Ang pagtaas at pagbaba ng mga function, extrema. Extrema ng isang function - sa simpleng wika tungkol sa mga kumplikadong bagay
Tumataas, bumababa at extrema ng isang function
Ang paghahanap ng mga pagitan ng pagtaas, pagbaba at labis ng isang function ay parehong independiyenteng gawain at isang mahalagang bahagi ng iba pang mga gawain, sa partikular, buong pag-aaral ng function. Ang paunang impormasyon tungkol sa pagtaas, pagbaba at labis na pagpapaandar ay ibinigay sa teoretikal na kabanata sa derivative, na lubos kong inirerekomenda para sa paunang pag-aaral (o pag-uulit)– para din sa kadahilanang ang sumusunod na materyal ay batay sa pinaka mahalagang hinango, pagiging isang maayos na pagpapatuloy ng artikulong ito. Bagaman, kung ang oras ay maikli, kung gayon ang isang purong pormal na pagsasanay ng mga halimbawa mula sa aralin ngayon ay posible rin.
At ngayon ay may espiritu ng pambihirang pagkakaisa sa hangin, at direkta kong nararamdaman na ang lahat ng naroroon ay nag-aalab sa pagnanais matutong galugarin ang isang function gamit ang derivative nito. Samakatuwid, ang makatwiran, mahusay, walang hanggang terminolohiya ay agad na lumilitaw sa iyong mga screen ng monitor.
Para saan? Ang isa sa mga dahilan ay ang pinaka-praktikal: nang sa gayon ay malinaw kung ano ang karaniwang kinakailangan sa iyo sa isang partikular na gawain!
Monotonicity ng function. Extremum point at extrema ng isang function
Isaalang-alang natin ang ilang function. Upang ilagay ito nang simple, ipinapalagay namin na siya tuloy-tuloy sa buong linya ng numero:
Kung sakali, alisin natin agad ang mga posibleng ilusyon, lalo na sa mga mambabasa na kamakailan lamang ay nakakilala sa mga pagitan ng pare-parehong pag-sign ng function. Ngayon kami HINDI INTERESADO, kung paano matatagpuan ang graph ng function na may kaugnayan sa axis (sa itaas, sa ibaba, kung saan nagsa-intersect ang axis). Upang maging kapani-paniwala, burahin sa isip ang mga palakol at mag-iwan ng isang graph. Dahil doon nakasalalay ang interes.
Function nadadagdagan sa isang agwat, kung para sa alinmang dalawang punto ng agwat na ito, konektado sa relasyon, totoo ang hindi pagkakapantay-pantay. Iyon ay, ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function, at ang graph nito ay "mula sa ibaba hanggang sa itaas". Ang demonstration function ay lumalaki sa pagitan.
Gayundin, ang pag-andar bumababa sa isang agwat kung para sa alinmang dalawang punto ng isang naibigay na agwat na , ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo. Iyon ay, ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function, at ang graph nito ay "mula sa itaas hanggang sa ibaba". Ang aming function ay bumababa sa pagitan 
.
Kung ang isang function ay tumaas o bumaba sa isang pagitan, kung gayon ito ay tinatawag mahigpit na monotonous sa pagitan na ito. Ano ang monotony? Kunin ito nang literal - monotony.
Maaari mo ring tukuyin hindi bumababa function (naka-relax na kondisyon sa unang kahulugan) at hindi tumataas function (pinalambot na kondisyon sa ika-2 kahulugan). Ang isang hindi bumababa o hindi tumataas na function sa isang pagitan ay tinatawag monotonikong pag-andar sa pagitan na ito (Ang mahigpit na monotonicity ay isang espesyal na kaso ng "simple" na monotonicity).
Isinasaalang-alang din ng teorya ang iba pang mga diskarte sa pagtukoy ng pagtaas/pagbaba ng isang function, kabilang ang sa kalahating pagitan, mga segment, ngunit upang hindi magbuhos ng langis-langis-langis sa iyong ulo, kami ay sumasang-ayon na gumana nang may bukas na mga pagitan na may mga kategoryang kahulugan - ito ay mas malinaw, at para sa paglutas ng maraming praktikal na mga problema ay sapat na.
kaya, sa aking mga artikulo ang mga salitang "monotonicity ng isang function" ay halos palaging nakatago mga pagitan mahigpit na monotony(mahigpit na pagtaas o mahigpit na pagbaba ng pag-andar).
