Geometrik toplam formülü. Geometrik ilerlemenin paydası: formüller ve özellikler

Zaten Eski Mısır'da sadece aritmetiği değil aynı zamanda geometrik ilerlemeyi de biliyorlardı. Örneğin Rhind papirüsünden bir problem: “Yedi yüzün yedi kedisi vardır; Her kedi yedi fare yer, her fare yedi başak mısır yer ve her başak arpa yedi ölçek arpa yetiştirebilir. Bu serideki sayılar ve toplamları ne kadar büyük?

Pirinç. 1. Eski Mısır geometrik ilerleme problemi

Bu görev başka zamanlarda farklı halklar arasında farklı varyasyonlarla birçok kez tekrarlandı. Örneğin 13. yüzyılda yazılmıştır. Pisalı Leonardo'nun (Fibonacci) yazdığı "Abaküs Kitabı"nda, her birinin 7 katırı olan ve her birinin 7 çantası olan 7 yaşlı kadının Roma'ya (tabii ki hacılar) giderken ortaya çıktığı bir sorun var. Her birinde 7 bıçak ve her birinde 7 kılıf bulunan 7 somun bulunur. Sorun kaç tane nesne olduğunu soruyor.

Geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Bu formül örneğin şu şekilde kanıtlanabilir: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

b 1 q n sayısını S n'ye ekleyin ve şunu elde edin:

Buradan S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) olur ve gerekli formülü elde ederiz.

Zaten Antik Babil'in 6. yüzyıla kadar uzanan kil tabletlerinden birinde. M.Ö örneğin, 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1 toplamını içerir. Doğru, diğer bazı durumlarda olduğu gibi, bu gerçeğin Babilliler tarafından nasıl bilindiğini bilmiyoruz. .

Birçok kültürde, özellikle de Hint kültüründe, geometrik ilerlemenin hızla artması, evrenin büyüklüğünün görsel bir simgesi olarak defalarca kullanılmaktadır. Satrancın ortaya çıkışıyla ilgili ünlü efsanede hükümdar, mucidine ödülü kendisi seçme fırsatı verir ve ilk kareye konulduğu takdirde elde edilecek buğday tanesi sayısını sorar. satranç tahtası, ikinci için iki, üçüncü için dört, dördüncü için sekiz vb. sayı her iki katına çıktığında. Vladyka en fazla birkaç çantadan bahsettiğimizi düşündü ama yanlış hesapladı. Satranç tahtasının 64 karesinin tamamı için mucidin 20 basamaklı bir sayı olarak ifade edilen (2 64 - 1) tane alması gerekeceğini görmek kolaydır; Dünya yüzeyinin tamamı ekilse bile gerekli miktarda tahılın toplanması en az 8 yıl alacaktır. Bu efsane bazen satranç oyununda saklı olan neredeyse sınırsız olasılıkları gösterdiği şeklinde yorumlanır.

Bu sayının gerçekte 20 haneli olduğunu görmek kolaydır:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (daha doğru bir hesaplama 1,84∙10 19 verir). Ama acaba bu sayının hangi rakamla bittiğini bulabilir misiniz?

Payda 1'den büyükse geometrik ilerleme artan, birden küçükse azalan olabilir. İkinci durumda, yeterince büyük n için qn sayısı keyfi olarak küçük olabilir. Artan geometrik ilerleme beklenmedik bir hızla artarken, azalan geometrik ilerleme de aynı hızla azalır.

N ne kadar büyük olursa, q n sayısı sıfırdan o kadar zayıf olur ve S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) geometrik ilerlemesinin n terimlerinin toplamı S = b 1 / ( sayısına o kadar yakın olur. 1 – q). (Örneğin, F. Viet bu şekilde mantık yürüttü). S sayısına sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı denir. Ancak yüzyıllar boyunca, sonsuz sayıda terim içeren TAMAMEN geometrik diziyi toplamanın ne anlama geldiği sorusu matematikçiler için yeterince açık değildi.

Örneğin Zeno'nun "Yarım Bölünme" ve "Aşil ve Kaplumbağa" aporialarında azalan bir geometrik ilerleme görülebilir. İlk durumda, yolun tamamının (uzunluk 1 olduğu varsayılarak) sonsuz sayıda 1/2, 1/4, 1/8 vb. bölümlerin toplamı olduğu açıkça gösterilmiştir. Bu elbette şu andan itibaren geçerlidir: sonlu toplam sonsuz geometrik ilerleme hakkındaki fikirlerin bakış açısı. Ve yine de - bu nasıl olabilir?

Aşil ile ilgili açmazda durum biraz daha karmaşıktır çünkü burada ilerlemenin paydası 1/2 değil, başka bir sayıdır. Örneğin Aşil'in v hızıyla koştuğunu, kaplumbağanın u hızıyla hareket ettiğini ve aralarındaki başlangıç ​​uzaklığının l olduğunu varsayalım. Aşil bu mesafeyi l/v zamanında kat edecek ve bu süre zarfında kaplumbağa lu/v kadar mesafe kat edecektir. Aşil bu parçayı geçtiğinde, onunla kaplumbağa arasındaki mesafe l (u /v) 2 vb.'ye eşit olacaktır. Kaplumbağaya yetişmenin, ilkiyle sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamını bulmak anlamına geldiği ortaya çıktı. terim l ve payda u /v. Bu toplam - Aşil'in sonunda kaplumbağa ile buluşma yerine koşacağı bölüm - l / (1 – u /v) = lv / (v – u)'ya eşittir. Ancak yine de bu sonuç nasıl yorumlanmalı ve neden bir anlam ifade ediyor? uzun zamandır pek açık değildi.

Arşimet, bir parabol parçasının alanını belirlemek için geometrik ilerlemenin toplamını kullandı. Parabolün bu parçası AB kirişi ile sınırlansın ve parabolün D noktasındaki teğeti AB'ye paralel olsun. AB'nin orta noktası C, AC'nin orta noktası E, CB'nin orta noktası F olsun. A, E, F, B noktalarından DC'ye paralel çizgiler çizelim; D noktasında çizilen teğetin bu doğruları K, L, M, N noktalarında kesmesine izin verin. Ayrıca AD ve DB parçalarını da çizelim. EL doğrusunun AD doğrusunu G noktasında ve parabolün H noktasında kesişmesine izin verin; FM doğrusu DB doğrusunu Q noktasında ve parabol R noktasında kesiyor. Buna göre genel teori konik bölümler, DC – parabolün çapı (yani eksenine paralel bir bölüm); o ve D noktasındaki teğet, x ve y koordinat eksenleri olarak görev yapabilir; burada parabolün denklemi y 2 = 2px olarak yazılır (x, D'den belirli bir çapın herhangi bir noktasına olan mesafedir, y uzunluğudur) çapın bu noktasından parabolün kendisindeki bir noktaya kadar belirli bir teğete paralel bir parça).

Parabol denklemi sayesinde DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA ve DK = 2DL olduğundan KA = 4LH olur. Çünkü KA = 2LG, LH = HG. Bir parabolün ADB segmentinin alanı, ΔADB üçgeninin alanına ve AHD ve DRB segmentlerinin birleştirilmiş alanlarına eşittir. Buna karşılık, AHD segmentinin alanı benzer şekilde AHD üçgeninin alanına ve her biri aynı işlemi gerçekleştirebileceğiniz geri kalan AH ve HD segmentlerine eşittir - bir üçgene (Δ) bölünür ve kalan iki segment (), vb.:

ΔAHD üçgeninin alanı ΔALD üçgeninin alanının yarısına eşittir (bunların Ortak zemin AD ve yükseklikler 2 faktörü kadar farklılık gösterir), bu da ΔAKD üçgeninin alanının yarısına ve dolayısıyla ΔACD üçgeninin alanının yarısına eşittir. Böylece, ΔAHD üçgeninin alanı, ΔACD üçgeninin alanının dörtte birine eşittir. Benzer şekilde, ΔDRB üçgeninin alanı, ΔDFB üçgeninin alanının dörtte birine eşittir. Dolayısıyla, ΔAHD ve ΔDRB üçgenlerinin alanları birlikte alındığında ΔADB üçgeninin alanının dörtte birine eşittir. AH, HD, DR ve RB bölümlerine uygulandığında bu işlemin tekrarlanması, bunlardan üçgenler seçecektir; bunların alanı birlikte alındığında, ΔAHD ve ΔDRB üçgenlerinin birlikte alındığında alanından 4 kat daha az olacaktır ve bu nedenle ΔADB üçgeninin alanından 16 kat daha azdır. Ve benzeri:

Böylece Arşimed, "bir düz çizgi ile bir parabol arasında kalan her parçanın, aynı tabana ve eşit yüksekliğe sahip bir üçgenin üçte dördünü oluşturduğunu" kanıtladı.

