พิจารณาว่าเป็นเศษส่วนแท้หรือเศษส่วนเกินโดยไม่ต้องคำนวณ เศษส่วนที่ไม่เหมาะสม

เศษส่วนทั่วไปแบ่งออกเป็นเศษส่วน \textit (เหมาะสม) และ \textit (ไม่เหมาะสม) การหารนี้ขึ้นอยู่กับการเปรียบเทียบตัวเศษและตัวส่วน

เศษส่วนแท้

เศษส่วนแท้เศษส่วนสามัญ $\frac(m)(n)$ เรียกว่า โดยที่ตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน กล่าวคือ $ม

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างเช่น เศษส่วน $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ ถูกต้อง แล้วตัวเศษในแต่ละอันจะน้อยกว่าตัวส่วนซึ่งตรงตามนิยามได้อย่างไร เศษส่วนที่เหมาะสม.

มีคำจำกัดความของเศษส่วนแท้ซึ่งขึ้นอยู่กับการเปรียบเทียบเศษส่วนกับเศษส่วนหนึ่ง

ถูกต้องหากน้อยกว่าหนึ่ง:

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างเช่น เศษส่วนทั่วไป $\frac(6)(13)$ เป็นค่าที่เหมาะสม เพราะว่า เงื่อนไข $\frac(6)(13) เป็นที่พอใจ

เศษส่วนเกิน

เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมเศษส่วนสามัญ $\frac(m)(n)$ เรียกว่า โดยที่ตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน กล่าวคือ $m\ge n$

ตัวอย่างที่ 3

ตัวอย่างเช่น เศษส่วน $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ นั้นไม่แน่นอน แล้วตัวเศษในแต่ละอันจะมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วนซึ่งตรงตามนิยามของเศษส่วนเกินได้อย่างไร.

ลองให้คำจำกัดความของเศษส่วนเกินซึ่งอิงจากการเปรียบเทียบกับเศษส่วนนั้นกัน.

เศษส่วนร่วม $\frac(m)(n)$ คือ ผิดถ้ามันเท่ากับหรือมากกว่าหนึ่ง:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

ตัวอย่างที่ 4

ตัวอย่างเช่น เศษส่วนทั่วไป $\frac(21)(4)$ ไม่ถูกต้อง เนื่องจาก ตรงตามเงื่อนไข $\frac(21)(4) >1$;

เศษส่วนทั่วไป $\frac(8)(8)$ ไม่ถูกต้อง เนื่องจาก ตรงตามเงื่อนไข $\frac(8)(8)=1$

มาดูแนวคิดเรื่องเศษส่วนเกินกันดีกว่า

ลองใช้เศษส่วนเกิน $\frac(7)(7)$ เป็นตัวอย่าง ความหมายของเศษส่วนนี้คือการแบ่งวัตถุเจ็ดส่วนซึ่งแบ่งออกเป็นเจ็ดส่วนเท่า ๆ กัน ดังนั้น จากเจ็ดส่วนแบ่งที่มีอยู่ จึงสามารถประกอบออบเจ็กต์ทั้งหมดได้ เหล่านั้น. เศษส่วนที่ไม่เหมาะสม $\frac(7)(7)$ อธิบายวัตถุทั้งหมดและ $\frac(7)(7)=1$ ดังนั้น เศษส่วนเกินซึ่งมีตัวเศษเท่ากับตัวส่วน จะอธิบายวัตถุทั้งหมดหนึ่งชิ้น และเศษส่วนดังกล่าวสามารถแทนที่ด้วยจำนวนธรรมชาติ $1$ ได้

$\frac(5)(2)$ -- เห็นได้ชัดว่าจากห้าวินาทีนี้คุณสามารถสร้างวัตถุทั้งหมดได้ $2$ (วัตถุทั้งหมดหนึ่งชิ้นจะประกอบด้วยชิ้นส่วน $2$ และเพื่อประกอบวัตถุทั้งหมดสองชิ้น ต้องการหุ้น $2+2=4$) และเหลือส่วนแบ่งอีกหนึ่งวินาที นั่นคือเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม $\frac(5)(2)$ อธิบาย $2$ ของวัตถุและ $\frac(1)(2)$ ส่วนแบ่งของวัตถุนี้

$\frac(21)(7)$ -- จากส่วนที่ยี่สิบเอ็ดในเจ็ด คุณสามารถสร้างวัตถุทั้งหมดได้ $3$ (วัตถุ $3$ โดยมีส่วนแบ่ง $7$ ในแต่ละส่วน) เหล่านั้น. เศษส่วน $\frac(21)(7)$ อธิบายวัตถุทั้งหมด $3$

จากตัวอย่างที่พิจารณา เราสามารถสรุปได้ดังนี้: เศษส่วนเกินสามารถถูกแทนที่ด้วยจำนวนธรรมชาติได้ ถ้าตัวเศษหารด้วยตัวส่วนลงตัว (เช่น $\frac(7)(7)=1$ และ $\frac (21)(7)=3$) หรือผลรวมของจำนวนธรรมชาติและเศษส่วนแท้ หากตัวเศษหารด้วยตัวส่วนไม่ลงตัว (เช่น $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$) นั่นคือสาเหตุที่เรียกว่าเศษส่วนดังกล่าว ผิด.

คำจำกัดความ 1

กระบวนการแทนเศษส่วนเกินเป็นผลรวมของจำนวนธรรมชาติและเศษส่วนแท้ (เช่น $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) เรียกว่า แยกส่วนทั้งหมดออกจากเศษส่วนเกิน.

เมื่อทำงานกับเศษส่วนเกินจะมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดระหว่างเศษส่วนกับ ตัวเลขผสม.

เศษส่วนเกินมักเขียนเป็นจำนวนคละ - ตัวเลขที่ประกอบด้วยส่วนจำนวนเต็มและส่วนของเศษส่วน

หากต้องการเขียนเศษส่วนเกินเป็นจำนวนคละ คุณต้องหารตัวเศษด้วยตัวส่วนด้วยเศษ ผลหารจะเป็นส่วนจำนวนเต็มของจำนวนคละ เศษที่เหลือจะเป็นตัวเศษของเศษส่วน และตัวหารจะเป็นตัวส่วนของเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 5

เขียนเศษส่วนเกิน $\frac(37)(12)$ เป็นจำนวนคละ

สารละลาย.

