Mga sistema ng linear homogenous na equation. Ano ang isang homogenous na sistema ng mga linear equation

Patuloy nating pakinisin ang ating teknolohiya mga pagbabagong elementarya sa homogenous na sistema mga linear na equation .
Batay sa mga unang talata, ang materyal ay maaaring mukhang boring at karaniwan, ngunit ang impression na ito ay mapanlinlang. Bilang karagdagan sa karagdagang pag-unlad ng mga diskarte, magkakaroon ng maraming bagong impormasyon, kaya mangyaring subukang huwag pabayaan ang mga halimbawa sa artikulong ito.

Ano ang isang homogenous na sistema ng mga linear equation?

Ang sagot ay nagmumungkahi mismo. Ang isang sistema ng mga linear na equation ay homogenous kung ang libreng termino lahat equation ng system ay zero. Halimbawa:

Ito ay ganap na malinaw na ang isang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho, ibig sabihin, laging may solusyon. At, una sa lahat, ang nakakakuha ng iyong mata ay ang tinatawag na walang kuwenta solusyon . Trivial, para sa mga hindi naiintindihan ang kahulugan ng adjective sa lahat, ay nangangahulugan na walang pakitang-tao. Siyempre, hindi sa akademya, ngunit sa katinuan =) ...Bakit kailangan mo lang gawin, alamin natin kung may iba pang solusyon ang sistemang ito:

Halimbawa 1

Solusyon: upang malutas ang isang homogenous na sistema kinakailangan na magsulat system matrix at sa tulong ng mga pagbabagong elementarya dalhin ito sa stepped view. Pakitandaan na dito hindi na kailangang isulat ang vertical bar at ang zero na column ng mga libreng termino - pagkatapos ng lahat, anuman ang gawin mo sa mga zero, mananatili silang mga zero:

(1) Ang unang linya ay idinagdag sa pangalawang linya, na pinarami ng –2. Ang unang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng –3.

(2) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng –1.

Ang paghahati sa ikatlong linya ng 3 ay hindi gaanong makatwiran.

Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, nakuha ang isang katumbas na homogenous na sistema , at, gamit ang kabaligtaran ng pamamaraang Gaussian, madaling i-verify na ang solusyon ay natatangi.

Sagot:

Bumuo tayo ng malinaw na pamantayan: isang homogenous na sistema ng mga linear equation ay mayroon isang maliit na solusyon lamang, Kung ranggo ng system matrix(sa kasong ito 3) ay katumbas ng bilang ng mga variable (sa kasong ito - 3 piraso).

Magpainit tayo at ibagay ang ating radyo sa alon ng elementarya na pagbabago:

Halimbawa 2

Lutasin ang isang homogenous na sistema ng mga linear equation

Upang tuluyang pagsamahin ang algorithm, suriin natin ang panghuling gawain:

Halimbawa 7

Lutasin ang isang homogenous system, isulat ang sagot sa vector form.

Solusyon: isulat natin ang matrix ng system at, gamit ang elementarya na pagbabago, dalhin ito sa sunud-sunod na anyo:

(1) Ang tanda ng unang linya ay binago. Muli kong iginuhit ang pansin sa isang pamamaraan na nakatagpo ng maraming beses, na nagbibigay-daan sa iyo upang makabuluhang pasimplehin ang susunod na aksyon.

(1) Ang unang linya ay idinagdag sa ika-2 at ika-3 linya. Ang unang linya, na pinarami ng 2, ay idinagdag sa ika-4 na linya.

(3) Ang huling tatlong linya ay proporsyonal, dalawa sa kanila ang tinanggal.

Bilang isang resulta, ang isang karaniwang step matrix ay nakuha, at ang solusyon ay nagpapatuloy kasama ang knurled track:

- pangunahing mga variable;
– mga libreng variable.

Ipahayag natin ang mga pangunahing variable sa mga tuntunin ng mga libreng variable. Mula sa 2nd equation:

– palitan sa 1st equation:

kaya, pangkalahatang solusyon:

Dahil sa halimbawang isinasaalang-alang mayroong tatlong libreng variable, ang pangunahing sistema ay naglalaman ng tatlong vectors.

