Tinatawag itong rectangular matrix. Mga uri ng matrice

Sa paksang ito isasaalang-alang natin ang konsepto ng isang matrix, pati na rin ang mga uri ng matrice. Dahil maraming termino sa paksang ito, idadagdag ko buod upang gawing mas madaling i-navigate ang materyal.

Kahulugan ng isang matrix at ang elemento nito. Notasyon.

Matrix ay isang talahanayan ng $m$ row at $n$ column. Ang mga elemento ng isang matrix ay maaaring maging mga bagay na may ganap na magkakaibang kalikasan: mga numero, variable o, halimbawa, iba pang mga matrice. Halimbawa, ang matrix na $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ ay naglalaman ng 3 row at 2 column; ang mga elemento nito ay mga integer. Ang matrix $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ naglalaman ng 2 row at 4 na column.

Iba't ibang paraan ng pagsulat ng mga matrice: ipakita\itago

Ang matrix ay maaaring isulat hindi lamang sa bilog, kundi pati na rin sa square o double straight bracket. Iyon ay, ang mga entry sa ibaba ay nangangahulugan ng parehong matrix:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

Ang produktong $m\times n$ ay tinatawag laki ng matrix. Halimbawa, kung ang isang matrix ay naglalaman ng 5 mga hilera at 3 mga haligi, kung gayon ay nagsasalita tayo ng isang matrix na may sukat na $5\beses 3$. Ang matrix na $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ ay may sukat na $3 \times 2$.

Karaniwan ang mga matrice ay tinutukoy sa malaking titik Alpabetong Latin: $A$, $B$, $C$ at iba pa. Halimbawa, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Line numbering napupunta mula sa itaas hanggang sa ibaba; mga hanay - mula kaliwa hanggang kanan. Halimbawa, ang unang hilera ng matrix $B$ ay naglalaman ng mga elemento 5 at 3, at ang pangalawang hanay ay naglalaman ng mga elemento 3, -87, 0.

Ang mga elemento ng matrice ay karaniwang tinutukoy sa maliliit na titik. Halimbawa, ang mga elemento ng matrix na $A$ ay tinutukoy ng $a_(ij)$. Ang double index na $ij$ ay naglalaman ng impormasyon tungkol sa posisyon ng elemento sa matrix. Ang numerong $i$ ay ang row number, at ang numerong $j$ ay ang column number, sa intersection kung saan ang elementong $a_(ij)$. Halimbawa, sa intersection ng ikalawang row at ang ikalimang column ng matrix $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ element $a_(25)= $59:

Sa parehong paraan, sa intersection ng unang hilera at ang unang hanay mayroon tayong elementong $a_(11)=51$; sa intersection ng ikatlong hilera at ang pangalawang hanay - ang elemento $a_(32)=-15$ at iba pa. Tandaan na ang entry na $a_(32)$ ay nagbabasa ng “a three two”, ngunit hindi “a thirty two”.

Upang paikliin ang matrix na $A$, ang laki nito ay $m\times n$, ginagamit ang notation na $A_(m\times n)$. Maaari mong isulat ito nang mas detalyado:

$$ A_(m\beses n)=(a_(ij)) $$

kung saan ang notasyong $(a_(ij))$ ay tumutukoy sa mga elemento ng matrix na $A$. Sa ganap na pinalawak na anyo nito, ang matrix na $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

$$ A_(m\beses n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Ipakilala natin ang isa pang termino - pantay na matrice.

Dalawang matrice na magkapareho ang laki $A_(m\times n)=(a_(ij))$ at $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ay tinatawag pantay, kung ang kanilang mga kaukulang elemento ay pantay, i.e. $a_(ij)=b_(ij)$ para sa lahat ng $i=\overline(1,m)$ at $j=\overline(1,n)$.

Paliwanag para sa entry na $i=\overline(1,m)$: ipakita\itago

Ang notasyong "$i=\overline(1,m)$" ay nangangahulugan na ang parameter na $i$ ay nag-iiba mula 1 hanggang m. Halimbawa, ang notasyong $i=\overline(1,5)$ ay nagpapahiwatig na ang parameter na $i$ ay kumukuha ng mga halaga 1, 2, 3, 4, 5.

Kaya, para maging pantay ang mga matrice, dapat matugunan ang dalawang kundisyon: coincidence of sizes at equality ng mga kaukulang elemento. Halimbawa, ang matrix na $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ ay hindi katumbas ng matrix $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ dahil ang matrix na $A$ ay may sukat na $3\times 2$ at matrix $B$ may sukat na $2\beses $2. Gayundin, ang matrix na $A$ ay hindi katumbas ng matrix na $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ , mula noong $a_( 21)\neq c_(21)$ (i.e. $0\neq 98$). Ngunit para sa matrix na $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ ligtas nating maisulat ang $A= F$ dahil ang mga sukat at katumbas na elemento ng mga matrice na $A$ at $F$ ay magkasabay.

Halimbawa Blg. 1

Tukuyin ang laki ng matrix $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 at 0 at -10 \\ \end(array) \right)$. Ipahiwatig kung ano ang katumbas ng mga elementong $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Ang matrix na ito ay naglalaman ng 5 row at 3 column, kaya ang laki nito ay $5\times 3$. Maaari mo ring gamitin ang notasyong $A_(5\times 3)$ para sa matrix na ito.

Ang elementong $a_(12)$ ay nasa intersection ng unang row at pangalawang column, kaya $a_(12)=-2$. Ang elementong $a_(33)$ ay nasa intersection ng ikatlong row at ikatlong column, kaya $a_(33)=23$. Ang elementong $a_(43)$ ay nasa intersection ng ikaapat na row at ikatlong column, kaya $a_(43)=-5$.

Sagot: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Mga uri ng matrice depende sa kanilang laki. Pangunahin at pangalawang diagonal. Bakas ng matrix.

Hayaang magbigay ng isang tiyak na matrix na $A_(m\times n)$. Kung $m=1$ (ang matrix ay binubuo ng isang row), kung gayon para sa matrix na ito tinawag matrix-row. Kung $n=1$ (ang matrix ay binubuo ng isang column), kung gayon ang naturang matrix ay tinatawag na matrix-column. Halimbawa, ang $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ ay isang row matrix, at $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ ay isang column matrix.

Kung ang matrix na $A_(m\times n)$ ay nakakatugon sa kondisyon na $m\neq n$ (i.e., ang bilang ng mga row ay hindi katumbas ng bilang ng mga column), kung gayon madalas na sinasabi na ang $A$ ay isang parihaba matris. Halimbawa, ang matrix na $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ ay may sukat na $2\times 4 $, mga. naglalaman ng 2 row at 4 na column. Dahil ang bilang ng mga hilera ay hindi katumbas ng bilang ng mga haligi, ang matrix na ito ay hugis-parihaba.

