Doğal sayıların bölünmesi ve özellikleri, kuralları ve örnekleri. Doğal bir sayıyı bire bölmenin özellikleri
Bu yazıda hangi kuralları anlayacağız? doğal sayıların bölünmesi. Burada yalnızca ele alacağız doğal sayıların kalansız bölümü veya aynı zamanda adlandırıldığı gibi, tam bölme(yani yalnızca ) olduğu durumlarda). Doğal sayıları kalanla bölmek ayrı bir makaleyi hak ediyor.
Doğal sayıları bölme kuralları, bu makalenin en başında yapılan bölme ve çarpma arasındaki bağlantının izini sürmeden formüle edilemez. Aşağıda en çok Basit kurallar Bu eylemin özelliklerinden doğrudan çıkan bölmeler, eşit doğal sayıların bölünmesi ve bir doğal sayının bire bölünmesidir. Daha sonra çarpım tablosu kullanılarak bölme işlemi örneklerle detaylı olarak ele alınmıştır. Aşağıda on, yüz, bin gibi bölme işlemlerinin nasıl yapıldığı, kayıtları 0 ile biten doğal sayıların bölünmesi ve diğer tüm durumlar gösterilmektedir. Tüm materyaller, çözümlerin ayrıntılı açıklamalarını içeren örneklerle sağlanır. Makalenin sonunda çarpma işlemini kullanarak bölme sonucunun nasıl kontrol edileceğini gösteriyoruz. Sonuç olarak, keyfi doğal sayıları bölmek için gerekli tüm becerilere sahip olacaksınız.
Sayfada gezinme.
Bölme ve çarpma arasındaki ilişki
Bölme ve çarpma arasındaki bağlantıyı izleyelim. Bunu yapmak için, bölmenin, orijinal kümeyi böldüğümüz birkaç özdeş kümenin birleşimi olarak böldüğümüz kümenin temsiliyle ilişkili olduğunu unutmayın (bunun hakkında genel bölme fikri bölümünde konuştuk). Buna karşılık, çarpma, belirli sayıda özdeş kümenin bir grupta birleştirilmesiyle ilişkilidir (gerekirse, genel çarpma fikri olan teori bölümüne bakın). Böylece, bölme çarpmanın tersidir.
Son cümlenin ne anlama geldiğini açıklayalım.
Bunu yapmak için aşağıdaki durumu göz önünde bulundurun. Her biri b küme c nesneye sahip olalım ve bunları tek bir küme halinde birleştirelim, bu da bir nesne üretsin. Doğal sayıları çarpmanın anlamına dayanarak, anlatılan eylemin c·b=a eşitliğine karşılık geldiği ileri sürülebilir. Şimdi elde edilen kümeyi tekrar b özdeş kümeye bölüyoruz. Bu durumda ortaya çıkan her kümede c nesne olacağı açıktır. Daha sonra doğal sayıların bölünmesinin anlamını hatırlayarak a:b=c eşitliğini yazabiliriz.
Şu sonuca varıyoruz: c ve b doğal sayılarının çarpımı a'ya eşitse, a'nın b'ye bölünmesi bölümü c'ye eşittir.
Yani eğer c·b=a ise a:b=c olur. Bununla birlikte, doğal sayıları çarpmanın değişme özelliği nedeniyle, c·b=a eşitliğini b·c=a olarak yeniden yazabiliriz, bu da a:c=b anlamına gelir. Böylece, iki doğal sayı olan c ve b'nin çarpımının a'ya eşit olduğunu, yani c·b=a olduğunu biliyorsak, a:b ve a:c bölümlerinin sırasıyla c ve b'ye eşit olduğunu söyleyebiliriz..
Verilen tüm bilgilere dayanarak, doğal sayıların çarpmaya dayalı bölümünün bir tanımını vermek mümkündür.
Tanım.
Bölümürün bilindiğinde bir faktörün ve diğer faktörün bulunduğu bir eylemdir.
Bu tanıma dayanarak doğal sayıları bölme kuralları oluşturacağız.
Doğal sayıları sıralı çıkarma yöntemiyle bölme
Prensip olarak bölme işleminin çarpma işleminin tersi olduğunu bilmek bu işlemin nasıl yapılacağını öğrenmek için yeterlidir. Ancak doğal sayıları bölme konusunda, bölmenin ardışık çıkarma olarak kabul edildiği başka bir yaklaşımdan bahsetmek istiyorum. Bunun nedeni sadeliği ve açıklığıdır.
Her şeyi olabildiğince açık hale getirmek için bir örneğe bakalım.
Örnek.
12'yi 4'e bölmenin sonucu nedir?
Çözüm.
Doğal sayıları bölmenin anlamına göre ortaya çıkan problem şu şekilde modellenebilir: 12 nesne var, bunların her birinde 4 nesneden oluşan eşit yığınlara bölünmesi gerekiyor, elde edilen yığın sayısı bize sorunun cevabını verecektir. 12:4 bölümünün neye eşit olduğu.
Sırayla, adım adım, ilk öğelerden 4 öğe alalım ve ilk öğeler bitene kadar onlardan gerekli yığınları oluşturalım. Atmamız gereken adım sayısı bize ortaya çıkan yığınların sayısını ve dolayısıyla sorulan sorunun cevabını söyleyecektir.
Yani orijinal 12 maddeden 4'ünü bir kenara koyuyoruz, bunlar ilk yığını oluşturuyor. Bu işlemden sonra orijinal yığında 12−4=8 öğe kalır (gerekirse doğal sayıları çıkarmanın anlamını hatırlayın). Bu 8 eşyadan 4 eşya daha alıp onlardan ikinci bir yığın oluşturuyoruz. Bu işlemden sonra orijinal nesne yığınında 8−4=4 öğe kalır. Açıkçası, kalan öğelerden başka bir üçüncü yığın oluşturabiliriz, bundan sonra orijinal yığında tek bir öğemiz kalmayacak (yani, orijinal yığında 4−4 = 0 öğemiz olacak). Böylece 3 yığınımız oldu ve doğal sayıyı 12'ye böldük diyebiliriz. doğal sayı 4, 3 alırken.
Cevap:
12:4=3 .
Şimdi nesnelerden uzaklaşıp 12 ve 4 doğal sayılarıyla ne yaptığımıza bakalım. Bölme sonucunu veren gerekli eylemlerin sayısını sayarken, sıfır elde edene kadar bölen 4'ün sıralı çıkarma işlemini gerçekleştirdik.
Çözüm: bir doğal sayıyı diğerine bölmek ardışık çıkarma işlemi yapılarak yapılabilir.
Makalenin bu paragrafının materyalini pekiştirmek için başka bir örnekteki çözümü ele alalım.
Örnek.
Sıralı çıkarma işlemi yaparak 108:27 bölümünü hesaplayalım.
Çözüm.
İkinci eylem: 81−27=54.
Üçüncü eylem: 54−27=27.
Dördüncü eylem 27−27=0'dır (bu, eşit doğal sayıların çıkarılması özelliğidir).
Yani 4 kere art arda çıkararak sıfır elde ettik, dolayısıyla 108:27=4.
Cevap:
108:27=4 .
Doğal sayıları bu şekilde bölmenin, yalnızca sonucu elde etmek için az sayıda ardışık çıkarma işleminin gerekli olduğu durumlarda kullanılmasının uygun olduğunu belirtmekte fayda var. Diğer durumlarda, aşağıda ayrıntılı olarak tartışacağımız doğal sayıları bölme kuralları kullanılır.
Eşit doğal sayıların bölümü
Bir doğal sayının kendisine eşit olan doğal sayıya bölümü bire eşittir. Bu ifade eşit doğal sayıları bölme özelliğidir.
Örneğin 1:1=1, 143:143=1, 10,555 ve 10,555 doğal sayılarının bölünmesi sonucu da bir olur.
Bir doğal sayıyı bire bölmek
Çarpım tablosunu kullanarak, çarpım biliniyorsa iki tek basamaklı çarpandan birini ve diğer çarpanı da bulabilirsiniz. Ve bu makalenin ilk paragrafında bölmenin üründeki faktörlerden birini ve diğer faktörü bulmak olduğunu öğrendik. Böylece çarpım tablosunu kullanarak pembe arka plan üzerinde çarpım tablosunda yer alan doğal sayılardan herhangi birini tek basamaklı bir doğal sayıya bölebilirsiniz.
Örneğin 48'i 6'ya bölelim. Çarpım tablosunu kullanarak bu iki yoldan biriyle yapılabilir. Önce grafiksel bir anlatım verelim, sonra açıklamasını verelim.
İlk yöntem (soldaki yukarıdaki resme karşılık gelir). Bölünmeyi (örneğimizde bu doğal sayı 48'dir) üst hücrede bir bölenin bulunduğu sütunda (örneğimizde 6 sayısı) buluruz. Bölmenin sonucu, bulunan temettünün bulunduğu satırın en soldaki hücresindedir. Örneğimiz için bu, mavi daire içine alınmış 8 sayısıdır.
İkinci yöntem (sağdaki yukarıdaki resme karşılık gelir). Bölen 48'i sol hücrede bölenin 6 bulunduğu satırda buluyoruz. Bu durumda gerekli bölüm, bulunan temettü 48'in bulunduğu sütunun üst hücresinde bulunur. Sonuç mavi daire içine alınmıştır.
Çarpım tablosunu kullanarak 48'i 6'ya böldük ve 8 elde ettik.
Malzemeyi pekiştirmek için doğal sayı 7'yi 1'e bölme işlemini gösteren bir çizim sunuyoruz.
10'a, 100'e, 1000'e vb. bölme.
Hemen doğal sayıları 10, 100, 1.000,...'e bölme kuralının formülasyonunu vereceğiz (böyle bir bölmenin mümkün olduğunu varsayacağız) ve bir örnek vereceğiz, ardından gerekli açıklamaları yapacağız.
Bir doğal sayının 10, 100, 1000 vb.'ye bölünmesinin sonucu. sağ tarafta bir, iki, üç vb. sıfırlar atılırsa gösterimi bölen gösteriminden elde edilen bir doğal sayıdır(yani, temettü girişinde bulunan 0 rakamı atılır).
Örneğin, 30'un 10'a bölümü 3'e eşittir (30'un böleninin sağındaki bir basamaklı 0 çıkarılmıştır) ve 120.000:1.000 bölümü 120'ye eşittir (0'ın üç basamağı 30'dan çıkarılmıştır). 120.000 hakkı).
Belirtilen kuralın gerekçelendirilmesi oldukça basittir. Bunu yapmak için, bir doğal sayıyı on, yüz, bin vb. ile çarpma kurallarını hatırlamanız yeterlidir. Bir örnek verelim. 10 200:100 bölümünü hesaplamamız gerekiyor. 102 100 = 10 200 olduğundan toplama ve çarpma arasındaki bağlantı nedeniyle 10 200 doğal sayısını 100'e bölmenin sonucu 102 doğal sayısıdır.