>>Matematik: Geometrik ilerleme

Okuyucuya kolaylık sağlamak amacıyla bu paragraf, bir önceki paragrafta izlediğimiz planın aynısına göre oluşturulmuştur.

1. Temel kavramlar.

Tanım. Tüm üyeleri 0'dan farklı olan ve her bir üyesi ikinciden başlayarak bir önceki üyeden aynı sayı ile çarpılarak elde edilen sayısal diziye geometrik ilerleme denir. Bu durumda 5 sayısına geometrik ilerlemenin paydası denir.

Dolayısıyla geometrik bir ilerleme, ilişkilerle tekrar tekrar tanımlanan bir sayısal dizidir (b n)

Bir sayı dizisine bakıp bunun geometrik bir ilerleme olup olmadığını belirlemek mümkün müdür? Olabilmek. Dizinin herhangi bir üyesinin önceki üyeye oranının sabit olduğuna ikna olursanız, geometrik ilerleme elde edersiniz.
Örnek 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Örnek 2.

Bu geometrik bir ilerlemedir
Örnek 3.

Bu geometrik bir ilerlemedir
Örnek 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Bu, b 1 - 8, q = 1 olan geometrik bir ilerlemedir.

Bu dizinin aynı zamanda aritmetik bir ilerleme olduğuna dikkat edin (bkz. § 15'teki örnek 3).

Örnek 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Bu, b 1 = 2, q = -1 olan geometrik bir ilerlemedir.

Açıkçası, b 1 > 0, q > 1 ise geometrik ilerleme artan bir dizidir (bkz. örnek 1), b 1 > 0, 0 ise azalan bir dizidir.< q < 1 (см. пример 2).

(bn) dizisinin geometrik bir ilerleme olduğunu belirtmek için bazen aşağıdaki gösterim uygundur:

Simge “geometrik ilerleme” ifadesinin yerini alır.
Geometrik ilerlemenin ilginç ve aynı zamanda oldukça açık bir özelliğine dikkat çekelim:
Eğer sıra geometrik bir ilerlemedir, ardından kareler dizisi, yani geometrik bir ilerlemedir.
İkinci geometrik dizide birinci terim q 2'ye eşit ve eşittir.
Geometrik bir ilerlemede b n'den sonraki tüm terimleri atarsak, sonlu bir geometrik ilerleme elde ederiz
Bu bölümün ileriki paragraflarında geometrik ilerlemenin en önemli özelliklerini ele alacağız.

2. Geometrik ilerlemenin n'inci terimi için formül.

Geometrik bir ilerleme düşünün payda q. Sahibiz:

Herhangi bir n sayısı için eşitliğin doğru olduğunu tahmin etmek zor değil

Bu geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülüdür.

Yorum.

Önceki paragraftaki önemli açıklamayı okuduysanız ve anladıysanız, o zaman formül (1)'i, tıpkı aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formülde yapıldığı gibi, matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak kanıtlamaya çalışın.

Geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülünü yeniden yazalım.

ve gösterimi tanıtalım: y = mq 2 elde ederiz, veya daha detaylı olarak,
x argümanı üssün içinde yer aldığından bu fonksiyona üstel fonksiyon adı verilir. Bu, geometrik bir ilerlemenin, doğal sayılar kümesi N'de tanımlanan üstel bir fonksiyon olarak düşünülebileceği anlamına gelir. İncirde. Şekil 96a, Şekil 96'daki fonksiyonun grafiğini göstermektedir. 966 - fonksiyon grafiği Her iki durumda da, belirli bir eğri üzerinde yer alan izole edilmiş noktalarımız (apsis x = 1, x = 2, x = 3, vb.) var (her iki şekil de aynı eğriyi gösteriyor, yalnızca farklı konumlarda ve farklı ölçeklerde tasvir edilmiş). Bu eğriye üstel eğri denir. Üstel fonksiyon ve grafiği hakkında daha fazla ayrıntı 11. sınıf cebir dersinde tartışılacaktır.

Önceki paragraftaki 1-5 arasındaki örneklere dönelim.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Bu b 1 = 1, q = 3 olan geometrik bir ilerlemedir. n'inci terimin formülünü oluşturalım.
2) Bu geometrik bir ilerlemedir. Bunun için n'inci terim için bir formül oluşturalım.

Bu geometrik bir ilerlemedir N'inci terimin formülünü oluşturalım
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Bu b 1 = 8, q = 1 olan geometrik bir ilerlemedir. n'inci terimin formülünü oluşturalım.
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Bu b 1 = 2, q = -1 olan geometrik bir ilerlemedir. N'inci terimin formülünü oluşturalım

Örnek 6.

Geometrik bir ilerleme verildiğinde

Her durumda çözüm, geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülüne dayanmaktadır.

a) Geometrik ilerlemenin n'inci terimi formülüne n = 6 koyarsak şunu elde ederiz:

b) elimizde

512 = 2 9 olduğundan n - 1 = 9, n = 10 elde ederiz.

d) Bizde

Örnek 7.

Geometrik dizinin yedinci ve beşinci terimleri arasındaki fark 48, beşinci ve altıncı terimlerin toplamı da 48'dir. Bu dizinin onikinci terimini bulun.

İlk aşama. Matematiksel bir modelin hazırlanması.

Problemin koşulları kısaca şu şekilde yazılabilir:

Geometrik ilerlemenin n'inci terimi için formülü kullanarak şunu elde ederiz:
O halde problemin ikinci koşulu (b 7 - b 5 = 48) şu şekilde yazılabilir:

Problemin üçüncü koşulu (b 5 + b 6 = 48) şu şekilde yazılabilir:

Sonuç olarak, iki değişken b 1 ve q olan iki denklemden oluşan bir sistem elde ederiz:

yukarıda yazılan koşul 1) ile birlikte problemin matematiksel modelini temsil eder.

İkinci aşama.

Derlenmiş modelle çalışma. Sistemin her iki denkleminin sol taraflarını eşitleyerek şunu elde ederiz:

(denklemin her iki tarafını da sıfır olmayan b 1 q 4 ifadesine böldük).

q 2 - q - 2 = 0 denkleminden q 1 = 2, q 2 = -1'i buluruz. Sistemin ikinci denkleminde q = 2 değerini yerine koyarsak şunu elde ederiz:
Sistemin ikinci denkleminde q = -1 değerini yerine koyarsak b 1 1 0 = 48 elde ederiz; bu denklemin çözümü yoktur.

Yani b 1 =1, q = 2 - bu çift derlenmiş denklem sisteminin çözümüdür.

Şimdi geometrik ilerlemeyi yazabiliriz. Hakkında konuşuyoruz problemde: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Üçüncü sahne.

Sorun sorusunun cevabı. B 12'yi hesaplamanız gerekiyor. Sahibiz

Cevap: b 12 = 2048.

3. Sonlu bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı için formül.

Sonlu bir geometrik ilerleme verilsin

Terimlerinin toplamını S n ile gösterelim;

Bu miktarı bulmak için bir formül türetelim.

En baştan başlayalım basit durum, q = 1 olduğunda. O zaman b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn geometrik ilerlemesi b 1'e eşit n sayıdan oluşur, yani. ilerleme b 1, b 2, b 3, ..., b 4 gibi görünüyor. Bu sayıların toplamı nb 1'dir.

Şimdi q = 1 olsun S n'yi bulmak için yapay bir teknik uyguluyoruz: S n q ifadesinde bazı dönüşümler gerçekleştiriyoruz. Sahibiz:

Dönüşümleri gerçekleştirirken öncelikle geometrik ilerlemenin tanımını kullandık, buna göre (üçüncü akıl yürütme çizgisine bakın); ikincisi, eklediler ve çıkardılar, bu yüzden ifadenin anlamı elbette değişmedi (dördüncü akıl yürütme çizgisine bakın); üçüncü olarak geometrik ilerlemenin n'inci terimi için formülü kullandık:

Formül (1)'den şunları buluyoruz:

Bu, geometrik ilerlemenin n teriminin toplamına ilişkin formüldür (q = 1 durumu için).

