การแก้ระบบสมการทีละขั้นตอน เครื่องคิดเลขออนไลน์

คำแนะนำ

วิธีการบวก
คุณต้องเขียนสองอันด้านล่างกันอย่างเคร่งครัด:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, yµ11
ในสมการที่เลือกโดยพลการ (จากระบบ) ให้ใส่หมายเลข 11 แทน "เกม" ที่พบแล้วและคำนวณค่าที่สองที่ไม่รู้จัก:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
คำตอบของระบบสมการนี้คือ x=116, y=11

วิธีกราฟิก
ประกอบด้วยการค้นหาพิกัดของจุดที่เขียนเส้นทางคณิตศาสตร์ในระบบสมการในทางปฏิบัติ กราฟของทั้งสองเส้นควรวาดแยกกันในระบบพิกัดเดียวกัน มุมมองทั่วไป: – y=khx+b ในการสร้างเส้นตรงก็เพียงพอที่จะค้นหาพิกัดของจุดสองจุดและเลือก x โดยพลการ
ให้ระบบได้รับ: 2x – y=4

Y=-3x+1
เส้นตรงถูกสร้างขึ้นโดยใช้เส้นแรก เพื่อความสะดวกควรเขียนลงไป: y=2x-4 คิดค่า x (ง่ายกว่า) แทนค่าลงในสมการ แก้โจทย์ และหา y เราได้จุดสองจุดซึ่งมีการสร้างเส้นตรง (ดูภาพ)
x 0 1

ย -4 -2
เส้นตรงถูกสร้างขึ้นโดยใช้สมการที่สอง: y=-3x+1
สร้างเส้นตรงด้วย (ดูภาพ)

ย 1 -5
ค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้นที่สร้างขึ้นสองเส้นบนกราฟ (หากเส้นไม่ตัดกันแสดงว่าระบบสมการไม่มี - เช่นนั้น)

วิดีโอในหัวข้อ

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

ถ้าระบบสมการเดียวกันแก้ได้ด้วยสาม วิธีทางที่แตกต่างคำตอบจะเหมือนเดิม (หากวิธีแก้ไขถูกต้อง)

แหล่งที่มา:

• พีชคณิตเกรด 8
• แก้สมการกับสิ่งไม่รู้สองตัวทางออนไลน์
• ตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นแบบสอง

ระบบ สมการคือชุดของบันทึกทางคณิตศาสตร์ ซึ่งแต่ละบันทึกประกอบด้วยตัวแปรจำนวนหนึ่ง มีหลายวิธีในการแก้ปัญหาเหล่านี้

คุณจะต้องการ

• -ไม้บรรทัดและดินสอ
• -เครื่องคิดเลข

คำแนะนำ

ลองพิจารณาลำดับของการแก้ระบบซึ่งประกอบด้วยสมการเชิงเส้นที่มีรูปแบบ: a1x + b1y = c1 และ a2x + b2y = c2 โดยที่ x และ y เป็นตัวแปรที่ไม่รู้จัก และ b,c เป็นเทอมอิสระ เมื่อใช้วิธีนี้ แต่ละระบบจะแสดงพิกัดของจุดที่สอดคล้องกับแต่ละสมการ ในการเริ่มต้น ในแต่ละกรณี ให้แสดงตัวแปรหนึ่งในแง่ของอีกตัวแปรหนึ่ง จากนั้นตั้งค่าตัวแปร x เป็นค่าเท่าใดก็ได้ สองก็พอแล้ว แทนลงในสมการแล้วหา y สร้างระบบพิกัด ทำเครื่องหมายจุดผลลัพธ์บนนั้น และลากเส้นตรงผ่านจุดเหล่านั้น การคำนวณที่คล้ายกันจะต้องดำเนินการกับส่วนอื่น ๆ ของระบบ

ระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะหากเส้นที่สร้างขึ้นตัดกันและมีจุดร่วมเพียงจุดเดียว มันเข้ากันไม่ได้ถ้าขนานกัน และมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วนเมื่อเส้นต่างๆ มาบรรจบกัน

วิธีนี้ถือว่ามองเห็นได้ชัดเจนมาก ข้อเสียเปรียบหลักคือสิ่งที่ไม่ทราบที่คำนวณได้มีค่าโดยประมาณ มากกว่า ผลลัพธ์ที่แน่นอนให้สิ่งที่เรียกว่าวิธีพีชคณิต

การแก้ระบบสมการใดๆ ก็คุ้มค่าที่จะตรวจสอบ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่ค่าผลลัพธ์แทนตัวแปร คุณยังสามารถค้นหาวิธีแก้ปัญหาได้หลายวิธี ถ้าการแก้ปัญหาของระบบถูกต้อง ทุกคนก็ควรจะเหมือนเดิม

มักจะมีสมการที่ไม่ทราบคำศัพท์ข้อใดข้อหนึ่ง ในการแก้สมการ คุณต้องจำและดำเนินการบางอย่างกับตัวเลขเหล่านี้

คุณจะต้องการ

• - กระดาษ;
• - ปากกาหรือดินสอ

คำแนะนำ

ลองนึกภาพว่ามีกระต่าย 8 ตัวอยู่ตรงหน้าคุณ และคุณมีแครอทเพียง 5 อัน ลองคิดดู คุณยังต้องซื้อแครอทเพิ่มเพื่อที่กระต่ายแต่ละตัวจะได้มาหนึ่งอัน

ลองนำเสนอปัญหานี้ในรูปแบบของสมการ: 5 + x = 8 ลองแทนจำนวน 3 แทน x จริง ๆ แล้ว 5 + 3 = 8

เมื่อคุณแทนตัวเลขด้วย x คุณก็ทำแบบเดียวกับตอนคุณลบ 5 จาก 8 ดังนั้น เพื่อหา ไม่ทราบพจน์ ให้ลบพจน์ที่ทราบออกจากผลรวม

สมมติว่าคุณมีกระต่าย 20 ตัวและแครอทเพียง 5 อัน มาแต่งหน้ากันเถอะ สมการคือความเท่าเทียมกันที่เก็บเฉพาะค่าบางค่าของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้นเท่านั้น ตัวอักษรที่ต้องค้นหาความหมายเรียกว่า เขียนสมการด้วยอันที่ไม่รู้จัก เรียกมันว่า x เมื่อแก้ปัญหากระต่าย เราจะได้สมการต่อไปนี้: 5 + x = 20

มาหาความแตกต่างระหว่าง 20 กับ 5 กัน เมื่อลบ จำนวนที่จะลบออกคือจำนวนที่ลดลง จำนวนที่ถูกลบเรียกว่า และผลลัพธ์สุดท้ายเรียกว่าผลต่าง ดังนั้น x = 20 – 5; x = 15 คุณต้องซื้อแครอท 15 หัวสำหรับกระต่าย

ตรวจสอบ: 5 + 15 = 20 แก้สมการได้อย่างถูกต้อง แน่นอนเมื่อไหร่. เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับสิ่งง่าย ๆ ดังกล่าวไม่จำเป็นต้องทำการตรวจสอบ อย่างไรก็ตาม เมื่อคุณมีสมการที่มีตัวเลขสามหลัก สี่หลัก ฯลฯ คุณต้องตรวจสอบอย่างแน่นอนเพื่อให้มั่นใจในผลงานของคุณ

วิดีโอในหัวข้อ

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

หากต้องการค้นหา minuend ที่ไม่รู้จัก คุณต้องเพิ่มส่วนย่อยให้กับส่วนต่าง

ในการหาค่าลบที่ไม่รู้จัก คุณต้องลบผลต่างออกจากค่า minuend

เคล็ดลับ 4: วิธีแก้ระบบสมการสามสมการโดยไม่ทราบค่าสามค่า

ระบบสมการสามสมการที่ไม่ทราบค่าสามค่าอาจไม่มีคำตอบ แม้ว่าจะมีสมการเพียงพอก็ตาม คุณสามารถลองแก้มันโดยใช้วิธีทดแทนหรือใช้วิธีของแครมเมอร์ นอกเหนือจากการแก้ปัญหาระบบแล้ว วิธีการของแครมเมอร์ยังช่วยให้คุณประเมินว่าระบบสามารถแก้ไขได้หรือไม่ ก่อนที่จะค้นหาค่าของสิ่งที่ไม่ทราบ

คำแนะนำ

วิธีการทดแทนประกอบด้วยวิธีการหนึ่งที่ไม่ทราบลำดับตามลำดับโดยวิธีอื่นอีกสองวิธีและการแทนที่ผลลัพธ์ที่ได้ลงในสมการของระบบ ให้ระบบสมการสามสมการอยู่ในรูปแบบทั่วไป:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

เขียน x จากสมการแรก: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - และแทนลงในสมการที่สองและสาม จากนั้นเขียน y จากสมการที่สองแล้วแทนลงในสมการที่สาม คุณจะได้นิพจน์เชิงเส้นสำหรับ z ผ่านค่าสัมประสิทธิ์ของสมการของระบบ ตอนนี้ไปแบบ "ย้อนกลับ": แทนที่ z ในสมการที่สองแล้วหา y จากนั้นแทนที่ z และ y ลงในสมการแรกแล้วแก้หา x โดยทั่วไปกระบวนการจะแสดงในรูปก่อนค้นหา z การเขียนเพิ่มเติมในรูปแบบทั่วไปจะยุ่งยากเกินไป ในทางปฏิบัติ โดยการแทนที่ คุณจะสามารถค้นหาสิ่งแปลกปลอมทั้งสามได้อย่างง่ายดาย