Temettünün ürün olarak temsili
Bazen doğal sayıları bölmek, böleni, en az biri bölene bölünebilen iki sayının çarpımı olarak göstermenize olanak tanır. Bu bölme yöntemi, iki sayının çarpımının bir doğal sayıya bölünmesi özelliğine dayanır.
En basit tipik örneklerden birine bakalım.
Örnek.
Hadi bölelim 30'a 3.
Çözüm.
Açıkçası, 30 bölü, 3 ve 10 doğal sayılarının çarpımı olarak temsil edilebilir. Elimizde 30:3=(3·10):3 var. İki sayının çarpımını bir doğal sayıya bölme özelliğini kullanın. (3·10):3=(3:3)·10=1·10=10'a sahibiz. Yani 30'un 3'e bölümü 10'dur.
Cevap:
30:3=10 .
Benzer birkaç örneğe daha çözüm verelim.
Örnek.
7.200'ü 72'ye bölün.
Çözüm.
Bu durumda 7200 temettüsünü 72 ve 100 sayılarının çarpımı olarak kabul edebiliriz. Bu durumda şu sonucu elde ederiz: 7 200:72=(72·100):72= (72:72)·100=1·100=100.
Cevap:
7 200:72=100 .
Örnek.
1.600.000'ı 160'a bölün.
Çözüm.
Açıkçası, 1.600.000, 160 ile 10.000'in çarpımıdır, yani 1.600.000:160=(160·10.000):160= (160:160)·10.000=1·10.000=10.000.
Cevap:
1 600 000:160=10 000 .
Daha fazlası karmaşık örnekler Temettüyü bir ürün olarak temsil ederken çarpım tablosuna güvenmeniz gerekir. Aşağıdaki örnekler ne demek istediğimizi açıkça ortaya koyacaktır.
Örnek.
5400 doğal sayısını 9'a bölün.
Çözüm.
Çarpım tablosunu kullanarak 54'ü 9'a bölebiliriz, dolayısıyla 5.400 bölüştürücüsünü 54·100'ün çarpımı olarak sunmak ve bölmeyi tamamlamak mantıklıdır: 5,400:9=(54·100):9= (54:9) ·100=6·100 =600 .
Cevap:
5 400:9=600 .
Malzemeyi pekiştirmek için başka bir örneğin çözümünü düşünün.
Örnek.
120:4 bölümünü hesaplayalım.
Çözüm.
Bunu yapmak için, 120 payını 12 ve 10'un çarpımı olarak temsil ediyoruz ve ardından iki sayının çarpımını bir doğal sayıya bölme özelliğini kullanıyoruz. Sahibiz 120:4=(12·10):4=(12:4)·10=3·10=30.
Cevap:
120:4=30 .
Sonu 0 ile biten doğal sayıları bölme
Burada bir doğal sayıyı iki sayının çarpımına bölme özelliğini hatırlamamız gerekiyor. Nedenini açıklayalım. Girişleri 0 ile biten doğal sayıların bölünmesini gerçekleştirmek için bölen iki doğal sayının çarpımı olarak temsil edilir ve daha sonra bahsi geçen bölme özelliği uygulanır.
Bunu örneklerle anlayalım. Girişleri sıfırla biten iki doğal sayıyı alıp bölelim.
Örnek.
Hadi bölelim 490'a 70.
Çözüm.
70=10·7 olduğuna göre 490:70=490:(10·7). Son ifade, bir doğal sayının çarpımına bölünmesi özelliğinden dolayı (490:10):7'ye eşittir. Önceki paragraflardan birinde 10'a nasıl bölüneceğini öğrenmiştik ve şunu elde ettik: (490:10):7=49:7. Ortaya çıkan bölümü çarpım tablosunu kullanarak buluyoruz ve sonuç olarak 490:70=7 elde ediyoruz.
Cevap:
490:70=7 .
Malzemeyi pekiştirmek için daha karmaşık başka bir örneğin çözümünü ele alalım.
Örnek.
54.000:5.400 bölümünü hesaplayalım.
Çözüm.
5.400'ü 100.54'ün çarpımı olarak temsil ediyoruz ve doğal sayıyı çarpıma bölüyoruz: 54.000:5.400=54.000:(100·54)=(54.000:100):54=540:54. Burada geriye 540'ı 54·10 olarak temsil etmek (gerekirse önceki noktaya dönmek) ve hesaplamaları tamamlamak kalıyor: 540:6=(54·10):54= (54:54)·10=1·10=10 . Yani 54.000:5.400=10.
Cevap:
54 000:5 400=10 .
Bu paragraftaki bilgiler aşağıdaki ifadeyle özetlenebilir: hem temettü hem de bölenin kaydında sağda 0 rakamları varsa, o zaman kayıtlarda aynı sayıda en sağdaki sıfırlardan kurtulmanız ve ardından elde edilen sayıları bölmeniz gerekir.. Örneğin 818.070.000 ve 201.000 doğal sayılarını bölmek, sağdaki bölen ve bölen kayıtlarından üç basamaklı 0'ı çıkardıktan sonra 818.070 ve 201 sayılarını bölmeye indirgenir.
Özel seçimi
A ve b doğal sayıları a'nın b'ye bölünmesini sağlayacak şekilde olsun ve b 10 ile çarpılırsa sonuç a'dan büyük bir sayı olur. Bu durumda a:b bölümü tek basamaklı bir doğal sayıdır, yani 1'den 9'a kadar bir sayıdır ve bulunması en kolay olanıdır. Bunu yapmak için bölen, ürün temettüye eşit olana kadar sırayla 1, 2, 3 vb. ile çarpılır. Böyle bir eşitlik elde edilir edilmez a:b bölümü bulunacaktır.
Bir örneğe bakalım.
Örnek.
108:27 bölümünü bulalım.
Çözüm.
Açıkçası, 108 böleni 27 10 = 270'den küçüktür (gerekirse doğal sayıları karşılaştıran makaleye bakın). Bölümü seçelim. Bunu yapmak için, 108 bölenini elde edene kadar bölen 27'yi sırayla 1, 2, 3, ... ile çarpacağız. Hadi gidelim: 27·1=27, 27·2=54, 27·3=81, 27·4=108 (gerekirse doğal sayıların çarpımı ile ilgili yazıya bakınız). Dolayısıyla 108:27=4.
Cevap:
108:27=4 .
Bu paragrafın sonunda, bu gibi durumlarda bölümün seçilemeyeceğini ancak yardımıyla bulunabileceğini belirtiyoruz.
Temettü payının doğal sayıların toplamı olarak gösterimi
Yukarıda tartışılan yöntemlerin tümü doğal sayıların bölünmesine izin vermiyorsa, o zaman bölen, her biri bölene kolayca bölünen birkaç terimin toplamı olarak temsil edilmelidir. Daha sonra, doğal sayıların toplamını belirli bir sayıya bölme özelliğini kullanmanız ve hesaplamaları tamamlamanız gerekecektir. Kalıntılar ana soru: “Temettüyü hangi terimlerle temsil etmeliyiz”?
Temettüyü oluşturan terimlerin elde edilmesine yönelik algoritmayı açıklayalım. Daha fazla erişilebilirlik için, aynı anda bölenin 8.551'e ve bölenin 17'ye eşit olduğu bir örneği ele alacağız.
Öncelikle bölendeki rakam sayısının bölendeki rakam sayısından ne kadar fazla olduğunu hesaplıyoruz ve bu sayıyı hatırlıyoruz.
Örneğin, temettü doğal sayısı 8551 ise ve bölen 17 sayısı ise, o zaman temettü kaydı 2 basamak daha içerir (8551 dört basamaklı bir sayıdır, 17 iki basamaklı bir sayıdır, yani fark basamak sayısındaki fark 4−2=2) ile belirlenir. Yani 2 sayısını hatırlayın.
Şimdi sağdaki bölen girişine önceki paragrafta elde edilen sayıya göre belirlenen miktarda 0 sayısını ekliyoruz. Üstelik yazılı sayı bölenden büyükse bir önceki paragrafta hatırladığınız sayıdan 1 çıkarmanız gerekir.
Örneğimize dönelim. 17 numaralı bölen girdisinde sağa iki rakam olan 0'ı eklersek 1.700 sayısını elde ederiz. Bu sayı 8551 temettüsünden küçüktür, bu nedenle önceki paragrafta hatırlanan sayının 1 azaltılmasına gerek yoktur. Böylece 2 sayısı hafızamızda kalır.
Bundan sonra sağdaki 1 rakamına bir önceki paragrafta ezberlediğimiz rakama göre belirlenen miktarda 0 rakamını atarız. Bu durumda, daha fazla çalışacağımız bir rakam birimi elde ederiz.
Örneğimizde 1 rakamına 2 sıfır atıyoruz, 100 rakamını elde ediyoruz yani yüzler basamağıyla çalışacağız.
Şimdi bölenden daha büyük bir sayı elde edene kadar böleni çalışma rakamının 1, 2, 3, ... birimleriyle art arda çarpıyoruz.
Örneğimizde çalışan rakam yüzler basamağıdır. Bu nedenle önce yüzler basamağındaki böleni bir birim ile çarparız yani 17'yi 100 ile çarparsak 17·100=1.700 elde ederiz. Ortaya çıkan 1.700 sayısı, 8.551 böleninden küçüktür, bu nedenle böleni yüzler basamağındaki iki birimle çarpmaya, yani 17'yi 200 ile çarpmaya devam ediyoruz. 17·200=3 400'ümüz var<8 551 , поэтому продолжаем процесс. Умножаем 17 на 300 , имеем 17·300=5 100<8 551 ; двигаемся дальше 17·400=6 800<8 551 ; дальше 17·500=8 500<8 551 ; наконец 17·600=10 200>8 551 .
Çarpmanın sondan bir önceki adımında elde edilen sayı, gerekli terimlerin ilkidir.
Analiz edilen örnekte gerekli terim 8.500 sayısıdır (bu sayı 17.500 çarpımına eşittir, bu da 8.500:17=500 olduğunu gösterir, bu eşitliği daha sonra kullanacağız).
Bundan sonra temettü ile bulunan ilk terim arasındaki farkı buluyoruz. Ortaya çıkan sayı sıfıra eşit değilse ikinci terimi bulmaya devam ederiz. Bunu yapmak için algoritmanın açıklanan tüm adımlarını tekrarlıyoruz ancak şimdi burada elde edilen sayıyı temettü olarak alıyoruz. Bu noktada yine sıfırdan farklı bir sayı elde edersek, üçüncü terimi bulmaya devam ederiz, algoritmanın adımlarını tekrarlayarak elde edilen sayıyı bölen olarak alırız. Ve böylece, bu noktada elde edilen sayı sıfıra eşit olana kadar dördüncü, beşinci ve sonraki terimleri bularak daha da ileri gidiyoruz. Burada 0 alır almaz tüm terimler bulunur ve orijinal bölümün hesaplanmasının son kısmına geçebiliriz.
