Paano i-graph nang tama ang isang function. Paano mag-graph ng isang function sa Microsoft Excel

Ang pag-plot ng graph ng dependence ng isang function ay isang tipikal na problema sa matematika. Ang bawat isa na pamilyar sa matematika kahit man lang sa antas ng paaralan ay nakagawa ng gayong mga dependency sa papel. Ipinapakita ng graph kung paano nagbabago ang function depende sa value ng argument. Pinapayagan ng mga modernong elektronikong aplikasyon ang pamamaraang ito na maisagawa sa ilang mga pag-click ng mouse. Microsoft Excel ay makakatulong sa iyo sa pagbuo ng isang tumpak na graph para sa anumang mathematical function. Tingnan natin ang isang hakbang-hakbang na pagtingin sa kung paano i-graph ang isang function sa Excel gamit ang formula nito

Pag-graph ng Linear Function sa Excel

Ang pag-graph sa Excel 2016 ay lubos na napabuti at naging mas madali kaysa sa mga nakaraang bersyon. Tingnan natin ang isang halimbawa ng paglalagay ng linear function y=kx+b sa isang maliit na pagitan [-4;4].

Paghahanda ng talahanayan ng pagkalkula

Ipinasok namin ang mga pangalan ng constants k at b sa aming function sa talahanayan. Ito ay kinakailangan upang mabilis na baguhin ang iskedyul nang hindi muling ginagawa ang mga formula ng pagkalkula.

• Sa mga cell A5 at A6 ipinapasok namin ang argumento notation at ang function mismo, ayon sa pagkakabanggit. Gagamitin ang formula entry bilang pamagat ng chart.
• Pumasok kami sa mga cell B5 at C5 ng dalawang halaga ng argumento ng function na may isang naibigay na hakbang (sa aming halimbawa, ang hakbang ay katumbas ng isa).
• Piliin ang mga cell na ito.
• Ilagay ang mouse pointer sa ibabang kanang sulok ng seleksyon. Kapag lumitaw ang isang krus (tingnan ang larawan sa itaas), pindutin nang matagal ang kaliwang pindutan ng mouse at i-drag ito sa kanan sa column J.

Ang mga cell ay awtomatikong mapupuno ng mga numero na ang mga halaga ay naiiba sa tinukoy na pagtaas.

Pansin! Ang formula ay nagsisimula sa isang pantay na tanda (=). Ang mga cell address ay nakasulat sa English na layout. Tandaan ang ganap na mga address na may mga dollar sign.

Upang kumpletuhin ang pagpasok ng formula, pindutin ang Enter key o ang check mark sa kaliwa ng formula bar sa tuktok ng talahanayan.

Kinopya namin ang formula na ito para sa lahat ng mga halaga ng argumento. Iniuunat namin ang frame sa kanan mula sa cell na may formula hanggang sa haligi na may mga huling halaga ng argumento ng function.

Pag-graph ng isang Function

Pagpili ng isang hugis-parihaba na hanay ng mga cell A5:J6.

Pumunta sa tab Ipasok sa toolbar. Sa seksyon Diagram pumili Point na may makinis na kurba(tingnan ang figure sa ibaba).

Pagkatapos ng konstruksyon, ang coordinate grid ay may mga segment ng unit na may iba't ibang haba. Baguhin natin ito sa pamamagitan ng pag-drag sa mga side marker hanggang sa makuha natin ang mga square cell.

Ngayon ay maaari kang magpasok ng mga bagong halaga para sa mga constants k at b upang baguhin ang graph. At nakikita namin na kapag sinubukan naming baguhin ang koepisyent, ang graph ay nananatiling hindi nagbabago, ngunit ang mga halaga sa axis ay nagbabago. Ayusin natin. Mag-click sa diagram upang i-activate ito. Susunod sa tool ribbon sa tab Paggawa gamit ang mga tsart sa tab Tagabuo pumili Magdagdag ng Elemento ng Tsart - Mga Ax - Mga karagdagang opsyon mga palakol..

Lalabas ang panel ng mga setting sa gilid sa kanang bahagi ng window. Format ng axis.

• Mag-click sa drop-down na listahan ng Axis Options.
• Piliin ang Vertical Axis (Values).
• I-click ang icon na berdeng tsart.
• Itakda ang hanay ng halaga ng axis at yunit ng pagsukat (nabilog sa pula). Itinakda namin ang mga yunit ng pagsukat sa Maximum at Minimum (Mas maganda ang simetriko) at pareho para sa vertical at horizontal axes. Kaya, ginagawa naming mas maliit ang segment ng unit at, nang naaayon, obserbahan ang isang mas malaking hanay ng graph sa diagram At ang pangunahing yunit ng pagsukat ay ang halaga 1.
• Ulitin din para sa pahalang na axis.

Ngayon, kung babaguhin natin ang mga halaga ng K at b, makakakuha tayo ng bagong graph na may nakapirming coordinate grid.

Pag-plot ng mga graph ng iba pang mga function

Ngayon na mayroon na tayong batayan sa anyo ng isang talahanayan at isang tsart, maaari tayong bumuo ng mga graph ng iba pang mga function sa pamamagitan ng paggawa ng maliliit na pagsasaayos sa ating talahanayan.

Quadratic function y=ax 2 +bx+c

Sundin ang mga hakbang na ito:

• =$B3*B5*B5+$D3*B5+$F3

Nakukuha namin ang resulta

Kubiko parabola y=ax 3

Upang bumuo, sundin ang mga hakbang na ito:

• Sa unang linya binago namin ang pamagat
• Sa ikatlong linya ipinapahiwatig namin ang mga coefficient at ang kanilang mga halaga
• Sa cell A6 isinulat namin ang pagtatalaga ng function
• Sa cell B6 ipasok ang formula =$B3*B5*B5*B5
• Kopyahin ito sa buong hanay ng mga halaga ng argumento sa kanan

Nakukuha namin ang resulta

Hyperbola y=k/x

Upang bumuo ng hyperbola, punan ang talahanayan nang manu-mano (tingnan ang figure sa ibaba). Kung saan dati ay walang halaga ng argumento, nag-iiwan kami ng walang laman na cell.

