร) – แตกต่างจากศูนย์- ก x – 2ที่ x = 2เท่ากับศูนย์! ดังนั้นทุกอย่างจึงยุติธรรม

แล้วตอนนี้เราควรทำอย่างไร! อย่าคูณด้วยนิพจน์เหรอ? ฉันควรตรวจสอบทุกครั้งหรือไม่? ยังไม่ชัดเจนอีก!

ใจเย็น! อย่าตื่นตกใจ!

ในสถานการณ์ที่ยากลำบากนี้ จดหมายวิเศษสามฉบับจะช่วยเรา ฉันรู้ว่าคุณกำลังคิดอะไรอยู่ ขวา! นี้ โอดีซ - พื้นที่ของค่าที่ยอมรับได้

การแปลงสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ไปเป็นสมการที่ไม่สมบูรณ์มีลักษณะดังนี้ (สำหรับกรณี \(b=0\)):

สำหรับกรณีที่ \(c=0\) หรือเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งสองเท่ากับศูนย์ ทุกอย่างจะคล้ายกัน

โปรดทราบว่าไม่มีคำถามว่า \(a\) จะเท่ากับศูนย์ จะต้องไม่เท่ากับศูนย์ เนื่องจากในกรณีนี้จะกลายเป็น:

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

ก่อนอื่น คุณต้องเข้าใจว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ยังคงเป็น a และดังนั้นจึงสามารถแก้ได้ในลักษณะเดียวกับสมการกำลังสองทั่วไป (ผ่าน ) ในการทำเช่นนี้ เราเพียงเพิ่มองค์ประกอบที่ขาดหายไปของสมการโดยมีค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์

ตัวอย่าง : หารากของสมการ \(3x^2-27=0\)
สารละลาย :

คำตอบ : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

ตัวอย่าง : ค้นหารากของสมการ \(-x^2+x=0\)
สารละลาย :

นอกจากนี้ยังมีการศึกษาปัญหาสมการกำลังสองด้วย หลักสูตรของโรงเรียนและในมหาวิทยาลัย พวกเขาหมายถึงสมการในรูปแบบ a*x^2 + b*x + c = 0 โดยที่ เอ็กซ์-ตัวแปร a, b, c – ค่าคงที่; ก<>0 . ภารกิจคือการหารากของสมการ

ความหมายทางเรขาคณิตของสมการกำลังสอง

กราฟของฟังก์ชันที่แสดงด้วยสมการกำลังสองคือพาราโบลา ผลเฉลย (ราก) ของสมการกำลังสองคือจุดตัดของพาราโบลากับแกนแอบซิสซา (x) ตามมาว่ามีความเป็นไปได้สามกรณี:
1) พาราโบลาไม่มีจุดตัดกับแกนแอบซิสซา ซึ่งหมายความว่าอยู่ในระนาบบนที่มีกิ่งก้านอยู่ด้านบนหรือด้านล่างมีกิ่งก้านอยู่ด้านล่าง ในกรณีเช่นนี้ สมการกำลังสองไม่มีรากจริง (มีรากที่ซับซ้อนสองอัน)

2) พาราโบลามีจุดตัดกับแกน Ox หนึ่งจุด จุดดังกล่าวเรียกว่าจุดยอดของพาราโบลา และสมการกำลังสองที่จุดนั้นจะได้ค่าต่ำสุดหรือสูงสุด ในกรณีนี้ สมการกำลังสองมีรากจริงหนึ่งราก (หรือรากที่เหมือนกันสองราก)

3) กรณีสุดท้ายน่าสนใจกว่าในทางปฏิบัติ - มีจุดตัดกันสองจุดของพาราโบลากับแกนแอบซิสซา ซึ่งหมายความว่ามีรากจริงสองอันของสมการ

จากการวิเคราะห์ค่าสัมประสิทธิ์ยกกำลังของตัวแปร สามารถสรุปข้อสรุปที่น่าสนใจเกี่ยวกับการวางตำแหน่งของพาราโบลาได้

1) ถ้าสัมประสิทธิ์ a มากกว่าศูนย์ กิ่งของพาราโบลาจะชี้ขึ้น หากเป็นลบ กิ่งของพาราโบลาจะชี้ลง

2) ถ้าสัมประสิทธิ์ b มากกว่าศูนย์ แล้วจุดยอดของพาราโบลาจะอยู่ในระนาบครึ่งซ้ายหากต้องใช้ ค่าลบ- จากนั้นทางขวา

