Ang kabuuan ng n bilang ng isang pag-unlad ng arithmetic. Arithmetic progression – pagkakasunud-sunod ng numero

Kapag nag-aaral ng algebra sa isang sekondaryang paaralan (ika-9 na baitang), ang isa sa mga mahalagang paksa ay ang pag-aaral ng mga pagkakasunud-sunod ng numero, na kinabibilangan ng mga pag-unlad - geometric at arithmetic. Sa artikulong ito titingnan natin ang isang pag-unlad ng aritmetika at mga halimbawa na may mga solusyon.

Ano ang isang pag-unlad ng arithmetic?

Upang maunawaan ito, kinakailangang tukuyin ang pag-unlad na pinag-uusapan, gayundin ang pagbibigay ng mga pangunahing pormula na gagamitin sa paglutas ng mga problema.

Ang aritmetika o ay isang hanay ng mga nakaayos na rational na numero, na ang bawat miyembro ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng ilang pare-parehong halaga. Ang halagang ito ay tinatawag na pagkakaiba. Iyon ay, alam mo ang sinumang miyembro ng isang nakaayos na serye ng mga numero at ang pagkakaiba, maaari mong ibalik ang buong pag-unlad ng aritmetika.

Magbigay tayo ng halimbawa. Ang sumusunod na pagkakasunud-sunod ng mga numero ay isang arithmetic progression: 4, 8, 12, 16, ..., dahil ang pagkakaiba sa kasong ito ay 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ngunit ang hanay ng mga numero 3, 5, 8, 12, 17 ay hindi na maiuugnay sa uri ng pag-unlad na isinasaalang-alang, dahil ang pagkakaiba para dito ay hindi isang pare-parehong halaga (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Mahahalagang Formula

Ilahad natin ngayon ang mga pangunahing pormula na kakailanganin upang malutas ang mga problema gamit ang pag-unlad ng aritmetika. Tukuyin natin sa pamamagitan ng simbolong a n nth term sequences, kung saan ang n ay isang integer. Tinutukoy natin ang pagkakaiba sa pamamagitan ng letrang Latin na d. Pagkatapos ang mga sumusunod na expression ay wasto:

Upang matukoy ang halaga ng nth term, ang sumusunod na formula ay angkop: a n = (n-1)*d+a 1 .
Upang matukoy ang kabuuan ng unang n termino: S n = (a n +a 1)*n/2.

Upang maunawaan ang anumang mga halimbawa ng pag-unlad ng aritmetika na may mga solusyon sa ika-9 na baitang, sapat na tandaan ang dalawang formula na ito, dahil ang anumang mga problema ng uri na isinasaalang-alang ay batay sa kanilang paggamit. Dapat mo ring tandaan na ang pagkakaiba ng pag-unlad ay tinutukoy ng formula: d = a n - a n-1.

Halimbawa #1: paghahanap ng hindi kilalang termino

Magbigay tayo ng isang simpleng halimbawa ng isang pag-unlad ng aritmetika at ang mga formula na kailangang gamitin upang malutas ito.

Hayaang ibigay ang sequence 10, 8, 6, 4, ..., kailangan mong hanapin ang limang termino dito.

Mula sa mga kondisyon ng problema ay sumusunod na ang unang 4 na termino ay kilala. Ang ikalima ay maaaring tukuyin sa dalawang paraan:

Kalkulahin muna natin ang pagkakaiba. Mayroon kaming: d = 8 - 10 = -2. Sa katulad na paraan, maaari mong kunin ang sinumang dalawang miyembro na nakatayo sa tabi ng isa't isa. Halimbawa, d = 4 - 6 = -2. Dahil alam na d = a n - a n-1, kung gayon d = a 5 - a 4, kung saan nakukuha natin ang: a 5 = a 4 + d. Pinapalitan namin ang mga kilalang halaga: a 5 = 4 + (-2) = 2.
Ang pangalawang pamamaraan ay nangangailangan din ng kaalaman sa pagkakaiba ng pag-usad na pinag-uusapan, kaya kailangan mo munang tukuyin ito tulad ng ipinapakita sa itaas (d = -2). Alam na ang unang termino a 1 = 10, ginagamit namin ang formula para sa n bilang ng sequence. Mayroon kaming: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Ang pagpapalit ng n = 5 sa huling expression, makukuha natin ang: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Tulad ng nakikita mo, ang parehong mga solusyon ay humantong sa parehong resulta. Tandaan na sa halimbawang ito ang pagkakaiba sa pag-unlad d ay isang negatibong halaga. Ang ganitong mga pagkakasunud-sunod ay tinatawag na pagbaba, dahil ang bawat susunod na termino ay mas mababa kaysa sa nauna.

Halimbawa #2: pagkakaiba sa pag-unlad

Ngayon pasimplehin natin nang kaunti ang gawain, magbigay ng isang halimbawa kung paano hanapin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika.

Ito ay kilala na sa ilang algebraic progression ang 1st term ay katumbas ng 6, at ang 7th term ay katumbas ng 18. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba at ibalik ang sequence na ito sa 7th term.

Gamitin natin ang formula upang matukoy ang hindi kilalang termino: a n = (n - 1) * d + a 1 . Palitan natin ang kilalang data mula sa kundisyon dito, iyon ay, ang mga numero a 1 at 7, mayroon tayo: 18 = 6 + 6 * d. Mula sa expression na ito madali mong makalkula ang pagkakaiba: d = (18 - 6) /6 = 2. Kaya, nasagot namin ang unang bahagi ng problema.

Upang maibalik ang pagkakasunud-sunod sa ika-7 termino, dapat mong gamitin ang kahulugan algebraic progression, ibig sabihin, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d at iba pa. Bilang resulta, ibinabalik namin ang buong sequence: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Halimbawa Blg. 3: pagbubuo ng progreso

Gawin pa natin itong kumplikado mas malakas na kondisyon mga gawain. Ngayon kailangan nating sagutin ang tanong kung paano makahanap ng pag-unlad ng aritmetika. Maaaring ibigay ang sumusunod na halimbawa: dalawang numero ang ibinibigay, halimbawa - 4 at 5. Kinakailangang lumikha ng algebraic progression upang tatlo pang termino ang mailagay sa pagitan ng mga ito.

Bago mo simulan ang paglutas ng problemang ito, kailangan mong maunawaan kung anong lugar ang sasakupin ng mga ibinigay na numero sa pag-unlad sa hinaharap. Dahil magkakaroon ng tatlong higit pang mga termino sa pagitan nila, pagkatapos ay isang 1 = -4 at isang 5 = 5. Kapag naitatag ito, nagpapatuloy tayo sa problema, na katulad ng nauna. Muli, para sa nth term na ginagamit namin ang formula, nakukuha namin ang: a 5 = a 1 + 4 * d. Mula sa: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. Ang nakuha namin dito ay hindi isang integer na halaga ng pagkakaiba, ngunit ito ay isang rational na numero, kaya ang mga formula para sa algebraic progression ay nananatiling pareho.

Ngayon, idagdag natin ang nakitang pagkakaiba sa isang 1 at ibalik ang mga nawawalang termino ng pag-unlad. Nakukuha namin ang: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, na nagtutugma sa mga kondisyon ng problema.

Halimbawa Blg. 4: unang termino ng pag-unlad

Patuloy tayong magbigay ng mga halimbawa ng pag-unlad ng aritmetika na may mga solusyon. Sa lahat ng nakaraang problema, ang unang bilang ng algebraic progression ay kilala. Ngayon isaalang-alang natin ang isang problema ng ibang uri: hayaan ang dalawang numero na ibigay, kung saan ang isang 15 = 50 at isang 43 = 37. Ito ay kinakailangan upang mahanap kung aling numero ang sequence na ito ay nagsisimula.

Ang mga formula na ginamit sa ngayon ay ipinapalagay ang kaalaman sa isang 1 at d. Sa pahayag ng problema, walang alam tungkol sa mga numerong ito. Gayunpaman, isusulat namin ang mga expression para sa bawat termino tungkol sa kung aling impormasyon ang makukuha: a 15 = a 1 + 14 * d at a 43 = a 1 + 42 * d. Nakatanggap kami ng dalawang equation kung saan mayroong 2 hindi kilalang dami (a 1 at d). Nangangahulugan ito na ang problema ay nabawasan sa paglutas ng isang sistema ng mga linear equation.