• Sa unang linya binago namin ang pamagat.
• Sa ikatlong linya ipinapahiwatig namin ang mga coefficient at ang kanilang mga halaga.
• Sa cell A6 isinulat namin ang pagtatalaga ng function.
• Sa cell B6 ipasok ang formula =$B3/B5
• Kinopya namin ito sa buong hanay ng mga halaga ng argumento sa kanan.
• Pag-alis ng formula mula sa isang cell I6.

Upang maipakita nang tama ang graph, kailangan mong baguhin ang hanay ng source data para sa chart, dahil sa halimbawang ito ay mas malaki ito kaysa sa mga nauna.

• Mag-click sa tsart
• Sa tab Paggawa gamit ang mga tsart pumunta sa Tagabuo at sa seksyon Data i-click Pumili ng data.
• Magbubukas ang Data Entry Wizard window.
• Pumili ng isang hugis-parihaba na hanay ng mga cell gamit ang iyong mouse A5:P6
• I-click OK sa wizard window.

Nakukuha namin ang resulta

Pagbuo ng trigonometriko function na sin(x) at cos(x)

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng pag-plot ng trigonometric function na y=a*sin(b*x).
Punan muna ang talahanayan tulad ng nasa larawan sa ibaba

Ang unang linya ay naglalaman ng pangalan ng trigonometric function.
Ang ikatlong linya ay naglalaman ng mga coefficient at kanilang mga halaga. Bigyang-pansin ang mga cell kung saan ipinasok ang mga halaga ng koepisyent.
Ang ikalimang linya ng talahanayan ay naglalaman ng mga halaga ng anggulo sa mga radian. Ang mga halagang ito ay gagamitin para sa mga label ng chart.
Ang ikaanim na linya ay naglalaman ng mga numerical na halaga ng mga anggulo sa radians. Maaari silang isulat nang manu-mano o gamit ang mga formula ng naaangkop na anyo =-2*PI(); =-3/2*PI(); =-PI(); =-PI()/2; ...
Ang ikapitong linya ay naglalaman ng mga formula ng pagkalkula ng trigonometriko function.

Sa ating halimbawa =$B$3*SIN($D$3*B6). Mga address B3 At D3 ay ganap. Ang kanilang mga halaga ay mga coefficient a at b, na nakatakdang katumbas ng isa bilang default.
Matapos punan ang talahanayan, nagsisimula kaming bumuo ng isang graph.

Pagpili ng hanay ng mga cell A6:J7. Pumili ng tab sa ribbon Ipasok sa seksyon Mga dayagram ipahiwatig ang uri Spot at view Spot na may makinis na curve at marker.

Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang diagram.

Ngayon, i-set up natin ang tamang pagpapakita ng grid, upang ang mga graph point ay nasa intersection ng mga linya ng grid. Sundin ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon Paggawa gamit ang mga chart – Designer – Magdagdag ng elemento ng chart – Grid at paganahin ang tatlong mga mode para sa pagpapakita ng mga linya tulad ng sa figure.

Ngayon pumunta sa punto Karagdagang Gridline Options. Makakakuha ka ng sidebar Format ng plot area. Gawin natin ang mga setting dito.

Mag-click sa pangunahing vertical Y axis sa diagram (dapat itong i-highlight ng isang frame). Sa sidebar, i-configure ang format ng axis tulad ng ipinapakita sa figure.

I-click ang pangunahing pahalang na X axis (dapat itong i-highlight) at gawin din ang mga setting ayon sa figure.

Ngayon gumawa tayo ng mga label ng data sa itaas ng mga punto. Gawin mo ulit Paggawa gamit ang mga chart – Designer – Magdagdag ng elemento ng chart – Mga label ng data – Nangunguna. Papalitan ka ng mga numero 1 at 0, ngunit papalitan namin ang mga ito ng mga halaga mula sa hanay B5:J5.
Mag-click sa anumang value 1 o 0 (Figure step 1) at sa signature parameters lagyan ng check ang box Values ​​​​mula sa mga cell (Figure step 2). Kaagad na hihilingin sa iyo na tukuyin ang isang hanay na may mga bagong halaga (Larawan hakbang 3). Ipinapahiwatig namin B5:J5.

yun lang. Kung ginawa mo ito ng tama, kung gayon ang iskedyul ay magiging kahanga-hanga. Eto na.

Upang makuha ang graph ng isang function cos(x), palitan sa formula ng pagkalkula at sa pamagat kasalanan(x) sa cos(x).

Sa katulad na paraan, maaari kang bumuo ng mga graph ng iba pang mga function. Ang pangunahing bagay ay ang wastong isulat ang mga computational formula at bumuo ng isang talahanayan ng mga halaga ng function. Umaasa ako na ito ay naging kapaki-pakinabang sa iyo impormasyong ito.

PS: Mga kawili-wiling katotohanan tungkol sa mga logo mga sikat na kumpanya

Mahal na mambabasa! Napanood mo ang artikulo hanggang sa dulo.
Nakatanggap ka na ba ng sagot sa iyong tanong? Sumulat ng ilang mga salita sa mga komento.
Kung hindi mo pa nahanap ang sagot, ipahiwatig kung ano ang iyong hinahanap.