ที่มาของสูตรการแก้สมการกำลังสอง

ลองถ่ายโอนค่าคงที่จากสมการกำลังสองกัน

สำหรับเครื่องหมายเท่ากับ เราจะได้นิพจน์

คูณทั้งสองข้างด้วย 4a

เพื่อให้ได้กำลังสองที่สมบูรณ์ทางด้านซ้าย ให้บวก b^2 ทั้งสองข้างแล้วทำการแปลง

จากที่นี่เราพบว่า

สูตรสำหรับการแบ่งแยกและรากของสมการกำลังสอง

ค่าจำแนกคือค่าของนิพจน์ราก ถ้าเป็นบวก สมการจะมีรากจริงสองค่าซึ่งคำนวณโดยสูตร เมื่อตัวแยกแยะเป็นศูนย์ สมการกำลังสองจะมีคำตอบเดียว (รากที่ตรงกันสองตัว) ซึ่งสามารถหาได้อย่างง่ายดายจากสูตรด้านบนสำหรับ D=0 เมื่อตัวจำแนกเป็นลบ สมการนั้นจะไม่มีรากจริง อย่างไรก็ตาม การแก้สมการกำลังสองจะพบได้ในระนาบเชิงซ้อน และค่าของมันจะคำนวณโดยใช้สูตร

ทฤษฎีบทของเวียตตา

ลองพิจารณารากสองตัวของสมการกำลังสองและสร้างสมการกำลังสองบนพื้นฐานของมัน จากนั้นผลรวมของรากจะเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ p ที่นำมา เครื่องหมายตรงข้ามและผลคูณของรากของสมการเท่ากับเทอมอิสระ q การแสดงสูตรข้างต้นจะมีลักษณะดังนี้ หากในสมการคลาสสิก ค่าคงที่ a ไม่ใช่ศูนย์ คุณจะต้องหารสมการทั้งหมดด้วยค่านั้น จากนั้นจึงใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม

ตารางการแยกตัวประกอบสมการกำลังสอง

ปล่อยให้งานถูกกำหนด: แยกตัวประกอบสมการกำลังสอง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ อันดับแรกเราต้องแก้สมการ (หาราก) ต่อไป เราจะแทนค่ารากที่พบลงในสูตรการขยายตัวของสมการกำลังสอง ซึ่งจะช่วยแก้ปัญหาได้

โจทย์สมการกำลังสอง

ภารกิจที่ 1 ค้นหารากของสมการกำลังสอง

x^2-26x+120=0 .

วิธีแก้ไข: เขียนค่าสัมประสิทธิ์แล้วแทนที่ลงในสูตรแยกแยะ

รากของ มูลค่าที่กำหนดเท่ากับ 14 หาได้ง่ายด้วยเครื่องคิดเลขหรือจำไว้เมื่อใช้บ่อยๆ อย่างไรก็ตาม เพื่อความสะดวกในตอนท้ายของบทความผมจะให้รายการตัวเลขกำลังสองที่มักพบในปัญหาดังกล่าว
เราแทนค่าที่พบลงในสูตรรูท

และเราได้รับ

ภารกิจที่ 2 แก้สมการ

2x 2 +x-3=0

วิธีแก้: เรามีสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ เขียนค่าสัมประสิทธิ์แล้วค้นหาตัวแยกแยะ


โดย สูตรที่รู้จักการหารากของสมการกำลังสอง

ภารกิจที่ 3 แก้สมการ

9x 2 -12x+4=0.

วิธีแก้: เรามีสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ การพิจารณาเลือกปฏิบัติ

เรามีกรณีที่รากตรงกัน ค้นหาค่าของรากโดยใช้สูตร

ภารกิจที่ 4 แก้สมการ

x^2+x-6=0 .

