Mga polygon convex polygon quadrilateral. Mga matambok na polygon
Konsepto ng polygon
Kahulugan 1
Polygon ay isang geometric na pigura sa isang eroplano na binubuo ng mga segment na konektado sa mga pares, ang mga katabi ay hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya.
Sa kasong ito, ang mga segment ay tinatawag gilid ng polygon, at ang kanilang mga dulo - vertex ng polygon.
Kahulugan 2
Ang $n$-gon ay isang polygon na may $n$ vertices.
Mga uri ng polygon
Kahulugan 3
Kung ang isang polygon ay palaging nakahiga sa parehong gilid ng anumang linya na dumadaan sa mga gilid nito, kung gayon ang polygon ay tinatawag matambok(Larawan 1).
Figure 1. Convex polygon
Kahulugan 4
Kung ang polygon ay nasa tabi magkaibang panig hindi bababa sa isang tuwid na linya na dumadaan sa mga gilid nito, pagkatapos ang polygon ay tinatawag na non-convex (Larawan 2).
Larawan 2. Hindi matambok na polygon
Kabuuan ng mga anggulo ng isang polygon
Ipakilala natin ang isang teorama sa kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok.
Teorama 1
Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang matambok na tatsulok ay tinutukoy bilang mga sumusunod
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Patunay.
Bigyan tayo ng convex polygon $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Ikonekta natin ang vertex $A_1$ nito sa lahat ng iba pang vertex ng polygon na ito (Fig. 3).
Larawan 3.
Sa koneksyon na ito makakakuha tayo ng $n-2$ triangles. Sa pamamagitan ng pagsusuma ng kanilang mga anggulo nakukuha natin ang kabuuan ng mga anggulo ng isang naibigay na -gon. Dahil ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng $(180)^0,$ nakuha namin na ang kabuuan ng mga anggulo ng isang matambok na tatsulok ay tinutukoy ng formula
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Ang teorama ay napatunayan.
Konsepto ng quadrilateral
Gamit ang kahulugan ng $2$, madaling ipakilala ang kahulugan ng quadrilateral.
Kahulugan 5
Ang quadrilateral ay isang polygon na may $4$ vertices (Fig. 4).
Larawan 4. Quadrangle
Para sa isang quadrilateral, ang mga konsepto matambok may apat na gilid at isang non-convex quadrilateral. Ang mga klasikong halimbawa ng convex quadrilaterals ay square, rectangle, trapezoid, rhombus, parallelogram (Fig. 5).
Figure 5. Convex quadrilaterals
Teorama 2
Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang convex quadrilateral ay $(360)^0$
Patunay.
Sa pamamagitan ng Theorem $1$, alam natin na ang kabuuan ng mga anggulo ng isang convex -gon ay tinutukoy ng formula
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang matambok quadrilateral ay katumbas ng
\[\kaliwa(4-2\kanan)\cdot (180)^0=(360)^0\]
Ang teorama ay napatunayan.
Isang matambok na hanay ng mga punto sa isang eroplano.
Ang isang hanay ng mga punto sa isang eroplano o sa tatlong-dimensional na espasyo ay tinatawag matambok, kung anumang dalawang punto ng set na ito ay maaaring ikonekta ng isang line segment na ganap na nasa set na ito.
Teorama 1. Ang intersection ng isang may hangganan na bilang ng convex set ay isang convex set.
Bunga. Ang intersection ng isang may hangganan na bilang ng convex set ay isang convex set.
Mga sulok na puntos.
Ang boundary point ng isang convex set ay tinatawag angular, kung posible na gumuhit ng isang segment sa pamamagitan nito, ang lahat ng mga punto ay hindi kabilang sa ibinigay na hanay.
Ang mga hanay ng iba't ibang hugis ay maaaring magkaroon ng may hangganan o walang katapusang bilang ng mga punto ng sulok.
Matambok na polygon.
Polygon tinawag matambok, kung ito ay nasa isang gilid ng bawat linya na dumadaan sa dalawa sa mga kalapit na vertice nito.
Theorem: Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang convex n-gon ay 180˚ *(n-2)
6) Solusyon ng mga sistema m mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable
Ibinigay ang isang sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable
Ang mga palatandaan ng ilan o lahat ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring ≥.
Isaalang-alang natin ang unang hindi pagkakapantay-pantay sa X1OX2 coordinate system. Bumuo tayo ng isang tuwid na linya
na siyang boundary line.
Ang tuwid na linyang ito ay naghahati sa eroplano sa dalawang kalahating eroplano 1 at 2 (Larawan 19.4).
Ang half-plane 1 ay naglalaman ng pinagmulan, ang half-plane 2 ay hindi naglalaman ng pinagmulan.
