Kapag ang minus beses ang minus ay nagbibigay ng plus. Mga aksyon na may minus

"Ang kaaway ng aking kaaway ay ang aking kaibigan"

Bakit ang minus one times minus one ay katumbas ng plus one? Bakit ang minus one times plus one ay katumbas ng minus one? Ang pinakamadaling paraan upang sagutin ay: “Dahil ito ang mga patakaran ng pagkilos mga negatibong numero" Mga panuntunang natutunan natin sa paaralan at ipinapatupad sa buong buhay natin. Gayunpaman, hindi ipinapaliwanag ng mga aklat-aralin kung bakit ganoon ang mga tuntunin. Susubukan muna nating maunawaan ito batay sa kasaysayan ng pag-unlad ng aritmetika, at pagkatapos ay sasagutin natin ang tanong na ito mula sa punto ng view ng modernong matematika.

Noong unang panahon, natural na mga numero lamang ang alam ng mga tao: Ginagamit ang mga ito sa pagbibilang ng mga kagamitan, pagnakawan, mga kaaway, atbp. Ngunit ang mga numero mismo ay walang silbi - kailangan mong mahawakan ang mga ito. Ang pagdaragdag ay malinaw at nauunawaan, at bukod pa, ang kabuuan ng dalawang natural na numero ay natural na bilang din (sasabihin ng isang matematiko na ang hanay ng mga natural na numero ay sarado sa ilalim ng operasyon ng karagdagan). Ang multiplikasyon ay mahalagang kapareho ng karagdagan kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga natural na numero. Sa buhay, madalas tayong nagsasagawa ng mga aksyon na may kaugnayan sa dalawang operasyong ito (halimbawa, kapag namimili, nagdaragdag at nagpaparami tayo), at kakaibang isipin na mas madalas silang nakatagpo ng ating mga ninuno - ang pagdaragdag at pagpaparami ay pinagkadalubhasaan ng sangkatauhan sa napakatagal na panahon. kanina. Kadalasan kailangan mong hatiin ang ilang mga dami sa iba, ngunit narito ang resulta ay hindi palaging ipinahayag bilang isang natural na numero - ito ay kung paano mga fractional na numero.

Siyempre, hindi mo rin magagawa nang walang pagbabawas. Ngunit sa pagsasagawa, karaniwan naming ibawas ang mas maliit na numero mula sa mas malaking bilang, at hindi na kailangang gumamit ng mga negatibong numero. (Kung mayroon akong kendi at ibibigay ko ito sa aking kapatid na babae, magkakaroon pa ako ng ilang kendi, ngunit hindi ko siya mabibigyan ng kendi kahit na gusto ko.) Ito ay maaaring ipaliwanag kung bakit ang mga tao ay hindi gumagamit ng mga negatibong numero sa mahabang panahon.

Ang mga negatibong numero ay lumitaw sa mga dokumento ng India mula noong ika-7 siglo AD; Ang mga Intsik ay tila nagsimulang gumamit ng mga ito nang mas maaga. Ginamit ang mga ito sa account para sa mga utang o sa mga intermediate na kalkulasyon upang pasimplehin ang solusyon ng mga equation - ito ay isang tool lamang para makakuha ng positibong sagot. Ang katotohanan na ang mga negatibong numero, hindi tulad ng mga positibong numero, ay hindi nagpapahayag ng pagkakaroon ng anumang entity na nagdulot ng matinding kawalan ng tiwala. Literal na iniiwasan ng mga tao ang mga negatibong numero: kung ang isang problema ay may negatibong sagot, naniniwala sila na walang sagot. Ang kawalan ng tiwala na ito ay nagpatuloy sa napakatagal na panahon, at maging si Descartes - isa sa mga "tagapagtatag" ng modernong matematika - tinawag silang "false" (noong ika-17 siglo!).

Isaalang-alang natin ang equation bilang isang halimbawa. Maaari itong malutas sa ganitong paraan: ilipat ang mga termino na may hindi alam sa kaliwang bahagi, at ang natitira sa kanan, lumalabas na , , . Sa solusyon na ito, hindi man lang kami nakatagpo ng mga negatibong numero.

Ngunit ito ay posible na hindi sinasadyang gawin ito sa ibang paraan: ilipat ang mga termino na may hindi alam sa kanang bahagi at kunin ang , . Upang mahanap ang hindi alam, kailangan mong hatiin ang isang negatibong numero sa isa pa: . Ngunit ang tamang sagot ay alam, at nananatili itong tapusin na .

Ano ang ipinapakita ng simpleng halimbawang ito? Una, ang lohika na tumutukoy sa mga patakaran para sa mga aksyon sa mga negatibong numero ay nagiging malinaw: ang mga resulta ng mga pagkilos na ito ay dapat na tumutugma sa mga sagot na nakuha sa ibang paraan, nang walang mga negatibong numero. Pangalawa, sa pamamagitan ng pagpapahintulot sa paggamit ng mga negatibong numero, inaalis natin ang nakakapagod (kung ang equation ay lumalabas na mas kumplikado, na may isang malaking bilang termino) na naghahanap ng isang landas ng solusyon kung saan ang lahat ng mga aksyon ay isinasagawa lamang sa natural na mga numero. Bukod dito, maaaring hindi na natin iniisip sa bawat oras ang tungkol sa kabuluhan ng mga nabagong dami - at ito ay isang hakbang na tungo sa paggawa ng matematika sa isang abstract na agham.

Ang mga patakaran para sa pagpapatakbo na may mga negatibong numero ay hindi nabuo kaagad, ngunit naging isang pangkalahatan ng maraming mga halimbawa na lumitaw sa paglutas ng mga inilapat na problema. Sa pangkalahatan, ang pag-unlad ng matematika ay maaaring nahahati sa mga yugto: ang bawat susunod na yugto ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng isang bagong antas ng abstraction kapag nag-aaral ng mga bagay. Kaya, noong ika-19 na siglo, napagtanto ng mga mathematician na ang mga integer at polynomial, sa kabila ng lahat ng kanilang panlabas na pagkakaiba, ay may malaking pagkakatulad: pareho ay maaaring idagdag, ibawas at i-multiply. Ang mga operasyong ito ay napapailalim sa parehong mga batas - kapwa sa kaso ng mga numero at sa kaso ng mga polynomial. Ngunit ang paghahati ng mga integer sa bawat isa upang ang resulta ay integer muli ay hindi palaging posible. Ito ay pareho sa polynomials.