Ibinigay metodolohikal na materyal ay para sa sanggunian lamang at nalalapat sa isang malawak na hanay ng mga paksa. Ang artikulo ay nagbibigay ng isang pangkalahatang-ideya ng mga graph ng mga pangunahing pag-andar sa elementarya at tinutugunan ang pinakamahalagang isyu - paano gumawa ng graph ng tama at MABILIS. Sa kurso ng pag-aaral ng mas mataas na matematika nang walang kaalaman sa mga graph ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya, ito ay magiging mahirap, kaya napakahalagang tandaan kung ano ang hitsura ng mga graph ng isang parabola, hyperbola, sine, cosine, atbp, at tandaan ang ilan. ng mga kahulugan ng mga function. Pag-uusapan din natin ang ilang mga katangian ng mga pangunahing pag-andar.

Hindi ko inaangkin ang pagiging kumpleto at pang-agham na pagiging ganap ng mga materyales; literal na nakakaharap ang isa sa bawat hakbang, sa anumang paksa ng mas mataas na matematika. Mga tsart para sa mga dummies? Masasabi ng isa.

Dahil sa maraming kahilingan mula sa mga mambabasa naki-click na talaan ng mga nilalaman:

Bilang karagdagan, mayroong isang ultra-maikling buod sa paksa
– master ang 16 na uri ng mga chart sa pamamagitan ng pag-aaral ng ANIM na pahina!

Grabe, six, kahit ako nagulat. Ang buod na ito ay naglalaman ng pinahusay na mga graphics at magagamit para sa isang nominal na bayad ang isang demo na bersyon ay maaaring matingnan. Ito ay maginhawa upang i-print ang file upang ang mga graph ay palaging nasa kamay. Salamat sa pagsuporta sa proyekto!

At simulan natin kaagad:

Paano gumawa ng mga coordinate axes nang tama?

Sa pagsasagawa, ang mga pagsusulit ay halos palaging kinukumpleto ng mga mag-aaral sa magkahiwalay na mga notebook, na may linya sa isang parisukat. Bakit kailangan mo ng checkered markings? Pagkatapos ng lahat, ang trabaho, sa prinsipyo, ay maaaring gawin sa mga sheet ng A4. At ang hawla ay kinakailangan para lamang sa mataas na kalidad at tumpak na disenyo ng mga guhit.

Ang anumang pagguhit ng isang function graph ay nagsisimula sa mga coordinate axes.

Ang mga guhit ay maaaring two-dimensional o three-dimensional.

Isaalang-alang muna natin ang dalawang-dimensional na kaso Cartesian rectangular coordinate system:

1) Gumuhit ng mga coordinate axes. Ang axis ay tinatawag x-axis , at ang axis ay y-axis . Lagi naming sinusubukang iguhit ang mga ito maayos at hindi baluktot. Ang mga palaso ay hindi rin dapat katulad ng balbas ni Papa Carlo.

2) Lagyan ng label ang mga palakol sa malaking titik"X" at "Y". Huwag kalimutang lagyan ng label ang mga palakol.

3) Itakda ang sukat sa kahabaan ng mga palakol: gumuhit ng zero at dalawa. Kapag gumagawa ng isang pagguhit, ang pinaka-maginhawa at madalas na ginagamit na sukat ay: 1 yunit = 2 mga cell (pagguhit sa kaliwa) - kung maaari, manatili dito. Gayunpaman, paminsan-minsan ay nangyayari na ang pagguhit ay hindi magkasya sa notebook sheet - pagkatapos ay binabawasan namin ang sukat: 1 yunit = 1 cell (pagguhit sa kanan). Ito ay bihira, ngunit nangyayari na ang sukat ng pagguhit ay kailangang bawasan (o dagdagan) pa

HINDI KAILANGAN ang “machine gun” …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Para sa coordinate plane ay hindi isang monumento kay Descartes, at ang estudyante ay hindi isang kalapati. Inilagay namin sero At dalawang yunit sa kahabaan ng mga palakol. Minsan sa halip na mga yunit, ito ay maginhawa upang "markahan" ang iba pang mga halaga, halimbawa, "dalawa" sa abscissa axis at "tatlo" sa ordinate axis - at ang sistemang ito (0, 2 at 3) ay natatanging tukuyin ang coordinate grid.

Mas mainam na tantyahin ang tinantyang sukat ng pagguhit BAGO gawin ang pagguhit. Kaya, halimbawa, kung ang gawain ay nangangailangan ng pagguhit ng isang tatsulok na may mga vertices , , , pagkatapos ay ganap na malinaw na ang sikat na sukat ng 1 yunit = 2 mga cell ay hindi gagana. Bakit? Tingnan natin ang punto - dito kailangan mong sukatin ang labinlimang sentimetro pababa, at, malinaw naman, ang pagguhit ay hindi magkasya (o halos hindi magkasya) sa isang notebook sheet. Samakatuwid, agad kaming pumili ng mas maliit na sukat: 1 unit = 1 cell.

Sa pamamagitan ng paraan, mga sentimetro at mga cell ng notebook. Totoo bang may 15 centimeters ang 30 notebook cell? Para masaya, sukatin ang 15 sentimetro sa iyong kuwaderno gamit ang ruler. Sa USSR, maaaring totoo ito... Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung susukatin mo ang parehong mga sentimetro nang pahalang at patayo, ang mga resulta (sa mga cell) ay magkakaiba! Sa mahigpit na pagsasalita, ang mga modernong notebook ay hindi checkered, ngunit hugis-parihaba. Ito ay maaaring mukhang walang kapararakan, ngunit ang pagguhit, halimbawa, ang isang bilog na may compass sa mga ganitong sitwasyon ay lubhang hindi maginhawa. Sa totoo lang, sa mga sandaling iyon ay nagsisimula kang mag-isip tungkol sa katumpakan ni Kasamang Stalin, na ipinadala sa mga kampo para sa pag-hack sa paggawa, hindi sa banggitin ang industriya ng domestic na sasakyan, mga bumabagsak na eroplano o sumasabog na mga planta ng kuryente.