Kung ang matrix na $A_(m\times n)$ ay nakakatugon sa kondisyon na $m=n$ (ibig sabihin, ang bilang ng mga row ay katumbas ng bilang ng mga column), ang $A$ ay sinasabing isang square matrix ng order $ n$. Halimbawa, ang $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ ay isang second-order square matrix; Ang $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ ay isang third-order square matrix. SA pangkalahatang pananaw ang square matrix na $A_(n\times n)$ ay maaaring isulat ng mga sumusunod:

$$ A_(n\beses n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Ang mga elementong $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ ay sinasabing nasa pangunahing dayagonal matrices $A_(n\beses n)$. Ang mga elementong ito ay tinatawag pangunahing mga elemento ng dayagonal(o mga elemento ng dayagonal lamang). Ang mga elementong $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ ay nasa gilid (menor de edad) dayagonal; sila ay tinatawag mga elemento ng diagonal sa gilid. Halimbawa, para sa matrix na $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \right)$ mayroon kaming:

Ang mga elementong $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ ay ang mga pangunahing dayagonal na elemento; mga elementong $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ ay mga side diagonal na elemento.

Ang kabuuan ng mga pangunahing elemento ng dayagonal ay tinatawag sinundan ng matrix at tinutukoy ng $\Tr A$ (o $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Halimbawa, para sa matrix $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ mayroon kami:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Ang konsepto ng mga elemento ng dayagonal ay ginagamit din para sa mga non-square matrice. Halimbawa, para sa matrix $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ ang mga pangunahing elemento ng dayagonal ay magiging $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Mga uri ng matrice depende sa mga halaga ng kanilang mga elemento.

Kung ang lahat ng elemento ng matrix $A_(m\times n)$ ay katumbas ng zero, kung gayon ang naturang matrix ay tinatawag na null at karaniwang tinutukoy ng titik na $O$. Halimbawa, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - zero matrice.

Hayaang ang matrix na $A_(m\times n)$ ay may sumusunod na anyo:

Pagkatapos ang matrix na ito ay tinatawag trapezoidal. Maaaring hindi ito naglalaman ng mga zero row, ngunit kung mayroon sila, matatagpuan ang mga ito sa ibaba ng matrix. Sa isang mas pangkalahatang anyo, ang isang trapezoidal matrix ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:

Muli, hindi kinakailangan ang mga trailing null na linya. Yung. Sa pormal na paraan, maaari nating makilala ang mga sumusunod na kondisyon para sa isang trapezoidal matrix:

  1. Ang lahat ng mga elemento sa ibaba ng pangunahing dayagonal ay zero.
  2. Ang lahat ng mga elemento mula $a_(11)$ hanggang $a_(rr)$ na nakahiga sa pangunahing dayagonal ay hindi katumbas ng zero: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
  3. Alinman sa lahat ng elemento ng huling $m-r$ na row ay zero, o $m=r$ (ibig sabihin, walang zero na row).

Mga halimbawa ng trapezoidal matrice:

Lumipat tayo sa susunod na kahulugan. Tinatawag ang matrix na $A_(m\times n)$ humakbang, kung natutugunan nito ang mga sumusunod na kondisyon:


Halimbawa, ang mga step matrice ay magiging:

Para sa paghahambing, ang matrix na $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & Ang 0 & 0 \end(array)\right)$ ay hindi echelon dahil ang ikatlong row ay may parehong zero na bahagi sa pangalawang row. Iyon ay, ang prinsipyo na "mas mababa ang linya, mas malaki ang zero na bahagi" ay nilabag. Idaragdag ko na ang isang trapezoidal matrix ay isang espesyal na kaso ng isang stepped matrix.

Lumipat tayo sa susunod na kahulugan. Kung ang lahat ng mga elemento ng isang parisukat na matrix na matatagpuan sa ilalim ng pangunahing dayagonal ay katumbas ng zero, kung gayon ang naturang matrix ay tinatawag na itaas na tatsulok na matris. Halimbawa, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 Ang \end(array) \right)$ ay isang upper triangular matrix. Tandaan na ang kahulugan ng isang upper triangular matrix ay walang sinasabi tungkol sa mga halaga ng mga elemento na matatagpuan sa itaas ng pangunahing dayagonal o sa pangunahing dayagonal. Maaari silang maging zero o hindi - hindi mahalaga. Halimbawa, ang $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ ay isa ring upper triangular matrix.

Kung ang lahat ng mga elemento ng isang parisukat na matrix na matatagpuan sa itaas ng pangunahing dayagonal ay katumbas ng zero, kung gayon ang naturang matrix ay tinatawag na mas mababang triangular matrix. Halimbawa, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - lower triangular matrix. Tandaan na ang kahulugan ng isang mas mababang triangular na matrix ay walang sinasabi tungkol sa mga halaga ng mga elemento na matatagpuan sa ilalim o sa pangunahing dayagonal. Maaaring zero sila o hindi - hindi mahalaga. Halimbawa, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ at $\left(\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ ay mas mababang triangular matrice din.

Ang square matrix ay tinatawag dayagonal, kung ang lahat ng elemento ng matrix na ito na hindi nakahiga sa pangunahing dayagonal ay katumbas ng zero. Halimbawa: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(array)\kanan)$. Ang mga elemento sa pangunahing dayagonal ay maaaring anuman (katumbas ng zero o hindi) - hindi mahalaga.

Ang diagonal matrix ay tinatawag walang asawa, kung ang lahat ng elemento ng matrix na ito na matatagpuan sa pangunahing dayagonal ay katumbas ng 1. Halimbawa, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\kanan)$ - fourth-order identity matrix; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ ay ang second-order identity matrix.

Ang matrix ay tinutukoy ng malalaking titik na Latin ( A, SA, MAY,...).

Kahulugan 1. Parihabang view ng mesa,

binubuo ng m mga linya at n column ay tinatawag matris.

Matrix element, i – row number, j – column number.

Mga uri ng matrice:

mga elemento sa pangunahing dayagonal:

trA=a 11 +a 22 +a 33 +…+a nn .

§2. Mga determinant ng ika-2, ika-3 at ika-apat na pagkakasunud-sunod

Hayaang magbigay ng dalawang square matrice:

Kahulugan 1. Determinant ng second order matrix A 1 ay isang numero na tinutukoy ng ∆ at katumbas ng , Saan

Halimbawa. Kalkulahin ang determinant ng 2nd order:

Kahulugan 2. Determinant ng 3rd order ng isang square matrix A 2 ay tinatawag na isang numero ng form:

Ito ay isang paraan upang makalkula ang determinant.