Pagkatapos ay natuklasan ang iba pang mga hanay ng mga bagay sa matematika kung saan maaaring maisagawa ang mga naturang operasyon: pormal na serye ng kapangyarihan, tuluy-tuloy na mga pag-andar... Sa wakas, dumating ang pagkaunawa na kung pag-aralan mo ang mga katangian ng mga operasyon mismo, pagkatapos ay mailalapat ang mga resulta sa lahat. ang mga hanay ng mga bagay na ito (ang pamamaraang ito ay tipikal para sa lahat ng modernong matematika).

Bilang resulta, isang bagong konsepto ang lumitaw: ang singsing. Isa lang itong hanay ng mga elemento at mga aksyon na maaaring gawin sa kanila. Ang mga pangunahing patakaran dito ay tiyak na mga patakaran (tinatawag silang mga axiom) kung saan ang mga aksyon ay napapailalim, at hindi ang likas na katangian ng mga elemento ng set (narito ito, bagong antas abstraction!). Nais na bigyang-diin na ito ay ang istraktura na lumitaw pagkatapos na ipakilala ang mga axiom na mahalaga, ang mga mathematician ay nagsasabi: isang singsing ng mga integer, isang singsing ng polynomials, atbp. Simula sa mga axiom, ang isa ay maaaring maghinuha ng iba pang mga katangian ng mga singsing.

Bubuo kami ng mga axiom ng singsing (na, siyempre, ay katulad ng mga patakaran para sa pagpapatakbo ng mga integer), at pagkatapos ay patunayan na sa anumang singsing, ang pagpaparami ng isang minus sa isang minus ay gumagawa ng isang plus.

Ang singsing ay isang set na may dalawang binary na operasyon (iyon ay, ang bawat operasyon ay nagsasangkot ng dalawang elemento ng singsing), na tradisyonal na tinatawag na karagdagan at pagpaparami, at ang mga sumusunod na axiom:

Tandaan na ang mga singsing, sa pinaka-pangkalahatang konstruksiyon, ay hindi nangangailangan ng alinman sa commutability ng multiplikasyon, o ang invertibility nito (iyon ay, hindi palaging magagawa ang paghahati), o ang pagkakaroon ng isang yunit - isang neutral na elemento sa multiplikasyon. Kung ipinakilala namin ang mga axiom na ito, nakakakuha kami ng iba't ibang mga istruktura ng algebraic, ngunit sa kanila ang lahat ng mga theorems na napatunayan para sa mga singsing ay magiging totoo.

Ngayon patunayan natin na para sa anumang elemento at isang arbitrary na singsing ito ay totoo, una, , at pangalawa, . Ang mga pahayag tungkol sa mga yunit ay madaling sundin mula dito: at .

Upang gawin ito, kakailanganin nating magtatag ng ilang mga katotohanan. Una naming pinatunayan na ang bawat elemento ay maaaring magkaroon lamang ng isang kabaligtaran. Sa katunayan, hayaan ang isang elemento na magkaroon ng dalawang magkasalungat: at . Yan ay . Isaalang-alang natin ang halaga. Gamit ang mga nauugnay at commutative na batas at ang ari-arian ng zero, nakita namin na, sa isang banda, ang kabuuan ay katumbas ng , at sa kabilang banda, ito ay katumbas ng . Ibig sabihin, .

Tandaan ngayon na ang pareho at ay magkasalungat ng parehong elemento, kaya dapat silang pantay.

Ang unang katotohanan ay lumalabas na ganito: iyon ay, ito ay kabaligtaran, na nangangahulugang ito ay pantay.

Upang maging mahigpit sa matematika, ipaliwanag din natin kung bakit para sa anumang elemento . Tunay nga, .

Ibig sabihin, hindi binabago ng pagdaragdag ang halaga. Kaya ang produktong ito ay katumbas ng zero.

At ang katotohanan na mayroong eksaktong isang zero sa singsing (pagkatapos ng lahat, ang mga axiom ay nagsasabi na ang gayong elemento ay umiiral, ngunit walang sinabi tungkol sa pagiging natatangi nito!), Iiwan namin sa mambabasa bilang isang simpleng ehersisyo.
Evgeniy Epifanov

"Mga elemento"

Mga komento: 0

Jacques Sesiano Sa mahigit dalawang milenyo nagkaroon ng tatlong mahahalagang pagpapalawak ng numerical domain. Una, mga 450 BC. Pinatunayan ng mga siyentipiko mula sa Pythagorean school ang pagkakaroon ng hindi makatwiran na mga numero. Ang kanilang paunang layunin ay numeric na expression diagonal ng isang unit square. Pangalawa, sa XIII-XV siglo, European siyentipiko, paglutas ng mga sistema linear na equation

, pinapayagan ang posibilidad ng isang negatibong desisyon. At pangatlo, noong 1572, ang Italian algebraist na si Raphael Bombelli ay gumamit ng mga kumplikadong numero upang makakuha ng tunay na solusyon sa isang partikular na cubic equation.

Proskuryakov I.V. Ang layunin ng aklat na ito ay mahigpit na tukuyin ang mga numero, polynomial at algebraic fraction at bigyang-katwiran ang kanilang mga katangian na kilala na mula sa paaralan, at hindi upang ipakilala ang mambabasa sa mga bagong katangian. Samakatuwid, ang mambabasa ay hindi makakahanap ng mga katotohanan na bago sa kanya dito (maliban sa ilang mga pag-aari, totoo at kumplikadong mga numero), ngunit malalaman kung paano napatunayan ang mga bagay na kilala sa kanya, simula sa "dalawang dalawa ay apat" at nagtatapos sa mga tuntunin ng mga operasyon na may polynomials At algebraic fractions . Ngunit ang mambabasa ay makikilala sa isang bilang ng pangkalahatang konsepto

, gumaganap ng malaking papel sa algebra.

Ilya Shchurov Mathematician na si Ilya Shchurov o mga decimal

, transcendence at irrationality ng numerong Pi.

Ito ay magiging apat na maikling kwento. Magsisimula tayo sa mga numero, pagkatapos ay pag-uusapan natin ang tungkol sa paggalaw, tungkol sa pagbabago, pagkatapos ay tatalakayin natin ang mga hugis at sukat, at pagkatapos ay simula at wakas. Sa ganitong medyo naka-encrypt na istilo, susubukan naming tingnan ang matematika mula sa loob at labas, at tiyak bilang isang paksa. Kung ano ang iniisip at isinasabuhay ng mga mathematician - maaari nating pag-usapan ito mamaya.

Vladlen Timorin

Mathematician na si Vladlen Timorin sa mga bentahe ng mga kumplikadong numero, mga quaternion ng Hamilton, eight-dimensional na mga numero ng Cayley at ang iba't ibang mga numero sa geometry.