Palitan natin ang isang triple ng mga halaga sa pangkalahatang solusyon at kumuha ng vector na ang mga coordinate ay nakakatugon sa bawat equation ng homogenous system. At muli, inuulit ko na lubos na maipapayo na suriin ang bawat natanggap na vector - hindi ito kukuha ng maraming oras, ngunit ganap itong maprotektahan ka mula sa mga pagkakamali.

Para sa isang triple ng mga halaga hanapin ang vector

At sa wakas para sa tatlo nakuha namin ang pangatlong vector:

Sagot: , Saan

Ang mga nagnanais na maiwasan ang mga fractional na halaga ay maaaring isaalang-alang ang triplets at makakuha ng sagot sa katumbas na anyo:

Speaking of fractions. Tingnan natin ang matrix na nakuha sa problema at itanong natin sa ating sarili: posible bang gawing simple ang karagdagang solusyon? Pagkatapos ng lahat, dito namin unang ipinahayag ang pangunahing variable sa pamamagitan ng mga fraction, pagkatapos ay sa pamamagitan ng mga fraction ang pangunahing variable, at, dapat kong sabihin, ang prosesong ito ay hindi ang pinakasimpleng at hindi ang pinaka-kaaya-aya.

Pangalawang solusyon:

Ang ideya ay subukan pumili ng iba pang mga variable na batayan. Tingnan natin ang matrix at pansinin ang dalawa sa ikatlong hanay. Kaya bakit walang zero sa itaas? Magsagawa tayo ng isa pang elementarya na pagbabago:

Ang isang sistema ng mga linear na equation kung saan ang lahat ng mga libreng termino ay katumbas ng zero ay tinatawag homogenous :

Ang anumang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho, dahil palagi itong mayroon sero (walang kuwenta ) solusyon. Ang tanong ay bumangon sa ilalim ng kung anong mga kundisyon ang isang homogenous na sistema ay magkakaroon ng isang nontrivial na solusyon.

Teorama 5.2.Ang isang homogenous na sistema ay may nontrivial na solusyon kung at kung ang ranggo ng pangunahing matrix mas kaunting numero kanyang mga hindi kilala.

Bunga. Ang isang square homogeneous system ay may nontrivial solution kung at kung ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay hindi katumbas ng zero.

Halimbawa 5.6. Tukuyin ang mga halaga ng parameter l kung saan ang sistema ay may mga hindi kapansin-pansing solusyon, at hanapin ang mga solusyong ito:

Solusyon. Ang sistemang ito ay magkakaroon ng isang non-trivial na solusyon kapag ang determinant ng pangunahing matrix ay katumbas ng zero:

Kaya, ang sistema ay hindi mahalaga kapag l=3 o l=2. Para sa l=3, ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay 1. Pagkatapos, iiwan lamang ang isang equation at ipagpalagay na y=a At z=b, nakukuha namin x=b-a, ibig sabihin.

Para sa l=2, ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay 2. Pagkatapos, ang pagpili ng menor bilang batayan:

nakakakuha tayo ng pinasimpleng sistema

Mula dito makikita natin iyan x=z/4, y=z/2. Naniniwala z=4a, nakukuha namin

Ang hanay ng lahat ng mga solusyon ng isang homogenous na sistema ay may napakahalaga linear na ari-arian : kung ang mga hanay X 1 at X 2 - mga solusyon sa isang homogenous na sistema AX = 0, pagkatapos ay anumang linear na kumbinasyon ng mga ito a X 1 + b X 2 magiging solusyon din sa sistemang ito. Sa katunayan, mula noong AX 1 = 0 At AX 2 = 0 , Iyon A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Dahil sa katangiang ito na kung ang isang linear system ay may higit sa isang solusyon, magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga solusyong ito.

Mga linearly independent na column E 1 , E 2 , Ek, na mga solusyon ng isang homogenous na sistema, ay tinatawag pangunahing sistema ng mga solusyon homogenous na sistema ng mga linear equation kung ang pangkalahatang solusyon ng sistemang ito ay maaaring isulat bilang isang linear na kumbinasyon ng mga column na ito:

Kung ang isang homogenous na sistema ay may n mga variable, at ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay katumbas ng r, Iyon k = n-r.

