Hinahanap ng Parabola ang pinakamalaking pinakamaliit na halaga ng isang function. Paano mahahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang bounded closed region

Square trinomial ay tinatawag na trinomial ng anyong a*x 2 +b*x+c, kung saan ang a,b,c ay ilang mga arbitrary na tunay na numero, at ang x ay isang variable. Bukod dito, ang numero a ay hindi dapat katumbas ng zero.

Ang mga numerong a,b,c ay tinatawag na coefficients. Ang bilang a ay tinatawag na nangungunang koepisyent, ang bilang b ay ang koepisyent ng x, at ang bilang c ay tinatawag na libreng termino.

ugat quadratic trinomial Ang a*x 2 +b*x+c ay anumang halaga ng variable x na ang parisukat na trinomial a*x 2 +b*x+c ay naglalaho.

Upang mahanap ang mga ugat ng isang quadratic trinomial ito ay kinakailangan upang malutas quadratic equation ng anyong a*x 2 +b*x+c=0.

Paano mahanap ang mga ugat ng isang quadratic trinomial

Upang malutas ito, maaari mong gamitin ang isa sa mga kilalang pamamaraan.

• 1 paraan.

Paghahanap ng mga ugat ng isang square trinomial gamit ang formula.

1. Hanapin ang halaga ng discriminant gamit ang formula D =b 2 -4*a*c.

2. Depende sa halaga ng discriminant, kalkulahin ang mga ugat gamit ang mga formula:

Kung D > 0, pagkatapos ang square trinomial ay may dalawang ugat.

x = -b±√D / 2*a

Kung si D< 0, pagkatapos ang square trinomial ay may isang ugat.

Kung negatibo ang discriminant, walang mga ugat ang quadratic trinomial.

• Paraan 2.

Paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic trinomial sa pamamagitan ng paghihiwalay ng perpektong parisukat. Tingnan natin ang halimbawa ng ibinigay na quadratic trinomial. Isang pinababang quadratic equation na ang nangungunang coefficient ay katumbas ng isa.

Hanapin natin ang mga ugat ng quadratic trinomial x 2 +2*x-3. Upang gawin ito, lutasin namin ang sumusunod na quadratic equation: x 2 +2*x-3=0;

Ibahin natin ang equation na ito:

Sa kaliwang bahagi ng equation mayroong isang polynomial x 2 +2*x, upang mairepresenta ito bilang isang parisukat ng kabuuan na kailangan natin doon upang magkaroon ng isa pang koepisyent na katumbas ng 1. Idagdag at ibawas ang 1 mula sa expression na ito, nakukuha natin :

(x 2 +2*x+1) -1=3

Ano ang maaaring ilarawan sa panaklong bilang parisukat ng isang binomial

Ang equation na ito ay nahahati sa dalawang kaso: alinman sa x+1=2 o x+1=-2.

Sa unang kaso, nakukuha natin ang sagot x=1, at sa pangalawa, x=-3.

Sagot: x=1, x=-3.

Bilang resulta ng mga pagbabago, kailangan nating makuha ang parisukat ng binomial sa kaliwang bahagi, at isang tiyak na numero sa kanang bahagi. Ang kanang bahagi ay hindi dapat maglaman ng variable.

Mula sa praktikal na pananaw, ang pinakamalaking interes ay ang paggamit ng derivative upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function. Ano ang konektado dito? Pag-maximize ng kita, pagliit ng mga gastos, pagtukoy ng pinakamainam na pagkarga ng kagamitan... Sa madaling salita, sa maraming lugar ng buhay kailangan nating lutasin ang mga problema sa pag-optimize ng ilang mga parameter. At ito ang mga gawain ng paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function.

Dapat tandaan na ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ang mga function ay karaniwang hinahanap sa ilang interval X, na alinman sa buong domain ng function o bahagi ng domain. Ang interval X mismo ay maaaring isang segment, isang bukas na agwat , isang walang katapusang pagitan.

Sa artikulong ito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga nang tahasan ibinigay na function isang variable y=f(x) .

Pag-navigate sa pahina.

Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function - mga kahulugan, mga guhit.

Tingnan natin sa madaling sabi ang mga pangunahing kahulugan.

Ang pinakamalaking halaga ng function na para sa sinuman totoo ang hindi pagkakapantay-pantay.

Ang pinakamaliit na halaga ng function y=f(x) sa pagitan ng X ay tinatawag na ganoong halaga na para sa sinuman totoo ang hindi pagkakapantay-pantay.

Ang mga kahulugang ito ay madaling maunawaan: ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function ay ang pinakamalaking (pinakamaliit) na tinatanggap na halaga sa pagitan na isinasaalang-alang sa abscissa.

Mga nakatigil na puntos– ito ang mga halaga ng argumento kung saan ang derivative ng function ay nagiging zero.