Upang matukoy kung saang bahagi ng boundary line matatagpuan ang isang ibinigay na kalahating eroplano, kailangan mong kumuha ng di-makatwirang punto sa eroplano (mas mabuti ang pinagmulan) at palitan ang mga coordinate ng puntong ito sa hindi pagkakapantay-pantay. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, kung gayon ang kalahating eroplano ay nakaharap sa puntong ito;
Ang direksyon ng kalahating eroplano ay ipinapakita sa mga figure na may isang arrow.
Depinisyon 15. Ang solusyon sa bawat hindi pagkakapantay-pantay ng sistema ay isang kalahating eroplano na naglalaman ng boundary line at matatagpuan sa isang gilid nito.
Depinisyon 16. Ang intersection ng mga kalahating eroplano, na ang bawat isa ay tinutukoy ng kaukulang hindi pagkakapantay-pantay ng system, ay tinatawag na solution domain ng system (SO).
Depinisyon 17. Ang rehiyon ng solusyon ng isang sistema na nakakatugon sa mga kundisyon na hindi negatibo (xj ≥ 0, j =) ay tinatawag na rehiyon ng mga di-negatibo, o tinatanggap, na mga solusyon (ADS).
Kung pare-pareho ang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay, ang OR at ODR ay maaaring isang polyhedron, isang walang hangganang polyhedral na rehiyon, o isang solong punto.
Kung ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi pare-pareho, kung gayon ang OR at ODR ay isang walang laman na hanay.
Halimbawa 1. Hanapin ang OR at ODE ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay at tukuyin ang mga coordinate ng mga sulok na punto ng ODE
Solusyon. Hanapin natin ang OR ng unang hindi pagkakapantay-pantay: x1 + 3x2 ≥ 3. Buuin natin ang boundary line x1 + 3x2 – 3 = 0 (Fig. 19.5). Palitan natin ang mga coordinate ng punto (0,0) sa hindi pagkakapantay-pantay: 1∙0 + 3∙0 > 3; dahil ang mga coordinate ng punto (0,0) ay hindi nasiyahan dito, kung gayon ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (19.1) ay isang kalahating eroplano na hindi naglalaman ng punto (0,0).
Hayaan din nating maghanap ng mga solusyon sa mga natitirang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Nakukuha namin na ang OR at ODE ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay isang matambok na polyhedron ABCD.
Hanapin natin ang mga sulok na punto ng polyhedron. Tinukoy namin ang point A bilang punto ng intersection ng mga linya
Ang paglutas ng system, makakakuha tayo ng A(3/7, 6/7).
Nakikita namin ang punto B bilang punto ng intersection ng mga linya
Mula sa system ay nakukuha natin ang B(5/3, 10/3). Katulad nito, nakikita natin ang mga coordinate ng mga puntos C at D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).
Halimbawa 2. Hanapin ang OR at ODE ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay
Solusyon. Bumuo tayo ng mga tuwid na linya at tukuyin ang mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (19.5)-(19.7). Ang OR at ODR ay walang hangganang polyhedral na rehiyon ACFM at ABDEKM, ayon sa pagkakabanggit (Larawan 19.6).
Halimbawa 3. Hanapin ang OR at ODE ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay
Solusyon. Maghanap tayo ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (19.8)-(19.10) (Larawan 19.7). Ang OR ay kumakatawan sa walang limitasyong polyhedral na rehiyon ABC; ODR - punto B.
Halimbawa 4. Hanapin ang OP at ODP ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay
Solusyon. Sa pamamagitan ng paggawa ng mga tuwid na linya, makakahanap tayo ng mga solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Ang OR at ODR ay hindi magkatugma (Larawan 19.8).
MGA PAGSASANAY
Hanapin ang OR at ODE ng mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay
Teorama. Kung xn ® a, kung gayon .
Patunay. Mula sa xn ® a ito ay sumusunod na . Kasabay nito:
, ibig sabihin. , ibig sabihin. . Ang teorama ay napatunayan.
Teorama. Kung xn ® a, ang sequence (xn) ay bounded.
Dapat tandaan na ang kabaligtaran na pahayag ay hindi totoo, i.e. ang boundedness ng isang sequence ay hindi nagpapahiwatig ng convergence nito.
Halimbawa, ang pagkakasunod-sunod 
ay walang limitasyon bagaman
Pagpapalawak ng mga function sa power series.
Ang power series expansion ng mga function ay mayroon malaking halaga para sa paglutas ng iba't ibang mga problema ng pananaliksik sa pag-andar, pagkita ng kaibhan, pagsasama, solusyon differential equation, pagkalkula ng mga limitasyon, pagkalkula ng tinatayang mga halaga ng isang function.