Örneğimize dönelim. Bu adımda 8,551−8,500=51 elde ederiz. 51, 0'a eşit olmadığı için bu sayıyı bölen olarak alıyoruz ve algoritmanın tüm adımlarını onunla tekrarlıyoruz.
51 sayısının ve böleni 17'nin kayıtlarındaki karakter sayısı aynı olduğundan 0 sayısını hatırlıyoruz.
Bölen girişinde 0 sayısını ezberlediğimiz için sağa tek haneli 0 eklemeye gerek kalmıyor. Yani 17 sayısı olduğu gibi kalıyor. Bu sayı 51'den küçüktür, dolayısıyla ezberlenen 0 sayısından bir çıkarmaya gerek yoktur. Böylece 0 sayısı hafızamızda kalır.
Hafızamızda 0 rakamı olduğu için sağdaki 1 rakamına tek haneli 0 atamayacağız. Yani birler basamağıyla çalışacağız.
Şimdi 51'den büyük bir sayı elde edene kadar 17 bölenini art arda 1, 2, 3 vb. ile çarpıyoruz. 17·1=17'miz var<51 , 17·2=34<51 , 17·3=51 , 17·4=68>51. Sondan bir önceki adımda 51 sayısını elde ettik (bu sayı 17.3 çarpımına eşittir ve bunu daha sonra kullanacağız). Bu nedenle ikinci terim 51 sayısıdır.
Önceki paragrafta elde edilen 51 sayısı ile 51 sayısı arasındaki farkı bulun. 51−51=0 elimizde. Bu nedenle terimleri aramayı bırakıyoruz.
Artık 8,551 temettüsünün 8,500 ve 51 olmak üzere iki terimin toplamı olarak temsil edilmesi gerektiğini biliyoruz.
Bölümü bulmayı bitirelim. Elimizde 8,551:17=(8,500+51):17 var. Şimdi iki sayının toplamını bir doğal sayıya bölme özelliğini hatırlayalım, bu da bizi (8,500+51):17=8,500:17+51:17 eşitliğine götürür. Yukarıda 8,500:17=500 ve 51:17=3 olduğunu öğrendik. Böylece 8500:17+51:17=500+3=503 olur. Yani 8551:17=503.
Bölüntüyü terimlerin toplamı olarak temsil etme becerisini güçlendirmek için başka bir örnek çözmeyi düşünelim.
Örnek.
Hadi bölelim 64'e 2.
Çözüm.
1) Bölünme notasyonunda bölene göre bir işaret daha fazla olduğundan 1 sayısını hatırlıyoruz.
2) Sağdaki bölene bir rakam 0 eklersek, 64 böleninden küçük olan 20 sayısını elde ederiz. Bu nedenle ezberlenen 1 sayısının bir azaltılmasına gerek yoktur.
3) Şimdi 1 rakamının sağına bir rakam 0 atarız (hafızamda 1 rakamı olduğu için), 10 rakamını alırız yani onlar ile çalışacağız.
4) Bölen 2'yi sırayla 10, 20, 30 vb. ile çarpmaya başlıyoruz. Elimizde: 2·10=20<64 ; 2·20=40<64 ; 2·30=60<64 ; 2·40=80>64. Böylece ilk terim 60 sayısıdır (2·30=60 olduğundan 60:2=30 olduğundan bu eşitlik ileride işimize yarayacaktır).
5) 4'e eşit olan 64−60 farkını hesaplayın. Bu sayıyı kolayca 2 bölenine bölebiliriz, dolayısıyla bu sayıyı ikinci (ve son) terim olarak alacağız. (Elbette bu sayıyı bölen olarak alıp algoritmanın tüm adımlarını tekrar gözden geçirebiliriz; bunlar bizi ikinci terimin 4 sayısı olduğu gerçeğine götürecektir.)
Böylece temettü 64'ü iki terim 60 ve 4'ün toplamı olarak sunduk. Hesaplamaları tamamlamak için kalır: 64:2=(60+4):2=60:2+4:2=30+2=32 .
Cevap:
64:2=32 .
Bir örnek daha çözelim.
Örnek.
1 178:31 bölümünü hesaplayalım.
Çözüm.
1) Bölünme notasyonunda bölene göre 2 rakam daha fazladır. Bu nedenle 2 sayısını unutmayın.
2) Sağdaki bölene iki rakam olan 0'ı eklersek, bölenden büyük olan 3 100 sayısını elde ederiz. Bu nedenle önceki paragrafta hatırlanan 2 sayısının bir eksiltilmesi gerekir: 2−1=1, bu sayıyı unutmayın.
3) Şimdi 1 rakamına sağdaki bir rakam olan 0'ı ekliyoruz, 10 rakamını elde ediyoruz ve ardından onlar ile çalışıyoruz.
4) Böleni 10, 20, 30 vb. ile tutarlı bir şekilde çarpın. 31·10=310 elde ederiz<1 178 ; 31·20=620<1 178 ; 31·30=930<1 178 ; 31·40=1 240>1 178. İlk terimi bu şekilde bulduk. 930'a eşittir (daha sonra 31·30=930 eşitliğinden çıkan 930:31=30 eşitliğine ihtiyacımız olacak).
5) Farkı hesaplayın: 1,178−930=248. Sıfıra eşit olmayan bir sayı aldığımız için bunu bölen olarak kabul ediyoruz ve aynı algoritmayı kullanarak ikinci terimi aramaya başlıyoruz.
1) 248 sayısının 31 böleninden 1 rakam fazlası vardır. Bu nedenle 1 sayısını hatırlıyoruz.
2) Sağdaki bölene bir rakam 0 ekleyin, 248 sayısından büyük olan 310 sayısını elde ederiz. Bu nedenle ezberlenen 1 sayısından 1 çıkarılması gerekiyor, bu durumda 0 sayısını alıp hatırlıyoruz.
3) Hafızamızda 0 sayısı olduğu için sağdaki 1 sayısına sıfır eklemeye gerek yoktur. Yani birimlerle çalışıyoruz.
4) 31 bölenini 1, 2, 3 vb. ile tutarlı bir şekilde çarpın. 31·1=31'imiz var<248 , 31·2=62<248 , 31·3=93<248 , 31·4=124<248 , 31·5=155<248 , 31·6=186<248 , 31·7=217<248 , 31·8=248 , 31·9=279>248. İkinci terim 248'e eşittir (248=31·8 eşitliğinden 248:31=8 sonucu çıkar, buna daha sonra ihtiyacımız olacak).
5) 248 sayısı ile ortaya çıkan 248 sayısı arasındaki farkı hesaplarsak 248−248=0 elde ederiz. Sonuç olarak, terim arayışı burada sona ermektedir.
Böylece 1.178'i 930+248'in toplamı olarak temsil ediyoruz. Geriye sadece hesaplamaları tamamlamak kalıyor: 1,178:31=(930+248):31= 930:31+248:31=30+8=38 (930:31=30 ve 248:31 sonuçlarına dikkat ettik) =8 yukarıda) .
Cevap:
1 178:31=38 .
Örnek.
13.984 doğal sayısını 32'ye bölün ve temettüyü birkaç terimin toplamı olarak gösterin.
Çözüm.
Bu örnekte, algoritmanın üç kez uygulanması gerekeceğinden, bölüştürme üç terim olarak temsil edilecektir. Bu durumda ilk terimin 12.800'e (12.800=32·400 dolayısıyla 12.800:32=400), ikinci terimin - 960'a (960=32·30 yani 960:32) eşit olacağı ortaya çıkıyor. =30 ) ve üçüncüsü – 224 (bu durumda 224=32·7, dolayısıyla 224:32=7).
Daha sonra 13 984:32=(12 800+960+224):32= 12 800:32+960:32+224:32= 400+30+7=437 .
Cevap:
13 984:32=437 .
Bu noktada doğal sayıları bölmenin temel kurallarını öğrenmiş sayılabiliriz ve bu kurallar keyfi doğal sayıları bölme işlemini gerçekleştirmek için yeterlidir (eğer bu işlemi gerçekleştirmek mümkün olsa bile). Ancak bazı durumlarda doğal sayıları daha rasyonel, daha hızlı ve daha kolay bölmenize olanak tanıyan bir kurala daha dikkat etmelisiniz.
Kolayca bölünmüş
483:7=69 .
Doğal sayıları çarpma işlemine bölme sonucunu kontrol etme
Doğal sayıların bölünmesi tamamlandıktan sonra elde edilen sonucu kontrol etmek gereksiz olmayacaktır. Bölme sonucunun kontrol edilmesi çarpma kullanılarak gerçekleştirilir: bölme sonucunun doğruluğunu kontrol etmek için bölümü bölenle çarpmanız ve temettüyü almanız gerekir. Çarpma sonucu bölenden farklı bir sayı çıkıyorsa bölme işleminde bir yerde hata yapılmış demektir.
Doğal sayıları bölme işleminin sonucunu kontrol etmek için bu kuralın nereden geldiğini biraz açıklayalım. A nesnesini b yığınlarına bölelim ve her yığın c nesne içeriyor. Doğal sayıları bölmek anlamında yaptığımız eyleme karşılık gelen a:b=c biçiminde bir eşitlik yazabiliriz. Şimdi, her biri c nesne içeren tüm b yığınlarını birleştirirsek, o zaman içinde bir parçanın olacağı orijinal nesneler kümesini elde edeceğimiz açıktır. Yani doğal sayıları çarpma anlamında b·c=a elde ederiz. Dolayısıyla, eğer a:b=c ise b·c=a eşitliği de doğru olmalıdır. Bu, doğal sayıları çarpma kullanarak bölmenin sonucunu kontrol etme kuralının temelidir.
Bölme sonucunun çarpma kullanılarak kontrol edildiği örneklerin çözümlerini ele alalım.
Örnek.
475 doğal sayısı, 19 doğal sayısına bölünerek 25 bölümü elde edilir. Bölme işlemi doğru yapılmış mı?
960+64 (bunu bu makalenin önceki paragraflarından birinde açıklanan algoritmayı kullanarak yaptık). Sonra 1 024:32=(960+64):32= 960:32+64:32=30+2=32 .
Geriye kalan tek şey elde edilen sonucu kontrol etmektir. Bunu yapmak için, elde edilen bölüm 32'yi bölen 32 ile çarpın, 32·32=1,024 elde ederiz. Ortaya çıkan sayı temettüyle örtüştüğünden bölüm doğru hesaplanır.
Cevap:
1 024:32=32 .
Doğal sayıları bölmeye bölme sonucunu kontrol etme
Doğal sayıları bölmenin sonucunu yalnızca çarpmayı kullanarak değil, bölmeyi kullanarak da kontrol edebilirsiniz. Bölme işleminin sonucunu bölme işlemine göre kontrol etmemizi sağlayan bir kural formüle edelim.
