Graph ng function na y x 1 squared. Quadratic at cubic function

Sa pahinang ito sinubukan naming kolektahin para sa iyo ang pinaka kumpletong impormasyon tungkol sa pag-aaral ng function. Wala nang Googling! Magbasa lamang, mag-aral, mag-download, sundan ang mga napiling link.

Pangkalahatang disenyo ng pag-aaral

para saan ito? ang pananaliksik na ito, itatanong mo, kung mayroong maraming mga serbisyo na itatayo para sa pinaka-sopistikadong mga pag-andar? Upang malaman ang mga katangian at tampok ng isang naibigay na function: kung paano ito kumikilos sa infinity, kung gaano kabilis ito nagbabago ng sign, kung gaano kabilis o kabilis ito tumaas o bumaba, kung saan nakadirekta ang "humps" ng convexity, kung saan ang mga halaga ay hindi tinukoy, atbp.

At batay sa mga "tampok" na ito ang layout ng graph ay binuo - isang larawan, na talagang pangalawa (bagaman para sa mga layuning pang-edukasyon ito ay mahalaga at kinukumpirma ang kawastuhan ng iyong desisyon).

Magsimula tayo, siyempre, sa plano. Function study - volumetric na gawain(marahil ang pinaka-voluminous sa mga tradisyonal na mas mataas na mga kurso sa matematika, karaniwang mula 2 hanggang 4 na pahina, kasama ang pagguhit), samakatuwid, upang hindi makalimutan kung ano ang gagawin sa kung anong pagkakasunud-sunod, sinusunod namin ang mga puntong inilarawan sa ibaba.

Algorithm

Hanapin ang domain ng kahulugan. Pumili ng mga espesyal na punto (mga break point).
Suriin ang pagkakaroon ng mga patayong asymptotes sa mga discontinuity point at sa mga hangganan ng lugar ng kahulugan.
Hanapin ang mga punto ng intersection sa mga coordinate axes.
Tukuyin kung ang isang function ay pantay o kakaiba.
Tukuyin kung ang isang function ay panaka-nakang o hindi (mga trigonometric function lamang).
Maghanap ng mga extremum point at monotonicity interval.
Maghanap ng mga inflection point at convex-concave interval.
Maghanap ng mga pahilig na asymptotes. Siyasatin ang pag-uugali sa kawalang-hanggan.
Pumili ng mga karagdagang puntos at kalkulahin ang kanilang mga coordinate.
Bumuo ng graph at asymptotes.

SA iba't ibang mapagkukunan(mga aklat-aralin, manwal, lektura ng iyong guro) ang listahan ay maaaring may ibang anyo mula sa isang ito: ang ilang mga item ay ipinagpapalit, pinagsama sa iba, pinaikli o inalis. Mangyaring isaalang-alang ang mga kinakailangan/kagustuhan ng iyong guro kapag gumagawa ng iyong desisyon.

Study diagram sa pdf format: download.

Buong halimbawang solusyon online

Magsagawa ng kumpletong pag-aaral at i-plot ang function na $$ y(x)=\frac(x^2+8)(1-x).

2) Pag-aralan natin ang pag-uugali ng function sa paligid ng discontinuity point. Maghanap tayo ng mga one-sided na limitasyon:

Dahil ang mga limitasyon ay katumbas ng infinity, ang puntong $x=1$ ay isang discontinuity ng pangalawang uri, ang straight line na $x=1$ ay isang vertical asymptote.

3) Tukuyin ang mga punto ng intersection ng function graph sa mga coordinate axes.

Hanapin natin ang mga punto ng intersection sa ordinate axis na $Oy$, kung saan tinutumbasan natin ang $x=0$:

Kaya, ang punto ng intersection sa $Oy$ axis ay may mga coordinate na $(0;8)$.

Hanapin natin ang mga punto ng intersection sa abscissa axis na $Ox$, kung saan itinakda namin ang $y=0$:

Ang equation ay walang mga ugat, kaya walang mga punto ng intersection sa $Ox$ axis.

Tandaan na ang $x^2+8>0$ para sa anumang $x$. Samakatuwid, para sa $x \in (-\infty; 1)$ ang function na $y>0$ (kumukuha ng mga positibong halaga, ang graph ay nasa itaas ng x-axis), para sa $x \in (1; +\infty)$ ang function na $y\lt 0$ (kumukuha ng mga negatibong halaga, ang graph ay nasa ibaba ng x-axis).

4) Ang function ay hindi kahit na o kakaiba, dahil:

5) Sinusuri namin ang function para sa periodicity. Ang function ay hindi pana-panahon, dahil ito ay isang fractional rational function.

6) Sinusuri namin ang function para sa extrema at monotonicity. Upang gawin ito, nakita namin ang unang derivative ng function:

Equate natin ang unang derivative sa zero at hanapin nakatigil na mga punto(kung saan $y"=0$):

Nakakuha kami ng tatlong kritikal na puntos: $x=-2, x=1, x=4$. Hatiin natin ang buong domain ng kahulugan ng function sa mga pagitan na may mga puntong ito at tukuyin ang mga palatandaan ng derivative sa bawat pagitan:

Para sa $x \in (-\infty; -2), (4;+\infty)$ ang derivative na $y" \lt 0$, kaya bumababa ang function sa mga pagitan na ito.

Kapag $x \in (-2; 1), (1;4)$ ang derivative na $y" >0$, tataas ang function sa mga pagitan na ito.

Sa kasong ito, ang $x=-2$ ay isang lokal na minimum na punto (ang function ay bumababa at pagkatapos ay tumataas), ang $x=4$ ay isang lokal na pinakamataas na punto (ang function ay tumataas at pagkatapos ay bumababa).

Hanapin natin ang mga halaga ng function sa mga puntong ito:

Kaya, ang pinakamababang punto ay $(-2;4)$, ang pinakamataas na punto ay $(4;-8)$.

7) Sinusuri namin ang function para sa kinks at convexity. Hanapin natin ang pangalawang derivative ng function:

Itumbas natin ang pangalawang derivative sa zero:

Ang resultang equation ay walang mga ugat, kaya walang mga inflection point. Bukod dito, kapag ang $x \in (-\infty; 1)$ ay nasiyahan $y"" \gt 0$, ibig sabihin, ang function ay malukong, kapag ang $x \in (1;+\infty)$ ay nasiyahan $ y"" \ lt 0$, ibig sabihin, ang function ay convex.

8) Suriin natin ang pag-uugali ng function sa infinity, iyon ay, sa .

Dahil ang mga limitasyon ay walang hanggan, walang mga pahalang na asymptotes.

Subukan nating tukuyin ang oblique asymptotes ng anyong $y=kx+b$. Kinakalkula namin ang mga halaga ng $k, b$ gamit ang mga kilalang formula:

Nalaman namin na ang function ay may isang oblique asymptote $y=-x-1$.

9) Mga karagdagang puntos. Kalkulahin natin ang halaga ng function sa ilang iba pang mga punto upang mas tumpak na mabuo ang graph.

$$ y(-5)=5.5; \quad y(2)=-12; \quad y(7)=-9.5. $$

10) Batay sa data na nakuha, gagawa kami ng isang graph, dagdagan ito ng mga asymptotes $x=1$ (asul), $y=-x-1$ (berde) at markahan ang mga katangiang puntos (purple intersection sa ordinate axis, orange extrema, itim na karagdagang puntos):

Mga halimbawa ng mga solusyon sa paggalugad ng function

May iba't ibang function (polynomial, logarithms, fractions). sarili nitong katangian sa panahon ng pananaliksik(discontinuities, asymptotes, bilang ng extrema, limitadong lugar mga kahulugan), kaya dito sinubukan naming mangolekta ng mga halimbawa ng pagsubok para sa pag-aaral ng mga function ng mga pinaka-karaniwang uri. Magsaya sa pag-aaral!

Gawain 1. Galugarin ang isang function gamit ang mga pamamaraan differential calculus at bumuo ng isang graph.

$$y=\frac(e^x)(x).$$

Gawain 2. I-explore ang function at buuin ang graph nito.

$$y=-\frac(1)(4)(x^3-3x^2+4).$$

Gawain 3. I-explore ang isang function gamit ang derivative nito at mag-plot ng graph.

$$y=\ln \frac(x+1)(x+2).$$

Gawain 4. Magsagawa ng kumpletong pag-aaral ng function at gumuhit ng graph.

$$y=\frac(x)(\sqrt(x^2+x)).$$

Gawain 5. Siyasatin ang function gamit ang differential calculus at bumuo ng isang graph.

$$y=\frac(x^3-1)(4x^2).$$

Gawain 6. Suriin ang function para sa extrema, monotonicity, convexity at bumuo ng isang graph.

$$y=\frac(x^3)(x^2-1).$$

Gawain 7. Magsagawa ng pag-aaral ng function sa pamamagitan ng paglalagay ng graph.

$$y=\frac(x^3)(2(x+5)^2).$$

Paano bumuo ng isang tsart online?

Kahit na hilingin sa iyo ng guro na magbigay ng isang takdang-aralin, sulat-kamay, na may pagguhit sa isang piraso ng papel sa isang kahon, magiging lubhang kapaki-pakinabang para sa iyo, sa panahon ng pagpapasya, na bumuo ng isang graph sa isang espesyal na programa (o serbisyo) upang suriin ang pag-unlad ng solusyon, ihambing ang hitsura nito sa kung ano ang nakuha nang manu-mano, at marahil ay makahanap ng mga error sa iyong mga kalkulasyon (kapag ang mga graph ay malinaw na kumikilos nang iba).

Sa ibaba ay makikita mo ang ilang mga link sa mga site na nagbibigay-daan sa iyong bumuo ng maginhawa, mabilis, maganda at, siyempre, libreng graphics para sa halos anumang function. Sa katunayan, marami pang ganoong serbisyo, ngunit sulit bang tingnan kung pipiliin ang pinakamahusay?

Desmos graphing calculator

Praktikal ang pangalawang link, para sa mga gustong matuto kung paano bumuo ng magagandang chart sa Desmos.com (tingnan ang paglalarawan sa itaas): Kumpletuhin ang mga tagubilin para sa pagtatrabaho sa Desmos. Ang pagtuturo na ito ay medyo luma na, mula noon ay nagbago ang interface ng site mas magandang panig, ngunit ang mga pangunahing kaalaman ay nananatiling hindi nagbabago at makakatulong sa iyong mabilis na maunawaan mahahalagang tungkulin serbisyo.

Ang mga opisyal na tagubilin, mga halimbawa at mga tagubilin sa video sa Ingles ay matatagpuan dito: Alamin ang Desmos.

Reshebnik

Kailangan ng isang nakumpletong gawain nang madalian? Higit sa isang daang iba't ibang mga function na may buong pananaliksik naghihintay na sa iyo. Detalyadong solusyon, mabilis na pagbabayad sa pamamagitan ng SMS at mababang presyo- malapit 50 rubles. Siguro handa na ang iyong gawain? Tingnan ito!

Mga kapaki-pakinabang na video

Webinar sa pagtatrabaho sa Desmos.com. Isa na itong buong pagsusuri ng mga function ng site, sa loob ng 36 minuto. Sa kasamaang palad, siya ay nasa Ingles, ngunit ang pangunahing kaalaman sa wika at pagiging maasikaso ay sapat na upang maunawaan ang karamihan nito.

Cool na lumang sikat na science film na "Mathematics. Functions and Graphs." Mga paliwanag sa iyong mga kamay sa literal na kahulugan ng salita, ang pinakapangunahing kaalaman.

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

Kapag nagsumite ka ng kahilingan sa site, maaari kaming mangolekta iba't ibang impormasyon, kasama ang iyong pangalan, numero ng telepono, address email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, hudisyal na pamamaraan, legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Ang pagbuo ng mga graph ng mga function na naglalaman ng mga module ay kadalasang nagdudulot ng malaking kahirapan para sa mga mag-aaral. Gayunpaman, ang lahat ay hindi masyadong masama. Ito ay sapat na upang matandaan ang ilang mga algorithm para sa paglutas ng mga naturang problema, at maaari mong madaling bumuo ng isang graph kahit na para sa pinaka tila. kumplikadong pag-andar. Alamin natin kung anong uri ng mga algorithm ito.

1. Pag-plot ng graph ng function na y = |f(x)|

Tandaan na ang hanay ng mga halaga ng function y = |f(x)| : y ≥ 0. Kaya, ang mga graph ng naturang mga function ay palaging ganap na matatagpuan sa itaas na kalahating eroplano.

Pag-plot ng graph ng function na y = |f(x)| ay binubuo ng sumusunod na simpleng apat na hakbang.

1) Maingat at maingat na bumuo ng isang graph ng function na y = f(x).

2) Iwanang hindi nagbabago ang lahat ng punto sa graph na nasa itaas o sa 0x axis.

3) Ipakita ang bahagi ng graph na nasa ibaba ng 0x axis na simetriko na nauugnay sa 0x axis.

Halimbawa 1. Gumuhit ng graph ng function na y = |x 2 – 4x + 3|

1) Bumubuo kami ng graph ng function na y = x 2 – 4x + 3. Malinaw, ang graph ng function na ito ay isang parabola. Hanapin natin ang mga coordinate ng lahat ng mga punto ng intersection ng parabola na may mga coordinate axes at mga coordinate ng vertex ng parabola.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Samakatuwid, ang parabola ay nag-intersect sa 0x axis sa mga punto (3, 0) at (1, 0).

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Samakatuwid, ang parabola ay nag-intersect sa 0y axis sa punto (0, 3).

Mga coordinate ng parabola vertex:

x sa = -(-4/2) = 2, y sa = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Samakatuwid, ang punto (2, -1) ay ang vertex ng parabola na ito.

Gumuhit ng parabola gamit ang nakuhang datos (Larawan 1)

2) Ang bahagi ng graph na nasa ibaba ng 0x axis ay ipinapakita nang simetriko na nauugnay sa 0x axis.

3) Kumuha kami ng graph ng orihinal na function ( kanin. 2, ipinapakita sa may tuldok na linya).

2. Pag-plot ng function na y = f(|x|)

Tandaan na ang mga function ng form na y = f(|x|) ay pantay na:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Nangangahulugan ito na ang mga graph ng naturang mga function ay simetriko tungkol sa 0y axis.

Ang pag-plot ng graph ng function na y = f(|x|) ay binubuo ng sumusunod na simpleng chain of actions.

1) I-graph ang function na y = f(x).

2) Iwanan ang bahaging iyon ng graph kung saan ang x ≥ 0, iyon ay, ang bahagi ng graph na matatagpuan sa kanang kalahating eroplano.

3) Ipakita ang bahagi ng graph na tinukoy sa punto (2) nang simetriko sa 0y axis.

4) Bilang panghuling graph, piliin ang unyon ng mga kurba na nakuha sa mga puntos (2) at (3).

Halimbawa 2. Gumuhit ng graph ng function na y = x 2 – 4 · |x| + 3

Dahil x 2 = |x| 2, pagkatapos ay ang orihinal na function ay maaaring muling isulat sa sumusunod na anyo: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Ngayon ay maaari nating ilapat ang algorithm na iminungkahi sa itaas.

1) Maingat at maingat tayong bumuo ng graph ng function na y = x 2 – 4 x + 3 (tingnan din kanin. 1).

2) Iniiwan namin ang bahaging iyon ng graph kung saan ang x ≥ 0, iyon ay, ang bahagi ng graph na matatagpuan sa kanang kalahating eroplano.

3) Ipakita ang kanang bahagi ng graph nang simetriko sa 0y axis.

(Larawan 3).

Halimbawa 3. Gumuhit ng graph ng function na y = log 2 |x|

Inilapat namin ang scheme na ibinigay sa itaas.

1) Bumuo ng graph ng function na y = log 2 x (Larawan 4).

3. Pag-plot ng function na y = |f(|x|)|

Tandaan na ang mga function ng form na y = |f(|x|)| ay pantay din. Sa katunayan, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), at samakatuwid, ang kanilang mga graph ay simetriko tungkol sa 0y axis. Ang hanay ng mga halaga ng naturang mga pag-andar: y ≥ 0. Nangangahulugan ito na ang mga graph ng naturang mga function ay ganap na matatagpuan sa itaas na kalahating eroplano.

Upang i-plot ang function na y = |f(|x|)|, kailangan mong:

1) Maingat na bumuo ng graph ng function na y = f(|x|).

2) Iwanang hindi nagbabago ang bahagi ng graph na nasa itaas o sa 0x axis.

3) Ipakita ang bahagi ng graph na matatagpuan sa ibaba ng 0x axis na simetriko na nauugnay sa 0x axis.

4) Bilang panghuling graph, piliin ang unyon ng mga kurba na nakuha sa mga puntos (2) at (3).

Halimbawa 4. Gumuhit ng graph ng function na y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Tandaan na x 2 = |x| 2. Nangangahulugan ito na sa halip na ang orihinal na function na y = -x 2 + 2|x| – 1

maaari mong gamitin ang function na y = -|x| 2 + 2|x| – 1, dahil magkasabay ang kanilang mga graph.

Bumubuo kami ng graph na y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Para dito ginagamit namin ang algorithm 2.

a) I-graph ang function na y = -x 2 + 2x – 1 (Larawan 6).

b) Iniiwan namin ang bahaging iyon ng graph na matatagpuan sa kanang kalahating eroplano.

c) Ipinapakita namin ang resultang bahagi ng graph nang simetriko sa 0y axis.

d) Ang resultang graph ay ipinapakita sa may tuldok na linya sa figure (Larawan 7).

2) Walang mga puntos sa itaas ng 0x axis;

3) Ang bahagi ng graph na matatagpuan sa ibaba ng 0x axis ay ipinapakita nang simetriko na nauugnay sa 0x.

4) Ang resultang graph ay ipinapakita sa figure na may tuldok na linya (Larawan 8).

Halimbawa 5. I-graph ang function na y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Una kailangan mong i-plot ang function na y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Upang gawin ito, bumalik kami sa Algorithm 2.

a) Maingat na i-plot ang function na y = (2x – 4) / (x + 3) (Larawan 9).

Tandaan na ang function na ito ay fractional linear at ang graph nito ay hyperbola. Upang mag-plot ng curve, kailangan mo munang hanapin ang mga asymptotes ng graph. Pahalang – y = 2/1 (ang ratio ng mga coefficient ng x sa numerator at denominator ng fraction), patayo – x = -3.

2) Iiwan namin ang bahaging iyon ng graph na nasa itaas ng 0x axis o dito na hindi nagbabago.

3) Ang bahagi ng graph na matatagpuan sa ibaba ng 0x axis ay ipapakita sa simetriko na nauugnay sa 0x.

4) Ang huling graph ay ipinapakita sa figure (Larawan 11).

website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.

Aralin sa paksa: "Graph at mga katangian ng function na $y=x^3$. Mga halimbawa ng pag-plot ng mga graph"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, pagsusuri, kagustuhan. Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang anti-virus program.

Mga pantulong sa pagtuturo at simulator sa Integral online store para sa grade 7
Electronic textbook para sa grade 7 "Algebra sa 10 minuto"
Pang-edukasyon complex 1C "Algebra, grades 7-9"

Mga katangian ng function na $y=x^3$

Ilarawan natin ang mga katangian ng function na ito:

1. Ang x ay isang independent variable, ang y ay isang dependent variable.

2. Domain ng kahulugan: malinaw na para sa anumang halaga ng argumento (x) ang halaga ng function (y) ay maaaring kalkulahin. Alinsunod dito, ang domain ng kahulugan ng function na ito ay ang buong linya ng numero.

3. Saklaw ng mga halaga: y ay maaaring maging anuman. Alinsunod dito, ang hanay ng mga halaga ay ang buong linya ng numero.

4. Kung x= 0, kung gayon y= 0.

Graph ng function na $y=x^3$

1. Gumawa tayo ng talahanayan ng mga halaga:

2. Para sa mga positibong halaga ng x, ang graph ng function na $y=x^3$ ay halos kapareho sa isang parabola, ang mga sanga nito ay mas “pinipindot” sa OY axis.

3. Dahil para sa mga negatibong halaga Ang x function na $y=x^3$ ay may kabaligtaran na mga halaga, kung gayon ang graph ng function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

Ngayon markahan natin ang mga punto sa coordinate plane at bumuo ng isang graph (tingnan ang Fig. 1).

Ang kurba na ito ay tinatawag na cubic parabola.

Mga halimbawa

I. Ang maliit na barko ay ganap na naubusan ng sariwang tubig. Kinakailangang magdala ng sapat na dami ng tubig mula sa lungsod. Ang tubig ay iniutos nang maaga at binayaran para sa isang buong kubo, kahit na punan mo ito ng kaunti. Gaano karaming mga cube ang dapat kong i-order upang hindi mag-overpay para sa isang dagdag na cube at ganap na mapuno ang tangke? Ito ay kilala na ang tangke ay may parehong haba, lapad at taas, na katumbas ng 1.5 m. Malutas natin ang problemang ito nang hindi nagsasagawa ng mga kalkulasyon.

Solusyon:

1. I-plot natin ang function na $y=x^3$.
2. Hanapin ang point A, x coordinate, na katumbas ng 1.5. Nakikita namin na ang coordinate ng function ay nasa pagitan ng mga halaga 3 at 4 (tingnan ang Fig. 2). Kaya kailangan mong mag-order ng 4 na cubes.