Ang mga geometric na hugis na ito ay pumapalibot sa amin sa lahat ng dako. Maaaring natural ang mga convex polygon, gaya ng pulot-pukyutan, o artipisyal (gawa ng tao). Ang mga figure na ito ay ginagamit sa produksyon iba't ibang uri coatings, sa pagpipinta, arkitektura, dekorasyon, atbp. Ang mga convex polygon ay may katangian na ang lahat ng kanilang mga punto ay matatagpuan sa isang gilid ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang pares ng mga katabing vertices ng geometric figure na ito. Mayroong iba pang mga kahulugan. Ang convex polygon ay isa na matatagpuan sa isang solong kalahating eroplano na may kaugnayan sa anumang tuwid na linya na naglalaman ng isa sa mga gilid nito.
Sa elementarya na kursong geometry, ang mga simpleng polygon lamang ang palaging isinasaalang-alang. Upang maunawaan ang lahat ng mga pag-aari nito, kinakailangan na maunawaan ang kanilang kalikasan. Una, dapat mong maunawaan na ang anumang linya na ang mga dulo ay nag-tutugma ay tinatawag na sarado. Bukod dito, ang pigura na nabuo nito ay maaaring magkaroon ng iba't ibang mga pagsasaayos. Ang polygon ay isang simpleng saradong putol na linya kung saan ang mga kalapit na link ay hindi matatagpuan sa parehong tuwid na linya. Ang mga link at vertices nito ay, ayon sa pagkakabanggit, ang mga gilid at vertex ng geometric figure na ito. Ang isang simpleng polyline ay hindi dapat magkaroon ng mga intersection sa sarili.
Ang mga vertices ng isang polygon ay tinatawag na katabi kung kinakatawan nila ang mga dulo ng isa sa mga gilid nito. Isang geometric figure na mayroong ika-na numero mga taluktok, at samakatuwid nth dami Ang mga gilid ay tinatawag na n-gon. Ang putol na linya mismo ay tinatawag na hangganan o tabas ng geometric figure na ito. Ang isang polygonal plane o flat polygon ay ang may hangganang bahagi ng anumang eroplanong nakatali nito. Ang mga kalapit na gilid ng geometric na figure na ito ay mga segment ng isang putol na linya na nagmumula sa isang vertex. Hindi sila magiging katabi kung nagmula sila sa iba't ibang vertices ng polygon.
Iba pang mga kahulugan ng convex polygons
Sa elementarya na geometry, mayroong ilang higit pang mga kahulugan na katumbas ng kahulugan, na nagpapahiwatig kung aling polygon ang tinatawag na convex. Bukod dito, ang lahat ng mga formulations na ito ay pantay na tama. Ang polygon ay itinuturing na matambok kung ito ay:
Ang bawat segment na nag-uugnay sa anumang dalawang punto sa loob nito ay ganap na nasa loob nito;
Lahat ng mga dayagonal nito ay nasa loob nito;
Ang anumang panloob na anggulo ay hindi lalampas sa 180°.
Palaging hinahati ng polygon ang isang eroplano sa 2 bahagi. Ang isa sa kanila ay limitado (maaari itong nakapaloob sa isang bilog), at ang isa ay walang limitasyon. Ang una ay tinatawag na panloob na rehiyon, at ang pangalawa ay ang panlabas na rehiyon ng geometric figure na ito. Ang polygon na ito ay ang intersection (sa madaling salita, ang karaniwang bahagi) ng ilang kalahating eroplano. Bukod dito, ang bawat segment na nagtatapos sa mga puntong kabilang sa polygon ay ganap na kabilang dito.
Mga uri ng convex polygons
Ang kahulugan ng convex polygon ay hindi nagpapahiwatig na mayroong maraming uri. Bukod dito, ang bawat isa sa kanila ay may ilang mga pamantayan. Kaya, ang mga convex na polygon na may panloob na anggulo na katumbas ng 180° ay tinatawag na mahinang matambok. Ang convex geometric figure na may tatlong vertices ay tinatawag na triangle, four - a quadrilateral, five - a pentagon, atbp. Ang bawat isa sa convex n-gons ay nakakatugon sa sumusunod na pinakamahalagang kinakailangan: n ay dapat na katumbas ng o higit sa 3. Ang bawat isa ng mga tatsulok ay matambok. Ang isang geometric na figure ng ganitong uri, kung saan ang lahat ng vertices ay matatagpuan sa parehong bilog, ay tinatawag na inscribed sa isang bilog. Ang convex polygon ay tinatawag na circumscribed kung ang lahat ng panig nito malapit sa bilog ay hawakan ito. Ang dalawang polygon ay sinasabing magkatugma lamang kung maaari silang pagsamahin sa pamamagitan ng superposisyon. Ang plane polygon ay isang polygonal plane (bahagi ng isang eroplano) na nililimitahan ng geometric figure na ito.