Halimbawa 5.7. Hanapin ang pangunahing sistema ng mga solusyon sa sumusunod na sistema ng mga linear equation:

Solusyon. Hanapin natin ang ranggo ng pangunahing matrix ng system:

Kaya, ang hanay ng mga solusyon sa sistemang ito ng mga equation ay bumubuo ng isang linear na subspace ng dimensyon n-r= 5 - 2 = 3. Piliin natin ang menor de edad bilang batayan

.

Pagkatapos, iiwan lamang ang mga pangunahing equation (ang natitira ay magiging isang linear na kumbinasyon ng mga equation na ito) at ang mga pangunahing variable (ginagalaw namin ang natitira, ang tinatawag na mga libreng variable sa kanan), nakakakuha kami ng isang pinasimple na sistema ng mga equation:

Naniniwala x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, nahanap namin

, .

Naniniwala a= 1, b = c= 0, nakuha namin ang unang pangunahing solusyon; naniniwala b= 1, a = c= 0, nakuha namin ang pangalawang pangunahing solusyon; naniniwala c= 1, a = b= 0, nakukuha namin ang ikatlong pangunahing solusyon. Bilang resulta, ang normal na pangunahing sistema ng mga solusyon ay magkakaroon ng anyo

Gamit ang pangunahing sistema, ang pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na sistema ay maaaring isulat bilang

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

Tandaan natin ang ilang mga katangian ng mga solusyon sa isang hindi magkakatulad na sistema ng mga linear na equation AX=B at ang kanilang kaugnayan sa kaukulang homogenous na sistema ng mga equation AX = 0.

Pangkalahatang solusyon ng isang heterogenous systemay katumbas ng kabuuan ng pangkalahatang solusyon ng kaukulang homogenous na sistema AX = 0 at isang arbitrary na partikular na solusyon ng hindi homogenous na sistema. Sa katunayan, hayaan Y 0 ay isang di-makatwirang partikular na solusyon ng isang hindi magkakatulad na sistema, i.e. AY 0 = B, At Y- pangkalahatang solusyon ng isang heterogenous system, i.e. AY=B. Ang pagbabawas ng isang pagkakapantay-pantay mula sa isa, nakukuha natin
A(Y-Y 0) = 0, ibig sabihin. Y-Y Ang 0 ay ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang homogenous system AX=0. Kaya naman, Y-Y 0 = X, o Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Hayaang ang inhomogeneous system ay may anyo na AX = B 1 + B 2 . Kung gayon ang pangkalahatang solusyon ng naturang sistema ay maaaring isulat bilang X = X 1 + X 2 , kung saan si AX 1 = B 1 at AX 2 = B 2. Ang pag-aari na ito ay nagpapahayag ng pangkalahatang pag-aari ng alinman mga linear na sistema(algebraic, differential, functional, atbp.). Sa physics tinatawag ang property na ito prinsipyo ng superposisyon, sa electrical at radio engineering - prinsipyo ng superposisyon. Halimbawa, sa teorya ng linear mga de-koryenteng circuit ang kasalukuyang sa anumang circuit ay maaaring makuha bilang algebraic sum mga agos na dulot ng bawat pinagmumulan ng enerhiya nang hiwalay.

Sa paaralan, ang bawat isa sa atin ay nag-aral ng mga equation at, malamang, mga sistema ng mga equation. Ngunit hindi alam ng maraming tao na may ilang mga paraan upang malutas ang mga ito. Ngayon ay susuriin natin nang detalyado ang lahat ng mga pamamaraan para sa paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation na binubuo ng higit sa dalawang pagkakapantay-pantay.

Kwento

Ngayon ay kilala na ang sining ng paglutas ng mga equation at ang kanilang mga sistema ay nagmula sa Sinaunang Babylon at Egypt. Gayunpaman, ang mga pagkakapantay-pantay sa kanilang pamilyar na anyo ay lumitaw pagkatapos ng paglitaw ng pantay na tanda na "=", na ipinakilala noong 1556 ng English mathematician Record. Sa pamamagitan ng paraan, ang sign na ito ay pinili para sa isang kadahilanan: nangangahulugan ito ng dalawang magkatulad na pantay na mga segment. At totoo naman pinakamahusay na halimbawa hindi maiimbento ang pagkakapantay-pantay.

