รากที่สอง การดำเนินการกับรากที่สอง

คุณสมบัติ รากที่สอง

จนถึงตอนนี้เราได้ดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขไปแล้วห้ารายการ: การบวก การลบ การคูณการหารและการยกกำลัง และในการคำนวณคุณสมบัติต่างๆ ของการดำเนินการเหล่านี้ถูกนำมาใช้อย่างแข็งขัน เช่น a + b = b + a, an-bn = (ab)n เป็นต้น

บทนี้จะแนะนำการดำเนินการใหม่ - การแตกไฟล์ รากที่สองจากจำนวนที่ไม่เป็นลบ หากต้องการใช้งานให้ประสบความสำเร็จ คุณต้องทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติของการดำเนินการนี้ ซึ่งเราจะพูดถึงในส่วนนี้

การพิสูจน์. ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="ความเท่าเทียมกัน" width="120" height="25 id=">!}.

นี่คือวิธีที่เราจะกำหนดทฤษฎีบทถัดไป

(สูตรสั้นๆ ที่สะดวกกว่าในการใช้งานในทางปฏิบัติ: รากของเศษส่วนเท่ากับเศษส่วนของราก หรือรากของผลหารเท่ากับผลหารของราก)

คราวนี้เราจะให้เฉพาะบทสรุปสั้นๆ ของการพิสูจน์ และคุณพยายามแสดงความคิดเห็นที่เหมาะสมคล้ายกับความคิดเห็นที่ก่อให้เกิดแก่นแท้ของการพิสูจน์ทฤษฎีบท 1

หมายเหตุ 3 แน่นอนว่าตัวอย่างนี้สามารถแก้ไขได้แตกต่างออกไป โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณมีเครื่องคิดเลขขนาดเล็กอยู่ในมือ ให้คูณตัวเลข 36, 64, 9 แล้วหารากที่สองของผลลัพธ์ที่ได้ อย่างไรก็ตาม คุณจะยอมรับว่าวิธีแก้ปัญหาที่เสนอข้างต้นดูมีวัฒนธรรมมากกว่า

หมายเหตุ 4 ในวิธีแรก เราทำการคำนวณแบบ "เผชิญหน้า" วิธีที่สองหรูหรากว่า:
เราสมัครแล้ว สูตร a2 - b2 = (a - b) (a + b) และใช้คุณสมบัติของรากที่สอง

หมายเหตุ 5 “คนหัวร้อน” บางคนเสนอ “วิธีแก้ปัญหา” นี้ให้กับตัวอย่างที่ 3:

แน่นอนว่าสิ่งนี้ไม่เป็นความจริง คุณเห็นไหม - ผลลัพธ์ไม่เหมือนกับตัวอย่างที่ 3 ความจริงก็คือไม่มีทรัพย์สิน https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="งาน" width="148" height="26 id=">!}มีเพียงคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับการคูณและการหารรากที่สองเท่านั้น ระมัดระวังและระมัดระวังอย่าไปคิดฝัน

เมื่อสรุปย่อหน้านี้ ให้เราทราบอีกสิ่งหนึ่งที่ค่อนข้างง่ายและในเวลาเดียวกัน ทรัพย์สินที่สำคัญ:
ถ้า a > 0 และ n - จำนวนธรรมชาติ, ที่

การแปลงนิพจน์ที่มีการดำเนินการสแควร์รูท

จนถึงขณะนี้เราได้ทำการแปลงเท่านั้น การแสดงออกที่มีเหตุผลโดยใช้กฎการดำเนินการกับพหุนามและ เศษส่วนพีชคณิตสูตรการคูณแบบย่อ ฯลฯ ในบทนี้ เราได้แนะนำการดำเนินการใหม่ - การดำเนินการรากที่สอง เราได้สถาปนาสิ่งนั้นแล้ว

โดยที่ a, b เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ

การใช้สิ่งเหล่านี้ สูตรคุณสามารถดำเนินการแปลงนิพจน์ต่างๆ ที่มีการดำเนินการรากที่สองได้ ลองดูหลายๆ ตัวอย่าง และในตัวอย่างทั้งหมด เราจะถือว่าตัวแปรรับเฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบเท่านั้น