Ang pinakamadaling paraan upang malutas ang sistemang ito ay ang pagpapahayag ng 1 sa bawat equation at pagkatapos ay ihambing ang mga resultang expression. Unang equation: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; pangalawang equation: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Ang equating mga expression na ito, makakakuha tayo ng: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, kung saan ang pagkakaiba d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (3 decimal place lang ang binigay).

Alam ang d, maaari mong gamitin ang alinman sa 2 expression sa itaas para sa isang 1. Halimbawa, una: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

Kung mayroon kang mga pagdududa tungkol sa resulta na nakuha, maaari mong suriin ito, halimbawa, matukoy ang ika-43 na termino ng pag-unlad, na tinukoy sa kondisyon. Nakukuha namin ang: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Ang maliit na error ay dahil sa ang katunayan na ang rounding sa thousandths ay ginamit sa mga kalkulasyon.

Halimbawa Blg. 5: halaga

Ngayon tingnan natin ang ilang mga halimbawa na may mga solusyon para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Hayaang magbigay ng numerical progression ng sumusunod na form: 1, 2, 3, 4, ...,. Paano makalkula ang kabuuan ng 100 ng mga numerong ito?

Salamat sa pag-unlad ng teknolohiya ng computer, posible na malutas ang problemang ito, iyon ay, idagdag ang lahat ng mga numero nang sunud-sunod, na gagawin ng computer sa sandaling pinindot ng isang tao ang Enter key. Gayunpaman, ang problema ay maaaring malutas sa pag-iisip kung bibigyan mo ng pansin na ang ipinakita na serye ng mga numero ay isang algebraic progression, at ang pagkakaiba nito ay katumbas ng 1. Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan, makakakuha tayo ng: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang problemang ito ay tinatawag na "Gaussian" dahil sa simula ng ika-18 siglo ang sikat na Aleman, 10 taong gulang pa lamang, ay nagawang lutasin ito sa kanyang ulo sa loob ng ilang segundo. Hindi alam ng batang lalaki ang pormula para sa kabuuan ng isang algebraic progression, ngunit napansin niya na kung idaragdag mo ang mga numero sa dulo ng sequence sa mga pares, palagi kang makakakuha ng parehong resulta, iyon ay, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., at dahil ang mga kabuuan na ito ay magiging eksaktong 50 (100 / 2), kung gayon para makuha ang tamang sagot sapat na upang i-multiply ang 50 sa 101.

Halimbawa Blg. 6: kabuuan ng mga termino mula n hanggang m

Isa pa tipikal na halimbawa ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ang mga sumusunod: binigyan ng isang serye ng mga numero: 3, 7, 11, 15, ..., kailangan mong hanapin kung ano ang magiging katumbas ng kabuuan ng mga termino nito mula 8 hanggang 14.

Ang problema ay nalutas sa dalawang paraan. Ang una sa mga ito ay nagsasangkot ng paghahanap ng mga hindi kilalang termino mula 8 hanggang 14, at pagkatapos ay pagbubuod ng mga ito nang sunud-sunod. Dahil kakaunti ang mga termino, ang pamamaraang ito ay hindi masyadong labor-intensive. Gayunpaman, iminungkahi na lutasin ang problemang ito gamit ang pangalawang paraan, na mas pangkalahatan.

Ang ideya ay upang makakuha ng isang formula para sa kabuuan ng algebraic progression sa pagitan ng mga terminong m at n, kung saan ang n > m ay mga integer. Para sa parehong mga kaso, sumulat kami ng dalawang expression para sa kabuuan:

S m = m * (a m + a 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

Dahil n > m, halatang kasama sa 2nd sum ang una. Ang huling konklusyon ay nangangahulugan na kung kukunin natin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga kabuuan na ito at idagdag ang terminong a m dito (sa kaso ng pagkuha ng pagkakaiba, ito ay ibabawas mula sa kabuuan S n), makukuha natin ang kinakailangang sagot sa problema. Mayroon kaming: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + isang m * (1- m/2). Kinakailangang palitan ang mga formula para sa a n at a m sa expression na ito. Pagkatapos ay makukuha natin ang: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Ang resultang formula ay medyo mahirap, gayunpaman, ang kabuuan ng S mn ay nakasalalay lamang sa n, m, a 1 at d. Sa aming kaso, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ang pagpapalit sa mga numerong ito, makakakuha tayo ng: S mn = 301.

Tulad ng makikita mula sa mga solusyon sa itaas, ang lahat ng mga problema ay batay sa kaalaman sa expression para sa ika-n na termino at ang formula para sa kabuuan ng hanay ng mga unang termino. Bago simulan ang paglutas ng alinman sa mga problemang ito, inirerekomenda na maingat mong basahin ang kondisyon, malinaw na maunawaan kung ano ang kailangan mong hanapin, at pagkatapos ay magpatuloy sa solusyon.

Ang isa pang tip ay upang magsikap para sa pagiging simple, iyon ay, kung masasagot mo ang isang tanong nang hindi gumagamit ng kumplikadong mga kalkulasyon sa matematika, kailangan mong gawin iyon, dahil sa kasong ito ang posibilidad na magkamali ay mas mababa. Halimbawa, sa halimbawa ng isang pag-unlad ng arithmetic na may solusyon No. 6, maaaring huminto ang isa sa formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, at hatiin ang kabuuang problema sa magkakahiwalay na mga subtask (sa kasong ito, hanapin muna ang mga terminong a n at a m).

Kung mayroon kang mga pagdududa tungkol sa resulta na nakuha, inirerekumenda na suriin ito, tulad ng ginawa sa ilan sa mga halimbawang ibinigay. Nalaman namin kung paano maghanap ng pag-unlad ng aritmetika. Kung naisip mo ito, hindi ito mahirap.

Entry level

Arithmetic progression. Detalyadong teorya may mga halimbawa (2019)

Pagkakasunod-sunod ng numero

Kaya, umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:
Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring magkaroon ng marami sa mga ito hangga't gusto mo (sa aming kaso, mayroon sila). Gaano man karaming mga numero ang ating isulat, palagi nating masasabi kung alin ang una, alin ang pangalawa, at iba pa hanggang sa huli, ibig sabihin, maaari nating bilangin ang mga ito. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero:

Pagkakasunod-sunod ng numero
Halimbawa, para sa aming sequence:

Ang nakatalagang numero ay partikular sa isang numero lamang sa pagkakasunud-sunod. Sa madaling salita, walang tatlong segundong numero sa sequence. Ang pangalawang numero (tulad ng ika-numero) ay palaging pareho.
Ang numerong may numero ay tinatawag na ika-katawagan ng sequence.

Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence sa pamamagitan ng ilang titik (halimbawa,), at ang bawat miyembro ng sequence na ito ay parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito: .

Sa aming kaso:

Sabihin nating mayroon tayo pagkakasunod-sunod ng numero, kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay.
Halimbawa:

atbp.
Ang pagkakasunud-sunod ng numero na ito ay tinatawag na pag-unlad ng aritmetika.
Ang terminong "pag-unlad" ay ipinakilala ng Romanong may-akda na si Boethius noong ika-6 na siglo at naunawaan sa isang mas malawak na kahulugan bilang isang walang katapusang numerical sequence. Ang pangalan na "arithmetic" ay inilipat mula sa teorya ng tuluy-tuloy na proporsyon, na pinag-aralan ng mga sinaunang Griyego.

Ito ay isang pagkakasunod-sunod ng numero, ang bawat miyembro nito ay katumbas ng naunang idinagdag sa parehong numero. Ang bilang na ito ay tinatawag na pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika at itinalaga.

Subukang tukuyin kung aling mga pagkakasunud-sunod ng numero ang isang pag-unlad ng aritmetika at alin ang hindi:

a)
b)
c)
d)

Naintindihan mo? Ihambing natin ang ating mga sagot:
Ay pag-unlad ng aritmetika - b, c.
ay hindi pag-unlad ng aritmetika - a, d.