Ang pagsasalita ng kalidad, o isang maikling rekomendasyon sa stationery. Ngayon, karamihan sa mga notebook na ibinebenta ay, kung tutuusin, kumpletong kalokohan. Sa kadahilanang nabasa sila, at hindi lamang mula sa mga gel pen, kundi pati na rin sa mga bolpen! Nagtitipid sila sa papel. Para sa pagpaparehistro mga pagsubok Inirerekomenda ko ang paggamit ng mga notebook mula sa Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 sheet, grid) o "Pyaterochka", kahit na ito ay mas mahal. Maipapayo na pumili ng isang gel pen; kahit na ang pinakamurang Chinese gel refill ay mas mahusay kaysa sa isang bolpen, na maaaring mabulok o mapunit ang papel. Ang tanging "mapagkumpitensya" bolpen sa aking alaala ay si "Erich Krause". Malinaw, maganda, at tuluy-tuloy ang pagsusulat niya – may buong core man o halos walang laman.

Bukod pa rito: Ang pananaw ng isang rectangular coordinate system sa pamamagitan ng mga mata ng analytical geometry ay sakop sa artikulo Linear (hindi) dependence ng mga vectors. Batayan ng mga vector, ang detalyadong impormasyon tungkol sa coordinate quarters ay matatagpuan sa ikalawang talata ng aralin Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay.

3D na kaso

Halos pareho lang dito.

1) Gumuhit ng mga coordinate axes. Pamantayan: ilapat ang axis – nakadirekta pataas, axis – nakadirekta sa kanan, axis – nakadirekta pababa sa kaliwa mahigpit sa isang anggulo ng 45 degrees.

2) Lagyan ng label ang mga palakol.

3) Itakda ang sukat sa kahabaan ng mga palakol. Ang sukat sa kahabaan ng axis ay dalawang beses na mas maliit kaysa sa sukat sa iba pang mga axes. Tandaan din na sa tamang pagguhit ay gumamit ako ng isang hindi karaniwang "bingaw" kasama ang axis (ang posibilidad na ito ay nabanggit na sa itaas). Mula sa aking pananaw, ito ay mas tumpak, mas mabilis at mas aesthetically kasiya-siya - hindi na kailangang hanapin ang gitna ng cell sa ilalim ng mikroskopyo at "i-sculpt" ang isang yunit na malapit sa pinagmulan ng mga coordinate.

Kapag gumagawa ng 3D na pagguhit, muli, bigyang-priyoridad ang sukat
1 unit = 2 cell (drawing sa kaliwa).

Para saan ang lahat ng mga patakarang ito? Ang mga patakaran ay ginawa upang masira. Yan ang gagawin ko ngayon. Ang katotohanan ay ang kasunod na mga guhit ng artikulo ay gagawin ko sa Excel, at ang mga coordinate axes ay magmumukhang hindi tama mula sa punto ng view. tamang disenyo. Maaari kong iguhit ang lahat ng mga graph sa pamamagitan ng kamay, ngunit talagang nakakatakot na iguhit ang mga ito dahil nag-aatubili ang Excel na iguhit ang mga ito nang mas tumpak.

Mga graph at pangunahing katangian ng elementarya na pag-andar

Linear function ay ibinigay ng equation. Ang graph ng mga linear function ay direkta. Upang makabuo ng isang tuwid na linya, sapat na malaman ang dalawang puntos.

Halimbawa 1

Bumuo ng graph ng function. Maghanap tayo ng dalawang puntos. Ito ay kapaki-pakinabang na pumili ng zero bilang isa sa mga puntos.

Kung , kung gayon

Kumuha tayo ng isa pang punto, halimbawa, 1.

Kung , kung gayon

Kapag kinukumpleto ang mga gawain, ang mga coordinate ng mga puntos ay karaniwang ibinubuod sa isang talahanayan:

At ang mga halaga mismo ay kinakalkula nang pasalita o sa isang draft, isang calculator.

Dalawang puntos ang natagpuan, gawin natin ang pagguhit:

Kapag naghahanda ng guhit, palagi naming pinipirmahan ang mga graphic.

Magiging kapaki-pakinabang na alalahanin ang mga espesyal na kaso ng isang linear function:

Pansinin kung paano ko inilagay ang mga pirma, hindi dapat pahintulutan ng mga lagda ang mga pagkakaiba kapag pinag-aaralan ang pagguhit. Sa kasong ito, labis na hindi kanais-nais na maglagay ng pirma sa tabi ng punto ng intersection ng mga linya, o sa kanang ibaba sa pagitan ng mga graph.

1) Ang isang linear na function ng form () ay tinatawag na direktang proporsyonalidad. Halimbawa, . Ang isang direktang proporsyonal na graph ay palaging dumadaan sa pinagmulan. Kaya, ang pagbuo ng isang tuwid na linya ay pinasimple - sapat na upang makahanap ng isang punto lamang.

2) Ang isang equation ng form ay tumutukoy sa isang tuwid na linya parallel sa axis, sa partikular, ang axis mismo ay ibinibigay ng equation. Ang graph ng function ay agad na naka-plot, nang hindi nakakahanap ng anumang mga puntos. Iyon ay, ang entry ay dapat na maunawaan tulad ng sumusunod: "ang y ay palaging katumbas ng -4, para sa anumang halaga ng x."

3) Ang isang equation ng form ay tumutukoy sa isang tuwid na linya parallel sa axis, sa partikular, ang axis mismo ay ibinibigay ng equation. Ang graph ng function ay na-plot din kaagad. Ang entry ay dapat na maunawaan bilang mga sumusunod: "x ay palaging, para sa anumang halaga ng y, katumbas ng 1."

May magtatanong, bakit naaalala ang grade 6?! Ganyan talaga, siguro nga, pero sa paglipas ng mga taon ng pagsasanay, nakilala ko ang isang dosenang estudyante na nalilito sa gawaing paggawa ng graph tulad ng o.

Ang pagbuo ng isang tuwid na linya ay ang pinakakaraniwang aksyon kapag gumagawa ng mga guhit.

