การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครเมอร์ กฎของแครเมอร์

วิธีการของแครมเมอร์ขึ้นอยู่กับการใช้ปัจจัยกำหนดในการแก้ระบบ สมการเชิงเส้น- สิ่งนี้จะช่วยเร่งกระบวนการแก้ปัญหาได้อย่างมาก

วิธีของแครมเมอร์สามารถใช้เพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้มากเท่าที่ไม่ทราบค่าในแต่ละสมการ ถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของระบบไม่เท่ากับศูนย์ ก็สามารถใช้วิธีของแครมเมอร์ในการแก้ปัญหาได้ แต่ถ้ามันเท่ากับศูนย์ก็จะใช้ไม่ได้ นอกจากนี้ วิธีของแครมเมอร์ยังสามารถใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบเฉพาะได้

คำนิยาม- ดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบเรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ของระบบและเขียนแทนด้วย (เดลต้า)

ปัจจัยกำหนด

ได้จากการแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งแปลกปลอมที่เกี่ยวข้องด้วยเงื่อนไขอิสระ:

;

.

ทฤษฎีบทของแครเมอร์. หากดีเทอร์มีแนนต์ของระบบไม่เป็นศูนย์ ระบบสมการเชิงเส้นจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัวเดียว และความไม่ทราบจะเท่ากับอัตราส่วนของดีเทอร์มิแนนต์ ตัวส่วนประกอบด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ และตัวเศษประกอบด้วยดีเทอร์มิแนนต์ที่ได้รับจากดีเทอร์มิแนนต์ของระบบโดยการแทนที่สัมประสิทธิ์ของค่าที่ไม่รู้จักด้วยเงื่อนไขอิสระ ทฤษฎีบทนี้ใช้สำหรับระบบสมการเชิงเส้นของลำดับใดๆ

ตัวอย่างที่ 1แก้ระบบสมการเชิงเส้น:

ตาม ทฤษฎีบทของแครเมอร์เรามี:

ดังนั้น วิธีแก้ปัญหาของระบบ (2):

เครื่องคิดเลขออนไลน์ วิธีการแก้ของแครเมอร์

สามกรณีเมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้น

ตามที่ชัดเจนจาก ทฤษฎีบทของแครเมอร์เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นสามารถเกิดขึ้นได้สามกรณี:

กรณีแรก: ระบบสมการเชิงเส้นมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

(ระบบมีความสม่ำเสมอและแน่นอน)

กรณีที่สอง: ระบบสมการเชิงเส้นมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด

(ระบบมีความสม่ำเสมอและไม่แน่นอน)

** ,

เหล่านั้น. ค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้และเงื่อนไขอิสระนั้นเป็นสัดส่วน

กรณีที่สาม: ระบบสมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบ

(ระบบไม่สอดคล้องกัน)

ดังนั้นระบบ มสมการเชิงเส้นด้วย nเรียกว่าตัวแปร ไม่ใช่ข้อต่อถ้าเธอไม่มีทางออกเดียวและ ข้อต่อถ้ามีอย่างน้อยหนึ่งวิธี เรียกว่าระบบสมการที่มีคำตอบเดียวเท่านั้น แน่ใจและมากกว่าหนึ่ง – ไม่แน่นอน.

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครมเมอร์

ให้ระบบได้รับ

.

ขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทของแครเมอร์

………….
,

ที่ไหน
-

ปัจจัยกำหนดระบบ เราได้รับปัจจัยที่เหลือโดยการแทนที่คอลัมน์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่เกี่ยวข้อง (ไม่ทราบ) ด้วยเงื่อนไขอิสระ:

ตัวอย่างที่ 2

.

ดังนั้นระบบจึงมีความชัดเจน เพื่อหาคำตอบ เราจะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์

จากการใช้สูตรของ Cramer เราพบว่า:

ดังนั้น (1; 0; -1) จึงเป็นทางออกเดียวของระบบ

หากต้องการตรวจสอบคำตอบของระบบสมการ 3 X 3 และ 4 X 4 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์โดยใช้วิธีการแก้ของแครมเมอร์

หากในระบบสมการเชิงเส้นไม่มีตัวแปรในสมการตั้งแต่หนึ่งสมการขึ้นไป องค์ประกอบที่เกี่ยวข้องจะเท่ากับศูนย์ในดีเทอร์มิแนนต์! นี่คือตัวอย่างถัดไป

ตัวอย่างที่ 3แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครมเมอร์:

.

สารละลาย. เราค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ:

ดูระบบสมการและดีเทอร์มิแนนต์ของระบบอย่างละเอียด แล้วตอบซ้ำสำหรับคำถามซึ่งในกรณีนี้ องค์ประกอบของดีเทอร์มิแนนต์อย่างน้อยหนึ่งรายการจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นระบบจึงเป็นค่าที่แน่นอน เพื่อหาวิธีแก้ปัญหา เราจะคำนวณปัจจัยกำหนดของสิ่งที่ไม่ทราบ

จากการใช้สูตรของ Cramer เราพบว่า:

ดังนั้น คำตอบของระบบคือ (2; -1; 1)

หากต้องการตรวจสอบคำตอบของระบบสมการ 3 X 3 และ 4 X 4 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์โดยใช้วิธีการแก้ของแครมเมอร์

ด้านบนของหน้า

เรายังคงแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีของ Cramer ร่วมกัน

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว หากปัจจัยกำหนดของระบบเท่ากับศูนย์ และปัจจัยกำหนดของสิ่งที่ไม่ทราบไม่เท่ากับศูนย์ ระบบจะไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ให้เราอธิบายด้วยตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 6แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครมเมอร์:

สารละลาย. เราค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ:

ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น ระบบสมการเชิงเส้นจึงไม่สอดคล้องกันและแน่นอน หรือไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ไม่มีคำตอบ เพื่อชี้แจงให้กระจ่างยิ่งขึ้น เราจะคำนวณปัจจัยกำหนดสำหรับสิ่งที่ไม่ทราบ

ปัจจัยกำหนดของสิ่งที่ไม่ทราบไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ระบบจึงไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