Mga komento: 0

Kaunti lang ang alam natin tungkol kay Diophantus. Sa tingin ko nakatira siya sa Alexandria. Wala sa mga Greek mathematician ang nagbanggit sa kanya bago ang ika-4 na siglo, kaya malamang na nabuhay siya sa kalagitnaan ng ika-3 siglo. Ang pinaka pangunahing trabaho Ang Diophanta, “Arithmetic” (Ἀριθμητικά), ay naganap sa simula ng 13 “libro” (βιβλία), ibig sabihin, mga kabanata. Sa ngayon ay mayroon tayong 10 sa kanila, ibig sabihin: 6 sa tekstong Griyego at 4 na iba pa sa pagsasalin ng medieval na Arabic, na ang lugar ay nasa gitna ng mga aklat na Griyego: mga aklat I-III sa Griyego, IV-VII sa Arabic, VIII-X sa Griyego. Pangunahing koleksyon ng mga problema ang "Arithmetic" ni Diophantus, mga 260 sa kabuuan Upang sabihin ang totoo, walang teorya; meron lang Pangkalahatang Panuto sa pagpapakilala ng aklat, at mga pribadong komento sa ilang problema, kung kinakailangan. Ang "Arithmetic" ay mayroon nang mga katangian ng isang algebraic treatise. Unang paggamit ng Diophantus iba't ibang palatandaan upang ipahayag ang hindi alam at ang mga kapangyarihan nito, pati na rin ang ilang mga kalkulasyon; tulad ng lahat ng simbolismong algebra ng Middle Ages, ang simbolismo nito ay nagmula sa mga salitang matematika. Pagkatapos, ipinaliwanag ni Diophantus kung paano lutasin ang problema sa algebraically. Ngunit ang mga problema ni Diophantus ay hindi algebraic sa karaniwang kahulugan, dahil halos lahat ng mga ito ay kumukulo sa paglutas ng isang hindi tiyak na equation o mga sistema ng naturang mga equation.

Ang mundo ng matematika ay hindi maiisip kung wala ang mga ito - walang mga pangunahing numero. Anong nangyari mga pangunahing numero, kung ano ang espesyal sa kanila at kung ano ang kahalagahan ng mga ito Araw-araw na buhay? Sa pelikulang ito, ibubunyag ng propesor sa matematika ng Britanya na si Marcus du Sautoy ang sikreto ng mga prime number.

Georgy Shabat

Sa paaralan, lahat tayo ay nakikintal sa maling ideya na sa hanay ng mga makatwirang numero Q mayroong isang natatanging natural na distansya (ang modulus ng pagkakaiba), kung saan ang lahat ng mga operasyon ng aritmetika ay tuluy-tuloy. Gayunpaman, mayroon ding walang katapusang bilang ng mga distansya, ang tinatawag na p-adic, isa para sa bawat bilang na p. Ayon sa teorama ni Ostrovsky, ang "ordinaryong" distansya, kasama ang lahat ng p-adic, ay talagang nauubos ang lahat ng makatwirang distansya Q. Ang terminong adelic democracy ay ipinakilala ni Yu I. Manin. Ayon sa prinsipyo ng adelic democracy, ang lahat ng makatwirang distansya sa Q ay pantay-pantay bago ang mga batas ng matematika (marahil ang tradisyonal na "medyo=medyo pantay..." ay ipakikilala ng kurso ang adelic ring, na nagpapahintulot sa iyo na magtrabaho sa lahat ng mga distansyang ito sa parehong oras.

Vladimir Arnold

Pinatunayan ni J.L. Lagrange na ang isang sequence ng mga hindi kumpletong quotient (nagsisimula sa isang partikular na lugar) ay panaka-nakang kung at kung ang numerong x ay isang quadratic irrationality. Pinatunayan ni R. O. Kuzmin na sa pagkakasunud-sunod ng mga hindi kumpletong quotient ng halos anumang tunay na numero, ang fraction d_m na katumbas ng m hindi kumpletong quotient ay pareho (para sa mga tipikal na tunay na numero). Ang fraction d_m ay bumababa bilang m→∞ bilang 1/m^2 at ang halaga nito ay hinulaan ni Gauss (na walang napatunayan). Ipinahayag ni V.I. Arnol (mga 20 taon na ang nakalipas) ang hypothesis na hawak din ng Gauss–Kuzmin statistics d_m para sa mga panahon ng patuloy na mga fraction ng mga ugat quadratic equation x^2+px+q=0 (na may integer p at q): kung isusulat natin nang sama-sama ang mga hindi kumpletong quotient na bumubuo sa mga panahon ng lahat ng patuloy na fraction ng mga ugat ng naturang mga equation na may p^2+q^2≤R ^2, pagkatapos ay ang bahagi ng hindi kumpletong quotient m sa mga ito ay magiging bilang d_m bilang R→∞. Pinatunayan kamakailan ni V. A. Bykovsky at ng kanyang mga mag-aaral sa Khabarovsk ang matagal nang hypothesis na ito. Sa kabila nito, ang tanong ng mga istatistika hindi ng mga titik, ngunit ng mga salita na binubuo ng mga ito, na kung saan ay ang mga panahon ng patuloy na mga fraction ng anumang mga ugat x ng mga equation na x^2+px+q=0, ay malayong malutas.

Reed Miles

Iniiwan ko ang pamagat at abstract bilang malabo hangga't maaari, upang mapag-usapan ko kung ano man ang nararamdaman ko sa araw na iyon. Maraming mga uri ng interes sa pag-uuri ng mga varieties ay nakuha bilang Spec o Proj ng isang Gorenstein ring. Sa codimension ⩽3, ang kilalang teorya ng istruktura ay nagbibigay ng mga tahasang pamamaraan ng pagkalkula gamit ang mga singsing na Gorenstein. Sa kaibahan, walang magagamit na teorya ng istraktura para sa mga singsing ng codimension ⩾4. Gayunpaman, sa maraming kaso, ang Gorenstein projection (at ang kabaligtaran nito, ang Kustin–Miller unprojection) ay nagbibigay ng mga paraan ng pag-atake sa mga singsing na ito. Nalalapat ang mga pamamaraang ito sa mga sporadic na klase ng canonical ring ng regular na algebraic surface, at sa mas sistematikong mga konstruksyon ng Q-Fano 3-folds, Sarkisov links sa pagitan ng mga ito, at ang 3-folds flips ng Type A ng Mori theory.