İki doğal sayının bölünmesinden elde edilen bölümün doğru bulunup bulunmadığını kontrol etmek için, bölüneni elde edilen bölüme bölmeniz gerekir. Üstelik sonuç bölene eşit bir sayı ise bölme doğru yapılmıştır, aksi takdirde hesaplamaların bir yerinde hata yapılmıştır.
Bu kural, bölen, bölen ve bölüm arasında oldukça açık bir bağlantıya dayanmaktadır. Aşağıdaki hususlar bu bağlantıyı izlememize yardımcı olacaktır. A nesnelerini b yığınlarına bölelim, bundan sonra her yığın c nesneyi içersin. Bu a nesnelerinin her biri c nesne yığınları halinde düzenlenirse, bu tür b yığınlarının olacağı açıktır. Dolayısıyla, eğer a:b=c ise a:c=b , benzer şekilde eğer a:c=b ise a:b=c . Bunu yukarıda paragrafta belirtmiştik.
Doğal sayıları bölme kullanarak bölmenin sonucunu kontrol etmenin birkaç örneğini ele almaya devam ediyoruz.
Örnek.
104 doğal sayısını bölerken 13
Doğal sayıların bölünmesi
Bilginin ve eylem yöntemlerinin entegre uygulanmasına ilişkin bir ders
sistem etkinliği öğretim yöntemine dayalı
5. sınıf
Tam adı Zhukova Nadezhda Nikolaevna
İş yeri : MAOU ortaokul No. 6 Pestovo
İş unvanı : matematik öğretmeni
Konu Doğal sayıların bölünmesi
(bilgi ve eylem yöntemlerinin entegre uygulamasına ilişkin eğitim oturumu)
Hedef: Bilgi ve becerilerin geliştirilmesi için koşullar yaratmakdoğal sayıları bölme becerisi ve değiştirilmiş koşullarda eylem yöntemlerive standart dışı durumlar
:
Ders
Aritmetik işlemi ve yürütülmesinin ilerleyişini gösteren bir durumu simüle ederler, standart olmayan bir problemi çözmek için bir algoritma seçerler ve bileşenler ile aritmetik işlemin sonucu arasındaki ilişkiye dayalı olarak denklemleri çözerler.
Meta konu
Düzenleyici : Eğitim faaliyetinin amacını belirleyin, buna ulaşmanın yollarını uygulayın.
Bilişsel : İçeriği sıkıştırılmış veya genişletilmiş biçimde iletin.
İletişim: Bakış açılarını nasıl ifade edeceklerini biliyorlar, onu kanıtlamaya çalışıyorlar, argümanlar veriyorlar.
Kişisel:
Bireysel acil kişisel gelişim hedeflerini kendilerine açıklarlar, eğitim faaliyetlerinin sonuçlarına ilişkin olumlu bir öz değerlendirme yaparlar, eğitim faaliyetlerinin başarısının nedenlerini anlarlar ve konuyu incelemeye bilişsel ilgi gösterirler.
Dersler sırasında
1. Organizasyon anı.
İşimizde toplama işlemini kullanırız,
İlave şeref ve şeref!
Becerilerin üstüne sabrı da ekleyelim,
Ve miktar başarı getirecek.
Çıkarmayı unutmayın.
Gün boşa gitmesin diye
Çabaların ve bilginin toplamından
Aylaklığı ve tembelliği çıkaracağız!
Çarpma işe yardımcı olacaktır,
Çalışmanın faydalı olması için
Haydi sıkı çalışmayı yüz kat çoğaltalım
Amellerimiz artacak.
Bölüm pratikte hizmet veriyor,
Bize her zaman yardımcı olacaktır.
Zorlukları kim eşit olarak paylaşıyor?
Emeğin başarılarını paylaşın!
Aşağıdakilerden herhangi biri yardımcı olacaktır:
Bize iyi şanslar getiriyorlar.
İşte bu yüzden hayatta birlikteyiz
Bilim ve emek ilerliyor.
II. Dersin konusunu ve hedeflerini formüle etme
Şiiri beğendin mi? Bu konuda neyi beğendin?
(öğrencilerin cevapları)
Çok iyi söyledin. Okuduğumuz satırlar bugünkü dersimize çok iyi uyuyor. Duyduğunuz bir şiiri hatırlayın ve belirlemeye çalışın. dersin konusu.
(Doğal sayıların bölünmesi) (slayt 1) . Dersin tarihini ve konusunu not defterinize yazın.
Bugün “Sayıların Bölünmesi” konulu ilk ders mi? Başka hangi konuda iyi değilsiniz ve ne öğrenmek istiyorsunuz? (öğrencilerin cevapları)
Yani bugün bölme becerilerimizi geliştireceğiz, kararlarımızı gerekçelendirmeyi öğreneceğiz, hataları bulup düzelteceğiz, kendi çalışmalarımızı ve sınıf arkadaşlarımızın çalışmalarını değerlendireceğiz.
III. Aktif eğitimsel ve bilişsel faaliyetlere hazırlık
- Okul çocuklarının öğrenimi için motivasyon
İnsanlık en uzun zamandır bölünmeyi öğreniyor. İtalya'da “Bölünmek zor şeydir” sözü bugüne kadar korunmuştur. Bu hem matematik açısından hem de teknik ve ahlaki açıdan zordur. Bölme ve paylaşma yeteneği herkese verilmemiştir.
Orta Çağ'da bölme işleminde ustalaşan bir kişiye "abaküs doktoru" unvanı verildi.
Abaküs bir abaküstür.
İlk başta bölünme eylemine dair hiçbir işaret yoktu. Bu eylem kelimelerle yazılmıştır.
Ve Hintli matematikçiler bölme işlemini işlemin adının ilk harfiyle yazmışlardır.
Bölme için kullanılan iki nokta üst üste işareti, Alman matematikçi Gottfried Wilhelm Leibniz sayesinde 1684 yılında kullanılmaya başlandı.
Bölünme ayrıca eğik veya yatay bir çizgiyle de gösterilir. Bu işaret ilk kez İtalyan bilim adamı Fibonacci tarafından kullanıldı.
- Çok basamaklı sayıları nasıl böleriz? (Köşe)
Bölündüğünde hangi bileşenlerin çağrıldığını hatırlıyor musunuz?(slayt 2)
- Bölünmenin bileşenleri olan bölen, bölen, bölüm ilk kez Rusya'da Magnitsky tarafından tanıtıldığını biliyor musunuz? Bu bilim adamı kimdir ve gerçek adı neydi? Bir sonraki ders için bu soruların cevaplarını hazırlayın.
2) Öğrencilerin temel bilgilerini güncellemek
- Grafik dikte
1. Bölme, bir üründen ve faktörlerden birinden başka bir faktörün bulunması işlemidir.
2. Bölmenin değişme özelliği vardır.
3. Bölünen payı bulmak için bölümü bölenle çarpmanız gerekir.
4. İstediğiniz sayıya bölebilirsiniz.
5.Böleni bulmak için, bölünen payı bölüme bölmeniz gerekir.
6. Değeri bulunması gereken harfle yapılan eşitliğe denklem denir
(Adı: evet; - hayır) (slayt 3)
ANAHTAR: (slayt 4)
B) Öğrencilerin kartları kullanarak bireysel çalışmaları.
(aynı anda dikte ile)
- 4 sayısının 44 denkleminin kökü olduğunu kanıtlayın: x + 9 = 20.
- Çözüm . Eğer x=4 ise 44:4+9=20
11+9=20
20=20, doğru.
2. Hesaplayın: a) 16224: 52 = (312) d) 13725: 45 = (305)
B) 4230:18 = (235) d) 54756: 39 = (1404)
c) 9800: 28= (350)
3. Denklemi çözün: 124: (y – 5) = 31
Cevap: y=9
4. İki öğrenci kart kullanarak çalışır: her biri 3 görevi çözer ve birbirlerine teori soruları sorar
c) Bireysel çalışmanın toplu doğrulanması (slayt 5)
(Öğrenciler teoriyle ilgili cevaplayıcı soruları sorarlar)
- Bilginin ve eylem yöntemlerinin uygulanması
A) Kendi kendine test ile bağımsız çalışma(Slayt 6-7)
Yalnızca bölümün üç basamaklı olduğu örnekleri seçin ve çözün:
Seçenek 1 Seçenek 2
A)2888: 76 = (38) a)2491:93= (47)
B)6539:13 = (503) b)5698: 14= (407)
B) 5712: 28 = (204) c) 9792: 32 = (306)
B) Beden eğitimi dakikası.
Birlikte ayağa kalkıp esnediler.
Eller kemerin üzerinde, arkasını döndü.
Sağa, sola, bir kez, iki kez,
Başlarını çevirdiler.
Ayak parmaklarımızın üzerinde durduk,
Sırt bir ip ile tutuldu
Şimdi sessizce otur,
Henüz her şeyi yapmadık.
B) Çiftler halinde çalışın (slayt 8)
(ikili çalışma sırasında gerekirse öğretmen istişarelerde bulunur)
Sayı 484 (ders kitabı, sayfa 76)
X cm sekizgenin kenarlarından birinin uzunluğudur
4x+4 4 =24
4x+16=24
4x=24-16
4x=8
X=2
Sekizgenin bir kenarının uzunluğu 2 cm'dir
Denklemleri çözün:
a) 96: x = 8 b) x: 60 = 14 c) 19 * x = 76
D) Grup halinde çalışmak
Görevleri tamamlamaya başlamadan önce grup halinde çalışma kurallarını okuyun
Grup I (1. sıra)
Grup halinde çalışma kuralları
Hataları düzelt:
A)9100:10=91; a) 9100:10 = 910
B)5427: 27=21; b) 5427: 27 = 201
B)474747: 47=101; c) 474 747: 47 = 10101
D)42·11=442. d) 42 11 = 462
Grup II (2. sıra)
Grup halinde çalışma kuralları
- İşbirliğine aktif olarak katılın.
- Muhatabınızı dikkatlice dinleyin.
- Hikayesini bitirene kadar arkadaşınızın sözünü kesmeyin.
- Bu konudaki bakış açınızı kibar bir şekilde ifade edin.
- Başkalarının eksikliklerine ve hatalarına gülmeyin, onları nezaketle belirtin.
Görevin doğru şekilde tamamlanıp tamamlanmadığını kontrol edin. Çözümünüzü sunun
x =1995 ise x:19 +95 ifadesinin değerini bulun.
Çözüm.
Eğer x=1995 ise, x:19 +95 = 1995:19 +95=15+95=110
(1995: 19 + 95 = 200)
Grup III (3. sıra)
Grup halinde çalışma kuralları
- İşbirliğine aktif olarak katılın.
- Muhatabınızı dikkatlice dinleyin.
- Hikayesini bitirene kadar arkadaşınızın sözünü kesmeyin.