หากต้องการตรวจสอบคำตอบของระบบสมการ 3 X 3 และ 4 X 4 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์โดยใช้วิธีการแก้ของแครมเมอร์

ในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับระบบสมการเชิงเส้น ยังมีปัญหาที่นอกเหนือจากตัวอักษรที่แสดงถึงตัวแปรแล้ว ยังมีตัวอักษรอื่นๆ ด้วย ตัวอักษรเหล่านี้เป็นตัวแทนของตัวเลข ซึ่งส่วนใหญ่มักเป็นตัวเลขจริง ในทางปฏิบัติ ปัญหาการค้นหานำไปสู่สมการและระบบสมการดังกล่าว คุณสมบัติทั่วไปปรากฏการณ์หรือวัตถุใดๆ นั่นก็คือคุณได้คิดค้นอะไรขึ้นมาบ้าง วัสดุใหม่หรืออุปกรณ์ และเพื่ออธิบายคุณสมบัติของมัน ซึ่งเป็นเรื่องปกติโดยไม่คำนึงถึงขนาดหรือจำนวนของอินสแตนซ์ คุณต้องแก้ระบบสมการเชิงเส้น โดยที่แทนที่จะเป็นค่าสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรจะมีตัวอักษร คุณไม่จำเป็นต้องมองหาตัวอย่างไกล

ตัวอย่างต่อไปนี้ใช้สำหรับปัญหาที่คล้ายกัน เฉพาะจำนวนสมการ ตัวแปร และตัวอักษรที่แสดงถึงจำนวนจริงเท่านั้นที่เพิ่มขึ้น

ตัวอย่างที่ 8แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครมเมอร์:

สารละลาย. เราค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ:

การหาปัจจัยกำหนดสิ่งที่ไม่รู้

ด้วยจำนวนสมการที่เท่ากันกับจำนวนไม่ทราบค่าที่มีปัจจัยกำหนดหลักของเมทริกซ์ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์คือค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ (สำหรับสมการดังกล่าวมีคำตอบและมีเพียงอันเดียวเท่านั้น)

ทฤษฎีบทของแครเมอร์

เมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ของระบบกำลังสองไม่เป็นศูนย์ หมายความว่าระบบมีความสม่ำเสมอและมีคำตอบเดียว ซึ่งสามารถหาได้จาก สูตรของแครมเมอร์:

โดยที่ Δ - ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ระบบ,

Δ ฉันคือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ระบบ ซึ่งแทนที่จะเป็น ฉันคอลัมน์ที่ 3 ประกอบด้วยคอลัมน์ด้านขวา

เมื่อปัจจัยกำหนดของระบบเป็นศูนย์ หมายความว่าระบบสามารถทำงานร่วมกันหรือเข้ากันไม่ได้

โดยปกติวิธีนี้จะใช้กับระบบขนาดเล็กที่มีการคำนวณอย่างกว้างขวาง และหากจำเป็นต้องระบุสิ่งที่ไม่ทราบค่าอย่างใดอย่างหนึ่ง ความซับซ้อนของวิธีการคือต้องคำนวณปัจจัยกำหนดหลายตัว

คำอธิบายของวิธี Cramer

มีระบบสมการ:

ระบบสมการ 3 สมการสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีแครมเมอร์ ซึ่งได้กล่าวไว้ข้างต้นสำหรับระบบ 2 สมการ

เราเขียนปัจจัยจากค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งไม่รู้:

มันจะเป็น ปัจจัยกำหนดระบบ- เมื่อไร ด≠0ซึ่งหมายความว่าระบบมีความสม่ำเสมอ ตอนนี้เรามาสร้างปัจจัยเพิ่มเติมอีก 3 ตัว:

,,

เราแก้ระบบด้วยการ สูตรของแครมเมอร์:

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีแครเมอร์

ตัวอย่างที่ 1.

ระบบที่กำหนด:

ลองแก้มันโดยใช้วิธีของแครเมอร์

ก่อนอื่นคุณต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ระบบ:

เพราะ Δ≠0 ซึ่งหมายความว่าจากทฤษฎีบทของแครมเมอร์ ระบบมีความสอดคล้องและมีคำตอบเดียว เราคำนวณปัจจัยกำหนดเพิ่มเติม ดีเทอร์มิแนนต์ Δ 1 ได้มาจากดีเทอร์มิแนนต์ Δ โดยการแทนที่คอลัมน์แรกด้วยคอลัมน์ของสัมประสิทธิ์อิสระ เราได้รับ:

ในทำนองเดียวกัน เราได้ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของ Δ 2 จากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ระบบโดยการแทนที่คอลัมน์ที่สองด้วยคอลัมน์ของสัมประสิทธิ์อิสระ:

ในส่วนแรก เราดูเนื้อหาทางทฤษฎีบางอย่าง วิธีการแทนที่ ตลอดจนวิธีการบวกสมการของระบบทีละเทอม ฉันแนะนำให้ทุกคนที่เข้าถึงเว็บไซต์ผ่านหน้านี้เพื่ออ่านส่วนแรก บางทีผู้เยี่ยมชมบางคนอาจพบว่าเนื้อหาง่ายเกินไป แต่ในกระบวนการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ฉันได้แสดงความคิดเห็นและข้อสรุปที่สำคัญมากหลายประการเกี่ยวกับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยทั่วไป

ตอนนี้เราจะวิเคราะห์กฎของแครเมอร์รวมถึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้ เมทริกซ์ผกผัน(วิธีเมทริกซ์) เนื้อหาทั้งหมดนำเสนออย่างเรียบง่าย มีรายละเอียด และชัดเจน ผู้อ่านเกือบทั้งหมดจะสามารถเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีการข้างต้น

ขั้นแรก เราจะมาดูรายละเอียดกฎของแครเมอร์สำหรับระบบสมการเชิงเส้นสองสมการในค่าไม่ทราบค่าสองตัว เพื่ออะไร? - หลังจากนั้น ระบบที่ง่ายที่สุดแก้ได้ด้วยวิธีโรงเรียน วิธีบวกแบบทีละภาค!

