Bir fonksiyonun en büyük değerini bulmak ne anlama gelir? Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri

Bu hizmetle şunları yapabilirsiniz: bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulmaÇözümün Word'de biçimlendirildiği bir f(x) değişkeni. Dolayısıyla f(x,y) fonksiyonu verilmişse, iki değişkenli fonksiyonun ekstremumunu bulmak gerekir. Artan ve azalan fonksiyonların aralıklarını da bulabilirsiniz.

İşlev girme kuralları:

Tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için gerekli koşul

Tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için yeterli koşul

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

O halde x * noktası, fonksiyonun yerel (global) minimumunun noktasıdır.

Eğer x * noktasında koşul karşılanırsa:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

O halde x * noktası yerel (global) bir maksimumdur.

Örnek No.1. Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun: segmentte.
Çözüm.

Kritik nokta bir x 1 = 2'dir (f'(x)=0). Bu nokta segmente aittir. (0∉ olduğundan x=0 noktası kritik değildir).
Fonksiyonun değerlerini segmentin uçlarında ve kritik noktada hesaplıyoruz.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Cevap: f min = 5/2, x=2; f maks =9, x=1'de

Örnek No. 2. Daha yüksek dereceli türevleri kullanarak y=x-2sin(x) fonksiyonunun ekstremumunu bulun.
Çözüm.
Fonksiyonun türevini bulun: y'=1-2cos(x) . Kritik noktaları bulalım: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. y''=2sin(x)'i buluruz, hesaplarız, yani x= π / 3 +2πk, k∈Z fonksiyonun minimum noktalarıdır; , yani x=- π / 3 +2πk, k∈Z fonksiyonun maksimum noktalarıdır.

Örnek No. 3. x=0 noktası civarındaki ekstremum fonksiyonunu inceleyin.
Çözüm. Burada fonksiyonun ekstremumunu bulmak gerekir. Eğer ekstremum x=0 ise tipini bulun (minimum veya maksimum). Bulunan noktalar arasında x = 0 yoksa f(x=0) fonksiyonunun değerini hesaplayın.
Belirli bir noktanın her iki tarafındaki türev işaretini değiştirmediğinde, olası durumların türevlenebilir fonksiyonlar için bile tükenmediğine dikkat edilmelidir: noktanın bir tarafındaki keyfi olarak küçük bir komşuluk için x 0 veya her iki tarafta türevin işareti değişir. Bu noktalarda fonksiyonları uç noktada incelemek için başka yöntemler kullanmak gerekir.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri

Bir fonksiyonun en büyük değeri, değerlerinin en büyüğü, en küçük değeri ise en küçüğüdür.

Bir fonksiyonun yalnızca bir en büyük ve yalnızca bir en küçük değeri olabilir ya da hiç değeri olmayabilir. Sürekli fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerinin bulunması, bu fonksiyonların aşağıdaki özelliklerine dayanmaktadır:

1) Belirli bir aralıkta (sonlu veya sonsuz) y=f(x) fonksiyonu sürekli ise ve yalnızca bir ekstremuma sahipse ve bu bir maksimum (minimum) ise, fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri olacaktır. bu aralıkta.

2) Eğer f(x) fonksiyonu belirli bir doğru parçası üzerinde sürekli ise bu durumda mutlaka bu parça üzerinde en büyük ve en küçük değerlere sahip olur. Bu değerlere ya segmentin içinde yer alan ekstremum noktalarda ya da bu segmentin sınırlarında ulaşılır.

Bir segmentteki en büyük ve en küçük değerleri bulmak için aşağıdaki şemanın kullanılması önerilir:

1. Türevi bulun.

2. Fonksiyonun =0 veya bulunmayan kritik noktalarını bulun.

3. Fonksiyonun kritik noktalardaki ve segmentin uçlarındaki değerlerini bulun ve bunlardan en büyük f max ve en küçük f max'ı seçin.