Bakit kailangan natin ng mga nakatigil na puntos kapag naghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga? Ang sagot sa tanong na ito ay ibinigay ng Fermat's theorem. Mula sa theorem na ito ay sumusunod na kung ang isang differentiable function ay may extremum (lokal na minimum o lokal na maximum) sa isang punto, kung gayon ang puntong ito ay nakatigil. Kaya, madalas na kinukuha ng function ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga nito sa pagitan ng X sa isa sa nakatigil na mga punto mula sa puwang na ito.

Gayundin, ang isang function ay kadalasang maaaring tumagal sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga nito sa mga punto kung saan ang unang derivative ng function na ito ay hindi umiiral, at ang function mismo ay tinukoy.

Agad nating sagutin ang isa sa mga pinakakaraniwang tanong sa paksang ito: "Palaging posible bang matukoy ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function"? Hindi, hindi palagi. Minsan ang mga hangganan ng interval X ay nag-tutugma sa mga hangganan ng domain ng kahulugan ng function, o ang interval X ay walang katapusan. At ang ilang mga pag-andar sa infinity at sa mga hangganan ng domain ng kahulugan ay maaaring tumagal sa parehong walang hanggan malaki at walang hanggan maliit na halaga. Sa mga kasong ito, walang masasabi tungkol sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.

Para sa kalinawan, magbibigay kami ng isang graphic na paglalarawan. Tingnan ang mga larawan at marami ang magiging mas malinaw.

Sa segment

Sa unang figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking (max y) at pinakamaliit (min y) na mga halaga sa mga nakatigil na punto na matatagpuan sa loob ng segment [-6;6].

Isaalang-alang ang kaso na inilalarawan sa pangalawang figure. Baguhin natin ang segment sa . Sa halimbawang ito, ang pinakamaliit na halaga ng function ay nakakamit sa isang nakatigil na punto, at ang pinakamalaking sa punto na may abscissa na tumutugma sa kanang hangganan ng pagitan.

Sa Figure 3, ang mga boundary point ng segment [-3;2] ay ang abscissas ng mga puntos na tumutugma sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.

Sa isang bukas na pagitan

Sa ika-apat na figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking (max y) at pinakamaliit (min y) na mga halaga sa mga nakatigil na punto na matatagpuan sa loob ng bukas na pagitan (-6;6).

Sa agwat , walang mga konklusyon ang maaaring makuha tungkol sa pinakamalaking halaga.

Sa infinity

Sa halimbawang ipinakita sa ikapitong figure, ang function ay tumatagal pinakamataas na halaga(max y) sa isang nakatigil na punto na may abscissa x=1, at ang pinakamaliit na halaga (min y) ay nakakamit sa kanang hangganan ng pagitan. Sa minus infinity, ang mga halaga ng function ay asymptotically lumalapit sa y=3.

Sa paglipas ng pagitan, ang function ay hindi umabot sa pinakamaliit o pinakamalaking halaga. Habang lumalapit ang x=2 mula sa kanan, ang mga value ng function ay may posibilidad na minus infinity (ang linyang x=2 ay isang vertical asymptote), at habang ang abscissa ay may posibilidad na plus infinity, ang mga value ng function ay asymptotically na lumalapit sa y=3. Ang isang graphic na paglalarawan ng halimbawang ito ay ipinapakita sa Figure 8.

Algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na function sa isang segment.

Sumulat tayo ng isang algorithm na nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment.

1. Hinahanap namin ang domain ng kahulugan ng function at suriin kung naglalaman ito ng buong segment.
2. Nahanap namin ang lahat ng mga punto kung saan ang unang derivative ay hindi umiiral at kung saan ay nakapaloob sa segment (kadalasan ang mga naturang punto ay matatagpuan sa mga function na may argumento sa ilalim ng modulus sign at sa mga power function na may fractional-rational exponent). Kung walang ganoong mga punto, pagkatapos ay magpatuloy sa susunod na punto.
3. Tinutukoy namin ang lahat ng mga nakatigil na punto na nasa loob ng segment. Upang gawin ito, itinutumbas namin ito sa zero, lutasin ang nagresultang equation at pumili ng angkop na mga ugat. Kung walang nakatigil na mga punto o wala sa mga ito ang nahuhulog sa segment, pagkatapos ay magpatuloy sa susunod na punto.
4. Kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga napiling nakatigil na mga punto (kung mayroon man), sa mga punto kung saan ang unang derivative ay hindi umiiral (kung mayroon man), pati na rin sa x=a at x=b.
5. Mula sa nakuha na mga halaga ng pag-andar, pipiliin namin ang pinakamalaki at pinakamaliit - sila ang kinakailangang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng pag-andar, ayon sa pagkakabanggit.

Suriin natin ang algorithm para sa paglutas ng isang halimbawa upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment.