- Bu konudaki bakış açınızı kibar bir şekilde ifade edin.
- Başkalarının eksikliklerine ve hatalarına gülmeyin, onları nezaketle belirtin.
Denklemin çözümünde bir hata yapıldığını kanıtlayın.
Denklemi çözün.
124: (y-5) =31
U-5 = 124.31 y – 5 =124: 31
U-5 = 3844y – 5 = 4
Y = 3844+ 5 y = 4+ 5
Y = 3849 y = 9
Cevap: 3849 Cevap: 9
D) Çiftler halinde karşılıklı iş kontrolü
Öğrenciler not defterlerini değiştirir ve birbirlerinin çalışmalarını kontrol eder, basit bir kalemle hataları vurgular ve bir işaret koyar
E) Yapılan çalışmalara ilişkin grup raporu
(Slayt 5-7)
Slayt her grubun görevini gösterir. Grup lideri yapılan hatayı açıklar ve grubun önerdiği çözümü tahtaya yazar.
V. Öğrenci bilgisinin izlenmesi
Bireysel test “Gerçek Anı”
“Bölüm” konulu test
seçenek 1
1. 2876 ve 1'in bölümünü bulun.
a) 1; b) 2876; c) 2875; d) cevabınız_______________
2. Denklem 96'nın kökünü bulun: x =8
a) 88; b) 12; c) 768; d) cevabınız ________________
3 .3900 ile 13'ün bölümünü bulun.
a) 300; b) 3913; c) 30; d) cevabınız_______________
4 .Bir kutuda 48 adet, diğerinde ise 4 kat daha az kalem bulunmaktadır. İki kutuda kaç kalem var?
a) 192; b) 60; c) 240; d) cevabınız________________
5. Biri diğerinden 3 kat büyük olan iki sayıyı bulun ve bunların
Toplamları 32'dir.
a) 20 ve 12; b) 18 ve 14; c)26 ve 6; d) cevabınız_________
“Bölüm” konulu test
Soyad ad___________________________________________
seçenek 2
Doğru cevabın altını çizin veya cevabınızı yazın.
1 .2563 ve 1'in bölümünü bulun.
a) 1; b) 2563; c) 2564; d) cevabınız_______________
2. Denklem 105'in kökünü bulun: x = 3
a) 104; b) 35; c) 315; d) cevabınız ________________
3 .7800 ile 13'ün bölümünü bulun.
a)600; b) 7813; c) 60; d) cevabınız_______________
4 . Arıcının bir küvette 24 kg'ı vardı. tatlım ve diğerinde 2 kat daha fazla. Arıcının iki fıçıda kaç kilo balı vardı?
a) 12; b) 72; c) 48; d) cevabınız_______________
5. Biri diğerinin 4 katından küçük olan iki sayıyı bulun ve
Aralarındaki fark 27
A) 39 ve 12; b) 32 ve 8; c) 2 ve 29; d) cevabınız________________
Test doğrulama anahtarı
seçenek 1
İş numarası | |||||
9; 36 |
VI. Ders özeti. Ev ödevi.
Ev. Egzersiz yapmak. S.12, No. 520,523,528 (deneme).
Böylece dersimiz sona erdi. Çalışmanızın sonuçları hakkında sizinle röportaj yapmak isterim.
Cümlelere devam edin:
Ben... sınıftaki çalışmalarımdan memnunum/memnun değilim
başardım…
O zordu...
Ders materyali... benim için yararlı/yararsızdı
Matematik ne öğretir?
Problemdeki bölme kavramını ele alalım:
Sepette 12 elma vardı. Altı çocuk elmaları ayırdı. Her çocuğa aynı sayıda elma verildi. Her çocuğun kaç elması vardır?
Çözüm:
Altı çocuğa bölüştürmek için 12 elmaya ihtiyacımız var. Problem 12:6'yı matematiksel olarak yazalım.
Veya başka bir şekilde de söyleyebilirsiniz. 12 sayısını elde etmek için 6 sayısını hangi sayıyla çarpmak gerekir? Problemi denklem şeklinde yazalım. Elma sayısını bilmediğimiz için onları x değişkeniyle gösterelim.
Bilinmeyen x'i bulmak için 12:6=2'ye ihtiyacımız var
Cevap: Her çocuğa 2 elma.
12:6=2 örneğine daha yakından bakalım:
12 sayısı denir bölünebilir. Bu bölünen sayıdır.
6 rakamı denir bölen. Bu bölünen sayıdır.
Ve 2 sayısını bölmenin sonucuna denir özel. Bölüm, bölenin bölenden kaç kat daha büyük olduğunu gösterir.
Kelimenin tam anlamıyla, bölüm şöyle görünür:
a:b=c
A– bölünebilir,
B- bölücü,
C- özel.
Peki bölme nedir?
Bölüm- bu bir faktörün ters etkisidir, başka bir faktör bulabiliriz.
Bölme çarpma ile kontrol edilir, yani:
A:
B=
C, şununla kontrol edin⋅B=
A
18:9=2, 2⋅9=18'i kontrol edin
Bilinmeyen çarpan.
Sorunu ele alalım:
Her pakette 3 adet Noel topu bulunur. Noel ağacını süslemek için 30 topa ihtiyacımız var. Kaç paket Noel topuna ihtiyacımız var?
Çözüm:
x – bilinmeyen sayıda top paketi.
Bir paket balonda 3 adet.
30 – toplam top.
x⋅3=30 toplamını 30 elde etmek için 3'ü pek çok kez almamız gerekiyor. x bilinmeyen bir faktördür. Yani, Bilinmeyeni bulmak için ürünü bilinen faktöre bölmeniz gerekir.
x=30:3
x=10.
Cevap: 10 paket balon.
Bilinmeyen temettü.
Sorunu ele alalım:
Her pakette 6 adet renkli kalem bulunmaktadır. Toplamda 3 paket var. Paketlere konulmadan önce toplam kaç kalem vardı?
Çözüm:
x – toplam kalemler,
Her pakette 6 adet kalem,
3 – bir paket kalem.
Problemin denklemini bölme şeklinde yazalım.
x:6=3
x bilinmeyen temettüdür. Bilinmeyen böleni bulmak için bölümü bölenle çarpmanız gerekir.
x=3⋅6
x=18
Cevap: 18 kalem.
Bilinmeyen bölen
Soruna bakalım:
Mağazada 15 top vardı. Gün içerisinde mağazaya 5 müşteri geldi. Alıcılar eşit sayıda balon satın aldı. Her müşteri kaç tane balon satın aldı?
Çözüm:
x – bir alıcının satın aldığı topların sayısı,
5 – alıcı sayısı,
15 – top sayısı.
Problemin denklemini bölme şeklinde yazalım:
15:x=5
x – bu denklemde bilinmeyen bir bölendir. Bilinmeyen böleni bulmak için böleni bölüme böleriz.
x=15:5
x=3
Cevap: Her alıcıya 3 top.
Doğal sayıyı bire bölmenin özellikleri.
Bölme kuralı:
Herhangi bir sayının 1'e bölünmesi aynı sayıyı verir.
7:1=7
A:1=
A
Doğal bir sayıyı sıfıra bölmenin özellikleri.
Bir örneğe bakalım: 6:2=3, 2⋅3=6 ile çarparak doğru böldüğümüzü kontrol edebilirsiniz.
Eğer 3:0 ise kontrol edemeyiz çünkü herhangi bir sayının sıfırla çarpımı sıfır olacaktır. Bu nedenle 3:0 kaydetmenin bir anlamı yok.
Bölme kuralı:
Sıfıra bölemezsiniz.
Sıfırın doğal sayıya bölünmesinin özellikleri.
0:3=0 bu giriş anlamlıdır. Bir şeyi üçe bölersek hiçbir şey elde edemeyiz.
0:
A=0
Bölme kuralı:
0'ı sıfıra eşit olmayan herhangi bir doğal sayıya böldüğünüzde sonuç her zaman 0 olacaktır.
Aynı sayıları bölme özelliği.
3:3=1
A:
A=1
Bölme kuralı:
Sıfıra eşit olmayan herhangi bir sayıyı kendisine böldüğünüzde sonuç 1 olacaktır.
“Bölüm” konusuna ilişkin sorular:
a:b=c girdisinde buradaki bölüm nedir?
Cevap: a:b ve c.
Özel nedir?
Cevap: Bölüm, bölenin bölenden kaç kat daha büyük olduğunu gösterir.
0⋅m=5 girişi m'nin hangi değerindedir?
Cevap: Sıfırla çarpıldığında cevap her zaman 0 olacaktır. Girişin bir anlamı yoktur.
0⋅n=0 olacak şekilde bir n var mı?
Cevap: Evet, giriş mantıklıdır. Herhangi bir sayının 0 ile çarpılması 0 sonucunu verir, yani n herhangi bir sayıdır.
Örnek 1:
İfadenin değerini bulun: a) 0:41 b) 41:41 c) 41:1
Cevap: a) 0:41=0 b) 41:41=1 c) 41:1=41
Örnek #2:
Eşitlik hangi değişken değerleri için doğrudur: a) x:6=8 b) 54:x=9
a) x – bu örnekte bölünebilir. Bölünen payı bulmak için bölümü bölenle çarpmanız gerekir.
x – bilinmeyen temettü,
6 – bölen,
8 – bölüm.
x=8⋅6
x=48
b) 54 – temettü,
x bir bölendir,
9 – bölüm.
Bilinmeyen bir böleni bulmak için, böleni bölüme bölmeniz gerekir.
x=54:9
x=6
Görev 1:
Sasha'nın 15 puanı, Misha'nın ise 45 puanı var. Misha'nın Sasha'dan kaç kat daha fazla pulu var?
Çözüm:
Sorun iki şekilde çözülebilir. İlk yol:
15+15+15=45
45 elde etmek için 3 sayı 15 gerekir, bu nedenle Misha'nın Sasha'dan 3 kat daha fazla puanı vardır.
İkinci yol:
45:15=3
Cevap: Misha'nın Sasha'dan 3 kat daha fazla pulu var.
Bölme, dört temel matematik işleminden (toplama, çıkarma, çarpma) biridir. Bölme işlemi de diğer işlemler gibi sadece matematikte değil günlük yaşamda da önemlidir. Mesela siz bütün sınıf (25 kişi) bağışta bulunarak öğretmene hediye alırsınız ama hepsini harcamazsınız, paranız kalır. Bu yüzden değişimi herkes arasında bölmeniz gerekecek. Bu sorunu çözmenize yardımcı olmak için bölme işlemi devreye giriyor.
Bölünme, bu yazımızda da göreceğimiz gibi ilginç bir operasyondur!
Sayıları bölme
Yani, biraz teori ve sonra pratik! Bölünme nedir? Bölme bir şeyi eşit parçalara ayırmaktır. Yani eşit parçalara bölünmesi gereken bir torba şeker olabilir. Örneğin bir torbada 9 şeker vardır ve bunları almak isteyen kişi üç kişidir. Daha sonra bu 9 şekeri üç kişiye bölüştürmeniz gerekiyor.