Mga regular na convex na polygon
Ang mga regular na polygon ay mga geometric na figure na may pantay na anggulo at ang mga partido. Sa loob ng mga ito mayroong isang punto 0, na matatagpuan sa parehong distansya mula sa bawat isa sa mga vertice nito. Ito ay tinatawag na sentro ng geometric figure na ito. Ang mga segment na nagkokonekta sa gitna sa mga vertices ng geometric na figure na ito ay tinatawag na apothems, at ang mga nagkokonekta na point 0 sa mga gilid ay tinatawag na radii.
Ang isang regular na may apat na gilid ay isang parisukat. Ang isang regular na tatsulok ay tinatawag na equilateral. Para sa mga naturang figure, mayroong sumusunod na panuntunan: ang bawat anggulo ng convex polygon ay katumbas ng 180° * (n-2)/n,
kung saan ang n ay ang bilang ng mga vertices ng convex geometric figure na ito.
Ang lugar ng anumang regular na polygon ay tinutukoy ng formula:
kung saan ang p ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng lahat ng panig ng isang binigay na polygon, at ang h ay katumbas ng haba ng apothem.
Mga katangian ng convex polygons
Ang mga convex polygon ay may ilang mga katangian. Kaya, ang isang segment na nag-uugnay sa anumang 2 puntos ng naturang geometric figure ay kinakailangang matatagpuan dito. Patunay:
Ipagpalagay natin na ang P ay isang binigay na convex polygon. Kumuha kami ng 2 di-makatwirang puntos, halimbawa, A, B, na kabilang sa P. Ayon sa umiiral na kahulugan ng convex polygon, ang mga puntong ito ay matatagpuan sa isang gilid ng linya, na naglalaman ng anumang panig ng P. Samakatuwid, AB din ay may ganitong katangian at nakapaloob sa P. Ang isang matambok na polygon ay palaging posible na hatiin ito sa ilang mga tatsulok gamit ang ganap na lahat ng mga dayagonal na iginuhit mula sa isa sa mga vertice nito.
Mga anggulo ng matambok na geometric na hugis
Ang mga anggulo ng isang convex polygon ay ang mga anggulo na nabuo sa pamamagitan ng mga gilid nito. Ang mga panloob na anggulo ay matatagpuan sa panloob na rehiyon ng isang ibinigay na geometric na pigura. Ang anggulo na nabuo ng mga gilid nito na nagsasalubong sa isang vertex ay tinatawag na anggulo ng convex polygon. na may panloob na mga anggulo ng isang ibinigay na geometric na pigura ay tinatawag na panlabas. Ang bawat anggulo ng convex polygon na matatagpuan sa loob nito ay katumbas ng:
kung saan ang x ay ang laki ng panlabas na anggulo. Ito simpleng formula nalalapat sa anumang mga geometric na figure ng ganitong uri.
Sa pangkalahatan, para sa mga panlabas na sulok umiiral pagsunod sa tuntunin: Ang bawat anggulo ng convex polygon ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng 180° at ang laki ng interior angle. Maaari itong magkaroon ng mga halaga mula -180° hanggang 180°. Samakatuwid, kapag ang panloob na anggulo ay 120°, ang panlabas na anggulo ay magiging 60°.
Kabuuan ng mga anggulo ng convex polygons
Sum panloob na sulok Ang convex polygon ay tinutukoy ng formula:
kung saan ang n ay ang bilang ng mga vertices ng n-gon.
Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang convex polygon ay kinakalkula nang simple. Isaalang-alang ang anumang gayong geometric na pigura. Upang matukoy ang kabuuan ng mga anggulo sa loob ng isang convex polygon, kailangan mong ikonekta ang isa sa mga vertice nito sa iba pang mga vertices. Bilang resulta ng pagkilos na ito, ang (n-2) na mga tatsulok ay nakuha. Ito ay kilala na ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang mga tatsulok ay palaging katumbas ng 180°. Dahil ang kanilang numero sa anumang polygon ay (n-2), ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng naturang figure ay katumbas ng 180° x (n-2).
Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang matambok na polygon, katulad ng alinmang dalawang panloob at katabing panlabas na mga anggulo, para sa isang naibigay na matambok na geometric na pigura ay palaging magiging katumbas ng 180°. Batay dito, matutukoy natin ang kabuuan ng lahat ng mga anggulo nito:
Ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ay 180° * (n-2). Batay dito, ang kabuuan ng lahat ng mga panlabas na anggulo ng isang naibigay na figure ay tinutukoy ng formula:
180° * n-180°-(n-2)= 360°.
Ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng anumang convex polygon ay palaging magiging 360° (anuman ang bilang ng mga gilid).