Halimbawa.

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function

• sa segment;
• sa segment [-4;-1] .

Solusyon.

Ang domain ng kahulugan ng isang function ay ang buong hanay ng mga tunay na numero, maliban sa zero, iyon ay. Ang parehong mga segment ay nasa loob ng domain ng kahulugan.

Hanapin ang derivative ng function na may kinalaman sa:

Malinaw, ang derivative ng function ay umiiral sa lahat ng mga punto ng mga segment at [-4;-1].

Tinutukoy namin ang mga nakatigil na puntos mula sa equation. Ang tanging tunay na ugat ay x=2. Ang nakatigil na puntong ito ay nahuhulog sa unang bahagi.

Para sa unang kaso, kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa nakatigil na punto, iyon ay, para sa x=1, x=2 at x=4:

Samakatuwid, ang pinakamalaking halaga ng function ay nakamit sa x=1, at ang pinakamaliit na halaga – sa x=2.

Para sa pangalawang kaso, kinakalkula namin ang mga halaga ng pag-andar lamang sa mga dulo ng segment [-4;-1] (dahil hindi ito naglalaman ng isang nakatigil na punto):

Ang pag-aaral ng naturang object ng mathematical analysis bilang isang function ay may malaking kahalagahan ibig sabihin at sa iba pang larangan ng agham. Halimbawa, sa pagsusuri sa ekonomiya ang pag-uugali ay palaging kinakailangan upang masuri mga function tubo, lalo na upang matukoy ang pinakamalaking nito ibig sabihin at bumuo ng isang diskarte upang makamit ito.

Mga tagubilin

Ang pag-aaral ng anumang pag-uugali ay dapat palaging magsimula sa isang paghahanap para sa domain ng kahulugan. Karaniwan, ayon sa mga kondisyon ng isang tiyak na problema, kinakailangan upang matukoy ang pinakamalaking ibig sabihin mga function alinman sa buong lugar na ito, o sa isang tiyak na pagitan nito na may bukas o saradong mga hangganan.

Batay sa , ang pinakamalaki ay ibig sabihin mga function y(x0), kung saan para sa anumang punto sa domain ng kahulugan ang hindi pagkakapantay-pantay na y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) ay hawak. Sa graphically, ang puntong ito ang magiging pinakamataas kung ang mga halaga ng argumento ay inilalagay sa kahabaan ng abscissa axis, at ang function mismo sa kahabaan ng ordinate axis.

Upang matukoy ang pinakadakila ibig sabihin mga function, sundin ang tatlong-hakbang na algorithm. Pakitandaan na dapat ay magagawa mo ang isang panig at , pati na rin kalkulahin ang derivative. Kaya, hayaang maibigay ang ilang function na y(x) at kailangan mong hanapin ang pinakadakilang nito ibig sabihin sa isang tiyak na agwat na may mga halaga ng hangganan A at B.

Alamin kung ang agwat na ito ay nasa saklaw ng kahulugan mga function. Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ito sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa lahat ng posibleng mga paghihigpit: ang pagkakaroon ng isang fraction sa expression, parisukat na ugat atbp. Ang domain ng kahulugan ay ang hanay ng mga halaga ng argumento kung saan may katuturan ang function. Tukuyin kung ang ibinigay na pagitan ay isang subset nito. Kung oo, pagkatapos ay magpatuloy sa susunod na hakbang.

Hanapin ang derivative mga function at lutasin ang resultang equation sa pamamagitan ng equating ang derivative sa zero. Sa ganitong paraan makukuha mo ang mga halaga ng tinatawag na mga nakatigil na puntos. Suriin kung ang hindi bababa sa isa sa mga ito ay kabilang sa pagitan ng A, B.

Sa ikatlong yugto, isaalang-alang ang mga puntong ito at palitan ang kanilang mga halaga sa function. Depende sa uri ng agwat, gawin ang mga sumusunod na karagdagang hakbang. Kung mayroong isang segment ng form [A, B], ang mga boundary point ay kasama sa pagitan na ito ay ipinahiwatig ng mga panaklong. Kalkulahin ang mga Halaga mga function para sa x = A at x = B. Kung bukas ang pagitan (A, B), ang mga halaga ng hangganan ay nabutas, i.e. ay hindi kasama dito. Lutasin ang isang panig na limitasyon para sa x→A at x→B. Isang pinagsamang pagitan ng anyo [A, B) o (A, B), ang isa sa mga hangganan ay kabilang dito, ang isa ay hindi ang function. Infinite two-sided interval (-∞, +∞) o one-sided infinite intervals ng form: , (-∞, B, magpatuloy ayon sa mga prinsipyong inilarawan na, at para sa mga walang hanggan, hanapin ang mga limitasyon para sa x→-∞ at x→+∞, ayon sa pagkakabanggit.

Ang gawain sa yugtong ito