หารตัวเศษด้วยตัวส่วนด้วยเศษ:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (ส่วนที่เหลือ\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

คำตอบ.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

ในการเขียนจำนวนคละเป็นเศษส่วนเกิน คุณต้องคูณตัวส่วนด้วยส่วนของตัวเลขทั้งหมด เพิ่มตัวเศษของเศษส่วนเข้ากับผลคูณที่ได้ และเขียนจำนวนผลลัพธ์ลงในตัวเศษของเศษส่วน ตัวส่วนของเศษส่วนเกินจะเท่ากับตัวส่วนของเศษส่วนของจำนวนคละ

ตัวอย่างที่ 6

เขียนจำนวนคละ $5\frac(3)(7)$ เป็นเศษส่วนเกิน

สารละลาย.

คำตอบ.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

การบวกจำนวนคละและเศษส่วนแท้

การบวกเลขคละ$a\frac(b)(c)$ และเศษส่วนแท้$\frac(d)(e)$ ดำเนินการโดยการบวกเศษส่วนของจำนวนคละที่กำหนดเข้ากับเศษส่วนที่กำหนด:

ตัวอย่างที่ 7

เพิ่มเศษส่วนที่เหมาะสม $\frac(4)(15)$ และจำนวนผสม $3\frac(2)(5)$

สารละลาย.

ลองใช้สูตรในการบวกจำนวนคละและเศษส่วนแท้:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ ซ้าย(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

โดยการหารด้วยตัวเลข \textit(5) เราสามารถระบุได้ว่าเศษส่วน $\frac(10)(15)$ สามารถลดได้ ลองทำการลดและค้นหาผลลัพธ์ของการบวก:

ดังนั้น ผลลัพธ์ของการบวกเศษส่วนที่เหมาะสม $\frac(4)(15)$ และจำนวนผสม $3\frac(2)(5)$ คือ $3\frac(2)(3)$

คำตอบ:$3\frac(2)(3)$

การบวกจำนวนคละและเศษส่วนเกิน

การบวกเศษส่วนเกินและจำนวนคละลดการบวกของจำนวนคละสองตัวซึ่งเพียงพอที่จะแยกส่วนทั้งหมดออกจากเศษส่วนเกิน

ตัวอย่างที่ 8

คำนวณผลรวมของจำนวนคละ $6\frac(2)(15)$ และเศษส่วนเกิน $\frac(13)(5)$

สารละลาย.

ขั้นแรก แยกส่วนทั้งหมดออกจากเศษส่วนเกิน $\frac(13)(5)$:

คำตอบ:$8\frac(11)(15)$.

คำว่า “เศษส่วน” ทำให้หลายคนขนลุก เพราะฉันจำโรงเรียนและงานที่ได้รับการแก้ไขในวิชาคณิตศาสตร์ได้ นี่เป็นหน้าที่ที่จะต้องปฏิบัติตาม จะเป็นอย่างไรหากคุณปฏิบัติต่อปัญหาที่เกี่ยวข้องกับเศษส่วนแท้และเศษส่วนเกินเหมือนปริศนาล่ะ? ท้ายที่สุดแล้ว ผู้ใหญ่หลายคนตัดสินใจเลือกสื่อดิจิทัลและ ปริศนาอักษรไขว้ของญี่ปุ่น- เราคิดกฎออกแล้วก็แค่นั้นแหละ มันก็เหมือนกันที่นี่ เราต้องเจาะลึกทฤษฎีเท่านั้น - และทุกอย่างจะเข้าที่ และตัวอย่างจะกลายเป็นวิธีฝึกสมองของคุณ

เศษส่วนมีกี่ประเภท?

เรามาเริ่มกันว่ามันคืออะไร เศษส่วนคือตัวเลขที่มีส่วนหนึ่งของหนึ่ง สามารถเขียนได้สองรูปแบบ อันแรกเรียกว่าธรรมดา นั่นคืออันที่มีเส้นแนวนอนหรือแนวเฉียง เทียบเท่ากับเครื่องหมายแบ่ง

ในสัญลักษณ์นี้ ตัวเลขที่อยู่เหนือเส้นเรียกว่าตัวเศษ และตัวเลขที่อยู่ด้านล่างเรียกว่าตัวส่วน

ในบรรดาเศษส่วนสามัญจะแยกแยะเศษส่วนแท้และเศษส่วนไม่เหมาะสมได้ สำหรับแบบแรก ค่าสัมบูรณ์ของตัวเศษจะน้อยกว่าตัวส่วนเสมอ คนผิดถูกเรียกอย่างนั้นเพราะพวกเขามีทุกสิ่งทุกอย่างตรงกันข้าม ค่าของเศษส่วนแท้จะน้อยกว่าหนึ่งเสมอ ในขณะที่ค่าที่ไม่ถูกต้องจะมากกว่าตัวเลขนี้เสมอ

นอกจากนี้ยังมีตัวเลขผสมกันนั่นคือจำนวนที่มีจำนวนเต็มและเศษส่วน

สัญกรณ์ประเภทที่สองคือเศษส่วนทศนิยม มีการสนทนาแยกต่างหากเกี่ยวกับเธอ

เศษส่วนเกินแตกต่างจากจำนวนคละอย่างไร

โดยพื้นฐานแล้วไม่มีอะไรเลย นี่เป็นเพียงการบันทึกที่แตกต่างกันในหมายเลขเดียวกัน เศษส่วนเกินจะกลายเป็นตัวเลขคละได้ง่ายหลังจากขั้นตอนง่ายๆ และในทางกลับกัน.

ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสถานการณ์เฉพาะ บางครั้งการใช้เศษส่วนเกินในงานจะสะดวกกว่า และบางครั้งจำเป็นต้องแปลงเป็นจำนวนคละแล้วตัวอย่างก็จะแก้ได้ง่ายมาก ดังนั้นจะใช้อะไร: เศษส่วนเกิน เลขคละ ขึ้นอยู่กับทักษะการสังเกตของผู้แก้โจทย์

จำนวนคละจะถูกเปรียบเทียบกับผลรวมของส่วนทั้งหมดและส่วนที่เป็นเศษส่วนด้วย ยิ่งกว่านั้น อันที่สองจะน้อยกว่าหนึ่งเสมอ

จะแสดงจำนวนคละเป็นเศษส่วนเกินได้อย่างไร?