Ang panlabas na anggulo ng isang convex polygon ay karaniwang kinakatawan ng pagkakaiba sa pagitan ng 180° at ang halaga ng panloob na anggulo.
Iba pang mga katangian ng isang convex polygon
Bilang karagdagan sa mga pangunahing katangian ng mga geometric na hugis na ito, mayroon din silang iba na lumitaw kapag minamanipula ang mga ito. Kaya, ang alinman sa mga polygon ay maaaring hatiin sa ilang matambok n-gons. Upang gawin ito, kailangan mong ipagpatuloy ang bawat panig nito at gupitin ang geometric figure na ito kasama ang mga tuwid na linya na ito. Posible rin na hatiin ang anumang polygon sa ilang matambok na bahagi sa paraang ang mga vertices ng bawat piraso ay tumutugma sa lahat ng vertices nito. Mula sa gayong geometric na pigura, maaari kang gumawa ng mga tatsulok sa pamamagitan ng pagguhit ng lahat ng mga diagonal mula sa isang vertex. Kaya, ang anumang polygon sa huli ay maaaring hatiin sa isang tiyak na bilang ng mga tatsulok, na lumalabas na lubhang kapaki-pakinabang sa paglutas ng iba't ibang mga problema na nauugnay sa gayong mga geometric na figure.
Perimeter ng isang convex polygon
Ang mga segment ng isang putol na linya, na tinatawag na mga gilid ng isang polygon, ay kadalasang tinutukoy ng mga sumusunod na titik: ab, bc, cd, de, ea. Ito ang mga gilid ng isang geometric na figure na may mga vertex a, b, c, d, e. Ang kabuuan ng mga haba ng lahat ng panig ng matambok na polygon na ito ay tinatawag na perimeter nito.
Bilog ng isang polygon
Ang mga convex polygon ay maaaring i-inscribe o circumscribed. Ang isang bilog na humipo sa lahat ng panig ng geometric figure na ito ay tinatawag na nakasulat dito. Ang nasabing polygon ay tinatawag na circumscribed. Ang gitna ng isang bilog na nakasulat sa isang polygon ay ang punto ng intersection ng mga bisector ng lahat ng mga anggulo sa loob ng isang ibinigay na geometric figure. Ang lugar ng naturang polygon ay katumbas ng:
kung saan ang r ay ang radius ng inscribed na bilog, at ang p ay ang semi-perimeter ng ibinigay na polygon.
Ang isang bilog na naglalaman ng mga vertices ng isang polygon ay tinatawag na circumscribed tungkol dito. Sa kasong ito, ang convex geometric figure na ito ay tinatawag na inscribed. Ang sentro ng bilog, na inilalarawan sa paligid ng naturang polygon, ay ang intersection point ng tinatawag na perpendicular bisectors ng lahat ng panig.
Mga diagonal ng matambok na geometric na hugis
Ang mga diagonal ng isang convex polygon ay mga segment na nag-uugnay sa mga di-katabing vertices. Ang bawat isa sa kanila ay nasa loob ng geometric figure na ito. Ang bilang ng mga diagonal ng naturang n-gon ay tinutukoy ng formula:
N = n (n - 3)/ 2.
Ang bilang ng mga diagonal ng isang matambok na polygon ay gumaganap ng isang mahalagang papel sa elementarya na geometry. Ang bilang ng mga tatsulok (K) kung saan maaaring hatiin ang bawat matambok na polygon ay kinakalkula gamit ang sumusunod na formula:
Ang bilang ng mga diagonal ng isang convex polygon ay palaging nakadepende sa bilang ng mga vertices nito.
Paghahati ng convex polygon
Sa ilang mga kaso, upang malutas ang mga problemang geometriko, kinakailangan na hatiin ang isang matambok na polygon sa ilang mga tatsulok na may mga di-intersecting na diagonal. Ang problemang ito ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pagkuha ng isang tiyak na formula.
Depinisyon ng problema: tawagin natin ang tamang partition ng convex n-gon sa ilang triangles na may mga diagonal na intersecting lamang sa vertices ng geometric figure na ito.