วิธีของแครมเมอร์ประกอบด้วยการสร้างเมทริกซ์ระบบและการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้ รวมถึงเมทริกซ์เสริมอีกสามตัว เมทริกซ์ของระบบประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์สำหรับเงื่อนไขที่ไม่รู้จักของสมการ คอลัมน์ที่มีตัวเลขทางด้านขวาของสมการ คอลัมน์ทางด้านขวา ไม่ได้ใช้ในระบบแต่ใช้เมื่อแก้ไขระบบ

วิดีโอในหัวข้อ

บันทึก

สมการทั้งหมดในระบบจะต้องให้ข้อมูลเพิ่มเติมโดยไม่ขึ้นอยู่กับสมการอื่น มิฉะนั้นระบบจะถูกกำหนดไว้ต่ำเกินไปและจะไม่สามารถหาวิธีแก้ปัญหาที่ชัดเจนได้

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

หลังจากแก้ระบบสมการแล้ว ให้แทนที่ค่าที่พบลงในระบบเดิมและตรวจสอบว่าค่าเหล่านั้นเป็นไปตามสมการทั้งหมดหรือไม่

ด้วยตัวมันเอง สมการกับสาม ไม่ทราบมีคำตอบมากมาย ส่วนใหญ่มักจะเสริมด้วยสมการหรือเงื่อนไขอีกสองข้อ แนวทางการตัดสินใจจะขึ้นอยู่กับข้อมูลเริ่มต้นเป็นส่วนใหญ่

คุณจะต้องการ

• - ระบบสมการสามสมการที่มีสามไม่ทราบ

คำแนะนำ

ถ้าสองในสามระบบมีเพียงสองในสามของระบบที่ไม่รู้จัก ให้พยายามแสดงตัวแปรบางตัวในรูปของตัวแปรอื่นๆ และแทนที่ตัวแปรเหล่านั้นเป็น สมการกับสาม ไม่ทราบ- เป้าหมายของคุณในกรณีนี้คือทำให้เป็นเรื่องปกติ สมการกับบุคคลที่ไม่รู้จัก หากเป็นเช่นนั้น วิธีแก้ไขเพิ่มเติมก็ค่อนข้างง่าย โดยแทนที่ค่าที่พบลงในสมการอื่นแล้วค้นหาค่าที่ไม่ทราบอื่นๆ ทั้งหมด

ระบบสมการบางระบบสามารถลบออกจากสมการหนึ่งด้วยอีกสมการหนึ่งได้ ดูว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะคูณตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งเพื่อยกเลิกค่าที่ไม่รู้จักสองตัวพร้อมกัน หากมีโอกาสให้ใช้ประโยชน์จากมัน เป็นไปได้มากว่าวิธีแก้ปัญหาในภายหลังจะไม่ใช่เรื่องยาก โปรดจำไว้ว่าเมื่อคูณด้วยตัวเลข คุณต้องคูณทั้งด้านซ้ายและด้านขวา ในทำนองเดียวกัน เมื่อลบสมการ คุณต้องจำไว้ว่าจะต้องลบทางด้านขวามือด้วย

หากวิธีการก่อนหน้านี้ไม่ได้ผลให้ใช้ ในลักษณะทั่วไปคำตอบของสมการใดๆ ที่มีสาม ไม่ทราบ- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เขียนสมการใหม่ในรูปแบบ a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 ตอนนี้สร้างเมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ x (A) เมทริกซ์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก (X) และเมทริกซ์ของตัวแปรอิสระ (B) โปรดทราบว่าโดยการคูณเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ด้วยเมทริกซ์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก คุณจะได้เมทริกซ์ที่มีเงื่อนไขอิสระ นั่นคือ A*X=B

ค้นหาเมทริกซ์ A กำลัง (-1) โดยการค้นหาครั้งแรก โปรดทราบว่าไม่ควรเท่ากับศูนย์ หลังจากนั้นให้คูณเมทริกซ์ผลลัพธ์ด้วยเมทริกซ์ B ดังนั้นคุณจะได้รับเมทริกซ์ X ที่ต้องการซึ่งระบุค่าทั้งหมด

คุณยังสามารถหาคำตอบของระบบสมการสามสมการได้โดยใช้วิธีของแครมเมอร์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สาม ∆ ที่สอดคล้องกับเมทริกซ์ระบบ จากนั้นค้นหาปัจจัยอีกสามตัวอย่างต่อเนื่อง ∆1, ∆2 และ ∆3 โดยแทนที่ค่าของเงื่อนไขอิสระแทนค่าของคอลัมน์ที่เกี่ยวข้อง ตอนนี้หา x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆

แหล่งที่มา:

• การแก้สมการโดยไม่ทราบค่าสามค่า

เมื่อเริ่มแก้ระบบสมการ ให้พิจารณาว่าสมการนั้นเป็นสมการประเภทใด วิธีการแก้สมการเชิงเส้นได้รับการศึกษาค่อนข้างดี สมการไม่เชิงเส้นมักไม่ได้รับการแก้ไข มีกรณีพิเศษเพียงกรณีเดียวเท่านั้น ซึ่งแต่ละกรณีเป็นกรณีเฉพาะบุคคล ดังนั้นการศึกษาเทคนิคการแก้ปัญหาควรเริ่มต้นด้วยสมการเชิงเส้น สมการดังกล่าวสามารถแก้ไขได้ด้วยอัลกอริทึมล้วนๆ

ตัวหารของสิ่งแปลกปลอมที่พบนั้นเหมือนกันทุกประการ ใช่ และตัวเศษก็แสดงรูปแบบบางอย่างในการก่อสร้าง หากมิติของระบบสมการมากกว่าสอง วิธีการกำจัดจะทำให้การคำนวณยุ่งยากมาก เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาเหล่านี้ จึงได้มีการพัฒนาโซลูชันอัลกอริธึมล้วนๆ วิธีที่ง่ายที่สุดคืออัลกอริทึมของแครมเมอร์ (สูตรของแครเมอร์) เพราะคุณควรจะหาคำตอบ ระบบทั่วไปสมการจากสมการ n

ระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้น n ตัวที่ไม่ทราบค่ามีรูปแบบ (ดูรูปที่ 1a) ในนั้น aij คือสัมประสิทธิ์ของระบบ
xj – ไม่ทราบ, เงื่อนไขสอง – อิสระ (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n) ระบบดังกล่าวสามารถเขียนให้กะทัดรัดในรูปแบบเมทริกซ์ AX=B โดยที่ A คือเมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ X คือเมทริกซ์คอลัมน์ของค่าที่ไม่รู้จัก B คือเมทริกซ์คอลัมน์ของเทอมอิสระ (ดูรูปที่ 1b) ตามวิธีของแครมเมอร์ แต่ละค่า xi ที่ไม่รู้จัก =∆i/∆ (i=1,2…,n) ดีเทอร์มิแนนต์ ∆ ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์เรียกว่าตัวหลักและ ∆i ตัวเสริม สำหรับแต่ละค่าที่ไม่ทราบ จะพบดีเทอร์มิแนนต์เสริมได้โดยการแทนที่คอลัมน์ i-th ของดีเทอร์มิแนนต์หลักด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ วิธี Cramer สำหรับกรณีของระบบลำดับที่สองและสามแสดงรายละเอียดไว้ในรูปที่ 1 2.

ระบบคือการรวมกันของความเท่าเทียมกันตั้งแต่สองค่าขึ้นไป โดยแต่ละค่ามีค่าที่ไม่ทราบค่าตั้งแต่สองตัวขึ้นไป มีสองวิธีหลักในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่ใช้ภายใน หลักสูตรของโรงเรียน- หนึ่งในนั้นเรียกว่าวิธีการส่วนอีกวิธีหนึ่งเรียกว่าวิธีการบวก

รูปแบบมาตรฐานของระบบสองสมการ

การแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีการบวก

ตัวอย่างเช่น ให้ระบบที่ประกอบด้วยสองสมการ อันแรกมีรูปแบบ 2x+4y=8 ส่วนอันที่สองมีรูปแบบ 6x+2y=6 หนึ่งในตัวเลือกในการทำงานให้สำเร็จคือการคูณสมการที่สองด้วยสัมประสิทธิ์ -2 ซึ่งจะได้รูปแบบ -12x-4y=-12 การเลือกค่าสัมประสิทธิ์ที่ถูกต้องเป็นหนึ่งในงานสำคัญในกระบวนการแก้ไขระบบโดยใช้วิธีการบวกเนื่องจากจะกำหนดขั้นตอนเพิ่มเติมทั้งหมดในการค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก

ตอนนี้จำเป็นต้องเพิ่มสมการทั้งสองของระบบ แน่นอนว่าการทำลายตัวแปรที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากันแต่มีเครื่องหมายตรงข้ามกันจะทำให้เกิดรูปแบบ -10x=-4 หลังจากนี้ จำเป็นต้องแก้สมการง่ายๆ นี้ ซึ่งเป็นไปตามอย่างชัดเจนว่า x = 0.4

ขั้นตอนสุดท้ายในกระบวนการแก้ปัญหาคือการแทนที่ค่าที่พบของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งไปเป็นค่าความเท่าเทียมกันดั้งเดิมที่มีอยู่ในระบบ ตัวอย่างเช่น เมื่อแทนที่ x=0.4 ลงในสมการแรก คุณจะได้นิพจน์ 2*0.4+4y=8 โดยที่ y=1.8 ดังนั้น x=0.4 และ y=1.8 จึงเป็นรากของระบบตัวอย่าง