หากคุณต้องการดำเนินการใดๆ ด้วยตัวเลขหลายตัวที่เขียนไว้ ประเภทต่างๆจากนั้นคุณจะต้องทำให้มันเหมือนกัน วิธีหนึ่งคือการแสดงตัวเลขเป็นเศษส่วนเกิน

เพื่อจุดประสงค์นี้ คุณจะต้องดำเนินการตามอัลกอริทึมต่อไปนี้:

คูณตัวส่วนด้วยส่วนทั้งหมด
เพิ่มค่าของตัวเศษให้กับผลลัพธ์
เขียนคำตอบไว้เหนือบรรทัด
ปล่อยให้ตัวส่วนเหมือนเดิม

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างการเขียนเศษส่วนเกินจากจำนวนคละ:

17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2

จะเขียนเศษส่วนเกินให้เป็นจำนวนคละได้อย่างไร?

เทคนิคถัดไปเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับที่กล่าวไว้ข้างต้น นั่นคือเมื่อแทนที่จำนวนคละทั้งหมดด้วยเศษส่วนเกิน อัลกอริธึมของการกระทำจะเป็นดังนี้:

หารตัวเศษด้วยตัวส่วนเพื่อให้ได้เศษที่เหลือ
เขียนผลหารแทนส่วนที่ผสมทั้งหมด
ส่วนที่เหลือควรอยู่เหนือเส้น
ตัวหารจะเป็นตัวส่วน

ตัวอย่างของการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว:

76/14; 76:14 = 5 พร้อมเศษ 6; คำตอบคือ 5 ทั้งหมดและ 6/14; เศษส่วนในตัวอย่างนี้ต้องลดลง 2 ทำให้ได้ 3/7 คำตอบสุดท้ายคือ 5 จุด 3/7

108/54; หลังจากการหาร จะได้ผลหารของ 2 โดยไม่มีเศษเหลือ ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมทั้งหมดไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนคละได้ คำตอบจะเป็นจำนวนเต็ม - 2

จะเปลี่ยนจำนวนเต็มให้เป็นเศษส่วนเกินได้อย่างไร?

มีบางสถานการณ์ที่จำเป็นต้องดำเนินการดังกล่าว หากต้องการรับเศษส่วนเกินด้วยตัวส่วนที่ทราบ คุณจะต้องดำเนินการตามอัลกอริทึมต่อไปนี้:

คูณจำนวนเต็มด้วยตัวส่วนที่ต้องการ
เขียนค่านี้ไว้เหนือบรรทัด
วางตัวส่วนไว้ด้านล่าง

ตัวเลือกที่ง่ายที่สุดคือเมื่อตัวส่วนเท่ากับหนึ่ง จากนั้นคุณไม่จำเป็นต้องคูณอะไรเลย เพียงเขียนจำนวนเต็มที่ระบุในตัวอย่างและวางไว้ใต้บรรทัดก็เพียงพอแล้ว

ตัวอย่าง: ทำให้ 5 เป็นเศษส่วนเกินโดยมีส่วนเป็น 3 การคูณ 5 ด้วย 3 จะได้ 15 จำนวนนี้จะเป็นตัวส่วน คำตอบของงานคือเศษส่วน: 15/3

สองแนวทางในการแก้ปัญหาด้วยตัวเลขต่างกัน

ตัวอย่างนี้จำเป็นต้องคำนวณผลรวมและผลต่าง รวมถึงผลคูณและผลหารของตัวเลขสองตัว: จำนวนเต็ม 2 ตัว 3/5 และ 14/11

ในแนวทางแรกจำนวนคละจะแสดงเป็นเศษส่วนเกิน

หลังจากทำตามขั้นตอนที่อธิบายไว้ข้างต้นแล้ว คุณจะได้รับค่าต่อไปนี้: 13/5

หากต้องการหาผลรวม คุณต้องลดเศษส่วนลง ตัวส่วนเดียวกัน- 13/5 หลังจากคูณด้วย 11 จะกลายเป็น 143/55 และ 14/11 หลังจากคูณด้วย 5 จะมีลักษณะดังนี้: 70/55 ในการคำนวณผลรวม คุณเพียงต้องบวกตัวเศษ: 143 และ 70 แล้วเขียนคำตอบด้วยตัวส่วนเพียงตัวเดียว 213/55 - เศษส่วนเกินนี้คือคำตอบของปัญหา

เมื่อค้นหาความแตกต่าง ตัวเลขเดียวกันจะถูกลบ: 143 - 70 = 73 คำตอบจะเป็นเศษส่วน: 73/55

เมื่อคูณ 13/5 และ 14/11 คุณไม่จำเป็นต้องลดให้เป็นตัวส่วนร่วม การคูณตัวเศษและส่วนเป็นคู่ก็เพียงพอแล้ว คำตอบจะเป็น: 182/55.

เช่นเดียวกับการแบ่ง สำหรับ การตัดสินใจที่ถูกต้องคุณต้องแทนที่การหารด้วยการคูณและกลับตัวหาร: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70

ในแนวทางที่สองเศษส่วนเกินจะกลายเป็นจำนวนคละ

หลังจากดำเนินการตามอัลกอริทึมแล้ว 14/11 จะกลายเป็นจำนวนคละโดยมีส่วนจำนวนเต็ม 1 และเศษส่วนของ 3/11

เมื่อคำนวณผลรวม คุณต้องบวกส่วนทั้งหมดและเศษส่วนแยกกัน 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55 คำตอบสุดท้ายคือ 3 จุด 48/55 วิธีแรกเศษส่วนคือ 213/55 คุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องได้โดยการแปลงเป็นจำนวนคละ หลังจากหาร 213 ด้วย 55 แล้ว ผลหารคือ 3 และเศษคือ 48 จะเห็นได้ง่ายว่าคำตอบนั้นถูกต้อง

เมื่อลบเครื่องหมาย "+" จะถูกแทนที่ด้วย "-" 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55 หากต้องการตรวจสอบ คำตอบจากวิธีก่อนหน้านี้จะต้องแปลงเป็นจำนวนคละ โดย 73 หารด้วย 55 และผลหารคือ 1 และเศษเหลือคือ 18

หากต้องการหาผลคูณและความฉลาดทางการใช้ตัวเลขคละไม่สะดวก ขอแนะนำให้ย้ายไปยังเศษส่วนเกินที่นี่เสมอ