Ang tuwid na linya ay tinalakay nang detalyado sa kurso ng analytical geometry, at ang mga interesado ay maaaring sumangguni sa artikulo Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano.

Graph ng isang quadratic, cubic function, graph ng isang polynomial

Parabola. Graph ng isang quadratic function () ay kumakatawan sa isang parabola. Isaalang-alang ang sikat na kaso:

Alalahanin natin ang ilang katangian ng function.

Kaya, ang solusyon sa ating equation: – sa puntong ito matatagpuan ang vertex ng parabola. Kung bakit ganito ang matutunan mula sa teoretikal na artikulo sa hinalaw at ang aralin sa extrema ng function. Pansamantala, kalkulahin natin ang katumbas na halaga ng "Y":

Kaya, ang vertex ay nasa punto

Ngayon ay nakahanap kami ng iba pang mga punto, habang walang pakundangan na gumagamit ng simetrya ng parabola. Dapat pansinin na ang pag-andar – ay hindi pantay, ngunit, gayunpaman, walang kinansela ang simetrya ng parabola.

Sa anong pagkakasunud-sunod upang mahanap ang natitirang mga punto, sa palagay ko ay magiging malinaw mula sa panghuling talahanayan:

Ang construction algorithm na ito ay matalinghagang matatawag na "shuttle" o ang "back and forth" na prinsipyo sa Anfisa Chekhova.

Gawin natin ang pagguhit:

Mula sa mga graph na sinuri, isa pang kapaki-pakinabang na tampok ang naiisip:

Para sa isang quadratic function () ang sumusunod ay totoo:

Kung , ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas.

Kung , ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa.

Ang malalim na kaalaman tungkol sa kurba ay makukuha sa aralin na Hyperbola at parabola.

Ang isang cubic parabola ay ibinibigay ng function. Narito ang isang guhit na pamilyar sa paaralan:

Ilista natin ang mga pangunahing katangian ng function

Graph ng isang function

Ito ay kumakatawan sa isa sa mga sangay ng isang parabola. Gawin natin ang pagguhit:

Mga pangunahing katangian ng function:

Sa kasong ito, ang axis ay patayong asymptote para sa graph ng isang hyperbola sa .

Ito ay magiging isang GROSS na pagkakamali kung, kapag gumuhit ng isang guhit, walang ingat mong pinapayagan ang graph na mag-intersect sa isang asymptote.

Ang mga one-sided na limitasyon ay nagsasabi sa amin na ang hyperbola hindi limitado mula sa itaas At hindi limitado mula sa ibaba.

Suriin natin ang function sa infinity: , iyon ay, kung magsisimula tayong gumalaw kasama ang axis sa kaliwa (o kanan) hanggang sa infinity, pagkatapos ay ang "mga laro" na may maayos na hakbang kalooban walang katapusang malapit lumapit sa zero, at, nang naaayon, ang mga sanga ng hyperbola walang katapusang malapit lumapit sa axis.

Kaya ang axis ay pahalang na asymptote para sa graph ng isang function, kung ang "x" ay may posibilidad na plus o minus infinity.

Ang function ay kakaiba, at, samakatuwid, ang hyperbola ay simetriko tungkol sa pinagmulan. Ang katotohanang ito halata mula sa pagguhit, bilang karagdagan, madali itong ma-verify nang analytical: .

Ang graph ng isang function ng form () ay kumakatawan sa dalawang sangay ng isang hyperbola.

Kung , kung gayon ang hyperbola ay matatagpuan sa una at pangatlong coordinate quarter(tingnan ang larawan sa itaas).

Kung , kung gayon ang hyperbola ay matatagpuan sa ikalawa at ikaapat na coordinate quarter.

Ang ipinahiwatig na pattern ng hyperbola residence ay madaling suriin mula sa punto ng view ng geometric transformations ng mga graph.

Halimbawa 3

Buuin ang tamang sangay ng hyperbola

Ginagamit namin ang point-wise na paraan ng pagtatayo, at ito ay kapaki-pakinabang upang piliin ang mga halaga upang ang mga ito ay mahahati sa kabuuan:

Gawin natin ang pagguhit:

Hindi magiging mahirap na buuin ang kaliwang sangay ng hyperbola na makakatulong dito. Sa halos pagsasalita, sa talahanayan ng pagtatayo ng point-by-point, nagdaragdag kami ng minus sa bawat numero, ilagay ang kaukulang mga puntos at iguhit ang pangalawang sangay.

Ang detalyadong geometric na impormasyon tungkol sa linyang isinasaalang-alang ay matatagpuan sa artikulong Hyperbola at parabola.

Graph ng Exponential Function

Sa seksyong ito, agad kong isasaalang-alang ang exponential function, dahil sa mga problema ng mas mataas na matematika sa 95% ng mga kaso ito ang exponential na lilitaw.

Hayaan akong ipaalala sa iyo na ito ay isang hindi makatwirang numero: , ito ay kinakailangan kapag gumagawa ng isang graph, na, sa katunayan, ako ay magtatayo nang walang seremonya. Marahil sapat na ang tatlong puntos:

Iwanan muna natin ang graph ng function sa ngayon, higit pa dito sa ibang pagkakataon.

Mga pangunahing katangian ng function:

Ang mga function graph, atbp., sa panimula ay pareho ang hitsura.

Dapat kong sabihin na ang pangalawang kaso ay nangyayari nang hindi gaanong madalas sa pagsasanay, ngunit ito ay nangyayari, kaya't itinuring kong kinakailangang isama ito sa artikulong ito.

Graph ng isang logarithmic function

Isaalang-alang ang isang function na may natural na logarithm.
Gumawa tayo ng point-by-point drawing:

Kung nakalimutan mo kung ano ang logarithm, mangyaring sumangguni sa iyong mga aklat-aralin sa paaralan.