Solusyon: Ipagpalagay na ang P1, P2, P3..., Pn ang mga vertex ng n-gon na ito. Ang numerong Xn ay ang bilang ng mga partisyon nito. Maingat nating isaalang-alang ang resultang dayagonal ng geometric figure na Pi Pn. Sa alinman sa mga regular na partisyon, ang P1 Pn ay kabilang sa isang tiyak na tatsulok na P1 Pi Pn, na mayroong 1 Hayaang ang i = 2 ay isang pangkat ng mga regular na partisyon, na laging naglalaman ng dayagonal na P2 Pn. Ang bilang ng mga partisyon na kasama dito ay tumutugma sa bilang ng mga partisyon ng (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn. Sa madaling salita, ito ay katumbas ng Xn-1. Kung i = 3, ang ibang pangkat ng mga partisyon ay palaging naglalaman ng mga dayagonal na P3 P1 at P3 Pn. Sa kasong ito, ang bilang ng mga regular na partisyon na nakapaloob sa pangkat na ito ay magkakasabay sa bilang ng mga partisyon ng (n-2)-gon P3 P4... Pn. Sa madaling salita, ito ay magiging katumbas ng Xn-2. Hayaan ang i = 4, pagkatapos ay kabilang sa mga tatsulok ang tamang partition ay tiyak na maglalaman ng tatsulok na P1 P4 Pn, na magiging katabi ng quadrilateral P1 P2 P3 P4, ang (n-3)-gon P4 P5... Pn. Ang bilang ng mga regular na partisyon ng naturang quadrilateral ay X4, at ang bilang ng mga partisyon ng isang (n-3)-gon ay Xn-3. Batay sa lahat ng nasa itaas, masasabi nating ang kabuuang bilang ng mga regular na partisyon na nakapaloob sa pangkat na ito ay katumbas ng Xn-3 X4. Ang ibang mga pangkat na may i = 4, 5, 6, 7... ay maglalaman ng Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... regular na mga partisyon. Hayaan ang i = n-2, kung gayon ang bilang ng mga tamang partisyon sa pangkat na ito ay magkakasabay sa bilang ng mga partisyon sa pangkat kung saan i=2 (sa madaling salita, katumbas ng Xn-1). Dahil ang X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2..., ang bilang ng lahat ng partisyon ng convex polygon ay katumbas ng: Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1. X5 = X4 + X3 + X4 = 5 X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14 X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42 X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132 Kapag sinusuri ang mga partikular na kaso, ang isa ay maaaring dumating sa pagpapalagay na ang bilang ng mga diagonal ng convex n-gons ay katumbas ng produkto ng lahat ng mga partisyon ng figure na ito sa (n-3). Patunay ng pagpapalagay na ito: isipin na ang P1n = Xn * (n-3), kung gayon ang anumang n-gon ay maaaring hatiin sa (n-2)-triangles. Bukod dito, ang isang (n-3)-quadrangle ay maaaring mabuo mula sa kanila. Kasama nito, ang bawat quadrilateral ay magkakaroon ng dayagonal. Dahil ang dalawang diagonal ay maaaring iguhit sa matambok na geometric na figure na ito, nangangahulugan ito na ang mga karagdagang (n-3) na diagonal ay maaaring iguhit sa alinmang (n-3)-quadrilaterals. Batay dito, maaari nating tapusin na sa anumang regular na partisyon posible na gumuhit ng (n-3)-diagonal na nakakatugon sa mga kondisyon ng problemang ito. Kadalasan, kapag nilulutas ang iba't ibang mga problema ng elementarya na geometry, kinakailangan upang matukoy ang lugar ng isang convex polygon. Ipagpalagay na ang (Xi. Yi), i = 1,2,3... n ay isang sequence ng mga coordinate ng lahat ng kalapit na vertices ng isang polygon na walang self-intersections. Sa kasong ito, ang lugar nito ay kinakalkula gamit ang sumusunod na formula: S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)), kung saan (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1). Sa araling ito magsisimula tayo ng bagong paksa at magpapakilala ng bagong konsepto para sa atin: "polygon". Titingnan natin ang mga pangunahing konsepto na nauugnay sa mga polygon: mga gilid, anggulo ng vertex, convexity at nonconvexity. Pagkatapos ay patunayan natin ang pinakamahalagang katotohanan, tulad ng theorem sa kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang polygon, ang theorem sa kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang polygon. Bilang resulta, malapit na tayong mag-aral ng mga espesyal na kaso ng mga polygon, na isasaalang-alang sa karagdagang mga aralin. Paksa: Quadrilaterals Aralin: Polygons Sa kursong geometry, pinag-aaralan namin ang mga katangian ng mga geometric na numero at napagmasdan na ang pinakasimpleng mga ito: mga tatsulok at bilog. Kasabay nito, tinalakay din namin ang mga partikular na espesyal na kaso ng mga figure na ito, tulad ng kanan, isosceles at regular na tatsulok. Ngayon ay oras na upang pag-usapan ang tungkol sa mas pangkalahatan at kumplikadong mga figure - polygons. Sa isang espesyal na kaso polygons pamilyar na tayo - ito ay isang tatsulok (tingnan ang Fig. 1). kanin. 