เศษส่วนแท้

ควอเตอร์

ความเป็นระเบียบเรียบร้อย กและ ขมีกฎที่อนุญาตให้คุณระบุหนึ่งในสามความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขาโดยไม่ซ้ำกัน: “< », « >" หรือ " = " กฎนี้เรียกว่า กฎการสั่งซื้อและมีสูตรดังนี้ จำนวนที่ไม่เป็นลบจำนวนสองตัว และมีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์เดียวกันกับจำนวนเต็มสองตัว และ ; ตัวเลขที่ไม่เป็นบวกสองตัว กและ ขมีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์เดียวกันกับจำนวนที่ไม่เป็นลบสองตัว และ ; ถ้าจู่ๆ กไม่เป็นลบ แต่ ข- ลบแล้ว ก > ข-
src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" เส้นขอบ = "0">
การบวกเศษส่วนการดำเนินการเพิ่มเติม กและ ขมีสิ่งที่เรียกว่า กฎการรวม ค- ขณะเดียวกันก็มีตัวเลขนั้นเอง คเรียกว่า จำนวนตัวเลข กและ ขและเขียนแทนด้วย และเรียกกระบวนการค้นหาตัวเลขดังกล่าว ผลรวม- กฎการรวมมีรูปแบบดังต่อไปนี้: .
การดำเนินการคูณการดำเนินการเพิ่มเติม กและ ขมีสิ่งที่เรียกว่า กฎการคูณซึ่งกำหนดจำนวนตรรกยะจำนวนหนึ่งให้กับพวกเขา ค- ขณะเดียวกันก็มีตัวเลขนั้นเอง คเรียกว่า งานตัวเลข กและ ขและเขียนแทนด้วย และกระบวนการค้นหาตัวเลขดังกล่าวก็เรียกอีกอย่างว่า การคูณ- กฎการคูณมีลักษณะดังนี้: .
การผ่านของความสัมพันธ์ลำดับสำหรับจำนวนตรรกยะสามเท่าใดๆ ก , ขและ คถ้า กน้อย ขและ ขน้อย ค, ที่ กน้อย ค, และถ้า กเท่ากับ ขและ ขเท่ากับ ค, ที่ กเท่ากับ ค-
6435">การสับเปลี่ยนของการบวก การเปลี่ยนตำแหน่งของเทอมตรรกยะจะไม่ทำให้ผลรวมเปลี่ยนแปลงความเชื่อมโยงของการบวก
ลำดับการเพิ่มจำนวนตรรกยะสามจำนวนจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์การมีอยู่ของศูนย์
มีเลขตรรกยะ 0 ที่จะคงจำนวนตรรกยะอื่นๆ ทุกตัวเมื่อบวกเข้าด้วยกันการมีอยู่ของจำนวนตรงข้ามกัน
จำนวนตรรกยะใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะตรงกันข้าม ซึ่งเมื่อบวกกันจะได้ 0การสับเปลี่ยนของการคูณ
การเปลี่ยนตำแหน่งของปัจจัยเชิงตรรกศาสตร์ไม่ทำให้ผลิตภัณฑ์เปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์ของการคูณ
ลำดับการคูณจำนวนตรรกยะสามจำนวนจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ความพร้อมของหน่วย
มีเลขตรรกยะ 1 ที่จะคงจำนวนตรรกยะอื่นๆ ทุกตัวไว้เมื่อคูณการปรากฏตัวของตัวเลขซึ่งกันและกัน
จำนวนตรรกยะใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะผกผัน ซึ่งเมื่อคูณด้วยจะได้ 1การกระจายตัวของการคูณสัมพันธ์กับการบวก
การดำเนินการคูณจะประสานกับการดำเนินการบวกผ่านกฎการกระจาย:การเชื่อมต่อความสัมพันธ์ของคำสั่งกับการดำเนินการของการบวก
คุณสามารถเพิ่มจำนวนตรรกยะเดียวกันทางด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการเชิงตรรกยะได้ /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">สัจพจน์ของอาร์คิมีดีส กไม่ว่าจะเป็นจำนวนตรรกยะก็ตาม กคุณสามารถรับหน่วยได้มากจนผลรวมเกิน

-

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" เส้นขอบ = "0">

คุณสมบัติเพิ่มเติม

คุณสมบัติอื่นๆ ทั้งหมดที่มีอยู่ในจำนวนตรรกยะจะไม่จำแนกว่าเป็นคุณสมบัติพื้นฐาน เพราะโดยทั่วไปแล้ว คุณสมบัติเหล่านี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของจำนวนเต็มโดยตรงอีกต่อไป แต่สามารถพิสูจน์ได้จากคุณสมบัติพื้นฐานที่กำหนดหรือโดยตรงจากคำจำกัดความของวัตถุทางคณิตศาสตร์บางตัว . มีคุณสมบัติเพิ่มเติมดังกล่าวมากมาย สมควรที่จะแสดงรายการเพียงไม่กี่รายการที่นี่

การนับจำนวนตรรกยะ

ในการประมาณจำนวนจำนวนตรรกยะ คุณต้องค้นหาภาวะเชิงการนับของเซตเหล่านั้น เป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ว่าเซตของจำนวนตรรกยะสามารถนับได้ ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะให้อัลกอริธึมที่แจกแจงจำนวนตรรกยะ เช่น สร้างเส้นเบี่ยงระหว่างชุดของจำนวนตรรกยะและจำนวนธรรมชาติ

อัลกอริธึมที่ง่ายที่สุดมีลักษณะเช่นนี้ ตารางที่ไม่มีที่สิ้นสุดถูกสร้างขึ้น เศษส่วนสามัญ, ในแต่ละ ฉัน-บรรทัดที่ในแต่ละ เจคอลัมน์ที่ 3 ซึ่งมีเศษส่วนอยู่ เพื่อความชัดเจน จะถือว่าแถวและคอลัมน์ของตารางนี้มีหมายเลขกำกับโดยเริ่มจากหนึ่ง เซลล์ตารางแสดงโดย , โดยที่ ฉัน- จำนวนแถวของตารางที่มีเซลล์อยู่และ เจ- หมายเลขคอลัมน์