Ang minus at plus ay mga palatandaan ng negatibo at positibong mga numero sa matematika. Nakikipag-ugnayan sila sa kanilang sarili nang iba, kaya kapag nagsasagawa ng anumang mga operasyon na may mga numero, halimbawa, paghahati, pagpaparami, pagbabawas, pagdaragdag, atbp., kinakailangang isaalang-alang lagdaan ang mga tuntunin. Kung wala ang mga panuntunang ito, hindi mo kailanman malulutas kahit ang pinakasimpleng algebraic o geometric na problema. Nang hindi nalalaman ang mga patakarang ito, hindi ka makakapag-aral hindi lamang ng matematika, kundi pati na rin sa pisika, kimika, biology, at maging sa heograpiya.

Tingnan natin ang mga pangunahing tuntunin ng mga palatandaan.

Dibisyon.

Kung hinati natin ang "plus" sa "minus", palagi tayong nakakakuha ng "minus". Kung hinati natin ang "minus" sa "plus", palagi din tayong nakakakuha ng "minus". Kung hahatiin natin ang "plus" sa "plus", makakakuha tayo ng "plus". Kung hahatiin natin ang "minus" sa "minus", kung gayon, kakaiba, nakakakuha din tayo ng "plus".

Pagpaparami.

Kung i-multiply natin ang "minus" sa "plus", palagi tayong nakakakuha ng "minus". Kung i-multiply natin ang "plus" sa "minus", palagi din tayong nakakakuha ng "minus". Kung i-multiply natin ang "plus" sa "plus", makakakuha tayo ng positibong numero, iyon ay, "plus". Ang parehong naaangkop sa dalawang negatibong numero. Kung i-multiply natin ang "minus" sa "minus", makakakuha tayo ng "plus".

Pagbabawas at pagdaragdag.

Ang mga ito ay batay sa iba't ibang mga prinsipyo. Kung ang isang negatibong numero ay mas malaki sa ganap na halaga kaysa sa aming positibo, kung gayon ang resulta, siyempre, ay magiging negatibo. Tiyak, nagtataka ka kung ano ang isang module at kung bakit ito naririto. Napakasimple ng lahat. Ang modulus ay ang halaga ng isang numero, ngunit walang sign. Halimbawa -7 at 3. Ang Modulo -7 ay magiging 7 lamang, at ang 3 ay mananatiling 3. Bilang resulta, nakikita natin na ang 7 ay mas malaki, iyon ay, lumalabas na ang ating negatibong numero ay mas malaki. Kaya lumabas -7+3 = -4. Maaari itong gawing mas simple. Maglagay lamang ng positibong numero sa unang lugar, at ito ay lalabas na 3-7 = -4, marahil ito ay mas malinaw sa isang tao. Gumagana ang pagbabawas sa eksaktong parehong prinsipyo.

Naiintindihan ba natin ng tama ang multiplication?

"- Nakaupo si A at B sa tubo. Nahulog si A, nawala si B, ano ang natira sa tubo?
"Ang sulat mo ay nananatili ako."

(Mula sa pelikulang "Youths in the Universe")

Bakit ang pagpaparami ng numero sa zero ay nagreresulta sa zero?

7 * 0 = 0

Bakit ang pagpaparami ng dalawang negatibong numero ay gumagawa ng positibong numero?

7 * (-3) = + 21

Ang mga guro ay gumagawa ng lahat ng kanilang makakaya upang masagot ang dalawang tanong na ito.

Ngunit walang sinuman ang may lakas ng loob na umamin na mayroong tatlong pagkakamali sa semantiko sa pagbabalangkas ng multiplikasyon!

Posible bang magkamali sa pangunahing aritmetika? Pagkatapos ng lahat, ang matematika ay nagpoposisyon sa sarili bilang isang eksaktong agham...

Ang mga aklat-aralin sa matematika ng paaralan ay hindi nagbibigay ng mga sagot sa mga tanong na ito, na pinapalitan ang mga paliwanag ng isang hanay ng mga panuntunan na kailangang isaulo. Marahil ang paksang ito ay itinuturing na mahirap ipaliwanag sa gitnang paaralan? Subukan nating maunawaan ang mga isyung ito.

7 ang multiplicand. 3 ay isang multiplier. 21-trabaho.

Ayon sa opisyal na salita:

upang i-multiply ang isang numero sa isa pang numero ay nangangahulugan ng pagdaragdag ng maraming multiplicand gaya ng inireseta ng multiplier.

Ayon sa tinanggap na pagbabalangkas, ang kadahilanan 3 ay nagsasabi sa atin na dapat mayroong tatlong pito sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Ngunit ang pagbabalangkas ng multiplikasyon na ito ay hindi maipaliwanag ang mga tanong sa itaas.

Iwasto natin ang mga salita ng multiplikasyon

Kadalasan sa matematika ay maraming ibig sabihin, ngunit hindi ito pinag-uusapan o isinulat.

Ito ay tumutukoy sa plus sign bago ang unang pito sa kanang bahagi ng equation. Isulat natin ang plus na ito.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Ngunit ano ang idinagdag ng unang pito? Nangangahulugan ito ng zero, siyempre. Isulat natin ang zero.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

Paano kung i-multiply natin ng tatlo minus pito?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

Isinulat namin ang pagdaragdag ng multiplicand -7, ngunit sa katunayan kami ay nagbabawas mula sa zero nang maraming beses. Buksan natin ang mga bracket.

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

Ngayon ay maaari tayong magbigay ng isang pinong pagbabalangkas ng multiplikasyon.

Ang multiplikasyon ay ang proseso ng paulit-ulit na pagdaragdag sa (o pagbabawas mula sa zero) ng multiplicand (-7) nang ilang beses na ipinapahiwatig ng multiplier. Ang multiplier (3) at ang sign nito (+ o -) ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga operasyon na idinaragdag o ibinabawas mula sa zero.

Gamit ang pino at bahagyang binagong formulation ng multiplication, ang "sign rules" para sa multiplication kapag negatibo ang multiplier ay madaling maipaliwanag.

7 * (-3) - dapat mayroong tatlong minus sign pagkatapos ng zero = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

7 * (-3) - muli dapat mayroong tatlong minus sign pagkatapos ng zero =

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Multiply sa zero

7 * 0 = 0 + ... walang karagdagan sa zero operations.

Kung ang multiplikasyon ay isang karagdagan sa zero, at ang multiplier ay nagpapakita ng bilang ng mga operasyon ng pagdaragdag sa zero, kung gayon ang multiplier na zero ay nagpapakita na walang idinagdag sa zero. Kaya naman nananatili itong zero.

