Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment. Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function ng dalawang variable sa isang closed domain

Kadalasan sa pisika at matematika kailangan mong hanapin pinakamaliit na halaga mga function. Sasabihin namin ngayon sa iyo kung paano ito gagawin.

Paano mahanap ang pinakamaliit na halaga ng isang function: mga tagubilin

Upang kalkulahin ang pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na function sa isang partikular na segment, kailangan mong sundin ang sumusunod na algorithm:
Hanapin ang derivative ng function.
Hanapin sa isang partikular na segment ang mga punto kung saan ang derivative ay katumbas ng zero, pati na rin ang lahat ng mga kritikal na punto. Pagkatapos ay alamin ang mga halaga ng function sa mga puntong ito, iyon ay, lutasin ang equation kung saan ang x ay katumbas ng zero. Alamin kung aling halaga ang pinakamaliit.
Tukuyin kung anong halaga ang mayroon ang isang function sa mga endpoint. Tukuyin ang pinakamaliit na halaga ng function sa mga puntong ito.
Ihambing ang nakuhang datos sa pinakamababang halaga. Ang mas maliit sa mga resultang numero ay ang pinakamaliit na halaga ng function.

Tandaan na kung ang isang function sa isang segment ay walang pinakamaliit na puntos, nangangahulugan ito na ito ay tumataas o bumababa sa segment na ito. Samakatuwid, ang pinakamaliit na halaga ay dapat kalkulahin sa mga finite segment ng function.

Sa lahat ng iba pang mga kaso, ang halaga ng function ay kinakalkula ayon sa tinukoy na algorithm. Sa bawat punto ng algorithm kakailanganin mong lutasin ang isang simple linear equation na may isang ugat. Lutasin ang equation gamit ang isang larawan upang maiwasan ang mga pagkakamali.

Paano mahahanap ang pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang kalahating bukas na segment? Sa isang kalahating bukas o bukas na panahon ng pag-andar, ang pinakamaliit na halaga ay dapat matagpuan bilang mga sumusunod. Sa mga dulong punto ng value ng function, kalkulahin ang one-sided na limitasyon ng function. Sa madaling salita, lutasin ang isang equation kung saan ang mga tending point ay ibinibigay ng mga halagang a+0 at b+0, kung saan ang a at b ay ang mga pangalan. kritikal na puntos.

Ngayon alam mo na kung paano hanapin ang pinakamaliit na halaga ng isang function. Ang pangunahing bagay ay gawin ang lahat ng mga kalkulasyon nang tama, tumpak at walang mga pagkakamali.

Pahayag ng problema 2:

Ibinigay ang isang function na tinukoy at tuloy-tuloy sa isang tiyak na pagitan. Kailangan mong mahanap ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng function sa pagitan na ito.

Mga teoretikal na pundasyon.
Theorem (Ikalawang Weierstrass Theorem):

Kung ang isang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa isang saradong agwat, pagkatapos ay maabot nito ang pinakamataas at pinakamababang halaga nito sa agwat na ito.

Maaaring maabot ng function ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga nito alinman sa mga panloob na punto ng pagitan o sa mga hangganan nito. Ilarawan natin ang lahat ng posibleng opsyon.

Paliwanag:
1) Naabot ng function ang pinakamalaking halaga nito sa kaliwang hangganan ng pagitan sa punto , at ang pinakamababang halaga nito sa kanang hangganan ng pagitan sa punto .
2) Naabot ng function ang pinakamalaking halaga nito sa punto (ito ang pinakamataas na punto), at ang pinakamababang halaga nito sa kanang hangganan ng pagitan sa punto.
3) Naabot ng function ang pinakamataas na halaga nito sa kaliwang hangganan ng pagitan sa punto , at ang pinakamababang halaga nito sa punto (ito ang pinakamababang punto).
4) Ang pag-andar ay pare-pareho sa pagitan, i.e. naabot nito ang pinakamababa at pinakamataas na halaga nito sa anumang punto sa pagitan, at ang minimum at maximum na mga halaga ay katumbas ng bawat isa.
5) Naabot ng function ang pinakamataas na halaga nito sa punto , at ang pinakamababang halaga nito sa punto (sa kabila ng katotohanan na ang function ay may parehong maximum at minimum sa pagitan na ito).
6) Naabot ng function ang pinakamalaking halaga nito sa isang punto (ito ang pinakamataas na punto), at ang pinakamababang halaga nito sa isang punto (ito ang pinakamababang punto).
Komento:

Ang "maximum" at "maximum value" ay magkaibang bagay. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng maximum at ang intuitive na pag-unawa sa pariralang "maximum na halaga".