1. Tatsulok Ang pangalan mismo ay binibigyang diin na ito ay isang pigura na may tatlong anggulo. Samakatuwid, sa polygon maaaring marami sa kanila, i.e. higit sa tatlo. Halimbawa, gumuhit tayo ng pentagon (tingnan ang Fig. 2), i.e. figure na may limang sulok. kanin. 2. Pentagon. Matambok na polygon Kahulugan.Polygon- isang figure na binubuo ng ilang mga puntos (higit sa dalawa) at ang katumbas na bilang ng mga segment na sunud-sunod na kumokonekta sa kanila. Ang mga puntong ito ay tinatawag mga taluktok polygon, at ang mga segment ay mga partido. Sa kasong ito, walang dalawang magkatabing gilid ang nakahiga sa parehong tuwid na linya at walang dalawang hindi magkatabing panig na nagsalubong. Kahulugan.Regular na polygon ay isang matambok na polygon kung saan ang lahat ng panig at anggulo ay pantay. Anuman polygon hinahati ang eroplano sa dalawang lugar: panloob at panlabas. Ang panloob na lugar ay tinutukoy din bilang polygon. Sa madaling salita, halimbawa, kapag pinag-uusapan nila ang tungkol sa isang pentagon, ang ibig nilang sabihin ay ang buong panloob na rehiyon at ang hangganan nito. At ang panloob na rehiyon ay kinabibilangan ng lahat ng mga punto na nasa loob ng polygon, i.e. ang punto ay tumutukoy din sa pentagon (tingnan ang Fig. 2). Ang mga polygon ay tinatawag ding n-gons kung minsan upang bigyang-diin na ang pangkalahatang kaso ng pagkakaroon ng ilang hindi kilalang bilang ng mga anggulo (n piraso) ay isinasaalang-alang. Kahulugan. Polygon perimeter- ang kabuuan ng mga haba ng mga gilid ng polygon. Ngayon kailangan nating makilala ang mga uri ng polygons. Sila ay nahahati sa matambok At hindi matambok. Halimbawa, ang polygon na ipinapakita sa Fig. 2 ay matambok, at sa Fig. 3 hindi matambok. kanin. 3. Non-convex polygon Kahulugan 1. Polygon tinawag matambok, kung kapag gumuhit ng isang tuwid na linya sa alinman sa mga gilid nito, ang kabuuan polygon namamalagi lamang sa isang gilid ng tuwid na linyang ito. Hindi matambok ay lahat ng iba polygons. Madaling isipin na kapag pinalawak ang anumang panig ng pentagon sa Fig. 2 lahat ito ay nasa isang gilid ng tuwid na linyang ito, i.e. ito ay matambok. Ngunit kapag gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang quadrilateral sa Fig. 3 nakita na natin na hinahati ito sa dalawang bahagi, i.e. hindi ito matambok. Ngunit may isa pang kahulugan ng convexity ng isang polygon. Kahulugan 2. Polygon tinawag matambok, kung kapag pumipili ng alinman sa dalawa sa mga panloob na punto nito at ikinokonekta ang mga ito sa isang segment, ang lahat ng mga punto ng segment ay mga panloob na punto din ng polygon. Ang isang pagpapakita ng paggamit ng kahulugan na ito ay makikita sa halimbawa ng pagbuo ng mga segment sa Fig. 2 at 3. Kahulugan. dayagonal ng polygon ay anumang segment na nagdudugtong sa dalawang di-katabing vertices. Upang ilarawan ang mga katangian ng mga polygon, mayroong dalawang pinakamahalagang teorema tungkol sa kanilang mga anggulo: theorem sa kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang matambok na polygon At theorem sa kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang convex polygon. Tingnan natin sila. Teorama. Sa kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang convex polygon (n-gon). Nasaan ang bilang ng mga anggulo nito (mga gilid). Patunay 1. Ilarawan natin sa Fig. 4 matambok n-gon. kanin. 4. Matambok n-gon Mula sa vertex iginuhit namin ang lahat ng posibleng mga diagonal. Hinahati nila ang isang n-gon sa mga tatsulok, dahil bawat isa sa mga gilid ng polygon ay bumubuo ng isang tatsulok, maliban sa mga gilid na katabi ng vertex. Madaling makita mula sa figure na ang kabuuan ng mga anggulo ng lahat ng mga tatsulok na ito ay eksaktong katumbas ng kabuuan ng mga panloob na anggulo ng n-gon. Dahil ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang tatsulok ay , kung gayon ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang n-gon ay: Q.E.D. Patunay 2. Ang isa pang patunay ng teorama na ito ay posible. Gumuhit tayo ng katulad na n-gon sa Fig. 5 at ikonekta ang alinman sa mga panloob na punto nito sa lahat ng vertices. kanin. 