เพื่อให้แน่ใจว่าพบรากได้อย่างถูกต้อง จะมีประโยชน์ในการตรวจสอบโดยการแทนที่ค่าที่พบลงในสมการที่สองของระบบ ตัวอย่างเช่น ในกรณีนี้ เราจะได้ค่าความเท่าเทียมกันในรูปแบบ 0.4*6+1.8*2=6 ซึ่งถูกต้อง

วิดีโอในหัวข้อ

เชื่อถือได้มากกว่าวิธีกราฟิกที่กล่าวถึงในย่อหน้าก่อนหน้า

วิธีการทดแทน

เราใช้วิธีนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้น อัลกอริธึมที่พัฒนาขึ้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ค่อนข้างเหมาะสำหรับการแก้ระบบสมการสองสมการใดๆ (ไม่จำเป็นต้องเป็นเชิงเส้น) ที่มีตัวแปร x และ y สองตัว (แน่นอนว่าตัวแปรสามารถกำหนดด้วยตัวอักษรอื่นซึ่งไม่สำคัญ) ในความเป็นจริงเราใช้อัลกอริทึมนี้ในย่อหน้าก่อนหน้านี้เมื่อเกิดปัญหา หมายเลขสองหลักทำให้เกิดแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นระบบสมการ เราแก้ระบบสมการข้างบนนี้โดยใช้วิธีการทดแทน (ดูตัวอย่างที่ 1 จากมาตรา 4)

อัลกอริทึมสำหรับใช้วิธีการทดแทนเมื่อแก้ระบบสมการสองตัวที่มีตัวแปรสองตัว x, y

1. จงเขียน y ในรูปของ x จากสมการหนึ่งของระบบ
2. แทนที่นิพจน์ผลลัพธ์แทน y ลงในสมการอื่นของระบบ
3. แก้สมการผลลัพธ์ของ x
4. แทนที่แต่ละรากของสมการที่พบในขั้นตอนที่สามแทน x ลงในนิพจน์ y ถึง x ที่ได้จากขั้นตอนแรก
5. เขียนคำตอบเป็นคู่ค่า (x; y) ซึ่งพบได้ในขั้นตอนที่ 3 และ 4 ตามลำดับ

4) แทนที่ค่าที่พบของ y ทีละค่าลงในสูตร x = 5 - 3 ถ้าอย่างนั้น
5) คู่ (2; 1) และการแก้ระบบสมการที่กำหนด

คำตอบ: (2; 1);

วิธีการบวกพีชคณิต

วิธีนี้เหมือนกับวิธีการทดแทนที่คุณคุ้นเคยจากหลักสูตรพีชคณิตเกรด 7 ซึ่งใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ให้เราระลึกถึงสาระสำคัญของวิธีการโดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 2แก้ระบบสมการ

ลองคูณเงื่อนไขทั้งหมดของสมการแรกของระบบด้วย 3 และปล่อยให้สมการที่สองไม่เปลี่ยนแปลง:
ลบสมการที่สองของระบบออกจากสมการแรก:

ผลจากการบวกพีชคณิตของสมการสองสมการของระบบเดิม ทำให้ได้สมการที่ง่ายกว่าสมการที่หนึ่งและที่สองของระบบที่กำหนด ด้วยสมการที่ง่ายกว่านี้ เรามีสิทธิ์ที่จะแทนที่สมการใดๆ ของระบบที่กำหนด เช่น สมการที่สอง จากนั้นระบบสมการที่กำหนดจะถูกแทนที่ด้วยระบบที่ง่ายกว่า:

ระบบนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการทดแทน จากสมการที่สองที่เราพบ เมื่อแทนนิพจน์นี้แทน y ลงในสมการแรกของระบบ เราก็จะได้

ยังคงทดแทนค่าที่พบของ x ลงในสูตร

ถ้า x = 2 แล้ว

ดังนั้นเราจึงพบวิธีแก้ปัญหาสองประการสำหรับระบบ:

วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่

คุณได้รู้จักวิธีการแนะนำตัวแปรใหม่ในการแก้สมการตรรกยะด้วยตัวแปรตัวเดียวในหลักสูตรพีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 สาระสำคัญของวิธีการแก้ระบบสมการนี้เหมือนกัน แต่จากมุมมองทางเทคนิคมีคุณสมบัติบางอย่างที่เราจะกล่าวถึงในตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 3แก้ระบบสมการ

เรามาแนะนำตัวแปรใหม่กัน จากนั้นสมการแรกของระบบสามารถเขียนใหม่เป็นสมการเพิ่มเติมได้ ในรูปแบบที่เรียบง่าย: ลองแก้สมการนี้สำหรับตัวแปร t:

ค่าทั้งสองนี้เป็นไปตามเงื่อนไขและเป็นรากของสมการตรรกยะที่มีตัวแปร t แต่นั่นหมายความว่าเมื่อเราพบว่า x = 2y หรือ
ดังนั้น เมื่อใช้วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่ เราก็สามารถ "แบ่งกลุ่ม" สมการแรกของระบบซึ่งมีลักษณะค่อนข้างซับซ้อนออกเป็นสองสมการที่ง่ายกว่า:

x = 2 ปี; ย - 2x

อะไรต่อไป? แล้วทั้งสองคนก็ได้รับ สมการง่ายๆต้องพิจารณาทีละตัวในระบบที่มีสมการ x 2 - y 2 = 3 ซึ่งเรายังจำไม่ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ปัญหาอยู่ที่การแก้ระบบสมการสองระบบ:

เราจำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ไขสำหรับระบบแรกระบบที่สองและรวมคู่ของค่าผลลัพธ์ทั้งหมดไว้ในคำตอบ มาแก้ระบบสมการแรกกัน:

ลองใช้วิธีทดแทน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อทุกอย่างพร้อมแล้ว ลองแทนที่นิพจน์ 2y แทน x ลงในสมการที่สองของระบบ เราได้รับ

เนื่องจาก x = 2y เราจึงพบ x 1 = 2, x 2 = 2 ตามลำดับ ดังนั้นจึงได้คำตอบสองประการของระบบที่กำหนด: (2; 1) และ (-2; -1) มาแก้ระบบสมการที่สองกัน:

ลองใช้วิธีทดแทนอีกครั้ง: แทนที่นิพจน์ 2x แทน y ลงในสมการที่สองของระบบ เราได้รับ

สมการนี้ไม่มีราก ซึ่งหมายความว่าระบบสมการไม่มีคำตอบ ดังนั้นจึงต้องรวมเฉพาะคำตอบของระบบแรกไว้ในคำตอบ

คำตอบ: (2; 1); (-2;-1)

วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่เมื่อแก้ระบบสมการสองตัวที่มีตัวแปรสองตัวนั้นใช้ในสองเวอร์ชัน ตัวเลือกแรก: มีการแนะนำตัวแปรใหม่หนึ่งตัวและใช้ในสมการเดียวของระบบเท่านั้น นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นในตัวอย่างที่ 3 อย่างแน่นอน ตัวเลือกที่สอง: มีการแนะนำตัวแปรใหม่สองตัวและใช้พร้อมกันในสมการทั้งสองของระบบ จะเป็นเช่นนี้ในตัวอย่างที่ 4

ตัวอย่างที่ 4แก้ระบบสมการ

ขอแนะนำตัวแปรใหม่สองตัว:

ลองมาพิจารณาว่า

สิ่งนี้จะช่วยให้คุณสามารถเขียนระบบที่กำหนดใหม่ในรูปแบบที่ง่ายกว่ามาก แต่ด้วยความเคารพต่อตัวแปรใหม่ a และ b:

เนื่องจาก a = 1 ดังนั้นจากสมการ a + 6 = 2 เราพบว่า: 1 + 6 = 2; 6=1. ดังนั้น สำหรับตัวแปร a และ b เรามีวิธีแก้ปัญหาหนึ่ง:

เมื่อกลับไปที่ตัวแปร x และ y เราจะได้ระบบสมการ

ให้เราใช้วิธีการแก้ระบบนี้ การบวกพีชคณิต:

ตั้งแต่นั้นมาจากสมการ 2x + y = 3 เราพบว่า:
ดังนั้น สำหรับตัวแปร x และ y เรามีวิธีแก้ปัญหาหนึ่ง:

ให้เราสรุปย่อหน้านี้ด้วยการสนทนาเชิงทฤษฎีสั้นๆ แต่ค่อนข้างจริงจัง คุณได้รับประสบการณ์ในการแก้สมการต่างๆ: เชิงเส้น, กำลังสอง, เหตุผล, ไม่ลงตัว คุณรู้ว่าแนวคิดหลักของการแก้สมการคือการค่อยๆ ย้ายจากสมการหนึ่งไปอีกสมการหนึ่ง ง่ายกว่า แต่เทียบเท่ากับสมการที่กำหนด ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ เราได้แนะนำแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันของสมการที่มีตัวแปรสองตัว แนวคิดนี้ยังใช้กับระบบสมการด้วย

คำนิยาม.