Algorithm para sa paglutas ng problema 2.

4) Piliin ang pinakamalaki (pinakamaliit) mula sa mga nakuhang halaga at isulat ang sagot.

Halimbawa 4:

Tukuyin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa segment.
Solusyon:
1) Hanapin ang derivative ng function.

2) Maghanap ng mga nakatigil na puntos (at mga puntong pinaghihinalaang extremum) sa pamamagitan ng paglutas ng equation. Bigyang-pansin ang mga punto kung saan walang two-sided finite derivative.

3) Kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga nakatigil na punto at sa mga hangganan ng pagitan.

4) Piliin ang pinakamalaki (pinakamaliit) mula sa mga nakuhang halaga at isulat ang sagot.

Naabot ng function sa segment na ito ang pinakamalaking halaga nito sa puntong may mga coordinate .

Naabot ng function sa segment na ito ang pinakamababang halaga nito sa puntong may mga coordinate .

Maaari mong i-verify ang kawastuhan ng mga kalkulasyon sa pamamagitan ng pagtingin sa graph ng function na pinag-aaralan.

Komento: Naabot ng function ang pinakamalaking halaga nito sa pinakamataas na punto, at ang pinakamababa nito sa hangganan ng segment.

Isang espesyal na kaso.

Ipagpalagay na kailangan mong hanapin ang maximum at minimum na mga halaga ng ilang function sa isang segment. Matapos makumpleto ang unang punto ng algorithm, i.e. derivative na pagkalkula, nagiging malinaw na, halimbawa, ito ay tumatagal lamang mga negatibong halaga sa buong isinasaalang-alang na segment. Tandaan na kung negatibo ang derivative, bababa ang function. Nalaman namin na bumababa ang function sa buong segment. Ang sitwasyong ito ay ipinapakita sa graph No. 1 sa simula ng artikulo.

Bumababa ang function sa segment, i.e. wala itong extrema points. Mula sa larawan ay malinaw na ang function ay kukuha ng pinakamaliit na halaga nito sa kanang hangganan ng segment, at pinakamataas na halaga- sa kaliwa. kung ang derivative sa pagitan ay positibo sa lahat ng dako, kung gayon ang function ay tataas. Ang pinakamaliit na halaga ay nasa kaliwang hangganan ng segment, ang pinakamalaki ay nasa kanan.

Mula sa praktikal na pananaw, ang pinakamalaking interes ay ang paggamit ng derivative upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function. Ano ang konektado dito? Pag-maximize ng kita, pagliit ng mga gastos, pagtukoy ng pinakamainam na pagkarga ng kagamitan... Sa madaling salita, sa maraming lugar ng buhay kailangan nating lutasin ang mga problema sa pag-optimize ng ilang mga parameter. At ito ang mga gawain ng paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function.

Dapat pansinin na ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function ay karaniwang hinahanap sa isang tiyak na interval X, na alinman sa buong domain ng function o bahagi ng domain ng kahulugan. Ang interval X mismo ay maaaring isang segment, isang bukas na agwat , isang walang katapusang pagitan.

Sa artikulong ito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga nang tahasan ibinigay na function isang variable y=f(x) .

Pag-navigate sa pahina.

Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function - mga kahulugan, mga guhit.

Tingnan natin sa madaling sabi ang mga pangunahing kahulugan.

Ang pinakamalaking halaga ng function na para sa sinuman totoo ang hindi pagkakapantay-pantay.

Ang pinakamaliit na halaga ng function y=f(x) sa pagitan ng X ay tinatawag na ganoong halaga na para sa sinuman totoo ang hindi pagkakapantay-pantay.

Ang mga kahulugang ito ay madaling maunawaan: ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function ay ang pinakamalaking (pinakamaliit) na tinatanggap na halaga sa pagitan na isinasaalang-alang sa abscissa.

Mga nakatigil na puntos– ito ang mga halaga ng argumento kung saan ang derivative ng function ay nagiging zero.