ตัวอย่างที่ 3ใส่ตัวคูณใต้เครื่องหมายรากที่สอง:

ตัวอย่างที่ 6- ลดความซับซ้อนของนิพจน์ โซลูชัน เรามาทำการแปลงตามลำดับกัน:

รากที่สองของตัวเลข x คือตัวเลข a ซึ่งเมื่อคูณด้วยตัวมันเองจะได้ตัวเลข x: a * a = a^2 = x, √x = a เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ คุณสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของการบวกและการลบรากที่สองได้

คำแนะนำ

ขั้นแรก เมื่อบวกรากที่สอง ให้พยายามแยกรากเหล่านั้นออก วิธีนี้จะเป็นไปได้หากตัวเลขใต้เครื่องหมายรากเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น ให้นิพจน์ √4 + √9 เลข 4 ตัวแรกคือกำลังสองของเลข 2 เลขตัวที่สอง 9 คือกำลังสองของเลข 3 ปรากฎว่า: √4 + √9 = 2 + 3 = 5
หากไม่มีกำลังสองที่สมบูรณ์ใต้เครื่องหมายราก ให้ลองลบตัวคูณของตัวเลขออกจากใต้เครื่องหมายราก ตัวอย่างเช่น ให้นิพจน์ √24 + √54 แยกตัวประกอบตัวเลข: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3 จำนวน 24 มีตัวประกอบเป็น 4 ซึ่งสามารถนำออกมาใต้เครื่องหมายรากที่สองได้ จำนวน 54 มีตัวประกอบเป็น 9 ดังนั้น ปรากฎว่า: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . ใน ในตัวอย่างนี้ผลจากการลบตัวประกอบออกจากใต้เครื่องหมายราก จึงทำให้นิพจน์ที่กำหนดง่ายขึ้นได้
ให้ผลรวมของรากที่สองสองตัวเป็นตัวส่วนของเศษส่วน เช่น A / (√a + √b) และปล่อยให้งานของคุณคือ "กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน" จากนั้นคุณสามารถใช้วิธีการต่อไปนี้ คูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยนิพจน์ √a - √b ดังนั้นในตัวส่วนเราจะได้สูตรการคูณแบบย่อ: (√a + √b) * (√a - √b) = a – b จากการเปรียบเทียบ หากตัวส่วนมีความแตกต่างระหว่างราก: √a - √b ดังนั้นตัวเศษและส่วนของเศษส่วนจะต้องคูณด้วยนิพจน์ √a + √b เช่น ให้เศษส่วน 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3)
พิจารณาเพิ่มเติม ตัวอย่างที่ซับซ้อนกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน ให้เศษส่วน 12 / (√2 + √3 + √5) จำเป็นต้องคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยนิพจน์ √2 + √3 - √5:
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
สุดท้าย หากคุณต้องการเพียงค่าโดยประมาณ คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขคำนวณรากที่สองได้ คำนวณค่าแยกกันสำหรับแต่ละตัวเลขและจดบันทึกไว้ตามความแม่นยำที่ต้องการ (เช่น ทศนิยมสองตำแหน่ง) จากนั้นดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นเช่นเดียวกับตัวเลขธรรมดา ตัวอย่างเช่น สมมติว่าคุณต้องหาค่าโดยประมาณของนิพจน์ √7 + √5 data 2.65 + 2.24 = 4.89

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

เมื่อคุณส่งคำขอบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวม ข้อมูลต่างๆรวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อแจ้งข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้นได้ไม่ซ้ำใคร
ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

หากจำเป็น - ตามกฎหมาย กระบวนการยุติธรรม การดำเนินคดี และ/หรือ ตามคำขอของประชาชน หรือการร้องขอจาก หน่วยงานภาครัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

การบวกและการลบราก- หนึ่งใน "อุปสรรค์" ที่พบบ่อยที่สุดสำหรับผู้ที่เรียนหลักสูตรคณิตศาสตร์ (พีชคณิต) ในโรงเรียนมัธยมปลาย อย่างไรก็ตามการเรียนรู้ที่จะบวกและลบพวกมันอย่างถูกต้องเป็นสิ่งสำคัญมาก เนื่องจากตัวอย่างเกี่ยวกับผลรวมหรือผลต่างของรากจะรวมอยู่ในโปรแกรมการสอบ Unified State ขั้นพื้นฐานในสาขาวิชา "คณิตศาสตร์"