Uygulamalı problemleri, özellikle de optimizasyon problemlerini çözerken, X aralığında bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini (global maksimum ve global minimum) bulma problemleri önemlidir. , bağımsız bir değişken seçin ve incelenen değeri bu değişken aracılığıyla ifade edin. Daha sonra elde edilen fonksiyonun istenen en büyük veya en küçük değerini bulun. Bu durumda sonlu veya sonsuz olabilen bağımsız değişkenin değişim aralığı da problemin koşullarından belirlenir.

Örnek.Üstü açık dikdörtgen paralel yüzlü, tabanı kare şeklinde olan tankın içi kalay ile kalaylanmalıdır. Kapasitesi 108 litre ise tankın boyutları ne olmalıdır? kalaylama maliyeti minimum olacak şekilde su?

Çözüm. Belirli bir kapasite için yüzey alanı minimum düzeydeyse, bir tankı kalayla kaplamanın maliyeti minimum düzeyde olacaktır. Tabanın kenarını a dm ile, tankın yüksekliğini b dm ile gösterelim. O zaman yüzeyinin alanı S eşittir

VE

Ortaya çıkan ilişki, rezervuar S'nin yüzey alanı (fonksiyon) ile taban a tarafı (argüman) arasındaki ilişkiyi kurar. Bir ekstremum için S fonksiyonunu inceleyelim. Birinci türevi bulalım, sıfıra eşitleyelim ve elde edilen denklemi çözelim:

Dolayısıyla a = 6. a > 6 için (a) > 0, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Örnek. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma aralıkta.

Çözüm: Belirtilen işlev sayı doğrusu boyunca süreklidir. Bir fonksiyonun türevi

için ve için türev. Bu noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayalım:

.

Verilen aralığın uçlarındaki fonksiyonun değerleri eşittir. Buradan, en yüksek değer fonksiyon at'a eşittir, fonksiyonun en küçük değeri at'ye eşittir.

Kendi kendine test soruları

1. Formdaki belirsizlikleri ortaya çıkarmak için L'Hopital kuralını formüle edin. Liste çeşitli türler L'Hopital kuralının kullanılabileceği belirsizlikler.

2. Artan ve azalan fonksiyonun işaretlerini formüle edin.

3. Bir fonksiyonun maksimum ve minimumunu tanımlayın.

4. Bir ekstremumun varlığı için gerekli koşulu formüle edin.

5. Argümanın hangi değerlerine (hangi noktalara) kritik denir? Bu noktalar nasıl bulunur?

6. Bir fonksiyonun ekstremumunun varlığının yeterli işaretleri nelerdir? Birinci türevi kullanarak bir ekstremumdaki bir fonksiyonu incelemek için bir şemanın ana hatlarını çizin.

7. İkinci türevi kullanarak ekstremumdaki bir fonksiyonu incelemek için bir şemanın ana hatlarını çizin.

8. Bir eğrinin dışbükeyliğini ve içbükeyliğini tanımlayın.

9. Bir fonksiyonun grafiğinin dönüm noktasına ne denir? Bu noktaları bulmak için bir yöntem belirtin.

10. Belirli bir parça üzerinde bir eğrinin dışbükeylik ve içbükeyliğinin gerekli ve yeterli işaretlerini formüle edin.

11. Bir eğrinin asimptotunu tanımlayın. Bir fonksiyonun grafiğinin dikey, yatay ve eğik asimptotları nasıl bulunur?

12. Taslak genel şema Bir fonksiyonu araştırmak ve grafiğini çizmek.

13. Belirli bir aralıkta bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için bir kural oluşturun.

Bu yazımda bunlardan bahsedeceğim en büyük ve en küçük değeri bulma algoritması fonksiyonlar, minimum ve maksimum noktalar.

Teorik olarak kesinlikle bizim için faydalı olacaktır türev tablosu Ve farklılaşma kuralları. Hepsi bu tabakta:

En büyük ve en küçük değeri bulma algoritması.

Açıklamak benim için daha uygun spesifik örnek. Dikkate almak:

Örnek:[–4;0] segmentinde y=x^5+20x^3–65x fonksiyonunun en büyük değerini bulun.

Adım 1. Türevini alıyoruz.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Adım 2. Ekstrem noktaları bulma.

Ekstrem nokta fonksiyonun en büyük veya minimum değerine ulaştığı noktalara denir.