Bumalik tayo sa ibinigay na pag-unlad () at subukang hanapin ang halaga ng ika-termino nito. Umiiral dalawa paraan upang mahanap ito.

1. Pamamaraan

Maaari naming idagdag ang numero ng pag-unlad sa nakaraang halaga hanggang sa maabot namin ang ika-tanim na termino ng pag-unlad. Mabuti na wala tayong gaanong ibuod - tatlong value lang:

Kaya, ang ika-termino ng inilarawan na pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng.

2. Pamamaraan

Paano kung kailangan nating hanapin ang halaga ng ika-taon ng pag-unlad? Ang pagsusuma ay aabutin tayo ng higit sa isang oras, at hindi isang katotohanan na hindi tayo magkakamali kapag nagdadagdag ng mga numero.
Siyempre, ang mga mathematician ay gumawa ng isang paraan kung saan hindi kinakailangan na idagdag ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika sa nakaraang halaga. Tingnang mabuti ang iginuhit na larawan... Tiyak na napansin mo na ang isang tiyak na pattern, katulad:

Halimbawa, tingnan natin kung ano ang halaga ng ika-katawagan ng pag-unlad ng arithmetic na ito:

Sa madaling salita:

Subukang hanapin ang halaga ng isang miyembro ng isang naibigay na pag-unlad ng aritmetika sa ganitong paraan.

Nakalkula mo ba? Ihambing ang iyong mga tala sa sagot:

Pakitandaan na nakuha mo ang eksaktong parehong numero tulad ng sa nakaraang pamamaraan, nang sunud-sunod naming idinagdag ang mga tuntunin ng pag-unlad ng arithmetic sa nakaraang halaga.
Subukan nating "i-depersonalize" ang formula na ito - dalhin natin ito pangkalahatang pananaw at makuha namin:

Arithmetic progression equation.

Ang mga pag-unlad ng aritmetika ay maaaring tumaas o bumababa.

Tumataas- mga pag-unlad kung saan ang bawat kasunod na halaga ng mga termino ay mas malaki kaysa sa nauna.
Halimbawa:

Pababa- mga pag-unlad kung saan ang bawat kasunod na halaga ng mga termino ay mas mababa kaysa sa nauna.
Halimbawa:

Ang hinangong formula ay ginagamit sa pagkalkula ng mga termino sa parehong pagtaas at pagbaba ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Suriin natin ito sa pagsasanay.
Binigyan tayo ng arithmetic progression na binubuo ng mga sumusunod na numero: Suriin natin kung ano ang magiging th number ng arithmetic progression na ito kung gagamitin natin ang ating formula para kalkulahin ito:

Mula noon:

Kaya, kami ay kumbinsido na ang formula ay gumagana sa parehong pagpapababa at pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika.
Subukang hanapin ang ika at ika-ika-katawagan ng pag-unlad ng aritmetika na ito sa iyong sarili.

Ihambing natin ang mga resulta:

Arithmetic progression property

Gawin natin ang problema - makukuha natin ang ari-arian ng pag-unlad ng aritmetika.
Sabihin nating binibigyan tayo ng sumusunod na kondisyon:
- pag-unlad ng aritmetika, hanapin ang halaga.
Madali, sabihin mo at simulan ang pagbibilang ayon sa formula na alam mo na:

Hayaan, ah, kung gayon:

Talagang totoo. Ito ay lumiliko na una naming mahanap, pagkatapos ay idagdag ito sa unang numero at makuha ang aming hinahanap. Kung ang pag-unlad ay kinakatawan ng maliliit na halaga, kung gayon walang kumplikado tungkol dito, ngunit paano kung bibigyan tayo ng mga numero sa kondisyon? Sumang-ayon, may posibilidad na magkamali sa mga kalkulasyon.
Ngayon isipin kung posible bang malutas ang problemang ito sa isang hakbang gamit ang anumang formula? Siyempre oo, at iyon ang susubukan naming ilabas ngayon.

Tukuyin natin ang kinakailangang termino ng pag-unlad ng aritmetika bilang, ang pormula para sa paghahanap nito ay alam natin - ito ang parehong pormula na nakuha natin sa simula:
, Pagkatapos:

ang nakaraang termino ng pag-unlad ay:
ang susunod na termino ng pag-unlad ay:

Ibuod natin ang nakaraan at kasunod na mga tuntunin ng pag-unlad:

Lumalabas na ang kabuuan ng nakaraan at kasunod na mga termino ng pag-unlad ay ang dobleng halaga ng termino ng pag-unlad na matatagpuan sa pagitan nila. Sa madaling salita, upang mahanap ang halaga ng isang termino ng pag-unlad na may kilalang dati at sunud-sunod na mga halaga, kailangan mong idagdag ang mga ito at hatiin ayon sa.

Ayun, pareho kami ng number. I-secure natin ang materyal. Kalkulahin ang halaga para sa pag-unlad sa iyong sarili, hindi ito mahirap.

Magaling! Alam mo halos lahat tungkol sa pag-unlad! Ito ay nananatiling alamin lamang ang isang pormula, na, ayon sa alamat, ay madaling hinihinuha para sa kanyang sarili ng isa sa mga pinakadakilang mathematician sa lahat ng oras, ang "hari ng mga mathematician" - Karl Gauss...

Noong 9 na taong gulang si Carl Gauss, isang guro, na abala sa pagsuri sa gawain ng mga estudyante sa ibang mga klase, ay nagtanong ng sumusunod na problema sa klase: “Kalkulahin ang kabuuan ng lahat natural na mga numero mula sa (ayon sa iba pang mga mapagkukunan hanggang sa) kasama.” Isipin ang sorpresa ng guro nang ang isa sa kanyang mga estudyante (ito ay si Karl Gauss) makalipas ang isang minuto ay nagbigay ng tamang sagot sa gawain, habang karamihan sa mga kaklase ng pangahas, pagkatapos ng mahabang kalkulasyon, ay nakatanggap ng maling resulta...

Napansin ng batang si Carl Gauss ang isang tiyak na pattern na madali mo ring mapapansin.
Sabihin nating mayroon tayong pag-unlad ng aritmetika na binubuo ng mga -th na termino: Kailangan nating hanapin ang kabuuan ng mga terminong ito ng pag-unlad ng aritmetika. Siyempre, maaari nating manu-manong buod ang lahat ng mga halaga, ngunit paano kung ang gawain ay nangangailangan ng paghahanap ng kabuuan ng mga termino nito, tulad ng hinahanap ni Gauss?

Ilarawan natin ang pag-unlad na ibinigay sa atin. Tingnang mabuti ang mga naka-highlight na numero at subukang magsagawa ng iba't ibang mga operasyong matematika sa kanila.

Nasubukan mo na ba? Ano ang napansin mo? Tama! Ang kanilang mga kabuuan ay pantay

Ngayon sabihin sa akin, ilang mga pares ang mayroon sa kabuuan sa pag-unlad na ibinigay sa amin? Siyempre, eksaktong kalahati ng lahat ng mga numero, iyon ay.
Batay sa katotohanan na ang kabuuan ng dalawang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay pantay, at ang magkatulad na mga pares ay pantay, nakuha namin na ang kabuuang kabuuan ay katumbas ng:
.
Kaya, ang formula para sa kabuuan ng mga unang termino ng anumang pag-unlad ng arithmetic ay magiging:

Sa ilang mga problema hindi namin alam ang ika-katawagan, ngunit alam namin ang pagkakaiba ng pag-unlad. Subukang palitan ang formula ng ika-katawagan sa sum formula.
Ano ang nakuha mo?

Magaling! Ngayon bumalik tayo sa problemang itinanong kay Carl Gauss: kalkulahin sa iyong sarili kung ano ang katumbas ng kabuuan ng mga numero na nagsisimula sa ika at ang kabuuan ng mga numero na nagsisimula sa ika.

Magkano ang nakuha mo?
Nalaman ni Gauss na ang kabuuan ng mga termino ay pantay, at ang kabuuan ng mga termino. Yan ba ang napagdesisyunan mo?