ระบบสมการสองระบบที่มีตัวแปร x และ y เรียกว่าสมมูลหากระบบทั้งสองมีคำตอบเหมือนกันหรือทั้งสองระบบไม่มีคำตอบ

ทั้งสามวิธี (การแทนที่ การบวกพีชคณิต และการแนะนำตัวแปรใหม่) ที่เราพูดถึงในส่วนนี้ถูกต้องอย่างแน่นอนจากมุมมองของความเท่าเทียมกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ด้วยการใช้วิธีการเหล่านี้ เราจะแทนที่ระบบสมการหนึ่งด้วยระบบอื่นที่ง่ายกว่า แต่เทียบเท่ากับระบบดั้งเดิม

วิธีกราฟิกสำหรับการแก้ระบบสมการ

เราได้เรียนรู้วิธีแก้ระบบสมการด้วยวิธีทั่วไปและเชื่อถือได้แล้ว เช่น วิธีการทดแทน การบวกพีชคณิต และการแนะนำตัวแปรใหม่ ตอนนี้เรามาจำวิธีการที่คุณศึกษาไปแล้วในบทเรียนที่แล้ว นั่นคือ ทำซ้ำสิ่งที่คุณรู้เกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหาแบบกราฟิก

วิธีการแก้ระบบสมการแบบกราฟิกเกี่ยวข้องกับการสร้างกราฟสำหรับแต่ละสมการเฉพาะที่รวมอยู่ในระบบที่กำหนดและอยู่ในระนาบพิกัดเดียวกันตลอดจนตำแหน่งที่จำเป็นในการค้นหาจุดตัดของจุดเหล่านี้ กราฟ ในการแก้ระบบสมการนี้คือพิกัดของจุดนี้ (x; y)

ควรจำไว้ว่าเป็นเรื่องปกติที่ระบบสมการกราฟิกจะมีระบบใดระบบหนึ่งเพียงระบบเดียว การตัดสินใจที่ถูกต้องอาจมีคำตอบเป็นจำนวนอนันต์ หรือไม่มีคำตอบเลยก็ได้

ตอนนี้เรามาดูโซลูชันแต่ละข้อเหล่านี้โดยละเอียดมากขึ้น ดังนั้น ระบบสมการสามารถมีคำตอบเฉพาะได้หากเส้นที่เป็นกราฟของสมการของระบบตัดกัน หากเส้นเหล่านี้ขนานกัน ระบบสมการดังกล่าวก็ไม่มีทางแก้ได้อย่างแน่นอน หากกราฟโดยตรงของสมการของระบบตรงกัน ระบบดังกล่าวจะทำให้สามารถค้นหาคำตอบได้มากมาย

ตอนนี้เรามาดูอัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการสองสมการโดยไม่ทราบค่า 2 ตัวโดยใช้วิธีกราฟิก:

ประการแรก ขั้นแรกเราสร้างกราฟของสมการที่ 1
ขั้นตอนที่สองคือการสร้างกราฟที่เกี่ยวข้องกับสมการที่สอง
ประการที่สาม เราต้องหาจุดตัดของกราฟ
และด้วยผลลัพธ์ที่ได้คือพิกัดของจุดตัดแต่ละจุดซึ่งจะเป็นคำตอบของระบบสมการ

ลองดูวิธีนี้โดยละเอียดโดยใช้ตัวอย่าง เราได้รับระบบสมการที่ต้องแก้ไข:

การแก้สมการ

1. ขั้นแรก เราจะสร้างกราฟของสมการนี้: x2+y2=9

แต่ควรสังเกตว่ากราฟของสมการนี้จะเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและรัศมีของมันจะเท่ากับสาม

2. ขั้นตอนต่อไปของเราคือการสร้างกราฟสมการ เช่น: y = x – 3

ในกรณีนี้ เราต้องสร้างเส้นตรงและค้นหาจุด (0;−3) และ (3;0)

3. มาดูกันว่าเราได้อะไรบ้าง เราจะเห็นว่าเส้นตรงตัดวงกลมที่จุด A และ B สองจุด

ตอนนี้เรากำลังมองหาพิกัดของจุดเหล่านี้ เราจะเห็นว่าพิกัด (3;0) ตรงกับจุด A และพิกัด (0;-3) ตรงกับจุด B

แล้วเราจะได้อะไรตามมา?

ตัวเลข (3;0) และ (0;−3) ที่ได้รับเมื่อเส้นตัดกับวงกลมคือคำตอบของสมการทั้งสองของระบบอย่างแม่นยำ และจากนี้ ตัวเลขเหล่านี้ก็เป็นคำตอบของระบบสมการนี้เช่นกัน

นั่นคือ คำตอบของคำตอบนี้คือตัวเลข: (3;0) และ (0;−3)

แก้ระบบด้วยสองสิ่งที่ไม่รู้จัก - นี่หมายถึงการค้นหาคู่ของค่าตัวแปรทั้งหมดที่ตรงกับแต่ละสมการที่กำหนด แต่ละคู่ดังกล่าวเรียกว่า โซลูชันระบบ.

ตัวอย่าง:
คู่ของค่า \(x=3\);\(y=-1\) เป็นคำตอบของระบบแรก เพราะเมื่อแทนค่าทั้งสามและลบเหล่านี้เข้าสู่ระบบแทน \(x\) และ \ (y\) สมการทั้งสองจะกลายเป็นค่าเท่ากันที่ถูกต้อง \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( กรณี)\)

แต่ \(x=1\); \(y=-2\) - ไม่ใช่คำตอบของระบบแรก เพราะหลังจากการแทนที่สมการที่สอง “ไม่มาบรรจบกัน” \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(กรณี)\)

โปรดทราบว่าคู่ดังกล่าวมักจะเขียนสั้นกว่า: แทนที่จะเป็น "\(x=3\); \(y=-1\)" จะเขียนดังนี้: \((3;-1)\)

จะแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้อย่างไร?

มีสามวิธีหลักในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น:

1. วิธีการทดแทน

\(\begin(กรณี)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(กรณี)\)\(\ลูกศรซ้าย\) \(\begin(กรณี)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(กรณี)\)\(\ลูกศรซ้าย\)

แทนที่นิพจน์ผลลัพธ์แทนตัวแปรนี้ไปเป็นสมการอื่นของระบบ

\(\ลูกศรซ้าย\) \(\begin(กรณี)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(กรณี)\)\(\ลูกศรซ้าย\)

1. \(\begin(กรณี)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(กรณี)\)

   ในสมการที่สอง แต่ละเทอมเป็นเลขคู่ ดังนั้นเราจึงจัดสมการให้ง่ายขึ้นโดยการหารด้วย \(2\)
   

   \(\begin(กรณี)13x+9y=17\\6x-y=13\end(กรณี)\)

   ระบบนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้ แต่สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าวิธีการทดแทนจะสะดวกที่สุดที่นี่ ลองเขียน y จากสมการที่สองกัน
   

   \(\begin(กรณี)13x+9y=17\\y=6x-13\end(กรณี)\)

   ลองแทน \(6x-13\) แทน \(y\) ลงในสมการแรก
   

   \(\begin(กรณี)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(กรณี)\)

   สมการแรกกลายเป็นสมการธรรมดา มาแก้กันเถอะ

   ก่อนอื่นเรามาเปิดวงเล็บกันก่อน
   

   \(\begin(กรณี)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(กรณี)\)

   ลองย้าย \(117\) ไปทางขวาแล้วนำเสนอพจน์ที่คล้ายกัน

   \(\begin(กรณี)67x=134\\y=6x-13\end(กรณี)\)

   ลองหารทั้งสองข้างของสมการแรกด้วย \(67\)

   \(\begin(กรณี)x=2\\y=6x-13\end(กรณี)\)

   ไชโย เราเจอแล้ว \(x\)! ลองแทนค่าของมันลงในสมการที่สองแล้วหา \(y\)

   \(\begin(กรณี)x=2\\y=12-13\end(กรณี)\)\(\ลูกศรซ้าย\)\(\begin(กรณี)x=2\\y=-1\end(กรณี )\)

   มาเขียนคำตอบกัน

ไม่ต้องสงสัยเลยว่าการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) หัวข้อที่สำคัญที่สุดหลักสูตรพีชคณิตเชิงเส้น ปัญหาจำนวนมากจากคณิตศาสตร์ทุกแขนงมาถึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ปัจจัยเหล่านี้อธิบายเหตุผลของบทความนี้ เนื้อหาของบทความได้รับการคัดเลือกและจัดโครงสร้างเพื่อให้คุณสามารถทำได้ด้วยความช่วยเหลือ

• หยิบ วิธีการที่เหมาะสมที่สุดคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นของคุณ
• ศึกษาทฤษฎีวิธีการที่เลือก
• แก้ระบบสมการเชิงเส้นของคุณโดยการพิจารณาคำตอบโดยละเอียดของตัวอย่างและปัญหาทั่วไป

คำอธิบายโดยย่อของเนื้อหาของบทความ

ก่อนอื่นให้ทุกอย่าง คำจำกัดความที่จำเป็นแนวคิดและการแนะนำสัญลักษณ์

ต่อไป เราจะพิจารณาวิธีการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งจำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ประการแรก เราจะเน้นที่วิธีของแครมเมอร์ ประการที่สอง เราจะแสดงวิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการดังกล่าว และประการที่สาม เราจะวิเคราะห์วิธีเกาส์ (วิธีการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับ) เพื่อรวมทฤษฎีนี้เข้าด้วยกัน เราจะแก้ SLAE หลายรายการด้วยวิธีที่ต่างกันออกไปอย่างแน่นอน