Kaya, sa umiiral na pagbabalangkas ng multiplikasyon, nakakita kami ng tatlong semantic error na humaharang sa pag-unawa sa dalawang "sign rules" (kapag negatibo ang multiplier) at ang multiplikasyon ng isang numero sa zero.

Hindi mo kailangang idagdag ang multiplicand, ngunit idagdag ito sa zero.
Ang multiplikasyon ay hindi lamang pagdaragdag sa zero, ngunit din pagbabawas mula sa zero.
Ang multiplier at ang sign nito ay hindi nagpapakita ng bilang ng mga termino, ngunit ang bilang ng mga plus o minus na mga palatandaan kapag nabubulok ang multiplikasyon sa mga termino (o mga ibinawas).

Ang pagkakaroon ng medyo linawin ang pagbabalangkas, naipaliwanag namin ang mga tuntunin ng mga palatandaan para sa pagpaparami at ang pagpaparami ng isang numero sa pamamagitan ng zero nang walang tulong ng commutative na batas ng multiplikasyon, nang walang distributive law, nang hindi kinasasangkutan ng mga pagkakatulad sa linya ng numero, nang walang mga equation. , nang walang patunay mula sa kabaligtaran, atbp.

Ang mga panuntunan sa pag-sign para sa pinong pagbabalangkas ng multiplikasyon ay hinango nang napakasimple.

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

Ang multiplier at ang sign nito (+3 o -3) ay nagpapahiwatig ng bilang ng "+" o "-" na mga palatandaan sa kanang bahagi ng equation.

Ang binagong pagbabalangkas ng multiplikasyon ay tumutugma sa pagpapatakbo ng pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2^0 = 1 (ang isa ay hindi pinarami o hinahati sa anuman, kaya nananatili itong isa)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Sumasang-ayon ang mga mathematician na ang pagtaas ng isang numero sa isang positibong kapangyarihan ay pagpaparami ng isa nang maraming beses. At pagtataas ng numero sa negatibong antas ay isang maramihang dibisyon ng isang yunit.

Ang operasyon ng multiplikasyon ay dapat na katulad ng pagpapatakbo ng exponentiation.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2*0 = 0 (walang idinagdag sa zero at walang ibinabawas sa zero)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

Ang binagong pormulasyon ng multiplikasyon ay hindi nagbabago ng anuman sa matematika, ngunit ibinabalik ang orihinal na kahulugan ng pagpaparami ng multiplikasyon, ipinapaliwanag ang "mga panuntunan ng mga palatandaan", pagpaparami ng isang numero sa zero, at pinagkasundo ang multiplikasyon sa exponentiation.

Suriin natin kung ang ating pagbabalangkas ng multiplikasyon ay pare-pareho sa operasyon ng paghahati.

15: 5 = 3 (kabaligtaran ng multiplikasyon 5 * 3 = 15)

Ang quotient (3) ay tumutugma sa bilang ng mga operasyon ng pagdaragdag sa zero (+3) sa panahon ng multiplikasyon.

Ang paghahati ng numero 15 sa 5 ay nangangahulugan ng paghahanap kung ilang beses mo kailangang ibawas ang 5 mula sa 15. Ginagawa ito sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagbabawas hanggang sa makuha ang isang zero na resulta.

Upang mahanap ang resulta ng paghahati, kailangan mong bilangin ang bilang ng mga minus na palatandaan. Tatlo sila.

15: 5 = 3 operasyon ng pagbabawas ng lima mula sa 15 upang makakuha ng zero.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (15:5 division)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (multiply 5 * 3)

Dibisyon na may natitira.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17: 5 = 3 at 2 natitira

Kung mayroong dibisyon na may natitira, bakit hindi multiplikasyon na may kasama?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Tingnan natin ang pagkakaiba ng mga salita sa calculator

Umiiral na pagbabalangkas ng multiplikasyon (tatlong termino).

10 + 10 + 10 = 30

Nawastong pagbabalangkas ng multiplikasyon (tatlong karagdagan sa zero na operasyon).

0 + 10 = = = 30

(Pindutin ang "katumbas" ng tatlong beses.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Ang multiplier ng 3 ay nagpapahiwatig na ang multiplicand 10 ay dapat idagdag sa zero nang tatlong beses.

Subukang i-multiply ang (-10) * (-3) sa pamamagitan ng pagdaragdag ng terminong (-10) minus tatlong beses!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

Ano ang ibig sabihin ng minus sign para sa tatlo? Siguro nga?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

Ops... Hindi ko mabulok ang produkto sa kabuuan (o pagkakaiba) ng mga termino (-10).

Ginagawa ito nang tama ng binagong mga salita.

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Ang multiplier (-3) ay nagpapahiwatig na ang multiplicand (-10) ay dapat ibawas mula sa zero nang tatlong beses.

Lagdaan ang mga panuntunan para sa pagdaragdag at pagbabawas

Sa itaas ay nagpakita kami ng isang simpleng paraan upang makuha ang mga tuntunin ng mga palatandaan para sa pagpaparami sa pamamagitan ng pagbabago ng kahulugan ng mga salita ng pagpaparami.

Ngunit para sa konklusyon ginamit namin ang mga patakaran ng mga palatandaan para sa pagdaragdag at pagbabawas. Ang mga ito ay halos kapareho ng para sa pagpaparami. Gumawa tayo ng visualization ng mga alituntunin ng mga palatandaan para sa karagdagan at pagbabawas, upang kahit na ang isang first-grader ay maunawaan ito.

Ano ang "minus", "negatibo"?

Walang negatibo sa kalikasan. Hindi negatibong temperatura, walang negatibong direksyon, walang negatibong masa, walang negatibong singil... Kahit na ang sine sa likas na katangian nito ay maaari lamang maging positibo.

Ngunit ang mga mathematician ay may mga negatibong numero. Para saan? Ano ang ibig sabihin ng "minus"?

Ang minus sign ay nangangahulugang ang kabaligtaran na direksyon. Kaliwa Kanan. Taas baba. Clockwise - counterclockwise. Pabalik-balik. Malamig mainit. Banayad na mabigat. Mabagal - mabilis. Kung iisipin mo ito, maaari kang magbigay ng maraming iba pang mga halimbawa kung saan ito ay maginhawang gamitin mga negatibong halaga dami

Sa mundong alam natin, ang infinity ay nagsisimula sa zero at napupunta sa plus infinity.

Ang "minus infinity" ay hindi umiiral sa totoong mundo. Ito ay ang parehong mathematical convention bilang ang konsepto ng "minus".