Bakit kailangan natin ng mga nakatigil na puntos kapag naghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga? Ang sagot sa tanong na ito ay ibinigay ng Fermat's theorem. Mula sa theorem na ito ay sumusunod na kung ang isang differentiable function ay may extremum (lokal na minimum o lokal na maximum) sa isang punto, kung gayon ang puntong ito ay nakatigil. Kaya, madalas na kinukuha ng function ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga nito sa interval X sa isa sa mga nakatigil na punto mula sa interval na ito.

Gayundin, ang isang function ay kadalasang maaaring tumagal sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga nito sa mga punto kung saan ang unang derivative ng function na ito ay hindi umiiral, at ang function mismo ay tinukoy.

Agad nating sagutin ang isa sa mga pinakakaraniwang tanong sa paksang ito: "Palaging posible bang matukoy ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function"? Hindi, hindi palagi. Minsan ang mga hangganan ng interval X ay nag-tutugma sa mga hangganan ng domain ng kahulugan ng function, o ang interval X ay walang katapusan. At ang ilang mga pag-andar sa infinity at sa mga hangganan ng domain ng kahulugan ay maaaring tumagal sa parehong walang hanggan malaki at walang hanggan maliit na halaga. Sa mga kasong ito, walang masasabi tungkol sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.

Para sa kalinawan, magbibigay kami ng isang graphic na paglalarawan. Tingnan ang mga larawan at marami ang magiging mas malinaw.

Sa segment

Sa unang figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking (max y) at pinakamaliit (min y) na mga halaga sa mga nakatigil na punto na matatagpuan sa loob ng segment [-6;6].

Isaalang-alang ang kaso na inilalarawan sa pangalawang figure. Baguhin natin ang segment sa . Sa halimbawang ito, ang pinakamaliit na halaga ng function ay nakakamit sa isang nakatigil na punto, at ang pinakamalaking sa punto na may abscissa na tumutugma sa kanang hangganan ng pagitan.

Sa Figure 3, ang mga boundary point ng segment [-3;2] ay ang abscissas ng mga puntos na tumutugma sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.

Sa isang bukas na pagitan

Sa ika-apat na figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking (max y) at pinakamaliit (min y) na mga halaga sa mga nakatigil na punto na matatagpuan sa loob ng bukas na pagitan (-6;6).

Sa agwat , walang mga konklusyon ang maaaring makuha tungkol sa pinakamalaking halaga.

Sa infinity

Sa halimbawang ipinakita sa ikapitong figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking halaga (max y) sa isang nakatigil na punto na may abscissa x=1, at ang pinakamaliit na halaga (min y) ay nakakamit sa kanang hangganan ng pagitan. Sa minus infinity, ang mga halaga ng function ay asymptotically lumalapit sa y=3.

Sa paglipas ng pagitan, ang function ay hindi umabot sa pinakamaliit o pinakamalaking halaga. Habang lumalapit ang x=2 mula sa kanan, ang mga value ng function ay may posibilidad na minus infinity (ang linyang x=2 ay isang vertical asymptote), at habang ang abscissa ay may posibilidad na plus infinity, ang mga value ng function ay asymptotically na lumalapit sa y=3. Ang isang graphic na paglalarawan ng halimbawang ito ay ipinapakita sa Figure 8.

Algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na function sa isang segment.

Sumulat tayo ng isang algorithm na nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment.

Hinahanap namin ang domain ng kahulugan ng function at suriin kung naglalaman ito ng buong segment.
Nahanap namin ang lahat ng mga punto kung saan ang unang derivative ay hindi umiiral at kung saan ay nakapaloob sa segment (kadalasan ang mga naturang punto ay matatagpuan sa mga function na may argumento sa ilalim ng modulus sign at sa mga power function na may fractional-rational exponent). Kung walang ganoong mga punto, pagkatapos ay magpatuloy sa susunod na punto.
Tinutukoy namin ang lahat ng mga nakatigil na punto na nasa loob ng segment. Upang gawin ito, itinutumbas namin ito sa zero, lutasin ang nagresultang equation at pumili ng angkop na mga ugat. Kung walang nakatigil na mga punto o wala sa mga ito ang nahuhulog sa segment, pagkatapos ay magpatuloy sa susunod na punto.
Kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga napiling nakatigil na mga punto (kung mayroon man), sa mga punto kung saan ang unang derivative ay hindi umiiral (kung mayroon man), pati na rin sa x=a at x=b.
Mula sa nakuha na mga halaga ng pag-andar, pipiliin namin ang pinakamalaki at pinakamaliit - sila ang kinakailangang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng pag-andar, ayon sa pagkakabanggit.