เพื่อที่จะเชี่ยวชาญการแก้ไขตัวอย่างดังกล่าว คุณต้องมีสองสิ่ง - เพื่อทำความเข้าใจกฎเกณฑ์และต้องฝึกฝนด้วย หลังจากแก้ไขตัวอย่างทั่วไปหนึ่งหรือสองโหลแล้ว นักเรียนจะนำทักษะนี้ไปสู่ระบบอัตโนมัติ และจากนั้นเขาจะไม่มีอะไรต้องกลัวในการสอบ Unified State อีกต่อไป ขอแนะนำให้เริ่มการเรียนรู้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วยการบวก เนื่องจากการเพิ่มจะง่ายกว่าการลบออกเล็กน้อย

วิธีที่ง่ายที่สุดในการอธิบายนี้คือการใช้รากที่สองเป็นตัวอย่าง ในทางคณิตศาสตร์มีคำว่า "กำลังสอง" ที่รู้จักกันดี “กำลังสอง” หมายถึงการคูณจำนวนเฉพาะด้วยตัวมันเองหนึ่งครั้ง- ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณกำลังสอง 2 คุณจะได้ 4 ถ้าคุณกำลังสอง 7 คุณจะได้ 49 กำลังสองของ 9 คือ 81 ดังนั้นรากที่สองของ 4 คือ 2, 49 คือ 7 และของ 81 คือ 9

ตามกฎแล้ว การสอนหัวข้อนี้ในวิชาคณิตศาสตร์จะเริ่มต้นด้วยรากที่สอง เพื่อจะได้วินิจฉัยได้ทันทีว่านักศึกษา โรงเรียนมัธยมปลายต้องรู้ตารางสูตรคูณด้วยใจ ผู้ที่ไม่รู้จักตารางนี้แน่นหนาต้องใช้คำใบ้ โดยปกติแล้วกระบวนการแยกกำลังสองรูตออกจากตัวเลขจะได้รับในรูปแบบของตารางบนปกสมุดบันทึกคณิตศาสตร์ของโรงเรียนหลายแห่ง

รากเป็นประเภทต่อไปนี้:

สี่เหลี่ยม;
ลูกบาศก์ (หรือที่เรียกว่าระดับที่สาม);
ระดับที่สี่;
ระดับที่ห้า

กฎการเพิ่ม

เพื่อที่จะแก้ไขตัวอย่างทั่วไปได้สำเร็จ จำเป็นต้องจำไว้ว่า ไม่ใช่หมายเลขรูตทั้งหมด สามารถวางซ้อนกันได้- จะนำมารวมกันต้องนำมาเป็นลายเดียว หากเป็นไปไม่ได้ แสดงว่าปัญหาไม่มีทางแก้ไข ปัญหาดังกล่าวมักพบในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ว่าเป็นกับดักสำหรับนักเรียน

ไม่อนุญาตให้มีการเพิ่มเติมในงานเมื่อสำนวนที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงแตกต่างกัน นี้สามารถอธิบายได้โดย ตัวอย่างที่ชัดเจน:

นักเรียนต้องเผชิญกับภารกิจ: เพิ่มรากที่สองของ 4 และ 9;
นักเรียนที่ไม่มีประสบการณ์ มีความรู้เกี่ยวกับกฎเกณฑ์มักจะเขียนว่า: “รากของ 4 + รากของ 9 = รากของ 13”
มันง่ายมากที่จะพิสูจน์ว่าวิธีแก้ปัญหานี้ไม่ถูกต้อง ในการทำเช่นนี้ คุณต้องค้นหารากที่สองของ 13 และตรวจสอบว่าตัวอย่างได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้องหรือไม่
การใช้เครื่องคิดเลขขนาดเล็กสามารถระบุได้ว่ามีค่าประมาณ 3.6 ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา
รากของ 4=2 และรากของ 9=3;
ผลรวมของตัวเลข "สอง" และ "สาม" เท่ากับห้า ดังนั้นอัลกอริทึมการแก้ปัญหานี้จึงถือว่าไม่ถูกต้อง