Örnek 8.

Sonlu bir geometrik ilerleme verildiğinde

a) ilerleme koşullarının toplamı; b) terimlerinin karelerinin toplamı.

b) Yukarıda (bkz. s. 132), bir geometrik ilerlemenin tüm terimlerinin karesi alınırsa, o zaman ilk terim b2 ve paydası q2 olan bir geometrik ilerleme elde ettiğimizi zaten belirtmiştik. Daha sonra yeni ilerlemenin altı teriminin toplamı şu şekilde hesaplanacaktır:

Örnek 9.

Geometrik ilerlemenin 8. terimini bulun.

Aslında aşağıdaki teoremi kanıtladık.

Sayısal bir dizi, geometrik bir ilerlemedir ancak ve ancak, ilk Teorem (ve sonlu bir dizi durumunda sonuncusu) dışında, terimlerinin her birinin karesi önceki ve sonraki terimlerin çarpımına eşitse (a geometrik ilerlemenin karakteristik özelliği).

Geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülü çok basittir. Hem anlam olarak hem de genel görünüm olarak. Ancak n'inci terimin formülünde çok ilkelden oldukça ciddiye kadar her türlü sorun var. Ve tanışma sürecinde kesinlikle ikisini de dikkate alacağız. Peki tanışalım mı?)

Yani başlangıçta aslında formülN

İşte burada:

bn = B 1 · qn -1

Formül yalnızca bir formüldür, doğaüstü bir şey değildir. Benzer bir formülden daha basit ve daha kompakt görünüyor. Formülün anlamı da keçe çizme kadar basittir.

Bu formül, geometrik ilerlemenin HERHANGİ bir üyesini SAYISINA GÖRE bulmanızı sağlar " N".

Gördüğünüz gibi anlam, aritmetik ilerlemeyle tam bir benzetmedir. N sayısını biliyoruz - bu sayının altındaki terimi de sayabiliriz. Hangisini istersek. "q" ile defalarca çarpmadan. Bütün mesele bu.)

İlerlemelerle bu seviyede çalışırken, formülde yer alan tüm miktarların sizin için zaten açık olması gerektiğini anlıyorum, ancak yine de her birini deşifre etmenin görevim olduğunu düşünüyorum. Her ihtimale karşı.

İşte başlıyoruz:

B 1 – Birinci geometrik ilerleme terimi;

Q – ;

N- üye numarası;

bn – n'inci (Nth) geometrik ilerleme terimi.

Bu formül herhangi bir geometrik ilerlemenin dört ana parametresini birbirine bağlar: BN, B 1 , Q Ve N. Ve tüm ilerleme sorunları bu dört temel figürün etrafında dönüyor.

"Nasıl kaldırılır?"– Meraklı bir soru duyuyorum... İlköğretim! Bakmak!

Neye eşittir ikinci ilerlemenin üyesi? Sorun değil! Doğrudan yazıyoruz:

b 2 = b 1 ·q

Peki ya üçüncü üye? Sorun da değil! İkinci terimi çarpıyoruz bir kez dahaQ.

Bunun gibi:

B3 = b2q

Şimdi ikinci terimin de b 1 ·q'ye eşit olduğunu hatırlayalım ve bu ifadeyi eşitliğimizde yerine koyalım:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Şunu elde ederiz:

B 3 = b 1 ·q 2

Şimdi yazımızı Rusça olarak okuyalım: üçüncü terim ilk terimin q ile çarpımına eşittir ikinci derece. Anladın mı? Henüz değil? Tamam, bir adım daha.

Dördüncü terim nedir? Hepsi aynı! Çarpmak öncesi(yani üçüncü terim) q'da:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Toplam:

B 4 = b 1 ·q 3

Ve yine Rusçaya çeviriyoruz: dördüncü terim ilk terimin q ile çarpımına eşittir üçüncü derece.

Ve benzeri. Peki nasıl? Deseni yakaladınız mı? Evet! Herhangi bir sayıya sahip herhangi bir terim için, aynı q çarpanlarının sayısı (yani paydanın derecesi) her zaman şu olacaktır: İstenilen üye sayısından bir eksikN.

Bu nedenle formülümüz seçenekler olmadan şöyle olacaktır:

bn =B 1 · qn -1

Bu kadar.)

Peki, sorunları çözelim sanırım?)

Formül problemlerini çözmeNgeometrik ilerlemenin üçüncü terimi.

Her zamanki gibi formülün doğrudan uygulanmasıyla başlayalım. İşte tipik bir sorun:

Geometrik ilerlemede, bilinmektedir ki B 1 = 512 ve Q = -1/2. İlerlemenin onuncu terimini bulun.

Elbette bu sorun hiçbir formüle ihtiyaç duymadan da çözülebilir. Doğrudan geometrik ilerleme anlamında. Ama n'inci terimin formülüne ısınmamız lazım değil mi? Burada ısınıyoruz.

Formülü uygulamak için verilerimiz aşağıdaki gibidir.

İlk üye belli. Bu 512.

B 1 = 512.

İlerlemenin paydası da bilinmektedir: Q = -1/2.

Geriye kalan tek şey n'nin üye sayısının ne olduğunu bulmak. Sorun değil! Onuncu dönemle ilgileniyor muyuz? Yani genel formülde n yerine on koyuyoruz.

Ve aritmetiği dikkatlice hesaplayın:

Cevap 1

Gördüğünüz gibi ilerlemenin onuncu dönemi eksi çıktı. Şaşırtıcı bir şey yok: ilerleme paydamız -1/2, yani. olumsuz sayı. Bu da bize ilerleyişimizin işaretlerinin değiştiğini gösteriyor, evet.)

Burada her şey basit. Burada da benzer bir problem var ama hesaplamalar açısından biraz daha karmaşık.

Geometrik ilerlemede şunu bilinmektedir:

B 1 = 3

İlerlemenin on üçüncü terimini bulun.

Her şey aynı, ancak bu sefer ilerlemenin paydası mantıksız. İkinin kökü. Tamam, sorun değil. Formül evrensel bir şeydir; her sayıyı işleyebilir.

Doğrudan aşağıdaki formüle göre çalışıyoruz:

Formül elbette olması gerektiği gibi çalıştı, ancak... bazı insanların takıldığı nokta burası. Kök ile bundan sonra ne yapmalı? Bir kökün on ikinci kuvvetine nasıl yükseltilir?

Nasıl-nasıl... Elbette herhangi bir formülün iyi bir şey olduğunu anlamalısınız, ancak önceki tüm matematik bilgileri iptal edilmez! Nasıl inşa edilir? Evet, derecelerin özelliklerini unutmayın! Kökü dönüştürelim kesirli derece ve – bir dereceyi bir dereceye yükseltme formülüne göre.

Bunun gibi:

Cevap: 192

Ve hepsi bu.)

N'inci terim formülünü doğrudan uygulamanın temel zorluğu nedir? Evet! Asıl zorluk derecelerle çalışmak! Yani üs alma negatif sayılar, kesirler, kökler ve benzeri yapılar. O yüzden bu konuda sorun yaşayanlar lütfen dereceleri ve özelliklerini tekrarlasın! Yoksa bu konuyu da yavaşlatırsınız, evet...)

Şimdi tipik arama problemlerini çözelim formülün unsurlarından biri, eğer diğerleri verilirse. Bu tür sorunları başarıyla çözmek için tarif tek tip ve son derece basittir - formülü yazNüye Genel görünüm! Durumun yanındaki not defterinde. Ve sonra bu durumdan bize neyin verildiğini ve neyin eksik olduğunu anlıyoruz. Ve istenilen değeri formülden ifade ediyoruz. Tüm!

Örneğin, çok zararsız bir sorun.

Paydası 3 olan bir geometrik ilerlemenin beşinci terimi 567'dir. Bu ilerlemenin ilk terimini bulun.