Ang nagtatag ng modernong mga pagtatalaga ng titik para sa mga hindi alam at mga senyales ng mga degree ay isang Pranses na matematiko Gayunpaman, ang kanyang mga pagtatalaga ay makabuluhang naiiba mula sa mga ngayon. Halimbawa, tinukoy niya ang isang parisukat ng isang hindi kilalang numero na may titik Q (lat. "quadratus"), at isang kubo na may titik C (lat. "cubus"). Ang notasyong ito ay tila awkward ngayon, ngunit sa panahong iyon ito ang pinaka-maiintindihan na paraan upang magsulat ng mga sistema ng linear algebraic equation.

Gayunpaman, ang isang kapintasan sa mga pamamaraan ng solusyon noong panahong iyon ay ang mga mathematician ay isinasaalang-alang lamang ang mga positibong ugat. Marahil ito ay dahil sa katotohanan na mga negatibong halaga ay wala praktikal na aplikasyon. Sa isang paraan o iba pa, ang mga Italian mathematician na sina Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano at Raphael Bombelli ang unang nagbilang ng mga negatibong ugat noong ika-16 na siglo. A modernong hitsura, ang pangunahing paraan ng solusyon (sa pamamagitan ng discriminant) ay nilikha lamang noong ika-17 siglo salamat sa gawain nina Descartes at Newton.

Noong kalagitnaan ng ika-18 siglo, natagpuan ng Swiss mathematician na si Gabriel Cramer bagong paraan upang gawing mas madali ang paglutas ng mga sistema ng mga linear equation. Ang pamamaraang ito ay pinangalanan pagkatapos niya at ginagamit pa rin namin ito hanggang ngayon. Ngunit pag-uusapan natin ang pamamaraan ng Cramer sa ibang pagkakataon, ngunit sa ngayon ay talakayin natin ang mga linear na equation at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito nang hiwalay sa system.

Mga linear na equation

Ang mga linear na equation ay ang pinakasimpleng equation na may variable (mga variable). Ang mga ito ay inuri bilang algebraic. nakasulat sa pangkalahatang anyo tulad ng sumusunod: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Kakailanganin nating katawanin ang mga ito sa form na ito kapag nag-compile ng mga system at matrice sa ibang pagkakataon.

Mga sistema ng linear algebraic equation

Ang kahulugan ng terminong ito ay: ito ay isang hanay ng mga equation na may karaniwang hindi kilalang dami at isang karaniwang solusyon. Bilang isang patakaran, sa paaralan ang lahat ay nalutas ang mga sistema na may dalawa o kahit tatlong equation. Ngunit may mga system na may apat o higit pang mga bahagi. Unawain muna natin kung paano isulat ang mga ito upang maging maginhawang malutas sa hinaharap. Una, ang mga sistema ng linear algebraic equation ay magiging mas maganda kung ang lahat ng mga variable ay isusulat bilang x na may naaangkop na subscript: 1,2,3, at iba pa. Pangalawa, ang lahat ng equation ay dapat dalhin sa canonical form: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.

Matapos ang lahat ng mga hakbang na ito, maaari nating simulan ang pag-usapan kung paano maghanap ng mga solusyon sa mga sistema ng mga linear na equation. Ang mga matrice ay magiging lubhang kapaki-pakinabang para dito.

Mga matrice

Ang isang matrix ay isang talahanayan na binubuo ng mga hilera at haligi, at sa kanilang intersection ay ang mga elemento nito. Ang mga ito ay maaaring maging partikular na mga halaga o mga variable. Kadalasan, upang ipahiwatig ang mga elemento, ang mga subscript ay inilalagay sa ilalim ng mga ito (halimbawa, isang 11 o isang 23). Ang unang index ay nangangahulugan ng row number, at ang pangalawa - ang column number. Maaaring isagawa ang iba't ibang mga operasyon sa mga matrice, tulad ng anumang iba pang elemento ng matematika. Kaya, maaari mong:

2) I-multiply ang isang matrix sa anumang numero o vector.