Kaya, ang "minus" ay nagpapahiwatig ng kabaligtaran na direksyon: paggalaw, pag-ikot, proseso, pagpaparami, pagdaragdag. Suriin natin ang iba't ibang direksyon kapag nagdaragdag at nagbabawas ng mga positibo at negatibong numero (tumataas sa kabilang direksyon).

Ang kahirapan sa pag-unawa sa mga tuntunin ng mga palatandaan para sa pagdaragdag at pagbabawas ay dahil sa ang katunayan na ang mga patakarang ito ay karaniwang ipinaliwanag sa isang linya ng numero. Sa linya ng numero, tatlong magkakaibang bahagi ang pinaghalo, kung saan nagmula ang mga panuntunan. At dahil sa pagkalito, dahil sa pagsasama-sama ng iba't ibang konsepto sa isang bunton, ang mga paghihirap sa pag-unawa ay nalikha.

Upang maunawaan ang mga patakaran, kailangan nating hatiin:

ang unang termino at ang kabuuan (sila ay nasa pahalang na axis);
ang pangalawang termino (ito ay nasa vertical axis);
direksyon ng mga operasyon ng pagdaragdag at pagbabawas.

Ang dibisyon na ito ay malinaw na ipinapakita sa figure. Isipin sa isip na ang vertical axis ay maaaring paikutin, superimposing sa pahalang na axis.

Ang operasyon ng karagdagan ay palaging ginagawa sa pamamagitan ng pag-ikot ng patayong axis clockwise (plus sign). Ang operasyon ng pagbabawas ay palaging ginagawa sa pamamagitan ng pag-ikot ng vertical axis na pakaliwa (minus sign).

Halimbawa. Diagram sa kanang sulok sa ibaba.

Makikitang malapit lang ang dalawa nakatayong tanda Ang minus sign (ang tanda ng operasyon ng pagbabawas at ang tanda ng numero 3) ay may iba't ibang kahulugan. Ang unang minus ay nagpapakita ng direksyon ng pagbabawas. Ang pangalawang minus ay ang tanda ng numero sa vertical axis.

Hanapin ang unang termino (-2) sa pahalang na axis. Hanapin ang pangalawang termino (-3) sa patayong axis. Iikot sa isip ang patayong axis nang pakaliwa hanggang ang (-3) ay nakahanay sa numero (+1) sa pahalang na axis. Ang numero (+1) ay ang resulta ng karagdagan.

Pagpapatakbo ng pagbabawas

nagbibigay ng kaparehong resulta gaya ng pagpapatakbo ng karagdagan sa diagram sa kanang sulok sa itaas.

Samakatuwid, ang dalawang katabing minus sign ay maaaring mapalitan ng isang plus sign.

Nasanay tayong lahat na gumamit ng mga yari na alituntunin ng aritmetika nang hindi iniisip ang kahulugan nito. Samakatuwid, madalas na hindi natin napapansin kung paano naiiba ang mga alituntunin ng mga palatandaan para sa karagdagan (pagbabawas) mula sa mga patakaran ng mga palatandaan para sa pagpaparami (dibisyon). Pareho ba sila? Halos... Ang kaunting pagkakaiba ay makikita sa sumusunod na ilustrasyon.

Ngayon ay mayroon na tayo ng lahat ng kailangan natin upang makuha ang mga panuntunan sa pag-sign para sa pagpaparami. Ang pagkakasunod-sunod ng output ay ang mga sumusunod.

Malinaw naming ipinapakita kung paano nakuha ang mga patakaran ng mga palatandaan para sa karagdagan at pagbabawas.
Gumagawa kami ng mga pagbabago sa semantiko sa umiiral na pagbabalangkas ng multiplikasyon.
Batay sa binagong pagbabalangkas ng pagpaparami at sa mga tuntunin ng mga palatandaan para sa karagdagan, nakukuha namin ang mga tuntunin ng mga palatandaan para sa pagpaparami.

Tandaan.

Sa ibaba ay nakasulat Lagdaan ang mga panuntunan para sa pagdaragdag at pagbabawas, nakuha mula sa visualization. At sa pula, para sa paghahambing, ang parehong mga patakaran ng mga palatandaan mula sa aklat-aralin sa matematika. Ang gray na plus sa mga bracket ay isang hindi nakikitang plus, na hindi isinulat para sa isang positibong numero.

Palaging may dalawang palatandaan sa pagitan ng mga termino: ang operation sign at ang number sign (hindi kami nagsusulat ng plus, ngunit sinadya namin ito). Ang mga patakaran ng mga palatandaan ay nagrereseta ng pagpapalit ng isang pares ng mga character sa isa pang pares nang hindi binabago ang resulta ng karagdagan (pagbabawas). Sa totoo lang, dalawa lang ang rules.

Mga Panuntunan 1 at 3 (para sa visualization) - mga dobleng panuntunan 4 at 2.. Mga Panuntunan 1 at 3 sa interpretasyon ng paaralan ay hindi nag-tutugma sa visual scheme, samakatuwid, hindi sila nalalapat sa mga patakaran ng mga palatandaan para sa karagdagan. Ito ang ilan pang mga patakaran...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+).......... + - = - (+) ok

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - = + (+) sige

Panuntunan ng paaralan 1. (pulang kulay) ay nagbibigay-daan sa iyo upang palitan ang dalawang plus sa isang hilera na may isang plus. Ang panuntunan ay hindi nalalapat sa pagpapalit ng mga palatandaan bilang karagdagan at pagbabawas.

Panuntunan ng paaralan 3. (pula) ay nagbibigay-daan sa iyo na huwag magsulat ng plus sign para sa isang positibong numero pagkatapos ng operasyon ng pagbabawas. Ang panuntunan ay hindi nalalapat sa pagpapalit ng mga palatandaan bilang karagdagan at pagbabawas.

Ang kahulugan ng mga patakaran ng mga palatandaan para sa karagdagan ay ang pagpapalit ng isang PAIR ng mga character sa isa pang PAIR ng mga character nang hindi binabago ang resulta ng karagdagan.

Pinaghalo ng mga metodologo ng paaralan ang dalawang panuntunan sa isang panuntunan:

Dalawang panuntunan ng mga palatandaan kapag nagdaragdag at nagbabawas ng positibo at negatibong mga numero (pinapalitan ang isang pares ng mga palatandaan ng isa pang pares ng mga palatandaan);

Dalawang panuntunan para sa hindi pagsusulat ng plus sign para sa isang positibong numero.

Dalawa iba't ibang mga patakaran, na pinaghalo sa isa, ay katulad ng mga panuntunan ng mga palatandaan sa pagpaparami, kung saan ang dalawang palatandaan ay nagreresulta sa isang pangatlo. Magkamukha talaga sila.