ความจริงก็คือแม้ว่าบางครั้งงานดังกล่าวจะเกิดขึ้น - เพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการโดยไม่ทราบค่าสองตัวโดยใช้สูตรของแครมเมอร์ ประการที่สอง ตัวอย่างที่ง่ายกว่านี้จะช่วยให้คุณเข้าใจวิธีใช้กฎของแครเมอร์ให้มากขึ้น กรณีที่ซับซ้อน– ระบบสมการสามสมการที่มีสามไม่ทราบ

นอกจากนี้ยังมีระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวซึ่งแนะนำให้แก้โดยใช้กฎของแครมเมอร์!

พิจารณาระบบสมการ

ในขั้นตอนแรกเราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ซึ่งเรียกว่า ปัจจัยกำหนดหลักของระบบ.

วิธีเกาส์

ถ้า ดังนั้นระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และเพื่อค้นหาราก เราจะต้องคำนวณปัจจัยอีกสองตัว:
และ

ในทางปฏิบัติ ตัวระบุข้างต้นสามารถแสดงด้วยตัวอักษรละตินได้เช่นกัน

เราค้นหารากของสมการโดยใช้สูตร:
,

ตัวอย่างที่ 7

แก้ระบบสมการเชิงเส้น

สารละลาย: เราจะเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของสมการค่อนข้างมากทางด้านขวาจะมี ทศนิยมด้วยลูกน้ำ ลูกน้ำเป็นแขกที่ค่อนข้างหายากในงานภาคปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ ฉันเอาระบบนี้มาจากปัญหาทางเศรษฐมิติ

จะแก้ไขระบบดังกล่าวได้อย่างไร? คุณสามารถลองแสดงตัวแปรหนึ่งในแง่ของอีกตัวแปรหนึ่งได้ แต่ในกรณีนี้ คุณอาจจะจบลงด้วยเศษส่วนแฟนซีที่แย่มากซึ่งใช้งานไม่สะดวกอย่างยิ่ง และการออกแบบโซลูชันจะดูแย่มาก คุณสามารถคูณสมการที่สองด้วย 6 และลบเทอมต่อเทอม แต่เศษส่วนเดียวกันก็จะเกิดขึ้นที่นี่เช่นกัน

จะทำอย่างไร? ในกรณีเช่นนี้ สูตรของ Cramer เข้ามาช่วยเหลือ

;

;

คำตอบ: ,

รากทั้งสองมีหางที่ไม่มีที่สิ้นสุดและพบได้โดยประมาณ ซึ่งค่อนข้างยอมรับได้ (และแม้แต่เรื่องธรรมดาด้วยซ้ำ) สำหรับปัญหาทางเศรษฐมิติ

ไม่จำเป็นต้องแสดงความคิดเห็นที่นี่เนื่องจากงานได้รับการแก้ไขโดยใช้สูตรสำเร็จรูป แต่มีข้อแม้อยู่ประการหนึ่ง เมื่อใช้วิธีนี้ ภาคบังคับส่วนของการออกแบบงานคือส่วนต่อไปนี้: “นั่นหมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร”- มิฉะนั้น ผู้ตรวจสอบอาจลงโทษคุณสำหรับการไม่เคารพทฤษฎีบทของแครมเมอร์

การตรวจสอบซึ่งสามารถทำได้สะดวกบนเครื่องคิดเลขจะไม่ฟุ่มเฟือย: เราแทนที่ค่าโดยประมาณทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ ด้วยเหตุนี้ หากมีข้อผิดพลาดเล็กน้อย คุณควรได้ตัวเลขที่อยู่ทางด้านขวา

ตัวอย่างที่ 8

นำเสนอคำตอบตามปกติ เศษส่วนที่ไม่เหมาะสม- ทำการตรวจสอบ

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ(ตัวอย่างจบและเฉลยท้ายบทเรียน)

มาดูกฎของแครเมอร์สำหรับระบบสมการสามสมการที่ไม่ทราบค่าสามค่ากัน:

เราค้นหาปัจจัยหลักของระบบ:

ถ้า แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุดหรือไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ในกรณีนี้ กฎของแครเมอร์จะไม่ช่วย คุณต้องใช้วิธีเกาส์

ถ้า จากนั้นระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และเพื่อค้นหาราก เราจะต้องคำนวณปัจจัยอีกสามตัว:
, ,

และสุดท้าย คำตอบก็คำนวณโดยใช้สูตร:

อย่างที่คุณเห็นโดยพื้นฐานแล้วกรณี "สามต่อสาม" นั้นไม่แตกต่างจากกรณี "สองต่อสอง" คอลัมน์ของคำศัพท์อิสระตามลำดับ "เดิน" จากซ้ายไปขวาตามคอลัมน์ของปัจจัยหลัก

ตัวอย่างที่ 9

แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์

สารละลาย: มาแก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์กันดีกว่า

ซึ่งหมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

คำตอบ: .

ที่จริงแล้วไม่มีอะไรพิเศษที่จะแสดงความคิดเห็นที่นี่อีกครั้งเนื่องจากการแก้ปัญหาเป็นไปตามสูตรสำเร็จรูป แต่มีความคิดเห็นสองสามอย่าง

มันเกิดขึ้นว่าจากการคำนวณจะได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ "ไม่ดี" เช่น: .
ฉันขอแนะนำอัลกอริทึม "การรักษา" ต่อไปนี้ หากคุณไม่มีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ ให้ทำดังนี้:

1) อาจมีข้อผิดพลาดในการคำนวณ ทันทีที่คุณเจอเศษส่วนที่ “แย่” คุณต้องตรวจสอบทันที เขียนเงื่อนไขใหม่ถูกต้องหรือไม่?- หากเงื่อนไขถูกเขียนใหม่โดยไม่มีข้อผิดพลาด คุณจะต้องคำนวณปัจจัยกำหนดใหม่โดยใช้การขยายในแถวอื่น (คอลัมน์)