Kapitbahayan ng isang punto. Mga salita kung saan tumakas ang mga mag-aaral saanman nila kaya at nagtatago sa takot sa mga sulok. ...Kahit pagkatapos ng post Cauchy na mga limitasyon Marahil ay hindi na sila nagtatago, ngunit bahagyang nanginginig =) Huwag mag-alala, ngayon ay walang mga patunay ng theorems ng mathematical analysis - Kailangan ko ang paligid upang mabalangkas ang mga kahulugan nang mas mahigpit matinding puntos. Tandaan natin:
Kapitbahayan ng isang punto tinatawag ang isang agwat na naglalaman ng isang ibinigay na punto, at para sa kaginhawahan ang pagitan ay madalas na ipinapalagay na simetriko. Halimbawa, ang isang punto at ang karaniwang kapitbahayan nito:
Sa totoo lang, ang mga kahulugan:
Tinatawag ang punto mahigpit na pinakamataas na punto, Kung umiiral kanyang kapitbahayan, para sa lahat mga halaga kung saan, maliban sa punto mismo, ang hindi pagkakapantay-pantay . Sa aming tiyak na halimbawa ito ang punto.
Tinatawag ang punto mahigpit na minimum na punto, Kung umiiral kanyang kapitbahayan, para sa lahat mga halaga kung saan, maliban sa punto mismo, ang hindi pagkakapantay-pantay . Sa pagguhit ay may puntong "a".
Tandaan : ang pangangailangan ng simetrya ng kapitbahayan ay hindi kinakailangan. Bilang karagdagan, ito ay mahalaga ang mismong katotohanan ng pagkakaroon kapaligiran (kahit maliit, kahit mikroskopiko), kasiya-siya tinukoy na mga kondisyon
Tinatawag ang mga puntos mahigpit na matinding puntos o simple lang matinding puntos mga function. Iyon ay, ito ay isang pangkalahatang termino para sa pinakamataas na puntos at pinakamababang puntos.
Paano natin naiintindihan ang salitang "matinding"? Oo, nang direkta sa monotony. Mga matinding punto ng roller coasters.
Tulad ng kaso ng monotonicity, ang mga maluwag na postulate ay umiiral at mas karaniwan sa teorya (na, siyempre, ang mga mahigpit na kaso na isinasaalang-alang ay nasa ilalim!):
Tinatawag ang punto pinakamataas na punto, Kung umiiral ang paligid nito ay ganoon para sa lahat
Tinatawag ang punto pinakamababang punto, Kung umiiral ang paligid nito ay ganoon para sa lahat mga halaga ng kapitbahayan na ito, ang hindi pagkakapantay-pantay ay hawak.
Tandaan na ayon sa huling dalawang kahulugan, ang anumang punto ng isang pare-parehong function (o isang "flat na seksyon" ng isang function) ay itinuturing na parehong maximum at isang minimum na punto! Ang function, sa pamamagitan ng paraan, ay parehong hindi tumataas at hindi bumababa, iyon ay, monotonic. Gayunpaman, iiwan natin ang mga pagsasaalang-alang na ito sa mga teorista, dahil sa pagsasanay ay halos palaging iniisip natin ang tradisyonal na "mga burol" at "mga guwang" (tingnan ang pagguhit) na may natatanging "hari ng burol" o "prinsesa ng latian". Bilang isang pagkakaiba-iba, ito ay nangyayari tip, nakadirekta pataas o pababa, halimbawa, ang minimum ng function sa punto.
Oh, at nagsasalita tungkol sa royalty:
– tinatawag ang kahulugan maximum mga function;
– tinatawag ang kahulugan pinakamababa mga function.
Karaniwang pangalan - sukdulan mga function.
Mangyaring mag-ingat sa iyong mga salita!
Extremum na puntos– ito ay mga “X” na halaga.
Extremes- kahulugan ng "laro".
! Tandaan : minsan ang mga nakalistang termino ay tumutukoy sa "X-Y" na mga punto na direktang nakalagay sa GRAPH NG function MISMO.
Ilang extrema ang maaaring magkaroon ng isang function?
Wala, 1, 2, 3, ... atbp. sa kawalang-hanggan. Halimbawa, ang sine ay may napakaraming minima at maxima.
MAHALAGA! Ang terminong "maximum of function" hindi magkapareho ang terminong "maximum na halaga ng isang function". Madaling mapansin na ang halaga ay pinakamataas lamang sa isang lokal na kapitbahayan, at sa kaliwang tuktok ay mayroong "mas cool na mga kasama". Gayundin, ang "minimum ng isang function" ay hindi katulad ng "minimum na halaga ng isang function," at sa drawing makikita natin na ang value ay minimum lamang sa isang partikular na lugar. Sa bagay na ito, tinatawag din ang mga extremum point mga lokal na extremum point, at ang extrema - mga lokal na sukdulan. Naglalakad sila at gumagala sa malapit at global mga kapatid. Kaya, ang anumang parabola ay nasa tuktok nito pandaigdigang minimum o global maximum. Dagdag pa, hindi ko kikilalanin ang mga uri ng kalabisan, at ang paliwanag ay higit na binibigkas para sa pangkalahatang layuning pang-edukasyon - ang mga karagdagang adjectives na “lokal”/“global” ay hindi dapat magtaka sa iyo.