5. Nakuha namin ang isang partition ng n-gon sa n triangles (kasing dami ng panig na mayroong mga triangles). Ang kabuuan ng lahat ng kanilang mga anggulo ay katumbas ng kabuuan ng mga panloob na anggulo ng polygon at ang kabuuan ng mga anggulo sa panloob na punto, at ito ang anggulo. Mayroon kaming: Q.E.D. Napatunayan. Ayon sa napatunayang teorama, malinaw na ang kabuuan ng mga anggulo ng isang n-gon ay nakasalalay sa bilang ng mga panig nito (sa n). Halimbawa, sa isang tatsulok, at ang kabuuan ng mga anggulo ay . Sa isang quadrilateral, at ang kabuuan ng mga anggulo ay, atbp. Teorama. Sa kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang convex polygon (n-gon). Nasaan ang bilang ng mga anggulo nito (mga gilid), at , …, ay ang mga panlabas na anggulo. Patunay. Ilarawan natin ang isang convex n-gon sa Fig. 6 at italaga ang panloob at panlabas na mga anggulo nito. kanin. 6. Matambok n-gon na may itinalagang mga panlabas na anggulo kasi Ang panlabas na sulok ay konektado sa panloob na isa bilang katabi, pagkatapos Sa panahon ng mga pagbabagong-anyo, ginamit namin ang napatunayang teorama tungkol sa kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang n-gon. Napatunayan. Isang kawili-wiling katotohanan ang sumusunod mula sa napatunayang teorama na ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang matambok n-gon ay katumbas ng Mga sanggunian Takdang-aralin Konsepto ng polygon Kahulugan 1 Polygon ay isang geometric na pigura sa isang eroplano na binubuo ng mga segment na konektado sa mga pares, ang mga katabi ay hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya. Sa kasong ito, ang mga segment ay tinatawag gilid ng polygon, at ang kanilang mga dulo - vertex ng polygon. Kahulugan 2 Ang $n$-gon ay isang polygon na may $n$ vertices. Kahulugan 3 Kung ang isang polygon ay palaging nakahiga sa parehong gilid ng anumang linya na dumadaan sa mga gilid nito, kung gayon ang polygon ay tinatawag matambok(Larawan 1). Figure 1. Convex polygon Kahulugan 4 Kung ang isang polygon ay namamalagi sa magkabilang panig ng hindi bababa sa isang tuwid na linya na dumadaan sa mga gilid nito, kung gayon ang polygon ay tinatawag na non-convex (Larawan 2). Figure 2. Non-convex polygon Ipakilala natin ang isang teorama sa kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok. Teorama 1 Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang matambok na tatsulok ay tinutukoy bilang mga sumusunod \[(n-2)\cdot (180)^0\] Patunay. Bigyan tayo ng convex polygon $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Ikonekta natin ang vertex $A_1$ nito sa lahat ng iba pang vertex ng polygon na ito (Fig. 3). Larawan 3. Sa koneksyon na ito makakakuha tayo ng $n-2$ triangles. Sa pamamagitan ng pagsusuma ng kanilang mga anggulo nakukuha natin ang kabuuan ng mga anggulo ng isang naibigay na -gon. Dahil ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng $(180)^0,$ nakuha namin na ang kabuuan ng mga anggulo ng isang matambok na tatsulok ay tinutukoy ng formula \[(n-2)\cdot (180)^0\] Ang teorama ay napatunayan. Gamit ang kahulugan ng $2$, madaling ipakilala ang kahulugan ng quadrilateral. Kahulugan 5 Ang quadrilateral ay isang polygon na may $4$ vertices (Fig. 4). Larawan 4. Quadrangle Para sa isang quadrilateral, ang mga konsepto ng isang convex quadrilateral at isang non-convex quadrilateral ay magkatulad na tinukoy. Ang mga klasikong halimbawa ng convex quadrilaterals ay square, rectangle, trapezoid, rhombus, parallelogram (Fig. 5). Figure 5. Convex quadrilaterals Teorama 2 Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang convex quadrilateral ay $(360)^0$ Patunay. Sa pamamagitan ng Theorem $1$, alam natin na ang kabuuan ng mga anggulo ng isang convex -gon ay tinutukoy ng formula \[(n-2)\cdot (180)^0\] Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang matambok quadrilateral ay katumbas ng \[\kaliwa(4-2\kanan)\cdot (180)^0=(360)^0\] Ang teorama ay napatunayan.Bilang ng mga regular na partisyon na bumabagtas sa isang dayagonal sa loob
Lugar ng convex polygons
at katulad din para sa natitirang mga panlabas na sulok. Pagkatapos:
sa bilang ng mga anggulo nito (panig). Sa pamamagitan ng paraan, sa kaibahan sa kabuuan ng mga panloob na anggulo.Mga uri ng polygon
Kabuuan ng mga anggulo ng isang polygon
Konsepto ng quadrilateral