3) Transpose: gawing mga column ang mga matrix row, at mga column sa mga row.

4) I-multiply ang mga matrice kung ang bilang ng mga row ng isa sa mga ito ay katumbas ng bilang ng mga column ng isa pa.

Talakayin natin ang lahat ng mga diskarteng ito nang mas detalyado, dahil magiging kapaki-pakinabang ang mga ito sa atin sa hinaharap. Ang pagbabawas at pagdaragdag ng mga matrice ay napakasimple. Dahil kumukuha kami ng mga matrice na may parehong laki, ang bawat elemento ng isang talahanayan ay nauugnay sa bawat elemento ng isa pa. Kaya, idinaragdag namin (ibawas) ang dalawang elementong ito (mahalaga na sila ay nakatayo sa parehong mga lugar sa kanilang mga matrice). Kapag nagpaparami ng matrix sa isang numero o vector, i-multiply mo lang ang bawat elemento ng matrix sa numerong iyon (o vector). Ang transposisyon ay isang napaka-kagiliw-giliw na proseso. Nakakatuwang makita siya minsan totoong buhay, halimbawa, kapag binabago ang oryentasyon ng isang tablet o telepono. Ang mga icon sa desktop ay kumakatawan sa isang matrix, at kapag nagbago ang posisyon, ito ay lumilipat at nagiging mas malawak, ngunit bumababa sa taas.

Tingnan natin ang isa pang proseso tulad ng: Bagama't hindi natin ito kakailanganin, magiging kapaki-pakinabang pa rin na malaman ito. Maaari mo lamang i-multiply ang dalawang matrice kung ang bilang ng mga column sa isang table ay katumbas ng bilang ng mga row sa kabilang table. Ngayon kunin natin ang mga elemento ng isang hilera ng isang matrix at ang mga elemento ng kaukulang column ng isa pa. I-multiply natin ang mga ito sa isa't isa at pagkatapos ay idagdag ang mga ito (iyon ay, halimbawa, ang produkto ng mga elemento a 11 at a 12 sa b 12 at b 22 ay magiging katumbas ng: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Kaya, ang isang elemento ng talahanayan ay nakuha, at ito ay napuno sa karagdagang gamit ang isang katulad na paraan.

Ngayon ay maaari nating simulan na isaalang-alang kung paano nalulutas ang isang sistema ng mga linear na equation.

Pamamaraan ng Gauss

Ang paksang ito ay nagsisimulang talakayin sa paaralan. Alam namin ang konsepto ng "isang sistema ng dalawang linear equation" at alam namin kung paano lutasin ang mga ito. Ngunit paano kung ang bilang ng mga equation ay higit sa dalawa? Makakatulong ito sa atin

Siyempre, maginhawang gamitin ang pamamaraang ito kung gagawa ka ng matrix sa labas ng system. Ngunit hindi mo kailangang baguhin ito at lutasin ito sa dalisay nitong anyo.

Kaya, paano malulutas ng pamamaraang ito ang sistema ng mga linear na Gaussian equation? Sa pamamagitan ng paraan, kahit na ang pamamaraang ito ay ipinangalan sa kanya, natuklasan ito noong sinaunang panahon. Iminumungkahi ni Gauss ang mga sumusunod: upang magsagawa ng mga operasyon na may mga equation upang tuluyang bawasan ang buong set sa isang stepwise na anyo. Iyon ay, ito ay kinakailangan na mula sa itaas hanggang sa ibaba (kung inayos nang tama) mula sa unang equation hanggang sa huling hindi kilalang bumababa. Sa madaling salita, kailangan nating tiyakin na nakukuha natin, sabihin nating, tatlong equation: sa una ay may tatlong hindi alam, sa pangalawa ay dalawa, sa pangatlo ay may isa. Pagkatapos, mula sa huling equation ay makikita natin ang unang hindi alam, palitan ang halaga nito sa pangalawa o unang equation, at pagkatapos ay hanapin ang natitirang dalawang variable.