Ibuod natin ang ating maikling iskursiyon sa teorya gamit ang isang test shot: ano ang ibig sabihin ng gawain na "hanapin ang mga monotonicity interval at extremum point ng function"?
Hinihikayat ka ng mga salita na hanapin ang:
– mga agwat ng pagtaas/pagbaba ng function (hindi bumababa, hindi tumataas ay lumilitaw nang mas madalas);
– maximum at/o pinakamababang puntos (kung mayroon man). Kaya, upang maiwasan ang pagkabigo, mas mahusay na hanapin ang mga minimum/maximum mismo ;-)
Paano matukoy ang lahat ng ito? Gamit ang derivative function!
Paano makahanap ng mga pagitan ng pagtaas, pagbaba,
extremum point at extrema ng function?
Maraming mga patakaran, sa katunayan, ay kilala at naiintindihan mula sa aralin tungkol sa kahulugan ng derivative.
Tangent derivative 
nagdadala ng masasayang balita na ang paggana ay tumataas sa kabuuan domain ng kahulugan.
Sa cotangent at ang hinango nito 
ang sitwasyon ay eksaktong kabaligtaran.
Ang arcsine ay tumataas sa pagitan - ang derivative dito ay positibo: 
.
Kapag ang function ay tinukoy, ngunit hindi naiba. Gayunpaman, sa kritikal na punto ay mayroong isang right-handed derivative at isang right-handed tangent, at sa kabilang gilid ay mayroong kanilang mga kaliwang kamay na katapat.
Sa tingin ko, hindi masyadong mahirap para sa iyo na magsagawa ng katulad na pangangatwiran para sa arc cosine at sa hinango nito.
Lahat ng mga kaso sa itaas, marami sa mga ito ay tabular derivatives, Paalala ko sa iyo, sundan nang direkta mula sa mga derivative na kahulugan.
Bakit tuklasin ang isang function gamit ang derivative nito?
Upang mas maunawaan kung ano ang hitsura ng graph ng function na ito: kung saan ito napupunta sa "ibaba pataas", kung saan ang "itaas pababa", kung saan ito umabot sa mga minimum at maximum (kung umabot man ito). Hindi lahat ng function ay napakasimple - sa karamihan ng mga kaso wala kaming ideya sa lahat tungkol sa graph ng isang partikular na function.
Panahon na upang magpatuloy sa mas makabuluhang mga halimbawa at isaalang-alang algorithm para sa paghahanap ng mga pagitan ng monotonicity at extrema ng isang function:
Halimbawa 1
Maghanap ng mga pagitan ng pagtaas/pagbaba at sukdulan ng function
Solusyon:
1) Ang unang hakbang ay ang paghahanap domain ng isang function, at tandaan din ang mga break point (kung mayroon sila). Sa kasong ito, ang function ay tuloy-tuloy sa buong linya ng numero, at pagkilos na ito sa isang tiyak na lawak pormal. Ngunit sa ilang mga kaso, ang mga seryosong hilig ay sumiklab dito, kaya't ituring natin ang talata nang walang paghamak.
2) Ang pangalawang punto ng algorithm ay dahil sa
isang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum:
Kung mayroong isang extremum sa isang punto, kung gayon ang halaga ay hindi umiiral.
Nalilito sa ending? Extremum ng function na "modulus x". .
Ang kondisyon ay kinakailangan, ngunit hindi sapat, at ang kabaligtaran ay hindi palaging totoo. Kaya, hindi pa sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay na ang function ay umabot sa maximum o minimum sa punto . Ang isang klasikong halimbawa ay na-highlight na sa itaas - ito ay isang kubiko na parabola at ang kritikal na punto nito.
Ngunit maging ganoon man ito, ang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum ay nagdidikta ng pangangailangan na makahanap ng mga kahina-hinalang punto. Upang gawin ito, hanapin ang derivative at lutasin ang equation:
Sa simula ng unang artikulo tungkol sa mga function graph Sinabi ko sa iyo kung paano mabilis na bumuo ng isang parabola gamit ang isang halimbawa 
: “...kunin natin ang unang derivative at itinutumbas ito sa sero: ... Kaya, ang solusyon sa ating equation: - sa puntong ito matatagpuan ang vertex ng parabola...”. Ngayon, sa tingin ko, naiintindihan ng lahat kung bakit eksaktong matatagpuan ang vertex ng parabola sa puntong ito =) Sa pangkalahatan, dapat tayong magsimula sa isang katulad na halimbawa dito, ngunit ito ay masyadong simple (kahit na para sa isang tsarera). Bilang karagdagan, mayroong isang analogue sa pinakadulo ng aralin tungkol sa derivative ng isang function. Samakatuwid, taasan natin ang antas:
Halimbawa 2
Maghanap ng mga pagitan ng monotonicity at extrema ng function
Ito ay isang halimbawa para sa malayang desisyon. Kumpletong solusyon at isang tinatayang huling sample ng gawain sa pagtatapos ng aralin.
Dumating na ang pinakahihintay na sandali ng pagpupulong sa mga fractional-rational function:
Halimbawa 3
Galugarin ang isang function gamit ang unang derivative
Bigyang-pansin kung paano maaaring baguhin ang isa at ang parehong gawain.
Solusyon:
1) Ang function ay dumaranas ng walang katapusang mga discontinuities sa mga punto.
2) Alamin kritikal na mga punto. Hanapin natin ang unang derivative at ipantay ito sa zero: 
Lutasin natin ang equation. Ang isang fraction ay zero kapag ang numerator nito ay zero:
Kaya, nakakakuha tayo ng tatlong kritikal na puntos: 
3) Ibinalot namin ang LAHAT ng nakitang mga punto sa linya ng numero at paraan ng pagitan tinutukoy namin ang mga palatandaan ng DERIVATIVE:
Ipinaaalala ko sa iyo na kailangan mong kumuha ng ilang punto sa pagitan at kalkulahin ang halaga ng derivative dito 
at tukuyin ang tanda nito. Mas kumikita kahit hindi magbilang, ngunit "tantiyahin" sa salita. Kunin natin, halimbawa, ang isang puntong kabilang sa pagitan at gawin ang pagpapalit: 
. 
Dalawang "plus" at isang "minus" ang nagbibigay ng "minus", samakatuwid, na nangangahulugan na ang derivative ay negatibo sa buong pagitan.
Ang aksyon, tulad ng naiintindihan mo, ay kailangang isagawa para sa bawat isa sa anim na pagitan. Sa pamamagitan ng paraan, tandaan na ang numerator factor at denominator ay mahigpit na positibo para sa anumang punto sa anumang pagitan, na lubos na nagpapadali sa gawain.
Kaya, sinabi sa amin ng derivative na ang FUNCTION MISMO ay tumataas ng 
at bumababa ng . Maginhawang ikonekta ang mga pagitan ng parehong uri gamit ang icon ng pagsali.
Sa puntong ang function ay umabot sa maximum nito:
Sa puntong ang function ay umabot sa isang minimum: 
Isipin kung bakit hindi mo kailangang muling kalkulahin ang pangalawang halaga ;-)
Kapag dumadaan sa isang punto, ang derivative ay hindi nagbabago ng sign, kaya ang function ay WALANG EXTREMUM doon - pareho itong bumaba at nanatiling bumababa.
! Ulitin natin mahalagang punto : ang mga puntos ay hindi itinuturing na kritikal - naglalaman sila ng isang function hindi determinado. Alinsunod dito, dito Sa prinsipyo walang maaaring maging labis(kahit na ang derivative ay nagbabago ng sign).
Sagot: tumataas ang function ng 
at bumababa ng Sa puntong ang maximum ng function ay naabot: 
, at sa punto – ang pinakamababa: .
Kaalaman sa monotonicity interval at extrema, kasama ng na-establish asymptotes nagbibigay na ng napakagandang ideya ng hitsura function na graphics. Ang isang taong may karaniwang pagsasanay ay kayang matukoy sa salita na ang graph ng isang function ay may dalawang patayong asymptote at isang pahilig na asymptote. Narito ang ating bayani: 
Subukang muli na iugnay ang mga resulta ng pag-aaral sa graph ng function na ito.
Walang extremum sa kritikal na punto, ngunit mayroon inflection point(na, bilang panuntunan, ay nangyayari sa mga katulad na kaso).
Halimbawa 4
Hanapin ang extrema ng function
Halimbawa 5
Maghanap ng mga monotonicity interval, maxima at minima ng function
…parang isang uri ng holiday na "X in a cube" ngayon....
Soooo, sino sa gallery ang nag-alok na uminom para dito? =)
Ang bawat gawain ay may sariling mga makabuluhang nuances at teknikal na mga subtleties, na kung saan ay nagkomento sa sa dulo ng aralin.
Mga pag-andar, hindi kinakailangang malaman ang tungkol sa pagkakaroon ng una at pangalawang derivatives at maunawaan ang kanilang pisikal na kahulugan. Una kailangan mong maunawaan ang mga sumusunod:
- ang extrema ng function ay nag-maximize o, sa kabaligtaran, i-minimize ang halaga ng function sa isang arbitraryong maliit na kapitbahayan;
- dapat walang discontinuity ng function sa extremum point.
At ngayon ito ay ang parehong bagay, lamang sa simpleng wika. Tingnan ang dulo ng pamalo panulat. Kung ang panulat ay nakaposisyon nang patayo, na may nakasulat na dulo, kung gayon ang pinakagitna ng bola ang magiging extremum - ang pinakamataas na punto. Sa kasong ito pinag-uusapan natin ang maximum. Ngayon, kung ibabaling mo ang panulat na may dulo ng pagsulat pababa, pagkatapos ay sa gitna ng bola magkakaroon na ng isang minimum na function. Gamit ang figure na ibinigay dito, maaari mong isipin ang mga nakalistang manipulasyon para sa isang stationery na lapis. Kaya, ang extrema ng isang function ay palaging kritikal na mga punto: ang maximum o minimum. Ang katabing seksyon ng graph ay maaaring maging matalas o makinis gaya ng ninanais, ngunit dapat itong umiral sa magkabilang panig, tanging sa kasong ito ang punto ay isang extremum. Kung ang graph ay nasa isang panig lamang, ang puntong ito ay hindi magiging extremum kahit na sa isang panig ay natugunan ang mga extremum na kundisyon. Ngayon pag-aralan natin ang extrema ng function na may siyentipikong punto pangitain. Upang maituring na extremum ang isang punto, kinakailangan at sapat na:
- ang unang derivative ay zero o wala sa puntong iyon;
- binago ng unang derivative ang tanda nito sa puntong ito.
Bahagyang naiiba ang interpretasyon ng kundisyon mula sa punto de vista ng mga derivative na may matataas na pagkakasunud-sunod: para sa isang function na naiba sa isang punto, sapat na na mayroong kakaibang derivative ng order na hindi katumbas ng zero, habang ang lahat ng lower order derivatives ay dapat na umiiral. at maging katumbas ng zero. Ito ang pinakasimpleng posibleng interpretasyon ng mga theorems mula sa mga aklat-aralin ngunit para sa karamihan ordinaryong mga tao Ito ay nagkakahalaga ng paglilinaw sa puntong ito sa isang halimbawa. Ang batayan ay isang ordinaryong parabola. Magpareserba tayo kaagad: sa zero point mayroon itong minimum. Konting math lang:
- unang hinalaw (X 2) | = 2X, para sa zero point 2X = 0;
- pangalawang hinalaw (2X) | = 2, para sa zero point 2 = 2.
Sa simpleng paraan na ito, ang mga kundisyon na tumutukoy sa extrema ng function para sa parehong first-order at higher-order derivatives ay inilalarawan. Maaari nating idagdag dito na ang pangalawang derivative ay eksaktong parehong derivative ng isang kakaibang order, hindi katumbas ng zero, na tinalakay sa itaas. Pagdating sa extrema ng isang function ng dalawang variable, dapat matugunan ang mga kundisyon para sa parehong argumento. Kapag naganap ang generalization, ginagamit ang mga partial derivatives. Iyon ay, para sa pagkakaroon ng extremum sa isang punto, kinakailangan na ang parehong first-order derivatives ay katumbas ng zero, o hindi bababa sa isa sa mga ito ay wala. Upang matiyak na sapat ang pagkakaroon ng extremum, susuriin ang isang expression na siyang pagkakaiba sa pagitan ng produkto ng mga derivative ng pangalawang-order at ang parisukat ng pinaghalong pangalawang-order na derivative ng function. Kung ang expression na ito ay mas malaki kaysa sa zero, pagkatapos ay mayroong isang extremum, ngunit kung ito ay katumbas ng zero, kung gayon ang tanong ay nananatiling bukas at ang karagdagang pananaliksik ay kailangang isagawa.
Tingnan natin ang dalawang ngipin ng isang kilalang saw profile. Idirekta natin ang axis sa flat side ng saw, at ang axis na patayo dito. Kumuha kami ng isang graph ng ilang function na ipinapakita sa Fig. 1.
Ito ay lubos na halata na pareho sa punto at sa punto ang mga halaga ng pag-andar ay pinakamalaki kumpara sa mga halaga sa mga kalapit na punto sa kanan at kaliwa, at sa puntong sila ay ang pinakamaliit kumpara sa kalapit. puntos. Ang mga punto ay tinatawag na extremum point ng function (mula sa Latin extremum - "extreme"), ang mga puntos at - ang maximum na mga puntos, at ang punto - ang pinakamababang punto (mula sa Latin na maximum at minimum - "pinakamalaki" at "pinakamaliit ”).
Linawin natin ang kahulugan ng extremum.
Ang isang function sa isang punto ay sinasabing may pinakamataas kung mayroong isang pagitan na naglalaman ng punto at kabilang sa domain ng kahulugan ng function na para sa lahat ng mga punto ng pagitan na ito ay lumabas. Alinsunod dito, ang isang function sa isang punto ay may pinakamababa kung ang kundisyon ay nasiyahan para sa lahat ng mga punto ng isang tiyak na agwat.
Sa Fig. Ang 2 at 3 ay nagpapakita ng mga graph ng mga function na may extremum sa isang punto.
Bigyang-pansin natin ang katotohanan na, sa pamamagitan ng kahulugan, ang extremum point ay dapat nasa loob ng agwat na tumutukoy sa function, at hindi sa dulo nito. Samakatuwid, para sa function na ipinapakita sa Fig. 1, hindi namin maaaring ipagpalagay na mayroon itong minimum sa punto.
Kung nasa depinisyon na ito maximum (minimum) ng isang function, palitan ang isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng isang hindi mahigpit 
, pagkatapos ay makuha namin ang kahulugan ng isang hindi mahigpit na maximum (hindi mahigpit na minimum). Isaalang-alang natin, halimbawa, ang profile ng tuktok ng bundok (Larawan 4). Ang bawat punto ng isang patag na lugar - isang segment - ay isang punto ng hindi mahigpit na maximum.
Sa differential calculus, ang pag-aaral ng isang function para sa extrema ay napaka-epektibo at medyo simple gamit ang derivative. Isa sa mga pangunahing theorems ng differential calculus, na nagtatatag ng kinakailangang kondisyon para sa extremum ng isang differentiable function, ay ang Fermat's theorem (tingnan ang Fermat's theorem). Hayaang magkaroon ng extremum ang function sa isang punto. Kung mayroong isang derivative sa puntong ito, ito ay katumbas ng zero.
Sa wikang geometriko, ang teorema ni Fermat ay nangangahulugan na sa pinakasukdulan na punto ang tangent sa graph ng function ay pahalang (Larawan 5). Ang kabaligtaran na pahayag, siyempre, ay hindi totoo, tulad ng ipinakita, halimbawa, ng graph sa Fig. 6.
Ang teorama ay pinangalanan pagkatapos ng Pranses na matematiko na si P. Fermat, na isa sa mga unang nakalutas ng ilang matinding problema. Wala pa siyang konsepto ng isang derivative, ngunit gumamit ng isang pamamaraan sa kanyang pananaliksik, ang kakanyahan nito ay ipinahayag sa pahayag ng teorama.
Ang isang sapat na kondisyon para sa extremum ng isang differentiable function ay isang pagbabago sa sign ng derivative. Kung sa isang punto ang derivative ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus, i.e. ang pagbaba nito ay pinapalitan ng pagtaas, kung gayon ang punto ay magiging pinakamababang punto. Sa kabaligtaran, ang isang punto ay magiging pinakamataas na punto kung ang derivative ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus, i.e. mula sa tumataas hanggang sa bumababa.
Ang punto kung saan ang derivative ng isang function ay katumbas ng zero ay tinatawag na stationary. Kung susuriin ang isang differentiable function para sa extremum nito, kung gayon ang lahat ng nakatigil na mga punto nito ay dapat matagpuan at ang mga palatandaan ng derivative sa kaliwa at kanan ng mga ito ay dapat isaalang-alang.
Suriin natin ang function para sa extremum.
Hanapin natin ang derivative nito: 
.
Nahanap namin ang mga halaga ng function sa mga extremum point: , . Ang function graph ay ipinapakita sa Fig. 8.
Tandaan na may mga posibleng kaso kapag naabot ang extremum sa punto kung saan wala ang derivative. Ito ang mga extremum point ng saw profile; 1.
Pinakamataas at pinakamababang problema ang pinakamahalaga sa pisika, mekanika, at iba't ibang aplikasyon ng matematika. Sila ang mga problema na humantong sa matematika sa paglikha ng differential calculus, at differential calculus nagbigay ng makapangyarihan pangkalahatang pamamaraan paglutas ng matinding problema gamit ang mga derivatives.
Panimula
Sa maraming larangan ng agham at praktikal na gawain Kadalasan ang isang tao ay kailangang harapin ang problema ng paghahanap ng extremum ng isang function. Ang katotohanan ay maraming teknikal, pang-ekonomiya, atbp. ang mga proseso ay namodelo ng isang function o ilang function na nakadepende sa mga variable - mga salik na nakakaimpluwensya sa estado ng phenomenon na ginagaya. Kinakailangang hanapin ang sukdulan ng naturang mga pag-andar upang matukoy ang pinakamainam (makatuwiran) na estado at kontrol sa proseso. Kaya sa ekonomiya, ang mga problema ng pagliit ng mga gastos o pag-maximize ng kita ay madalas na nalutas - ang microeconomic na problema ng kumpanya. Sa gawaing ito, hindi namin isinasaalang-alang ang mga isyu sa pagmomodelo, ngunit isinasaalang-alang lamang ang mga algorithm para sa paghahanap ng extrema ng mga function sa pinakasimpleng bersyon, kapag walang mga paghihigpit na ipinapataw sa mga variable (unconditional optimization), at ang extremum ay hinahangad para lamang sa isang layunin na function.
EXTREMA NG FUNCTION
Isaalang-alang ang graph ng isang tuluy-tuloy na function y=f(x) ipinapakita sa figure. Halaga ng function sa isang punto x 1 ay magiging mas maraming halaga gumagana sa lahat ng mga kalapit na punto sa kaliwa at sa kanan ng x 1 . Sa kasong ito, sinasabi namin na ang function ay nasa punto x 1 maximum. Sa punto x Ang function 3 ay malinaw na mayroon ding maximum. Kung isasaalang-alang natin ang punto x 2, kung gayon ang halaga ng pag-andar dito ay mas mababa kaysa sa lahat ng mga kalapit na halaga. Sa kasong ito, sinasabi namin na ang function ay nasa punto x 2 pinakamababa. Gayundin para sa punto x 4 .
Function y=f(x) sa punto x 0 ay mayroon maximum, kung ang halaga ng function sa puntong ito ay mas malaki kaysa sa mga halaga nito sa lahat ng mga punto ng ilang pagitan na naglalaman ng punto x 0, ibig sabihin. kung mayroong ganoong kapitbahayan ng isang punto x 0, na para sa lahat x ≠x 0 , na kabilang sa kapitbahayan na ito, ang hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili f(x) <f(x 0 ) .
Function y=f(x) Mayroon itong pinakamababa sa punto x 0 , kung mayroong ganoong kapitbahayan ng isang punto x 0 , para yan sa lahat x ≠x 0 na kabilang sa kapitbahayan na ito, nananatili ang hindi pagkakapantay-pantay f(x) >f(x 0 .
Ang mga punto kung saan naabot ng function ang maximum at minimum nito ay tinatawag na extremum point, at ang mga value ng function sa mga puntong ito ay tinatawag na extrema ng function.
Bigyang-pansin natin ang katotohanan na ang isang function na tinukoy sa isang segment ay maaaring umabot sa maximum at minimum lamang sa mga puntong nasa loob ng segment na isinasaalang-alang.
Tandaan na kung ang isang function ay may maximum sa isang punto, hindi ito nangangahulugan na sa puntong iyon ay mayroon ang function pinakamataas na halaga sa buong lugar ng kahulugan. Sa figure na tinalakay sa itaas, ang function sa punto x 1 ay may maximum, kahit na may mga punto kung saan ang mga halaga ng function ay mas malaki kaysa sa punto x 1 . Sa partikular, f (x 1) < f (x 4) ibig sabihin. ang minimum ng function ay mas malaki kaysa sa maximum. Mula sa kahulugan ng maximum ay sumusunod lamang na ito ang pinaka pinakamahalaga gumagana sa mga puntong sapat na malapit sa pinakamataas na punto.
Teorama 1. ( Prerequisite pagkakaroon ng extremum.) Kung ang differentiable function y=f(x) ay nasa punto x= x 0 extremum, pagkatapos ang derivative nito sa puntong ito ay magiging zero.
Patunay. Hayaan, para sa katiyakan, sa punto x 0 function ay may maximum. Pagkatapos, para sa sapat na maliliit na pagdaragdag Δ x meron kami f(x
0
+ Δ x)
Pagpasa sa mga hindi pagkakapantay-pantay na ito sa limitasyon sa Δ x→ 0 at isinasaalang-alang na ang derivative f "(x 0) ay umiiral, at samakatuwid ang limitasyon sa kaliwa ay hindi nakasalalay sa kung paano Δ x→ 0, makuha natin ang: sa Δ x → 0 – 0 f" (x 0) ≥ 0 a sa Δ x → 0 + 0 f" (x 0) ≤ 0. Dahil f" (x 0) ay tumutukoy sa isang numero, kung gayon ang dalawang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay magkatugma lamang kung f" (x 0) = 0.
Ang napatunayang theorem ay nagsasaad na ang maximum at minimum na mga puntos ay maaari lamang kabilang sa mga halaga ng argumento kung saan ang derivative ay nagiging zero.
Isinaalang-alang namin ang kaso kapag ang isang function ay may derivative sa lahat ng punto ng isang partikular na segment. Ano ang sitwasyon sa mga kaso kung saan wala ang derivative? Tingnan natin ang mga halimbawa.
y =|x |.
Ang function ay walang derivative sa punto x=0 (sa puntong ito ang graph ng function ay walang tinukoy na tangent), ngunit sa puntong ito ang function ay may pinakamababa, dahil y(0)=0, at para sa lahat x ≠ 0y > 0.
ay walang derivative sa x=0, dahil napupunta ito sa infinity sa x=0. Ngunit sa puntong ito ang function ay may maximum. 
ay walang derivative sa x=0, dahil 
sa x→0. Sa puntong ito ang function ay walang maximum o minimum. Talaga, f(x)=0 at sa x
<0f(x)
<0, а при x
>0f(x)
>0.
Kaya, mula sa mga halimbawang ibinigay at ang theorem na nabuo, malinaw na ang isang function ay maaaring magkaroon ng extremum lamang sa dalawang kaso: 1) sa mga punto kung saan umiiral ang derivative at katumbas ng zero; 2) sa punto kung saan wala ang derivative.
Gayunpaman, kung sa isang punto x 0 alam namin iyon f "(x 0 ) =0, kung gayon ang isa ay hindi maaaring maghinuha mula dito na sa punto x 0 ang function ay may extremum.
Halimbawa.
.
Pero period x Ang =0 ay hindi isang extremum point, dahil sa kaliwa ng puntong ito ang mga halaga ng function ay matatagpuan sa ibaba ng axis baka, at sa kanan sa itaas.
Ang mga halaga ng isang argumento mula sa domain ng isang function kung saan nawawala o wala ang derivative ng function ay tinatawag kritikal na mga punto .
Mula sa lahat ng nasa itaas, sumusunod na ang mga extremum point ng function ay kabilang sa mga kritikal na punto, at, gayunpaman, hindi lahat ng kritikal na punto ay isang extremum point. Samakatuwid, upang mahanap ang extremum ng isang function, kailangan mong hanapin ang lahat ng mga kritikal na punto ng function, at pagkatapos ay suriin ang bawat isa sa mga puntong ito nang hiwalay para sa maximum at minimum. Ang sumusunod na teorama ay nagsisilbi sa layuning ito.
Theorem 2. (Isang sapat na kondisyon para sa pagkakaroon ng extremum.) Hayaang ang function ay tuluy-tuloy sa ilang pagitan na naglalaman ng kritikal na punto x 0, at naiba sa lahat ng punto ng agwat na ito (maliban, marahil, ang punto mismo x 0). Kung, kapag lumilipat mula kaliwa pakanan sa puntong ito, nagbabago ang derivative sign mula plus hanggang minus, pagkatapos ay sa punto x = x 0 function ay may maximum. Kung, kapag dumadaan x 0 mula kaliwa hanggang kanan, ang derivative ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus, pagkatapos ang function ay may pinakamababa sa puntong ito.
Kaya, kung
f "(x)>0 sa x <x 0 at f "(x)< 0 sa x>x 0, pagkatapos x 0 - pinakamataas na punto;
sa x <x 0 at f "(x)> 0 sa x>x 0, pagkatapos x 0 - pinakamababang punto.
Patunay. Ipagpalagay muna natin na kapag dumaan x 0 ang derivative na pagbabago sign mula plus hanggang minus, i.e. sa harap ng lahat x, malapit sa punto x 0 f "(x)> 0 para sa x< x 0 , f "(x)< 0 para sa x>x 0 . Ilapat natin ang theorem ni Lagrange sa pagkakaiba f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), saan c nasa pagitan ng x At x 0 .
Hayaan x< x 0 . Pagkatapos c< x 0 at f "(c)> 0. kaya lang f "(c)(x- x 0)< 0 at samakatuwid
f(x) - f(x 0 )< 0, ibig sabihin. f(x)< f(x 0 ).
Hayaan x > x 0 . Pagkatapos c>x 0 at f "(c)< 0. ibig sabihin f "(c)(x- x 0)< 0. kaya lang f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .
Kaya, para sa lahat ng mga halaga x sapat na malapit sa x 0 f(x) < f(x 0 ) . At ito ay nangangahulugan na sa punto x 0 function ay may maximum.
Ang ikalawang bahagi ng pinakamababang teorama ay napatunayan sa katulad na paraan.
Ilarawan natin ang kahulugan ng theorem na ito sa figure. Hayaan f "(x 1 ) =0 at para sa alinman x, sapat na malapit sa x 1, ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan
f "(x)< 0 sa x< x 1 , f "(x)> 0 sa x>x 1 .
Pagkatapos ay sa kaliwa ng punto x 1 ang function ay tumataas at bumababa sa kanan, samakatuwid, kapag x = x Ang 1 function ay napupunta mula sa pagtaas hanggang sa pagbaba, iyon ay, mayroon itong maximum.
Sa katulad na paraan, maaari nating isaalang-alang ang mga punto x 2 at x 3 .
Ang lahat ng nasa itaas ay maaaring ilarawan sa eskematiko sa larawan:
Panuntunan para sa pag-aaral ng function na y=f(x) para sa extremum
Hanapin ang domain ng isang function f(x).
Hanapin ang unang derivative ng isang function f "(x) .
Tukuyin ang mga kritikal na punto para dito:
hanapin ang tunay na mga ugat ng equation f "(x) =0;
hanapin ang lahat ng mga halaga x kung saan ang derivative f "(x) ay wala.
Tukuyin ang tanda ng derivative sa kaliwa at kanan ng kritikal na punto. Dahil ang sign ng derivative ay nananatiling pare-pareho sa pagitan ng dalawang kritikal na punto, sapat na upang matukoy ang sign ng derivative sa isang punto sa kaliwa at isang punto sa kanan ng kritikal na punto.
Kalkulahin ang halaga ng function sa mga extremum point.