Şöyle yazılır: 9:3, cevap 3 sayısı olacaktır. Yani 9 sayısını 3 sayısına bölmek, 9 sayısının içerdiği üç sayının sayısını gösterir. Bunun tersi işlem olan çek ise şu şekilde olacaktır: çarpma işlemi. 3*3=9. Sağ? Kesinlikle.
Şimdi örnek 12:6'ya bakalım. Öncelikle örneğin her bir bileşenini adlandıralım. 12 – temettü, yani. parçalara bölünebilen bir sayı. 6 bir bölendir, bu, temettünün bölündüğü parçaların sayısıdır. Ve sonuç “bölüm” adı verilen bir sayı olacaktır.
12'yi 6'ya bölelim, cevap 2 olacaktır. Çözümü 2*6=12 ile çarparak kontrol edebilirsiniz. 6 sayısının 12 sayısında 2 kez yer aldığı ortaya çıktı.
Kalanlı bölme
Kalanlı bölme nedir? Bu aynı bölme işlemidir, ancak sonuç yukarıda gösterildiği gibi çift sayı değildir.
Örneğin 17'yi 5'e bölelim. 5'e 17'ye bölünebilen en büyük sayı 15 olduğuna göre cevap 3, kalan 2 olur ve şu şekilde yazılır: 17:5 = 3(2).
Örneğin 22:7. Aynı şekilde 7'ye 22'ye bölünebilecek maksimum sayıyı da belirliyoruz. Bu sayı 21'dir. O zaman cevap: 3, kalan 1 olacaktır. Ve yazılır: 22:7 = 3(1).
3 ve 9'a bölme
Bölmenin özel bir durumu, 3 ve 9 sayılarına bölmek olabilir. Bir sayının 3'e mi yoksa 9'a kalansız mı bölündüğünü öğrenmek istiyorsanız, şunları yapmanız gerekir:
Bölünen rakamın rakamlarının toplamını bulun.
3 veya 9'a bölün (ihtiyacınız olana bağlı olarak).
Cevap, kalansız olarak elde edilirse sayı, kalansız olarak bölünür.
Örneğin 18 sayısı. Rakamların toplamı 1+8 = 9'dur. Rakamların toplamı hem 3'e hem de 9'a bölünür. 18:9=2, 18:3=6 sayısı. Kalansız bölünür.
Örneğin 63 sayısı. Rakamların toplamı 6+3 = 9'dur. Hem 9'a hem de 3'e bölünür. 63:9 = 7 ve 63:3 = 21. Bu tür işlemler herhangi bir sayı ile yapılarak bulunur. kalana 3'e veya 9'a bölünebilir mi, bölünemez mi?
Çarpma ve bölme
Çarpma ve bölme zıt işlemlerdir. Çarpma, bölme testi olarak kullanılabilir ve bölme, çarpma testi olarak kullanılabilir. Çarpma hakkında daha fazla bilgi edinebilir ve çarpma işlemine hakim olabilirsiniz. Çarpmayı ayrıntılı olarak ve nasıl doğru şekilde yapılacağını anlatıyor. Burada çarpım tablosunu ve eğitime yönelik örnekleri de bulacaksınız.
İşte bölme ve çarpmayı kontrol etmenin bir örneği. Örneğin 6*4 olduğunu varsayalım. Cevap: 24. O halde cevabı bölme işlemine göre kontrol edelim: 24:4=6, 24:6=4. Doğru karar verildi. Bu durumda kontrol, cevabın faktörlerden birine bölünmesiyle gerçekleştirilir.
Veya 56:8 bölümü için bir örnek verilmiştir. Cevap: 7. O zaman test 8*7=56 olacaktır. Sağ? Evet. Bu durumda test, cevabın bölenle çarpılmasıyla gerçekleştirilir.
Bölüm 3. sınıf
Üçüncü sınıfta bölme işlemine yeni başlıyorlar. Bu nedenle üçüncü sınıf öğrencileri en basit problemleri çözerler:
Sorun 1. Bir fabrika işçisine 56 adet keki 8 pakete koyma görevi verildi. Her birinde aynı miktarı elde etmek için her pakete kaç tane kek konulmalıdır?
Sorun 2. Yılbaşı gecesi okulda 15 kişilik bir sınıftaki çocuklara 75 şeker verildi. Her çocuğa kaç şeker verilmeli?
Sorun 3. Roma, Sasha ve Misha elma ağacından 27 elma topladılar. Eşit olarak bölünmesi gerekiyorsa her kişiye kaç elma düşer?
Sorun 4. Dört arkadaş 58 kurabiye aldı. Ama sonra onları eşit olarak bölemeyeceklerini anladılar. Her birinin 15 kurabiye alması için çocukların ek olarak kaç kurabiye alması gerekir?
Bölüm 4. sınıf
Dördüncü sınıftaki bölünme üçüncü sınıfa göre daha ciddidir. Tüm hesaplamalar sütun bölme yöntemi kullanılarak yapılır ve bölmeye dahil olan sayılar küçük değildir. Uzun bölme nedir? Cevabı aşağıda bulabilirsiniz:
Sütun bölümü
Uzun bölme nedir? Bu, büyük sayıları bölme işleminin cevabını bulmanızı sağlayan bir yöntemdir. Eğer 16 ve 4 gibi asal sayılar bölünebiliyorsa ve cevap açıksa – 4. O zaman 512:8 bir çocuk için kolay değildir. Ve bu tür örnekleri çözme tekniği hakkında konuşmak bizim görevimizdir.
Bir örneğe bakalım, 512:8.
1 adım. Temettü ve böleni şu şekilde yazalım:
Bölüm sonuçta bölenin altına, hesaplamalar ise temettü altına yazılacaktır.
Adım 2. Bölmeye soldan sağa doğru başlıyoruz. İlk önce 5 sayısını alıyoruz: 
Aşama 3. 5 sayısı 8 sayısından küçüktür, bu da bölmenin mümkün olmayacağı anlamına gelir. Bu nedenle temettüden başka bir rakam alıyoruz:
Şimdi 51, 8'den büyüktür. Bu eksik bir bölümdür.
4. Adım. Bölenin altına bir nokta koyuyoruz.
Adım 5. 51'den sonra 2 rakamı daha var, yani cevapta bir rakam daha olacak demektir. bölüm iki basamaklı bir sayıdır. İkinci noktayı koyalım:
Adım 6. Bölme işlemine başlıyoruz. 8'e kalansız olarak 51'e bölünebilen en büyük sayı 48'dir. 48'i 8'e bölersek 6 elde ederiz. Bölenin altına ilk nokta yerine 6 sayısını yazın:
Adım 7. Daha sonra 51 sayısının tam altına sayıyı yazın ve “-” işareti koyun:
Adım 8. Daha sonra 51'den 48'i çıkarırız ve 3 sonucunu alırız.
* 9 adım*. 2 sayısını alıp 3 sayısının yanına yazıyoruz:
Adım 10 Ortaya çıkan 32 sayısını 8'e bölüyoruz ve cevabın ikinci basamağı olan 4'ü alıyoruz.
Yani cevap 64, kalansız. 513 sayısını bölersek kalan 1 olur.
Üç rakamın bölünmesi
Üç basamaklı sayıların bölünmesi, yukarıdaki örnekte açıklanan uzun bölme yöntemi kullanılarak yapılır. Sadece üç basamaklı bir sayı örneği.
Kesirlerin bölünmesi
Kesirleri bölmek ilk bakışta göründüğü kadar zor değildir. Örneğin, (2/3):(1/4). Bu bölmenin yöntemi oldukça basittir. 2/3 temettü, 1/4 bölendir. Bölme işaretini (:) çarpma işaretiyle () değiştirebilirsiniz. ), ancak bunu yapmak için bölenin payını ve paydasını değiştirmeniz gerekir. Yani şunu elde ederiz: (2/3)(4/1), (2/3)*4, bu 8/3 veya 2 tam sayıya ve 2/3'e eşittir. Daha iyi anlaşılması için bir örnek daha verelim. (4/7):(2/5) kesirlerini düşünün:
Önceki örnekte olduğu gibi, 2/5 bölenini ters çevirip 5/2 elde ediyoruz, bölme yerine çarpmayı koyuyoruz. Daha sonra (4/7)*(5/2) elde ederiz. Bir azaltma yapıp cevap veriyoruz: 10/7, sonra tamamını çıkarıyoruz: 1 tam ve 3/7.
Sayıları sınıflara ayırma
148951784296 sayısını hayal edelim ve üç haneye bölelim: 148,951,784,296 Yani sağdan sola: 296 birimler sınıfı, 784 binler sınıfı, 951 milyonlar sınıfı, 148 milyarlar sınıfı. Sırasıyla her sınıfta 3 hanenin kendine ait bir rakamı vardır. Sağdan sola: İlk rakam birlik, ikinci rakam onlar, üçüncü rakam yüzler. Örneğin birim sınıfı 296, 6 birim, 9 onluk, 2 yüzlüktür.
Doğal sayıların bölünmesi
Doğal sayıların bölünmesi bu makalede anlatılan en basit bölme işlemidir. Kalanlı veya kalansız olabilir. Bölen ve bölen, kesirli olmayan herhangi bir tam sayı olabilir. 
Hızlı ve doğru bir şekilde toplamayı, çıkarmayı, çarpmayı, bölmeyi, sayıların karesini almayı ve hatta kökleri çıkarmayı öğrenmek için "Zihinsel aritmetiği değil, zihinsel aritmetiği hızlandırın" kursuna kaydolun. 30 gün içinde aritmetik işlemleri basitleştirmek için kolay hileleri nasıl kullanacağınızı öğreneceksiniz. Her ders yeni teknikler, anlaşılır örnekler ve faydalı görevler içerir.
Bölüm sunumu
Sunum, bölme konusunu görselleştirmenin başka bir yoludur. Aşağıda nasıl bölme yapılacağını, bölmenin ne olduğunu, bölenin, bölenin ve bölümün ne olduğunu açıklayan mükemmel bir sunumun bağlantısını bulacağız. Zamanınızı boşa harcamayın, bilginizi pekiştirin!
Bölme örnekleri
Kolay seviye
Ortalama seviye
Zor seviye
Zihinsel aritmetiği geliştirmeye yönelik oyunlar
Skolkovolu Rus bilim adamlarının katılımıyla geliştirilen özel eğitici oyunlar, ilginç bir oyun biçiminde zihinsel aritmetik becerilerinin geliştirilmesine yardımcı olacak.