Paraan ng Cramer

Upang makabisado ang pamamaraang ito, mahalaga na magkaroon ng mga kasanayan sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga matrice, at kailangan mo ring makahanap ng mga determinant. Samakatuwid, kung gagawin mo ang lahat ng ito nang hindi maganda o hindi mo alam kung paano, kailangan mong matuto at magsanay.

Ano ang kakanyahan ng pamamaraang ito, at kung paano ito gagawin upang makuha ang isang sistema ng mga linear na Cramer equation? Ito ay napaka-simple. Dapat tayong bumuo ng isang matrix ng numerical (halos palagi) na mga coefficient ng isang sistema ng linear algebraic equation. Upang gawin ito, kukunin lang namin ang mga numero sa harap ng mga hindi alam at ayusin ang mga ito sa isang talahanayan sa pagkakasunud-sunod kung saan nakasulat ang mga ito sa system. Kung mayroong isang "-" sign sa harap ng numero, pagkatapos ay isulat namin ang isang negatibong koepisyent. Kaya, pinagsama-sama namin ang unang matrix ng mga coefficient para sa mga hindi alam, hindi kasama ang mga numero pagkatapos ng pantay na mga palatandaan (natural, ang equation ay dapat na bawasan sa canonical form, kapag ang numero lamang ang nasa kanan, at ang lahat ng hindi alam na may mga coefficient ay nasa kaliwa). Pagkatapos ay kailangan mong lumikha ng higit pang mga matrice - isa para sa bawat variable. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang bawat column ng mga coefficient sa unang matrix sa turn ng isang column ng mga numero pagkatapos ng equal sign. Kaya, nakakakuha kami ng ilang mga matrice at pagkatapos ay hanapin ang kanilang mga determinant.

Pagkatapos naming mahanap ang mga determinant, ito ay isang maliit na bagay. Mayroon kaming paunang matrix, at mayroong ilang mga resultang matrice na tumutugma sa iba't ibang mga variable. Upang makakuha ng mga solusyon sa system, hinahati namin ang determinant ng resultang talahanayan sa determinant ng unang talahanayan. Ang resultang numero ay ang halaga ng isa sa mga variable. Katulad nito, nahanap namin ang lahat ng hindi alam.

Iba pang mga pamamaraan

Mayroong ilang iba pang mga pamamaraan para sa pagkuha ng mga solusyon sa mga sistema ng mga linear na equation. Halimbawa, ang tinatawag na Gauss-Jordan method, na ginagamit upang makahanap ng mga solusyon sa system quadratic equation at nauugnay din sa paggamit ng mga matrice. Mayroon ding pamamaraang Jacobi para sa paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation. Ito ang pinakamadaling iakma sa isang computer at ginagamit sa pag-compute.

Mga kumplikadong kaso

Karaniwang nangyayari ang pagiging kumplikado kapag ang bilang ng mga equation ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga variable. Pagkatapos ay masasabi nating sigurado na ang sistema ay hindi pare-pareho (iyon ay, walang mga ugat), o ang bilang ng mga solusyon nito ay may posibilidad na infinity. Kung mayroon tayong pangalawang kaso, kailangan nating isulat ang pangkalahatang solusyon ng sistema ng mga linear na equation. Maglalaman ito ng hindi bababa sa isang variable.

Konklusyon

Dito na tayo sa dulo. Ibuod natin: nalaman natin kung ano ang isang sistema at isang matrix, at natutunan nating maghanap ng pangkalahatang solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation. Bilang karagdagan, isinasaalang-alang namin ang iba pang mga pagpipilian. Nalaman namin kung paano lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation: ang Gauss method at pinag-usapan mahirap na mga kaso at iba pang mga paraan upang makahanap ng mga solusyon.

Sa katunayan, ang paksang ito ay mas malawak, at kung nais mong maunawaan ito nang mas mabuti, inirerekomenda namin ang pagbabasa ng mas espesyal na literatura.

Hayaan M 0 – set ng mga solusyon sa homogenous system (4) ng mga linear equation.

Kahulugan 6.12. Mga vector Sa 1 ,Sa 2 , …, may p, na mga solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ay tinatawag pangunahing hanay ng mga solusyon(pinaikling FNR), kung

1) mga vector Sa 1 ,Sa 2 , …, may p linearly independent (ibig sabihin, wala sa kanila ang maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng iba);

2) anumang iba pang solusyon sa isang homogenous na sistema ng mga linear equation ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga solusyon Sa 1 ,Sa 2 , …, may p.