Mga pangunahing katangian ng function:

Domain ng kahulugan:

Saklaw ng mga halaga: .

Ang function ay hindi limitado mula sa itaas: , kahit na dahan-dahan, ngunit ang sangay ng logarithm ay umaakyat sa infinity.
Suriin natin ang pag-uugali ng function na malapit sa zero sa kanan: . Kaya ang axis ay patayong asymptote para sa graph ng isang function bilang "x" ay may posibilidad na zero mula sa kanan.

Kinakailangang malaman at tandaan ang karaniwang halaga ng logarithm: .

Sa prinsipyo, ang graph ng logarithm sa base ay mukhang pareho: , , (decimal logarithm sa base 10), atbp. Bukod dito, mas malaki ang base, mas magiging flat ang graph.

Hindi namin isasaalang-alang ang kaso; hindi ko matandaan ang huling beses na gumawa ako ng graph na may ganoong batayan. At ang logarithm ay tila isang napakabihirang panauhin sa mga problema ng mas mataas na matematika.

Sa dulo ng talatang ito sasabihin ko ang isa pang katotohanan: Exponential function at logarithmic function- mutual ang dalawa kabaligtaran na mga pag-andar . Kung titingnan mong mabuti ang graph ng logarithm, makikita mo na ito ang parehong exponent, medyo naiiba lang ang lokasyon nito.

Mga graph ng trigonometriko function

Saan nagsisimula ang trigonometric torment sa paaralan? Tama. Mula sa sine

I-plot natin ang function

Ang linyang ito ay tinatawag sinusoid.

Ipaalala ko sa iyo na ang "pi" ay isang hindi makatwirang numero: , at sa trigonometrya ay nakakasilaw ang iyong mga mata.

Mga pangunahing katangian ng function:

Ang function na ito ay pana-panahon may period . Ano ang ibig sabihin nito? Tingnan natin ang segment. Sa kaliwa at kanan nito, ang eksaktong parehong piraso ng graph ay paulit-ulit na walang katapusang.

Domain ng kahulugan: , ibig sabihin, para sa anumang halaga ng "x" mayroong isang halaga ng sine.

Saklaw ng mga halaga: . Ang function ay limitado: , ibig sabihin, lahat ng "laro" ay mahigpit na nakaupo sa segment .
Hindi ito nangyayari: o, mas tiyak, nangyayari ito, ngunit ang mga equation na ito ay walang solusyon.

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng kahilingan sa site, maaari kaming mangolekta iba't ibang impormasyon, kasama ang iyong pangalan, numero ng telepono, address email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, hudisyal na pamamaraan, legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Pumili tayo ng isang hugis-parihaba na coordinate system sa eroplano at i-plot ang mga halaga ng argumento sa abscissa axis X, at sa ordinate - ang mga halaga ng function y = f(x).

Function graph y = f(x) ay ang hanay ng lahat ng mga punto na ang mga abscissas ay nabibilang sa domain ng kahulugan ng function, at ang mga ordinate ay katumbas ng kaukulang mga halaga ng function.

Sa madaling salita, ang graph ng function na y = f (x) ay ang hanay ng lahat ng mga punto ng eroplano, mga coordinate X, sa na nagbibigay-kasiyahan sa relasyon y = f(x).

Sa Fig. Ang 45 at 46 ay nagpapakita ng mga graph ng mga function y = 2x + 1 At y = x 2 - 2x.

Sa mahigpit na pagsasalita, dapat na makilala ng isa sa pagitan ng isang graph ng isang function (ang eksaktong matematikal na kahulugan kung saan ibinigay sa itaas) at isang iginuhit na kurba, na palaging nagbibigay lamang ng higit pa o hindi gaanong tumpak na sketch ng graph (at kahit noon, bilang panuntunan, hindi ang buong graph, ngunit ang bahagi lamang nito na matatagpuan sa mga huling bahagi ng eroplano). Gayunpaman, sa mga sumusunod, karaniwan naming sasabihin ang "graph" sa halip na "graph sketch."

Gamit ang isang graph, mahahanap mo ang halaga ng isang function sa isang punto. Namely, kung ang punto x = a nabibilang sa domain ng kahulugan ng function y = f(x), pagkatapos ay upang mahanap ang numero f(a)(ibig sabihin, ang mga halaga ng function sa punto x = a) dapat mong gawin ito. Ito ay kinakailangan sa pamamagitan ng abscissa point x = a gumuhit ng isang tuwid na linya parallel sa ordinate axis; ang linyang ito ay magsa-intersect sa graph ng function y = f(x) sa isang punto; ang ordinate ng puntong ito ay, sa bisa ng kahulugan ng graph, ay magiging katumbas ng f(a)(Larawan 47).

Halimbawa, para sa function f(x) = x 2 - 2x gamit ang graph (Larawan 46) makikita natin ang f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, atbp.

Ang isang function graph ay malinaw na naglalarawan ng pag-uugali at mga katangian ng isang function. Halimbawa, mula sa pagsasaalang-alang ng Fig. 46 ito ay malinaw na ang function y = x 2 - 2x tinatanggap mga positibong halaga sa X< 0 at sa x > 2, negatibo - sa 0< x < 2; pinakamaliit na halaga function y = x 2 - 2x tumatanggap sa x = 1.

Upang i-graph ang isang function f(x) kailangan mong hanapin ang lahat ng mga punto ng eroplano, mga coordinate X,sa na nagbibigay-kasiyahan sa equation y = f(x). Sa karamihan ng mga kaso imposibleng gawin ito, dahil mayroong isang walang katapusang bilang ng mga naturang puntos. Samakatuwid, ang graph ng function ay inilalarawan nang humigit-kumulang - na may mas malaki o mas kaunting katumpakan. Ang pinakasimple ay ang paraan ng pag-plot ng isang graph gamit ang ilang puntos. Ito ay binubuo sa katotohanan na ang argumento X magbigay ng isang tiyak na bilang ng mga halaga - sabihin, x 1, x 2, x 3,..., x k at lumikha ng isang talahanayan na kinabibilangan ng mga napiling halaga ng function.

