Ano ang convex triangle? Polygon, convex polygon, quadrilateral

Sa araling ito tayo ay magsisimula bagong paksa at magpakilala ng bagong konsepto para sa amin: "polygon". Titingnan natin ang mga pangunahing konsepto na nauugnay sa mga polygon: mga gilid, anggulo ng vertex, convexity at nonconvexity. Tapos patunayan natin ang pinakamahalagang katotohanan tulad ng theorem sa kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang polygon, ang sum theorem panlabas na sulok polygon. Bilang resulta, lalapit tayo sa pag-aaral ng mga espesyal na kaso ng mga polygon, na isasaalang-alang sa karagdagang mga aralin.

Paksa: Quadrilaterals

Aralin: Polygons

Sa kursong geometry, pinag-aaralan namin ang mga katangian ng mga geometric na numero at napagmasdan na ang pinakasimpleng mga ito: mga tatsulok at bilog. Kasabay nito, tinalakay din namin ang mga partikular na espesyal na kaso ng mga figure na ito, tulad ng kanan, isosceles at regular na tatsulok. Ngayon ay oras na upang pag-usapan ang tungkol sa mas pangkalahatan at kumplikadong mga figure - polygons.

Sa isang espesyal na kaso polygons pamilyar na tayo - ito ay isang tatsulok (tingnan ang Fig. 1).

kanin. 1. Tatsulok

Ang pangalan mismo ay binibigyang diin na ito ay isang pigura na may tatlong anggulo. Samakatuwid, sa polygon maaaring marami sa kanila, i.e. higit sa tatlo. Halimbawa, gumuhit tayo ng pentagon (tingnan ang Fig. 2), i.e. figure na may limang sulok.

kanin. 2. Pentagon. Matambok na polygon

Kahulugan.Polygon- isang figure na binubuo ng ilang mga puntos (higit sa dalawa) at ang katumbas na bilang ng mga segment na sunud-sunod na kumokonekta sa kanila. Ang mga puntong ito ay tinatawag mga taluktok polygon, at ang mga segment ay mga partido. Sa kasong ito, walang dalawang magkatabing gilid ang nakahiga sa parehong tuwid na linya at walang dalawang hindi magkatabing panig na nagsalubong.

Kahulugan.Regular na polygon ay isang matambok na polygon kung saan ang lahat ng panig at anggulo ay pantay.

Anuman polygon hinahati ang eroplano sa dalawang lugar: panloob at panlabas. Ang panloob na lugar ay tinutukoy din bilang polygon.

Sa madaling salita, halimbawa, kapag pinag-uusapan nila ang tungkol sa isang pentagon, ang ibig nilang sabihin ay ang buong panloob na rehiyon at ang hangganan nito. At ang panloob na rehiyon ay kinabibilangan ng lahat ng mga punto na nasa loob ng polygon, i.e. ang punto ay tumutukoy din sa pentagon (tingnan ang Fig. 2).

Ang mga polygon ay tinatawag ding n-gons kung minsan upang bigyang-diin na ang pangkalahatang kaso ng pagkakaroon ng ilang hindi kilalang bilang ng mga anggulo (n piraso) ay isinasaalang-alang.

Kahulugan. Polygon perimeter- ang kabuuan ng mga haba ng mga gilid ng polygon.

Ngayon kailangan nating makilala ang mga uri ng polygons. Sila ay nahahati sa matambok At hindi matambok. Halimbawa, ang polygon na ipinapakita sa Fig. 2 ay matambok, at sa Fig. 3 hindi matambok.

kanin. 3. Non-convex polygon

Kahulugan 1. Polygon tinawag matambok, kung kapag gumuhit ng isang tuwid na linya sa alinman sa mga gilid nito, ang kabuuan polygon namamalagi lamang sa isang gilid ng tuwid na linyang ito. Hindi matambok ay lahat ng iba polygons.

Madaling isipin na kapag pinalawak ang anumang panig ng pentagon sa Fig. 2 lahat ito ay nasa isang gilid ng tuwid na linyang ito, i.e. ito ay matambok. Ngunit kapag gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang quadrilateral sa Fig. 3 nakita na natin na hinahati ito sa dalawang bahagi, i.e. hindi ito matambok.

Ngunit may isa pang kahulugan ng convexity ng isang polygon.