Malaking kalituhan! Ang parehong bagay muli, para sa mas mahusay na detangling. I-highlight natin ang mga palatandaan ng operasyon sa pula upang makilala ang mga ito mula sa mga palatandaan ng numero.

1. Pagdaragdag at pagbabawas. Dalawang panuntunan ng mga palatandaan ayon sa kung aling mga pares ng mga palatandaan sa pagitan ng mga termino ay ipinagpapalit. Operation sign at number sign.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. Dalawang panuntunan ayon sa kung saan ang plus sign para sa isang positibong numero ay pinapayagang hindi isulat. Ito ang mga patakaran para sa entry form. Hindi nalalapat sa karagdagan. Para sa isang positibong numero, tanging ang senyales ng operasyon ang nakasulat.

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. Apat na panuntunan ng mga palatandaan para sa pagpaparami. Kapag ang dalawang senyales ng mga salik ay nagreresulta sa ikatlong tanda ng produkto. Ang mga panuntunan sa pag-sign para sa pagpaparami ay naglalaman lamang ng mga palatandaan ng numero.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

Ngayon na pinaghiwalay na natin ang mga tuntunin sa form, dapat na malinaw na ang mga panuntunan sa pag-sign para sa pagdaragdag at pagbabawas ay hindi katulad ng mga panuntunan sa pag-sign para sa pagpaparami.

V. Kozarenko

Dalawang negatibo ang nagpapatunay- Ito ay isang tuntunin na natutunan natin sa paaralan at ipinapatupad sa buong buhay natin. At sino sa atin ang interesado kung bakit? Siyempre, mas madaling matandaan ang pahayag na ito nang hindi nagtatanong ng mga hindi kinakailangang tanong at hindi malalim na suriin ang kakanyahan ng isyu. Ngayon ay mayroon nang sapat na impormasyon na kailangang "digested". Ngunit para sa mga interesado pa rin sa tanong na ito, susubukan naming magbigay ng paliwanag sa mathematical phenomenon na ito.

Mula noong sinaunang panahon, ang mga tao ay gumagamit ng mga positibong natural na numero: 1, 2, 3, 4, 5,... Ang mga numero ay ginamit upang mabilang ang mga hayop, pananim, kaaway, atbp. Kapag nagdaragdag at nagpaparami ng dalawang positibong numero, palagi silang nakakuha ng positibong numero kapag hinahati ang isang dami sa isa pa, hindi sila palaging nakakakuha ng mga natural na numero - ganito ang paglitaw ng mga fractional na numero. Paano ang pagbabawas? Mula pagkabata, alam natin na mas mainam na magdagdag ng mas kaunti sa higit pa at ibawas ang mas kaunti mula sa higit pa, at muli ay hindi tayo gumagamit ng mga negatibong numero. Lumalabas na kung mayroon akong 10 mansanas, maaari lamang akong magbigay sa isang tao ng mas mababa sa 10 o 10. Walang paraan na maaari akong magbigay ng 13 mansanas, dahil wala ako. Hindi na kailangan ng mga negatibong numero sa mahabang panahon.

Mula lamang sa ika-7 siglo AD. Ang mga negatibong numero ay ginamit sa ilang sistema ng pagbibilang bilang mga pantulong na dami na naging posible upang makakuha ng positibong numero sa sagot.

Tingnan natin ang isang halimbawa, 6x – 30 = 3x – 9. Upang mahanap ang sagot, kailangang iwanan ang mga termino na may mga hindi alam sa kaliwang bahagi, at ang natitira sa kanan: 6x – 3x = 30 – 9, 3x = 21, x = 7 . Kapag nilulutas ang equation na ito, kahit na walang mga negatibong numero. Maaari naming ilipat ang mga termino na may mga hindi alam sa kanang bahagi, at walang mga hindi alam sa kaliwa: 9 – 30 = 3x – 6x, (-21) = (-3x). Kapag hinahati ang negatibong numero sa negatibong numero, nakakakuha tayo ng positibong sagot: x = 7.

Ano ang nakikita natin?

Ang pagtatrabaho sa mga negatibong numero ay dapat humantong sa amin sa parehong sagot tulad ng nagtatrabaho sa lamang mga positibong numero. Hindi na natin kailangang isipin ang praktikal na imposibilidad at kabuluhan ng mga aksyon - tinutulungan tayo nitong malutas ang problema nang mas mabilis, nang hindi binabawasan ang equation sa isang form na may mga positibong numero lamang. Sa aming halimbawa, hindi kami gumamit ng mga kumplikadong kalkulasyon, ngunit kung mayroong isang malaking bilang ng mga termino, ang mga kalkulasyon na may mga negatibong numero ay maaaring gawing mas madali ang aming trabaho.

Sa paglipas ng panahon, pagkatapos ng mahabang mga eksperimento at kalkulasyon, posible na matukoy ang mga patakaran na namamahala sa lahat ng mga numero at operasyon sa kanila (sa matematika ay tinatawag silang mga axiom). Ito ay kung saan ito nanggaling isang axiom na nagsasaad na kapag ang dalawang negatibong numero ay pinarami, makakakuha tayo ng positibong numero.

blog.site, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.

1) Bakit ang minus one times minus one ay katumbas ng plus one?

2) Bakit katumbas ng minus one ang minus one plus one?

Ang kaaway ng aking kaaway ay ang aking kaibigan

Ang pinakamadaling sagot ay: "Dahil ito ang mga patakaran para sa pagpapatakbo gamit ang mga negatibong numero." Mga panuntunang natutunan natin sa paaralan at ipinapatupad sa buong buhay natin. Gayunpaman, hindi ipinapaliwanag ng mga aklat-aralin kung bakit ganoon ang mga tuntunin. Susubukan muna nating maunawaan ito batay sa kasaysayan ng pag-unlad ng aritmetika, at pagkatapos ay sasagutin natin ang tanong na ito mula sa punto ng view ng modernong matematika.

Noong unang panahon, natural na mga numero lamang ang alam ng mga tao: 1, 2, 3, ... Ginamit ang mga ito sa pagbilang ng mga kagamitan, pagnakawan, mga kaaway, atbp. Ngunit ang mga numero mismo ay walang silbi - kailangan mong mahawakan ang mga ito. Ang pagdaragdag ay malinaw at nauunawaan, at bukod pa, ang kabuuan ng dalawang natural na numero ay natural na bilang din (sasabihin ng isang matematiko na ang hanay ng mga natural na numero ay sarado sa ilalim ng operasyon ng karagdagan). Ang multiplikasyon ay mahalagang kapareho ng karagdagan kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga natural na numero. Sa buhay, madalas tayong nagsasagawa ng mga aksyon na may kaugnayan sa dalawang operasyong ito (halimbawa, kapag namimili, nagdaragdag at nagpaparami tayo), at kakaibang isipin na mas madalas silang nakatagpo ng ating mga ninuno - ang pagdaragdag at pagpaparami ay pinagkadalubhasaan ng sangkatauhan sa napakatagal na panahon. kanina. Kadalasan kailangan mong hatiin ang ilang mga dami sa iba, ngunit narito ang resulta ay hindi palaging ipinahayag bilang isang natural na numero - ito ay kung paano lumitaw ang mga fractional na numero.