ตารางผลลัพธ์จะถูกสำรวจโดยใช้ "งู" ตามอัลกอริทึมที่เป็นทางการต่อไปนี้

กฎเหล่านี้จะถูกค้นหาจากบนลงล่าง และเลือกตำแหน่งถัดไปตามนัดแรก

ในกระบวนการสำรวจเส้นทางดังกล่าว จำนวนตรรกยะใหม่แต่ละตัวจะเชื่อมโยงกับอีกจำนวนหนึ่ง จำนวนธรรมชาติ- นั่นคือเศษส่วน 1/1 ถูกกำหนดให้กับหมายเลข 1 เศษส่วน 2/1 ให้กับหมายเลข 2 เป็นต้น ควรสังเกตว่ามีเพียงเศษส่วนที่ลดไม่ได้เท่านั้นที่ถูกกำหนดหมายเลข สัญญาณอย่างเป็นทางการของการลดไม่ได้คือตัวหารร่วมมากของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนจะเท่ากับหนึ่ง

ตามอัลกอริทึมนี้ เราสามารถระบุจำนวนตรรกยะบวกทั้งหมดได้ ซึ่งหมายความว่าเซตของจำนวนตรรกยะบวกสามารถนับได้ เป็นเรื่องง่ายที่จะสร้างเส้นโครงระหว่างชุดของจำนวนตรรกยะบวกและลบ โดยเพียงกำหนดจำนวนตรรกยะที่ตรงข้ามกันให้กับจำนวนตรรกยะแต่ละตัว ที่. เซตของจำนวนตรรกยะลบก็สามารถนับได้เช่นกัน สหภาพของพวกมันยังนับได้ด้วยคุณสมบัติของเซตที่นับได้ เซตของจำนวนตรรกยะยังนับได้ว่าเป็นการรวมกันของเซตที่นับได้กับเซตที่มีจำกัดอีกด้วย

ข้อความเกี่ยวกับความสามารถในการนับของชุดจำนวนตรรกยะอาจทำให้เกิดความสับสน เนื่องจากเมื่อดูเผินๆ ดูเหมือนว่าจะครอบคลุมมากกว่าชุดของจำนวนธรรมชาติมาก อันที่จริง มันไม่เป็นเช่นนั้น และมีจำนวนธรรมชาติเพียงพอที่จะระบุจำนวนตรรกยะทั้งหมดได้

ขาดจำนวนตรรกยะ

ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมดังกล่าวไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนตรรกยะใดๆ ได้

จำนวนตรรกยะของรูปแบบ 1 / nที่มีขนาดใหญ่ nสามารถวัดปริมาณเล็กน้อยได้ตามอำเภอใจ ข้อเท็จจริงนี้สร้างความรู้สึกที่ทำให้เข้าใจผิดว่าสามารถใช้จำนวนตรรกยะในการวัดระยะทางทางเรขาคณิตได้ มันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้ไม่เป็นความจริง

จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เรารู้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากแสดงเป็นรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของขาของมัน ที่. ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของหน้าจั่ว สามเหลี่ยมมุมฉากโดยมีหน่วยขาเท่ากับจำนวนที่มีกำลังสองเท่ากับ 2

ถ้าเราถือว่าจำนวนหนึ่งสามารถแสดงด้วยจำนวนตรรกยะจำนวนหนึ่งได้ ก็จะมีจำนวนเต็มดังกล่าว มและจำนวนธรรมชาติเช่นนั้น n, นั่น และเศษส่วนลดไม่ได้ เช่น ตัวเลข มและ n- เรียบง่ายซึ่งกันและกัน

ถ้าอย่างนั้น , เช่น. ม 2 = 2n 2. ดังนั้นจำนวน ม 2 เป็นเลขคู่ แต่เป็นผลคูณของสอง เลขคี่คี่ซึ่งหมายถึงตัวเลขนั่นเอง มเช่นกัน มันจึงเป็นจำนวนธรรมชาติ เคเช่นนั้นจำนวนนั้น มสามารถแสดงเป็นแบบฟอร์มได้ ม = 2เค- สี่เหลี่ยมจำนวน มในแง่นี้ ม 2 = 4เค 2 แต่ในทางกลับกัน ม 2 = 2n 2 หมายถึง 4 เค 2 = 2n 2 หรือ n 2 = 2เค 2. ดังที่แสดงไว้ก่อนหน้านี้สำหรับหมายเลข มซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้น n- แม้ในขณะที่ ม- แต่พวกมันก็ไม่ใช่จำนวนเฉพาะเนื่องจากทั้งสองถูกแบ่งออกเป็นสองส่วน ผลความขัดแย้งพิสูจน์ได้ว่ามันไม่ใช่จำนวนตรรกยะ

ในขณะที่ศึกษาราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ทั้งหมด - คณิตศาสตร์ เมื่อถึงจุดหนึ่งทุกคนก็เจอเศษส่วน แม้ว่าแนวคิดนี้ (เช่น ประเภทของเศษส่วนเองหรือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์) จะไม่ซับซ้อนเลย แต่ก็ต้องได้รับการปฏิบัติอย่างระมัดระวัง เพราะใน ชีวิตจริงมันจะมีประโยชน์มากนอกโรงเรียน ดังนั้น เรามาทบทวนความรู้ของเราเกี่ยวกับเศษส่วนกัน: เศษส่วนคืออะไร มีไว้เพื่ออะไร เศษส่วนมีประเภทใด และจะดำเนินการคำนวณทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ได้อย่างไร

เศษส่วนของพระองค์: มันคืออะไร

ในทางคณิตศาสตร์ เศษส่วนคือตัวเลข ซึ่งแต่ละส่วนประกอบด้วยส่วนหนึ่งของหน่วยตั้งแต่หนึ่งส่วนขึ้นไป เศษส่วนดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่าสามัญหรือเรียบง่าย ตามกฎแล้วพวกเขาจะเขียนในรูปแบบของตัวเลขสองตัวที่คั่นด้วยเส้นแนวนอนหรือเส้นทับเรียกว่าเส้น "เศษส่วน" ตัวอย่างเช่น: ½, ¾

ตัวบนหรือตัวแรกของตัวเลขเหล่านี้คือตัวเศษ (แสดงจำนวนส่วนที่นำมาจากตัวเลข) และตัวล่างหรือตัวที่สองคือตัวส่วน (แสดงให้เห็นว่าหน่วยแบ่งออกเป็นกี่ส่วน)