หลังจากนี้ เราจะมาต่อกันที่การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น ปริทัศน์โดยที่จำนวนสมการไม่ตรงกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักหรือเมทริกซ์หลักของระบบเป็นเอกพจน์ ขอให้เรากำหนดทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี ซึ่งช่วยให้เราสามารถสร้างความเข้ากันได้ของ SLAE ได้ ให้เราวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของระบบ (หากเข้ากันได้) โดยใช้แนวคิดเรื่องพื้นฐานรองของเมทริกซ์ เราจะพิจารณาวิธีเกาส์ด้วยและอธิบายรายละเอียดวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่าง

เราจะอาศัยโครงสร้างของคำตอบทั่วไปของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันอย่างแน่นอน ให้เราให้แนวคิดเกี่ยวกับระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและแสดงวิธีการเขียน การตัดสินใจร่วมกัน SLAE โดยใช้เวกเตอร์ของระบบการแก้ปัญหาพื้นฐาน เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้น เรามาดูตัวอย่างกัน

โดยสรุป เราจะพิจารณาระบบสมการที่สามารถลดให้เป็นสมการเชิงเส้นได้ รวมถึงปัญหาต่างๆ ในการแก้ปัญหาที่ SLAE เกิดขึ้น

การนำทางหน้า

คำจำกัดความ แนวคิด การกำหนด

เราจะพิจารณาระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้น p ที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ตัว (p สามารถเท่ากับ n) ของรูปแบบ

ตัวแปรที่ไม่รู้จัก - ค่าสัมประสิทธิ์ (จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนบางตัว) - เงื่อนไขอิสระ (เช่น จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน)

SLAE รูปแบบการบันทึกนี้เรียกว่า ประสานงาน.

ใน รูปแบบเมทริกซ์การเขียนระบบสมการนี้มีรูปแบบ
ที่ไหน - เมทริกซ์หลักของระบบ - เมทริกซ์คอลัมน์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก - เมทริกซ์คอลัมน์ของเทอมอิสระ

หากเราเพิ่มเมทริกซ์-คอลัมน์ของเทอมอิสระให้กับเมทริกซ์ A เป็นคอลัมน์ที่ (n+1) เราจะได้สิ่งที่เรียกว่า เมทริกซ์ขยายระบบสมการเชิงเส้น โดยทั่วไปแล้วเมทริกซ์แบบขยายจะแสดงด้วยตัวอักษร T และคอลัมน์ของคำศัพท์อิสระจะถูกคั่นด้วยเส้นแนวตั้งจากคอลัมน์ที่เหลือนั่นคือ

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นเรียกว่าชุดค่าของตัวแปรที่ไม่รู้จักซึ่งเปลี่ยนสมการทั้งหมดของระบบให้เป็นอัตลักษณ์ สมการเมทริกซ์สำหรับค่าที่กำหนดของตัวแปรที่ไม่รู้จักก็จะกลายเป็นเอกลักษณ์เช่นกัน

หากระบบสมการมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ ระบบจะเรียกมันว่า ข้อต่อ.

ถ้าระบบสมการไม่มีคำตอบก็จะถูกเรียก ไม่ใช่ข้อต่อ.

ถ้า SLAE มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ก็จะถูกเรียก แน่ใจ- หากมีมากกว่าหนึ่งวิธี ดังนั้น – ไม่แน่นอน.

ถ้าเงื่อนไขอิสระของสมการทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้นระบบจะถูกเรียก เป็นเนื้อเดียวกัน, มิฉะนั้น - ต่างกัน.

การแก้ระบบเบื้องต้นของสมการพีชคณิตเชิงเส้น

หากจำนวนสมการของระบบเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักไม่เท่ากับศูนย์ SLAE ดังกล่าวจะถูกเรียก ระดับประถมศึกษา- ระบบสมการดังกล่าวมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัวและในกรณีนี้ ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันตัวแปรที่ไม่รู้จักทั้งหมดเป็นศูนย์

เราเริ่มศึกษา SLAE ดังกล่าวใน มัธยม- เมื่อแก้โจทย์เหล่านั้น เราใช้สมการหนึ่ง แสดงตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวหนึ่งในรูปของตัวแปรอื่นๆ แล้วแทนที่มันลงในสมการที่เหลือ จากนั้นจึงนำสมการถัดไป แสดงตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวถัดไปแล้วแทนที่เป็นสมการอื่น เป็นต้น หรือใช้วิธีการบวก กล่าวคือ เพิ่มสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปเพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักบางตัว เราจะไม่เจาะลึกวิธีการเหล่านี้โดยละเอียด เนื่องจากโดยพื้นฐานแล้วเป็นวิธีการปรับเปลี่ยนวิธีเกาส์

วิธีการหลักในการแก้ระบบเบื้องต้นของสมการเชิงเส้นคือวิธีแครมเมอร์ วิธีเมทริกซ์ และวิธีเกาส์ มาจัดเรียงกันดีกว่า

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครเมอร์

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

โดยจำนวนสมการเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่ทราบ และดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบแตกต่างจากศูนย์ กล่าวคือ

อนุญาต เป็นตัวกำหนดเมทริกซ์หลักของระบบ และ - ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้รับจาก A โดยการแทนที่ ที่ 1, 2, …, นคอลัมน์ตามลำดับไปยังคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ:

ด้วยสัญลักษณ์นี้ ตัวแปรที่ไม่รู้จักจะถูกคำนวณโดยใช้สูตรของวิธี Cramer เช่น - นี่คือวิธีการหาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีของแครมเมอร์

ตัวอย่าง.

วิธีการของแครมเมอร์ .

สารละลาย.

เมทริกซ์หลักของระบบมีรูปแบบ - มาคำนวณดีเทอร์มิแนนต์กัน (หากจำเป็น ดูบทความ):

เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบไม่เป็นศูนย์ ระบบจึงมีคำตอบเฉพาะที่สามารถพบได้โดยวิธีของแครมเมอร์

มาเขียนและคำนวณปัจจัยกำหนดที่จำเป็นกัน (เราได้รับดีเทอร์มิแนนต์โดยการแทนที่คอลัมน์แรกในเมทริกซ์ A ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ ดีเทอร์มิแนนต์โดยการแทนที่คอลัมน์ที่สองด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ และโดยการแทนที่คอลัมน์ที่สามของเมทริกซ์ A ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ) : :

การค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จักโดยใช้สูตร :

คำตอบ:

ข้อเสียเปรียบหลักของวิธีของแครมเมอร์ (หากเรียกได้ว่าเป็นข้อเสีย) คือความซับซ้อนในการคำนวณปัจจัยกำหนดเมื่อจำนวนสมการในระบบมากกว่าสาม

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์ (โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน)

ให้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นกำหนดไว้ในรูปแบบเมทริกซ์ โดยที่เมทริกซ์ A มีมิติ n คูณ n และดีเทอร์มิแนนต์ของมันคือไม่เป็นศูนย์

เนื่องจาก ดังนั้นเมทริกซ์ A จึงกลับด้านได้ นั่นคือ มีเมทริกซ์ผกผัน หากเราคูณทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันทางซ้าย เราจะได้สูตรสำหรับค้นหาคอลัมน์เมทริกซ์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก นี่คือวิธีที่เราได้คำตอบสำหรับระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีเมทริกซ์

สารละลาย.

ลองเขียนระบบสมการใหม่ในรูปแบบเมทริกซ์:

เพราะ

ดังนั้น SLAE สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีเมทริกซ์ โดยใช้ เมทริกซ์ผกผันวิธีแก้ไขของระบบนี้สามารถพบได้ดังนี้ .

มาสร้างเมทริกซ์ผกผันโดยใช้เมทริกซ์จากการบวกพีชคณิตขององค์ประกอบของเมทริกซ์ A (หากจำเป็น ดูบทความ):

ยังคงต้องคำนวณเมทริกซ์ของตัวแปรที่ไม่รู้จักโดยการคูณเมทริกซ์ผกผัน ไปยังคอลัมน์เมทริกซ์ของสมาชิกอิสระ (หากจำเป็น ดูบทความ):

คำตอบ:

หรือในรูปแบบอื่น x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1

ปัญหาหลักในการค้นหาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์คือความซับซ้อนในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน โดยเฉพาะเมทริกซ์จัตุรัสที่มีลำดับสูงกว่าอันดับสาม

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์

สมมติว่าเราจำเป็นต้องค้นหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น n ตัวแปรที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ตัว
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักซึ่งแตกต่างจากศูนย์

สาระสำคัญของวิธีเกาส์ประกอบด้วยการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับ อันดับแรก x 1 ถูกแยกออกจากสมการทั้งหมดของระบบ เริ่มจากวินาที จากนั้น x 2 ก็ถูกแยกออกจากสมการทั้งหมด เริ่มจากสมการที่สาม และต่อๆ ไป จนกระทั่งเหลือเพียงตัวแปรที่ไม่รู้จัก x n เท่านั้น ในสมการสุดท้าย กระบวนการเปลี่ยนสมการของระบบเพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับนี้เรียกว่า วิธีเกาส์เซียนโดยตรง- หลังจากลากเส้นไปข้างหน้าของวิธีเกาส์เซียนเสร็จแล้ว จะพบ x n จากสมการสุดท้าย โดยใช้ค่านี้จากสมการสุดท้าย จากนั้นจึงคำนวณ x n-1 และต่อๆ ไป จะได้ x 1 จากสมการแรก กระบวนการคำนวณตัวแปรที่ไม่รู้จักเมื่อย้ายจากสมการสุดท้ายของระบบไปยังสมการแรกเรียกว่า ผกผันของวิธีเกาส์เซียน.