Kahulugan 2. Polygon tinawag matambok, kung kapag pumipili ng alinman sa dalawa sa mga panloob na punto nito at ikinokonekta ang mga ito sa isang segment, ang lahat ng mga punto ng segment ay mga panloob na punto din ng polygon.

Ang isang pagpapakita ng paggamit ng kahulugan na ito ay makikita sa halimbawa ng pagbuo ng mga segment sa Fig. 2 at 3.

Kahulugan. dayagonal ng polygon ay anumang segment na nagdudugtong sa dalawang di-katabing vertices.

Upang ilarawan ang mga katangian ng mga polygon, mayroong dalawang pinakamahalagang teorema tungkol sa kanilang mga anggulo: panloob na anggulo sum theorem matambok na polygon At theorem sa kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang convex polygon. Tingnan natin sila.

Teorama. Sa kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang convex polygon (n-gon).

Nasaan ang bilang ng mga anggulo nito (mga gilid).

Patunay 1. Ilarawan natin sa Fig. 4 matambok n-gon.

kanin. 4. Matambok n-gon

Mula sa vertex iginuhit namin ang lahat ng posibleng mga diagonal. Hinahati nila ang n-gon sa mga tatsulok, dahil bawat isa sa mga gilid ng polygon ay bumubuo ng isang tatsulok, maliban sa mga gilid na katabi ng vertex. Madaling makita mula sa pigura na ang kabuuan ng mga anggulo ng lahat ng mga tatsulok na ito ay eksaktong katumbas ng kabuuan ng mga panloob na anggulo ng n-gon. Dahil ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang tatsulok ay , kung gayon ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang n-gon ay:

Q.E.D.

Patunay 2. Ang isa pang patunay ng teorama na ito ay posible. Gumuhit tayo ng katulad na n-gon sa Fig. 5 at ikonekta ang alinman sa mga panloob na punto nito sa lahat ng vertices.

kanin. 5.

Nakuha namin ang isang partition ng n-gon sa n triangles (kasing dami ng panig na mayroong mga triangles). Ang kabuuan ng lahat ng kanilang mga anggulo ay katumbas ng kabuuan ng mga panloob na anggulo ng polygon at ang kabuuan ng mga anggulo sa panloob na punto, at ito ang anggulo. Mayroon kaming:

Q.E.D.

Napatunayan.

Ayon sa napatunayang teorama, malinaw na ang kabuuan ng mga anggulo ng isang n-gon ay nakasalalay sa bilang ng mga panig nito (sa n). Halimbawa, sa isang tatsulok, at ang kabuuan ng mga anggulo ay . Sa isang quadrilateral, at ang kabuuan ng mga anggulo ay, atbp.

Teorama. Sa kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang convex polygon (n-gon).

Nasaan ang bilang ng mga anggulo nito (mga gilid), at , …, ay ang mga panlabas na anggulo.

Patunay. Ilarawan natin ang isang convex n-gon sa Fig. 6 at italaga ang panloob at panlabas na mga anggulo nito.

kanin. 6. Matambok n-gon na may itinalagang mga panlabas na anggulo

kasi Ang panlabas na sulok ay konektado sa panloob na isa bilang katabi, pagkatapos at katulad din para sa natitirang mga panlabas na sulok. Pagkatapos:

Sa panahon ng mga pagbabagong-anyo, ginamit namin ang napatunayang teorama tungkol sa kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang n-gon.

Napatunayan.

Mula sa napatunayang teorama ito ay sumusunod kawili-wiling katotohanan, na ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang matambok n-gon ay katumbas ng sa bilang ng mga anggulo nito (panig). Sa pamamagitan ng paraan, sa kaibahan sa kabuuan ng mga panloob na anggulo.

Mga sanggunian

Alexandrov A.D. at iba pa. - M.: Edukasyon, 2006.
Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometry, ika-8 baitang. - M.: Edukasyon, 2011.
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometry, ika-8 baitang. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

Profmeter.com.ua ().
Narod.ru ().
Xvatit.com ().

Takdang-aralin

Isang matambok na hanay ng mga punto sa isang eroplano.

Ang isang hanay ng mga punto sa isang eroplano o sa tatlong-dimensional na espasyo ay tinatawag matambok, kung anumang dalawang punto ng hanay na ito ay maaaring ikonekta ng isang segment ng linya na ganap na nasa hanay na ito.

Teorama 1. Ang intersection ng isang may hangganan na bilang ng convex set ay isang convex set.

Bunga. Ang intersection ng isang may hangganan na bilang ng convex set ay isang convex set.