แถบเศษส่วนทำหน้าที่เป็นเครื่องหมายหารจริงๆ ตัวอย่างเช่น 7:9=7/9

ตามเนื้อผ้า เศษส่วนร่วมจะน้อยกว่าหนึ่ง ในขณะที่ทศนิยมอาจมีขนาดใหญ่กว่านั้น

เศษส่วนมีไว้เพื่ออะไร? ใช่ สำหรับทุกสิ่ง เพราะในโลกแห่งความเป็นจริง ไม่ใช่ว่าตัวเลขทั้งหมดจะเป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น เด็กนักเรียนหญิงสองคนในโรงอาหารซื้อช็อกโกแลตแท่งแสนอร่อยด้วยกัน เมื่อพวกเขากำลังจะแบ่งปันของหวาน พวกเขาก็ได้พบกับเพื่อนคนหนึ่งและตัดสินใจที่จะเลี้ยงเธอด้วย อย่างไรก็ตามตอนนี้จำเป็นต้องแบ่งแท่งช็อกโกแลตให้ถูกต้องโดยพิจารณาว่าประกอบด้วย 12 สี่เหลี่ยม

ในตอนแรกสาวๆ ต้องการแบ่งทุกอย่างเท่าๆ กัน จากนั้นแต่ละคนก็จะได้สี่ชิ้น แต่หลังจากคิดทบทวนแล้ว พวกเขาก็ตัดสินใจปฏิบัติต่อเพื่อน ไม่ใช่ 1/3 แต่เป็น 1/4 ของช็อกโกแลต และเนื่องจากเด็กนักเรียนหญิงเรียนเศษส่วนได้ไม่ดีนัก พวกเขาจึงไม่ได้คำนึงว่าในสถานการณ์เช่นนี้พวกเขาจะมีเศษส่วน 9 ชิ้น ซึ่งยากมากที่จะแบ่งออกเป็นสองส่วน ตัวอย่างที่ค่อนข้างง่ายนี้แสดงให้เห็นว่าการค้นหาส่วนหนึ่งของตัวเลขอย่างถูกต้องนั้นมีความสำคัญเพียงใด แต่ในชีวิตยังมีกรณีเช่นนี้อีกมากมาย

ประเภทของเศษส่วน: สามัญและทศนิยม

เศษส่วนทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดแบ่งออกเป็นสองประเภทใหญ่: สามัญและทศนิยม คุณลักษณะของคุณสมบัติแรกได้อธิบายไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า ดังนั้นตอนนี้จึงควรให้ความสนใจกับคุณสมบัติที่สอง

ทศนิยมคือสัญลักษณ์แสดงตำแหน่งของเศษส่วนของตัวเลข ซึ่งเขียนเป็นลายลักษณ์อักษรโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค โดยไม่มีเครื่องหมายขีดกลางหรือเครื่องหมายทับ ตัวอย่างเช่น: 0.75, 0.5

ที่จริงแล้ว เศษส่วนทศนิยมนั้นเหมือนกับเศษส่วนธรรมดา อย่างไรก็ตาม ตัวส่วนของมันจะเป็นหนึ่งตามด้วยศูนย์เสมอ - จึงเป็นที่มาของชื่อของมัน

จำนวนที่อยู่ข้างหน้าเครื่องหมายจุลภาคเป็นส่วนจำนวนเต็ม และทุกอย่างที่อยู่หลังเครื่องหมายจุลภาคจะเป็นเศษส่วน ฉันรักมัน เศษส่วนอย่างง่ายสามารถแปลงเป็นทศนิยมได้ ดังนั้น เศษส่วนทศนิยมที่ระบุในตัวอย่างก่อนหน้านี้สามารถเขียนได้ตามปกติ: ¾ และ ½

เป็นที่น่าสังเกตว่าทั้งเศษส่วนทศนิยมและเศษส่วนธรรมดาสามารถเป็นได้ทั้งบวกหรือลบ หากมีเครื่องหมาย "-" นำหน้า เศษส่วนนี้จะเป็นลบ ถ้า "+" เป็นเศษส่วนบวก

ชนิดย่อยของเศษส่วนสามัญ

มีเศษส่วนอย่างง่ายประเภทนี้

ชนิดย่อยของเศษส่วนทศนิยม

เศษส่วนทศนิยมนั้นแตกต่างจากเศษส่วนธรรมดาตรงที่แบ่งออกเป็น 2 ประเภทเท่านั้น

สุดท้าย - ได้รับชื่อนี้เนื่องจากหลังจุดทศนิยมมีจำนวนหลักที่จำกัด (จำกัด): 19.25
เศษส่วนอนันต์คือตัวเลขที่มีจำนวนหลักไม่สิ้นสุดหลังจุดทศนิยม เช่น เมื่อหาร 10 ด้วย 3 ผลลัพธ์จะเป็นเศษส่วนอนันต์ 3.333...

การบวกเศษส่วน

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ด้วยเศษส่วนนั้นยากกว่าตัวเลขธรรมดาเล็กน้อย อย่างไรก็ตามหากคุณเข้าใจกฎพื้นฐานการแก้ไขตัวอย่างด้วยกฎเหล่านั้นก็ไม่ใช่เรื่องยาก

ตัวอย่างเช่น: 2/3+3/4 ตัวคูณร่วมน้อยสำหรับพวกเขาคือ 12 ดังนั้นจึงจำเป็นที่จำนวนนี้จะต้องอยู่ในตัวส่วนแต่ละตัว ในการทำเช่นนี้เราคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนแรกด้วย 4 ปรากฎว่า 8/12 เราทำเช่นเดียวกันกับเทอมที่สอง แต่คูณด้วย 3 - 9/12 เท่านั้น ตอนนี้คุณสามารถแก้ตัวอย่างได้อย่างง่ายดาย: 8/12+9/12= 17/12 เศษส่วนที่ได้จึงเป็นหน่วยที่ไม่ถูกต้องเนื่องจากตัวเศษมากกว่าตัวส่วน สามารถและควรแปลงเป็นค่าผสมที่ถูกต้องโดยหาร 17:12 = 1 และ 5/12

เมื่อบวกเศษส่วนแบบผสม การดำเนินการจะดำเนินการด้วยจำนวนเต็มก่อน แล้วตามด้วยเศษส่วน

หากตัวอย่างมีเศษส่วนทศนิยมและเศษส่วนปกติ จำเป็นต้องทำให้ทั้งสองอย่างง่าย จากนั้นนำมาหารด้วยตัวส่วนเดียวกันแล้วบวกเข้าด้วยกัน เช่น 3.1+1/2 เลข 3.1 เขียนได้เป็น เศษส่วนผสม 3 และ 1/10 หรือไม่ถูกต้อง - 31/10 ตัวส่วนร่วมของเทอมนี้คือ 10 ดังนั้นคุณต้องคูณทั้งเศษและส่วน 1/2 ด้วย 5 สลับกัน จะได้ 5/10 จากนั้นคุณสามารถคำนวณทุกอย่างได้อย่างง่ายดาย: 31/10+5/10=35/10 ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนที่ลดลงอย่างไม่เหมาะสม เรานำมาให้อยู่ในรูปปกติโดยลดลง 5: 7/2 = 3 และ 1/2 หรือทศนิยม - 3.5

เมื่อบวกเศษส่วนทศนิยม 2 หลัก สิ่งสำคัญคือต้องมีจำนวนหลักเท่ากันหลังจุดทศนิยม หากไม่เป็นเช่นนั้น คุณเพียงแค่ต้องเพิ่มจำนวนศูนย์ที่ต้องการ เนื่องจากเข้า ทศนิยมซึ่งสามารถทำได้โดยไม่ลำบาก เช่น 3.5+3.005 ในการแก้ปัญหานี้ คุณจะต้องเพิ่มศูนย์ 2 ตัวให้กับตัวเลขแรก แล้วบวกทีละตัว: 3.500+3.005=3.505

การลบเศษส่วน

เมื่อลบเศษส่วน คุณควรทำเช่นเดียวกับการบวก: ลดตัวส่วนร่วม ลบตัวเศษหนึ่งตัวจากอีกตัวหนึ่ง และหากจำเป็น ให้แปลงผลลัพธ์เป็นเศษส่วนคละ

ตัวอย่างเช่น: 16/20-5/10 ตัวส่วนร่วมจะเป็น 20 คุณต้องนำเศษส่วนที่สองมาหารด้วย 2 ทั้งสองส่วน จะได้ 10/20 ตอนนี้คุณสามารถแก้ตัวอย่างได้: 16/20-10/20= 6/20 อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์นี้ใช้กับเศษส่วนที่ลดได้ ดังนั้นจึงคุ้มค่าที่จะหารทั้งสองข้างด้วย 2 และผลลัพธ์ที่ได้คือ 3/10

การคูณเศษส่วน

การหารและคูณเศษส่วน - อื่นๆ อีกมากมาย ขั้นตอนง่ายๆมากกว่าการบวกและการลบ ความจริงก็คือเมื่อทำงานเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องมองหาตัวส่วนร่วม

ในการคูณเศษส่วน คุณเพียงแค่ต้องคูณตัวเศษทั้งสองตัวทีละตัว แล้วคูณตัวส่วนทั้งสอง ลดผลลัพธ์ที่ได้หากเศษส่วนเป็นปริมาณที่ลดลงได้

ตัวอย่างเช่น: 4/9x5/8 หลังจากการคูณแบบอื่น ผลลัพธ์คือ 4x5/9x8=20/72 เศษส่วนนี้สามารถลดลงได้ 4 ดังนั้นคำตอบสุดท้ายในตัวอย่างคือ 5/18

วิธีการหารเศษส่วน

การหารเศษส่วนก็เป็นเรื่องง่ายเช่นกัน จริงๆ แล้วการหารเศษส่วนก็ยังต้องอาศัยการคูณด้วย หากต้องการหารเศษส่วนหนึ่งด้วยอีกเศษส่วนหนึ่ง คุณต้องกลับด้านส่วนที่สองแล้วคูณด้วยส่วนแรก

เช่น การหารเศษส่วน 5/19 และ 5/7 เพื่อแก้ตัวอย่าง คุณต้องสลับตัวส่วนและเศษของเศษส่วนที่สองแล้วคูณ: 5/19x7/5=35/95 ผลลัพธ์สามารถลดลงได้ 5 - ปรากฎว่า 7/19

หากคุณต้องการหารเศษส่วนด้วยจำนวนเฉพาะ เทคนิคจะแตกต่างออกไปเล็กน้อย ขั้นแรกคุณควรเขียนจำนวนนี้เป็นเศษส่วนเกินแล้วหารตามรูปแบบเดียวกัน ตัวอย่างเช่น 2/13:5 ควรเขียนเป็น 2/13: 5/1 ตอนนี้คุณต้องพลิกกลับ 5/1 และคูณเศษส่วนที่ได้: 2/13x1/5= 2/65

บางครั้งคุณต้องหารเศษส่วนคละ คุณต้องปฏิบัติต่อพวกมันเหมือนกับที่คุณทำกับจำนวนเต็ม เปลี่ยนพวกมันให้เป็นเศษส่วนเกิน กลับตัวหารแล้วคูณทุกอย่าง เช่น 8 ½: 3 แปลงทุกอย่างให้เป็นเศษส่วนเกิน: 17/2: 3/1 ตามด้วยการพลิก 3/1 และการคูณ: 17/2x1/3= 17/6 ตอนนี้คุณต้องแปลงเศษส่วนเกินให้เป็นเศษส่วนที่ถูกต้อง - 2 ทั้งหมดและ 5/6

ดังนั้นเมื่อรู้ว่าเศษส่วนคืออะไรและคุณสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่างๆ กับเศษส่วนเหล่านี้ได้อย่างไร คุณต้องพยายามอย่าลืมมัน ท้ายที่สุดแล้ว ผู้คนมักจะแบ่งบางสิ่งออกเป็นส่วนๆ มากกว่าที่จะบวก ดังนั้นคุณจึงต้องทำอย่างถูกต้อง