Halimbawa. Kalkulahin

Kahulugan 3. Kung ang isang determinant ay binubuo ng n-row at n-column, kung gayon ito ay tinatawag na n-th order determinant.

Mga katangian ng mga determinant:

    Ang determinant ay hindi nagbabago kapag inilipat (iyon ay, kung ang mga row at column nito ay pinagpalit habang pinapanatili ang pagkakasunud-sunod).

    Kung magpapalit ka ng alinmang dalawang row o dalawang column sa determinant, babaguhin lang ng determinant ang sign.

    Ang karaniwang salik ng anumang row (column) ay maaaring lampasan sa tanda ng determinant.

    Kung ang lahat ng elemento ng anumang row (column) ng isang determinant ay katumbas ng zero, kung gayon ang determinant ay katumbas ng zero.

    Ang determinant ay zero kung ang mga elemento ng alinmang dalawang row ay pantay o proporsyonal.

    Ang determinant ay hindi magbabago kung ang mga kaukulang elemento ng isa pang row (column) ay idinagdag sa mga elemento ng isang row (column), na i-multiply sa parehong numero.

Halimbawa.

Kahulugan 4. Ang determinant na nakuha mula sa isang ibinigay na isa sa pamamagitan ng pagtawid sa isang hanay at isang hilera ay tinatawag menor de edad ang kaukulang elemento. M ij elemento a ij .

Kahulugan 5. Algebraic na pandagdag Ang elemento a ij ay tinatawag na expression

§3. Mga aksyon sa matrice

Mga linear na operasyon

1) Kapag nagdadagdag ng mga matrice, idinaragdag ang kanilang mga elemento ng parehong pangalan.

    Kapag binabawasan ang mga matrice, ang kanilang mga elemento ng parehong pangalan ay ibinabawas.

    Kapag nagpaparami ng isang matrix sa isang numero, ang bawat elemento ng matrix ay pinarami ng numerong iyon:

3.2.Pagpaparami ng matrix.

Trabaho matrice A sa matrix SA mayroong isang bagong matrix na ang mga elemento ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng i-th row ng matrix A sa mga kaukulang elemento ng jth column ng matrix SA. Produkto ng matrix A sa matrix SA ay matatagpuan lamang kung ang bilang ng mga haligi ng matrix A katumbas ng bilang ng mga hilera ng matrix SA. Kung hindi, imposible ang gawain.

Komento:

(hindi sumusunod sa commutative property)

§ 4. Baliktad na matris

Ang inverse matrix ay umiiral lamang para sa isang square matrix, at ang matrix ay dapat na hindi isahan.

Kahulugan 1. Matrix A tinawag hindi nabubulok, kung ang determinant ng matrix na ito ay hindi katumbas ng zero

Kahulugan 2. A-1 ang tinatawag baligtad na matris para sa isang ibinigay na non-singular square matrix A, kung kapag pina-multiply ang matrix na ito sa ibinigay na isa, pareho sa kanan at sa kaliwa, ang identity matrix ay nakuha.

Algorithm para sa pagkalkula ng inverse matrix

1 paraan (gamit ang algebraic na mga karagdagan)

Halimbawa 1:

Matrix Ang dimensyon ay isang talahanayan ng mga numero na naglalaman ng mga hilera at hanay. Ang mga numero ay tinatawag na mga elemento ng matrix na ito, kung saan ang numero ng hilera, ay ang numero ng hanay sa intersection kung saan nakatayo ang elementong ito. Ang isang matrix na naglalaman ng mga row at column ay may anyo: .

Mga uri ng matrice:

1) sa - parisukat , at tumatawag sila pagkakasunud-sunod ng matrix ;

2) isang parisukat na matrix kung saan ang lahat ng di-diagonal na elemento ay katumbas ng zero

– dayagonal ;

3) isang dayagonal matrix kung saan ang lahat ng mga elemento ng dayagonal ay pantay

yunit - walang asawa at tinutukoy ng ;

4) sa - hugis-parihaba ;

5) kapag – row matrix (row vector);

6) kapag – matrix-column (vector-column);

7) para sa lahat - zero matrix.

Tandaan na ang pangunahing numerical na katangian ng isang square matrix ay ang determinant nito. Ang determinant na tumutugma sa isang matrix ng ika-uutos ay mayroon ding ika-uutos.

Determinant ng isang 1st order matrix tinawag na numero.

Determinant ng isang 2nd order matrix tinawag na numero . (1.1)

Determinant ng isang 3rd order matrix tinawag na numero . (1.2)

Ilahad natin ang mga kahulugang kailangan para sa karagdagang presentasyon.

Minor M ij elemento A ij matrice n- Ang order A ay tinatawag na determinant ng matrix ( n-1)- ika-order na nakuha mula sa matrix A sa pamamagitan ng pagtanggal i-ika-linya at j ika-kolum.

Algebraic complement A ij elemento A ij matrice n- ng order A ay ang menor de edad ng elementong ito, na kinuha gamit ang sign .

Bumuo tayo ng mga pangunahing katangian ng mga determinant na likas sa mga determinant ng lahat ng mga order at pasimplehin ang kanilang pagkalkula.

1. Kapag ang isang matrix ay nailipat, ang determinant nito ay hindi nagbabago.

2. Kapag muling inaayos ang dalawang row (columns) ng isang matrix, ang determinant nito ay nagbabago ng sign.

3. Ang isang determinant na may dalawang proporsyonal (katumbas) na mga hilera (mga haligi) ay katumbas ng zero.

4. Ang karaniwang kadahilanan ng mga elemento ng anumang hilera (column) ng determinant ay maaaring alisin sa tanda ng determinant.

5. Kung ang mga elemento ng anumang row (column) ng isang determinant ay kumakatawan sa kabuuan ng dalawang termino, kung gayon ang determinant ay maaaring mabulok sa kabuuan ng dalawang katumbas na determinant.

6. Ang determinant ay hindi magbabago kung ang mga kaukulang elemento ng isa pang row nito (column), na dati nang pinarami sa anumang numero, ay idinagdag sa mga elemento ng alinman sa mga row nito (columns).

7. Ang determinant ng isang matrix ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng alinman sa mga hilera nito (columns) sa pamamagitan ng algebraic complements ng mga elementong ito.

Ipaliwanag natin ang property na ito gamit ang halimbawa ng 3rd order determinant. Sa kasong ito, ang ari-arian 7 ay nangangahulugan na – agnas ng determinant sa mga elemento ng 1st row. Tandaan na para sa agnas, piliin ang row (column) kung saan walang mga elemento, dahil ang mga kaukulang termino sa decomposition ay nagiging zero.