ถ้ารากมีระดับเท่ากันแต่ต่างกัน นิพจน์ตัวเลขก็นำออกจากวงเล็บแล้วใส่ลงในวงเล็บ ผลรวมของสองนิพจน์ราก- จึงได้สกัดมาจากจำนวนนี้แล้ว

อัลกอริธึมการบวก

ในการแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดอย่างถูกต้อง คุณต้อง:

กำหนดสิ่งที่ต้องเพิ่มเติมอย่างแน่นอน
ค้นหาว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะเพิ่มมูลค่าซึ่งกันและกันโดยอิงตามกฎที่มีอยู่ในคณิตศาสตร์
ถ้าพับไม่ได้ ก็ต้องแปลงให้พับได้
เมื่อดำเนินการเปลี่ยนแปลงที่จำเป็นทั้งหมดแล้ว คุณจะต้องดำเนินการเพิ่มเติมและจดคำตอบที่เสร็จแล้ว คุณสามารถบวกค่าในหัวหรือใช้เครื่องคิดเลขขนาดเล็กก็ได้ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับความซับซ้อนของตัวอย่าง

มีรากอะไรคล้ายกัน

หากต้องการแก้ตัวอย่างการบวกให้ถูกต้อง คุณต้องคิดก่อนว่าจะทำให้มันง่ายขึ้นได้อย่างไร ในการทำเช่นนี้ คุณต้องมีความรู้พื้นฐานว่าความคล้ายคลึงคืออะไร

ความสามารถในการระบุสิ่งที่คล้ายกันจะช่วยแก้ไขตัวอย่างการบวกที่คล้ายกันได้อย่างรวดเร็ว โดยนำมาอยู่ในรูปแบบที่เรียบง่าย เพื่อให้ตัวอย่างการบวกทั่วไปง่ายขึ้น คุณต้อง:

ค้นหาสิ่งที่คล้ายกันและแยกออกเป็นกลุ่มเดียว (หรือหลายกลุ่ม)
เขียนตัวอย่างที่มีอยู่ใหม่ในลักษณะที่รากที่มีตัวบ่งชี้เดียวกันติดตามกันอย่างชัดเจน (ซึ่งเรียกว่า "การจัดกลุ่ม")
ต่อไป คุณควรเขียนนิพจน์อีกครั้ง คราวนี้ในลักษณะที่คำที่คล้ายกัน (ซึ่งมีตัวบ่งชี้เหมือนกันและมีรูปรากเดียวกัน) ติดตามกันด้วย

หลังจากนี้ ตัวอย่างแบบง่ายมักจะแก้ได้ง่าย

เพื่อที่จะแก้ตัวอย่างการบวกใดๆ ได้อย่างถูกต้อง คุณต้องเข้าใจกฎพื้นฐานของการบวกอย่างชัดเจน รวมถึงรู้ว่ารูทคืออะไรและสามารถเป็นอะไรได้บ้าง

บางครั้งปัญหาดังกล่าวอาจดูยากมากเมื่อมองแวบแรก แต่โดยปกติแล้วจะแก้ไขได้ง่ายโดยการจัดกลุ่มปัญหาที่คล้ายกัน สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการฝึกฝน จากนั้นนักเรียนจะเริ่ม "แก้ไขปัญหาอย่างถั่ว" การบวกรากเป็นส่วนที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของคณิตศาสตร์ ดังนั้นครูจึงควรใช้เวลาศึกษามันให้มากพอ

วีดีโอ

วิดีโอนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจสมการที่มีรากที่สอง

ข้อเท็จจริง 1.
\(\bullet\) เอาล่ะไม่ใช่บ้าง จำนวนลบ\(a\) (นั่นคือ \(a\geqslant 0\) ) จากนั้น (เลขคณิต) รากที่สองจากตัวเลข \(a\) เรียกว่าตัวเลขที่ไม่เป็นลบ \(b\) เมื่อยกกำลังสองเราจะได้ตัวเลข \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(เหมือนกับ )\quad a=b^2\]จากคำจำกัดความก็เป็นไปตามนั้น \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). ข้อจำกัดเหล่านี้คือ เงื่อนไขที่สำคัญการมีอยู่ของรากที่สองและควรจำไว้!
โปรดจำไว้ว่าตัวเลขใดๆ เมื่อยกกำลังสองแล้วจะให้ผลลัพธ์ที่ไม่เป็นลบ นั่นคือ \(100^2=10000\geqslant 0\) และ \((-100)^2=10000\geqslant 0\)
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) เท่ากับเท่าไร? เรารู้ว่า \(5^2=25\) และ \((-5)^2=25\) เนื่องจากตามคำจำกัดความ เราจะต้องค้นหาจำนวนที่ไม่เป็นลบ ดังนั้น \(-5\) จึงไม่เหมาะสม ดังนั้น \(\sqrt(25)=5\) (เนื่องจาก \(25=5^2\) )
การค้นหาค่าของ \(\sqrt a\) เรียกว่าการหารากที่สองของตัวเลข \(a\) และตัวเลข \(a\) เรียกว่านิพจน์ราก
\(\bullet\) ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความ นิพจน์ \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) ฯลฯ ไม่สมเหตุสมผลเลย

ข้อเท็จจริง 2.
หากต้องการคำนวณอย่างรวดเร็ว การเรียนรู้ตารางกำลังสองจะมีประโยชน์ ตัวเลขธรรมชาติจาก \(1\) ถึง \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(อาร์เรย์)\]

ข้อเท็จจริง 3.
การดำเนินการใดที่คุณสามารถดำเนินการกับรากที่สองได้?
\(\กระสุน\) ผลรวมหรือผลต่างของรากที่สองไม่เท่ากับรากที่สองของผลรวมหรือผลต่าง กล่าวคือ \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]ดังนั้น หากคุณต้องการคำนวณ เช่น \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) ในตอนแรกคุณจะต้องค้นหาค่าของ \(\sqrt(25)\) และ \(\ sqrt(49)\ ) แล้วพับมัน เพราะฉะนั้น, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] หากไม่พบค่า \(\sqrt a\) หรือ \(\sqrt b\) เมื่อเพิ่ม \(\sqrt a+\sqrt b\) แสดงว่านิพจน์ดังกล่าวจะไม่ถูกแปลงเพิ่มเติมและคงอยู่เหมือนเดิม ตัวอย่างเช่น ในผลรวม \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) เราสามารถหา \(\sqrt(49)\) คือ \(7\) แต่ \(\sqrt 2\) ไม่สามารถแปลงเป็น ยังไงก็ตาม นั่นคือเหตุผล \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\)- ขออภัย ไม่สามารถทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้นได้อีก\(\bullet\) ผลคูณ/ผลหารของรากที่สองเท่ากับรากที่สองของผลิตภัณฑ์/ผลหาร นั่นคือ \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (โดยมีเงื่อนไขว่าความเสมอภาคทั้งสองฝ่ายสมเหตุสมผล)
ตัวอย่าง: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\)- \(\bullet\) การใช้คุณสมบัติเหล่านี้ ทำให้สะดวกในการค้นหารากที่สองของ จำนวนมากโดยการแยกตัวประกอบพวกมัน
ลองดูตัวอย่าง \(\sqrt(44100)\) มาหากัน ตั้งแต่ \(44100:100=441\) แล้ว \(44100=100\cdot 441\) ตามเกณฑ์การหารลงตัว จำนวน \(441\) หารด้วย \(9\) ลงตัว (เนื่องจากผลรวมของหลักคือ 9 และหารด้วย 9 ลงตัว) ดังนั้น \(441:9=49\) นั่นคือ \(441=9\ cdot 49\)
ดังนั้นเราจึงได้: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]ลองดูตัวอย่างอื่น: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) มาแสดงวิธีการป้อนตัวเลขใต้เครื่องหมายรากที่สองโดยใช้ตัวอย่างของนิพจน์ \(5\sqrt2\) (รูปแบบย่อสำหรับนิพจน์ \(5\cdot \sqrt2\)) เนื่องจาก \(5=\sqrt(25)\) ดังนั้น \ โปรดทราบด้วยว่า ตัวอย่างเช่น
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\)

ทำไมจึงเป็นเช่นนี้? เรามาอธิบายโดยใช้ตัวอย่างที่ 1) ดังที่คุณเข้าใจแล้ว เราไม่สามารถแปลงตัวเลข \(\sqrt2\) ได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง ลองจินตนาการว่า \(\sqrt2\) เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง \(a\) ดังนั้น นิพจน์ \(\sqrt2+3\sqrt2\) ไม่มีอะไรมากไปกว่า \(a+3a\) (ตัวเลขหนึ่งตัว \(a\) บวกกับตัวเลขเดียวกันอีกสามจำนวน \(a\)) และเรารู้ว่านี่เท่ากับตัวเลขสี่ตัว \(a\) นั่นคือ \(4\sqrt2\)

ข้อเท็จจริง 4.
\(\bullet\) พวกเขามักจะพูดว่า “คุณไม่สามารถแยกราก” เมื่อคุณไม่สามารถกำจัดเครื่องหมาย \(\sqrt () \ \) ของราก (ราก) เมื่อค้นหาค่าของตัวเลข . ตัวอย่างเช่น คุณสามารถหารากของตัวเลข \(16\) เพราะ \(16=4^2\) ดังนั้น \(\sqrt(16)=4\) แต่มันเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากของตัวเลข \(3\) กล่าวคือ หา \(\sqrt3\) เพราะไม่มีตัวเลขยกกำลังสองที่จะให้ \(3\)
ตัวเลขดังกล่าว (หรือสำนวนที่มีตัวเลขดังกล่าว) ถือเป็นจำนวนอตรรกยะ เช่น ตัวเลข \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)ฯลฯ ไม่มีเหตุผล
ตัวเลขที่ไม่ลงตัวเช่นกัน \(\pi\) (ตัวเลข “pi” ประมาณเท่ากับ \(3.14\)), \(e\) (ตัวเลขนี้เรียกว่าเลขออยเลอร์ ซึ่งมีค่าประมาณเท่ากับ \(2.7 \)) ฯลฯ
\(\bullet\) โปรดทราบว่าจำนวนใดๆ จะเป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะ และจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะทั้งหมดรวมกันรวมกันเป็นชุดที่เรียกว่า ชุดของจำนวนจริงชุดนี้แสดงด้วยตัวอักษร \(\mathbb(R)\)
ซึ่งหมายความว่าทุกหมายเลขที่อยู่บน ในขณะนี้เรารู้ว่าเรียกว่าจำนวนจริง

ข้อเท็จจริง 5.
\(\bullet\) โมดูลัสของจำนวนจริง \(a\) เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ \(|a|\) เท่ากับระยะห่างจากจุด \(a\) ถึง \(0\) บน เส้นจริง ตัวอย่างเช่น \(|3|\) และ \(|-3|\) เท่ากับ 3 เนื่องจากระยะห่างจากจุด \(3\) และ \(-3\) ถึง \(0\) คือ เท่ากันและเท่ากับ \(3 \)
\(\bullet\) ถ้า \(a\) เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ ดังนั้น \(|a|=a\)
ตัวอย่าง: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\)
\(\bullet\) ถ้า \(a\) เป็นจำนวนลบ ดังนั้น \(|a|=-a\) ตัวอย่าง: \(|-5|=-(-5)=5\) ;.
\(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\)
ว่ากันว่าสำหรับจำนวนลบ โมดูลัสจะ "กิน" ลบ ในขณะที่จำนวนบวกและจำนวน \(0\) จะไม่เปลี่ยนแปลงโดยโมดูลัสกฎนี้ใช้กับตัวเลขเท่านั้น หากภายใต้เครื่องหมายโมดูลัสของคุณ มี \(x\) ที่ไม่รู้จัก (หรือบางอย่างที่ไม่รู้จัก) ตัวอย่างเช่น \(|x|\) ซึ่งเราไม่รู้ว่ามันเป็นค่าบวก ศูนย์ หรือค่าลบ ให้กำจัดออกไป ของโมดูลัสเราทำไม่ได้ ในกรณีนี้ นิพจน์นี้ยังคงเหมือนเดิม: \(|x|\) \(\bullet\) สูตรต่อไปนี้ถือเป็น: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\]\[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( จัดให้ ) a\geqslant 0\] บ่อยครั้งมากที่เกิดข้อผิดพลาดต่อไปนี้ พวกเขาบอกว่า \(\sqrt(a^2)\) และ \((\sqrt a)^2\) เป็นอันหนึ่งอันเดียวกัน สิ่งนี้จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ \(a\) –จำนวนบวก
หรือศูนย์ แต่ถ้า \(a\) เป็นจำนวนลบ นี่จะเป็นเท็จ พิจารณาตัวอย่างนี้ก็พอแล้ว ลองใช้แทน \(a\) จำนวน \(-1\) ดังนั้น \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) แต่นิพจน์ \((\sqrt (-1))^2\) ไม่มีอยู่เลย (หลังจากทั้งหมด ไม่สามารถใช้เครื่องหมายรูทใส่ตัวเลขติดลบได้!)ดังนั้นเราจึงดึงความสนใจของคุณไปที่ความจริงที่ว่า \(\sqrt(a^2)\) ไม่เท่ากับ \((\sqrt a)^2\) ! ตัวอย่าง: 1)\(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\)<0\) ;