เศษส่วนที่ไม่เหมาะสม

ควอเตอร์

ความเป็นระเบียบเรียบร้อย กและ ขมีกฎที่อนุญาตให้คุณระบุหนึ่งในสามความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขาโดยไม่ซ้ำกัน: “< », « >" หรือ " = " กฎนี้เรียกว่า กฎการสั่งซื้อและมีสูตรดังนี้ จำนวนที่ไม่เป็นลบจำนวนสองตัว และมีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์เดียวกันกับจำนวนเต็มสองตัว และ ; ตัวเลขที่ไม่เป็นบวกสองตัว กและ ขมีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์เดียวกันกับจำนวนที่ไม่เป็นลบสองตัว และ ; ถ้าจู่ๆ กไม่เป็นลบ แต่ ข- ลบแล้ว ก > ข-
src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" เส้นขอบ = "0">
การบวกเศษส่วนการดำเนินการเพิ่มเติม กและ ขมีสิ่งที่เรียกว่า กฎการรวม ค- ขณะเดียวกันก็มีตัวเลขนั้นเอง คเรียกว่า จำนวนตัวเลข กและ ขและเขียนแทนด้วย และเรียกกระบวนการค้นหาตัวเลขดังกล่าว ผลรวม- กฎการรวมมีรูปแบบดังต่อไปนี้: .
การดำเนินการคูณการดำเนินการเพิ่มเติม กและ ขมีสิ่งที่เรียกว่า กฎการคูณซึ่งกำหนดจำนวนตรรกยะจำนวนหนึ่งให้กับพวกเขา ค- ขณะเดียวกันก็มีตัวเลขนั้นเอง คเรียกว่า งานตัวเลข กและ ขและเขียนแทนด้วย และกระบวนการค้นหาตัวเลขดังกล่าวก็เรียกอีกอย่างว่า การคูณ- กฎการคูณมีลักษณะดังนี้: .
การผ่านของความสัมพันธ์ลำดับสำหรับจำนวนตรรกยะสามเท่าใดๆ ก , ขและ คถ้า กน้อย ขและ ขน้อย ค, ที่ กน้อย ค, และถ้า กเท่ากับ ขและ ขเท่ากับ ค, ที่ กเท่ากับ ค-
6435">การสับเปลี่ยนของการบวก การเปลี่ยนตำแหน่งของเทอมตรรกยะจะไม่ทำให้ผลรวมเปลี่ยนแปลงความเชื่อมโยงของการบวก
ลำดับการเพิ่มจำนวนตรรกยะสามจำนวนจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์การมีอยู่ของศูนย์
มีเลขตรรกยะ 0 ที่จะคงจำนวนตรรกยะอื่นๆ ทุกตัวเมื่อบวกเข้าด้วยกันการมีอยู่ของจำนวนตรงข้ามกัน
จำนวนตรรกยะใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะตรงกันข้าม ซึ่งเมื่อบวกกันจะได้ 0การสับเปลี่ยนของการคูณ
การเปลี่ยนตำแหน่งของปัจจัยเชิงตรรกศาสตร์ไม่ทำให้ผลิตภัณฑ์เปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์ของการคูณ
ลำดับการคูณจำนวนตรรกยะสามจำนวนจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ความพร้อมของหน่วย
มีเลขตรรกยะ 1 ที่จะคงจำนวนตรรกยะอื่นๆ ทุกตัวไว้เมื่อคูณการปรากฏตัวของตัวเลขซึ่งกันและกัน
จำนวนตรรกยะใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะผกผัน ซึ่งเมื่อคูณด้วยจะได้ 1การกระจายตัวของการคูณสัมพันธ์กับการบวก
การดำเนินการคูณจะประสานกับการดำเนินการบวกผ่านกฎการกระจาย:การเชื่อมต่อความสัมพันธ์ของคำสั่งกับการดำเนินการของการบวก
คุณสามารถเพิ่มจำนวนตรรกยะเดียวกันทางด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการเชิงตรรกยะได้ /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">สัจพจน์ของอาร์คิมีดีส กไม่ว่าจะเป็นจำนวนตรรกยะก็ตาม กคุณสามารถรับหน่วยได้มากจนผลรวมเกิน

-

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" เส้นขอบ = "0">

คุณสมบัติเพิ่มเติม

คุณสมบัติอื่นๆ ทั้งหมดที่มีอยู่ในจำนวนตรรกยะจะไม่จำแนกว่าเป็นคุณสมบัติพื้นฐาน เพราะโดยทั่วไปแล้ว คุณสมบัติเหล่านี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของจำนวนเต็มโดยตรงอีกต่อไป แต่สามารถพิสูจน์ได้จากคุณสมบัติพื้นฐานที่กำหนดหรือโดยตรงจากคำจำกัดความของวัตถุทางคณิตศาสตร์บางตัว . มีคุณสมบัติเพิ่มเติมดังกล่าวมากมาย สมควรที่จะแสดงรายการเพียงไม่กี่รายการที่นี่

การนับจำนวนตรรกยะ

อัลกอริธึมที่ง่ายที่สุดมีลักษณะเช่นนี้ ตารางเศษส่วนธรรมดาจำนวนไม่สิ้นสุดจะถูกรวบรวมในแต่ละตาราง ฉัน-บรรทัดที่ในแต่ละ เจคอลัมน์ที่ 3 ซึ่งมีเศษส่วนอยู่ เพื่อความชัดเจน จะถือว่าแถวและคอลัมน์ของตารางนี้มีหมายเลขกำกับโดยเริ่มจากหนึ่ง เซลล์ตารางแสดงโดย , โดยที่ ฉัน- จำนวนแถวของตารางที่มีเซลล์อยู่และ เจ- หมายเลขคอลัมน์

ตารางผลลัพธ์จะถูกสำรวจโดยใช้ "งู" ตามอัลกอริทึมที่เป็นทางการต่อไปนี้

กฎเหล่านี้จะถูกค้นหาจากบนลงล่าง และเลือกตำแหน่งถัดไปตามนัดแรก

ในกระบวนการของการข้ามผ่าน จำนวนตรรกยะใหม่แต่ละตัวจะเชื่อมโยงกับจำนวนธรรมชาติอีกจำนวนหนึ่ง นั่นคือเศษส่วน 1/1 ถูกกำหนดให้กับหมายเลข 1 เศษส่วน 2/1 ให้กับหมายเลข 2 เป็นต้น ควรสังเกตว่ามีเพียงเศษส่วนที่ลดไม่ได้เท่านั้นที่ถูกกำหนดหมายเลข สัญญาณอย่างเป็นทางการของการลดไม่ได้คือตัวหารร่วมมากของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนจะเท่ากับหนึ่ง

ขาดจำนวนตรรกยะ

จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เรารู้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากแสดงเป็นรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของขาของมัน ที่. ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีขาหนึ่งหน่วยเท่ากับ คือ จำนวนที่มีกำลังสองเท่ากับ 2