Ang Property 7 ay isang determinant decomposition theorem na binuo ni Laplace.

8. Ang kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng anumang row (column) ng isang determinant sa pamamagitan ng algebraic complements ng mga kaukulang elemento ng iba pang row (column) nito ay katumbas ng zero.

Ang huling ari-arian ay madalas na tinatawag na pseudo-decomposition ng determinant.

Mga tanong sa pagsusulit sa sarili.

1. Ano ang tinatawag na matrix?

2. Aling matrix ang tinatawag na parisukat? Ano ang ibig sabihin ng pagkakasunud-sunod nito?

3. Anong matrix ang tinatawag na diagonal, identity?

4. Aling matrix ang tinatawag na row matrix at column matrix?

5. Ano ang pangunahing numerical na katangian ng isang square matrix?

6. Anong numero ang tinatawag na determinant ng 1st, 2nd at 3rd order?

7. Ano ang tinatawag na minor at algebraic complement ng isang elemento ng matrix?

8. Ano ang mga pangunahing katangian ng mga determinant?

9. Gamit ang anong ari-arian makalkula ng isang tao ang determinant ng anumang pagkakasunud-sunod?

Mga aksyon sa matrice(scheme 2)

Ang isang bilang ng mga operasyon ay tinukoy sa isang hanay ng mga matrice, ang mga pangunahing ay ang mga sumusunod:

1) transposisyon – pagpapalit ng mga hanay ng matrix ng mga hanay, at mga hanay ng mga hilera;

2) ang pagpaparami ng isang matrix sa isang numero ay ginagawa ng elemento-sa-elemento, iyon ay , Saan , ;

3) pagdaragdag ng matrix, na tinukoy lamang para sa mga matrice ng parehong dimensyon;

4) pagpaparami ng dalawang matrice, tinukoy lamang para sa mga tugmang matrice.

Ang kabuuan (pagkakaiba) ng dalawang matrice ang nasabing resultang matrix ay tinatawag, ang bawat elemento ay katumbas ng kabuuan (pagkakaiba) ng mga kaukulang elemento ng matrix-commands.

Ang dalawang matrice ay tinatawag napagkasunduan , kung ang bilang ng mga column ng una ay katumbas ng bilang ng mga row ng isa pa. Produkto ng dalawang magkatugmang matrice at ang naturang resultang matrix ay tinatawag , Ano , (1.4)

saan, . Ito ay sumusunod na ang elemento ng ika-hilera at ang ika-kolum ng matrix ay katumbas ng kabuuan ng mga pairwise na produkto ng mga elemento ng ika-hilera ng matrix at ang mga elemento ng ika-kolum ng matrix.

Ang produkto ng matrices ay hindi commutative, iyon ay, A . B B . A. Ang isang exception ay, halimbawa, ang produkto ng square matrices at unit A . E = E . A.

Halimbawa 1.1. I-multiply ang matrice A at B kung:

.

Solusyon. Dahil pare-pareho ang mga matrice (ang bilang ng mga column ng matrix ay katumbas ng bilang ng mga row ng matrix), gagamitin namin ang formula (1.4):

Mga tanong sa pagsusulit sa sarili.

1. Anong mga aksyon ang ginagawa sa mga matrice?

2. Ano ang tinatawag na kabuuan (difference) ng dalawang matrice?

3. Ano ang tinatawag na produkto ng dalawang matrice?

Pamamaraan ni Cramer para sa paglutas ng mga quadratic system ng linear algebraic equation(scheme 3)

Magbigay tayo ng ilang kinakailangang kahulugan.

Sistema mga linear na equation tinawag magkakaiba , kung hindi bababa sa isa sa mga libreng termino nito ay iba sa zero, at homogenous , kung ang lahat ng libreng termino nito ay katumbas ng zero.

Paglutas ng isang sistema ng mga equation ay isang nakaayos na hanay ng mga numero na, kapag pinalitan ng mga variable sa isang system, ginagawang isang pagkakakilanlan ang bawat isa sa mga equation nito.

Ang sistema ng mga equation ay tinatawag magkadugtong , kung mayroon itong kahit isang solusyon, at hindi magkasanib , kung wala siyang solusyon.

Ang sabay-sabay na sistema ng mga equation ay tinatawag tiyak , kung mayroon itong natatanging solusyon, at hindi sigurado , kung mayroon itong higit sa isang solusyon.

Isaalang-alang natin ang isang inhomogeneous quadratic system ng linear algebraic equation na mayroong sumusunod na pangkalahatang anyo:

. (1.5) Ang pangunahing matrix ng system Ang linear algebraic equation ay isang matrix na binubuo ng mga coefficient na nauugnay sa mga hindi alam: .

Ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay tinatawag pangunahing determinant at itinalaga.

Ang auxiliary determinant ay nakuha mula sa pangunahing determinant sa pamamagitan ng pagpapalit sa ika-kolum ng isang column ng mga libreng termino.

Theorem 1.1 (Cramer's theorem). Kung ang pangunahing determinant ng isang quadratic system ng linear algebraic equation ay nonzero, kung gayon ang system ay may natatanging solusyon, na kinakalkula ng mga formula:

Kung ang pangunahing determinant ay , kung gayon ang system ay maaaring mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon (para sa lahat ng zero auxiliary determinants), o walang solusyon sa lahat (kung hindi bababa sa isa sa mga auxiliary determinant ay naiiba sa zero)

Sa liwanag ng mga kahulugan sa itaas, ang Cramer's theorem ay maaaring mabuo sa ibang paraan: kung ang pangunahing determinant ng isang sistema ng linear algebraic equation ay nonzero, kung gayon ang system ay magkakasamang tinukoy at sa parehong oras ; kung ang pangunahing determinant ay zero, kung gayon ang sistema ay alinman sa magkasanib na hindi tiyak (para sa lahat ) o hindi pare-pareho (kung kahit isa sa mga ito ay naiiba sa zero).

Pagkatapos nito, dapat suriin ang nagresultang solusyon.

Halimbawa 1.2. Lutasin ang system gamit ang paraan ng Cramer

Solusyon. Dahil ang pangunahing determinant ng system

ay iba sa zero, kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon. Kalkulahin natin ang mga pantulong na determinant

Gamitin natin ang mga formula ng Cramer (1.6): , ,

Mga tanong sa pagsusulit sa sarili.

1. Ano ang tinatawag na paglutas ng isang sistema ng mga equation?

2. Aling sistema ng mga equation ang tinatawag na compatible o incompatible?

3. Aling sistema ng mga equation ang tinatawag na tiyak o hindi tiyak?

4. Aling matrix ng sistema ng mga equation ang tinatawag na pangunahing?

5. Paano makalkula ang mga pantulong na determinant ng isang sistema ng mga linear algebraic equation?

6. Ano ang kakanyahan ng pamamaraan ni Cramer para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear algebraic equation?