Suriin natin ang algorithm para sa paglutas ng isang halimbawa upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment.

Halimbawa.

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function

sa segment;
sa segment [-4;-1] .

Solusyon.

Ang domain ng kahulugan ng isang function ay ang buong hanay ng mga tunay na numero, maliban sa zero, iyon ay. Ang parehong mga segment ay nasa loob ng domain ng kahulugan.

Hanapin ang derivative ng function na may kinalaman sa:

Malinaw, ang derivative ng function ay umiiral sa lahat ng mga punto ng mga segment at [-4;-1].

Tinutukoy namin ang mga nakatigil na puntos mula sa equation. Ang tanging tunay na ugat ay x=2. Ang nakatigil na puntong ito ay nahuhulog sa unang bahagi.

Para sa unang kaso, kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa nakatigil na punto, iyon ay, para sa x=1, x=2 at x=4:

Samakatuwid, ang pinakamalaking halaga ng function ay nakamit sa x=1, at ang pinakamaliit na halaga – sa x=2.

Para sa pangalawang kaso, kinakalkula namin ang mga halaga ng pag-andar lamang sa mga dulo ng segment [-4;-1] (dahil hindi ito naglalaman ng isang nakatigil na punto):

Paano mahahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment?

Para dito sinusunod namin ang isang kilalang algorithm:

1 . Paghahanap ng mga function ng ODZ.

2 . Paghahanap ng derivative ng function

3 . Pag-equate ng derivative sa zero

4 . Nahanap namin ang mga agwat kung saan pinapanatili ng derivative ang tanda nito, at mula sa kanila ay tinutukoy namin ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function:

Kung sa interval I ang derivative ng function ay 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} tumataas sa pagitan na ito.

Kung sa pagitan ko ang derivative ng function , pagkatapos ay ang function bumababa sa pagitan na ito.

5 . Nahanap namin maximum at minimum na puntos ng function.

SA sa pinakamataas na punto ng function, ang derivative ay nagbabago ng sign mula sa "+" hanggang sa "-".

SA pinakamababang punto ng functionang derivative ay nagbabago ng sign mula "-" hanggang "+".

6 . Nahanap namin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment,

pagkatapos ay inihambing namin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa pinakamataas na puntos, at piliin ang pinakamalaki sa kanila kung kailangan mong hanapin ang pinakamalaking halaga ng function
o ihambing ang halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa pinakamababang puntos, at piliin ang pinakamaliit sa mga ito kung kailangan mong hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function

Gayunpaman, depende sa kung paano kumikilos ang function sa segment, ang algorithm na ito ay maaaring makabuluhang bawasan.

Isaalang-alang ang function . Ang graph ng function na ito ay ganito ang hitsura:

Tingnan natin ang ilang mga halimbawa ng paglutas ng mga problema mula sa Buksan ang Bangko mga gawain para sa

1. Gawain B15 (No. 26695)

Sa segment.

1. Ang function ay tinukoy para sa lahat ng tunay na halaga ng x

Malinaw, ang equation na ito ay walang mga solusyon, at ang derivative ay positibo para sa lahat ng mga halaga ng x. Dahil dito, ang function ay tumataas at tumatagal ng pinakamalaking halaga sa kanang dulo ng pagitan, iyon ay, sa x=0.

Sagot: 5.

2 . Gawain B15 (No. 26702)

Hanapin ang pinakamalaking halaga ng function sa segment.

1. Mga function ng ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Ang derivative ay katumbas ng zero sa , gayunpaman, sa mga puntong ito ay hindi ito nagbabago ng sign:

Samakatuwid, title="3/(cos^2(x)))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} tumataas at kumukuha ng pinakamalaking halaga sa kanang dulo ng pagitan, sa .

Upang gawing malinaw kung bakit ang derivative ay hindi nagbabago ng sign, binabago namin ang expression para sa derivative gaya ng sumusunod:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Sagot: 5.

3. Gawain B15 (No. 26708)

Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function sa segment.

1. ODZ functions: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Ilagay natin ang mga ugat ng equation na ito sa trigonometric circle.

Ang pagitan ay naglalaman ng dalawang numero: at

Maglagay tayo ng mga karatula. Upang gawin ito, tinutukoy namin ang tanda ng derivative sa puntong x=0: . Kapag dumadaan sa mga puntos at, ang derivative ay nagbabago ng sign.

Ilarawan natin ang pagbabago ng mga palatandaan ng derivative ng isang function sa linya ng coordinate:

Malinaw, ang punto ay isang minimum na punto (kung saan ang derivative ay nagbabago ng sign mula sa "-" hanggang sa "+"), at upang mahanap ang pinakamaliit na halaga ng function sa segment, kailangan mong ihambing ang mga halaga ng function sa ang pinakamababang punto at sa kaliwang dulo ng segment, .

Ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function ay ang pinakamalaking (pinakamaliit) na tinatanggap na halaga ng ordinate sa itinuturing na pagitan.

Upang mahanap ang pinakamalaki o pinakamaliit na halaga ng isang function kailangan mong:

Suriin kung aling mga nakatigil na punto ang kasama sa isang partikular na segment.
Kalkulahin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa mga nakatigil na punto mula sa hakbang 3
Piliin ang pinakamalaki o pinakamaliit na halaga mula sa mga resultang nakuha.

Upang mahanap ang maximum o minimum na puntos kailangan mong:

Hanapin ang derivative ng function na $f"(x)$
Maghanap ng mga nakatigil na puntos sa pamamagitan ng paglutas ng equation na $f"(x)=0$
I-factor ang derivative ng isang function.
Gumuhit ng linya ng coordinate, ilagay ang mga nakatigil na punto dito at tukuyin ang mga palatandaan ng derivative sa mga nagresultang pagitan, gamit ang notasyon sa hakbang 3.
Hanapin ang maximum o minimum na mga puntos ayon sa panuntunan: kung sa isang punto ang derivative ay nagbabago ng sign mula sa plus hanggang minus, kung gayon ito ang magiging pinakamataas na punto (kung mula sa minus hanggang plus, kung gayon ito ang magiging pinakamababang punto). Sa pagsasagawa, maginhawang gamitin ang imahe ng mga arrow sa mga pagitan: sa pagitan kung saan ang derivative ay positibo, ang arrow ay iginuhit pataas at vice versa.

Talahanayan ng mga derivatives ng ilang elementary functions:

Function	Derivative
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$kasalanan^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Mga pangunahing tuntunin ng pagkita ng kaibhan

1. Ang derivative ng sum at difference ay katumbas ng derivative ng bawat term

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Hanapin ang derivative ng function na $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Ang derivative ng sum at difference ay katumbas ng derivative ng bawat term

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivative ng produkto.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Hanapin ang derivative na $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Derivative ng quotient

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Hanapin ang derivative na $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Derivative kumplikadong pag-andar katumbas ng produkto ng derivative panlabas na pag-andar sa derivative ng panloob na function

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Hanapin ang pinakamababang punto ng function na $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Hanapin ang ODZ ng function: $x+11>0; x>-11$

2. Hanapin ang derivative ng function na $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Maghanap ng mga nakatigil na puntos sa pamamagitan ng pag-equate ng derivative sa zero

$(2x+21)/(x+11)=0$

Ang isang fraction ay katumbas ng zero kung ang numerator ay zero at ang denominator ay hindi zero.

$2x+21=0; x≠-11$

4. Gumuhit tayo ng isang linya ng coordinate, ilagay ang mga nakatigil na punto dito at tukuyin ang mga palatandaan ng derivative sa mga nagresultang agwat. Upang gawin ito, palitan ang anumang numero mula sa pinakakanang rehiyon sa derivative, halimbawa, zero.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Sa pinakamababang punto, ang derivative ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus, samakatuwid, ang puntong $-10.5$ ay ang pinakamababang punto.

Sagot: $-10.5$

Hanapin ang pinakamalaking halaga ng function na $y=6x^5-90x^3-5$ sa segment na $[-5;1]$

1. Hanapin ang derivative ng function na $y′=30x^4-270x^2$

2. I-equate ang derivative sa zero at maghanap ng mga nakatigil na puntos

$30x^4-270x^2=0$

Alisin natin ang kabuuang salik na $30x^2$ sa mga bracket

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

I-equate natin ang bawat factor sa zero

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Pumili ng mga nakatigil na puntos na kabilang sa ibinigay na segment na $[-5;1]$

Ang mga nakatigil na puntos na $x=0$ at $x=-3$ ay angkop sa amin

4. Kalkulahin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa mga nakatigil na punto mula sa hakbang 3