, เพราะ \(-\sqrt2 \(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) .
\(\bullet\) เนื่องจาก \(\sqrt(a^2)=|a|\) ดังนั้น \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
(นิพจน์ \(2n\) หมายถึงเลขคู่)
นั่นคือเมื่อแยกรากของตัวเลขที่อยู่ระดับหนึ่ง ระดับนี้จะลดลงครึ่งหนึ่ง
ตัวอย่าง:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)

2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (โปรดทราบว่าหากไม่ได้ระบุโมดูล ปรากฎว่ารากของตัวเลขเท่ากับ \(-25\ ) ; แต่เราจำได้ว่า ตามคำจำกัดความของรูท สิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้: เมื่อแยกรูท เราควรจะได้จำนวนบวกหรือศูนย์เสมอ)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (เนื่องจากจำนวนใดๆ ที่เป็นกำลังคู่จึงไม่เป็นลบ)
ข้อเท็จจริง 6.<\sqrt b\) , то \(a(นิพจน์ \(2n\) หมายถึงเลขคู่)
จะเปรียบเทียบรากที่สองสองตัวได้อย่างไร? \(\bullet\) สำหรับรากที่สอง มันจะเป็นจริง: ถ้า \(\sqrt a 1) เปรียบเทียบ \(\sqrt(50)\) และ \(6\sqrt2\) ขั้นแรก เรามาแปลงนิพจน์ที่สองเป็น<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
\(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\)
- ดังนั้น เนื่องจาก \(50<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
2) \(\sqrt(50)\) ตั้งอยู่ระหว่างจำนวนเต็มใด เนื่องจาก \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) และ \(49 3) ลองเปรียบเทียบ \(\sqrt 2-1\) และ \(0.5\) สมมติว่า \(\sqrt2-1>0.5\) :<0,5\) .
โปรดทราบว่าการบวกจำนวนหนึ่งเข้ากับทั้งสองด้านของอสมการจะไม่ส่งผลต่อเครื่องหมาย การคูณ/หารทั้งสองข้างของอสมการด้วยจำนวนบวกก็ไม่ส่งผลต่อเครื่องหมายของมัน แต่การคูณ/หารด้วยจำนวนลบจะทำให้เครื่องหมายของอสมการกลับด้าน!
คุณสามารถยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ/อสมการได้ก็ต่อเมื่อทั้งสองฝ่ายไม่เป็นลบ ตัวอย่างเช่น ในอสมการจากตัวอย่างที่แล้ว คุณสามารถยกกำลังสองทั้งสองข้างได้ ในอสมการ \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) ควรจำไว้ว่า \[\begin(ชิด) &\sqrt 2\ประมาณ 1.4\\ &\sqrt 3\ประมาณ 1.7 \end(ชิด)\]การรู้ความหมายโดยประมาณของตัวเลขเหล่านี้จะช่วยคุณในการเปรียบเทียบตัวเลขได้!
\(\bullet\) เพื่อที่จะแยกราก (หากสามารถแยกได้) จากจำนวนจำนวนมากที่ไม่อยู่ในตารางกำลังสอง คุณต้องพิจารณาว่ามันอยู่ระหว่าง "ร้อย" ก่อน จากนั้น - ระหว่าง " หลักสิบ” แล้วกำหนดหลักสุดท้ายของจำนวนนี้ มาแสดงวิธีการทำงานด้วยตัวอย่าง
\(\sqrt(28224)\) กันเถอะ เรารู้ว่า \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) ฯลฯ โปรดทราบว่า \(28224\) อยู่ระหว่างและ \(10\,000\) \(40\,000\) ดังนั้น \(\sqrt(28224)\) อยู่ระหว่างและ \(100\) \(200\)
ตอนนี้เรามาดูกันว่าตัวเลขของเราอยู่ระหว่าง "สิบ" ไหน (เช่น ระหว่าง \(120\) ถึง \(130\)) จากตารางสี่เหลี่ยมเรารู้ว่า \(11^2=121\) , \(12^2=144\) ฯลฯ จากนั้น \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . ดังนั้นเราจึงเห็นว่า \(28224\) อยู่ระหว่างและ \(160^2\) \(170^2\) ดังนั้น ตัวเลข \(\sqrt(28224)\) อยู่ระหว่าง \(160\) และ \(170\)
ลองกำหนดหลักสุดท้าย จำไว้ว่าตัวเลขหลักเดียวตัวใดเมื่อยกกำลังสอง ให้ \(4\) ต่อท้าย? เหล่านี้คือ \(2^2\) และ \(8^2\) ดังนั้น \(\sqrt(28224)\) จะลงท้ายด้วย 2 หรือ 8 มาตรวจสอบกัน มาหา \(162^2\) และ \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .

เพื่อที่จะแก้ปัญหาการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ได้อย่างเพียงพอ คุณต้องศึกษาเนื้อหาทางทฤษฎีก่อนซึ่งจะแนะนำให้คุณรู้จักกับทฤษฎีบท สูตร อัลกอริธึม ฯลฯ มากมาย เมื่อมองแวบแรกอาจดูเหมือนว่านี่ค่อนข้างง่าย อย่างไรก็ตามการค้นหาแหล่งที่มาซึ่งมีการนำเสนอทฤษฎีสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ด้วยวิธีที่ง่ายและเข้าใจได้สำหรับนักเรียนที่มีการฝึกอบรมทุกระดับนั้นเป็นงานที่ค่อนข้างยาก หนังสือเรียนของโรงเรียนไม่สามารถเก็บไว้ในมือได้ตลอดเวลา และการค้นหาสูตรพื้นฐานสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อาจเป็นเรื่องยากแม้แต่บนอินเทอร์เน็ต

เหตุใดการเรียนทฤษฎีทางคณิตศาสตร์จึงสำคัญไม่เพียงแต่สำหรับผู้ที่เข้าสอบ Unified State เท่านั้น

เพราะมันขยายขอบเขตอันไกลโพ้นของคุณ- การศึกษาเนื้อหาเชิงทฤษฎีในวิชาคณิตศาสตร์มีประโยชน์สำหรับใครก็ตามที่ต้องการได้รับคำตอบสำหรับคำถามที่หลากหลายที่เกี่ยวข้องกับความรู้เกี่ยวกับโลกรอบตัวพวกเขา ทุกสิ่งในธรรมชาติมีระเบียบและมีตรรกะที่ชัดเจน นี่คือสิ่งที่สะท้อนให้เห็นในวิทยาศาสตร์อย่างชัดเจน ซึ่งทำให้สามารถเข้าใจโลกได้
เพราะมันจะทำให้มีสติปัญญา- โดยการศึกษาเอกสารอ้างอิงสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ตลอดจนการแก้ปัญหาต่าง ๆ บุคคลจะเรียนรู้ที่จะคิดและมีเหตุผลอย่างมีเหตุผลเพื่อกำหนดความคิดอย่างมีประสิทธิภาพและชัดเจน เขาพัฒนาความสามารถในการวิเคราะห์ สรุป และสรุปผล

เราขอเชิญคุณประเมินข้อดีทั้งหมดของแนวทางการจัดระบบและการนำเสนอสื่อการศึกษาเป็นการส่วนตัว