2) หากไม่มีการระบุข้อผิดพลาดจากการตรวจสอบ เป็นไปได้มากว่ามีการพิมพ์ผิดในเงื่อนไขของงาน ในกรณีนี้ ทำงานอย่างใจเย็นและระมัดระวังจนจบงานและจากนั้น อย่าลืมตรวจสอบและเราเก็บคลีนชีตหลังการตัดสิน แน่นอนว่าการตรวจสอบคำตอบที่เป็นเศษส่วนนั้นเป็นงานที่ไม่น่าพอใจ แต่มันจะเป็นข้อโต้แย้งที่น่ากังวลสำหรับครูที่ชอบให้คะแนนลบสำหรับเรื่องไร้สาระเช่น วิธีจัดการกับเศษส่วนอธิบายไว้โดยละเอียดในคำตอบของตัวอย่างที่ 8

หากคุณมีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ ให้ใช้โปรแกรมอัตโนมัติเพื่อตรวจสอบ ซึ่งสามารถดาวน์โหลดได้ฟรีตั้งแต่ต้นบทเรียน อย่างไรก็ตาม การใช้โปรแกรมทันทีจะทำกำไรได้มากที่สุด (ก่อนที่จะเริ่มวิธีแก้ปัญหา) คุณจะเห็นขั้นตอนกลางที่คุณทำผิดพลาดทันที! เครื่องคิดเลขเดียวกันจะคำนวณวิธีแก้ปัญหาของระบบโดยอัตโนมัติโดยใช้วิธีเมทริกซ์

หมายเหตุที่สอง ในบางครั้งจะมีระบบในสมการที่ตัวแปรบางตัวหายไป เช่น

ในสมการแรกไม่มีตัวแปร สมการที่สองไม่มีตัวแปร ในกรณีเช่นนี้ การเขียนปัจจัยหลักอย่างถูกต้องและระมัดระวังเป็นสิ่งสำคัญมาก:
– เลขศูนย์จะถูกวางไว้แทนที่ตัวแปรที่หายไป
อย่างไรก็ตาม มีเหตุผลที่จะเปิดปัจจัยที่มีศูนย์ตามแถว (คอลัมน์) ซึ่งมีศูนย์อยู่เนื่องจากมีการคำนวณน้อยลงอย่างเห็นได้ชัด

ตัวอย่างที่ 10

แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับวิธีแก้ปัญหาอิสระ (ตัวอย่างการออกแบบขั้นสุดท้ายและคำตอบท้ายบทเรียน)

ในกรณีของระบบสมการ 4 สมการที่มี 4 ไม่ทราบ สูตรของแครเมอร์ก็เขียนตามหลักการที่คล้ายคลึงกัน คุณสามารถดูตัวอย่างสดได้ในบทเรียนคุณสมบัติของปัจจัยกำหนด การลดลำดับของดีเทอร์มิแนนต์ - ดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่ 4 ห้าตัวค่อนข้างแก้ไขได้ แม้ว่างานจะชวนให้นึกถึงรองเท้าของอาจารย์ที่อยู่บนหน้าอกของนักเรียนที่โชคดีอยู่แล้ว

การแก้ระบบโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

วิธีเมทริกซ์ผกผันถือเป็นกรณีพิเศษ สมการเมทริกซ์(ดูตัวอย่างหมายเลข 3 ของบทเรียนที่ระบุ)

หากต้องการศึกษาส่วนนี้ คุณจะต้องสามารถขยายดีเทอร์มิแนนต์ ค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ และทำการคูณเมทริกซ์ได้ ลิงก์ที่เกี่ยวข้องจะมีให้ตามความคืบหน้าของคำอธิบาย

ตัวอย่างที่ 11

แก้ระบบโดยใช้วิธีเมทริกซ์

สารละลาย: ลองเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์:
, ที่ไหน

โปรดดูระบบสมการและเมทริกซ์ ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจหลักการที่เราเขียนองค์ประกอบลงในเมทริกซ์ ความคิดเห็นเดียว: หากตัวแปรบางตัวหายไปจากสมการ จะต้องวางศูนย์ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันในเมทริกซ์

เราค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้สูตร:
โดยที่ คือเมทริกซ์ขนย้ายของการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์

ก่อนอื่น มาดูปัจจัยกำหนดกันก่อน:

ที่นี่ดีเทอร์มิแนนต์จะขยายอยู่ในบรรทัดแรก

ความสนใจ! ถ้า แสดงว่าเมทริกซ์ผกผันไม่มีอยู่ และเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ระบบโดยใช้วิธีเมทริกซ์ ในกรณีนี้ ระบบจะแก้ไขโดยวิธีกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบ (วิธี Gauss)

ตอนนี้เราต้องคำนวณตัวรอง 9 ตัวแล้วเขียนลงในเมทริกซ์ตัวรอง

อ้างอิง:การทราบความหมายของตัวห้อยคู่ในพีชคณิตเชิงเส้นมีประโยชน์ ตัวเลขตัวแรกคือจำนวนบรรทัดที่องค์ประกอบนั้นตั้งอยู่ หลักที่สองคือจำนวนคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบอยู่:

นั่นคือ ตัวห้อยคู่บ่งชี้ว่าองค์ประกอบอยู่ในแถวแรก คอลัมน์ที่สาม และตัวอย่าง องค์ประกอบอยู่ใน 3 แถว 2 คอลัมน์

ให้ระบบสมการเชิงเส้นมีสมการมากเท่ากับจำนวนตัวแปรอิสระ เช่น ดูเหมือน

ระบบสมการเชิงเส้นดังกล่าวเรียกว่ากำลังสอง ดีเทอร์มิแนนต์ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ความเป็นอิสระ ตัวแปรระบบ(1.5) เรียกว่า ปัจจัยกำหนดหลักของระบบ เราจะเขียนแทนด้วยอักษรกรีก D ดังนั้น

. (1.6)

หากปัจจัยหลักประกอบด้วยค่าใด ๆ ( เจ th) แทนที่ด้วยคอลัมน์เงื่อนไขระบบอิสระ (1.5) จากนั้นคุณจะได้รับ nรอบคัดเลือกเสริม:

(เจ = 1, 2, …, n). (1.7)

กฎของแครเมอร์การแก้ระบบสมการกำลังสองของสมการเชิงเส้นมีดังนี้ หากปัจจัยหลัก D ของระบบ (1.5) แตกต่างจากศูนย์ แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ซึ่งสามารถพบได้โดยใช้สูตร:

(1.8)

ตัวอย่างที่ 1.5แก้ระบบสมการโดยใช้วิธีแครเมอร์

.