Siyempre, hindi mo rin magagawa nang walang pagbabawas. Ngunit sa pagsasagawa, karaniwan naming ibawas ang mas maliit na numero mula sa mas malaking bilang, at hindi na kailangang gumamit ng mga negatibong numero. (Kung mayroon akong 5 kendi at bibigyan ko ang aking kapatid na babae ng 3, magkakaroon ako ng 5 - 3 = 2 kendi na natitira, ngunit hindi ko siya mabibigyan ng 7 kendi kahit na gusto ko.) Maipaliwanag nito kung bakit ang mga tao ay hindi gumamit ng mga negatibong numero para sa isang matagal na panahon.

Isaalang-alang, halimbawa, ang equation 7x – 17 = 2x – 2. Maaari itong malutas sa ganitong paraan: ilipat ang mga termino na may hindi alam sa kaliwang bahagi, at ang natitira sa kanan, ito ay lalabas 7x – 2x = 17 – 2, 5x = 15, x = 3. Sa solusyon na ito, hindi man lang kami nakatagpo ng mga negatibong numero.

Ngunit ito ay posible na hindi sinasadyang gawin ito sa ibang paraan: ilipat ang mga tuntunin na may hindi alam sa kanang bahagi at kunin 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Upang mahanap ang hindi alam, kailangan mong hatiin ang isang negatibong numero sa isa pa: x = (–15)/(–5). Ngunit ang tamang sagot ay alam, at ito ay nananatiling upang tapusin iyon (–15)/(–5) = 3 .

Ano ang ipinapakita ng simpleng halimbawang ito? Una, ang lohika na tumutukoy sa mga patakaran para sa pagpapatakbo sa mga negatibong numero ay nagiging malinaw: ang mga resulta ng mga pagkilos na ito ay dapat tumugma sa mga sagot na nakuha sa ibang paraan, nang walang mga negatibong numero. Pangalawa, sa pamamagitan ng pagpapahintulot sa paggamit ng mga negatibong numero, inaalis natin ang nakakapagod (kung ang equation ay lumalabas na mas kumplikado, na may malaking bilang ng mga termino) na paghahanap para sa isang solusyon kung saan ang lahat ng mga aksyon ay isinasagawa lamang sa mga natural na numero. Bukod dito, maaaring hindi na natin iniisip sa bawat oras ang tungkol sa kabuluhan ng mga nabagong dami - at ito ay isang hakbang na tungo sa paggawa ng matematika sa isang abstract na agham.

Bilang resulta, lumitaw ang isang bagong konsepto: singsing. Isa lang itong hanay ng mga elemento at mga aksyon na maaaring gawin sa kanila. Ang mga pangunahing tuntunin dito ay ang mga patakaran (tinatawag silang mga axiom), na napapailalim sa mga aksyon, at hindi ang likas na katangian ng mga elemento ng set (narito ito, isang bagong antas ng abstraction!). Nais na bigyang-diin na ito ay ang istraktura na lumitaw pagkatapos na ipakilala ang mga axiom na mahalaga, ang mga mathematician ay nagsasabi: isang singsing ng mga integer, isang singsing ng polynomials, atbp. Simula sa mga axiom, ang isa ay maaaring maghinuha ng iba pang mga katangian ng mga singsing.

singsing ay isang set na may dalawang binary na operasyon (iyon ay, ang bawat operasyon ay nagsasangkot ng dalawang elemento ng singsing), na tradisyonal na tinatawag na karagdagan at pagpaparami, at ang mga sumusunod na axiom:

ang pagdaragdag ng mga elemento ng singsing ay napapailalim sa commutative ( A + B = B + A para sa anumang elemento A At B) at nag-uugnay ( A + (B + C) = (A + B) + C) mga batas; mayroong isang espesyal na elemento sa singsing 0 (neutral karagdagan elemento) tulad na A+0=A, at para sa anumang elemento A mayroong isang kabaligtaran na elemento (tinutukoy (–A)), Ano A + (–A) = 0;
Ang pagpaparami ay sumusunod sa batas ng kumbinasyon: A·(B·C) = (A·B)·C;
Ang pagdaragdag at pagpaparami ay nauugnay sa mga sumusunod na patakaran para sa pagbubukas ng mga panaklong: (A + B) C = A C + B C At A (B + C) = A B + A C.

Ngayon patunayan namin iyon para sa anumang elemento A At B ng isang arbitrary na singsing ay totoo, una, (–A) B = –(A B), at pangalawa (–(–A)) = A. Ang mga pahayag tungkol sa mga yunit ay madaling sundin mula dito: (–1) 1 = –(1 1) = –1 At (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1.

Upang gawin ito, kakailanganin nating magtatag ng ilang mga katotohanan. Una naming pinatunayan na ang bawat elemento ay maaaring magkaroon lamang ng isang kabaligtaran. Sa katunayan, hayaan ang elemento A may dalawang magkasalungat: B At SA. Yan ay A + B = 0 = A + C. Isaalang-alang natin ang halaga A+B+C. Gamit ang mga nauugnay at commutative na batas at ang ari-arian ng zero, nakuha namin na, sa isang banda, ang kabuuan ay katumbas ng B:B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, at sa kabilang banda, ito ay pantay C:A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Ibig sabihin, B=C.

Pansinin natin ngayon A, At (–(–A)) ay kabaligtaran ng parehong elemento (–A), kaya dapat sila ay pantay.

Ang unang katotohanan ay ganito: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, yan ay (–A)·B kabaligtaran A·B, na nangangahulugang ito ay pantay –(A B).

Para maging mathematically rigorous, ipaliwanag din natin kung bakit 0·B = 0 para sa anumang elemento B. talaga, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Iyon ay, ang karagdagan 0·B hindi nagbabago ang halaga. Kaya ang produktong ito ay katumbas ng zero.

Ibig sabihin, hindi binabago ng pagdaragdag ang halaga. Kaya ang produktong ito ay katumbas ng zero.