Tandaan na kung Sa 1 ,Sa 2 , …, may p– anumang f.n.r., pagkatapos ay ang expression k 1× Sa 1 + k 2× Sa 2 + … + k p× may p maaari mong ilarawan ang buong set M 0 solusyon sa system (4), kaya ito ay tinatawag na pangkalahatang pagtingin sa solusyon ng system (4).

Teorama 6.6. Ang anumang hindi tiyak na homogenous na sistema ng mga linear na equation ay may pangunahing hanay ng mga solusyon.

Ang paraan upang mahanap ang pangunahing hanay ng mga solusyon ay ang mga sumusunod:

Maghanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang homogenous na sistema ng mga linear equation;

Build ( n – r) bahagyang mga solusyon ng sistemang ito, habang ang mga halaga ng mga libreng hindi alam ay dapat bumuo ng isang identity matrix;

Isulat pangkalahatang pananaw mga solusyon na kasama sa M 0 .

Halimbawa 6.5. Maghanap ng pangunahing hanay ng mga solusyon sa sumusunod na sistema:

Solusyon. Maghanap tayo ng pangkalahatang solusyon sa sistemang ito.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Mayroong limang hindi alam sa sistemang ito ( n= 5), kung saan mayroong dalawang pangunahing hindi alam ( r= 2), mayroong tatlong libreng hindi alam ( n – r), iyon ay, ang pangunahing hanay ng solusyon ay naglalaman ng tatlong mga vector ng solusyon. Buuin natin sila. meron tayo x 1 at x 3 - pangunahing hindi alam, x 2 , x 4 , x 5 – libreng hindi alam

Mga halaga ng mga libreng hindi alam x 2 , x 4 , x 5 bumuo ng identity matrix E ikatlong order. Nakuha na ang mga vectors Sa 1 ,Sa 2 , Sa 3 anyo f.n.r. ng sistemang ito. Kung gayon ang hanay ng mga solusyon ng homogenous system na ito ay magiging M 0 = {k 1× Sa 1 + k 2× Sa 2 + k 3× Sa 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Alamin natin ngayon ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng mga nonzero na solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear na equation, sa madaling salita, ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng isang pangunahing hanay ng mga solusyon.

Ang isang homogenous na sistema ng mga linear equation ay may mga non-zero na solusyon, ibig sabihin, hindi tiyak kung

1) ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam;

2) sa isang homogenous na sistema ng mga linear na equation, ang bilang ng mga equation ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam;

3) kung sa isang homogenous na sistema ng mga linear na equation ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam, at ang determinant ng pangunahing matrix ay katumbas ng zero (i.e. | A| = 0).

Halimbawa 6.6. Sa anong halaga ng parameter a homogenous na sistema ng mga linear na equation may mga non-zero na solusyon?

Solusyon. Buuin natin ang pangunahing matrix ng sistemang ito at hanapin ang determinant nito: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Ang determinant ng matrix na ito ay katumbas ng zero sa a = –4.

Sagot: –4.

7. Arithmetic n-dimensional na espasyo ng vector

Pangunahing Konsepto

SA mga nakaraang seksyon Nakatagpo na tayo ng konsepto ng isang hanay ng mga totoong numero na nakaayos sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Ito ay isang row matrix (o column matrix) at isang solusyon sa isang sistema ng mga linear equation na may n hindi kilala. Maaaring ibuod ang impormasyong ito.

Kahulugan 7.1. n-dimensional na arithmetic vector tinatawag na isang ordered set ng n tunay na mga numero.

ibig sabihin A= (a 1 , a 2 , …, a n), kung saan a iО R, i = 1, 2, …, n– pangkalahatang view ng vector. Numero n tinawag sukat mga vector, at mga numero a i ay tinatawag na kanya mga coordinate.

Halimbawa: A= (1, –8, 7, 4, ) – limang-dimensional na vector.

All set n-dimensional vectors ay karaniwang denoted bilang Rn.