Karmaşık bir şey yok. Doğrudan büyüye göre çalışıyoruz.

n'inci terimin formülünü yazalım!

bn = B 1 · qn -1

Bize ne verildi? İlk olarak ilerlemenin paydası verilir: Q = 3.

Üstelik bize verilen beşinci üye: B 5 = 567 .

Tüm? HAYIR! Ayrıca bize n numarası da verildi! Bu beş: n = 5.

Umarım kayıtta ne olduğunu zaten anlamışsındır B 5 = 567 aynı anda iki parametre gizlenir - bu beşinci terimin kendisi (567) ve numarasıdır (5). Benzer bir derste bundan bahsetmiştim ama burada da bahsetmeye değer diye düşünüyorum.)

Şimdi verilerimizi formülde yerine koyuyoruz:

567 = B 1 ·3 5-1

Aritmetik yapıyoruz, basitleştiriyoruz ve basit bir şey elde ediyoruz Doğrusal Denklem:

81 B 1 = 567

Çözüyoruz ve şunu elde ediyoruz:

B 1 = 7

Gördüğünüz gibi ilk terimi bulmada herhangi bir sorun yok. Ancak paydayı ararken Q ve sayılar N Ayrıca sürprizler de olabilir. Bir de bunlara (sürprizlere) hazırlıklı olmak lazım, evet.)

Örneğin, bu sorun:

Paydası pozitif olan bir geometrik ilerlemenin beşinci terimi 162 ve bu ilerlemenin ilk terimi 2'dir. Bu ilerlemenin paydasını bulun.

Bu sefer bize birinci ve beşinci terimler veriliyor ve ilerlemenin paydasını bulmamız isteniyor. İşte başlıyoruz.

Formülü yazıyoruzNüye!

bn = B 1 · qn -1

İlk verilerimiz aşağıdaki gibi olacaktır:

B 5 = 162

B 1 = 2

N = 5

Eksik değer Q. Sorun değil! Şimdi bulalım.) Bildiğimiz her şeyi formülde yerine koyarız.

Şunu elde ederiz:

162 = 2Q 5-1

2 Q 4 = 162

Q 4 = 81

Dördüncü derecenin basit bir denklemi. Ve şimdi - dikkatlice!Çözümün bu aşamasında, birçok öğrenci hemen sevinçle (dördüncü derecenin) kökünü çıkarır ve cevaba ulaşır. Q=3 .

Bunun gibi:

q4 = 81

Q = 3

Ama aslında bu tamamlanmamış bir cevaptır. Daha doğrusu eksik. Neden? Mesele şu ki cevap Q = -3 ayrıca uygundur: (-3) 4 de 81 olur!

Bunun nedeni güç denkleminin xn = A her zaman vardır iki zıt kök en eşitN . Artı ve eksi ile:

Her ikisi de uygundur.

Örneğin, karar verirken (ör. ikinci derece)

x 2 = 9

Nedense görünüşüne şaşırmıyorsun iki kökler x=±3? Burada da durum aynı. Ve başka herhangi biriyle eşit derece (dördüncü, altıncı, onuncu vb.) aynı olacaktır. Detaylar konu başlığındadır

Bu yüzden doğru çözümşöyle olacak:

Q 4 = 81

Q= ±3

Tamam, işaretleri sıraladık. Hangisi doğru; artı mı eksi mi? Peki, sorunu bulmak için problem açıklamasını tekrar okuyalım. Ek Bilgiler. Elbette mevcut olmayabilir ama bu problemde bu tür bilgiler mevcut. Durumumuz düz metinde bir ilerlemenin verildiğini belirtiyor pozitif payda.

Bu nedenle cevap açıktır:

Q = 3

Burada her şey basit. Sorun cümlesi şu şekilde olsaydı ne olurdu sizce?

Bir geometrik ilerlemenin beşinci terimi 162 ve bu ilerlemenin ilk terimi 2'dir. Bu ilerlemenin paydasını bulun.

Fark ne? Evet! Durumda Hiç bir şey paydanın işaretinden bahsedilmez. Ne doğrudan ne de dolaylı olarak. Ve burada sorun zaten olurdu iki çözüm!

Q = 3 Ve Q = -3

Evet evet! Hem artı hem de eksi ile.) Matematiksel olarak bu gerçek şu anlama gelir: iki ilerleme, problemin koşullarına uyan. Ve her birinin kendi paydası vardır. Sırf eğlence olsun diye pratik yapın ve her birinin ilk beş terimini yazın.)

Şimdi üye numarasını bulma alıştırması yapalım. Bu sorun en zoru, evet. Ama aynı zamanda daha yaratıcı.)

Geometrik bir ilerleme verildiğinde:

3; 6; 12; 24; …

Bu ilerlemede 768 sayısı hangi sayıdır?

İlk adım hala aynı: formülü yazNüye!

bn = B 1 · qn -1

Ve şimdi her zamanki gibi bildiğimiz verileri onun yerine koyuyoruz. Hım... işe yaramıyor! İlk terim nerede, payda nerede, diğer her şey nerede?!

Nerede, nerede... Neden gözlere ihtiyacımız var? Kirpiklerini mi çırpıyorsun? Bu sefer ilerleme bize doğrudan formda veriliyor. diziler.İlk üyeyi görebilir miyiz? Görürüz! Bu bir üçlüdür (b 1 = 3). Payda ne olacak? Henüz göremiyoruz ama sayması çok kolay. Tabii eğer anlarsan...

Yani sayıyoruz. Doğrudan geometrik ilerlemenin anlamına göre: terimlerinden herhangi birini (birinci hariç) alıp bir öncekine böleriz.

En azından şu şekilde:

Q = 24/12 = 2

Başka ne biliyoruz? Ayrıca bu ilerlemenin 768'e eşit bir terimini de biliyoruz. Bir n sayısı altında:

bn = 768

Numarasını bilmiyoruz ama bizim görevimiz tam olarak onu bulmak.) O yüzden arıyoruz. Formüle ikame için gerekli tüm verileri zaten indirdik. Kendinizden habersiz.)

Burada yerine şunu koyuyoruz:

768 = 3 2N -1

Temel olanları yapalım - her iki tarafı da üçe bölelim ve denklemi yeniden yazalım. her zamanki formda: Solda bilinmiyor, sağda biliniyor.

Şunu elde ederiz:

2 N -1 = 256

Bu ilginç bir denklem. "n"yi bulmamız gerekiyor. Ne, sıradışı mı? Evet tartışmıyorum. Aslında bu en basit şey. Bilinmediği için böyle adlandırılmıştır (bu durumda bu sayıdır) N) maliyetler gösterge derece.

Geometrik ilerlemeyi tanıma aşamasında (bu dokuzuncu sınıftır) üstel denklemler Nasıl karar vereceğini öğretmiyorlar, evet… Bu liseye yönelik bir konu. Ama korkutucu bir şey yok. Bu tür denklemlerin nasıl çözüldüğünü bilmiyorsanız bile, hadi bulmaya çalışalım. N, basit mantık ve sağduyunun rehberliğinde.

Hadi konuşmaya başlayalım. Sol tarafta bir ikilimiz var belli bir dereceye kadar. Bu derecenin tam olarak ne olduğunu henüz bilmiyoruz ama bu korkutucu değil. Ancak bu derecenin 256'ya eşit olduğundan eminiz! Yani ikinin bize ne kadar 256 verdiğini hatırlıyoruz. Hatırlıyor musun? Evet! İÇİNDE sekizinci derece!

256 = 2 8

Dereceleri hatırlamıyorsanız veya tanımakta sorun yaşıyorsanız, o zaman bu da sorun değil: sırayla ikinin karesi, küp, dördüncü, beşinci vb. Aslında seçim ancak bu düzeyde oldukça işe yarayacaktır.

Öyle ya da böyle şunu elde ederiz:

2 N -1 = 2 8

N-1 = 8

N = 9

Yani 768 dokuzuncu ilerlememizin bir üyesi. İşte bu, sorun çözüldü.)

Cevap: 9

Ne? Sıkıcı? Temel şeylerden bıktınız mı? Kabul etmek. Ve ben de. Bir sonraki seviyeye geçelim.)

Daha karmaşık görevler.

Şimdi daha zorlu problemleri çözelim. Tam olarak süper havalı değil ama cevaba ulaşmak için biraz çalışma gerektirenler.

Mesela bu.

Dördüncü terimi -24 ve yedinci terimi 192 ise geometrik ilerlemenin ikinci terimini bulun.

Bu türün bir klasiğidir. Progresyonun iki farklı terimi biliniyor ancak başka bir terimin bulunması gerekiyor. Üstelik tüm üyeler komşu DEĞİLDİR. İlk başta kafa karıştırıcı, evet...

Olduğu gibi, bu tür sorunları çözmek için iki yöntemi ele alacağız. İlk yöntem evrenseldir. Cebirsel. Her türlü kaynak veriyle kusursuz çalışır. Bu yüzden bununla başlayacağız.)

Her terimi formüle göre açıklıyoruz Nüye!

Her şey aritmetik ilerlemeyle tamamen aynıdır. Sadece bu sefer birlikte çalışıyoruz bir diğer Genel formül. Hepsi bu.) Ama özü aynı: alıyoruz ve birer birer Başlangıç ​​verilerimizi n'inci terimin formülüne koyarız. Her üye için - kendilerine ait.

Dördüncü dönem için şunu yazıyoruz:

B 4 = B 1 · Q 3

-24 = B 1 · Q 3

Yemek yemek. Bir denklem hazır.

Yedinci dönem için şunu yazıyoruz:

B 7 = B 1 · Q 6

192 = B 1 · Q 6

Toplamda iki denklemimiz var aynı ilerleme .

Onlardan bir sistem oluşturuyoruz:

Tehditkar görünümüne rağmen sistem oldukça basittir. En bariz çözüm basit ikamedir. ifade ediyoruz B 1 üstteki denklemden alıp alttaki yerine koyun:

Alt denklemle biraz uğraştıktan sonra (üsleri azaltıp -24'e bölerek), şunu elde ederiz:

Q 3 = -8

Bu arada, aynı denkleme daha basit bir şekilde de ulaşılabilir! Hangisi? Şimdi size başka bir sır göstereceğim ama çok güzel, güçlü ve faydalı yol Bu tür sistemler için çözümler. Denklemleri aşağıdakileri içeren bu tür sistemler sadece çalışıyor. En azından birinde. İsminde bölme yöntemi bir denklem diğerine.

Yani önümüzde bir sistem var:

Soldaki her iki denklemde de - iş ve sağda sadece bir sayı var. Bu çok iyiye işaret.) Hadi onu alalım ve... diyelim ki alt denklemi üstteki denkleme bölelim! Ne demek, bir denklemi diğerine bölelim mi?Çok basit. Hadi alalım Sol Taraf bir denklem (alt) ve bölmek onun üzerinde Sol Taraf başka bir denklem (üstte). Sağ taraf da benzer: Sağ Taraf bir denklem bölmek Açık Sağ Taraf bir diğer.

Tüm bölme işlemi şuna benzer:

Şimdi azaltılabilecek her şeyi azaltarak şunu elde ederiz:

Q 3 = -8

Bu yöntemin iyi tarafı nedir? Evet, çünkü böyle bir bölünme sürecinde kötü ve uygunsuz olan her şey güvenli bir şekilde azaltılabilir ve geriye tamamen zararsız bir denklem kalır! Bu yüzden sahip olmak çok önemli yalnızca çarpma Sistemin denklemlerinden en az birinde. Çarpma yok, azaltılacak bir şey yok, evet...

Genel olarak, bu yöntem (sistem çözmenin diğer pek çok önemsiz olmayan yöntemi gibi) ayrı bir dersi bile hak ediyor. Kesinlikle daha detaylı inceleyeceğim. Bir gün…

Ancak sistemi tam olarak nasıl çözdüğünüz önemli değil, her halükarda şimdi ortaya çıkan denklemi çözmemiz gerekiyor:

Q 3 = -8

Sorun değil: küp kökünü çıkarın ve işiniz bitti!

Çıkarma işlemi sırasında buraya artı/eksi koymanıza gerek olmadığını lütfen unutmayın. Tek (üçüncü) dereceden bir kökümüz var. Cevap da aynı, evet.)

Böylece ilerlemenin paydası bulunmuştur. Eksi iki. Harika! Süreç devam ediyor.)

İlk terim için (örneğin üst denklemden) şunu elde ederiz:

Harika! İlk terimi biliyoruz, paydayı biliyoruz. Ve şimdi ilerlemenin herhangi bir üyesini bulma fırsatımız var. İkincisi de dahil.)

İkinci dönem için her şey oldukça basit:

B 2 = B 1 · Q= 3·(-2) = -6

Cevap: -6

Böylece problemi çözmenin cebirsel yöntemini parçaladık. Zor? Pek değil, katılıyorum. Uzun ve sıkıcı mı? Evet kesinlikle. Ancak bazen iş miktarını önemli ölçüde azaltabilirsiniz. Bunun için var grafik yöntemi. Eski ve bize tanıdık geliyor.)

Hadi bir problem çizelim!

Evet! Kesinlikle. Yine ilerlememizi sayı ekseninde gösteriyoruz. Bir cetveli takip etmek gerekli değildir, terimler arasında eşit aralıkları korumak gerekli değildir (bu arada, ilerleme geometrik olduğu için aynı olmayacaktır!), sadece basitçe şematik olarak Sıramızı çizelim.

Bunu şu şekilde anladım:

Şimdi resme bakın ve anlayın. Kaç tane özdeş faktör "q" ayrılır dördüncü Ve yedinciüyeler? Doğru, üç!

Bu nedenle şunu yazmaya hakkımız var:

-24·Q 3 = 192

Buradan q'yu bulmak artık çok kolay:

Q 3 = -8

Q = -2

Bu harika, payda zaten cebimizde. Şimdi resme tekrar bakalım: bu tür paydaların arasında kaç tane var? ikinci Ve dördüncüüyeler? İki! Bu nedenle, bu terimler arasındaki bağlantıyı kaydetmek için paydayı oluşturacağız karesi.

O halde şunu yazıyoruz:

B 2 · Q 2 = -24 , Neresi B 2 = -24/ Q 2

Bulduğumuz paydayı b 2 ifadesinin yerine koyarız, sayarız ve şunu elde ederiz:

Cevap: -6

Gördüğünüz gibi her şey sistemden çok daha basit ve hızlı. Üstelik burada ilk terimi saymamıza bile gerek yoktu! Kesinlikle.)

İşte bu kadar basit ve görsel bir yol-ışık. Ama aynı zamanda ciddi bir dezavantajı da var. Tahmin ettin mi? Evet! Yalnızca çok kısa ilerleme parçaları için iyidir. Bizi ilgilendiren üyeler arasındaki mesafelerin çok büyük olmadığı yerler. Ama diğer tüm durumlarda bir resim çizmek zaten zor, evet... O zaman sorunu sistem aracılığıyla analitik olarak çözüyoruz.) Ve sistemler evrensel şeylerdir. Her türlü sayıyı yönetebilirler.

Başka bir destansı meydan okuma:

Geometrik ilerlemenin ikinci terimi birinciden 10, üçüncü terim ise 30 daha fazla ikinciden daha fazla. İlerlemenin paydasını bulun.

Ne, güzel mi? Hiç de bile! Hepsi aynı. Yine problem ifadesini saf cebire çeviriyoruz.

1) Her terimi aşağıdaki formüle göre açıklıyoruz Nüye!

İkinci terim: b 2 = b 1 q

Üçüncü terim: b 3 = b 1 q 2

2) Üyeler arasındaki bağlantıyı problem bildiriminden yazıyoruz.

Şartı okuyoruz: "Geometrik ilerlemenin ikinci terimi birincisinden 10 daha büyüktür." Dur, bu çok değerli!

O halde şunu yazıyoruz:

B 2 = B 1 +10

Ve bu cümleyi saf matematiğe çeviriyoruz:

B 3 = B 2 +30

İki denklemimiz var. Bunları bir sistemde birleştirelim:

Sistem basit görünüyor. Ancak harfler için çok fazla farklı indeks var. İkinci ve üçüncü terimlerin ifadelerini birinci terim ve payda yerine koyalım! Bunları boyamamız boşuna mıydı?

Şunu elde ederiz:

Ama böyle bir sistem artık hediye değil, evet... Bunu nasıl çözebiliriz? Ne yazık ki, karmaşık sorunları çözmek için evrensel bir gizli büyü yoktur. doğrusal olmayan Matematikte sistem yoktur ve olamaz. Fantastik! Ancak bu kadar sert bir cevizi kırmaya çalışırken aklınıza gelmesi gereken ilk şey, Ancak sistemin denklemlerinden biri şuna indirgenebilir değil mi? güzel manzaraörneğin değişkenlerden birini diğerine göre kolayca ifade etmeye izin veriyor mu?

Hadi çözelim. Sistemin ilk denklemi açıkça ikincisinden daha basittir. Ona işkence edeceğiz.) İlk denklemden denememiz gerekmez mi? bir şey aracılığıyla ifade etmek bir şey? Paydayı bulmak istediğimiz için Q o zaman ifade etmemiz bizim için en avantajlı olacaktır. B 1 başından sonuna kadar Q.

Öyleyse bu işlemi ilk denklemle, eski güzel denklemleri kullanarak yapmaya çalışalım:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Tüm! Yani ifade ettik gereksiz bize (b 1) değişkenini verin gerekli(Q). Evet, elimizdeki en basit ifade bu değil. Bir çeşit kesir... Ama sistemimiz makul bir seviyede, evet.)

Tipik. Ne yapacağımızı biliyoruz.

ODZ yazıyoruz (Mutlaka!) :

q ≠ 1

Her şeyi paydayla (q-1) çarpıyoruz ve tüm kesirleri iptal ediyoruz:

10 Q 2 = 10 Q + 30(Q-1)

Her şeyi ona bölüyoruz, parantezleri açıyoruz ve her şeyi soldan topluyoruz:

Q 2 – 4 Q + 3 = 0

Sonucu çözüyoruz ve iki kök alıyoruz:

Q 1 = 1

Q 2 = 3

Son bir cevap var: Q = 3 .

Cevap: 3

Gördüğünüz gibi geometrik ilerlemenin n'inci teriminin formülünü içeren çoğu problemi çözmenin yolu her zaman aynıdır: oku dikkatle problemin durumunu ve n'inci terimin formülünü kullanarak tamamını çeviriyoruz kullanışlı bilgi saf cebire dönüştü.

Yani:

1) Problemde verilen her terimi formüle göre ayrı ayrı açıklıyoruzNüye.

2) Problemin koşullarından üyeler arasındaki bağlantıyı matematiksel forma çeviriyoruz. Bir denklem veya denklem sistemi oluşturuyoruz.

3) Ortaya çıkan denklemi veya denklem sistemini çözeriz, ilerlemenin bilinmeyen parametrelerini buluruz.

4) Belirsiz bir cevap olması durumunda, (varsa) ek bilgi aramak için görev koşullarını dikkatlice okuyun. Ayrıca alınan yanıtı DL'nin şartlarıyla (varsa) kontrol ederiz.

Şimdi geometrik ilerleme problemlerini çözme sürecinde en sık hataya yol açan ana problemleri listeleyelim.

1. Temel aritmetik. Kesirlerle ve negatif sayılarla işlemler.

2. Bu üç noktadan en az birinde sorun varsa bu konuda hata yapmanız kaçınılmazdır. Ne yazık ki... O yüzden tembel olmayın ve yukarıda anlatılanları tekrarlayın. Ve bağlantıları takip edin - gidin. Bazen yardımcı olur.)

Değiştirilmiş ve tekrarlanan formüller.

Şimdi bu durumun daha az tanıdık bir sunumuyla birkaç tipik sınav problemine bakalım. Evet evet tahmin ettiniz! Bu değiştirilmiş Ve tekrarlayan n'inci terim formülleri. Bu tür formüllerle zaten karşılaştık ve aritmetik ilerleme üzerinde çalıştık. Burada her şey benzer. İşin özü aynıdır.

Örneğin, OGE'den gelen bu sorun:

Geometrik ilerleme formülle verilir bn = 3 2 N . Birinci ve dördüncü terimlerinin toplamını bulun.

Bu sefer ilerleme bizim için pek de alışılagelmiş gibi değil. Bir çeşit formül şeklinde. Ne olmuş? Bu formül aynı zamanda bir formülNüye! Sen ve ben, n'inci terimin formülünün hem genel biçimde, harfler kullanılarak hem de yazılabileceğini biliyoruz. spesifik ilerleme. İLE özel birinci terim ve payda.

Bizim durumumuzda, aslında bize aşağıdaki parametrelerle geometrik ilerleme için genel bir terim formülü veriliyor:

B 1 = 6

Q = 2

Kontrol edelim mi?) n'inci terimin formülünü genel formda yazalım ve yerine koyalım. B 1 Ve Q. Şunu elde ederiz:

bn = B 1 · qn -1

bn= 6 2N -1

Çarpanlara ayırmayı ve kuvvetlerin özelliklerini kullanmayı basitleştiririz ve şunu elde ederiz:

bn= 6 2N -1 = 3·2·2N -1 = 3 2N -1+1 = 3 2N

Gördüğünüz gibi her şey adil. Ancak amacımız belirli bir formülün türetilmesini göstermek değil. Bu böyle, lirik bir ara söz. Tamamen anlama amaçlıdır.) Amacımız, durumda bize verilen formüle göre sorunu çözmektir. Anladınız mı?) Yani doğrudan değiştirilmiş formülle çalışıyoruz.

İlk dönemi sayıyoruz. Hadi değiştirelim N=1 genel formüle:

B 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Bunun gibi. Bu arada tembellik etmeyeceğim ve ilk dönemin hesaplanmasında yapılan tipik bir hataya bir kez daha dikkatinizi çekeceğim. YAPMAYIN, formüle bakarak bn= 3 2N, hemen ilk terimin üç olduğunu yazmak için acele edin! Bu çok büyük bir hata, evet...)

Devam edelim. Hadi değiştirelim N=4 ve dördüncü terimi sayın:

B 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Ve son olarak gerekli miktarı hesaplıyoruz:

B 1 + B 4 = 6+48 = 54

Cevap: 54

Başka bir problem.

Geometrik ilerleme koşullarla belirlenir:

B 1 = -7;

bn +1 = 3 bn

İlerlemenin dördüncü terimini bulun.

Burada ilerleme yinelenen bir formülle verilmektedir. İyi tamam.) Bu formülle nasıl çalışılır – biz de biliyoruz.

Biz de öyle davranıyoruz. Adım adım.

1) İkiyi sayın ardışık ilerlemenin üyesi.

İlk dönem zaten bize verildi. Eksi yedi. Ancak bir sonraki ikinci terim yineleme formülü kullanılarak kolayca hesaplanabilir. Tabii ki çalışma prensibini anlarsanız.)

Yani ikinci terimi sayıyoruz İle ilk bilinen:

B 2 = 3 B 1 = 3·(-7) = -21

2) İlerlemenin paydasını hesaplayın

Sorun da değil. Düz, hadi bölelim ikinciçük üzerinde Birinci.

Şunu elde ederiz:

Q = -21/(-7) = 3

3) Formülü yazınNolağan formdaki üyeyi girin ve gerekli üyeyi hesaplayın.

Yani ilk terimi biliyoruz ve paydayı da biliyoruz. O halde şunu yazıyoruz:

bn= -7·3N -1

B 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Cevap: -189

Gördüğünüz gibi geometrik bir ilerleme için bu tür formüllerle çalışmak aslında aritmetik bir ilerlemeden farklı değildir. Bu formüllerin yalnızca genel özünü ve anlamını anlamak önemlidir. Ayrıca geometrik ilerlemenin anlamını da anlamalısınız, evet.) Ve o zaman aptalca hatalar olmayacak.

Peki, kendi başımıza karar verelim mi?)

Isınma için çok temel görevler:

1. Geometrik bir ilerleme verildiğinde B 1 = 243, a Q = -2/3. İlerlemenin altıncı terimini bulun.

2. Geometrik ilerlemenin genel terimi formülle verilir bn = 5∙2 N +1 . Bu ilerlemenin son üç basamaklı teriminin sayısını bulun.

3. Geometrik ilerleme şu koşullarla verilir:

B 1 = -3;

bn +1 = 6 bn

İlerlemenin beşinci terimini bulun.

Biraz daha karmaşık:

4. Geometrik bir ilerleme verildiğinde:

B 1 =2048; Q =-0,5

Altıncı negatif terim neye eşittir?

Süper zor görünen şey nedir? Hiç de bile. Mantık ve geometrik ilerlemenin anlamını kavramak sizi kurtaracaktır. Tabii ki n'inci dönemin formülü.

5. Geometrik ilerlemenin üçüncü terimi -14, sekizinci terim ise 112'dir. İlerlemenin paydasını bulun.

6. Geometrik ilerlemenin birinci ve ikinci terimlerinin toplamı 75, ikinci ve üçüncü terimlerin toplamı 150'dir. Dizinin altıncı terimini bulun.

Cevaplar (karışıklık içinde): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Neredeyse hepsi bu. Tek yapmamız gereken saymayı öğrenmek geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı evet keşfet sonsuz azalan geometrik ilerleme ve miktarı. Bu arada çok ilginç ve sıradışı bir şey! Sonraki derslerde bu konu hakkında daha fazla bilgi edinin.)

Talimatlar

10, 30, 90, 270...

Geometrik ilerlemenin paydasını bulmanız gerekir.
Çözüm:

Seçenek 1. İlerlemenin rastgele bir terimini alalım (örneğin 90) ve onu bir öncekine (30) bölelim: 90/30=3.

Bir geometrik ilerlemenin birkaç teriminin toplamı veya azalan bir geometrik ilerlemenin tüm terimlerinin toplamı biliniyorsa, ilerlemenin paydasını bulmak için uygun formülleri kullanın:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), burada Sn geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamıdır ve
S = b1/(1-q), burada S sonsuz derecede azalan geometrik ilerlemenin toplamıdır (paydası birden küçük olan ilerlemenin tüm terimlerinin toplamı).
Örnek.

Azalan geometrik ilerlemenin ilk terimi bire, tüm terimlerin toplamı ise ikiye eşittir.

Bu ilerlemenin paydasını belirlemek gerekiyor.
Çözüm:

Problemdeki verileri formülde değiştirin. Ortaya çıkacak:
2=1/(1-q), dolayısıyla – q=1/2.

İlerleme bir sayı dizisidir. Geometrik ilerlemede, sonraki her terim, bir öncekinin ilerlemenin paydası adı verilen belirli bir q sayısıyla çarpılmasıyla elde edilir.

Talimatlar

Eğer iki bitişik geometrik terim b(n+1) ve b(n) biliniyorsa, paydayı elde etmek için büyük olan sayıyı kendisinden önceki sayıya bölmeniz gerekir: q=b(n+1)/b (N). Bu, ilerlemenin tanımından ve paydasından kaynaklanmaktadır. Önemli bir durum birinci terimin eşitsizliği ve sıfıra ilerlemenin paydasıdır, aksi takdirde belirsiz kabul edilir.

Böylece ilerlemenin terimleri arasında şu ilişkiler kurulur: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. b(n)=b1 q^(n-1) formülünü kullanarak, q paydasının ve b1 teriminin bilindiği geometrik ilerlemenin herhangi bir terimi hesaplanabilir. Ayrıca ilerlemenin her biri modül olarak komşu üyelerinin ortalamasına eşittir: |b(n)|=√, ilerlemenin aldığı yer burasıdır.

Geometrik ilerlemenin bir benzeri en basit olanıdır üstel fonksiyon y=a^x, burada x bir üs, a ise belirli bir sayıdır. Bu durumda ilerlemenin paydası birinci terime denk gelir ve a sayısına eşittir. Y fonksiyonunun değeri şu şekilde anlaşılabilir: n'inci terim x argümanı bir n doğal sayısı (sayaç) olarak alınırsa ilerleme.

Bir diğer önemli özellik geometrik ilerleme sağlayan geometrik ilerleme

Her doğal sayı için ise N gerçek bir sayıyla eşleş BİR sonra verildi diyorlar sayı dizisi :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , BİR , . . . .

Dolayısıyla sayı dizisi doğal argümanın bir fonksiyonudur.

Sayı A 1 isminde dizinin ilk terimi , sayı A 2 — dizinin ikinci terimi , sayı A 3 — üçüncü ve benzeri. Sayı BİR isminde n'inci terim diziler ve bir doğal sayı N — onun numarası .

İki bitişik üyeden BİR Ve BİR +1 dizi üyesi BİR +1 isminde sonraki (karşı BİR ), A BİR — öncesi (karşı BİR +1 ).

Bir dizi tanımlamak için dizinin herhangi bir sayıdaki üyesini bulmanızı sağlayacak bir yöntem belirtmeniz gerekir.

Çoğu zaman sıra kullanılarak belirtilir. n'inci terim formülleri yani bir dizinin bir üyesini numarasına göre belirlemenize olanak tanıyan bir formül.

Örneğin,

olumlu dizi tek sayılar formülle verilebilir

BİR= 2N- 1,

ve alternatif dizi 1 Ve -1 - formül

B N = (-1)N +1 . ◄

Sıra belirlenebilir tekrarlanan formül, yani, bazılarından başlayarak önceki (bir veya daha fazla) üyeye kadar dizinin herhangi bir üyesini ifade eden bir formül.

Örneğin,

Eğer A 1 = 1 , A BİR +1 = BİR + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Eğer 1= 1, bir 2 = 1, BİR +2 = BİR + BİR +1 , sonra ilk yedi üye sayı dizisi aşağıdaki gibi yükleyin:

1 = 1,

bir 2 = 1,

3 = 1 + bir 2 = 1 + 1 = 2,

4 = bir 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sıralar olabilir son Ve sonsuz .

Sıra denir nihai Eğer sınırlı sayıda üyesi varsa. Sıra denir sonsuz sonsuz sayıda üyesi varsa.

Örneğin,

iki basamaklı doğal sayılar dizisi:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Asal sayılar dizisi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sonsuz. ◄

Sıra denir artan , eğer ikinciden başlayarak üyelerinin her biri bir öncekinden daha büyükse.

Sıra denir azalan , eğer ikinciden başlayarak üyelerinin her biri bir öncekinden daha azsa.

Örneğin,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . - artan sıra;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . - azalan dizi. ◄

Sayı arttıkça elemanları azalmayan veya tam tersi artmayan diziye ne ad verilir? monoton dizi .

Monotonik diziler özellikle artan diziler ve azalan dizilerdir.

Aritmetik ilerleme

Aritmetik ilerleme ikinciden başlayarak her üyenin aynı sayının eklendiği bir öncekine eşit olduğu bir dizidir.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , BİR, . . .

herhangi biri için aritmetik bir ilerlemedir doğal sayı N koşul yerine getirildi:

BİR +1 = BİR + D,

Nerede D - belirli bir sayı.

Böylece, belirli bir aritmetik ilerlemenin sonraki ve önceki terimleri arasındaki fark her zaman sabittir:

bir 2 - A 1 = 3 - A 2 = . . . = BİR +1 - BİR = D.

Sayı D isminde aritmetik ilerleme farkı.

Aritmetik ilerlemeyi tanımlamak için ilk terimini ve farkını belirtmek yeterlidir.

Örneğin,

Eğer A 1 = 3, D = 4 , dizinin ilk beş terimini şu şekilde buluruz:

1 =3,

bir 2 = 1 + D = 3 + 4 = 7,

3 = bir 2 + D= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + D= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

İlk terimle aritmetik ilerleme için A 1 ve fark D o N

BİR = 1 + (N- 1)D.

Örneğin,

Aritmetik ilerlemenin otuzuncu terimini bulun

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, D = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

bir n-1 = 1 + (N- 2)D,

BİR= 1 + (N- 1)D,

BİR +1 = A 1 + ve,

o zaman açıkçası

Bir aritmetik ilerlemenin ikinciden başlayarak her üyesi, önceki ve sonraki üyelerin aritmetik ortalamasına eşittir.

a, b ve c sayıları, ancak ve ancak bunlardan biri diğer ikisinin aritmetik ortalamasına eşitse, bir aritmetik ilerlemenin ardışık terimleridir.

Örneğin,

BİR = 2N- 7 , aritmetik bir ilerlemedir.

Yukarıdaki ifadeyi kullanalım. Sahibiz:

BİR = 2N- 7,

bir n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

bir n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Buradan,

◄

Dikkat N Bir aritmetik ilerlemenin inci terimi yalnızca şu şekilde bulunabilir: A 1 , aynı zamanda daha önceki herhangi bir bir k

BİR = bir k + (N- k)D.

Örneğin,

İçin A 5 yazılabilir

5 = 1 + 4D,

5 = bir 2 + 3D,

5 = 3 + 2D,

5 = 4 + D. ◄

BİR = bir n-k + kd,

BİR = bir n+k - kd,

o zaman açıkçası

Bir aritmetik ilerlemenin herhangi bir üyesi, ikinciden başlayarak, bu aritmetik ilerlemenin eşit aralıklı üyelerinin toplamının yarısına eşittir.

Ayrıca herhangi bir aritmetik ilerleme için aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

bir m + bir n = bir k + bir l,

m + n = k + l.

Örneğin,

aritmetik ilerlemede

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (bir 7 + bir 13)/2;

4) bir 2 + bir 12 = bir 5 + bir 9, Çünkü

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

bir 5 + bir 9 = 13 + 25 = 38. ◄

Sn= bir 1 + bir 2 + bir 3 + . . .+ BİR,

Birinci N Bir aritmetik ilerlemenin terimleri, uç terimlerin toplamının yarısı ile terim sayısının çarpımına eşittir:

Buradan özellikle şu sonuç çıkar: terimleri toplamanız gerekiyorsa

bir k, bir k +1 , . . . , BİR,

bu durumda önceki formül yapısını korur:

Örneğin,

aritmetik ilerlemede 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Eğer verilirse aritmetik ilerleme, ardından miktarlar A 1 , BİR, D, N VeS N iki formülle birbirine bağlanır:

Bu nedenle, bu miktarlardan üçünün değerleri verilirse, diğer iki miktarın karşılık gelen değerleri, iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde birleştirilen bu formüllerden belirlenir.

Aritmetik ilerleme monoton bir dizidir. Burada:

• Eğer D > 0 , o zaman artıyor;
• Eğer D < 0 , o zaman azalıyor;
• Eğer D = 0 , bu durumda dizi durağan olacaktır.

Geometrik ilerleme

Geometrik ilerleme ikinciden başlayarak her üyenin bir öncekinin aynı sayıyla çarpımına eşit olduğu bir dizidir.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , bn, . . .

herhangi bir doğal sayı için geometrik bir ilerlemedir N koşul yerine getirildi:

bn +1 = bn · Q,

Nerede Q ≠ 0 - belirli bir sayı.

Dolayısıyla, belirli bir geometrik ilerlemenin sonraki teriminin bir öncekine oranı sabit bir sayıdır:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = bn +1 / bn = Q.

Sayı Q isminde geometrik ilerlemenin paydası.

Geometrik bir ilerlemeyi tanımlamak için ilk terimini ve paydasını belirtmek yeterlidir.

Örneğin,

Eğer B 1 = 1, Q = -3 , dizinin ilk beş terimini şu şekilde buluruz:

b 1 = 1,

b2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b3 = b2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b4 = b3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 ve payda Q o N Bu terim aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

bn = B 1 · qn -1 .

Örneğin,

geometrik ilerlemenin yedinci terimini bulun 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · qn -2 ,

bn = b 1 · qn -1 ,

bn +1 = B 1 · qn,

o zaman açıkçası

bn 2 = bn -1 · bn +1 ,

ikinciden başlayarak geometrik ilerlemenin her bir üyesi, önceki ve sonraki üyelerin geometrik ortalamasına (orantılı) eşittir.

Bunun tersi de doğru olduğundan aşağıdaki ifade geçerlidir:

a, b ve c sayıları, ancak ve ancak bunlardan birinin karesi diğer ikisinin çarpımına eşitse, yani sayılardan biri diğer ikisinin geometrik ortalamasıysa, bir geometrik ilerlemenin ardışık terimleridir.

Örneğin,

Formülün verdiği diziyi kanıtlayalım bn= -3 2 N , geometrik bir ilerlemedir. Yukarıdaki ifadeyi kullanalım. Sahibiz:

bn= -3 2 N,

bn -1 = -3 2 N -1 ,

bn +1 = -3 2 N +1 .

Buradan,

bn 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = bn -1 · bn +1 ,

bu da istenen ifadeyi kanıtlıyor. ◄

Dikkat N Geometrik ilerlemenin inci terimi yalnızca şu şekilde bulunabilir: B 1 , aynı zamanda önceki herhangi bir üye bk bunun için formülü kullanmak yeterlidir

bn = bk · qn - k.

Örneğin,

İçin B 5 yazılabilir

b5 = b 1 · Q 4 ,

b5 = b2 · 3. soru,

b5 = b3 · q 2,

b5 = b4 · Q. ◄

bn = bk · qn - k,

bn = bn - k · qk,

o zaman açıkçası

bn 2 = bn - k· bn + k

İkinciden başlayarak geometrik ilerlemenin herhangi bir teriminin karesi, ondan eşit uzaklıktaki bu ilerlemenin terimlerinin çarpımına eşittir.

Ayrıca herhangi bir geometrik ilerleme için eşitlik doğrudur:

bm· bn= bk· b l,

M+ N= k+ ben.

Örneğin,

geometrik ilerlemede

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Çünkü

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

Sn= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + bn

Birinci N paydalı geometrik ilerlemenin üyeleri Q ≠ 0 formülle hesaplanır:

Ve ne zaman Q = 1 - formüle göre

Sn= not 1

Terimleri toplamanız gerekiyorsa şunu unutmayın:

bk, bk +1 , . . . , bn,

daha sonra formül kullanılır:

Örneğin,

geometrik ilerlemede 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Geometrik bir ilerleme verilirse, o zaman miktarlar B 1 , bn, Q, N Ve Sn iki formülle birbirine bağlanır:

Bu nedenle, bu miktarlardan herhangi üçünün değerleri verilirse, diğer iki miktarın karşılık gelen değerleri, iki bilinmeyenli iki denklem sisteminde birleştirilen bu formüllerden belirlenir.

İlk terimle geometrik ilerleme için B 1 ve payda Q aşağıdakiler gerçekleşir monotonluğun özellikleri :

• Aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa ilerleme artıyor:

B 1 > 0 Ve Q> 1;

B 1 < 0 Ve 0 < Q< 1;

• Aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa ilerleme azalıyor:

B 1 > 0 Ve 0 < Q< 1;

B 1 < 0 Ve Q> 1.

Eğer Q< 0 , o zaman geometrik ilerleme dönüşümlüdür: tek sayılı terimler ilk terimiyle aynı işarete sahiptir ve çift sayılı terimler ters işarete sahiptir. Alternatif bir geometrik ilerlemenin monoton olmadığı açıktır.

İlk ürünün ürünü N geometrik ilerlemenin terimleri aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

P n= b 1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b 1 · bn) N / 2 .

Örneğin,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Sonsuz azalan geometrik ilerleme

Sonsuz azalan geometrik ilerleme payda modülü daha küçük olan sonsuz geometrik ilerleme denir 1 , yani

|Q| < 1 .

Sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerlemenin azalan bir dizi olmayabileceğini unutmayın. Bu duruma uyuyor

1 < Q< 0 .

Böyle bir paydayla dizi değişiyor. Örneğin,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı ilklerin toplamının sınırsız olarak yaklaştığı sayıyı adlandırın N sayısında sınırsız bir artış olan bir ilerlemenin üyeleri N . Bu sayı her zaman sonludur ve aşağıdaki formülle ifade edilir:

Örneğin,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmetik ve geometrik ilerlemeler arasındaki ilişki

Aritmetik ve geometrik ilerlemeler yakından ilişkilidir. Sadece iki örneğe bakalım.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . D , O

ba bir 1 , ba bir 2 , ba bir 3 , . . . b d .

Örneğin,

1, 3, 5, . . . - farkla aritmetik ilerleme 2 Ve

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - paydayla geometrik ilerleme 7 2 . ◄

B 1 , B 2 , B 3 , . . . - paydayla geometrik ilerleme Q , O

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - farkla aritmetik ilerleme bir günlüğe kaydetQ .

Örneğin,

2, 12, 72, . . . - paydayla geometrik ilerleme 6 Ve

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - farkla aritmetik ilerleme lg 6 . ◄