Mga sulok na puntos.

Ang boundary point ng isang convex set ay tinatawag angular, kung posible na gumuhit ng isang segment sa pamamagitan nito, ang lahat ng mga punto ay hindi kabilang sa ibinigay na hanay.

Ang mga hanay ng iba't ibang hugis ay maaaring magkaroon ng may hangganan o walang katapusang bilang ng mga punto ng sulok.

Matambok na polygon.

Polygon tinawag matambok, kung ito ay nasa isang gilid ng bawat linya na dumadaan sa dalawa sa mga kalapit na vertice nito.

Theorem: Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang convex n-gon ay 180˚ *(n-2)

6) Solusyon ng mga sistema m mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable

Ibinigay ang isang sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable

Ang mga palatandaan ng ilan o lahat ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring ≥.

Isaalang-alang natin ang unang hindi pagkakapantay-pantay sa X1OX2 coordinate system. Bumuo tayo ng isang tuwid na linya

na siyang boundary line.

Ang tuwid na linyang ito ay naghahati sa eroplano sa dalawang kalahating eroplano 1 at 2 (Larawan 19.4).

Ang half-plane 1 ay naglalaman ng pinagmulan, ang half-plane 2 ay hindi naglalaman ng pinanggalingan.

Upang matukoy kung saang bahagi ng boundary line matatagpuan ang isang ibinigay na kalahating eroplano, kailangan mong kumuha ng di-makatwirang punto sa eroplano (mas mabuti ang pinagmulan) at palitan ang mga coordinate ng puntong ito sa hindi pagkakapantay-pantay. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, ang kalahating eroplano ay nakaharap sa puntong ito;

Ang direksyon ng kalahating eroplano ay ipinapakita sa mga figure na may isang arrow.

Depinisyon 15. Ang solusyon sa bawat hindi pagkakapantay-pantay ng sistema ay isang kalahating eroplano na naglalaman ng boundary line at matatagpuan sa isang gilid nito.

Depinisyon 16. Ang intersection ng mga kalahating eroplano, na ang bawat isa ay tinutukoy ng kaukulang hindi pagkakapantay-pantay ng system, ay tinatawag na solution domain ng system (SO).

Kahulugan 17. Ang lugar ng solusyon ng isang sistema na nakakatugon sa mga kundisyon na hindi negatibo (xj ≥ 0, j =) ay tinatawag na lugar ng mga di-negatibo, o tinatanggap, mga solusyon (ADS).

Kung pare-pareho ang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay, ang OR at ODR ay maaaring isang polyhedron, isang walang hangganang polyhedral na rehiyon, o isang solong punto.

Kung ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi pare-pareho, kung gayon ang OR at ODR ay isang walang laman na hanay.

Halimbawa 1. Hanapin ang OR at ODE ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay at tukuyin ang mga coordinate ng mga sulok na punto ng ODE

Solusyon. Hanapin natin ang OR ng unang hindi pagkakapantay-pantay: x1 + 3x2 ≥ 3. Buuin natin ang boundary line x1 + 3x2 – 3 = 0 (Fig. 19.5). Palitan natin ang mga coordinate ng punto (0,0) sa hindi pagkakapantay-pantay: 1∙0 + 3∙0 > 3; dahil ang mga coordinate ng punto (0,0) ay hindi nasiyahan dito, kung gayon ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (19.1) ay isang kalahating eroplano na hindi naglalaman ng punto (0,0).

Hayaan din nating maghanap ng mga solusyon sa mga natitirang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Nakuha namin na ang OR at ODE ng sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay isang matambok na polyhedron ABCD.

Hanapin natin ang mga sulok na punto ng polyhedron. Tinutukoy namin ang punto A bilang ang punto ng intersection ng mga linya

Ang paglutas ng system, makakakuha tayo ng A(3/7, 6/7).

Nahanap namin ang punto B bilang ang punto ng intersection ng mga linya

Mula sa system ay nakukuha natin ang B(5/3, 10/3). Katulad nito, nakikita natin ang mga coordinate ng mga puntos C at D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Halimbawa 2. Hanapin ang OR at ODE ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Solusyon. Bumuo tayo ng mga tuwid na linya at tukuyin ang mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (19.5)-(19.7). Ang OR at ODR ay walang hangganang polyhedral na rehiyon ACFM at ABDEKM, ayon sa pagkakabanggit (Larawan 19.6).

Halimbawa 3. Hanapin ang OR at ODE ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Solusyon. Maghanap tayo ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (19.8)-(19.10) (Larawan 19.7). Ang OR ay kumakatawan sa walang limitasyong polyhedral na rehiyon ABC; ODR - punto B.

Halimbawa 4. Hanapin ang OP at ODP ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Solusyon. Sa pamamagitan ng paggawa ng mga tuwid na linya, makakahanap tayo ng mga solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Ang OR at ODR ay hindi magkatugma (Larawan 19.8).

MGA PAGSASANAY

Hanapin ang OR at ODE ng mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Teorama. Kung xn ® a, kung gayon .

Patunay. Mula sa xn ® a ito ay sumusunod na . Kasabay nito:

, ibig sabihin. , ibig sabihin. . Ang teorama ay napatunayan.

Teorama. Kung xn ® a, ang sequence (xn) ay bounded.

Dapat tandaan na ang kabaligtaran na pahayag ay hindi totoo, i.e. ang boundedness ng isang sequence ay hindi nagpapahiwatig ng convergence nito.

Halimbawa, ang pagkakasunod-sunod ay walang limitasyon bagaman

Pagpapalawak ng mga function sa power series.

Ang power series expansion ng mga function ay mayroon malaking halaga para sa paglutas ng iba't ibang mga problema ng pananaliksik sa pag-andar, pagkita ng kaibhan, pagsasama, solusyon differential equation, pagkalkula ng mga limitasyon, pagkalkula ng tinatayang mga halaga ng isang function.

Pagtukoy sa convexity ng isang polygon.

Ipinapalagay ng Kirus–Back algorithm ang pagkakaroon ng convex polygon na ginamit bilang isang window.

Gayunpaman, sa pagsasagawa, ang gawain ng pagputol ng isang polygon ay madalas na lumitaw, at ang impormasyon tungkol sa kung ito ay matambok o hindi ay hindi paunang ibinigay. Sa kasong ito, bago simulan ang pamamaraan ng pagputol, kinakailangan upang matukoy kung aling polygon ang ibinigay - matambok o hindi.

Bigyan natin ang ilang mga kahulugan ng convexity ng isang polygon

Ang isang polygon ay itinuturing na matambok kung ang isa sa mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:

1) sa isang convex polygon, lahat ng vertices ay matatagpuan sa isang gilid ng linya na nagdadala ng anumang gilid (kasama ang panloob na bahagi may kaugnayan sa isang naibigay na gilid);

2) lahat mga panloob na sulok polygon na mas mababa sa 180 o;

3) lahat ng diagonal na nagkokonekta sa mga vertices ng isang polygon ay nasa loob ng polygon na ito;

4) lahat ng sulok ng polygon ay papunta sa parehong direksyon (Larawan 3.3-1).

Upang bumuo ng isang analytical na representasyon ng huling pamantayan ng convexity, ginagamit namin ang produkto ng vector.

Vector na likhang sining W dalawang vector a At b (Larawan 3.3‑2 a) tinukoy bilang:

Ang A x ,a y ,a z at b x ,b y ,b z ay mga projection sa coordinate axes X ,Y ,Z , ayon sa pagkakabanggit, ng mga factor vectors a At b,

- i, j, k– mga unit vector sa kahabaan ng coordinate axes X, Y, Z.

kanin.3.3 ‑ 1

kanin.3.3 ‑ 2

Kung isasaalang-alang natin ang isang two-dimensional na representasyon ng isang polygon bilang representasyon nito sa XY coordinate plane ng three-dimensional coordinate system X,Y,Z (Fig. 3.3-2 b), kung gayon ang expression para sa pagbuo ng vector product ng mga vectors. U At V, kung saan ang mga vectors U At V ay mga katabing gilid na bumubuo ng isang sulok ng isang polygon, maaaring isulat bilang isang determinant:

Ang vector ng cross product ay patayo sa eroplano kung saan matatagpuan ang mga factor vectors. Ang direksyon ng vector ng produkto ay tinutukoy ng panuntunan ng gimlet o ng panuntunan ng turnilyo sa kanan.

Para sa kaso na ipinakita sa Fig. 3.3‑2 b ), vector W, naaayon sa produkto ng vector ng mga vector V, U, magkakaroon ng parehong direksyon tulad ng direksyon ng Z coordinate axis.

Isinasaalang-alang na ang mga projection sa Z axis ng mga factor vector sa kasong ito ay katumbas ng zero, ang produkto ng vector ay maaaring katawanin bilang:

(3.3-1)

Unit vector k palaging positibo, kaya ang tanda ng vector w Ang produkto ng vector ay matutukoy lamang sa pamamagitan ng tanda ng determinant na D sa expression sa itaas. Tandaan na batay sa pag-aari ng produkto ng vector, kapag nagpapalit ng mga vector ng salik U At V tanda ng vector w ay magbabago sa kabaligtaran.

Ito ay sumusunod na kung bilang mga vectors V At U isaalang-alang ang dalawang magkatabing gilid ng isang polygon, pagkatapos ay ang pagkakasunud-sunod ng paglilista ng mga vector sa produkto ng vector ay maaaring ilagay alinsunod sa pagtawid ng sulok ng polygon na isinasaalang-alang o ang mga gilid na bumubuo sa anggulong ito. Pinapayagan ka nitong gamitin ang sumusunod na panuntunan bilang isang pamantayan para sa pagtukoy ng convexity ng isang polygon:

kung para sa lahat ng pares ng mga gilid ng polygon ang sumusunod na kondisyon ay nasiyahan:

Kung ang mga palatandaan ng mga produkto ng vector para sa mga indibidwal na anggulo ay hindi nag-tutugma, kung gayon ang polygon ay hindi matambok.

Dahil ang mga gilid ng isang polygon ay tinukoy sa anyo ng mga coordinate ng kanilang mga end point, mas maginhawang gumamit ng determinant upang matukoy ang tanda ng produkto ng vector.

Konsepto ng polygon

Kahulugan 1

Polygon ay isang geometric na pigura sa isang eroplano na binubuo ng mga segment na konektado sa mga pares, ang mga katabi ay hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya.

Sa kasong ito, ang mga segment ay tinatawag gilid ng polygon, at ang kanilang mga dulo - vertex ng polygon.

Kahulugan 2

Ang $n$-gon ay isang polygon na may $n$ vertices.

Mga uri ng polygon

Kahulugan 3

Kung ang isang polygon ay palaging nakahiga sa parehong gilid ng anumang linya na dumadaan sa mga gilid nito, kung gayon ang polygon ay tinatawag matambok(Larawan 1).

Figure 1. Convex polygon

Kahulugan 4

Kung ang polygon ay nasa tabi magkaibang panig hindi bababa sa isang tuwid na linya na dumadaan sa mga gilid nito, pagkatapos ang polygon ay tinatawag na non-convex (Larawan 2).

Figure 2. Non-convex polygon

Kabuuan ng mga anggulo ng isang polygon

Ipakilala natin ang isang teorama sa kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok.

Teorama 1

Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang matambok na tatsulok ay tinutukoy bilang mga sumusunod

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Patunay.

Bigyan tayo ng convex polygon $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Ikonekta natin ang vertex $A_1$ nito sa lahat ng iba pang vertex ng polygon na ito (Fig. 3).

Larawan 3.

Sa koneksyon na ito makakakuha tayo ng $n-2$ triangles. Sa pamamagitan ng pagsusuma ng kanilang mga anggulo nakukuha natin ang kabuuan ng mga anggulo ng isang naibigay na -gon. Dahil ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng $(180)^0,$ nakukuha natin na ang kabuuan ng mga anggulo ng isang convex -gon ay tinutukoy ng formula

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Ang teorama ay napatunayan.

Konsepto ng quadrilateral

Gamit ang kahulugan ng $2$, madaling ipakilala ang kahulugan ng quadrilateral.

Kahulugan 5

Ang quadrilateral ay isang polygon na may $4$ vertices (Fig. 4).

Larawan 4. Quadrangle

Para sa isang quadrilateral, ang mga konsepto ng isang convex quadrilateral at isang non-convex quadrilateral ay magkatulad na tinukoy. Ang mga klasikong halimbawa ng convex quadrilaterals ay square, rectangle, trapezoid, rhombus, parallelogram (Fig. 5).

Figure 5. Convex quadrilaterals

Teorama 2

Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang convex quadrilateral ay $(360)^0$

Patunay.

Sa pamamagitan ng Theorem $1$, alam natin na ang kabuuan ng mga anggulo ng isang convex -gon ay tinutukoy ng formula

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang matambok quadrilateral ay katumbas ng

\[\kaliwa(4-2\kanan)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Ang teorama ay napatunayan.