วิธีแก้: ในกรณีที่มีค่าสัมประสิทธิ์ x น้อย แนะนำให้ใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม ตามเงื่อนไขของมันเราได้สมการสองสมการ

จากเงื่อนไขที่สอง เราพบว่าผลคูณต้องเท่ากับ -6 ซึ่งหมายความว่ารากอันใดอันหนึ่งเป็นลบ เรามีคู่วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ดังต่อไปนี้ (-3;2), (3;-2) เมื่อคำนึงถึงเงื่อนไขแรก เราจะปฏิเสธคู่ที่สองของคำตอบ
รากของสมการเท่ากัน

ปัญหาที่ 5. ค้นหาความยาวของด้านข้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าถ้าเส้นรอบรูปของมันคือ 18 ซม. และพื้นที่ของมันคือ 77 ซม. 2

วิธีแก้ปัญหา: ครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับผลรวมของด้านประชิด ลองแสดงว่า x เป็นด้านที่ใหญ่กว่า แล้ว 18-x คือด้านที่เล็กกว่า พื้นที่ของสี่เหลี่ยมเท่ากับผลคูณของความยาวเหล่านี้:
x(18-x)=77;
หรือ
x 2 -18x+77=0.
ลองหาการแบ่งแยกของสมการกัน

การคำนวณรากของสมการ

ถ้า x=11,ที่ 18's=7 ,สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน (ถ้า x=7 แล้ว 21=9)

ปัญหาที่ 6 แยกตัวประกอบสมการกำลังสอง 10x 2 -11x+3=0

วิธีแก้: ลองคำนวณรากของสมการกัน เพื่อหาค่าแยกแยะ

เราแทนที่ค่าที่พบลงในสูตรรูทแล้วคำนวณ

เราใช้สูตรในการสลายสมการกำลังสองด้วยราก

การเปิดวงเล็บเราได้รับตัวตน

สมการกำลังสองพร้อมพารามิเตอร์

ตัวอย่างที่ 1 ค่าพารามิเตอร์ใด เอสมการ (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 มีหนึ่งรูทหรือไม่?

วิธีแก้ไข: โดยการแทนที่ค่า a=3 โดยตรง เราจะพบว่ามันไม่มีวิธีแก้ปัญหา ต่อไป เราจะใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าสมการที่มีการแบ่งแยกเป็นศูนย์จะมีรากของการคูณ 2 หนึ่งตัว ลองเขียนสิ่งที่แยกแยะออกไป

ลองทำให้มันง่ายขึ้นและจัดให้เป็นศูนย์

เราได้รับสมการกำลังสองเทียบกับพารามิเตอร์ a ซึ่งสามารถหาคำตอบได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม ผลรวมของรากคือ 7 และผลิตภัณฑ์ของมันคือ 12 จากการค้นหาอย่างง่าย เราพบว่าตัวเลข 3,4 จะเป็นรากของสมการ เนื่องจากเราได้ปฏิเสธวิธีแก้ปัญหา a=3 ไปแล้วในตอนเริ่มต้นการคำนวณ วิธีเดียวที่ถูกต้องคือ - ก=4.ดังนั้น สำหรับ a=4 สมการจะมีหนึ่งราก

ตัวอย่างที่ 2 ค่าพารามิเตอร์ใด เอสมการ ก(ก+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0มีมากกว่าหนึ่งรากใช่ไหม?

วิธีแก้ไข: ก่อนอื่นมาพิจารณาจุดเอกพจน์ก่อน โดยจะเป็นค่า a=0 และ a=-3 เมื่อ a=0 สมการจะง่ายขึ้นเป็นรูปแบบ 6x-9=0; x=3/2 และจะมีหนึ่งรูต สำหรับ a= -3 เราจะได้ข้อมูลประจำตัว 0=0
มาคำนวณการแบ่งแยกกัน

และหาค่าของ a ที่เป็นบวก

จากเงื่อนไขแรก เราได้ a>3 ประการที่สอง เราพบการแบ่งแยกและรากของสมการ


ให้เรากำหนดช่วงเวลาที่ฟังก์ชันรับค่าบวก โดยการแทนจุด a=0 เราจะได้ 3>0 . ดังนั้น นอกช่วง (-3;1/3) ฟังก์ชันจะเป็นลบ อย่าลืมประเด็น ก=0,ซึ่งควรตัดออกเพราะสมการเดิมมีรากเดียว
เป็นผลให้เราได้รับสองช่วงเวลาที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา

ในทางปฏิบัติจะมีงานที่คล้ายกันมากมาย ลองคิดงานด้วยตัวเองและอย่าลืมคำนึงถึงเงื่อนไขที่ไม่เกิดร่วมกัน ศึกษาสูตรการแก้สมการกำลังสองให้ดี โดยมักจะต้องใช้สูตรเหล่านี้ในการคำนวณ งานที่แตกต่างกันและวิทยาศาสตร์