Kahulugan 7.2. Dalawang vector A= (a 1 , a 2 , …, a n) At b= (b 1 , b 2 , …, b n) ng parehong dimensyon pantay kung at kung magkapantay lamang ang kanilang mga katumbas na coordinate, i.e. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Kahulugan 7.3.Halaga dalawa n-dimensional na mga vector A= (a 1 , a 2 , …, a n) At b= (b 1 , b 2 , …, b n) ay tinatawag na vector a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).

Kahulugan 7.4. Ang trabaho tunay na numero k sa vector A= (a 1 , a 2 , …, a n) ay tinatawag na vector k× A = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a n)

Kahulugan 7.5. Vector O= (0, 0, …, 0) ay tinatawag sero(o null vector).

Madaling i-verify na ang mga aksyon (operasyon) ng pagdaragdag ng mga vector at pagpaparami ng mga ito sa isang tunay na numero ay may mga sumusunod na katangian: " a, b, c Î Rn, " k, lО R:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + O = a;

4) a+ (–a) = O;

5) 1× a = a, 1 О R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Kahulugan 7.6. marami Rn sa mga operasyon ng pagdaragdag ng mga vectors at pagpaparami ng mga ito sa isang tunay na numero na ibinigay dito ay tinatawag arithmetic n-dimensional na vector space.

Layunin ng serbisyo. Ang online na calculator ay idinisenyo upang makahanap ng isang hindi mahalaga at pangunahing solusyon sa SLAE. Ang resultang solusyon ay nai-save sa isang Word file (tingnan ang halimbawang solusyon).

Mga tagubilin. Pumili ng dimensyon ng matrix:

Mga katangian ng mga sistema ng mga linear homogenous na equation

Teorama. Ang isang sistema sa kaso m=n ay may isang hindi mahalaga na solusyon kung at kung ang determinant ng sistemang ito ay katumbas ng zero.

Teorama. Ang anumang linear na kumbinasyon ng mga solusyon sa isang system ay isa ring solusyon sa system na iyon.
Kahulugan. Ang hanay ng mga solusyon sa isang sistema ng mga linear homogenous na equation ay tinatawag pangunahing sistema ng mga solusyon, kung ang set na ito ay binubuo ng mga linearly independent na solusyon at anumang solusyon sa system ay isang linear na kumbinasyon ng mga solusyong ito.

Teorama. Kung ang ranggo r ng system matrix ay mas mababa sa bilang n ng mga hindi alam, kung gayon mayroong isang pangunahing sistema ng mga solusyon na binubuo ng (n-r) na mga solusyon.

Algorithm para sa paglutas ng mga sistema ng linear homogenous equation

1. Paghahanap ng ranggo ng matrix.
2. Pinipili namin ang pangunahing menor de edad. Tinutukoy namin ang dependent (basic) at libreng mga hindi alam.
3. Tinatanggal namin ang mga equation ng system na ang mga coefficient ay hindi kasama sa batayang minor, dahil ang mga ito ay mga kahihinatnan ng iba (ayon sa theorem sa batayang minor).
4. Inilipat namin ang mga tuntunin ng mga equation na naglalaman ng mga libreng hindi alam sa kanang bahagi. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga r equation na may r hindi alam, katumbas ng ibinigay, ang determinant nito ay nonzero.
5. Nire-solve namin ang resultang system sa pamamagitan ng pag-aalis ng mga hindi alam. Nakahanap kami ng mga relasyon na nagpapahayag ng mga dependent variable sa pamamagitan ng mga libre.
6. Kung ang ranggo ng matrix ay hindi katumbas ng bilang ng mga variable, makikita natin ang pangunahing solusyon ng system.
7. Sa kaso rang = n mayroon kaming isang maliit na solusyon.

Halimbawa. Hanapin ang batayan ng sistema ng mga vectors (a 1, a 2,...,a m), ranggo at ipahayag ang mga vectors batay sa base. Kung ang isang 1 =(0,0,1,-1), at 2 =(1,1,2,0), at 3 =(1,1,1,1), at 4 =(3,2,1 ,4), at 5 =(2,1,0,3).
Isulat natin ang pangunahing matrix ng system: