Aritmetik ilerlemenin toplamını bulma formülü. Cebirsel ilerleme

Ders türü: yeni materyal öğrenmek.

Dersin Hedefleri:

• öğrencilerin aritmetik ilerleme kullanılarak çözülen problemlere ilişkin anlayışlarını genişletmek ve derinleştirmek; bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamına ilişkin formülü türetirken öğrencilerin arama etkinliklerini organize etmek;
• bağımsız olarak yeni bilgi edinme ve belirli bir görevi gerçekleştirmek için önceden edinilmiş bilgileri kullanma becerisini geliştirmek;
• elde edilen gerçekleri genelleştirme arzusunu ve ihtiyacını geliştirmek, bağımsızlığı geliştirmek.

Görevler:

• “Aritmetik ilerleme” konusundaki mevcut bilgileri özetlemek ve sistematikleştirmek;
• bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamını hesaplamak için formüller türetmek;
• elde edilen formüllerin çeşitli problemleri çözerken nasıl uygulanacağını öğretmek;
• Öğrencilerin dikkatini sayısal bir ifadenin değerini bulma prosedürüne çekin.

Teçhizat:

• gruplar ve çiftler halinde çalışmaya yönelik görevleri içeren kartlar;
• değerlendirme belgesi;
• sunum “Aritmetik ilerleme”.

I. Temel bilgilerin güncellenmesi.

1. Bağımsız işçift ​​halde.

1. seçenek:

Aritmetik ilerlemeyi tanımlayın. Aritmetik ilerlemeyi tanımlayan bir yineleme formülü yazın. Lütfen aritmetik ilerlemeye bir örnek verin ve farkını belirtin.

2. seçenek:

Aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin formülünü yazın. Aritmetik ilerlemenin 100. terimini bulun ( BİR}: 2, 5, 8 …
Bu sırada tahtanın arkasında oturan iki öğrenci aynı soruların cevaplarını hazırlıyor.
Öğrenciler arkadaşlarının çalışmalarını tahtada kontrol ederek değerlendirirler. (Cevapların bulunduğu kağıtlar teslim edilir.)

2. Oyun anı.

1. Egzersiz.

Öğretmen. Bazı aritmetik ilerlemeler düşündüm. Bana sadece iki soru sor ki, cevaplardan sonra bu ilerlemenin 7. dönemini hızlı bir şekilde adlandırabilesin. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Öğrencilerden gelen sorular.

1. İlerlemenin altıncı dönemi nedir ve fark nedir?
2. İlerlemenin sekizinci terimi nedir ve fark nedir?

Başka soru yoksa, öğretmen onları teşvik edebilir - d'ye (fark) "yasak", yani farkın neye eşit olduğunu sormaya izin verilmez. Soru sorabilirsiniz: ilerlemenin 6. terimi neye eşittir ve ilerlemenin 8. terimi neye eşittir?

Görev 2.

Tahtada yazılı 20 sayı vardır: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Öğretmen sırtı tahtaya dönük olarak ayakta durur. Öğrenciler numarayı söyler ve öğretmen anında numaranın kendisini söyler. Bunu nasıl yapabileceğimi açıkla?

Öğretmen n'inci dönemin formülünü hatırlıyor bir n = 3n – 2 ve belirtilen n değerlerini değiştirerek karşılık gelen değerleri bulur BİR.

II. Bir öğrenme görevi ayarlama.

Mısır papirüslerinde bulunan, MÖ 2. binyıla kadar uzanan eski bir sorunu çözmeyi öneriyorum.

Görev:“Size şunu söyleyelim: 10 ölçek arpayı 10 kişiye bölüştürün, her kişiyle komşusu arasındaki fark 1/8 kadardır.”

• Bu problemin aritmetik ilerleme konusuyla nasıl bir bağlantısı var? (Sonraki her kişi ölçünün 1/8'ini fazla alır yani fark d=1/8, 10 kişi yani n=10 olur.)
• Sizce 10 numaralı tedbir ne anlama geliyor? (İlerlemenin tüm terimlerinin toplamı.)
• Arpanın problemin koşullarına göre bölünmesini kolay ve basit hale getirmek için bilmeniz gereken başka ne var? (İlerlemenin ilk dönemi.)

Dersin Amacı– ilerleme terimlerinin toplamının sayılarına, ilk terime ve farka bağımlılığını elde etmek ve eski zamanlarda problemin doğru çözülüp çözülmediğini kontrol etmek.

Formülü çıkarmadan önce eski Mısırlıların sorunu nasıl çözdüklerine bakalım.

Ve bunu şu şekilde çözdüler:

1) 10 ölçü: 10 = 1 ölçü – ortalama pay;
2) 1 ölçü ∙ = 2 ölçü – iki katına çıkar ortalama paylaşmak.
İki katına çıktı ortalama hisse 5. ve 6. şahısların hisselerinin toplamıdır.
3) 2 ölçü – 1/8 ölçü = 1 7/8 ölçü – beşinci kişinin payının iki katı.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – beşte bir kesri; vb. her bir önceki ve sonraki kişinin payını bulabilirsiniz.

Sırayı alıyoruz:

III. Sorunu çözmek.

1. Grup halinde çalışın

Grup I: Ardışık 20'nin toplamını bulun doğal sayılar: S 20 =(20+1)∙10 =210.

İÇİNDE Genel görünüm

II grubu: 1'den 100'e kadar doğal sayıların toplamını bulun (Küçük Gauss Efsanesi).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Çözüm:

III grubu: 1'den 21'e kadar doğal sayıların toplamını bulun.

Çözüm: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Çözüm:

IV grubu: 1'den 101'e kadar doğal sayıların toplamını bulun.

Çözüm:

Ele alınan problemleri çözmenin bu yöntemine “Gauss Yöntemi” denir.

2. Her grup problemin çözümünü tahtada sunar.

3. Keyfi bir aritmetik ilerleme için önerilen çözümlerin genelleştirilmesi:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Benzer akıl yürütmeyi kullanarak bu toplamı bulalım:

4. Sorunu çözdük mü?(Evet.)

IV. Elde edilen formüllerin problem çözümünde temel olarak anlaşılması ve uygulanması.

1. Formülü kullanarak eski bir problemin çözümünü kontrol etmek.

2. Formülün çeşitli problemlerin çözümünde uygulanması.

3. Problemleri çözerken formülleri uygulama yeteneğini geliştirmeye yönelik alıştırmalar.

A) 613 Sayılı

Verilen: ( BİR) - aritmetik ilerleme;

(bir n): 1, 2, 3,…, 1500

Bulmak: S 1500

Çözüm: , a 1 = 1 ve 1500 = 1500,

B) Verilen: ( BİR) - aritmetik ilerleme;
(bir n): 1, 2, 3, …
Sn = 210

Bulmak: N
Çözüm:

V. Karşılıklı doğrulama ile bağımsız çalışma.

Denis kurye olarak çalışmaya başladı. İlk ayda maaşı 200 rubleydi, sonraki her ayda ise 30 ruble arttı. Bir yılda toplam ne kadar kazandı?

Verilen: ( BİR) - aritmetik ilerleme;
a 1 = 200, d=30, n=12
Bulmak: S12
Çözüm:

Cevap: Denis yıl için 4380 ruble aldı.

VI. Ev ödevi talimatı.

1. Bölüm 4.3 – formülün türetilmesini öğrenin.
2. №№ 585, 623 .
3. Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamına ilişkin formül kullanılarak çözülebilecek bir problem oluşturun.

VII. Dersi özetlemek.

1. Puan Tablosu

2. Cümlelere devam edin

• Bugün sınıfta öğrendim...
• Öğrenilen formüller...
• İnanıyorum ki …

3. 1'den 500'e kadar sayıların toplamını bulabilir misiniz? Bu sorunu çözmek için hangi yöntemi kullanacaksınız?

Kaynakça.

1. Cebir, 9. sınıf. için öğretici Eğitim Kurumları. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: “Aydınlanma”, 2009.

I. V. Yakovlev | Matematik materyalleri | MathUs.ru

Aritmetik ilerleme

Aritmetik ilerleme özel bir dizi türüdür. Bu nedenle, bir aritmetik (ve ardından geometrik) ilerlemeyi tanımlamadan önce, kısaca tartışmalıyız. önemli kavram sayı dizisi.

Alt sıra

Ekranında belirli sayıların birbiri ardına görüntülendiği bir cihaz düşünün. 2 diyelim; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Bu sayı kümesi tam olarak bir dizi örneğidir.

Tanım. Sayı dizisi, her sayıya benzersiz bir sayının atanabileceği (yani tek bir doğal sayıyla ilişkili)1 bir sayı kümesidir. n numaralı sayıya denir n'inci terim diziler.

Yani yukarıdaki örnekte ilk sayı 2'dir, bu dizinin ilk üyesidir ve a1 ile gösterilebilir; beş rakamı 6 rakamına sahiptir, dizinin beşinci terimidir ve a5 ile gösterilebilir. Kesinlikle, n'inci terim diziler bir (veya bn, cn, vb.) ile gösterilir.

Dizinin n'inci teriminin bir formülle belirlenebildiği durum çok uygun bir durumdur. Örneğin an = 2n 3 formülü şu diziyi belirtir: 1; 1; 3; 5; 7; : : : an = (1)n formülü şu sırayı belirtir: 1; 1; 1; 1; : : :

Her sayı kümesi bir dizi değildir. Dolayısıyla bir parça bir dizi değildir; yeniden numaralandırılamayacak kadar çok sayıda sayı içeriyor. Tüm reel sayıların R kümesi de bir dizi değildir. Bu gerçekler matematiksel analiz sırasında kanıtlanmıştır.

Aritmetik ilerleme: temel tanımlar

Artık aritmetik ilerlemeyi tanımlamaya hazırız.

Tanım. Aritmetik ilerleme, her terimin (ikinciden başlayarak) önceki terimin ve bazı sabit sayıların (aritmetik ilerlemenin farkı olarak adlandırılır) toplamına eşit olduğu bir dizidir.

Örneğin dizi 2; 5; 8; on bir; : : : ilk terimi 2 ve farkı 3 olan bir aritmetik ilerlemedir. Sıra 7; 2; 3; 8; : : : ilk terimi 7 ve farkı 5 olan bir aritmetik ilerlemedir. Sıra 3; 3; 3; : : : farkı sıfıra eşit olan bir aritmetik ilerlemedir.

Eşdeğer tanım: an+1 an farkı sabit bir değerse (n'den bağımsız) an dizisine aritmetik ilerleme denir.

Aritmetik ilerlemeye farkı pozitifse artan, farkı negatifse azalan denir.

1 Ama burada daha kısa bir tanım var: Bir dizi, doğal sayılar kümesinde tanımlanan bir fonksiyondur. Örneğin, gerçek sayılar dizisi bir f: N fonksiyonudur! R.

Varsayılan olarak dizilerin sonsuz olduğu, yani sonsuz sayıda sayı içerdiği kabul edilir. Ancak hiç kimse bizi sonlu dizileri dikkate alma zahmetine sokmuyor; aslında herhangi bir sonlu sayı kümesine sonlu bir dizi denilebilir. Örneğin bitiş sırası 1'dir; 2; 3; 4; 5, beş sayıdan oluşur.

Aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formül

Aritmetik ilerlemenin tamamen iki sayı tarafından belirlendiğini anlamak kolaydır: ilk terim ve fark. Bu nedenle şu soru ortaya çıkıyor: İlk terimi ve farkı bilerek, aritmetik ilerlemenin keyfi bir terimini nasıl buluruz?

Bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için gerekli formülü elde etmek zor değildir. izin ver

Problem 1. Aritmetik ilerleme 2'de; 5; 8; on bir; : : : n'inci terimin formülünü bulun ve yüzüncü terimi hesaplayın.

Çözüm. Formül (1)'e göre elimizde:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Aritmetik ilerlemenin özelliği ve işareti

Aritmetik ilerlemenin özelliği. Aritmetik ilerlemede ve herhangi biri için

Başka bir deyişle, bir aritmetik ilerlemenin her üyesi (ikincisinden başlayarak) komşu üyelerinin aritmetik ortalamasıdır.

gerekli olan da buydu.

Daha genel olarak, aritmetik ilerleme an eşitliği sağlar

a n = a n k+ a n+k

herhangi bir n > 2 ve herhangi bir doğal k için< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Formül (2)'nin, dizinin aritmetik bir ilerleme olması için yalnızca gerekli değil, aynı zamanda yeterli bir koşul olarak hizmet ettiği ortaya çıktı.

Aritmetik ilerleme işareti. Eşitlik (2) tüm n > 2 için geçerliyse, an dizisi bir aritmetik ilerlemedir.

Kanıt. Formül (2)'yi şu şekilde yeniden yazalım:

a na n 1= a n+1a n:

Buradan an+1 an farkının n'ye bağlı olmadığını görebiliriz ve bu tam olarak an dizisinin aritmetik bir ilerleme olduğu anlamına gelir.

Aritmetik ilerlemenin özelliği ve işareti tek bir ifade biçiminde formüle edilebilir; Kolaylık sağlamak için bunu yapacağız üç sayı(Sorunlarda sıklıkla karşılaşılan durum budur).

Aritmetik ilerlemenin karakterizasyonu. Üç a, b, c sayısı ancak ve ancak 2b = a + c ise bir aritmetik ilerleme oluşturur.

Problem 2. (MSU, İktisat Fakültesi, 2007) Belirtilen sıraya göre 8x, 3x2 ve 4 numaralı üç sayı azalan bir aritmetik dizi oluşturuyor. X'i bulun ve bu ilerlemenin farkını belirtin.

Çözüm. Aritmetik ilerlemenin özelliği gereği elimizde:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Eğer x = 1 ise 6 farkla 8, 2, 4'lük azalan bir ilerleme elde ederiz. Eğer x = 5 ise 40, 22, 4'lük artan bir ilerleme elde ederiz; bu durum uygun değildir.

Cevap: x = 1, fark 6'dır.

Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı

Efsaneye göre bir gün öğretmen çocuklara 1'den 100'e kadar olan sayıların toplamını bulmalarını söyler ve sessizce oturup gazete okur. Ancak bir çocuğun sorunu çözdüğünü söylemesinden birkaç dakika bile geçmemişti. Bu kişi, daha sonra tarihteki en büyük matematikçilerden biri olacak olan 9 yaşındaki Carl Friedrich Gauss'du.

Küçük Gauss'un fikri şuydu. İzin vermek

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Bu tutarı tersten yazalım:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

ve şu iki formülü ekleyin:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Parantez içindeki her terim 101'e eşittir ve toplamda 100 tane terim vardır.

2S = 101 100 = 10100;

Toplam formülünü türetmek için bu fikri kullanırız

S = a1 + a2 + : : : + an + an n n: (3)

Eğer n'inci terim an = a1 + (n 1)d'nin formülünü yerine koyarsak, formül (3)'ün yararlı bir modifikasyonu elde edilir:

Problem 3. 13'e bölünebilen tüm üç basamaklı pozitif sayıların toplamını bulun.

Çözüm. 13'ün katı olan üç basamaklı sayılar, ilk terimi 104 ve farkı 13 olan bir aritmetik dizi oluşturur; Bu ilerlemenin n'inci terimi şu şekildedir:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

İlerlememizin kaç terim içerdiğini bulalım. Bunu yapmak için eşitsizliği çözüyoruz:

bir 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; numara 6 69:

Yani ilerlememizde 69 üye var. Formül (4)'ü kullanarak gerekli miktarı buluruz:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

İlk seviye

Aritmetik ilerleme. Örneklerle ayrıntılı teori (2019)

Numara dizisi

O halde oturup bazı sayıları yazmaya başlayalım. Örneğin:
Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar sayı olabilir (bizim durumumuzda vardır). Ne kadar sayı yazarsak yazalım her zaman hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğunu vb. sonuncuya kadar söyleyebiliriz, yani onları numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir:

Numara dizisi
Örneğin dizimiz için:

Atanan numara, dizideki yalnızca bir numaraya özeldir. Yani dizide üç saniyelik sayı yok. İkinci sayı (inci sayı gibi) her zaman aynıdır.
Üzerinde sayı bulunan sayıya dizinin inci terimi denir.

Genellikle dizinin tamamını bir harfle (örneğin,) çağırırız ve bu dizinin her üyesi, bu üyenin numarasına eşit bir indeksle aynı harftir: .

Bizim durumumuzda:

Diyelim ki komşu sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayı dizimiz var.
Örneğin:

vesaire.
Bu sayı dizisine aritmetik ilerleme denir.
"İlerleme" terimi, 6. yüzyılda Romalı yazar Boethius tarafından tanıtıldı ve daha geniş anlamda sonsuz bir sayısal dizi olarak anlaşıldı. "Aritmetik" adı, eski Yunanlılar tarafından incelenen sürekli oranlar teorisinden aktarılmıştır.

Bu, her bir üyesi aynı sayıya eklenen bir öncekine eşit olan bir sayı dizisidir. Bu sayıya aritmetik ilerlemenin farkı denir ve gösterilir.

Hangi sayı dizilerinin aritmetik ilerleme olduğunu, hangilerinin olmadığını belirlemeye çalışın:

A)
B)
C)
D)

Anladım? Cevaplarımızı karşılaştıralım:
Dır-dir aritmetik ilerleme - b, c.
Değil aritmetik ilerleme - a, d.

Verilen ilerlemeye () dönelim ve onun inci teriminin değerini bulmaya çalışalım. Var iki onu bulmanın yolu.

1. Yöntem

İlerlemenin 3. dönemine ulaşana kadar ilerleme sayısını önceki değere ekleyebiliriz. Özetleyecek çok fazla şeyimiz olmaması iyi bir şey; yalnızca üç değer:

Yani açıklanan aritmetik ilerlemenin inci terimi eşittir.

2. Yöntem

İlerlemenin inci teriminin değerini bulmamız gerekirse ne olur? Toplama işlemi bir saatten fazla zaman alır ve sayıları toplarken hata yapmayacağımız da bir gerçek değil.
Elbette matematikçiler, aritmetik ilerlemenin farkını önceki değere eklemenin gerekli olmadığı bir yol bulmuşlardır. Çizilen resme daha yakından bakın... Elbette belli bir modeli zaten fark etmişsinizdir, yani:

Örneğin bu aritmetik ilerlemenin . teriminin değerinin nelerden oluştuğuna bakalım:


Başka bir deyişle:

Belirli bir aritmetik ilerlemenin bir üyesinin değerini bu şekilde kendiniz bulmaya çalışın.

Hesapladın mı? Notlarınızı cevapla karşılaştırın:

Aritmetik ilerlemenin terimlerini önceki değere sırayla eklediğimizde, önceki yöntemdekiyle tamamen aynı sayıyı elde ettiğinizi lütfen unutmayın.
Bu formülü "kişiselleştirmeye" çalışalım - genel forma koyalım ve şunu elde edelim:

Aritmetik ilerlemeler artan veya azalan olabilir.

Artan- terimlerin her bir sonraki değerinin bir öncekinden daha büyük olduğu ilerlemeler.
Örneğin:

Azalan- terimlerin her bir sonraki değerinin bir öncekinden daha küçük olduğu ilerlemeler.
Örneğin:

Türetilen formül, bir aritmetik ilerlemenin hem artan hem de azalan terimlerinin hesaplanmasında kullanılır.
Bunu pratikte kontrol edelim.
Bize aşağıdaki sayılardan oluşan bir aritmetik ilerleme veriliyor: Hesaplamak için formülümüzü kullanırsak, bu aritmetik ilerlemenin inci sayısının ne olacağını kontrol edelim:

O zamandan beri:

Dolayısıyla formülün hem azalan hem de artan aritmetik ilerlemede çalıştığına inanıyoruz.
Bu aritmetik ilerlemenin inci ve inci terimlerini kendiniz bulmaya çalışın.

Sonuçları karşılaştıralım:

Aritmetik ilerleme özelliği

Sorunu karmaşıklaştıralım - aritmetik ilerlemenin özelliğini türeteceğiz.
Diyelim ki bize aşağıdaki koşul verildi:
- aritmetik ilerleme, değeri bulun.
Kolay, deyin ve zaten bildiğiniz formüle göre saymaya başlayın:

Haydi o zaman:

Kesinlikle doğru. Önce bulduğumuz, sonra onu ilk sayıya eklediğimiz ve aradığımız şeyi elde ettiğimiz ortaya çıktı. İlerleme küçük değerlerle temsil ediliyorsa, o zaman bunda karmaşık bir şey yoktur, peki ya durumda bize sayılar verilirse? Katılıyorum, hesaplamalarda hata yapma olasılığı var.
Şimdi bu sorunu herhangi bir formülü kullanarak tek adımda çözmenin mümkün olup olmadığını düşünün. Elbette evet ve şimdi bunu ortaya çıkarmaya çalışacağız.

Aritmetik ilerlemenin gerekli terimini, onu bulma formülünü bildiğimiz gibi gösterelim - bu, başlangıçta türettiğimiz formülün aynısıdır:
, Daha sonra:

• ilerlemenin önceki dönemi:
• ilerlemenin bir sonraki dönemi:

İlerlemenin önceki ve sonraki terimlerini özetleyelim:

İlerlemenin önceki ve sonraki terimlerinin toplamının, aralarında bulunan ilerleme teriminin çift değeri olduğu ortaya çıktı. Yani bir ilerleme teriminin önceki ve ardışık değerleri bilinen değerlerini bulmak için bunları toplayıp bölmeniz gerekir.

Doğru, aynı numarayı aldık. Malzemeyi güvence altına alalım. İlerlemenin değerini kendiniz hesaplayın, hiç de zor değil.

Tebrikler! İlerleme hakkında neredeyse her şeyi biliyorsunuz! Geriye, efsaneye göre tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biri olan “matematikçilerin kralı” Karl Gauss tarafından kolayca çıkarılabilen tek bir formül bulmak kalıyor.

Carl Gauss 9 yaşındayken, diğer sınıflardaki öğrencilerin çalışmalarını kontrol etmekle meşgul olan bir öğretmen sınıfta şunu sordu: sonraki görev: "'den (diğer kaynaklara göre)'ye kadar olan tüm doğal sayıların toplamını say." Öğrencilerinden biri (bu Karl Gauss'tu) bir dakika sonra göreve doğru cevabı verirken, gözüpek sınıf arkadaşlarının çoğu uzun hesaplamalardan sonra yanlış sonucu aldığında öğretmenin ne kadar şaşırdığını bir düşünün...

Genç Carl Gauss, sizin de kolayca fark edebileceğiniz belli bir modeli fark etti.
Diyelim ki -'inci terimlerden oluşan bir aritmetik ilerlememiz var: Aritmetik ilerlemenin bu terimlerinin toplamını bulmamız gerekiyor. Elbette tüm değerleri manuel olarak toplayabiliriz, ancak ya görev Gauss'un aradığı gibi terimlerin toplamını bulmayı gerektiriyorsa?

Bize verilen ilerlemeyi tasvir edelim. Vurgulanan sayılara daha yakından bakın ve onlarla çeşitli matematiksel işlemler gerçekleştirmeye çalışın.


Bunu denediniz mi? Ne fark ettin? Sağ! Toplamları eşittir

Şimdi söyleyin bana, bize verilen ilerlemede toplamda böyle kaç tane çift var? Tabii ki, tüm sayıların tam yarısı.
Bir aritmetik ilerlemenin iki teriminin toplamının eşit ve benzer çiftlerin eşit olduğu gerçeğine dayanarak, toplam toplamın şuna eşit olduğunu elde ederiz:
.
Dolayısıyla herhangi bir aritmetik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamının formülü şu şekilde olacaktır:

Bazı problemlerde n'inci terimi bilmiyoruz ama ilerlemenin farkını biliyoruz. Üçüncü terimin formülünü toplam formülünde değiştirmeye çalışın.
Ne aldın?

Tebrikler! Şimdi Carl Gauss'a sorulan probleme dönelim: th'den başlayan sayıların toplamının ve th'den başlayan sayıların toplamının neye eşit olduğunu kendiniz hesaplayın.

Ne kadar aldın?
Gauss, terimlerin toplamının ve terimlerin toplamının eşit olduğunu buldu. Karar verdiğin şey bu mu?

Aslında aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formül, 3. yüzyılda antik Yunan bilim adamı Diophantus tarafından kanıtlandı ve bu süre boyunca esprili insanlar aritmetik ilerlemenin özelliklerinden tam olarak yararlandılar.
Örneğin, Eski Mısır'ı ve o zamanın en büyük inşaat projesini hayal edin - bir piramidin inşası... Resimde bunun bir tarafı gösteriliyor.

Buradaki ilerleme nerede diyorsunuz? Dikkatlice bakın ve piramit duvarının her sırasındaki kum bloklarının sayısında bir desen bulun.


Neden aritmetik bir ilerleme olmasın? Tabana blok tuğlalar yerleştirilirse, bir duvarı inşa etmek için kaç blok gerektiğini hesaplayın. Umarım parmağınızı ekranda hareket ettirirken saymazsınız, son formülü ve aritmetik ilerleme hakkında söylediğimiz her şeyi hatırlıyor musunuz?

Bu durumda ilerleme şu şekilde görünür: .
Aritmetik ilerleme farkı.
Aritmetik ilerlemenin terim sayısı.
Verilerimizi son formüllere yerleştirelim (blok sayısını 2 şekilde hesaplayalım).

Yöntem 1.

Yöntem 2.

Artık monitörde hesaplayabilirsiniz: Elde edilen değerleri piramidimizdeki blok sayısıyla karşılaştırın. Anladım? Tebrikler, aritmetik ilerlemenin n'inci terimlerinin toplamını öğrendiniz.
Elbette tabandaki bloklardan bir piramit inşa edemezsiniz, ama nereden? Bu durumda bir duvar inşa etmek için kaç tane kum tuğlaya ihtiyaç duyulduğunu hesaplamaya çalışın.
Becerebildin mi?
Doğru cevap bloklardır:

Eğitim

Görevler:

1. Masha yaz için forma giriyor. Her gün squat sayısını artırıyor. Masha ilk antrenmanda squat yaptıysa haftada kaç kez squat yapacak?
2. İçerisindeki tüm tek sayıların toplamı kaçtır?
3. Günlükleri saklarken, günlükçüler bunları, her üst katman bir öncekinden bir günlük daha az içerecek şekilde istifler. Duvar işçiliğinin temeli kütüklerden oluşuyorsa, bir duvarda kaç kütük vardır?

Yanıtlar:

1. Aritmetik ilerlemenin parametrelerini tanımlayalım. Bu durumda
   (haftalar = günler).

   Cevap:İki hafta içinde Masha'nın günde bir kez ağız kavgası yapması gerekiyor.

2. Birinci tek sayı, son numara.
   Aritmetik ilerleme farkı.
   Tek sayıların sayısı yarıdır, ancak aritmetik ilerlemenin inci terimini bulma formülünü kullanarak bu gerçeği kontrol edelim:

   Sayılar tek sayılar içerir.
   Mevcut verileri formülde değiştirelim:

   Cevap:İçerisindeki tüm tek sayıların toplamı eşittir.

3. Piramitlerle ilgili sorunu hatırlayalım. Bizim durumumuz için a , her üst katman bir log azaltıldığı için toplamda bir sürü katman vardır, yani.
   Verileri formülde yerine koyalım:

   Cevap: Duvarda kütükler var.

Özetleyelim

1. - Bitişik sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayı dizisi. Artabilir veya azalabilir.
2. Formül bulma Aritmetik ilerlemenin inci terimi - formülüyle yazılır; burada ilerlemedeki sayıların sayısı bulunur.
3. Aritmetik ilerlemenin üyelerinin mülkiyeti- - ilerleyen sayıların sayısı nerede.
4. Bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı iki şekilde bulunabilir:
   
   değerlerin sayısı nerede.

ARİTMETİK İLERLEME. ORTALAMA SEVİYE

Numara dizisi

Oturup bazı sayıları yazmaya başlayalım. Örneğin:

Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar sayı olabilir. Ama hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğunu her zaman söyleyebiliriz, yani onları numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir.

Numara dizisi her birine benzersiz bir numara atanabilen bir sayı kümesidir.

Başka bir deyişle, her sayı belirli bir doğal sayıyla ve benzersiz bir sayıyla ilişkilendirilebilir. Ve bu sayıyı bu setteki başka bir sayıya atamayacağız.

Sayı içeren sayıya dizinin th üyesi denir.

Genellikle dizinin tamamını bir harfle (örneğin,) çağırırız ve bu dizinin her üyesi, bu üyenin numarasına eşit bir indeksle aynı harftir: .

Dizinin inci teriminin bir formülle belirtilebilmesi çok uygundur. Örneğin, formül

sırayı ayarlar:

Ve formül aşağıdaki dizidir:

Örneğin, aritmetik ilerleme bir dizidir (burada ilk terim eşittir ve fark eşittir). Veya (, fark).

Formül n'inci terim

Terimi bulmak için önceki veya birkaç önceki terimi bilmeniz gereken bir formüle yinelenen diyoruz:

Örneğin bu formülü kullanarak ilerlemenin inci terimini bulmak için önceki dokuzunu hesaplamamız gerekecek. Mesela izin ver. Daha sonra:

Peki formülün ne olduğu şimdi anlaşıldı mı?

Her satıra eklediğimiz sayıyı bir sayıyla çarpıyoruz. Hangisi? Çok basit: bu mevcut üyenin sayısından eksi:

Artık çok daha uygun, değil mi? Kontrol ediyoruz:

Kendin için karar ver:

Aritmetik ilerlemede n'inci terimin formülünü ve yüzüncü terimi bulun.

Çözüm:

İlk terim eşittir. Fark ne? İşte şu:

(İlerlemenin ardışık terimlerinin farkına eşit olması nedeniyle buna fark denmesinin nedeni budur).

Yani formül:

O zaman yüzüncü terim şuna eşittir:

'den 'e kadar olan tüm doğal sayıların toplamı nedir?

Efsaneye göre büyük matematikçi Carl Gauss, 9 yaşında bir çocukken bu miktarı birkaç dakika içinde hesaplamıştı. İlk ve son sayıların toplamının eşit olduğunu, ikinci ve sondan bir önceki sayıların toplamının aynı olduğunu, sondan üçüncü ve 3'üncü sayıların toplamının aynı olduğunu vb. fark etti. Toplamda bu tür çiftlerden kaç tane var? Bu doğru, tüm sayıların tam yarısı kadar. Bu yüzden,

Herhangi bir aritmetik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamı için genel formül şöyle olacaktır:

Örnek:
Hepsinin toplamını bulun çift ​​haneli sayılar, katları.

Çözüm:

Bu türden ilk sayı şudur. Sonraki her sayı, bir önceki sayıya eklenerek elde edilir. Böylece ilgilendiğimiz sayılar ilk terimi ve farkıyla aritmetik bir ilerleme oluşturur.

Bu ilerlemenin inci teriminin formülü:

Hepsinin iki basamaklı olması gerekiyorsa ilerlemede kaç terim vardır?

Çok kolay: .

İlerlemenin son terimi eşit olacaktır. Sonra toplam:

Cevap: .

Şimdi kendiniz karar verin:

1. Sporcu her gün bir önceki güne göre daha fazla metre koşar. İlk gün m km koşarsa haftada toplam kaç kilometre koşacaktır?
2. Bir bisikletçi her gün bir önceki güne göre daha fazla kilometre kat eder. İlk gün km yol kat etti. Bir kilometreyi kat etmek için kaç gün yol alması gerekiyor? Yolculuğunun son gününde kaç kilometre yol kat edecek?
3. Bir mağazadaki buzdolabının fiyatı her yıl aynı miktarda düşüyor. Ruble karşılığında satışa sunulan ve altı yıl sonra ruble karşılığında satılan bir buzdolabının fiyatının her yıl ne kadar düştüğünü belirleyin.

Yanıtlar:

1. Burada en önemli şey aritmetik ilerlemeyi tanımak ve parametrelerini belirlemektir. Bu durumda (haftalar = günler). Bu ilerlemenin ilk terimlerinin toplamını belirlemeniz gerekir:
   .
   Cevap:
2. Burada verilmiştir: , bulunmalıdır.
   Açıkçası, önceki problemdekiyle aynı toplam formülünü kullanmanız gerekir:
   .
   Değerleri değiştirin:

   Kök açıkça uymuyor, dolayısıyla cevap şu.
   Son gün boyunca kat edilen yolu, inci terimin formülünü kullanarak hesaplayalım:
   (km).
   Cevap:

3. Verilen: . Bulmak: .
   Daha basit olamazdı:
   (ovmak).
   Cevap:

ARİTMETİK İLERLEME. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Bu, bitişik sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayı dizisidir.

Aritmetik ilerleme artan () ve azalan () olabilir.

Örneğin:

Aritmetik ilerlemenin n'inci terimini bulma formülü

artan sayıların sayısı olan formülle yazılır.

Aritmetik ilerlemenin üyelerinin mülkiyeti

Eğer komşu terimleri biliniyorsa, bir ilerlemenin bir terimini kolayca bulmanızı sağlar; ilerlemedeki sayıların sayısı nerededir.

Aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı

Tutarı bulmanın iki yolu vardır:

Değerlerin sayısı nerede.

Değerlerin sayısı nerede.

Ne asıl nokta formüller?

Bu formül bulmanızı sağlar herhangi NUMARASIYLA " N" .

Elbette ilk terimi de bilmeniz gerekir. 1 ve ilerleme farkı D, bu parametreler olmadan belirli bir ilerlemeyi yazamazsınız.

Bu formülü ezberlemek (veya not etmek) yeterli değildir. Bunun özünü anlamanız ve formülü çeşitli problemlere uygulamanız gerekir. Ve ayrıca doğru zamanda unutmamak gerekir, evet...) Nasıl unutma- Bilmiyorum. Ve burada nasıl hatırlanır Gerekirse size mutlaka tavsiyede bulunacağım. Dersi sonuna kadar tamamlayanlar için.)

Şimdi aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin formülüne bakalım.

Genel olarak formül nedir? Bu arada okumadıysanız bir göz atın. Orada her şey basit. Ne olduğunu anlamaya devam ediyor n'inci dönem.

İlerleme genel olarak bir sayı dizisi olarak yazılabilir:

bir 1, bir 2, bir 3, bir 4, bir 5, .....

1- aritmetik ilerlemenin ilk terimini belirtir, 3- üçüncü üye, 4- dördüncü vb. Beşinci dönemle ilgileniyorsak diyelim ki çalışıyoruz. 5, eğer yüz yirminci - s 120.

Genel hatlarıyla nasıl tanımlayabiliriz? herhangi aritmetik ilerleme terimi, herhangi sayı? Çok basit! Bunun gibi:

BİR

İşte bu Bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi. N harfi tüm üye numaralarını aynı anda gizler: 1, 2, 3, 4 vb.

Peki böyle bir kayıt bize ne veriyor? Düşünün, sayı yerine mektup yazdılar...

Bu gösterim bize aritmetik ilerlemeyle çalışmak için güçlü bir araç sağlar. Gösterimi kullanma BİR, hızlı bir şekilde bulabiliriz herhangiüye herhangi aritmetik ilerleme. Ve bir sürü başka ilerleme problemini çözün. Daha fazlasını kendiniz göreceksiniz.

Aritmetik ilerlemenin n'inci terimi formülünde:

1- aritmetik ilerlemenin ilk terimi;

N- üye numarası.

Formül, herhangi bir ilerlemenin temel parametrelerini birbirine bağlar: BİR ; bir 1; D Ve N. Tüm ilerleme sorunları bu parametreler etrafında döner.

N'inci terim formülü aynı zamanda belirli bir ilerlemeyi yazmak için de kullanılabilir. Örneğin problem, ilerlemenin koşul tarafından belirtildiğini söyleyebilir:

a n = 5 + (n-1) 2.

Böyle bir sorun çıkmaz sokak olabilir... Ne bir seri ne de bir fark vardır... Ama durumu formülle karşılaştırınca bu gidişatın ne olduğunu anlamak kolaydır. a 1 =5 ve d=2.

Hatta daha da kötüsü olabilir!) Aynı koşulu alırsak: a n = 5 + (n-1) 2, Evet, parantezleri açıp benzerlerini getirir misiniz? Yeni bir formül elde ediyoruz:

bir n = 3 + 2n.

Bu Sadece genel değil, belirli bir ilerleme için. İşte tuzak burada gizleniyor. Bazıları ilk terimin üç olduğunu düşünüyor. Gerçekte ilk terim beş olmasına rağmen... Biraz daha düşük, böyle değiştirilmiş bir formülle çalışacağız.

İlerleme problemlerinde başka bir gösterim daha var - bir n+1. Bu, tahmin ettiğiniz gibi ilerlemenin “n artı ilk” terimidir. Anlamı basit ve zararsızdır.) Bu, sayısı n sayısından bir büyük olan dizinin bir üyesidir. Örneğin, eğer bir problemde alırsak BİR o zaman beşinci dönem bir n+1 altıncı üye olacak. Vesaire.

Çoğu zaman atama bir n+1 yineleme formüllerinde bulunur. Bu korkutucu kelimeden korkmayın!) Bu sadece aritmetik ilerlemenin bir üyesini ifade etmenin bir yoludur bir önceki aracılığıyla. Tekrarlanan bir formül kullanılarak bize bu biçimde bir aritmetik ilerleme verildiğini varsayalım:

bir n+1 = bir n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Dördüncüden üçüncüye, beşinciden dördüncüye vb. Mesela yirminci terimi hemen nasıl sayabiliriz? 20? Ama mümkün değil!) 19. dönemi bulana kadar 20. dönemi sayamayız. Budur temel fark n'inci terimin formülünden yinelenen formül. Tekrarlanan işler yalnızca aracılığıyla öncesi terim ve n'inci terimin formülü Birinci ve izin verir hemen herhangi bir üyeyi numarasına göre bulun. Tüm sayı dizisini sırayla hesaplamadan.

Aritmetik ilerlemede tekrarlanan bir formülü düzenli bir formüle dönüştürmek kolaydır. Ardışık bir çift terimi sayın, farkı hesaplayın D, gerekirse ilk terimi bulun 1, formülü her zamanki haliyle yazın ve onunla çalışın. Bu tür görevlere Devlet Bilimler Akademisi'nde sıklıkla rastlanmaktadır.

Bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formülün uygulanması.

Öncelikle formülün doğrudan uygulamasına bakalım. Önceki dersin sonunda bir sorun vardı:

Aritmetik ilerleme (a n) verilmiştir. a 1 =3 ve d=1/6 ise 121'i bulun.

Bu problem herhangi bir formül olmadan, sadece aritmetik ilerlemenin anlamına dayanarak çözülebilir. Ekle ve ekle... Bir veya iki saat.)

Ve formüle göre çözüm bir dakikadan az sürecek. Zamanlamasını ayarlayabilirsiniz.) Hadi karar verelim.

Koşullar formülün kullanılmasına ilişkin tüm verileri sağlar: a 1 =3, d=1/6. Neyin eşit olduğunu bulmaya devam ediyor N. Sorun değil! Bulmalıyız 121. O halde şunu yazıyoruz:

Lütfen dikkatini ver! Bir indeks yerine N belirli bir sayı ortaya çıktı: 121. Bu oldukça mantıklı.) Aritmetik ilerlemenin üyesiyle ilgileniyoruz yüz yirmi bir numara. Bu bizim olacak N. anlamı bu N= 121'i formülde parantez içinde değiştireceğiz. Tüm sayıları formülde yerine koyarız ve hesaplarız:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Bu kadar. Beş yüz onuncu terimi ve bin üçüncü terimi de aynı hızla bulabiliriz. Onun yerine koyduk N" harfinin dizininde istenen sayı A" ve parantez içinde sayıyoruz.

Size şunu hatırlatmama izin verin: Bu formül bulmanızı sağlar herhangi aritmetik ilerleme terimi NUMARASIYLA " N" .

Sorunu daha kurnaz bir şekilde çözelim. Aşağıdaki sorunla karşılaşalım:

a 17 =-2 ise, aritmetik ilerlemenin ilk terimini (a n) bulun; d=-0,5.

Herhangi bir zorlukla karşılaşırsanız size ilk adımı anlatacağım. Aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin formülünü yazın! Evet evet. Ellerinizle doğrudan not defterinize yazın:

Ve şimdi formülün harflerine baktığımızda hangi verilere sahip olduğumuzu ve neyin eksik olduğunu anlıyoruz? Mevcut d=-0,5, on yedinci bir üye var... Öyle mi? Eğer böyle düşünürsen sorunu çözemezsin, evet...

Hala bir numaramız var N! Durumda a 17 =-2 gizlenmiş iki parametre. Bu hem on yedinci terimin değeri (-2) hem de sayısıdır (17). Onlar. n=17. Bu "önemsiz şey" çoğu zaman kafanın yanından geçer ve o olmadan ("önemsiz" olmadan, kafa değil!) sorun çözülemez. Yine de... ve kafasız da.)

Artık verilerimizi aptalca bir şekilde formüle koyabiliriz:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Oh evet, 17-2 olduğunu biliyoruz. Tamam, yerine koyalım:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Temelde hepsi bu. Geriye formülden aritmetik ilerlemenin ilk terimini ifade etmek ve hesaplamak kalıyor. Cevap şöyle olacaktır: 1 = 6.

Bir formül yazmak ve bilinen verileri basitçe yerine koymaktan oluşan bu teknik, basit görevlerde çok yardımcı olur. Elbette bir değişkeni formülden ifade edebilmeniz gerekiyor ama ne yapmalısınız? Bu beceri olmadan, hiç matematik çalışamayabilirsiniz...

Bir başka popüler bulmaca:

a 1 =2 ise, aritmetik ilerlemenin (a n) farkını bulun; 15 =12.

Biz ne yapıyoruz? Şaşıracaksınız, formülü yazıyoruz!)

Bildiklerimizi düşünelim: a 1 =2; a 15 =12; ve (özellikle vurgulayacağım!) n=15. Bunu formülde değiştirmekten çekinmeyin:

12=2 + (15-1)d

Aritmetik yapıyoruz.)

12=2 + 14d

D=10/14 = 5/7

Bu doğru cevap.

Yani, görevler bir n, bir 1 Ve D karar verilmiş. Geriye kalan tek şey numarayı nasıl bulacağınızı öğrenmek:

99 sayısı aritmetik ilerlemenin (an) bir üyesidir; burada a 1 =12; d=3. Bu üyenin numarasını bulun.

Bildiğimiz miktarları n'inci terimin formülüne koyarız:

a n = 12 + (n-1) 3

İlk bakışta burada bilinmeyen iki büyüklük var: bir n ve n. Ancak BİR- bu bir sayı ile ilerlemenin bir üyesidir N...Ve ilerlemenin bu üyesini tanıyoruz! 99. Numarasını bilmiyoruz. N, Yani bulmanız gereken şey bu sayıdır. 99 ilerlemesinin terimini formülde değiştiririz:

99 = 12 + (n-1)3

Formülden ifade ediyoruz N, düşünürüz. Cevabını alıyoruz: n=30.

Şimdi de aynı konuyla ilgili bir problem ama daha yaratıcı):

117 sayısının aritmetik ilerlemenin (a n) bir üyesi olup olmadığını belirleyin:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Formülü tekrar yazalım. Ne, hiç parametre yok mu? Hım... Neden gözler veriliyor bize?) İlerlemenin ilk dönemini görüyor muyuz? Görürüz. Bu -3.6. Güvenle yazabilirsiniz: 1 = -3,6. Fark D bir diziden belirleyebilir misiniz? Aritmetik ilerlemenin farkının ne olduğunu biliyorsanız bunu yapmak kolaydır:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Yani en basit şeyi yaptık. Bilinmeyen numarayla uğraşmaya devam ediyor N ve anlaşılmaz sayı olan 117. Bir önceki problemde en azından verilen ilerlemenin terimi olduğu biliniyordu. Ama burada onu bile bilmiyoruz... Ne yapmalı!? Peki, nasıl olunur, nasıl olunur... Yaratıcı yeteneklerinizi açın!)

Biz sanmak sonuçta 117 bizim ilerleyişimizin bir üyesi. Bilinmeyen bir numarayla N. Ve tıpkı önceki problemde olduğu gibi bu sayıyı bulmaya çalışalım. Onlar. formülü yazıyoruz (evet, evet!) ve sayılarımızı değiştiriyoruz:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Yine formülden ifade ediyoruzN, sayarız ve şunu elde ederiz:

Hata! Sayı ortaya çıktı kesirli! Yüz bir buçuk. Ve ilerlemelerdeki kesirli sayılar olamaz. Hangi sonuca varabiliriz? Evet! 117 numara değil ilerlememizin bir üyesi. Yüz birinci terim ile yüz ikinci terim arasında bir yerdedir. Sayı doğal çıkarsa, yani. pozitif bir tam sayı ise sayı, bulunan sayı ile ilerlemenin bir üyesi olacaktır. Ve bizim durumumuzda sorunun cevabı şöyle olacaktır: HAYIR.

Görev tabanlı gerçek seçenek- GIA:

Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir:

a n = -4 + 6,8n

İlerlemenin birinci ve onuncu terimlerini bulun.

Burada ilerleme alışılmadık bir şekilde ayarlanıyor. Bir çeşit formül... Olur.) Ancak bu formül (yukarıda yazdığım gibi) - ayrıca bir aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin formülü! O da izin veriyor ilerlemenin herhangi bir üyesini numarasına göre bulun.

İlk üyeyi arıyoruz. Düşünen kişi. ilk terimin eksi dört olması büyük bir yanılgıdır!) Çünkü problemdeki formül değiştirildi. Aritmetik ilerlemenin ilk terimi gizlenmiş. Sorun değil, şimdi bulacağız.)

Daha önceki problemlerde olduğu gibi yerine n=1 bu formüle:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Burada! İlk terim -4 değil 2,8!

Onuncu terimi de aynı şekilde arıyoruz:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Bu kadar.

Ve şimdi bu satırları okuyanlar için vaat edilen bonus.)

Diyelim ki, Devlet Sınavı veya Birleşik Devlet Sınavı'nın zor bir savaş durumunda, aritmetik ilerlemenin n'inci dönemi için yararlı formülü unuttunuz. Bir şey hatırlıyorum ama bir şekilde emin olamıyorum... Veya N orada veya n+1 veya n-1... Nasıl olunur?

Sakinlik! Bu formülün türetilmesi kolaydır. Çok katı bir şekilde değil ama güven için ve doğru karar kesinlikle yeterli!) Bir sonuca varmak için aritmetik ilerlemenin temel anlamını hatırlamak ve birkaç dakikalık zamanınız olması yeterlidir. Sadece bir resim çizmeniz yeterli. Açıklık için.

Bir sayı doğrusu çizin ve ilkini işaretleyin. ikinci, üçüncü vb. üyeler. Ve farkı not ediyoruz Düyeler arasında. Bunun gibi:

Resme bakıyoruz ve düşünüyoruz: İkinci terim neye eşittir? Saniye bir D:

A 2 =a 1 + 1 D

Üçüncü terim nedir? Üçüncü terim ilk terimin artısına eşittir iki D.

A 3 =a 1 + 2 D

Anladın mı? Bazı kelimeleri kalın harflerle vurgulamam boşuna değil. Tamam, bir adım daha).

Dördüncü terim nedir? Dördüncü terim ilk terimin artısına eşittir üç D.

A 4 =a 1 + 3 D

Boşlukların sayısının, yani. D, Her zaman Aradığınız üye sayısından bir eksik N. Yani sayıya n, boşluk sayısı irade n-1. Bu nedenle formül şu şekilde olacaktır (değişiklikler olmadan!):

Genel olarak görsel resimler matematikteki birçok problemin çözümünde oldukça faydalıdır. Resimleri ihmal etmeyin. Ancak bir resim çizmek zorsa, o zaman... sadece bir formül!) Ek olarak, n'inci terimin formülü, matematiğin tüm güçlü cephaneliğini çözüme - denklemler, eşitsizlikler, sistemler vb. - bağlamanıza olanak tanır. Denkleme resim ekleyemezsiniz...

Bağımsız çözüm için görevler.

Isıtmak:

1. Aritmetik ilerlemede (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. 3'ü bulun.

İpucu: Resme göre sorun 20 saniyede çözülebilir... Formüle göre daha zor çıkıyor. Ancak formüle hakim olmak için daha kullanışlıdır.) Bölüm 555'te bu sorun hem resim hem de formül kullanılarak çözülmektedir. Farkı Hisset!)

Ve bu artık bir ısınma değil.)

2. Aritmetik ilerlemede (an) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. a 3'ü bulun.

Ne, resim çizmek istemiyor musun?) Elbette! Formüle göre daha iyi, evet...

3. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Bu ilerlemenin yüz yirmi beşinci terimini bulun.

Bu görevde ilerleme yinelenen bir şekilde belirtilir. Ama yüz yirmi beşinci döneme kadar sayarsak... Herkes böyle bir başarıya sahip değildir.) Ama n'inci dönemin formülü herkesin gücündedir!

4. Aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

İlerlemenin en küçük pozitif teriminin sayısını bulun.

5. Görev 4'ün koşullarına göre ilerlemenin en küçük pozitif ve en büyük negatif terimlerinin toplamını bulun.

6. Artan aritmetik ilerlemenin beşinci ve on ikinci terimlerinin çarpımı -2,5'e, üçüncü ve on birinci terimlerin toplamı ise sıfıra eşittir. 14'ü bulun.

En kolay iş değil evet...) “Parmak ucu” yöntemi burada işe yaramayacak. Formüller yazmanız ve denklemleri çözmeniz gerekecek.

Cevaplar (karışıklık içinde):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Olmuş? Bu iyi!)

Her şey yolunda gitmiyor mu? Olur. Bu arada son görevde ince bir nokta var. Sorunu okurken dikkatli olunması gerekecektir. Ve mantık.

Tüm bu sorunların çözümü Bölüm 555'te ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Dördüncüsü için fantezi unsuru, altıncısı için ince nokta ve n'inci terimin formülünü içeren herhangi bir problemin çözümü için genel yaklaşımlar - her şey anlatılmıştır. Ben tavsiye ediyorum.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Sayı dizisi kavramı, her doğal sayının bir gerçek değere karşılık geldiğini ima eder. Böyle bir sayı dizisi keyfi olabilir veya belirli özelliklere sahip olabilir - bir ilerleme. İkinci durumda, dizinin her bir sonraki elemanı (üyesi), bir önceki kullanılarak hesaplanabilir.

Aritmetik ilerleme, komşu üyelerinin birbirinden aynı sayıda farklı olduğu bir sayısal değerler dizisidir (2'den başlayarak serinin tüm öğeleri benzer bir özelliğe sahiptir). Bu sayı (önceki ve sonraki terimler arasındaki fark) sabittir ve ilerleme farkı olarak adlandırılır.

İlerleme farkı: tanım

A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j'nin N doğal sayılar kümesine ait j değerlerinden oluşan bir dizi düşünün. ilerleme, tanımına göre bir dizidir ve burada a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. d değeri bu ilerlemenin istenen farkıdır.

d = a(j) – a(j-1).

Vurgulamak:

• Artan bir ilerleme, bu durumda d > 0. Örnek: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• İlerleme azalıyor, sonra d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Fark ilerlemesi ve keyfi unsurları

İlerlemenin 2 rastgele terimi biliniyorsa (i-th, k-th), o zaman belirli bir dizi için fark, ilişkiye dayalı olarak belirlenebilir:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, bunun anlamı d = (a(i) – a(k))/(i-k).

İlerleme farkı ve ilk dönemi

Bu ifade, yalnızca dizi öğesinin sayısının bilindiği durumlarda bilinmeyen bir değerin belirlenmesine yardımcı olacaktır.

İlerleme farkı ve toplamı

Bir ilerlemenin toplamı, terimlerinin toplamıdır. İlk j elemanlarının toplam değerini hesaplamak için uygun formülü kullanın:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, fakat beri a(j) = a(1) + d(j – 1), sonra S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.