Oyun "İşlemi tahmin et"
“Operasyonu Tahmin Et” oyunu düşünmeyi ve hafızayı geliştirir. Oyunun asıl amacı eşitliğin doğru olması için matematiksel bir işaret seçmektir. Örnekler ekranda verilmiştir, dikkatli bakın ve eşitliğin doğru olması için gerekli “+” veya “-” işaretini koyun. “+” ve “-” işaretleri resmin alt kısmında bulunur, istediğiniz işareti seçin ve istediğiniz butona tıklayın. Doğru cevap verirseniz puan kazanırsınız ve oynamaya devam edersiniz.
Oyun "Basitleştirme"
“Basitleştirme” oyunu düşünmeyi ve hafızayı geliştirir. Oyunun temel özü hızlı bir şekilde matematiksel bir işlemi gerçekleştirmektir. Tahtadaki ekrana bir öğrenci çizilir ve bir matematik işlemi yapılır; öğrencinin bu örneği hesaplaması ve cevabını yazması gerekir. Aşağıda üç cevap bulunmaktadır; fareyi kullanarak ihtiyacınız olan sayıyı sayın ve tıklayın. Doğru cevap verirseniz puan kazanırsınız ve oynamaya devam edersiniz.
Oyun "Hızlı ekleme"
"Hızlı Toplama" oyunu düşünmeyi ve hafızayı geliştirir. Oyunun temel özü, toplamı belirli bir sayıya eşit olan sayıları seçmektir. Bu oyunda birden on altıya kadar bir matris verilir. Belirli bir sayı matrisin üzerine yazılır; matristeki sayıları, bu rakamların toplamı verilen sayıya eşit olacak şekilde seçmeniz gerekir. Doğru cevap verirseniz puan kazanırsınız ve oynamaya devam edersiniz.
Görsel Geometri Oyunu
"Görsel Geometri" oyunu düşünmeyi ve hafızayı geliştirir. Oyunun temel özü, gölgeli nesnelerin sayısını hızlı bir şekilde saymak ve onu cevaplar listesinden seçmektir. Bu oyunda ekranda birkaç saniye boyunca mavi kareler gösteriliyor, bunları hızlı bir şekilde saymanız gerekiyor, ardından kapanıyorlar. Tablonun altında dört sayı yazılıdır, bir doğru sayıyı seçip fareyle üzerine tıklamanız gerekir. Doğru cevap verirseniz puan kazanırsınız ve oynamaya devam edersiniz.
Oyun "Kumbara"
Kumbara oyunu düşünmeyi ve hafızayı geliştirir. Oyunun temel özü hangi kumbaranın daha fazla paraya sahip olduğunu seçmektir. Bu oyunda dört kumbara vardır, hangi kumbaranın en çok paraya sahip olduğunu saymanız ve bu kumbarayı fareyle göstermeniz gerekir. Doğru cevap verdiyseniz puan kazanırsınız ve oynamaya devam edersiniz.
Oyun "Hızlı ekleme yeniden yükleme"
“Hızlı ekleme yeniden başlatma” oyunu düşünmeyi, hafızayı ve dikkati geliştirir. Oyunun asıl amacı, toplamı verilen sayıya eşit olacak doğru terimleri seçmektir. Bu oyunda ekranda üç sayı veriliyor ve bir görev veriliyor, sayıyı ekleyin, ekran hangi sayının eklenmesi gerektiğini gösteriyor. Üç numaradan istediğiniz numarayı seçip basıyorsunuz. Doğru cevap verdiyseniz puan kazanırsınız ve oynamaya devam edersiniz.
Olağanüstü zihinsel aritmetiğin gelişimi
Matematiği daha iyi anlamak için buzdağının yalnızca görünen kısmına baktık - kursumuza kaydolun: Zihinsel aritmetiği hızlandırmak - Zihinsel aritmetiği DEĞİL.
Kursta sadece basitleştirilmiş ve hızlı çarpma, toplama, çarpma, bölme ve yüzde hesaplamaya yönelik düzinelerce tekniği öğrenmekle kalmayacak, aynı zamanda bunları özel görevlerde ve eğitici oyunlarda da pratik edeceksiniz! Mental aritmetik ayrıca ilginç problemleri çözerken aktif olarak eğitilmiş çok fazla dikkat ve konsantrasyon gerektirir.
30 günde hızlı okuma
Okuma hızınızı 30 günde 2-3 kat artırın. Dakikada 150-200 ila 300-600 kelime veya dakikada 400 ila 800-1200 kelime. Derste hızlı okumanın geliştirilmesine yönelik geleneksel egzersizler, beyin fonksiyonlarını hızlandıran teknikler, okuma hızını giderek artırma yöntemleri, hızlı okumanın psikolojisi ve kurs katılımcılarından gelen sorular kullanılmaktadır. Dakikada 5000 kelimeye kadar okuyan çocuklar ve yetişkinler için uygundur.
5-10 yaş arası bir çocukta hafıza ve dikkat gelişimi
Kurs, çocukların gelişimi için yararlı ipuçları ve alıştırmalar içeren 30 ders içerir. Her ders faydalı tavsiyeler, çeşitli ilginç alıştırmalar, ders için bir ödev ve sonunda ek bir bonus içerir: ortağımızdan eğitici bir mini oyun. Kurs süresi: 30 gün. Kurs sadece çocuklar için değil ebeveynleri için de faydalıdır.
30 günde süper hafıza
Gerekli bilgileri hızlı ve uzun süre hatırlayın. Bir kapıyı nasıl açacağınızı veya saçınızı nasıl yıkayacağınızı mı merak ediyorsunuz? Eminim hayır, çünkü bu hayatımızın bir parçası. Hafıza eğitimi için kolay ve basit egzersizler hayatınızın bir parçası haline getirilebilir ve gün içinde biraz yapılabilir. Günlük yiyecek miktarını tek seferde tüketebileceğiniz gibi, gün içerisinde porsiyonlar halinde de yiyebilirsiniz.
Beyin kondisyonunun sırları, hafıza eğitimi, dikkat, düşünme, sayma
Beynin de vücut gibi kondisyona ihtiyacı var. Fiziksel egzersiz vücudu güçlendirir, zihinsel egzersiz ise beyni geliştirir. Hafızayı, konsantrasyonu, zekayı ve hızlı okumayı geliştirmeye yönelik 30 günlük faydalı egzersizler ve eğitici oyunlar, beyni güçlendirerek onu kırılması zor bir cevize dönüştürecektir.
Para ve Milyoner Zihniyeti
Neden parayla ilgili sorunlar var? Bu dersimizde bu soruyu ayrıntılı olarak cevaplayacağız, sorunu derinlemesine inceleyeceğiz ve parayla olan ilişkimizi psikolojik, ekonomik ve duygusal açılardan ele alacağız. Kurstan tüm mali sorunlarınızı çözmek, para biriktirmeye başlamak ve geleceğe yatırım yapmak için ne yapmanız gerektiğini öğreneceksiniz.
Paranın psikolojisini ve onunla nasıl çalışılacağını bilmek insanı milyoner yapar. İnsanların %80'i gelirleri arttıkça daha fazla kredi alıyor ve daha da fakirleşiyor. Öte yandan kendi kendine milyoner olanlar sıfırdan başlarlarsa 3-5 yıl sonra tekrar milyonlar kazanacaklar. Bu kurs size geliri nasıl doğru bir şekilde dağıtacağınızı ve giderleri nasıl azaltacağınızı öğretir, sizi çalışmaya ve hedeflere ulaşmaya motive eder, nasıl para yatıracağınızı ve bir dolandırıcılığı nasıl fark edeceğinizi öğretir.
Tek basamaklı doğal sayıları kafanızda bölmek kolaydır. Peki çok basamaklı sayılar nasıl bölünür? Bir sayının zaten ikiden fazla basamağı varsa, zihinsel sayma çok zaman alabilir ve çok basamaklı sayılarla çalışırken hata olasılığı artar.
Sütun bölme, çok basamaklı doğal sayıları bölmek için sıklıkla kullanılan kullanışlı bir yöntemdir. Bu makalenin adandığı yöntem budur. Aşağıda uzun bölme işleminin nasıl yapılacağına bakacağız. Öncelikle, çok basamaklı bir sayıyı tek basamaklı bir sayıya bir sütuna ve ardından çok basamaklı bir sayıyı çok basamaklı bir sayıya bölmek için kullanılan algoritmaya bakalım. Teoriye ek olarak makale, uzun bölmenin pratik örneklerini de sunmaktadır.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Notları kareli kağıt üzerinde tutmak en uygunudur çünkü hesaplamalar yaparken çizgiler rakamlarda kafanızın karışmasını önleyecektir. İlk olarak, bölen ve bölen soldan sağa tek satırda yazılır ve ardından bir sütunda özel bir bölme işaretiyle ayrılır:
Diyelim ki 6105'i 55'e bölmemiz gerekiyor, yazalım:
Ara hesaplamaları temettü altına yazacağız ve sonucu bölenin altına yazacağız. Genel olarak sütun bölme şeması şuna benzer:
Hesaplamaların sayfada boş alan gerektireceğini lütfen unutmayın. Üstelik bölen ve bölen rakamlarındaki fark ne kadar büyük olursa hesaplamalar da o kadar fazla olacaktır.
Örneğin 614.808 ve 51.234 sayılarını bölmek, 8.058 sayısını 4'e bölmekten daha az yer kaplayacaktır. İkinci durumda sayılar daha küçük olsa da basamak sayısındaki fark daha büyük olacak ve hesaplamalar daha zahmetli olacaktır. Bunu örnekleyelim:
Basit örnekleri kullanarak pratik becerileri uygulamak en uygunudur. Bu nedenle 8 ve 2 sayılarını bir sütuna bölelim. Elbette bu işlemi kafanızda veya çarpım tablosunu kullanarak gerçekleştirmek kolaydır, ancak 8 ÷ 2 = 4 olduğunu zaten biliyor olsak da ayrıntılı bir analiz netlik açısından faydalı olacaktır.
Bu nedenle öncelikle sütun bölme yöntemine göre böleni ve böleni yazıyoruz.
Bir sonraki adım, temettüde kaç bölen bulunduğunu bulmaktır. Nasıl yapılır? Böleni sırasıyla 0, 1, 2, 3 ile çarpıyoruz. . Sonuç, temettüye eşit veya daha büyük bir sayı olana kadar bunu yapıyoruz. Sonuç hemen temettüye eşit bir sayıyla sonuçlanırsa, bölenin altına bölenin çarpıldığı sayıyı yazarız.
Aksi takdirde, bölünenden daha büyük bir sayı elde ettiğimizde, bölenin altına sondan bir önceki adımda hesaplanan sayıyı yazarız. Eksik bölümün yerine sondan bir önceki adımda bölenin çarpıldığı sayıyı yazarız.
Örneğe geri dönelim.
2 · 0 = 0; 2 · 1 = 2; 2 · 2 = 4; 2 · 3 = 6; 2 4 = 8
Böylece hemen temettüye eşit bir sayı elde ettik. Bunu bölenin altına yazıyoruz ve bölümün yerine böleni çarptığımız 4 sayısını yazıyoruz.