7. Ano ang maaaring maging isang sistema ng mga linear algebraic equation kung ang pangunahing determinant nito ay zero?

Paglutas ng mga quadratic system ng linear algebraic equation gamit ang inverse matrix method(scheme 4)

Ang isang matrix na may nonzero determinant ay tinatawag hindi nabubulok ; pagkakaroon ng determinant na katumbas ng zero - mabulok .

Ang matrix ay tinatawag na kabaligtaran para sa isang naibigay na square matrix, kung kapag pinarami ang matrix sa pamamagitan ng kabaligtaran nito pareho sa kanan at kaliwa, ang identity matrix ay nakuha, iyon ay. (1.7)

Tandaan na sa kasong ito ang produkto ng mga matrice at ay commutative.

Teorama 1.2. Ang isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa pagkakaroon ng isang inverse matrix para sa isang naibigay na square matrix ay na ang determinant ng ibinigay na matrix ay naiiba mula sa zero

Kung ang pangunahing matrix ng system ay lumabas na isahan sa panahon ng pagsubok, kung gayon walang kabaligtaran para dito, at ang pamamaraan na isinasaalang-alang ay hindi mailalapat.

Kung ang pangunahing matrix ay hindi isahan, iyon ay, ang determinant ay 0, kung gayon ang inverse matrix ay matatagpuan para dito gamit ang sumusunod na algorithm.

1. Kalkulahin ang algebraic complements ng lahat ng elemento ng matrix.

2. Isulat ang nahanap na algebraic na mga karagdagan sa matrix na inilipat.

3. Gumawa ng inverse matrix gamit ang formula: (1.8)

4. Suriin ang kawastuhan ng natagpuang matrix A-1 ayon sa formula (1.7). Tandaan na ang pagsusuring ito ay maaaring isama sa huling pagsusuri ng mismong solusyon ng system.

Ang sistema (1.5) ng mga linear algebraic equation ay maaaring katawanin bilang isang matrix equation: , kung saan ang pangunahing matrix ng system, ay ang column ng mga hindi alam, at ang column ng mga libreng termino. I-multiply natin ang equation na ito sa kaliwa ng inverse matrix, makukuha natin:

Dahil, sa pamamagitan ng kahulugan ng inverse matrix, ang equation ay tumatagal ng anyo o . (1.9)

Kaya, upang malutas ang isang quadratic system ng linear algebraic equation, kailangan mong i-multiply ang column ng mga libreng termino sa kaliwa ng matrix na inverse ng pangunahing matrix ng system. Pagkatapos nito, dapat mong suriin ang nagresultang solusyon.

Halimbawa 1.3. Lutasin ang system gamit ang inverse matrix method

Solusyon. Kalkulahin natin ang pangunahing determinant ng system

. Dahil dito, ang matrix ay hindi isahan at ang kabaligtaran na matrix ay umiiral.

Hanapin natin ang algebraic complements ng lahat ng elemento ng pangunahing matrix:

Isulat natin ang mga algebraic na karagdagan na inilipat sa matrix

. Gamitin natin ang mga formula (1.8) at (1.9) upang makahanap ng solusyon sa system

Mga tanong sa pagsusulit sa sarili.

1. Aling matrix ang tinatawag na singular, non-degenerate?

2. Anong matrix ang tinatawag na kabaligtaran ng isang ibinigay? Ano ang kondisyon ng pagkakaroon nito?

3. Ano ang algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix para sa isang ibinigay?

4. Anong matrix equation ang katumbas ng isang sistema ng linear algebraic equation?

5. Paano lutasin ang isang sistema ng mga linear algebraic equation gamit ang inverse matrix para sa pangunahing matrix ng system?

Pag-aaral ng mga inhomogeneous system ng linear algebraic equation(scheme 5)

Ang pag-aaral ng anumang sistema ng linear algebraic equation ay nagsisimula sa pagbabago ng pinahabang matrix nito sa pamamagitan ng Gaussian method. Hayaang ang sukat ng pangunahing matrix ng system ay katumbas ng .

Matrix tinatawag na extended matrix ng system , kung, kasama ang mga coefficient ng mga hindi alam, naglalaman ito ng column ng mga libreng termino. Samakatuwid, ang dimensyon ay .

Ang pamamaraang Gaussian ay batay sa mga pagbabagong elementarya , na kinabibilangan ng:

- muling pagsasaayos ng mga hilera ng matrix;

– pagpaparami ng mga hilera ng matrix sa isang numerong iba sa manibela;

– element-wise na pagdaragdag ng mga hilera ng matrix;

- pagtanggal ng zero line;

– matrix transposition (sa kasong ito, ang mga pagbabago ay isinasagawa ng mga haligi).

Ang mga pagbabago sa elementarya ay humahantong sa orihinal na sistema sa isang sistemang katumbas nito. Mga sistema ay tinatawag na katumbas , kung mayroon silang parehong hanay ng mga solusyon.

Ranggo ng matrix ay tinatawag na pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng mga nonzero minor nito. Ang mga pagbabago sa elementarya ay hindi nagbabago sa ranggo ng matrix.

Kapag tinanong tungkol sa pagkakaroon ng mga solusyon homogenous na sistema ang mga linear equation ay sinasagot ng sumusunod na theorem.

Theorem 1.3 (Kronecker-Capelli theorem). Ang isang non-homogeneous na sistema ng linear algebraic equation ay pare-pareho kung at kung ang ranggo ng extended matrix ng system ay katumbas ng ranggo ng pangunahing matrix nito, i.e.

Tukuyin natin ang bilang ng mga row na natitira sa matrix pagkatapos ng Gaussian method sa pamamagitan ng (ayon dito, ang bilang ng mga equation na natitira sa system). Ang mga ito mga linya tinatawag na matrices basic .

Kung , kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon (ay magkakasamang tinukoy), ang matrix nito ay binabawasan sa isang tatsulok na anyo sa pamamagitan ng mga pagbabagong elementarya. Ang ganitong sistema ay maaaring malutas gamit ang Cramer method, gamit ang inverse matrix, o ang unibersal na Gauss method.

Kung (ang bilang ng mga variable sa system ay mas malaki kaysa sa mga equation), ang matrix ay binabawasan ng elementarya na pagbabago sa stepped view. Ang ganitong sistema ay may maraming solusyon at magkatuwang na hindi sigurado. Sa kasong ito, upang makahanap ng mga solusyon sa system, kinakailangan upang magsagawa ng isang bilang ng mga operasyon.

1. Iwanan ang sistema ng mga hindi alam sa kaliwang bahagi ng mga equation ( pangunahing mga variable ), ang natitirang mga hindi alam ay inilipat sa kanang bahagi ( mga libreng variable ). Pagkatapos hatiin ang mga variable sa basic at libre, ang system ay kumuha ng form:

. (1.10)

2. Mula sa mga coefficient ng mga pangunahing variable, bumuo ng isang menor de edad ( pangunahing menor de edad ), na dapat ay hindi zero.

3. Kung ang basic minor ng system (1.10) ay katumbas ng zero, pagkatapos ay palitan ang isa sa mga pangunahing variable ng libre; Suriin ang resultang batayang minor para sa non-zero.

4. Ang paglalapat ng mga formula (1.6) ng Cramer method, na isinasaalang-alang ang kanang bahagi ng mga equation bilang ang kanilang mga libreng termino, ay humanap ng expression para sa mga pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga libre sa pangkalahatang anyo. Ang nagreresultang nakaayos na hanay ng mga variable ng system ay nito pangkalahatang desisyon .

5. Pagbibigay ng mga libreng variable sa (1.10) na mga arbitrary na halaga, kalkulahin ang mga katumbas na halaga ng mga pangunahing variable. Ang nagreresultang nakaayos na hanay ng mga halaga ng lahat ng mga variable ay tinatawag pribadong solusyon mga sistema na naaayon sa ibinigay na mga halaga ng mga libreng variable. Ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga partikular na solusyon.

6. Kunin pangunahing solusyon system - isang partikular na solusyon na nakuha para sa mga zero na halaga ng mga libreng variable.

Tandaan na ang bilang ng mga batayang hanay ng mga variable ng system (1.10) ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon ng mga elemento ng mga elemento. Dahil ang bawat pangunahing hanay ng mga variable ay may sarili nitong pangunahing solusyon, samakatuwid, ang sistema ay mayroon ding mga pangunahing solusyon.

Ang isang homogenous na sistema ng mga equation ay palaging pare-pareho, dahil mayroon itong hindi bababa sa isa - zero (walang halaga) na solusyon. Upang ang isang homogenous na sistema ng mga linear equation na may mga variable ay magkaroon ng mga non-zero na solusyon, kinakailangan at sapat na ang pangunahing determinant nito ay katumbas ng zero. Nangangahulugan ito na ang ranggo ng pangunahing matris nito mas kaunting numero hindi kilala Sa kasong ito, ang pag-aaral ng isang homogenous na sistema ng mga equation para sa pangkalahatan at partikular na mga solusyon ay isinasagawa nang katulad ng pag-aaral ng isang hindi homogenous na sistema. Ang mga solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga equation ay mayroon mahalagang ari-arian: kung ang dalawang magkaibang solusyon sa isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ay kilala, kung gayon ang kanilang linear na kumbinasyon ay isa ring solusyon sa sistemang ito. Madaling i-verify ang bisa ng sumusunod na theorem.

Teorama 1.4. Ang pangkalahatang solusyon ng isang hindi magkakatulad na sistema ng mga equation ay ang kabuuan ng pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogenous na sistema at ilang partikular na solusyon ng hindi magkakatulad na sistema ng mga equation

Halimbawa 1.4.

Galugarin ang ibinigay na sistema at maghanap ng isang partikular na solusyon:

Solusyon. Isulat natin ang pinahabang matrix ng system at ilapat ito dito mga pagbabagong elementarya:

. Since and , then by Theorem 1.3 (Kronecker-Capelli) the given system of linear algebraic equation is consistent. Ang bilang ng mga variable, ibig sabihin, ay nangangahulugan na ang sistema ay hindi sigurado. Ang bilang ng mga batayang hanay ng mga variable ng system ay katumbas ng

. Dahil dito, 6 na set ng mga variable ang maaaring maging basic: . Isaalang-alang natin ang isa sa kanila. Pagkatapos ang sistemang nakuha bilang resulta ng pamamaraang Gauss ay maaaring muling isulat sa anyo

. Pangunahing determinant . Gamit ang paraan ng Cramer, naghahanap kami ng pangkalahatang solusyon sa system. Mga pantulong na kwalipikasyon

Ayon sa mga formula (1.6) mayroon tayo

. Ang pagpapahayag na ito ng mga pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga libre ay kumakatawan sa pangkalahatang solusyon ng system:

Para sa mga tiyak na halaga ng mga libreng variable, mula sa pangkalahatang solusyon nakakakuha kami ng isang partikular na solusyon ng system. Halimbawa, isang pribadong solusyon tumutugma sa mga halaga ng mga libreng variable . Sa makuha namin ang pangunahing solusyon ng system

Mga tanong sa pagsusulit sa sarili.

1. Aling sistema ng mga equation ang tinatawag na homogenous o inhomogeneous?

2. Aling matrix ang tinatawag na extended?

3. Ilista ang mga pangunahing pagbabagong elementarya ng mga matrice. Anong paraan ng paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation ang nakabatay sa mga pagbabagong ito?

4. Ano ang ranggo ng isang matrix? Paano mo ito makalkula?

5. Ano ang sinasabi ng Kronecker-Capelli theorem?

6. Sa anong anyo maaaring mabawasan ang isang sistema ng mga linear algebraic equation bilang resulta ng solusyon nito sa pamamagitan ng Gauss method? Ano ang ibig sabihin nito?

7. Aling mga hilera ng matrix ang tinatawag na basic?

8. Ano mga variable ng system ay tinatawag na basic, alin ang libre?

9. Anong solusyon ng isang inhomogeneous system ang tinatawag na pribado?

10.Alin sa mga solusyon nito ang tinatawag na basic? Gaano karaming mga pangunahing solusyon mayroon ang isang hindi magkakatulad na sistema ng mga linear na equation?

11. Anong solusyon ng isang inhomogeneous system ng linear algebraic equation ang tinatawag na general? Bumuo ng teorama tungkol sa pangkalahatang desisyon hindi magkakatulad na sistema ng mga equation.

12. Ano ang mga pangunahing katangian ng mga solusyon sa isang homogenous na sistema ng mga linear algebraic equation?

ODA. Isang hugis-parihaba na mesa na binubuo ng T mga linya at n Ang mga hanay ng mga tunay na numero ay tinatawag matris laki t×p. Ang mga matrice ay tinutukoy ng malalaking letrang Latin: A, B,..., at ang hanay ng mga numero ay pinaghihiwalay ng mga bilog o parisukat na bracket.

Ang mga numerong kasama sa talahanayan ay tinatawag na mga elemento ng matrix at ipinapahiwatig sa maliliit na letrang Latin na may double index, kung saan i- numero ng linya, j– bilang ng column sa intersection kung saan matatagpuan ang elemento. Sa pangkalahatan, ang matrix ay nakasulat tulad ng sumusunod:

Dalawang matrice ang isinasaalang-alang pantay, kung ang kanilang mga kaukulang elemento ay pantay.

Kung ang bilang ng mga hilera ng matrix T katumbas ng bilang ng mga column nito n, pagkatapos ay tinawag ang matrix parisukat(kung hindi man – hugis-parihaba).


Sukat ng Matrix
tinatawag na row matrix. Sukat ng Matrix

tinatawag na column matrix.

Mga elemento ng matrix na may pantay na mga indeks (
atbp.), anyo pangunahing dayagonal matrice. Ang isa pang dayagonal ay tinatawag na gilid na dayagonal.



Ang square matrix ay tinatawag dayagonal, kung ang lahat ng mga elemento nito na matatagpuan sa labas ng pangunahing dayagonal ay katumbas ng zero.

Ang isang dayagonal matrix na ang mga elemento ng dayagonal ay katumbas ng isa ay tinatawag walang asawa matrix at may karaniwang notasyon E:


Kung ang lahat ng mga elemento ng matrix na matatagpuan sa itaas (o sa ibaba) ang pangunahing dayagonal ay katumbas ng zero, ang matrix ay sinasabing mayroong isang triangular na anyo:


§2. Mga operasyon sa matrices

1. Matrix transposition - isang pagbabagong-anyo kung saan ang mga hilera ng matrix ay isinusulat bilang mga column habang pinapanatili ang kanilang pagkakasunud-sunod. Para sa isang square matrix, ang pagbabagong ito ay katumbas ng isang simetriko na pagmamapa tungkol sa pangunahing dayagonal:

.


2. Ang mga matrice ng parehong dimensyon ay maaaring isama (ibawas). Ang kabuuan (pagkakaiba) ng mga matrice ay isang matrix ng parehong dimensyon, ang bawat elemento nito ay katumbas ng kabuuan (pagkakaiba) ng mga kaukulang elemento ng orihinal na mga matrice:



3. Anumang matrix ay maaaring i-multiply sa isang numero. Ang produkto ng isang matrix sa pamamagitan ng isang numero ay isang matrix ng parehong pagkakasunud-sunod, ang bawat elemento nito ay katumbas ng produkto ng kaukulang elemento ng orihinal na matrix sa pamamagitan ng numerong ito:

.

4. Kung ang bilang ng mga haligi ng isang matrix ay katumbas ng bilang ng mga hilera ng isa pa, maaari mong i-multiply ang unang matrix sa pangalawa. Ang produkto ng naturang mga matrix ay isang matrix, ang bawat elemento nito ay katumbas ng kabuuan ng mga pairwise na produkto ng mga elemento ng kaukulang hilera ng unang matrix at ang mga elemento ng kaukulang column ng pangalawang matrix.

Bunga. Pagpapalawak ng matrix Upang Ang >1 ay ang produkto ng matrix A Upang minsan. Tinukoy lamang para sa mga square matrice.

Halimbawa.

Mga katangian ng pagpapatakbo sa mga matrice.

  1. (A+B)+C=A+(B+C);

    k(A+B)=kA+kV;

    A(B+C)=AB+AC;

    (A+B)C=AC+BC;

    k(AB)=(kA)B=A(kV);

    A(BC)=(AB)C;

  2. (kA) T = kA T;

    (A+B) T =A T +B T;

    (AB) T =B T A T;

Ang mga katangiang nakalista sa itaas ay katulad ng mga katangian ng mga pagpapatakbo sa mga numero. Mayroon ding mga tiyak na katangian ng mga matrice. Kabilang dito, halimbawa, ang natatanging katangian ng matrix multiplication. Kung umiiral ang produktong AB, kung gayon ang produktong BA

Maaaring wala

Maaaring iba sa AB.

Halimbawa. Gumagawa ang kumpanya ng mga produkto ng dalawang uri A at B at gumagamit ng tatlong uri ng hilaw na materyales S 1, S 2, at S 3. Ang mga rate ng pagkonsumo ng hilaw na materyal ay tinukoy ng matrix N=
, Saan n ij- dami ng hilaw na materyales j, na ginugol sa produksyon ng isang yunit ng output i. Ang plano sa produksyon ay ibinibigay ng matrix C=(100 200), at ang halaga ng yunit ng bawat uri ng hilaw na materyal ay ibinibigay ng matrix . Tukuyin ang mga gastos sa hilaw na materyales na kinakailangan para sa nakaplanong produksyon at ang kabuuang halaga ng mga hilaw na materyales.

Solusyon. Tinutukoy namin ang mga gastos sa hilaw na materyal bilang produkto ng mga matrice C at N:

Kinakalkula namin ang kabuuang halaga ng mga hilaw na materyales bilang produkto ng S at P.

Ang mga matrice sa matematika ay isa sa pinakamahalagang bagay na may praktikal na kahalagahan. Kadalasan ang isang iskursiyon sa teorya ng mga matrice ay nagsisimula sa mga salitang: "Ang isang matrix ay isang hugis-parihaba na talahanayan ...". Sisimulan natin ang iskursiyon na ito mula sa isang bahagyang magkaibang direksyon.

Ang mga phone book sa anumang laki at sa anumang dami ng data ng subscriber ay hindi hihigit sa mga matrice. Ang ganitong mga matrice ay humigit-kumulang na ganito:

Malinaw na halos araw-araw tayong gumagamit ng gayong mga matrice. Ang mga matrice na ito ay may iba't ibang bilang ng mga row (nag-iiba-iba ang mga ito tulad ng isang direktoryo na inisyu ng isang kumpanya ng telepono, na maaaring magkaroon ng libu-libo, daan-daang libo at kahit milyon-milyong mga row at ang bago mo lang nasimulan kuwaderno, kung saan mayroong mas mababa sa sampung linya) at mga column (isang direktoryo ng mga opisyal ng ilang organisasyon, na maaaring naglalaman ng mga column tulad ng posisyon at numero ng opisina at iyong parehong notebook, kung saan maaaring walang anumang data maliban sa pangalan, at sa gayon ay , mayroon lamang itong dalawang column - pangalan at numero ng telepono).

Ang lahat ng mga uri ng matrice ay maaaring idagdag at i-multiply, pati na rin ang iba pang mga operasyon ay maaaring maisagawa sa kanila, ngunit hindi na kailangang magdagdag at magparami ng mga direktoryo ng telepono, walang pakinabang mula dito, at bukod pa, maaari mong gamitin ang iyong isip.