ให้เราอธิบายสั้น ๆ เกี่ยวกับอัลกอริทึมสำหรับการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก

เราจะถือว่า เนื่องจากเราสามารถบรรลุสิ่งนี้ได้เสมอโดยการจัดเรียงสมการของระบบใหม่ ลองกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 ออกจากสมการทั้งหมดของระบบ โดยเริ่มจากตัวที่สอง ในการดำเนินการนี้ เราบวกสมการแรก คูณด้วย สมการแรก คูณด้วย สมการที่สาม บวกสมการแรก คูณด้วย และอื่นๆ เข้ากับสมการที่ n บวกสมการแรก คูณด้วย ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหนและ .

เราคงจะได้ผลลัพธ์เดียวกันถ้าเราแสดง x 1 ในรูปของตัวแปรที่ไม่รู้จักอื่นๆ ในสมการแรกของระบบ และแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการอื่นๆ ทั้งหมด ดังนั้นตัวแปร x 1 จึงไม่รวมอยู่ในสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากสมการที่สอง

ต่อไปเราดำเนินการในลักษณะเดียวกัน แต่เพียงส่วนหนึ่งของระบบผลลัพธ์ซึ่งมีการทำเครื่องหมายไว้ในรูปเท่านั้น

ในการทำเช่นนี้ เราได้เพิ่มสมการที่สอง คูณด้วย ในสมการที่สามของระบบ เราบวกสมการที่สอง คูณด้วย และอื่นๆ ในสมการที่ n เราบวกสมการที่สอง คูณด้วย ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหนและ - ดังนั้นตัวแปร x 2 จึงไม่รวมอยู่ในสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากสมการที่สาม

ต่อไปเราดำเนินการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จัก x 3 ในขณะที่เราทำหน้าที่คล้ายกับส่วนของระบบที่ทำเครื่องหมายไว้ในรูป

ดังนั้นเราจึงดำเนินการก้าวหน้าโดยตรงของวิธีเกาส์เซียนต่อไปจนกระทั่งระบบเกิดรูปแบบ

จากนี้ไปเราจะเริ่มต้นการย้อนกลับของวิธีเกาส์เซียน: เราคำนวณ x n จากสมการสุดท้ายเป็น โดยใช้ค่าที่ได้รับของ x n เราจะหา x n-1 จากสมการสุดท้าย และต่อไปเราจะพบ x 1 จากสมการแรก .

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีเกาส์

สารละลาย.

ให้เราแยกตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 ออกจากสมการที่สองและสามของระบบ ในการทำเช่นนี้ เราได้บวกส่วนที่สอดคล้องกันของสมการแรกเข้ากับทั้งสองด้านของสมการที่สองและสาม คูณด้วยและด้วย ตามลำดับ:

ตอนนี้เรากำจัด x 2 ออกจากสมการที่สามโดยบวกด้านซ้ายและด้านขวาของสมการที่สอง คูณด้วย:

นี่เป็นการสิ้นสุดจังหวะไปข้างหน้าของวิธีเกาส์

จากสมการสุดท้ายของระบบสมการผลลัพธ์ที่เราพบ x 3:

จากสมการที่สองเราได้

จากสมการแรก เราจะพบตัวแปรที่ไม่ทราบค่าที่เหลืออยู่ และด้วยเหตุนี้จึงทำการย้อนกลับของวิธีเกาส์ให้สมบูรณ์

คำตอบ:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นแบบทั่วไป

โดยทั่วไป จำนวนสมการของระบบ p ไม่ตรงกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก n:

SLAE ดังกล่าวอาจไม่มีวิธีแก้ปัญหา มีวิธีแก้ไขปัญหาเดียว หรือมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน ข้อความนี้ยังใช้กับระบบสมการที่มีเมทริกซ์หลักเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและเป็นเอกพจน์ด้วย

ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี

ก่อนที่จะหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น จำเป็นต้องสร้างความเข้ากันได้ของระบบก่อน คำตอบสำหรับคำถามเมื่อ SLAE เข้ากันได้และเมื่อใดที่ไม่สอดคล้องกันจะได้รับจาก ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี:
เพื่อให้ระบบสมการ p ที่ไม่ทราบค่า n (p สามารถเท่ากับ n) มีความสอดคล้องกัน จำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบจะเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยาย นั่นคือ , อันดับ(A)=อันดับ(T)

ให้เราพิจารณาตัวอย่างการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลีเพื่อพิจารณาความเข้ากันได้ของระบบสมการเชิงเส้น

ตัวอย่าง.

ค้นหาว่าระบบสมการเชิงเส้นมีหรือไม่ โซลูชั่น

สารละลาย.

- เรามาใช้วิธีการแบ่งเขตผู้เยาว์กันดีกว่า ผู้เยาว์ลำดับที่สอง แตกต่างจากศูนย์ ลองดูผู้เยาว์ลำดับที่สามที่อยู่ติดกับ:

เนื่องจากผู้เยาว์ที่มีขอบเขตทั้งหมดของลำดับที่สามมีค่าเท่ากับศูนย์ อันดับของเมทริกซ์หลักจึงเท่ากับสอง

ในทางกลับกัน อันดับของเมทริกซ์ขยาย เท่ากับสาม เนื่องจากผู้เยาว์อยู่ในลำดับที่สาม

แตกต่างจากศูนย์

ดังนั้น, รัง(A) ดังนั้น เมื่อใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี เราสามารถสรุปได้ว่าระบบสมการเชิงเส้นดั้งเดิมไม่สอดคล้องกัน

คำตอบ:

ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ดังนั้นเราจึงได้เรียนรู้ที่จะสร้างความไม่สอดคล้องกันของระบบโดยใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี

แต่จะหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับ SLAE ได้อย่างไรหากมีการสร้างความเข้ากันได้

ในการดำเนินการนี้ เราจำเป็นต้องมีแนวคิดเรื่องพื้นฐานรองของเมทริกซ์และทฤษฎีบทเกี่ยวกับอันดับของเมทริกซ์

เรียกว่าค่ารองของลำดับสูงสุดของเมทริกซ์ A ซึ่งแตกต่างจากศูนย์ ขั้นพื้นฐาน.

จากคำจำกัดความของฐานรอง จะตามมาว่าลำดับของมันเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ สำหรับเมทริกซ์ A ที่ไม่ใช่ศูนย์ อาจมีเมทริกซ์รองได้หลายตัวเสมอ

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเมทริกซ์ .

ตัวรองอันดับสามทั้งหมดของเมทริกซ์นี้มีค่าเท่ากับศูนย์ เนื่องจากองค์ประกอบของแถวที่สามของเมทริกซ์นี้เป็นผลรวมขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวที่หนึ่งและแถวที่สอง

ผู้เยาว์ลำดับที่สองต่อไปนี้เป็นข้อมูลพื้นฐาน เนื่องจากไม่ใช่ศูนย์

ผู้เยาว์ ไม่ใช่พื้นฐาน เนื่องจากมีค่าเท่ากับศูนย์

ทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์

หากอันดับของเมทริกซ์ของลำดับ p คูณ n เท่ากับ r ดังนั้น องค์ประกอบแถว (และคอลัมน์) ทั้งหมดของเมทริกซ์ที่ไม่ได้สร้างพื้นฐานรองที่เลือกจะถูกแสดงเชิงเส้นตรงในแง่ขององค์ประกอบแถว (และคอลัมน์) ที่สอดคล้องกันที่สร้าง พื้นฐานรอง

ทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์บอกอะไรเรา

ตามทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี หากเราได้กำหนดความเข้ากันได้ของระบบแล้ว เราจะเลือกพื้นฐานรองใดๆ ของเมทริกซ์หลักของระบบ (ลำดับของมันเท่ากับ r) และแยกสมการทั้งหมดที่ทำ ไม่ถือเป็นเกณฑ์รองที่เลือก SLAE ที่ได้รับในลักษณะนี้จะเทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม เนื่องจากสมการที่ถูกละทิ้งยังคงซ้ำซ้อน (ตามทฤษฎีบทอันดับเมทริกซ์ พวกมันคือผลรวมเชิงเส้นของสมการที่เหลือ)

เป็นผลให้หลังจากละทิ้งสมการที่ไม่จำเป็นของระบบไปแล้ว จะเป็นไปได้สองกรณี

ถ้าจำนวนสมการ r ในระบบผลลัพธ์เท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก มันจะแน่นอนและวิธีเดียวเท่านั้นที่สามารถหาคำตอบได้โดยวิธีแครมเมอร์ วิธีเมทริกซ์ หรือวิธีเกาส์

ตัวอย่าง.

.

สารละลาย.

อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบ มีค่าเท่ากับสอง เนื่องจากผู้เยาว์อยู่ในลำดับที่สอง แตกต่างจากศูนย์ อันดับเมทริกซ์แบบขยาย ก็เท่ากับสองเช่นกัน เนื่องจากรองอันดับสามเพียงอันดับสามเท่านั้นที่เป็นศูนย์

และผู้เยาว์ลำดับที่สองที่พิจารณาข้างต้นแตกต่างจากศูนย์ จากทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี เราสามารถยืนยันความเข้ากันได้ของระบบสมการเชิงเส้นดั้งเดิมได้ เนื่องจากอันดับ(A)=อันดับ(T)=2

เราใช้พื้นฐานรอง - มันถูกสร้างขึ้นโดยค่าสัมประสิทธิ์ของสมการที่หนึ่งและที่สอง:


สมการที่สามของระบบไม่ได้มีส่วนร่วมในการสร้างฐานรอง ดังนั้นเราจึงแยกมันออกจากระบบตามทฤษฎีบทอันดับของเมทริกซ์:


นี่คือวิธีที่เราได้รับระบบเบื้องต้นของสมการพีชคณิตเชิงเส้น เรามาแก้มันโดยใช้วิธีของ Cramer:


คำตอบ:

x 1 = 1, x 2 = 2

ถ้าจำนวนสมการ r ในผลลัพธ์ SLAE จำนวนน้อยลงตัวแปรที่ไม่รู้จัก n จากนั้นทางด้านซ้ายของสมการเราจะทิ้งเงื่อนไขที่เป็นฐานรองไว้และเราถ่ายโอนเงื่อนไขที่เหลือไปทางด้านขวาของสมการของระบบที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม

เรียกว่าตัวแปรที่ไม่รู้จัก (r ในจำนวนนั้น) ที่เหลืออยู่ทางด้านซ้ายของสมการ หลัก.

ตัวแปรที่ไม่รู้จัก (มี n - r ชิ้น) ที่อยู่ทางด้านขวาเรียกว่า ฟรี.

ตอนนี้เราเชื่อว่าตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระสามารถรับค่าที่กำหนดเองได้ ในขณะที่ตัวแปรที่ไม่รู้จักหลัก r จะถูกแสดงผ่านตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระในลักษณะเฉพาะ นิพจน์เหล่านี้สามารถพบได้โดยการแก้ค่า SLAE ที่เป็นผลลัพธ์โดยใช้วิธี Cramer วิธีเมทริกซ์ หรือวิธี Gauss

ลองดูด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น .

สารละลาย.

ลองหาอันดับของเมทริกซ์หลักของระบบกัน โดยวิธีการกั้นเขตผู้เยาว์ สมมติว่า 1 1 = 1 เป็นจำนวนรองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับแรก มาเริ่มค้นหาผู้เยาว์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของลำดับที่สองที่อยู่ติดกับผู้เยาว์นี้:


นี่คือวิธีที่เราพบค่ารองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับที่สอง มาเริ่มค้นหารองลำดับที่สามที่ไม่เป็นศูนย์:


ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์หลักคือสาม อันดับของเมทริกซ์แบบขยายก็เท่ากับสามเช่นกันนั่นคือระบบมีความสอดคล้องกัน

เรานำอันดับรองที่ไม่เป็นศูนย์ของลำดับที่สามที่พบมาเป็นฐาน

เพื่อความชัดเจน เราจะแสดงองค์ประกอบที่เป็นพื้นฐานรอง:


เราทิ้งเงื่อนไขที่เกี่ยวข้องกับพื้นฐานรองไว้ทางด้านซ้ายของสมการของระบบ และโอนส่วนที่เหลือจาก สัญญาณตรงกันข้ามทางด้านขวา:


ให้ค่าตัวแปรที่ไม่รู้จักฟรี x 2 และ x 5 กันนั่นคือเรายอมรับ , ที่ไหนเป็นตัวเลขที่กำหนดเอง ในกรณีนี้ SLAE จะอยู่ในรูปแบบ


ให้เราแก้ระบบประถมศึกษาผลลัพธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีของแครมเมอร์:


เพราะฉะนั้น, .

ในคำตอบของคุณ อย่าลืมระบุตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระ

คำตอบ:

ตัวเลขที่กำหนดเองอยู่ที่ไหน

สรุป.

ในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นทั่วไป ก่อนอื่นเราต้องพิจารณาความเข้ากันได้ของระบบโดยใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์–คาเปลลี หากอันดับของเมทริกซ์หลักไม่เท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยายแล้วเราจะสรุปได้ว่าระบบเข้ากันไม่ได้

หากอันดับของเมทริกซ์หลักเท่ากับอันดับของเมทริกซ์แบบขยายเราจะเลือกฐานรองและละทิ้งสมการของระบบที่ไม่มีส่วนร่วมในการก่อตัวของฐานรองที่เลือก

ถ้าลำดับของฐานรองเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จัก SLAE ก็มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ซึ่งสามารถพบได้โดยวิธีการใดๆ ก็ตามที่เรารู้จัก

หากลำดับของฐานรองน้อยกว่าจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักจากนั้นทางด้านซ้ายของสมการของระบบเราจะปล่อยเงื่อนไขไว้กับตัวแปรที่ไม่รู้จักหลักโอนเงื่อนไขที่เหลือไปทางด้านขวาและให้ค่าตามอำเภอใจ ตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระ จากระบบผลลัพธ์ของสมการเชิงเส้น เราค้นหาตัวแปรหลักที่ไม่รู้จักโดยใช้วิธีแครเมอร์ วิธีเมทริกซ์ หรือวิธีเกาส์

วิธีเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นรูปแบบทั่วไป

วิธีเกาส์สามารถใช้เพื่อแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นใดๆ ก็ตาม โดยไม่ต้องทดสอบความสอดคล้องของระบบก่อน กระบวนการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับทำให้สามารถสรุปเกี่ยวกับทั้งความเข้ากันได้และความไม่เข้ากันของ SLAE และหากมีวิธีแก้ไข ก็จะทำให้สามารถค้นหาได้

จากมุมมองทางการคำนวณ ควรใช้วิธีเกาส์เซียนมากกว่า

ดูมัน คำอธิบายโดยละเอียดและวิเคราะห์ตัวอย่างในบทความเรื่องวิธีเกาส์สำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นรูปแบบทั่วไป

การเขียนคำตอบทั่วไปของระบบพีชคณิตเชิงเส้นแบบเอกพันธ์และแบบไม่เอกพันธ์โดยใช้เวกเตอร์ของระบบพื้นฐานของคำตอบ

ในส่วนนี้ เราจะพูดถึงระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันพร้อมกันซึ่งมีคำตอบจำนวนอนันต์

ให้เราจัดการกับระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันก่อน

ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น p ที่ไม่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักคือชุดของคำตอบอิสระเชิงเส้น (n – r) ของระบบนี้ โดยที่ r คือลำดับของฐานรองของเมทริกซ์หลักของระบบ

หากเราแสดงว่าคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันเป็น X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) เป็นเมทริกซ์เรียงเป็นแนวที่มีมิติ n โดย 1) จากนั้นคำตอบทั่วไปของระบบเอกพันธ์นี้จะแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ตามอำเภอใจ C 1, C 2, ... , C (n-r) นั่นคือ .

คำว่าคำตอบทั่วไปของระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น (oroslau) หมายถึงอะไร

ความหมายนั้นง่าย: สูตรกำหนดทุกสิ่ง การแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ SLAE ดั้งเดิมกล่าวอีกนัยหนึ่งว่ารับชุดค่าใด ๆ ของค่าคงที่ตามอำเภอใจ C 1, C 2, ..., C (n-r) ตามสูตรเราจะได้หนึ่งในวิธีแก้ปัญหาของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันดั้งเดิม

ดังนั้น หากเราพบระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา เราก็สามารถกำหนดคำตอบทั้งหมดของ SLAE เอกพันธ์นี้ได้เป็น

ให้เราแสดงกระบวนการสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาสำหรับ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกัน

เราเลือกฐานรองของระบบดั้งเดิมของสมการเชิงเส้น แยกสมการอื่นๆ ทั้งหมดออกจากระบบ และโอนพจน์ทั้งหมดที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระไปทางด้านขวามือของสมการระบบที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม มาแจกสิ่งไม่รู้ฟรีกันเถอะ ค่าตัวแปร 1,0,0,…,0 และคำนวณค่าไม่ทราบหลักโดยการแก้ระบบมูลฐานของสมการเชิงเส้นที่เป็นผลลัพธ์ด้วยวิธีใดก็ตาม เช่น โดยใช้วิธี Cramer ซึ่งจะส่งผลให้ X (1) - คำตอบแรกของระบบพื้นฐาน หากเราให้ค่าที่ไม่รู้จักฟรีแก่ค่า 0,1,0,0,…,0 และคำนวณค่าที่ไม่รู้จักหลัก เราจะได้ X (2) และอื่นๆ หากเรากำหนดค่า 0.0,…,0.1 ให้กับตัวแปรที่ไม่รู้จักอิสระและคำนวณค่าที่ไม่รู้จักหลัก เราจะได้ X (n-r) . ด้วยวิธีนี้ ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาสำหรับ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกันจะถูกสร้างขึ้น และสามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปได้ในรูปแบบ

สำหรับระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีแก้ทั่วไปจะแสดงอยู่ในรูปแบบ โดยที่ คือคำตอบทั่วไปของระบบเนื้อเดียวกันที่สอดคล้องกัน และเป็นคำตอบเฉพาะของ SLAE ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันดั้งเดิม ซึ่งเราได้รับโดยการให้ค่าที่ไม่ทราบค่าอิสระ ​0,0,...,0 และการคำนวณค่าของไม่ทราบหลัก

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ค้นหาระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาและคำตอบทั่วไปของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน .

สารละลาย.

อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้นจะเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยายเสมอ เรามาค้นหาอันดับของเมทริกซ์หลักโดยใช้วิธีกำหนดขอบเขตรอง เนื่องจากไม่ใช่ศูนย์รองของลำดับแรก เราจะหาองค์ประกอบ 1 1 = 9 ของเมทริกซ์หลักของระบบ เรามาค้นหาขอบเขตรองที่ไม่ใช่ศูนย์ของลำดับที่สองกันดีกว่า:

พบลำดับรองที่สองซึ่งแตกต่างจากศูนย์ มาดูผู้เยาว์ลำดับที่สามที่อยู่ติดกับมันเพื่อค้นหาสิ่งที่ไม่ใช่ศูนย์:

ผู้เยาว์ที่มีขอบลำดับที่สามทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์หลักและเมทริกซ์ขยายจะเท่ากับสอง เอาล่ะ เพื่อความชัดเจน ให้เราสังเกตองค์ประกอบของระบบที่ประกอบขึ้นเป็น:

สมการที่สามของ SLAE ดั้งเดิมไม่ได้มีส่วนร่วมในการสร้างฐานรอง ดังนั้นจึงสามารถแยกออกได้:

เราทิ้งคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้หลักไว้ทางด้านขวาของสมการ และโอนคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้ฟรีไปทางด้านขวา:

ให้เราสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ระบบสมการเชิงเส้นแบบเอกพันธ์ดั้งเดิม ระบบพื้นฐานคำตอบของ SLAE นี้ประกอบด้วยสองคำตอบ เนื่องจาก SLAE ดั้งเดิมมีตัวแปรที่ไม่รู้จักสี่ตัวแปร และลำดับของรองพื้นฐานมีค่าเท่ากับสอง ในการค้นหา X (1) เราให้ค่าตัวแปรที่ไม่รู้จักฟรี x 2 = 1, x 4 = 0 จากนั้นเราจะค้นหาตัวแปรหลักจากระบบสมการ
.

เมื่อใช้โปรแกรมทางคณิตศาสตร์นี้ คุณสามารถแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวที่มีตัวแปรสองตัวได้โดยใช้วิธีการแทนที่และวิธีการบวก

โปรแกรมไม่เพียงให้คำตอบสำหรับปัญหาเท่านั้น แต่ยังให้อีกด้วย วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดโดยอธิบายขั้นตอนการแก้โจทย์ได้ 2 วิธี คือ วิธีทดแทน และวิธีการบวก

โปรแกรมนี้อาจเป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายในการเตรียมความพร้อม การทดสอบและการสอบเมื่อทดสอบความรู้ก่อนการสอบ Unified State เพื่อให้ผู้ปกครองได้ควบคุมการแก้ปัญหาต่างๆในวิชาคณิตศาสตร์และพีชคณิต หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างครูสอนพิเศษหรือซื้อตำราเรียนใหม่ หรือคุณเพียงต้องการทำการบ้านคณิตศาสตร์หรือพีชคณิตให้เสร็จโดยเร็วที่สุด? ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดได้

ด้วยวิธีนี้ คุณสามารถดำเนินการฝึกอบรมและ/หรือฝึกอบรมน้องชายหรือน้องสาวของคุณได้เอง ในขณะที่ระดับการศึกษาในด้านการแก้ปัญหาก็เพิ่มขึ้น

กฎสำหรับการเข้าสมการ

ตัวอักษรละตินใดๆ สามารถทำหน้าที่เป็นตัวแปรได้
ตัวอย่างเช่น: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) เป็นต้น

เมื่อเข้าสู่สมการ คุณสามารถใช้วงเล็บได้- ในกรณีนี้ สมการจะถูกทำให้ง่ายขึ้นก่อน สมการหลังจากการทำให้เข้าใจง่ายจะต้องเป็นแบบเชิงเส้น เช่น ของรูปแบบ ax+by+c=0 โดยมีความแม่นยำในการเรียงลำดับองค์ประกอบ
ตัวอย่างเช่น: 6x+1 = 5(x+y)+2

คุณไม่เพียงแต่ใช้จำนวนเต็มในสมการเท่านั้น แต่ยังใช้ได้ด้วย ตัวเลขเศษส่วนในรูปทศนิยมและเศษส่วนสามัญ

กฎการป้อนเศษส่วนทศนิยม
จำนวนเต็มและเศษส่วนใน ทศนิยมสามารถคั่นด้วยจุดหรือลูกน้ำก็ได้
ตัวอย่างเช่น: 2.1n + 3.5m = 55

กฎการป้อนเศษส่วนสามัญ
มีเพียงจำนวนเต็มเท่านั้นที่สามารถทำหน้าที่เป็นทั้งเศษ ตัวส่วน และจำนวนเต็มของเศษส่วนได้
ตัวส่วนไม่สามารถเป็นลบได้
เมื่อเข้ามา เศษส่วนที่เป็นตัวเลขตัวเศษจะแยกออกจากตัวส่วนด้วยเครื่องหมายหาร: /
ส่วนทั้งหมดถูกแยกออกจากเศษส่วนด้วยเครื่องหมายแอมเพอร์แซนด์: &

ตัวอย่าง.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
คุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock ไว้
ในกรณีนี้ ให้ปิดการใช้งานและรีเฟรชเพจ

เพราะ มีคนจำนวนมากยินดีแก้ไขปัญหา คำขอของคุณอยู่ในคิวแล้ว
ภายในไม่กี่วินาทีวิธีแก้ปัญหาจะปรากฏขึ้นด้านล่าง
โปรดรอ วินาที...

ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในแบบฟอร์มคำติชม
อย่าลืม ระบุว่างานใดคุณตัดสินใจว่าอะไร เข้าไปในทุ่งนา.

เกม ปริศนา อีมูเลเตอร์ของเรา:

ทฤษฎีเล็กน้อย

การแก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีการทดแทน

ลำดับของการกระทำเมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีการทดแทน:
1) แสดงตัวแปรหนึ่งจากสมการของระบบในรูปของอีกสมการหนึ่ง
2) แทนที่นิพจน์ผลลัพธ์เป็นสมการอื่นของระบบแทนตัวแปรนี้

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

ลองเขียน y ในรูปของ x จากสมการแรก: y = 7-3x แทนที่นิพจน์ 7-3x ลงในสมการที่สองแทนที่จะเป็น y เราจะได้ระบบ:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

มันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าระบบที่หนึ่งและสองมีวิธีแก้ปัญหาเหมือนกัน ในระบบที่สอง สมการที่สองมีเพียงตัวแปรเดียวเท่านั้น มาแก้สมการนี้กัน:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \ลูกศรขวา -5x+14-6x=3 \ลูกศรขวา -11x=-11 \ลูกศรขวา x=1 $$

เมื่อแทน 1 แทน x ลงในความเท่าเทียมกัน y=7-3x เราจะพบค่าที่สอดคล้องกันของ y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \ลูกศรขวา y=4 $$

คู่ (1;4) - วิธีแก้ปัญหาของระบบ

ระบบสมการของตัวแปรสองตัวที่มีคำตอบเหมือนกันเรียกว่า เทียบเท่า- ระบบที่ไม่มีวิธีแก้ปัญหาก็ถือว่าเทียบเท่ากันเช่นกัน

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยการบวก

ลองพิจารณาอีกวิธีหนึ่งในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น - วิธีการบวก เมื่อแก้ระบบด้วยวิธีนี้ เช่นเดียวกับเมื่อแก้ด้วยการแทนที่ เราจะย้ายจากระบบนี้ไปยังอีกระบบหนึ่งที่เทียบเท่ากัน โดยสมการหนึ่งมีตัวแปรเพียงตัวเดียว

ลำดับของการกระทำเมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีการบวก:
1) คูณสมการของเทอมของระบบทีละเทอม โดยเลือกปัจจัยเพื่อให้ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งกลายเป็น ตัวเลขตรงข้าม;
2) เพิ่มด้านซ้ายและด้านขวาของสมการของระบบทีละเทอม
3) แก้สมการผลลัพธ์ด้วยตัวแปรเดียว
4) ค้นหาค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปรตัวที่สอง

ตัวอย่าง. มาแก้ระบบสมการกัน:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

ในสมการของระบบนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ของ y เป็นจำนวนที่ตรงกันข้าม การเพิ่มด้านซ้ายและด้านขวาของสมการทีละเทอม เราจะได้สมการที่มีตัวแปร 3 ตัวคือ 3x=33 ลองแทนที่สมการหนึ่งของระบบ เช่น สมการแรก ด้วยสมการ 3x=33 มาวางระบบกันเถอะ
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

จากสมการ 3x=33 เราพบว่า x=11 เมื่อแทนค่า x นี้ลงในสมการ \(x-3y=38\) เราจะได้สมการที่มีตัวแปร y: \(11-3y=38\) มาแก้สมการนี้กัน:
\(-3y=27 \ลูกศรขวา y=-9 \)

ดังนั้นเราจึงพบคำตอบของระบบสมการโดยการบวก: \(x=11; y=-9\) หรือ \((11;-9)\)

ใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าในสมการของระบบ ค่าสัมประสิทธิ์ของ y เป็นจำนวนตรงข้าม เราจึงลดคำตอบของมันลงเหลือเพียงคำตอบของระบบที่เทียบเท่ากัน (โดยการรวมทั้งสองด้านของแต่ละสมการของระบบดั้งเดิม) โดยที่ค่าหนึ่ง ของสมการจะมีตัวแปรเพียงตัวเดียว