Şimdi geriye kalan tek şey bölenin altındaki sayıları çıkarmaktır (yine sütun yöntemini kullanarak). Bizim durumumuzda 8 - 8 = 0.
Bu örnek sayıları kalansız bölme işlemidir. Çıkarma işleminden sonra elde edilen sayı, bölümden kalandır. Sıfıra eşitse sayılar kalansız bölünür.
Şimdi sayıların kalana bölündüğü bir örneğe bakalım. 7 doğal sayısını 3 doğal sayısına bölün.
Bu durumda üçü sırayla 0, 1, 2, 3 ile çarpmak. . sonuç olarak şunu elde ediyoruz:
3 0 = 0< 7 ; 3 · 1 = 3 < 7 ; 3 · 2 = 6 < 7 ; 3 · 3 = 9 > 7
Temettü altına sondan bir önceki adımda elde edilen sayıyı yazıyoruz. Böleni kullanarak 2 sayısını - sondan bir önceki adımda elde edilen eksik bölümü - yazıyoruz. 6 elde ettiğimizde böleni ikiyle çarpmıştık.
İşlemi tamamlamak için 7'den 6'yı çıkarın ve şunu elde edin:
Bu örnekte sayıları kalanla bölme işlemi yapılıyor. Kısmi bölüm 2 ve kalan 1'dir.
Şimdi temel örnekleri inceledikten sonra çok basamaklı doğal sayıları tek basamaklı sayılara bölmeye geçelim.
Çok basamaklı 140288 sayısını 4 sayısına bölme örneğini kullanarak sütun bölme algoritmasını ele alacağız. Pratik örnekler kullanarak yöntemin özünü anlamanın çok daha kolay olduğunu hemen söyleyelim ve bu örnek, doğal sayıları bir sütunda bölmenin olası tüm nüanslarını gösterdiği için tesadüfen seçilmedi.
1. Sayıları bölme sembolüyle birlikte bir sütuna yazın. Şimdi temettü notasyonunda soldaki ilk rakama bakın. İki durum mümkündür: Bu rakamla tanımlanan sayı bölenden büyüktür ve bunun tersi de geçerlidir. İlk durumda bu sayıyla çalışıyoruz, ikincisinde ise ek olarak bölen notasyonundaki bir sonraki rakamı alıp ona karşılık gelen iki basamaklı sayıyla çalışıyoruz. Bu noktaya uygun olarak örnek girişte öncelikle çalışacağımız numarayı vurgulayalım. Bu sayı 14'tür çünkü bölen 1'in ilk rakamı bölen 4'ten küçüktür.
2. Ortaya çıkan sayıda payın kaç kez bulunduğunu belirleyin. Bu sayıya x = 14 diyelim. Bölen 4'ü, sıfır dahil olmak üzere ℕ doğal sayılar serisinin her bir üyesiyle art arda çarpıyoruz: 0, 1, 2, 3 vb. Sonuç olarak x veya x'ten büyük bir sayı elde edene kadar bunu yapıyoruz. Çarpmanın sonucu 14 sayısı olduğunda, bunu bir sütunda çıkarma yazma kurallarına göre vurgulanan sayının altına yazıyoruz. Bölenin çarpıldığı faktör bölenin altına yazılır. Çarpmanın sonucu x'ten büyük bir sayı ise, vurgulanan sayının altına sondan bir önceki adımda elde edilen sayıyı yazarız ve eksik bölümün yerine (bölenin altında) çarpmanın gerçekleştirildiği faktörü yazarız. sondan bir önceki adımda.
Algoritmaya uygun olarak elimizde:
4 0 = 0< 14 ; 4 · 1 = 4 < 14 ; 4 · 2 = 8 < 14 ; 4 · 3 = 12 < 14 ; 4 · 4 = 16 > 14 .
Vurgulanan sayının altına sondan bir önceki adımda elde edilen 12 sayısını yazıyoruz. Bölüm yerine 3 faktörünü yazıyoruz.
3. Bir sütun kullanarak 14'ten 12'yi çıkarın, sonucu yatay çizginin altına yazın. İlk noktaya benzeterek ortaya çıkan sayıyı bölenle karşılaştırırız.
4. 2 sayısı 4 sayısından küçüktür, bu nedenle ikiden sonraki yatay çizginin altına bölünenin bir sonraki basamağında yer alan sayıyı yazıyoruz. Bölmede hiç rakam kalmadığı takdirde bölme işlemi sona erer. Örneğimizde, önceki paragrafta elde edilen 2 rakamından sonra, temettünün bir sonraki basamağını - 0 yazıyoruz. Sonuç olarak, yeni bir çalışma numarasına dikkat çekiyoruz - 20.
Önemli!
Doğal sayıları bir sütuna bölme işleminin sonuna kadar 2 - 4 arasındaki noktalar döngüsel olarak tekrarlanır.
2. 20 sayısının kaç böleni olduğunu tekrar sayalım. 4'ü 0, 1, 2, 3 ile çarpmak. . şunu elde ederiz:
Sonuç olarak 20'ye eşit bir sayı aldığımız için bunu işaretli sayının altına yazıyoruz ve bir sonraki rakamda bölümün yerine çarpmanın yapıldığı çarpan olan 5'i yazıyoruz.
3. Çıkarma işlemini bir sütunda gerçekleştiriyoruz. Sayılar eşit olduğundan sonuç sıfır sayısıdır: 20 - 20 = 0.
4. Bu aşama henüz bölme işleminin sonu olmadığı için sıfır sayısını yazmayacağız. Bunu yazabileceğimiz yeri hatırlayalım ve yanına bölüşümün bir sonraki basamağından gelen rakamı yazalım. Bizim durumumuzda bu sayı 2'dir.
Bu sayıyı çalışma sayısı olarak alıp yine algoritmanın adımlarını gerçekleştiriyoruz.
2. Böleni 0, 1, 2, 3 ile çarpın. . ve sonucu işaretlenen sayıyla karşılaştırın.
4 0 = 0< 2 ; 4 · 1 = 4 > 2
Buna göre işaretli sayının altına 0 sayısını, bölümün bir sonraki basamağında bölenin altına da 0 yazıyoruz.
3. Çıkarma işlemini yapıp sonucu satırın altına yazınız.
4. Satırın sağ altına 8 sayısını ekleyin, çünkü bu, bölünen sayının bir sonraki basamağıdır.
Böylece yeni bir çalışma numarası elde ediyoruz - 28. Algoritmanın noktalarını bir kez daha tekrarlıyoruz.
Her şeyi kurallara göre yaptıktan sonra sonucu elde ederiz:
Kâr payının son rakamını - 8 çizgisinin altına taşıyoruz. Algoritma noktaları 2 - 4'ü son kez tekrarlıyoruz ve şunu elde ediyoruz:
En alt satıra 0 sayısını yazıyoruz. Bu sayı yalnızca bölme işleminin son aşamasında, işlem tamamlandığında yazılır.
Böylece 140228 sayısının 4'e bölünmesi sonucu 35072 sayısı elde edilir. Bu örnek çok detaylı bir şekilde analiz edilmiştir ve pratik görevleri çözerken tüm eylemleri bu kadar ayrıntılı bir şekilde tanımlamaya gerek yoktur.
Sayıları sütuna bölmenin diğer örneklerini ve çözüm yazma örneklerini vereceğiz.
Örnek 1. Doğal sayıların sütun bölümü
7136 doğal sayısını 9 doğal sayısına bölün.
Algoritmanın ikinci, üçüncü ve dördüncü adımlarından sonra kayıt şu şekli alacaktır:
Döngüyü tekrarlayalım:
Son geçiş ve sonucu okuduk:
Cevap: 7136 ile 9'un kısmi bölümü 792, kalan 8'dir.
Pratik örnekleri çözerken, sözlü yorum şeklindeki açıklamaları hiç kullanmamak idealdir.
Örnek 2. Doğal sayıları bir sütuna bölmek
7042035 sayısını 7'ye bölün.
Cevap: 1006005
Çok basamaklı sayıları bir sütuna bölmeye yönelik algoritma, çok basamaklı bir sayıyı tek basamaklı bir sayıya bölmeye yönelik daha önce tartışılan algoritmaya çok benzer. Daha kesin olmak gerekirse, değişiklikler yalnızca ilk noktayı ilgilendiriyor, 2 ila 4 arasındaki noktalar ise değişmeden kalıyor.
Tek basamaklı bir sayıya bölme yaparken bölenin sadece ilk basamağına baktıysak, artık bölendeki basamak sayısı kadar bakacağız. Bu basamakların bulduğu sayı bölenden büyük olduğunda, bunu çalışma numarası olarak alıyoruz. Aksi takdirde temettüdeki bir sonraki rakamdan bir rakam daha ekliyoruz. Daha sonra yukarıda anlatılan algoritmanın adımlarını takip ediyoruz.
Bir örnek kullanarak çok basamaklı sayıları bölmeye yönelik algoritmanın uygulamasını ele alalım.
Örnek 3. Doğal sayıların sütun bölümü
5562'yi 206'ya bölelim.
Bölen üç rakam içerdiğinden, hemen bölendeki 556 sayısını seçelim.
556 > 206, dolayısıyla bu sayıyı çalışma sayısı olarak alıyoruz ve agglorhythm'in 2. noktasına geçiyoruz.
206'yı 0, 1, 2, 3 ile çarpın. . ve şunu elde ederiz:
206 0 = 0< 556 ; 206 · 1 = 206 < 556 ; 206 · 2 = 412 < 556 ; 206 · 3 = 618 > 556
618 > 556, dolayısıyla bölenin altına sondan bir önceki eylemin sonucunu yazıyoruz ve bölenin altına 2 faktörünü yazıyoruz
Sütun çıkarma işlemini gerçekleştirin
Çıkarma sonucunda 144 sayısını elde ederiz. Sonucun sağında, satırın altına temettü rakamının ilgili basamağından gelen sayıyı yazıyoruz ve yeni bir çalışma numarası alıyoruz - 1442.
2-4. maddeleri onunla tekrarlıyoruz. Şunu elde ederiz:
206 5 = 1030< 1442 ; 206 · 6 = 1236 < 1442 ; 206 · 7 = 1442
İşaretli çalışma numarasının altına 1442 yazıyoruz ve bir sonraki bölüm basamağına 7 sayısını - çarpanı yazıyoruz.
Çıkarma işlemini bir sütunda gerçekleştiriyoruz ve bunun bölme işleminin sonu olduğunu anlıyoruz: bölende çıkarma sonucunun sağına yazılacak rakam kalmadı.
Bu konuyu sonuçlandırmak için, çok basamaklı sayıları bir sütuna bölmenin başka bir örneğini açıklama yapmadan vereceğiz.
Örnek 5. Doğal sayıların sütun bölümü
238079 doğal sayısını 34'e bölün.
Cevap: 7002
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