Ekstrem noktaları bulmak için fonksiyonun türevini sıfıra eşitlemeniz gerekir (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Şimdi bu bi'yi çözelim ikinci dereceden denklem ve bulunan kökler uç noktalarımızdır.

Bu tür denklemleri t = x^2'yi, ardından 5t^2 + 60t - 65 = 0'ı değiştirerek çözüyorum.

Denklemi 5 azaltalım, şunu elde ederiz: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Ters değişimi x^2 = t olarak yaparız:

X_(1 ve 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 ve 4) = ±sqrt(-13) (hariç tutuyoruz, olamaz negatif sayılar, tabii ki karmaşık sayılardan bahsetmiyorsak)

Toplam: x_(1) = 1 ve x_(2) = -1 - bunlar bizim uç noktalarımızdır.

Adım 3. En büyük ve en küçük değeri belirleyin.

Değiştirme yöntemi.

Bu koşulda bize [b][–4;0] segmenti verildi. x=1 noktası bu parçaya dahil değildir. Bu yüzden bunu dikkate almıyoruz. Ancak x=-1 noktasına ek olarak parçamızın sol ve sağ sınırlarını, yani -4 ve 0 noktalarını da dikkate almamız gerekir. Bunu yapmak için bu üç noktanın tamamını orijinal fonksiyonda yerine koyarız. Orijinal olanın (y=x^5+20x^3–65x) koşulunda verilen olduğuna dikkat edin, bazı insanlar onu türevin yerine koymaya başlar...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Bu, fonksiyonun en büyük değerinin [b]44 olduğu ve fonksiyonun [-4 parçası üzerindeki maksimum noktası olarak adlandırılan [b]-1 noktasında elde edildiği anlamına gelir; 0].

Karar verdik ve bir cevap aldık, harikayız, rahatlayabilirsiniz. Ama dur! Y(-4)'ü hesaplamanın bir şekilde çok zor olduğunu düşünmüyor musunuz? Sınırlı süre koşullarında başka bir yöntem kullanmak daha iyidir, ben buna şöyle derim:

İşaret tutarlılığı aralıkları boyunca.

Bu aralıklar fonksiyonun türevi için yani iki ikinci dereceden denklemimiz için bulunur.

Ben böyle yapıyorum. Yönlendirilmiş bir bölüm çiziyorum. Noktaları yerleştiriyorum: -4, -1, 0, 1. Her ne kadar verilen parçaya 1 dahil olmasa da işaretin değişmezlik aralıklarını doğru bir şekilde belirlemek için yine de not edilmelidir. 1'den kat kat büyük bir sayı alalım, örneğin 100 ve bunu zihinsel olarak iki ikinci dereceden denklemimiz olan 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65'e yerleştirelim. Hiçbir şeyi saymasak bile, 100 noktasında fonksiyonun artı işareti vardır. Bu, 1'den 100'e kadar olan aralıklar için artı işaretine sahip olduğu anlamına gelir. 1'den geçerken (sağdan sola gidiyoruz) fonksiyon işareti eksiye çevirecektir. 0 noktasından geçerken fonksiyon işaretini koruyacaktır çünkü bu sadece parçanın sınırıdır ve denklemin kökü değildir. -1'den geçerken fonksiyon işareti tekrar artıya çevirecektir.

Teoriden fonksiyonun türevinin nerede olduğunu biliyoruz (ve bunu tam olarak onun için çizdik) işareti artıdan eksiye değiştirir (bizim durumumuzda -1 noktası) fonksiyon ulaşır yerel maksimum (y(-1)=44, daha önce hesaplandığı gibi) bu segmentte (bu mantıksal olarak çok anlaşılır, fonksiyon maksimuma ulaştığı için artmayı bıraktı ve azalmaya başladı).

Buna göre fonksiyonun türevi işareti eksiden artıya değiştirir, elde edildi bir fonksiyonun yerel minimumu. Evet, evet, ayrıca yerel minimum noktanın 1 olduğunu ve y(1)'in segment üzerindeki fonksiyonun minimum değeri olduğunu, örneğin -1'den +∞'a kadar olduğunu bulduk. Lütfen öde büyük ilgi Bunun yalnızca YEREL BİR MİNİMUM, yani belirli bir segmentteki minimum olduğunu. Çünkü fonksiyonun gerçek (global) minimumu orada bir yere, -∞'a ulaşacaktır.

Benim düşünceme göre, ilk yöntem teorik olarak daha basit, ikincisi ise aritmetik işlemler açısından daha basit, ancak teori açısından çok daha karmaşık. Sonuçta, bazen fonksiyonun denklemin kökünden geçerken işareti değiştirmediği durumlar vardır ve genel olarak bu yerel, global maksimumlar ve minimumlarla kafanız karışabilir, ancak yine de bu konuda iyi ustalaşmanız gerekecektir. teknik bir üniversiteye girmeyi planlıyoruz (ve başka neden için Birleşik Devlet Sınavı profiline girip bu görevi çözelim). Ancak pratik ve sadece pratik size bu tür sorunları kesin olarak çözmeyi öğretecektir. Ve web sitemizde eğitim alabilirsiniz. Burada .

Herhangi bir sorunuz varsa veya net olmayan bir şey varsa sormayı unutmayın. Size cevap vermekten ve makalede değişiklik ve eklemeler yapmaktan mutluluk duyacağım. Bu siteyi birlikte oluşturduğumuzu unutmayın!

Ve bunu çözmek için konu hakkında minimum bilgiye ihtiyacınız olacak. Bir sonraki biter akademik yıl, herkes tatile gitmek istiyor ve bu anı daha da yakınlaştırmak için hemen asıl konuya geçeceğim:

Bölgeyle başlayalım. Koşulda belirtilen alan sınırlı kapalı bir düzlem üzerindeki noktalar kümesi. Örneğin, TAM üçgen de dahil olmak üzere bir üçgenin sınırladığı noktalar kümesi (Eğer itibaren sınırlar en az bir noktayı "dikerseniz" bölge artık kapatılmayacaktır). Uygulamada dikdörtgen, dairesel ve biraz daha büyük alanlar da bulunmaktadır. karmaşık şekiller. Matematiksel analiz teorisinde katı tanımların verildiğine dikkat edilmelidir. sınırlamalar, izolasyon, sınırlar vb., ancak herkesin bu kavramların sezgisel düzeyde farkında olduğunu düşünüyorum ve artık daha fazlasına gerek yok.

Düz bir alan standart olarak harfle gösterilir ve kural olarak analitik olarak birkaç denklemle belirtilir. (mutlaka doğrusal olması gerekmez); daha az sıklıkla eşitsizlikler. Tipik laf kalabalığı: “kapalı alan, çizgilerle sınırlı ».

Söz konusu görevin ayrılmaz bir parçası, çizimdeki bir alanın inşasıdır. Bu nasıl yapılır? Listelenen tüm çizgileri çizmeniz gerekir (bu durumda 3 dümdüz) ve olanları analiz edin. Aranan alan genellikle hafif gölgelidir ve sınırları kalın bir çizgiyle işaretlenir:


Aynı alan da ayarlanabilir doğrusal eşitsizlikler: , bazı nedenlerden dolayı genellikle numaralandırılmış bir liste olarak yazılır. sistem.
Sınır bölgeye ait olduğundan tüm eşitsizlikler elbette gevşek.

Ve şimdi görevin özü. Eksenin orijinden doğrudan size doğru çıktığını hayal edin. Şöyle bir fonksiyon düşünün sürekli her birinde alan noktası. Bu fonksiyonun grafiği bazı yüzey Ve küçük mutluluk, günümüzün sorununu çözmek için bu yüzeyin neye benzediğini bilmemize gerek olmamasıdır. Daha yükseğe, daha aşağıya yerleştirilebilir, düzlemle kesişebilir - bunların hepsi önemli değil. Ve aşağıdakiler önemlidir: göre Weierstrass'ın teoremleri, sürekli V sınırlı kapalı fonksiyonun en büyük değerine ulaştığı alan (“en yüksek”) ve en az (“en düşük”) bulunması gereken değerler. Bu değerlere ulaşıldı veya V sabit noktalar, bölgeye aitD , veya bu alanın sınırında kalan noktalarda. Bu, basit ve şeffaf bir çözüm algoritmasına yol açar:

Örnek 1

Sınırlı olarak kapalı alan

Çözüm: Öncelikle çizimdeki alanı tasvir etmeniz gerekiyor. Maalesef sorunun etkileşimli bir modelini yapmak benim için teknik olarak zor ve bu nedenle araştırma sırasında bulunan tüm "şüpheli" noktaları gösteren son çizimi hemen sunacağım. Genellikle keşfedildiklerinde birbiri ardına listelenirler:

Giriş kısmına dayanarak, karar rahatlıkla iki noktaya ayrılabilir:

I) Durağan noktaları bulun. Bu, sınıfta tekrar tekrar uyguladığımız standart bir eylemdir. birkaç değişkenin ekstremumları hakkında:

Bulunan sabit nokta ait alanlar: (çizim üzerinde işaretleyin) Bu, fonksiyonun değerini belirli bir noktada hesaplamamız gerektiği anlamına gelir:

- makalede olduğu gibi Bir fonksiyonun bir segmentteki en büyük ve en küçük değerleriÖnemli sonuçları kalın harflerle vurgulayacağım. Bunları bir defterde kalemle takip etmek uygundur.

İkinci mutluluğumuza dikkat edin - kontrol etmenin bir anlamı yok bir ekstremum için yeterli koşul. Neden? Fonksiyonun ulaştığı bir noktada bile, örneğin, yerel minimum, o zaman bu, elde edilen değerin şu şekilde olacağı anlamına gelmez: asgari bölge genelinde (bkz: dersin başlangıcı koşulsuz aşırılıklar hakkında) .

Sabit nokta bölgeye ait DEĞİLSE ne yapmalı? Neredeyse hiçbir şey! Bunu not edip bir sonraki noktaya geçmek gerekiyor.

II) Bölgenin sınırlarını araştırıyoruz.

Kenarlık bir üçgenin kenarlarından oluştuğu için çalışmayı 3 alt bölüme ayırmak uygun olacaktır. Ama yine de bunu yapmamak daha iyidir. Benim bakış açıma göre, öncelikle koordinat eksenlerine paralel olan bölümleri ve her şeyden önce eksenlerin üzerinde yer alan bölümleri dikkate almak daha avantajlıdır. Eylemlerin tüm sırasını ve mantığını kavramak için, "tek nefeste" sonunu incelemeye çalışın:

1) Üçgenin alt tarafını ele alalım. Bunu yapmak için doğrudan işlevin yerine şunu yazın:

Alternatif olarak bunu şu şekilde de yapabilirsiniz:

Geometrik olarak bu, koordinat düzleminin (bu aynı zamanda denklemde de verilmektedir)"oymak" yüzeyler Tepesi hemen şüphe konusu olan "uzaysal" bir parabol. Hadi öğrenelim o nerede:

– ortaya çıkan değer alana “düştü” ve bu noktada pekala ortaya çıkabilir (çizimde işaretlenmiştir) fonksiyon tüm bölgedeki en büyük veya en küçük değere ulaşır. Öyle ya da böyle, hesaplamaları yapalım:

Diğer “adaylar” ise elbette segmentin sonları. Fonksiyonun değerlerini noktalarda hesaplayalım (çizimde işaretlenmiştir):

Bu arada burada, "sadeleştirilmiş" bir versiyonu kullanarak sözlü bir mini kontrol yapabilirsiniz:

2) Araştırma için sağ tarafüçgeni fonksiyonun yerine koyarız ve "işleri düzene koyarız":

Burada, segmentin önceden işlenmiş ucunu "çaldırarak" hemen kaba bir kontrol gerçekleştireceğiz:
, Harika.

Geometrik durum bir önceki noktayla ilgilidir:

– ortaya çıkan değer aynı zamanda “çıkar alanlarımıza da girdi”, yani ortaya çıkan noktadaki fonksiyonun neye eşit olduğunu hesaplamamız gerekiyor:

Segmentin ikinci ucunu inceleyelim:

Fonksiyonun kullanılması , bir kontrol kontrolü gerçekleştirelim:

3) Muhtemelen herkes geri kalan tarafı nasıl keşfedeceğini tahmin edebilir. Bunu fonksiyona yerleştiriyoruz ve basitleştirmeler yapıyoruz:

Segmentin sonları zaten araştırıldı, ancak taslakta hala işlevi doğru bulup bulmadığımızı kontrol ediyoruz :
– 1. alt paragrafın sonucuyla çakıştı;
– 2. alt paragrafın sonucuyla çakıştı.

Segmentte ilginç bir şey olup olmadığını öğrenmek için kalıyor:

- Orada! Düz çizgiyi denklemde yerine koyarsak, bu "ilginçliğin" ordinatını elde ederiz:

Çizimde bir noktayı işaretliyoruz ve fonksiyonun karşılık gelen değerini buluyoruz:

Hesaplamaları “bütçe” versiyonunu kullanarak kontrol edelim :
, emir.

Ve son adım: Tüm “cesur” sayıları DİKKATLİCE inceliyoruz, hatta yeni başlayanlara tek bir liste yapmalarını öneriyorum:

buradan en büyük ve en küçük değerleri seçiyoruz. Cevap Bulma problemi tarzında yazalım bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri:

Her ihtimale karşı, sonucun geometrik anlamı hakkında bir kez daha yorum yapacağım:
– burası bölgedeki yüzeyin en yüksek noktası;
– burası bölgedeki yüzeyin en alçak noktasıdır.

Analiz edilen görevde 7 "şüpheli" nokta belirledik ancak bunların sayısı görevden göreve değişiyor. Üçgensel bir bölge için minimum “araştırma seti” üç noktadan oluşur. Bu, örneğin fonksiyon şunu belirttiğinde meydana gelir: uçak– hiçbir durağan noktanın olmadığı ve fonksiyonun maksimum/en küçük değerlerine yalnızca üçgenin köşelerinde ulaşabileceği tamamen açıktır. Ancak yalnızca bir veya iki benzer örnek var; genellikle bir tür şeyle uğraşmanız gerekir. 2. dereceden yüzey.

Bu tür görevleri biraz çözerseniz üçgenler başınızı döndürebilir, bu yüzden kare yapmak için sizin için sıra dışı örnekler hazırladım :))

Örnek 2

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma çizgilerle sınırlanmış kapalı bir alanda

Örnek 3

Sınırlı kapalı bir bölgedeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun.

Özel ilgi Hesaplama hatalarını neredeyse tamamen önleyecek olan ara kontrol zincirinin yanı sıra, bölgenin sınırını incelemenin rasyonel düzenine ve tekniğine dikkat edin. Genel olarak konuşursak, bunu istediğiniz şekilde çözebilirsiniz, ancak bazı problemlerde, örneğin Örnek 2'de, hayatınızı çok daha zorlaştırma şansı her zaman vardır. Dersin sonundaki final ödevlerinin yaklaşık bir örneği.

Çözüm algoritmasını sistematize edelim, aksi halde benim bir örümcek olarak gösterdiğim titizlik nedeniyle, 1. örneğin uzun yorum dizisinde bir şekilde kaybolup gitti:

– İlk adımda alanı oluşturuyoruz, gölgelenmesi ve sınırın kalın bir çizgiyle vurgulanması tavsiye edilir. Çözüm sırasında çizimde işaretlenmesi gereken noktalar ortaya çıkacaktır.

– Durağan noktaları bulun ve fonksiyonun değerlerini hesaplayın sadece onlardan olanlarda bölgeye aittir. Ortaya çıkan değerleri metinde vurgularız (örneğin, bunları bir kalemle daire içine alın). Eğer sabit bir nokta bölgeye ait DEĞİLSE bu durumu bir ikonla veya sözlü olarak işaretliyoruz. Hiç sabit nokta yoksa, bunların bulunmadığına dair yazılı bir sonuca varırız. Ne olursa olsun bu nokta atlanamaz!

– Bölgenin sınırlarını araştırıyoruz. Öncelikle koordinat eksenlerine paralel olan düz çizgileri anlamakta fayda var. (eğer varsa). Ayrıca “şüpheli” noktalarda hesaplanan fonksiyon değerlerini de ön plana çıkarıyoruz. Yukarıda çözüm tekniği hakkında çok şey söylendi ve aşağıda başka bir şey daha söylenecek - okuyun, yeniden okuyun, derinlemesine araştırın!

– Seçilen sayılardan en büyük ve en küçük değerleri seçin ve cevabı verin. Bazen bir fonksiyonun bu tür değerlere aynı anda birkaç noktada ulaşması mümkündür - bu durumda tüm bu noktaların cevaba yansıtılması gerekir. Örneğin, ve bunun en küçük değer olduğu ortaya çıktı. Sonra bunu yazıyoruz

Son örnekler başkalarına ithaf edilmiştir faydalı fikirler pratikte faydalı olacaktır:

Örnek 4

Kapalı bir bölgedeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun .

Alanın çifte eşitsizlik biçiminde verildiği yazarın formülasyonunu korudum. Bu koşul, eşdeğer bir sistemle veya bu problem için daha geleneksel bir biçimde yazılabilir:

şunu hatırlatırım doğrusal olmayanüzerinde eşitsizliklerle karşılaştık ve eğer gösterimin geometrik anlamını anlamıyorsanız, lütfen gecikmeyin ve durumu hemen açıklığa kavuşturmayın;-)

Çözüm, her zaman olduğu gibi, bir tür "taban"ı temsil eden bir alan inşa etmekle başlar:

Hmm, bazen sadece bilimin granitini çiğnemek zorunda kalmazsın...

I) Durağan noktaları bulun:

Sistem bir aptalın hayalidir :)

Sabit bir nokta bölgeye aittir, yani sınırında yer alır.

Ve böylece sorun yok... ders iyi geçti - doğru çayı içmenin anlamı budur =)

II) Bölgenin sınırlarını araştırıyoruz. Daha fazla uzatmadan x ekseniyle başlayalım:

1) Eğer öyleyse

Parabolün tepe noktasının nerede olduğunu bulalım:
– böyle anların kıymetini bilin – her şeyin zaten net olduğu noktaya kadar “vurdunuz”. Ancak yine de kontrol etmeyi unutmuyoruz:

Segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayalım:

2) "Tek oturuşta" "tabanın" alt kısmını ele alalım - herhangi bir kompleks olmadan onu fonksiyona yerleştireceğiz ve sadece segmentle ilgileneceğiz:

Kontrol:

Bu zaten tırtıklı pistteki monoton sürüşe biraz heyecan katıyor. Kritik noktaları bulalım:

Haydi karar verelim ikinci dereceden denklem, bununla ilgili başka bir şey hatırlıyor musun? ...Ancak, elbette unutmayın, aksi takdirde bu satırları okumazdınız =) Önceki iki örnekte hesaplamalar olsaydı ondalık sayılar(ki bu arada nadirdir), o zaman burada olağan olanlar bizi bekliyor ortak kesirler. "X" köklerini buluyoruz ve "aday" noktaların karşılık gelen "oyun" koordinatlarını belirlemek için denklemi kullanıyoruz:


Fonksiyonun değerlerini bulunan noktalarda hesaplayalım:

İşlevi kendiniz kontrol edin.

Şimdi kazanılan kupaları dikkatlice inceliyoruz ve yazıyoruz cevap:

Bunlar “aday”, bunlar “aday”!

Kendiniz çözmek için:

Örnek 5

Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulma kapalı bir alanda

Kıvrımlı parantezlerin olduğu bir giriş şu şekilde okunur: "şöyle bir nokta kümesi."

Bazen bu tür örneklerde kullanırlar Lagrange çarpanı yöntemi, ancak onu kullanmaya gerçek bir ihtiyaç olması pek olası değildir. Yani, örneğin, aynı alana sahip bir "de" fonksiyonu verilirse, o zaman onun yerine başka bir şey koyduktan sonra türevi hiçbir zorluk olmadan; Üstelik üst ve alt yarım daireleri ayrı ayrı dikkate almaya gerek kalmadan her şey “tek satırda” (işaretlerle) çizilmiştir. Ama elbette daha fazlası da var karmaşık vakalar Lagrange fonksiyonu olmadan (örneğin bir dairenin denkleminin aynı olduğu yer) Geçinmek zor - tıpkı iyice dinlenmeden idare etmenin zor olduğu gibi!

Herkese iyi eğlenceler, gelecek sezon görüşmek üzere!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2: Çözüm: Çizimdeki alanı gösterelim:

Bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri, dikkate alınan aralıktaki koordinatın kabul edilen en büyük (en küçük) değeridir.

Bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini bulmak için yapmanız gerekenler:

1. Belirli bir segmentte hangi sabit noktaların yer aldığını kontrol edin.
2. Segmentin uçlarındaki ve noktalarındaki fonksiyonun değerini hesaplayın. sabit noktalar 3. noktadan itibaren
3. Elde edilen sonuçlardan en büyük veya en küçük değeri seçin.

Maksimum veya minimum puanları bulmak için yapmanız gerekenler:

1. $f"(x)$ fonksiyonunun türevini bulun
2. $f"(x)=0$ denklemini çözerek sabit noktaları bulun
3. Bir fonksiyonun türevini çarpanlarına ayırın.
4. Bir koordinat çizgisi çizin, üzerine sabit noktalar yerleştirin ve 3. adımdaki gösterimi kullanarak elde edilen aralıklarda türevin işaretlerini belirleyin.
5. Kurala göre maksimum veya minimum noktaları bulun: eğer bir noktada türevin işareti artıdan eksiye değişirse, o zaman bu maksimum nokta olacaktır (eksiden artıya ise, o zaman bu minimum nokta olacaktır). Uygulamada, okların görüntüsünü aralıklarda kullanmak uygundur: türevin pozitif olduğu aralıkta ok yukarı doğru çizilir ve bunun tersi de geçerlidir.

Bazı temel fonksiyonların türevleri tablosu:

Farklılaşmanın temel kuralları

1. Toplamın ve farkın türevi her terimin türevine eşittir

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

$f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$ fonksiyonunun türevini bulun

Toplamın ve farkın türevi her terimin türevine eşittir

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Ürünün türevi.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

$f(x)=4x∙cosx$ türevini bulun

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Bölümün türevi

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ türevini bulun

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Türev karmaşık fonksiyon türevin çarpımına eşit harici fonksiyon iç fonksiyonun türevine

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

$y=2x-ln⁡(x+11)+4$ fonksiyonunun minimum noktasını bulun

1. Fonksiyonun ODZ'sini bulun: $x+11>0; x>-11$

2. $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ fonksiyonunun türevini bulun

3. Türevi sıfıra eşitleyerek durağan noktaları bulun

$(2x+21)/(x+11)=0$

Pay sıfır ve payda sıfır değilse kesir sıfıra eşittir.

$2x+21=0; x≠-11$

4. Bir koordinat çizgisi çizelim, üzerine durağan noktalar yerleştirelim ve elde edilen aralıklarda türevin işaretlerini belirleyelim. Bunu yapmak için, en sağdaki bölgeden herhangi bir sayıyı türevin yerine koyun; örneğin sıfır.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Minimum noktada türevin işareti eksiden artıya değişir, dolayısıyla $-10.5$ noktası minimum noktadır.

Cevap: $-10.5$

$[-5;1]$ segmentinde $y=6x^5-90x^3-5$ fonksiyonunun en büyük değerini bulun

1. $y′=30x^4-270x^2$ fonksiyonunun türevini bulun

2. Türevi sıfıra eşitleyin ve durağan noktaları bulun

$30x^4-270x^2=0$

Toplam $30x^2$ faktörünü parantezlerden çıkaralım

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Her faktörü sıfıra eşitleyelim

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Verilen $[-5;1]$ segmentine ait sabit noktaları seçin

$x=0$ ve $x=-3$ sabit noktaları bize uygundur

4. 3. adımdan itibaren parçanın uçlarındaki ve sabit noktalardaki fonksiyonun değerini hesaplayın