Sa katunayan, ang pormula para sa kabuuan ng mga termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay napatunayan ng sinaunang siyentipikong Griyego na si Diophantus noong ika-3 siglo, at sa buong panahong ito, lubos na ginamit ng mga matalinong tao ang mga katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika.
Halimbawa, isipin ang Ancient Egypt at ang pinakamalaking construction project noong panahong iyon - ang pagtatayo ng isang pyramid... Ang larawan ay nagpapakita ng isang bahagi nito.

Nasaan ang pag-unlad dito, sabi mo? Tumingin ng mabuti at maghanap ng pattern sa bilang ng mga bloke ng buhangin sa bawat hilera ng pyramid wall.

Bakit hindi isang arithmetic progression? Kalkulahin kung gaano karaming mga bloke ang kailangan upang makabuo ng isang pader kung ang mga bloke ng brick ay inilalagay sa base. Sana hindi ka magbibilang habang ginagalaw ang iyong daliri sa monitor, naaalala mo ang huling formula at lahat ng sinabi namin tungkol sa pag-unlad ng aritmetika?

Sa kasong ito, ang pag-unlad ay ganito ang hitsura: .
Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.
Ang bilang ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Ipalit natin ang ating data sa mga huling formula (kalkulahin ang bilang ng mga bloke sa 2 paraan).

Paraan 1.

Paraan 2.

At ngayon maaari mong kalkulahin sa monitor: ihambing ang nakuha na mga halaga sa bilang ng mga bloke na nasa aming pyramid. Naintindihan mo? Magaling, pinagkadalubhasaan mo ang kabuuan ng ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Siyempre, hindi ka makakagawa ng isang pyramid mula sa mga bloke sa base, ngunit mula sa? Subukang kalkulahin kung gaano karaming mga sand brick ang kailangan upang makabuo ng pader na may ganitong kondisyon.
Nakaya mo ba?
Ang tamang sagot ay mga bloke:

Pagsasanay

Mga gawain:

Si Masha ay nasa hugis para sa tag-araw. Araw-araw dinadagdagan niya ang bilang ng mga squats. Ilang beses gagawa ng squats si Masha sa isang linggo kung nag-squats siya sa unang training session?
Ano ang kabuuan ng lahat ng mga kakaibang numero na nakapaloob sa.
Kapag nag-iimbak ng mga log, isinalansan ng mga logger ang mga ito sa paraang ang bawat tuktok na layer ay naglalaman ng isang log na mas mababa kaysa sa nauna. Ilang troso ang nasa isang masonerya, kung ang pundasyon ng masonerya ay troso?

Mga sagot:

Tukuyin natin ang mga parameter ng pag-unlad ng arithmetic. Sa kasong ito
(linggo = araw).
Sagot: Sa dalawang linggo, dapat mag-squats si Masha isang beses sa isang araw.
Una kakaibang numero, huling numero.
Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.
Ang bilang ng mga kakaibang numero sa ay kalahati, gayunpaman, suriin natin ang katotohanang ito gamit ang pormula para sa paghahanap ng ika-apat na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic:
Ang mga numero ay naglalaman ng mga kakaibang numero.
Palitan natin ang magagamit na data sa formula:
Sagot: Ang kabuuan ng lahat ng mga kakaibang numero na nakapaloob sa ay pantay.
Alalahanin natin ang problema tungkol sa mga pyramids. Para sa aming kaso, a , dahil ang bawat tuktok na layer ay nababawasan ng isang log, pagkatapos ay sa kabuuan mayroong isang bungkos ng mga layer, iyon ay.
I-substitute natin ang data sa formula:
Sagot: May mga troso sa pagmamason.

Isa-isahin natin

- isang pagkakasunud-sunod ng numero kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay. Maaari itong tumaas o bumaba.
Paghahanap ng formula Ang ika-apat na termino ng isang arithmetic progression ay isinulat ng formula - , kung saan ang bilang ng mga numero sa progression.
Pag-aari ng mga miyembro ng isang arithmetic progression- - nasaan ang bilang ng mga numerong nagpapatuloy.
Ang kabuuan ng mga tuntunin ng isang pag-unlad ng arithmetic ay matatagpuan sa dalawang paraan:

, kung saan ang bilang ng mga halaga.

ARITMETIKONG PAG-UNLAD. MIDDLE LEVEL

Pagkakasunod-sunod ng numero

Umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:

Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring magkaroon ng marami sa kanila hangga't gusto mo. Ngunit lagi nating masasabi kung alin ang una, alin ang pangalawa, at iba pa, ibig sabihin, maaari nating bilangin sila. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero.

Pagkakasunod-sunod ng numero ay isang hanay ng mga numero, ang bawat isa ay maaaring magtalaga ng isang natatanging numero.

Sa madaling salita, ang bawat numero ay maaaring iugnay sa isang tiyak na natural na numero, at isang kakaiba. At hindi namin itatalaga ang numerong ito sa anumang iba pang numero mula sa set na ito.

Ang numerong may numero ay tinatawag na ika-ka miyembro ng sequence.

Ito ay lubos na maginhawa kung ang ika-kataga ng pagkakasunud-sunod ay maaaring tukuyin ng ilang formula. Halimbawa, ang formula

nagtatakda ng pagkakasunud-sunod:

At ang formula ay ang sumusunod na pagkakasunud-sunod:

Halimbawa, ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod (ang unang termino dito ay pantay, at ang pagkakaiba ay). O (, pagkakaiba).

pormula ng ika-apat na termino

Tinatawag namin ang isang formula na paulit-ulit kung saan, upang malaman ang ika-katawagan, kailangan mong malaman ang nauna o ilang mga nauna:

Upang mahanap, halimbawa, ang ika-taon ng pag-unlad gamit ang formula na ito, kailangan nating kalkulahin ang nakaraang siyam. Halimbawa, hayaan mo. Pagkatapos:

Well, malinaw na ba ngayon kung ano ang formula?

Sa bawat linya na idinaragdag namin, na pinarami ng ilang numero. alin? Napakasimple: ito ang bilang ng kasalukuyang miyembro na binawasan:

Mas maginhawa ngayon, tama ba? Sinusuri namin:

Magpasya para sa iyong sarili:

Sa isang pag-unlad ng arithmetic, hanapin ang formula para sa ika-1 na termino at hanapin ang ika-100 termino.

Solusyon:

Ang unang termino ay pantay. Ano ang pagkakaiba? Narito kung ano:

(Ito ang dahilan kung bakit ito ay tinatawag na pagkakaiba dahil ito ay katumbas ng pagkakaiba ng sunud-sunod na mga termino ng pag-unlad).

Kaya, ang formula:

Kung gayon ang ika-daang termino ay katumbas ng:

Ano ang kabuuan ng lahat ng natural na numero mula hanggang?

Ayon sa alamat, ang mahusay na matematiko na si Carl Gauss, bilang isang 9 na taong gulang na batang lalaki, ay kinakalkula ang halagang ito sa loob ng ilang minuto. Napansin niya na ang kabuuan ng una at huling mga numero ay pantay, ang kabuuan ng pangalawa at penultimate ay pareho, ang kabuuan ng ikatlo at ika-3 mula sa dulo ay pareho, at iba pa. Ilan ang mga ganoong pares sa kabuuan? Tama, eksaktong kalahati ng bilang ng lahat ng mga numero, iyon ay. Kaya,

Ang pangkalahatang formula para sa kabuuan ng mga unang termino ng anumang pag-unlad ng arithmetic ay:

Halimbawa:
Hanapin ang kabuuan ng lahat dobleng digit na mga numero, maramihan.

Solusyon:

Ang unang ganoong numero ay ito. Ang bawat kasunod na numero ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag sa nakaraang numero. Kaya, ang mga numero na interesado kami sa pagbuo ng isang pag-unlad ng aritmetika na may unang termino at ang pagkakaiba.

Formula ng ika-taning na termino para sa pag-unlad na ito:

Ilang termino ang mayroon sa pag-unlad kung lahat sila ay kailangang dalawang-digit?

Napakadali: .

Magiging pantay ang huling termino ng pag-unlad. Pagkatapos ang kabuuan:

Sagot: .

Ngayon magpasya para sa iyong sarili:

Araw-araw ang atleta ay tumatakbo ng mas maraming metro kaysa sa nakaraang araw. Ilang kabuuang kilometro ang kanyang tatakbo sa isang linggo, kung sa unang araw ay tumakbo siya km m?
Ang isang siklista ay naglalakbay ng mas maraming kilometro araw-araw kaysa sa nakaraang araw. Sa unang araw ay naglakbay siya ng km. Ilang araw ang kailangan niyang lakbayin para maabot ang isang kilometro? Ilang kilometro ang lalakbayin niya sa huling araw ng kanyang paglalakbay?
Ang presyo ng refrigerator sa isang tindahan ay bumababa ng parehong halaga bawat taon. Tukuyin kung magkano ang presyo ng isang refrigerator na nabawasan bawat taon kung, ilagay para sa pagbebenta para sa rubles, anim na taon mamaya ito ay nabili para sa rubles.

Mga sagot:

Ang pinakamahalagang bagay dito ay kilalanin ang pag-unlad ng aritmetika at matukoy ang mga parameter nito. Sa kasong ito, (linggo = araw). Kailangan mong tukuyin ang kabuuan ng mga unang tuntunin ng pag-unlad na ito:
.
Sagot:
Dito ibinigay: , dapat matagpuan.
Malinaw, kailangan mong gumamit ng parehong sum formula tulad ng sa nakaraang problema:
.
Palitan ang mga halaga:
Ang ugat ay halatang hindi magkasya, kaya ang sagot ay.
Kalkulahin natin ang landas na nilakbay sa huling araw gamit ang formula ng ika-termino:
(km).
Sagot:
Ibinigay: . Hanapin: .
Hindi ito maaaring maging mas simple:
(kuskusin).
Sagot:

ARITMETIKONG PAG-UNLAD. MAIKLING TUNGKOL SA MGA PANGUNAHING BAGAY

Ito ay isang pagkakasunud-sunod ng numero kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring tumaas () at bumababa ().

Halimbawa:

Formula para sa paghahanap ng ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic

ay nakasulat sa pamamagitan ng formula, kung saan ay ang bilang ng mga numero sa pag-unlad.

Pag-aari ng mga miyembro ng isang arithmetic progression

Binibigyang-daan ka nitong madaling makahanap ng termino ng isang progression kung alam ang mga katabing termino nito - nasaan ang bilang ng mga numero sa progression.

Kabuuan ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic

Mayroong dalawang paraan upang mahanap ang halaga:

Nasaan ang bilang ng mga halaga.

Kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay isang simpleng bagay. Parehong sa kahulugan at sa formula. Ngunit mayroong lahat ng uri ng mga gawain sa paksang ito. Mula sa basic hanggang medyo solid.

Una, unawain natin ang kahulugan at pormula ng halaga. At pagkatapos ay magdedesisyon tayo. Para sa iyong sariling kasiyahan.) Ang kahulugan ng halaga ay kasing simple ng isang moo. Upang mahanap ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, kailangan mo lamang na maingat na idagdag ang lahat ng mga termino nito. Kung kakaunti ang mga terminong ito, maaari kang magdagdag nang walang anumang mga formula. Ngunit kung marami, o marami... nakakainis ang karagdagan.) Sa kasong ito, ang formula ay dumating sa pagsagip.

Ang formula para sa halaga ay simple:

Alamin natin kung anong uri ng mga titik ang kasama sa formula. Ito ay lilinaw ng maraming bagay.

S n - ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Resulta ng karagdagan lahat mga miyembro, kasama ang una Sa pamamagitan ng huli. Ito ay mahalaga. Eksakto silang nagdadagdag Lahat magkakasunod na miyembro, nang hindi lumalaktaw o lumalaktaw. At, tiyak, simula sa una. Sa mga problema tulad ng paghahanap ng kabuuan ng ikatlo at ikawalong termino, o ang kabuuan ng ikalima hanggang ikadalawampung termino, ang direktang paggamit ng formula ay mabibigo.)

a 1 - una miyembro ng progreso. Ang lahat ay malinaw dito, ito ay simple una numero ng hilera.

isang n- huli miyembro ng progreso. Ang huling numero ng serye. Hindi masyadong pamilyar na pangalan, ngunit kapag inilapat sa halaga, ito ay napaka-angkop. Pagkatapos ay makikita mo para sa iyong sarili.

n - numero ng huling miyembro. Mahalagang maunawaan na sa formula ang numerong ito tumutugma sa bilang ng mga idinagdag na termino.

Tukuyin natin ang konsepto huli miyembro isang n. Mapanlinlang na tanong: sinong miyembro ang magiging ang huli kung ibibigay walang katapusan pag-unlad ng aritmetika?)

Upang makasagot nang may kumpiyansa, kailangan mong maunawaan ang elementarya na kahulugan ng pag-unlad ng arithmetic at... basahin nang mabuti ang gawain!)

Sa gawain ng paghahanap ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, ang huling termino ay palaging lilitaw (direkta o hindi direkta), na dapat ay limitado. Kung hindi, isang pangwakas, tiyak na halaga wala lang. Para sa solusyon, hindi mahalaga kung ang pag-unlad ay ibinigay: may hangganan o walang katapusan. Hindi mahalaga kung paano ito ibinibigay: isang serye ng mga numero, o isang formula para sa ika-n na termino.

Ang pinakamahalagang bagay ay upang maunawaan na ang formula ay gumagana mula sa unang termino ng pag-unlad hanggang sa terminong may numero n. Sa totoo lang, ganito ang buong pangalan ng formula: ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic. Ang bilang ng mga pinakaunang miyembro na ito, i.e. n, ay tinutukoy lamang ng gawain. Sa isang gawain, ang lahat ng mahalagang impormasyong ito ay madalas na naka-encrypt, oo... Ngunit hindi bale, sa mga halimbawa sa ibaba ay ipinapakita namin ang mga lihim na ito.)

Mga halimbawa ng mga gawain sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Una sa lahat, kapaki-pakinabang na impormasyon:

Ang pangunahing kahirapan sa mga gawain na kinasasangkutan ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay nakasalalay sa tamang pagpapasiya ng mga elemento ng formula.

Ini-encrypt ng mga manunulat ng gawain ang mismong mga elementong ito na may walang hangganang imahinasyon.) Ang pangunahing bagay dito ay huwag matakot. Ang pag-unawa sa kakanyahan ng mga elemento, sapat na upang maunawaan lamang ang mga ito. Tingnan natin ang ilang mga halimbawa nang detalyado. Magsimula tayo sa isang gawain batay sa isang tunay na GIA.

1. Ang arithmetic progression ay ibinibigay ng kondisyon: a n = 2n-3.5. Hanapin ang kabuuan ng unang 10 termino nito.

Magandang trabaho. Madali.) Upang matukoy ang halaga gamit ang formula, ano ang kailangan nating malaman? Unang miyembro a 1, huling termino isang n, oo ang numero ng huling miyembro n.

Saan ko makukuha ang numero ng huling miyembro? n? Oo, doon, sa kondisyon! Sinasabi nito: hanapin ang kabuuan unang 10 miyembro. Well, anong numero ang isasama nito? huling, ikasampung miyembro?) Hindi ka maniniwala, ang kanyang numero ay ikasampu!) Samakatuwid, sa halip na isang n Papalitan namin sa formula isang 10, at sa halip n- sampu. Uulitin ko, ang bilang ng huling miyembro ay kasabay ng bilang ng mga miyembro.

Ito ay nananatiling upang matukoy a 1 At isang 10. Ito ay madaling kalkulahin gamit ang formula para sa ika-n na termino, na ibinigay sa pahayag ng problema. Hindi mo alam kung paano gawin ito? Dumalo sa nakaraang aralin, kung wala ito ay walang paraan.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

isang 10=2·10 - 3.5 =16.5

S n = S 10.

Nalaman namin ang kahulugan ng lahat ng elemento ng formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic. Ang natitira na lang ay palitan ang mga ito at bilangin:

yun lang. Sagot: 75.

Isa pang gawain batay sa GIA. Medyo mas kumplikado:

2. Dahil sa pag-unlad ng aritmetika (a n), ang pagkakaiba nito ay 3.7; a 1 =2.3. Hanapin ang kabuuan ng unang 15 termino nito.

Agad naming isinulat ang sum formula:

Ang formula na ito ay nagpapahintulot sa amin na mahanap ang halaga ng anumang termino sa pamamagitan ng numero nito. Naghahanap kami ng isang simpleng pagpapalit:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

Ang natitira na lang ay palitan ang lahat ng elemento sa formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic at kalkulahin ang sagot:

Sagot: 423.

Sa pamamagitan ng paraan, kung sa sum formula sa halip ng isang n Pinapalitan lang namin ang formula para sa ika-n na termino at makuha ang:

Ipakita natin ang mga katulad at kumuha ng bagong formula para sa kabuuan ng mga termino ng isang pag-unlad ng aritmetika:

Gaya ng nakikita mo, hindi kailangan ang nth term dito isang n. Sa ilang problema, malaki ang naitutulong ng formula na ito, oo... Maaalala mo ang formula na ito. O maaari mo lang itong ipakita sa tamang oras, tulad dito. Pagkatapos ng lahat, kailangan mong laging tandaan ang formula para sa kabuuan at ang formula para sa ika-n na termino.)

Ngayon ang gawain sa anyo ng isang maikling pag-encrypt):

3. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng positibong dalawang-digit na numero na mga multiple ng tatlo.

Wow! Ni ang iyong unang miyembro, o ang iyong huling, o pag-unlad sa lahat... Paano mabuhay!?

Kailangan mong mag-isip gamit ang iyong ulo at bunutin ang lahat ng mga elemento ng kabuuan ng pag-unlad ng arithmetic mula sa kondisyon. Alam natin kung ano ang dalawang-digit na numero. Binubuo ang mga ito ng dalawang numero.) Anong dalawang-digit na numero ang magiging una? 10, siguro.) A huli dobleng digit na numero? 99, siyempre! Susundan siya ng mga three-digit...

Multiples of three... Hm... Ito ang mga numero na nahahati ng tatlo, narito! Ang sampu ay hindi nahahati sa tatlo, 11 ay hindi nahahati... 12... ay nahahati! Kaya, may umuusbong. Maaari ka nang magsulat ng isang serye ayon sa mga kondisyon ng problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Magiging arithmetic progression ba ang seryeng ito? tiyak! Ang bawat termino ay naiiba mula sa naunang isa sa pamamagitan ng mahigpit na tatlo. Kung magdagdag ka ng 2 o 4 sa isang termino, sabihin, ang resulta, i.e. ang bagong numero ay hindi na mahahati ng 3. Maaari mong agad na matukoy ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic: d = 3. Ito ay magiging kapaki-pakinabang!)

Kaya, maaari naming ligtas na isulat ang ilang mga parameter ng pag-unlad:

Ano ang magiging numero? n huling miyembro? Ang sinumang nag-iisip na ang 99 ay maling mali... Ang mga numero ay palaging magkakasunod, ngunit ang aming mga miyembro ay tumalon sa tatlo. Hindi sila magkatugma.

Mayroong dalawang solusyon dito. Ang isang paraan ay para sa sobrang masipag. Maaari mong isulat ang pag-unlad, ang buong serye ng mga numero, at bilangin ang bilang ng mga miyembro gamit ang iyong daliri.) Ang pangalawang paraan ay para sa mga nag-iisip. Kailangan mong tandaan ang formula para sa ika-n na termino. Kung ilalapat natin ang pormula sa ating problema, makikita natin na ang 99 ay ang ika-tatlumpung termino ng pag-unlad. Yung. n = 30.

Tingnan natin ang formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic:

Tumingin kami at nagagalak.) Inalis namin mula sa pahayag ng problema ang lahat ng kailangan upang makalkula ang halaga:

a 1= 12.

isang 30= 99.

S n = S 30.

Ang natitira na lang ay elementarya na aritmetika. Pinapalitan namin ang mga numero sa formula at kinakalkula:

Sagot: 1665

Isa pang uri ng tanyag na palaisipan:

4. Dahil sa pag-unlad ng aritmetika:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Hanapin ang kabuuan ng mga termino mula ikadalawampu hanggang tatlumpu't apat.

Tinitingnan namin ang formula para sa halaga at... nagkakagulo kami.) Ang formula, hayaan mong ipaalala ko sa iyo, kinakalkula ang halaga mula sa una miyembro. At sa problema kailangan mong kalkulahin ang kabuuan mula noong ikadalawampu... Hindi gagana ang formula.

Maaari mong, siyempre, isulat ang buong pag-unlad sa isang serye, at magdagdag ng mga termino mula 20 hanggang 34. Ngunit... ito ay katangahan at tumatagal ng mahabang panahon, tama?)

Mayroong mas eleganteng solusyon. Hatiin natin ang ating serye sa dalawang bahagi. Ang unang bahagi ay magiging mula sa unang termino hanggang sa ikalabinsiyam. Ikalawang bahagi - mula dalawampu't tatlumpu't apat. Malinaw na kung kalkulahin natin ang kabuuan ng mga tuntunin ng unang bahagi S 1-19, idagdag natin ito sa kabuuan ng mga tuntunin ng ikalawang bahagi S 20-34, nakukuha natin ang kabuuan ng pag-unlad mula sa unang termino hanggang sa tatlumpu't apat S 1-34. ganito:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Mula dito makikita natin na hanapin ang kabuuan S 20-34 Pwede simpleng pagbabawas

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Ang parehong mga halaga sa kanang bahagi ay isinasaalang-alang mula sa una miyembro, i.e. ang karaniwang sum formula ay lubos na naaangkop sa kanila. Magsimula na tayo?

Kinukuha namin ang mga parameter ng pag-unlad mula sa pahayag ng problema:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

Upang kalkulahin ang mga kabuuan ng unang 19 at unang 34 na termino, kakailanganin natin ang ika-19 at ika-34 na termino. Kinakalkula namin ang mga ito gamit ang formula para sa nth term, tulad ng sa problema 2:

isang 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

isang 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

Walang natira. Mula sa kabuuan ng 34 na termino, ibawas ang kabuuan ng 19 na termino:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

Sagot: 262.5

Isang mahalagang tala! Mayroong isang napaka-kapaki-pakinabang na trick sa paglutas ng problemang ito. Sa halip na direktang pagkalkula kung ano ang kailangan mo (S 20-34), binilang namin isang bagay na mukhang hindi na kailangan - S 1-19. At pagkatapos ay nagpasiya sila S 20-34, itinatapon ang hindi kailangan mula sa kumpletong resulta. Ang ganitong uri ng “pagkukunwari sa iyong mga tainga” ay kadalasang nagliligtas sa iyo sa masasamang problema.)

Sa araling ito, tiningnan namin ang mga problema kung saan sapat na upang maunawaan ang kahulugan ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Well, kailangan mong malaman ang ilang mga formula.)

Praktikal na payo:

Kapag nilulutas ang anumang problema na kinasasangkutan ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, inirerekomenda ko kaagad na isulat ang dalawang pangunahing pormula mula sa paksang ito.

Formula para sa ika-n na termino:

Ang mga formula na ito ay agad na magsasabi sa iyo kung ano ang hahanapin at sa kung anong direksyon ang iisipin upang malutas ang problema. Tumutulong.

At ngayon ang mga gawain para sa independiyenteng solusyon.

5. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng dalawang-digit na numero na hindi nahahati sa tatlo.

Cool?) Nakatago ang pahiwatig sa tala sa problema 4. Well, makakatulong ang problema 3.

6. Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng kondisyon: a 1 = -5.5; isang n+1 = isang n +0.5. Hanapin ang kabuuan ng unang 24 na termino nito.

Hindi karaniwan?) Ito ay isang paulit-ulit na formula. Maaari mong basahin ang tungkol dito sa nakaraang aralin. Huwag pansinin ang link, ang mga ganitong problema ay madalas na matatagpuan sa State Academy of Sciences.

7. Nag-ipon ng pera si Vasya para sa holiday. Hanggang 4550 rubles! At nagpasya akong bigyan ang aking paboritong tao (ang aking sarili) ng ilang araw ng kaligayahan). Mamuhay nang maganda nang hindi itinatanggi ang iyong sarili. Gumastos ng 500 rubles sa unang araw, at sa bawat kasunod na araw ay gumastos ng 50 rubles nang higit pa kaysa sa nauna! Hanggang sa maubos ang pera. Ilang araw ng kaligayahan mayroon si Vasya?

Mahirap?) Makakatulong ang karagdagang pormula mula sa gawain 2.

Mga sagot (magulo): 7, 3240, 6.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Ang ilang mga tao ay itinuturing ang salitang "pag-unlad" nang may pag-iingat, bilang isang napaka-komplikadong termino mula sa mga sangay ng mas mataas na matematika. Samantala, ang pinakasimpleng pag-unlad ng aritmetika ay ang gawain ng metro ng taxi (kung saan umiiral pa rin ang mga ito). At ang pag-unawa sa kakanyahan (at sa matematika ay walang mas mahalaga kaysa sa "pagkuha ng kakanyahan") ng isang pagkakasunud-sunod ng aritmetika ay hindi napakahirap, na pinag-aralan ang ilang mga elementarya na konsepto.

Pagkakasunod-sunod ng numero ng matematika

Ang isang numerical sequence ay karaniwang tinatawag na isang serye ng mga numero, bawat isa ay may sariling numero.

a 1 ang unang miyembro ng sequence;

at ang 2 ay ang pangalawang termino ng sequence;

at ang 7 ay ang ikapitong miyembro ng sequence;

at ang n ay ang ika-n miyembro ng sequence;

Gayunpaman, hindi anumang arbitrary na hanay ng mga numero at numero ang interesado sa amin. Itutuon natin ang ating pansin sa isang numerical sequence kung saan ang halaga ng ika-n term ay nauugnay sa ordinal na numero nito sa pamamagitan ng isang relasyon na malinaw na mabubuo sa matematika. Sa madaling salita: numerical value Ang nth number ay ilang function ng n.

a ay ang halaga ng isang miyembro ng isang numerical sequence;

n ang serial number nito;

Ang f(n) ay isang function, kung saan ang ordinal na numero sa numerical sequence n ay ang argument.

Kahulugan

Ang pag-unlad ng aritmetika ay karaniwang tinatawag na pagkakasunod-sunod ng numero kung saan ang bawat kasunod na termino ay mas malaki (mas mababa) kaysa sa nauna sa pamamagitan ng parehong numero. Ang formula para sa ika-n na termino ng isang arithmetic sequence ay ang mga sumusunod:

a n - ang halaga ng kasalukuyang miyembro ng arithmetic progression;

isang n+1 - formula ng susunod na numero;

d - pagkakaiba (tiyak na numero).

Madaling matukoy na kung ang pagkakaiba ay positibo (d>0), kung gayon ang bawat kasunod na miyembro ng seryeng isinasaalang-alang ay magiging mas malaki kaysa sa nauna at ang gayong pag-unlad ng aritmetika ay tataas.

Sa graph sa ibaba, madaling makita kung bakit tinatawag na "tumataas" ang pagkakasunod-sunod ng numero.

Sa mga kaso kung saan negatibo ang pagkakaiba (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Tinukoy na halaga ng miyembro

Minsan kinakailangan upang matukoy ang halaga ng anumang arbitrary na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic. Magagawa ito sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagkalkula ng mga halaga ng lahat ng miyembro ng pag-unlad ng aritmetika, simula sa una hanggang sa nais. Gayunpaman, ang landas na ito ay hindi palaging katanggap-tanggap kung, halimbawa, kinakailangan upang mahanap ang halaga ng ika-lima-libo o walong-milyong termino. Ang mga tradisyonal na kalkulasyon ay aabutin ng maraming oras. Gayunpaman, ang isang tiyak na pag-unlad ng aritmetika ay maaaring pag-aralan gamit ang ilang mga formula. Mayroon ding pormula para sa ika-n na termino: ang halaga ng anumang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring matukoy bilang ang kabuuan ng unang termino ng pag-unlad na may pagkakaiba ng pag-unlad, na pinarami ng bilang ng nais na termino, na binawasan ng isa.

Ang formula ay pangkalahatan para sa pagtaas at pagbaba ng pag-unlad.

Isang halimbawa ng pagkalkula ng halaga ng isang ibinigay na termino

Lutasin natin ang sumusunod na suliranin sa paghahanap ng halaga ng ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Kundisyon: mayroong isang pag-unlad ng arithmetic na may mga parameter:

Ang unang termino ng sequence ay 3;

Ang pagkakaiba sa serye ng numero ay 1.2.

Gawain: kailangan mong hanapin ang halaga ng 214 termino

Solusyon: upang matukoy ang halaga ng isang ibinigay na termino, ginagamit namin ang formula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Ang pagpapalit ng data mula sa pahayag ng problema sa expression, mayroon kaming:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Sagot: Ang ika-214 na termino ng sequence ay katumbas ng 258.6.

Ang mga bentahe ng pamamaraang ito ng pagkalkula ay halata - ang buong solusyon ay tumatagal ng hindi hihigit sa 2 linya.

Kabuuan ng isang ibinigay na bilang ng mga termino

Kadalasan, sa isang naibigay na serye ng aritmetika, kinakailangan upang matukoy ang kabuuan ng mga halaga ng ilan sa mga segment nito. Upang gawin ito, hindi na kailangang kalkulahin ang mga halaga ng bawat termino at pagkatapos ay idagdag ang mga ito. Naaangkop ang pamamaraang ito kung maliit ang bilang ng mga termino na kailangang mahanap ang kabuuan. Sa ibang mga kaso, mas maginhawang gamitin ang sumusunod na formula.

Ang kabuuan ng mga termino ng isang pag-unlad ng aritmetika mula 1 hanggang n ay katumbas ng kabuuan ng una at ika-n na termino, na minu-multiply sa bilang ng terminong n at hinati sa dalawa. Kung sa formula ang halaga ng nth term ay pinalitan ng expression mula sa nakaraang talata ng artikulo, makakakuha tayo ng:

Halimbawa ng pagkalkula

Halimbawa, lutasin natin ang isang problema sa mga sumusunod na kondisyon:

Ang unang termino ng sequence ay zero;

Ang pagkakaiba ay 0.5.

Ang problema ay nangangailangan ng pagtukoy sa kabuuan ng mga tuntunin ng serye mula 56 hanggang 101.

Solusyon. Gamitin natin ang formula para sa pagtukoy ng dami ng pag-unlad:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Una, tinutukoy namin ang kabuuan ng mga halaga ng 101 termino ng pag-unlad sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga ibinigay na kondisyon ng aming problema sa formula:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Malinaw, upang malaman ang kabuuan ng mga tuntunin ng pag-unlad mula sa ika-56 hanggang ika-101, kinakailangan na ibawas ang S 55 mula sa S 101.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

Kaya, ang kabuuan ng pag-unlad ng aritmetika para sa halimbawang ito ay:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

Halimbawa ng praktikal na aplikasyon ng arithmetic progression

Sa dulo ng artikulo, bumalik tayo sa halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng aritmetika na ibinigay sa unang talata - isang taximeter (metro ng kotse ng taxi). Isaalang-alang natin ang halimbawang ito.

Ang pagsakay sa taxi (na kinabibilangan ng 3 km ng paglalakbay) ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Bawat kasunod na kilometro ay binabayaran sa rate na 22 rubles/km. Ang distansya ng paglalakbay ay 30 km. Kalkulahin ang halaga ng biyahe.

1. Itapon natin ang unang 3 km, ang presyo nito ay kasama sa halaga ng landing.

30 - 3 = 27 km.

2. Ang karagdagang pagkalkula ay walang iba kundi ang pag-parse ng serye ng numero ng aritmetika.

Numero ng miyembro - ang bilang ng mga kilometrong nilakbay (binawasan ang unang tatlo).

Ang halaga ng miyembro ay ang kabuuan.

Ang unang termino sa problemang ito ay magiging katumbas ng isang 1 = 50 rubles.

Pagkakaiba sa pag-unlad d = 22 r.

ang numerong interesado tayo ay ang halaga ng (27+1)th term ng arithmetic progression - ang meter reading sa dulo ng 27th kilometer ay 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Ang mga kalkulasyon ng data ng kalendaryo para sa isang arbitraryong mahabang panahon ay batay sa mga formula na naglalarawan ng ilang partikular na pagkakasunud-sunod ng numero. Sa astronomiya, ang haba ng orbit ay nakadepende sa geometriko sa distansya ng celestial body sa bituin. Bilang karagdagan, ang iba't ibang serye ng numero ay matagumpay na ginagamit sa mga istatistika at iba pang inilapat na mga lugar ng matematika.

Ang isa pang uri ng pagkakasunud-sunod ng numero ay geometric

Ang pag-unlad ng geometriko ay nailalarawan sa pamamagitan ng mas mataas na mga rate ng pagbabago kumpara sa pag-unlad ng aritmetika. Ito ay hindi nagkataon na sa pulitika, sosyolohiya, at medisina, upang maipakita ang mataas na bilis ng pagkalat ng isang partikular na kababalaghan, halimbawa, isang sakit sa panahon ng isang epidemya, madalas nilang sinasabi na ang proseso ay bubuo sa geometric na pag-unlad.

Ang Nth term ng geometric number series ay naiiba mula sa nauna dahil ito ay pinarami ng ilang pare-parehong numero - ang denominator, halimbawa, ang unang termino ay 1, ang denominator ay katumbas ng 2, pagkatapos:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - ang halaga ng kasalukuyang termino ng geometric progression;

b n+1 - formula ng susunod na termino ng geometric progression;

q ang denominator ng geometric progression (isang pare-parehong numero).

Kung ang graph ng isang arithmetic progression ay isang tuwid na linya, kung gayon ang isang geometric progression ay nagpinta ng isang bahagyang naiibang larawan:

Tulad ng sa kaso ng arithmetic, ang geometric progression ay may formula para sa halaga ng isang arbitrary na termino. Anumang nth term ng isang geometric progression ay katumbas ng produkto ng unang termino at ang denominator ng progression sa kapangyarihan ng n na binabawasan ng isa:

Halimbawa. Mayroon kaming geometric progression na ang unang termino ay katumbas ng 3 at ang denominator ng progression ay katumbas ng 1.5. Hanapin natin ang 5th term ng progression

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

Ang kabuuan ng isang naibigay na bilang ng mga termino ay kinakalkula din gamit ang isang espesyal na formula. Ang kabuuan ng unang n termino ng isang geometric na pag-unlad ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng produkto ng ika-n na termino ng pag-unlad at ang denominator nito at ang unang termino ng pag-unlad, na hinati ng denominator na binawasan ng isa:

Kung papalitan ang b n gamit ang formula na tinalakay sa itaas, ang halaga ng kabuuan ng unang n termino ng serye ng numero na isinasaalang-alang ay kukuha ng anyo:

Halimbawa. Ang geometric progression ay nagsisimula sa unang termino na katumbas ng 1. Ang denominator ay nakatakda sa 3. Hanapin natin ang kabuuan ng unang walong termino.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Arithmetic at geometric progressions

Teoretikal na impormasyon

Teoretikal na impormasyon

	Pag-unlad ng aritmetika	Geometric na pag-unlad
Kahulugan	Pag-unlad ng aritmetika isang n ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat miyembro, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nakaraang miyembro na idinagdag sa parehong numero d (d- pagkakaiba sa pag-unlad)	Geometric na pag-unlad b n ay isang pagkakasunud-sunod ng mga di-zero na numero, ang bawat termino kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nakaraang termino na pinarami ng parehong numero q (q- denominator ng pag-unlad)
Formula ng pag-ulit	Para sa anumang natural n a n + 1 = a n + d	Para sa anumang natural n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formula ika-naga termino	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Katangiang ari-arian
Kabuuan ng unang n termino

Mga halimbawa ng mga gawain na may mga komento

Gawain 1

Sa pag-unlad ng aritmetika ( isang n) a 1 = -6, a 2

Ayon sa pormula ng ika-n na termino:

isang 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d

Ayon sa kondisyon:

a 1= -6, pagkatapos isang 22= -6 + 21 d .

Ito ay kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba ng mga pag-unlad:

d = isang 2 – isang 1 = -8 – (-6) = -2

isang 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Sagot: isang 22 = -48.

Gawain 2

Hanapin ang ikalimang termino ng geometric progression: -3; 6;....

1st method (gamit ang n-term formula)

Ayon sa formula para sa ika-n na termino ng isang geometric na pag-unlad:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

kasi b 1 = -3,

Pangalawang paraan (gamit ang paulit-ulit na formula)

Dahil ang denominator ng progression ay -2 (q = -2), kung gayon:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Sagot: b 5 = -48.

Gawain 3

Sa pag-unlad ng aritmetika ( a n ) a 74 = 34; isang 76= 156. Hanapin ang pitumpu't limang termino ng pag-unlad na ito.

Para sa isang pag-unlad ng aritmetika, ang katangian ng katangian ay may anyo .

Mula dito ay sumusunod:

I-substitute natin ang data sa formula:

Sagot: 95.

Gawain 4

Sa pag-unlad ng aritmetika ( a n ) a n= 3n - 4. Hanapin ang kabuuan ng unang labimpitong termino.

Upang mahanap ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic, dalawang formula ang ginagamit:

Alin sa mga ito ang mas maginhawang gamitin sa kasong ito?

Sa pamamagitan ng kundisyon, ang formula para sa ika-n na termino ng orihinal na pag-unlad ay kilala ( isang n) isang n= 3n - 4. Makakahanap ka agad a 1, At isang 16 walang mahanap d. Samakatuwid, gagamitin namin ang unang formula.

Sagot: 368.

Gawain 5

Sa pag-unlad ng arithmetic( isang n) a 1 = -6; a 2= -8. Hanapin ang dalawampu't dalawang termino ng progression.

Ayon sa pormula ng ika-n na termino:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.

Sa kondisyon, kung a 1= -6, pagkatapos isang 22= -6 + 21d . Ito ay kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba ng mga pag-unlad:

d = isang 2 – isang 1 = -8 – (-6) = -2

isang 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Sagot: isang 22 = -48.

Gawain 6

Ilang magkakasunod na termino ng geometric progression ang nakasulat:

Hanapin ang termino ng progression na ipinahiwatig ng x.

Kapag nag-solve, gagamitin namin ang formula para sa nth term b n = b 1 ∙ q n - 1 para sa mga geometric na pag-unlad. Ang unang termino ng pag-unlad. Upang mahanap ang denominator ng progression q, kailangan mong kunin ang alinman sa mga ibinigay na termino ng progression at hatiin sa nauna. Sa ating halimbawa, maaari nating kunin at hatiin sa pamamagitan ng. Nakukuha namin ang q = 3. Sa halip na n, pinapalitan namin ang 3 sa formula, dahil kinakailangan upang mahanap ang ikatlong termino ng isang ibinigay na geometric na pag-unlad.

Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga sa formula, nakukuha namin:

Sagot: .

Gawain 7

Mula sa mga pag-usad ng arithmetic na ibinigay ng formula ng ika-n na termino, piliin ang isa kung saan nasiyahan ang kundisyon isang 27 > 9:

Dahil ang ibinigay na kondisyon ay dapat matugunan para sa ika-27 na termino ng pag-unlad, pinapalitan namin ang 27 sa halip na n sa bawat isa sa apat na pag-unlad. Sa ika-4 na pag-unlad ay nakukuha natin:

Sagot: 4.

Gawain 8

Sa pag-unlad ng aritmetika a 1= 3, d = -1.5. Tukuyin ang pinakamalaking halaga ng n kung saan hawak ang hindi pagkakapantay-pantay isang n > -6.