Ang talahanayan ay ganito ang hitsura:

Ang pagkakaroon ng compiled tulad ng isang talahanayan, maaari naming balangkasin ang ilang mga punto sa graph ng function y = f(x). Pagkatapos, ikinonekta ang mga puntong ito sa isang makinis na linya, nakakakuha kami ng tinatayang view ng graph ng function y = f(x).

Dapat pansinin, gayunpaman, na ang multi-point plotting na paraan ay napaka hindi mapagkakatiwalaan. Sa katunayan, ang pag-uugali ng graph sa pagitan ng mga nilalayong punto at pag-uugali nito sa labas ng segment sa pagitan ng mga matinding puntos na kinuha ay nananatiling hindi alam.

Halimbawa 1. Upang i-graph ang isang function y = f(x) may nag-compile ng table ng argument at function values:

Ang kaukulang limang puntos ay ipinapakita sa Fig. 48.

Batay sa lokasyon ng mga puntong ito, napagpasyahan niya na ang graph ng function ay isang tuwid na linya (ipinapakita sa Fig. 48 na may tuldok na linya). Maaari bang ituring na maaasahan ang konklusyong ito? Maliban kung may mga karagdagang pagsasaalang-alang upang suportahan ang konklusyong ito, halos hindi ito maituturing na maaasahan. maaasahan.

Upang patunayan ang aming pahayag, isaalang-alang ang function

.

Ipinapakita ng mga kalkulasyon na ang mga halaga ng function na ito sa mga punto -2, -1, 0, 1, 2 ay eksaktong inilarawan ng talahanayan sa itaas. Gayunpaman, ang graph ng function na ito ay hindi isang tuwid na linya sa lahat (ito ay ipinapakita sa Fig. 49). Ang isa pang halimbawa ay ang pag-andar y = x + l + sinπx; ang mga kahulugan nito ay inilarawan din sa talahanayan sa itaas.

Ang mga halimbawang ito ay nagpapakita na sa kanyang "dalisay" na anyo ang paraan ng pag-plot ng isang graph gamit ang ilang mga punto ay hindi mapagkakatiwalaan. Samakatuwid, upang mag-plot ng isang graph ibinigay na function, bilang panuntunan, magpatuloy bilang mga sumusunod. Una, pinag-aaralan namin ang mga katangian ng function na ito, sa tulong kung saan maaari kaming bumuo ng isang sketch ng graph. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga halaga ng function sa ilang mga punto (ang pagpili kung saan ay depende sa itinatag na mga katangian ng function), ang mga kaukulang punto ng graph ay matatagpuan. At sa wakas, ang isang kurba ay iginuhit sa pamamagitan ng mga itinayong punto gamit ang mga katangian ng pagpapaandar na ito.

Titingnan natin ang ilan (ang pinakasimpleng at pinakamadalas na ginagamit) na mga katangian ng mga function na ginamit upang makahanap ng graph sketch sa ibang pagkakataon, ngunit ngayon ay titingnan natin ang ilang karaniwang ginagamit na mga pamamaraan para sa pagbuo ng mga graph.

Graph ng function na y = |f(x)|.

Kadalasan ay kinakailangan na magplano ng isang function y = |f(x)|, saan f(x) - ibinigay na function. Paalalahanan ka namin kung paano ito ginagawa. Sa pamamagitan ng pagtukoy sa ganap na halaga ng isang numero, maaari tayong sumulat

Nangangahulugan ito na ang graph ng function y ==f(x)| maaaring makuha mula sa graph, function y = f(x) tulad ng sumusunod: lahat ng mga punto sa graph ng function y = f(x), na ang mga ordinate ay hindi negatibo, ay dapat iwanang hindi nagbabago; higit pa, sa halip na ang mga punto ng graph ng function y = f(x) pagkakaroon ng mga negatibong coordinate, dapat mong buuin ang mga kaukulang punto sa graph ng function y = -f(x)(ibig sabihin, bahagi ng graph ng function
y = f(x), na nasa ibaba ng axis X, ay dapat na maipakita nang simetriko tungkol sa axis X).

Halimbawa 2. I-graph ang function y = |x|.

Kunin natin ang graph ng function y = x(Fig. 50, a) at bahagi ng graph na ito sa X< 0 (nakahiga sa ilalim ng axis X) simetriko na sinasalamin na may kaugnayan sa axis X. Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang graph ng function y = |x|(Larawan 50, b).

Halimbawa 3. I-graph ang function y = |x 2 - 2x|.

Una, i-plot natin ang function y = x 2 - 2x. Ang graph ng function na ito ay isang parabola, ang mga sanga nito ay nakadirekta paitaas, ang vertex ng parabola ay may mga coordinate (1; -1), ang graph nito ay nag-intersect sa x-axis sa mga puntos na 0 at 2. Sa pagitan (0; 2) ang function ay kumukuha ng mga negatibong halaga, samakatuwid ang bahaging ito ng graph ay simetriko na sinasalamin kaugnay sa abscissa axis. Ipinapakita ng Figure 51 ang graph ng function y = |x 2 -2x|, batay sa graph ng function y = x 2 - 2x

Graph ng function na y = f(x) + g(x)

Isaalang-alang ang problema sa pagbuo ng isang graph ng isang function y = f(x) + g(x). kung ang mga function graph ay ibinigay y = f(x) At y = g(x).

Tandaan na ang domain ng kahulugan ng function na y = |f(x) + g(x)| ay ang hanay ng lahat ng mga halagang iyon ng x kung saan ang parehong mga function na y = f(x) at y = g(x) ay tinukoy, ibig sabihin, ang domain na ito ng kahulugan ay ang intersection ng mga domain ng kahulugan, mga function f(x) at g(x).