ให้เราคำนวณปัจจัยหลักของระบบ:

ตั้งแต่ D¹0 ระบบก็มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ซึ่งสามารถพบได้โดยใช้สูตร (1.8):

ดังนั้น,

การดำเนินการกับเมทริกซ์

1. การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขการดำเนินการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขมีดังต่อไปนี้

2. ในการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข คุณต้องคูณองค์ประกอบทั้งหมดด้วยตัวเลขนี้ นั่นคือ

. (1.9)

ตัวอย่างที่ 1.6 .

การบวกเมทริกซ์

การดำเนินการนี้ใช้กับเมทริกซ์ที่มีลำดับเดียวกันเท่านั้น

ในการเพิ่มเมทริกซ์สองตัว จำเป็นต้องเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์อื่นเข้ากับองค์ประกอบของเมทริกซ์ตัวหนึ่ง:

(1.10)
การดำเนินการของการบวกเมทริกซ์มีคุณสมบัติของการเชื่อมโยงและการสับเปลี่ยน

ตัวอย่างที่ 1.7 .

การคูณเมทริกซ์

ถ้าเป็นจำนวนคอลัมน์เมทริกซ์ กตรงกับจำนวนแถวของเมทริกซ์ ในจากนั้นสำหรับเมทริกซ์ดังกล่าว จะมีการแนะนำการดำเนินการคูณ:

2

ดังนั้นเมื่อทำการคูณเมทริกซ์ กขนาด ม´ nถึงเมทริกซ์ ในขนาด n´ เคเราได้เมทริกซ์ กับขนาด ม´ เค- ในกรณีนี้คือองค์ประกอบเมทริกซ์ กับคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ปัญหา 1.8.ค้นหาผลคูณของเมทริกซ์หากเป็นไปได้ เอบีและ ปริญญาตรี:

สารละลาย. 1) เพื่อหางานทำ เอบีคุณต้องมีแถวเมทริกซ์ กคูณด้วยคอลัมน์เมทริกซ์ บี:

2) การทำงาน ปริญญาตรีไม่มีอยู่ เนื่องจากจำนวนคอลัมน์เมทริกซ์ บีไม่ตรงกับจำนวนแถวเมทริกซ์ ก.

เมทริกซ์ผกผัน การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์

เมทริกซ์ เอ- 1 เรียกว่าอินเวอร์สของเมทริกซ์จตุรัส กถ้าความเท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ:

ผ่านที่ไหน ฉันหมายถึงเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีลำดับเดียวกันกับเมทริกซ์ ก:

.

เพื่อให้เมทริกซ์จตุรัสมีค่าผกผัน จำเป็นอย่างยิ่งและเพียงพอที่ปัจจัยกำหนดของเมทริกซ์จะแตกต่างจากศูนย์ พบเมทริกซ์ผกผันโดยใช้สูตร:

, (1.13)

ที่ไหน อาจ- การเติมพีชคณิตให้กับองค์ประกอบ ไอจเมทริกซ์ ก(โปรดทราบว่าการบวกพีชคณิตในแถวเมทริกซ์ กอยู่ในเมทริกซ์ผกผันในรูปแบบของคอลัมน์ที่สอดคล้องกัน)

ตัวอย่างที่ 1.9ค้นหาเมทริกซ์ผกผัน เอ- 1 ถึงเมทริกซ์

.

เราค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้สูตร (1.13) ซึ่งในกรณีนี้ n= 3 มีรูปแบบ:

.

มาหาเดชกัน. ก = | ก- = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมไม่เป็นศูนย์ จึงมีเมทริกซ์ผกผันอยู่

1) ค้นหาการเสริมพีชคณิต อาจ:

เพื่อความสะดวกในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน เราได้ใส่การบวกพีชคณิตลงในแถวของเมทริกซ์ดั้งเดิมในคอลัมน์ที่เกี่ยวข้อง

จากการบวกพีชคณิตที่ได้รับ เราจะเขียนเมทริกซ์ใหม่และหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ det ก- ดังนั้นเราจึงได้เมทริกซ์ผกผัน:

ระบบกำลังสองของสมการเชิงเส้นที่มีตัวกำหนดหลักที่ไม่ใช่ศูนย์สามารถแก้ไขได้โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ระบบ (1.5) จะถูกเขียนในรูปแบบเมทริกซ์:

ที่ไหน

คูณความเสมอภาคทั้งสองข้าง (1.14) จากทางซ้ายด้วย เอ- 1 เราได้คำตอบของระบบ:

, ที่ไหน

ดังนั้น เพื่อที่จะหาคำตอบของระบบกำลังสอง คุณต้องค้นหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์หลักของระบบแล้วคูณทางด้านขวาด้วยเมทริกซ์คอลัมน์ของเทอมอิสระ

ปัญหา 1.10.แก้ระบบสมการเชิงเส้น

โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

สารละลาย.ให้เราเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์: ,

ที่ไหน - เมทริกซ์หลักของระบบ - คอลัมน์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก และ - คอลัมน์ของคำศัพท์อิสระ เนื่องจากปัจจัยกำหนดหลักของระบบ แล้วเมทริกซ์หลักของระบบ กมีเมทริกซ์ผกผัน ก-1 . เพื่อหาเมทริกซ์ผกผัน ก-1 เราคำนวณการเสริมพีชคณิตให้กับองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ ก:

จากตัวเลขที่ได้รับ เราจะเขียนเมทริกซ์ (และการบวกพีชคณิตในแถวของเมทริกซ์ กเขียนมันลงในคอลัมน์ที่เหมาะสม) แล้วหารมันด้วยดีเทอร์มิแนนต์ D ดังนั้นเราจึงพบเมทริกซ์ผกผัน:

เราค้นหาวิธีแก้ไขระบบโดยใช้สูตร (1.15):

ดังนั้น,

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีกำจัดแบบจอร์แดนธรรมดา

ให้ระบบสมการเชิงเส้นตามอำเภอใจ (ไม่จำเป็นต้องเป็นกำลังสอง):

(1.16)

จำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาให้กับระบบเช่น ชุดของตัวแปรที่ตอบสนองความเท่าเทียมกันของระบบทั้งหมด (1.16) ในกรณีทั่วไป ระบบ (1.16) สามารถมีได้ไม่เพียงแต่โซลูชันเดียวเท่านั้น แต่ยังมีโซลูชันจำนวนอนันต์อีกด้วย มันอาจจะไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลยก็ได้

เมื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวเป็นที่รู้กันดีแล้ว หลักสูตรของโรงเรียนวิธีการกำจัดสิ่งแปลกปลอมซึ่งเรียกอีกอย่างว่าวิธีการกำจัดจอร์แดนแบบธรรมดา สาระการเรียนรู้แกนกลาง วิธีนี้อยู่ในความจริงที่ว่าหนึ่งในสมการของระบบ (1.16) ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งแสดงออกมาในรูปของตัวแปรอื่น จากนั้นตัวแปรนี้จะถูกแทนที่ด้วยสมการอื่นๆ ในระบบ ผลลัพธ์ที่ได้คือระบบที่มีหนึ่งสมการและมีตัวแปรน้อยกว่าระบบเดิมหนึ่งตัว สมการที่แสดงตัวแปรจะถูกจดจำ

กระบวนการนี้จะถูกทำซ้ำจนกว่าสมการสุดท้ายจะยังคงอยู่ในระบบ ด้วยกระบวนการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ สมการบางอย่างอาจกลายเป็นตัวตนที่แท้จริงได้ เช่น สมการดังกล่าวไม่รวมอยู่ในระบบเนื่องจากสมการเหล่านี้พอใจกับค่าใด ๆ ของตัวแปรดังนั้นจึงไม่ส่งผลกระทบต่อการแก้ปัญหาของระบบ หากในกระบวนการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จัก สมการอย่างน้อยหนึ่งสมการกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่ไม่สามารถพอใจกับค่าของตัวแปรใด ๆ (ตัวอย่าง) เราก็สรุปได้ว่าระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา

หากไม่มีสมการที่ขัดแย้งกันเกิดขึ้นระหว่างการแก้โจทย์ สมการสุดท้ายจะพบตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งที่เหลืออยู่ในสมการนั้น หากสมการสุดท้ายเหลือตัวแปรเพียงตัวเดียว ตัวแปรนั้นจะแสดงเป็นตัวเลข หากตัวแปรอื่นยังคงอยู่ในสมการสุดท้าย ตัวแปรเหล่านั้นจะถือเป็นพารามิเตอร์ และตัวแปรที่แสดงผ่านตัวแปรเหล่านั้นจะเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์เหล่านี้ จากนั้นสิ่งที่เรียกว่า "การย้อนกลับ" จะเกิดขึ้น ตัวแปรที่พบจะถูกแทนที่ลงในสมการที่จดจำไว้สุดท้าย และพบตัวแปรตัวที่สอง จากนั้นตัวแปรที่พบทั้งสองจะถูกแทนที่ลงในสมการที่จดจำสุดท้าย และตัวแปรที่สามจะถูกพบ ไปเรื่อยๆ จนถึงสมการแรกที่จดจำ

เป็นผลให้เราได้รับวิธีแก้ไขปัญหาของระบบ การตัดสินใจครั้งนี้จะไม่ซ้ำกันหากตัวแปรที่พบเป็นตัวเลข หากพบตัวแปรแรกแล้วตามด้วยตัวแปรอื่นๆ ทั้งหมด ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ ระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนอนันต์ (พารามิเตอร์แต่ละชุดสอดคล้องกับโซลูชันใหม่) สูตรที่ช่วยให้คุณค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาของระบบโดยขึ้นอยู่กับชุดพารามิเตอร์เฉพาะเรียกว่าวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบ

ตัวอย่างที่ 1.11

x

หลังจากท่องจำสมการแรกได้แล้ว และนำคำที่คล้ายกันมาสู่สมการที่สองและสามที่เรามาถึงระบบ:

มาแสดงออกกันเถอะ ยจากสมการที่สองแล้วแทนลงในสมการแรก:

ให้เราจำสมการที่สองและจากสมการแรกที่เราพบ z:

การทำงานย้อนกลับเราพบอย่างต่อเนื่อง ยและ z- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกเราจะแทนที่สมการที่จำได้สุดท้ายจากจุดที่เราพบ ย:

.

จากนั้นเราแทนมันลงในสมการแรกที่จำได้ เราจะหามันได้ที่ไหน x:

ปัญหา 1.12.แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยกำจัดสิ่งที่ไม่รู้:

. (1.17)

สารละลาย.ให้เราแสดงตัวแปรจากสมการแรก xและแทนที่มันลงในสมการที่สองและสาม:

.

จำสมการแรกกัน

ในระบบนี้ สมการที่หนึ่งและสองขัดแย้งกัน แท้จริงแล้วการแสดงออก ย เราจะได้ 14 = 17 ความเท่าเทียมกันนี้ไม่ถือเป็นค่าใด ๆ ของตัวแปร x, ย, และ z- ส่งผลให้ระบบ (1.17) ไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

เราขอเชิญชวนผู้อ่านให้ตรวจสอบด้วยตนเองว่าปัจจัยกำหนดหลักของระบบดั้งเดิม (1.17) มีค่าเท่ากับศูนย์

ให้เราพิจารณาระบบที่แตกต่างจากระบบ (1.17) ด้วยเทอมเดียวเท่านั้น

ปัญหา 1.13.แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยกำจัดสิ่งที่ไม่รู้:

. (1.18)

สารละลาย.เช่นเดิมเราแสดงตัวแปรจากสมการแรก xและแทนที่มันลงในสมการที่สองและสาม:

.

จำสมการแรกกัน และนำเสนอพจน์ที่คล้ายกันในสมการที่สองและสาม เรามาถึงระบบ:

กำลังแสดงออก ยจากสมการแรกแล้วนำไปแทนลงในสมการที่สอง เราได้รับข้อมูลประจำตัว 14 = 14 ซึ่งไม่ส่งผลต่อการแก้ปัญหาของระบบ ดังนั้นจึงสามารถแยกออกจากระบบได้

ในความเสมอภาคที่จำได้ครั้งสุดท้ายคือตัวแปร zเราจะถือว่ามันเป็นพารามิเตอร์ พวกเราเชื่อว่า. แล้ว

มาทดแทนกันเถอะ ยและ zเข้าสู่ความเท่าเทียมกันครั้งแรกที่จดจำและค้นหา x:

.

ดังนั้น ระบบ (1.18) จึงมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนไม่สิ้นสุด และสามารถหาวิธีแก้ปัญหาใด ๆ ได้โดยใช้สูตร (1.19) โดยเลือกค่าพารามิเตอร์ที่กำหนดเอง ที:

(1.19)
ดังนั้น คำตอบของระบบ เช่น คือชุดของตัวแปรต่อไปนี้ (1; 2; 0), (2; 26; 14) เป็นต้น สูตร (1.19) แสดงถึงคำตอบทั่วไป (ใดๆ) ของระบบ (1.18 ).

ในกรณีที่ระบบดั้งเดิม (1.16) มีสมการและค่าไม่ทราบจำนวนมากเพียงพอ วิธีการกำจัดจอร์แดนแบบธรรมดาที่ระบุดูเหมือนจะยุ่งยาก อย่างไรก็ตามมันไม่ใช่ การได้มาซึ่งอัลกอริธึมสำหรับการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของระบบใหม่ในขั้นตอนเดียวก็เพียงพอแล้ว ปริทัศน์และกำหนดวิธีแก้ไขปัญหาในรูปแบบตารางจอร์แดนพิเศษ

ให้ระบบรูปแบบเชิงเส้น (สมการ) ได้รับ:

, (1.20)
ที่ไหน เอ็กซ์เจ- ตัวแปรอิสระ (ค้นหา) ไอจ- ค่าสัมประสิทธิ์คงที่
(ฉัน = 1, 2,…, ม; เจ = 1, 2,…, n- ส่วนที่ถูกต้องของระบบ ใช่แล้ว (ฉัน = 1, 2,…, ม) อาจเป็นตัวแปร (ขึ้นอยู่กับ) หรือค่าคงที่ก็ได้ จำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบนี้โดยกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ออกไป

ขอให้เราพิจารณาปฏิบัติการต่อไปนี้ ซึ่งต่อจากนี้ไปเรียกว่า "ขั้นตอนหนึ่งของการกำจัดจอร์แดนแบบธรรมดา" จากพลการ ( ร th) ความเท่าเทียมกันเราแสดงตัวแปรตามอำเภอใจ ( xs) และแทนที่ลงในความเท่าเทียมกันอื่นๆ ทั้งหมด แน่นอนว่าจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ อาร์เอส¹ 0. ค่าสัมประสิทธิ์ อาร์เอสเรียกว่าองค์ประกอบการแก้ปัญหา (บางครั้งเป็นแนวทางหรือหลัก)

เราจะได้ระบบดังนี้:

. (1.21)

จาก ส- ความเท่าเทียมกันของระบบ (1.21) เราจะพบตัวแปรในภายหลัง xs(หลังจากพบตัวแปรที่เหลือแล้ว) สบรรทัดที่ -th ถูกจดจำและแยกออกจากระบบในเวลาต่อมา ระบบที่เหลือจะมีหนึ่งสมการและตัวแปรอิสระหนึ่งตัวที่น้อยกว่าระบบเดิม

ให้เราคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของระบบผลลัพธ์ (1.21) ผ่านค่าสัมประสิทธิ์ของระบบดั้งเดิม (1.20) เริ่มต้นด้วย รสมการซึ่งหลังจากแสดงตัวแปรแล้ว xsผ่านตัวแปรที่เหลือจะมีลักษณะดังนี้:

ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ใหม่ รสมการต่างๆ คำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

(1.23)
ให้เราคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ใหม่ บีจ(ฉัน¹ ร) ของสมการใดๆ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เราแทนตัวแปรที่แสดงใน (1.22) xsวี ฉันสมการของระบบ (1.20):

หลังจากนำคำศัพท์ที่คล้ายกันมา เราจะได้รับ:

(1.24)
จากความเท่าเทียมกัน (1.24) เราได้สูตรที่คำนวณค่าสัมประสิทธิ์ระบบที่เหลือ (1.21) (ยกเว้นข้อยกเว้น) รสมการที่:

(1.25)
การเปลี่ยนแปลงของระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีกำจัดจอร์แดนแบบธรรมดาจะแสดงในรูปแบบของตาราง (เมทริกซ์) ตารางเหล่านี้เรียกว่า "ตารางจอร์แดน"

ดังนั้น ปัญหา (1.20) เชื่อมโยงกับตาราง Jordan ต่อไปนี้:

ตารางที่ 1.1

ตาราง Jordan 1.1 ประกอบด้วยคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้ายซึ่งใช้เขียนส่วนด้านขวาของระบบ (1.20) และแถวส่วนหัวด้านบนที่ใช้เขียนตัวแปรอิสระ

องค์ประกอบที่เหลือของตารางจะสร้างเมทริกซ์หลักของค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ (1.20) ถ้าคุณคูณเมทริกซ์ กไปที่เมทริกซ์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบของแถวหัวเรื่องบนสุด คุณจะได้เมทริกซ์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบของคอลัมน์หัวเรื่องด้านซ้าย โดยพื้นฐานแล้ว ตาราง Jordan เป็นรูปแบบเมทริกซ์สำหรับการเขียนระบบสมการเชิงเส้น: ระบบ (1.21) สอดคล้องกับตารางจอร์แดนต่อไปนี้:

ตารางที่ 1.2

องค์ประกอบที่อนุญาต อาร์เอส เราจะเน้นด้วยตัวหนา โปรดจำไว้ว่าหากต้องการใช้ขั้นตอนหนึ่งของการกำจัดจอร์แดน องค์ประกอบการแก้ไขจะต้องไม่เป็นศูนย์ แถวของตารางที่มีองค์ประกอบการเปิดใช้งานเรียกว่าแถวการเปิดใช้งาน คอลัมน์ที่มีองค์ประกอบเปิดใช้งานเรียกว่าคอลัมน์เปิดใช้งาน เมื่อย้ายจากตารางที่กำหนดไปยังตารางถัดไป ตัวแปรหนึ่งตัว ( xs) จากแถวส่วนหัวด้านบนของตารางจะถูกย้ายไปยังคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้าย และในทางกลับกัน หนึ่งในสมาชิกที่ว่างของระบบ ( ใช่) ย้ายจากคอลัมน์หัวซ้ายของตารางไปยังแถวหัวบนสุด

ให้เราอธิบายอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ใหม่เมื่อย้ายจากตารางจอร์แดน (1.1) ไปยังตาราง (1.2) ซึ่งตามมาจากสูตร (1.23) และ (1.25)

1. องค์ประกอบการแก้ไขจะถูกแทนที่ด้วยหมายเลขผกผัน:

2. องค์ประกอบที่เหลือของสตริงการแก้ไขจะถูกแบ่งออกเป็นองค์ประกอบการแก้ไขและเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม:

3. องค์ประกอบที่เหลือของคอลัมน์ความละเอียดจะแบ่งออกเป็นองค์ประกอบความละเอียด:

4. องค์ประกอบที่ไม่รวมอยู่ในแถวที่อนุญาตและคอลัมน์ที่อนุญาตจะถูกคำนวณใหม่โดยใช้สูตร:

สูตรสุดท้ายจำง่ายถ้าสังเกตองค์ประกอบที่ประกอบเป็นเศษส่วน , อยู่ที่สี่แยก ฉัน-โอ้และ ร-th บรรทัดและ เจและ สคอลัมน์ที่ th (การแยกแถว การแยกคอลัมน์ และแถวและคอลัมน์ที่จุดตัดซึ่งมีองค์ประกอบที่คำนวณใหม่ตั้งอยู่) แม่นยำยิ่งขึ้นเมื่อจำสูตร คุณสามารถใช้แผนภาพต่อไปนี้:

เมื่อดำเนินการขั้นตอนแรกของข้อยกเว้นของ Jordan คุณสามารถเลือกองค์ประกอบใดๆ ของตาราง 1.3 ที่อยู่ในคอลัมน์เป็นองค์ประกอบการแก้ปัญหา x 1 ,…, x 5 (องค์ประกอบที่ระบุทั้งหมดไม่เป็นศูนย์) อย่าเลือกองค์ประกอบการเปิดใช้งานในคอลัมน์สุดท้าย เพราะ คุณต้องค้นหาตัวแปรอิสระ x 1 ,…, x 5. เช่น เราเลือกค่าสัมประสิทธิ์ 1 ด้วยตัวแปร x 3 ในบรรทัดที่สามของตาราง 1.3 (องค์ประกอบการเปิดใช้งานแสดงเป็นตัวหนา) เมื่อย้ายไปยังตารางที่ 1.4 ตัวแปร x 3 จากแถวส่วนหัวบนสุดจะสลับกับค่าคงที่ 0 ของคอลัมน์ส่วนหัวด้านซ้าย (แถวที่สาม) ในกรณีนี้คือตัวแปร x 3 แสดงผ่านตัวแปรที่เหลือ

สตริง x 3 (ตารางที่ 1.4) สามารถแยกออกจากตารางที่ 1.4 ได้หลังจากจำล่วงหน้าแล้ว คอลัมน์ที่สามที่มีศูนย์ในบรรทัดหัวเรื่องด้านบนก็ไม่รวมอยู่ในตารางที่ 1.4 เช่นกัน ประเด็นก็คือโดยไม่คำนึงถึงค่าสัมประสิทธิ์ของคอลัมน์ที่กำหนด ข ฉัน 3 พจน์ที่สอดคล้องกันทั้งหมดของแต่ละสมการ 0 ข ฉัน 3 ระบบจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ การกำจัดตัวแปรหนึ่งตัว x 3 และจดจำสมการใดสมการหนึ่ง เราก็มาถึงระบบที่สอดคล้องกับตารางที่ 1.4 (โดยขีดเส้นออก x 3). การเลือกในตาราง 1.4 เป็นองค์ประกอบการแก้ไข ข 14 = -5 ไปที่ตาราง 1.5 ในตาราง 1.5 จำแถวแรกและแยกออกจากตารางพร้อมกับคอลัมน์ที่สี่ (โดยมีศูนย์อยู่ด้านบน)

ตารางที่ 1.5 ตารางที่ 1.6

จากตารางสุดท้าย 1.7 เราพบว่า: x 1 = - 3 + 2x 5 .

แทนที่ตัวแปรที่พบแล้วอย่างต่อเนื่องลงในบรรทัดที่จำได้ เราจะพบตัวแปรที่เหลือ:

ดังนั้นระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่สิ้นสุด ตัวแปร x 5 สามารถกำหนดค่าได้ตามใจชอบ ตัวแปรนี้ทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ x 5 = เสื้อ เราได้พิสูจน์ความเข้ากันได้ของระบบและพบว่า การตัดสินใจร่วมกัน:

x 1 = - 3 + 2ที

x 2 = - 1 - 3ที

x 3 = - 2 + 4ที . (1.27)
x 4 = 4 + 5ที

x 5 = ที

ให้พารามิเตอร์ ที ความหมายที่แตกต่างกันเราจะได้คำตอบจากระบบเดิมจำนวนอนันต์ ตัวอย่างเช่น คำตอบของระบบคือชุดตัวแปรต่อไปนี้ (- 3; - 1; - 2; 4; 0)