Ngunit maraming matrice ang maaari at dapat na idagdag at i-multiply at sa gayon ay malulutas ang iba't ibang mga problema. Nasa ibaba ang mga halimbawa ng naturang mga matrice.

Mga matrice kung saan ang mga column ay ang produksyon ng mga yunit ng isang partikular na uri ng produkto, at ang mga hilera ay ang mga taon kung saan naitala ang produksyon ng produktong ito:

Maaari kang magdagdag ng mga matrice ng ganitong uri, na isinasaalang-alang ang output ng mga katulad na produkto ng iba't ibang mga negosyo, upang makakuha ng buod ng data para sa industriya.

O mga matrice na binubuo, halimbawa, ng isang column, kung saan ang mga row ay ang average na halaga ng isang partikular na uri ng produkto:

Ang huling dalawang uri ng matrice ay maaaring i-multiply, at ang resulta ay isang row matrix na naglalaman ng halaga ng lahat ng uri ng mga produkto ayon sa taon.

Mga matrice, mga pangunahing kahulugan

Isang hugis-parihaba na mesa na binubuo ng mga numerong nakaayos m mga linya at n column ay tinatawag mn-matrix (o lang matris ) at nakasulat tulad nito:

(1)

Sa matrix (1) ang mga numero ay tinatawag na nito elemento (tulad ng sa determinant, ang unang index ay nangangahulugang ang bilang ng hilera, ang pangalawa - ang haligi sa intersection kung saan matatagpuan ang elemento; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Ang matrix ay tinatawag hugis-parihaba , Kung .

Kung m = n, pagkatapos ay tinawag ang matrix parisukat , at ang bilang n ay nito sa ayos .

Determinant ng isang square matrix A ay isang determinant na ang mga elemento ay mga elemento ng isang matrix A. Ito ay ipinahiwatig ng simbolo | A|.

Ang square matrix ay tinatawag hindi espesyal (o hindi nabubulok , di-isahan ), kung ang determinant nito ay hindi zero, at espesyal (o mabulok , isahan ) kung ang determinant nito ay zero.

Tinatawag ang mga matrice pantay , kung mayroon silang parehong bilang ng mga row at column at lahat ng kaukulang elemento ay tumutugma.

Ang matrix ay tinatawag null , kung ang lahat ng elemento nito ay katumbas ng zero. Ipapahiwatig namin ang zero matrix sa pamamagitan ng simbolo 0 o .

Halimbawa,

Matrix-row (o maliit na titik ) ay tinatawag na 1 n-matrix, at matrix-column (o kolumnar ) – m 1-matrix.

Matrix A", na nakuha mula sa matrix A ang pagpapalit ng mga row at column dito ay tinatawag inilipat may kaugnayan sa matris A. Kaya, para sa matrix (1) ang transposed matrix ay

Pagpapatakbo ng paglipat ng matrix A" inilipat na may paggalang sa matrix A, ay tinatawag na matrix transposition A. Para sa mn-matrix transposed ay nm-matrix.

Ang matrix transposed na may paggalang sa matrix ay A, iyon ay

(A")" = A .

Halimbawa 1. Maghanap ng matrix A" , inilipat na may kinalaman sa matrix

at alamin kung ang mga determinant ng orihinal at transposed matrice ay pantay.

Pangunahing dayagonal Ang isang parisukat na matrix ay isang haka-haka na linya na nagkokonekta sa mga elemento nito, kung saan ang parehong mga indeks ay pareho. Ang mga elementong ito ay tinatawag dayagonal .

Ang isang parisukat na matrix kung saan ang lahat ng mga elemento mula sa pangunahing dayagonal ay katumbas ng zero ay tinatawag dayagonal . Hindi lahat ng diagonal na elemento ng isang diagonal matrix ay kinakailangang hindi zero. Ang ilan sa mga ito ay maaaring katumbas ng zero.

Ang isang parisukat na matrix kung saan ang mga elemento sa pangunahing dayagonal ay katumbas ng parehong numero, hindi zero, at lahat ng iba ay katumbas ng zero, ay tinatawag scalar matrix .

Matrix ng pagkakakilanlan ay tinatawag na diagonal matrix kung saan ang lahat ng diagonal na elemento ay katumbas ng isa. Halimbawa, ang third-order identity matrix ay ang matrix

Halimbawa 2. Ibinigay na matrice:

Solusyon. Kalkulahin natin ang mga determinant ng mga matrice na ito. Gamit ang tuntunin ng tatsulok, nakita namin

Matrix determinant B kalkulahin natin gamit ang formula

Madali nating makuha iyon

Samakatuwid, ang mga matrice A at hindi isahan (non-degenerate, non-singular), at ang matrix B– espesyal (degenerate, singular).

Ang determinant ng identity matrix ng anumang order ay malinaw na katumbas ng isa.

Lutasin ang problema sa matrix sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon

Halimbawa 3. Nabigyan ng matrices

,

,

Tukuyin kung alin sa mga ito ang hindi isahan (non-degenerate, non-singular).

Application ng mga matrice sa matematika at pang-ekonomiyang pagmomolde

Ang nakabalangkas na data tungkol sa isang partikular na bagay ay simple at maginhawang naitala sa anyo ng mga matrice. Ang mga modelo ng matrix ay nilikha hindi lamang upang iimbak ang nakabalangkas na data na ito, ngunit din upang malutas ang iba't ibang mga problema sa data na ito gamit ang linear algebra.

Kaya, ang isang kilalang modelo ng matrix ng ekonomiya ay ang modelo ng input-output, na ipinakilala ng Amerikanong ekonomista ng pinagmulang Ruso na si Vasily Leontiev. Ang modelong ito ay batay sa palagay na ang buong sektor ng produksyon ng ekonomiya ay nahahati sa n malinis na industriya. Ang bawat industriya ay gumagawa lamang ng isang uri ng produkto, at iba't ibang industriya ang gumagawa iba't ibang produkto. Dahil sa dibisyong ito ng paggawa sa pagitan ng mga industriya, mayroong mga inter-industriyang koneksyon, ang kahulugan nito ay ang bahagi ng produksyon ng bawat industriya ay inililipat sa ibang mga industriya bilang mapagkukunan ng produksyon.

Dami ng produkto i-ika industriya (sinusukat ng isang partikular na yunit ng pagsukat), na ginawa sa panahon ng pag-uulat, ay tinutukoy ng at tinatawag na buong output i-ika industriya. Maginhawang ilagay ang mga isyu n-component row ng matrix.

Bilang ng mga yunit i-industriya na kailangang gastusin j-industriya para sa produksyon ng isang yunit ng output nito ay itinalaga at tinatawag na direct cost coefficient.



Ibahagi sa mga kaibigan:
Mga kaugnay na publikasyon