Hayaan ang mga puntos (x 0 , y 1) At (x 0, y 2) ayon sa pagkakabanggit ay nabibilang sa mga graph ng mga function y = f(x) At y = g(x), ibig sabihin, y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Pagkatapos ang punto (x0;. y1 + y2) ay kabilang sa graph ng function y = f(x) + g(x)(para sa f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. at anumang punto sa graph ng function y = f(x) + g(x) maaaring makuha sa ganitong paraan. Samakatuwid, ang graph ng function y = f(x) + g(x) maaaring makuha mula sa mga function graph y = f(x). At y = g(x) pinapalitan ang bawat punto ( x n, y 1) function na graphics y = f(x) tuldok (x n, y 1 + y 2), saan y 2 = g(x n), ibig sabihin, sa pamamagitan ng paglilipat ng bawat punto ( x n, y 1) function graph y = f(x) kasama ang axis sa sa dami y 1 = g(x n). Sa kasong ito, ang mga naturang punto lamang ang isinasaalang-alang X n kung saan ang parehong mga function ay tinukoy y = f(x) At y = g(x).

Ang pamamaraang ito ng paglalagay ng isang function y = f(x) + g(x) ay tinatawag na pagdaragdag ng mga graph ng mga function y = f(x) At y = g(x)

Halimbawa 4. Sa figure, isang graph ng function ang ginawa gamit ang paraan ng pagdaragdag ng mga graph
y = x + sinx.

Kapag nagpaplano ng isang function y = x + sinx naisip namin yun f(x) = x, A g(x) = sinx. Upang i-plot ang function graph, pipili kami ng mga puntos na may abscissas -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. Values f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Magkalkula tayo sa mga napiling punto at ilagay ang mga resulta sa talahanayan.

Halimbawa 1

Ibinigay na function:

Kailangan mong buuin ang graph nito sa pagitan [-5;5] na may isang hakbang na katumbas ng 1.

Paggawa ng table

Gumawa tayo ng table, tawagan ang unang variable ng column x(cell A1), ang pangalawa ay isang variable y(cell B1). Para sa kaginhawahan, isusulat namin ang mismong function sa cell B1 upang malinaw kung anong uri ng graph ang gagawin namin. Ipasok ang mga halaga -5, -4 sa mga cell A2 at A3, ayon sa pagkakabanggit, piliin ang parehong mga cell at kopyahin pababa. Nakukuha namin ang isang sequence mula -5 hanggang 5 na may hakbang 1.

Pagkalkula ng Mga Halaga ng Function

Kinakailangang kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa mga puntong ito. Upang gawin ito, sa cell B2 gagawa kami ng isang formula na naaayon sa ibinigay na function, sa halip na x ay ilalagay namin ang halaga ng variable na x na matatagpuan sa cell sa kaliwa (-5).

Mahalaga: para sa exponentiation ginagamit ang sign ^ , na maaaring makuha gamit ang key combination Paglipat+6 sa layout ng English na keyboard. Kinakailangang maglagay ng multiplication sign sa pagitan ng mga coefficient at ng variable. * (Shift+8).

Ang pagpasok ng formula ay nakumpleto sa pamamagitan ng pagpindot sa key Pumasok. Makukuha natin ang halaga ng function sa puntong x=-5. Kopyahin natin ang resultang formula pababa.

Nakatanggap kami ng isang pagkakasunud-sunod ng mga halaga ng function sa mga punto sa pagitan [-5;5] na may hakbang 1.

Pag-plot ng graph

Piliin natin ang hanay ng mga halaga ng variable na x at function na y. Pumunta tayo sa tab Ipasok at sa grupo Mga dayagram piliin natin Spot(maaari kang pumili ng alinman sa mga scatter plot, ngunit mas mahusay na gamitin ang view na may makinis na mga kurba).

Nakatanggap kami ng graph ng function na ito. Paggamit ng Mga Tab Tagabuo, Layout, Format, maaari mong baguhin ang mga parameter ng tsart.

Halimbawa 2

Mga ibinigay na function:

Aty=50 x+2. Kinakailangang bumuo ng mga graph ng mga function na ito sa isang coordinate system.

Paglikha ng talahanayan at pagkalkula ng mga halaga ng function

Nakagawa na kami ng isang talahanayan para sa unang pag-andar, magdagdag tayo ng pangatlong haligi - ang mga halaga ng function na y=50x+2 sa parehong pagitan [-5;5]. Punan ang mga halaga ng function na ito. Upang gawin ito, sa cell C2 ipinasok namin ang formula na naaayon sa function, sa halip na x ay kinukuha namin ang halaga -5, i.e. cell A2. Kopyahin ang formula pababa.

Nakatanggap kami ng isang talahanayan ng mga halaga ng variable x at parehong mga pag-andar sa mga puntong ito.

Pag-graph

Upang bumuo ng mga graph, piliin ang mga halaga ng tatlong column sa tab Ipasok sa grupo Mga dayagram pumili Spot.

Nakatanggap kami ng mga graph ng mga function sa isang coordinate system. Paggamit ng Mga Tab Tagabuo, Layout, Format, maaari mong baguhin ang mga parameter ng tsart.

Ang huling halimbawa ay maginhawang gamitin kung kailangan mong hanapin ang mga intersection point ng mga function gamit ang mga graph. Sa kasong ito, maaari mong baguhin ang mga halaga ng variable na x, pumili ng ibang agwat o gumawa ng ibang hakbang (mas mababa o higit sa 1). Sa kasong ito, hindi na kailangang baguhin ang mga column B at C, o ang diagram. Ang lahat ng mga pagbabago ay magaganap kaagad pagkatapos magpasok ng iba pang mga halaga para sa x variable. Ang talahanayan na ito ay dynamic.