Bir fonksiyonun bir aralıktaki en büyük değeri nasıl bulunur?

Bir fonksiyonun ekstremumu nedir ve nedir? gerekli kondisyon aşırı?

Bir fonksiyonun ekstremumu, fonksiyonun maksimum ve minimumudur.

Bir fonksiyonun maksimum ve minimum (ekstrem) için gerekli koşul şudur: f(x) fonksiyonunun x = a noktasında bir ekstremumu varsa, o zaman bu noktada türev ya sıfırdır ya da sonsuzdur ya da mevcut değil.

Bu koşul gereklidir ancak yeterli değildir. X = a noktasındaki türev sıfıra, sonsuza gidebilir veya fonksiyon bu noktada bir ekstremuma sahip olmadan var olmayabilir.

Bir fonksiyonun ekstremumu (maksimum veya minimum) için yeterli koşul nedir?

İlk koşul:

Eğer x = a noktasına yeterli yakınlıkta f?(x) türevi a'nın solunda pozitif ve sağında negatif ise, o zaman x = a noktasında f(x) fonksiyonu şuna sahiptir: maksimum

Eğer x = a noktasına yeterli yakınlıkta f?(x) türevi a'nın solunda negatif ve sağında pozitif ise, o zaman x = a noktasında f(x) fonksiyonu şuna sahiptir: minimum f(x) fonksiyonunun burada sürekli olması şartıyla.

Bunun yerine, bir fonksiyonun ekstremumu için ikinci yeterli koşulu kullanabilirsiniz:

x = a noktasında birinci türev f?(x) sıfır olsun; f??(a) ikinci türevi negatifse, f(x) fonksiyonunun x = a noktasında maksimumu vardır, pozitifse minimumu vardır.

Bir fonksiyonun kritik noktası nedir ve nasıl bulunur?

Bu, fonksiyonun bir uç noktaya (yani maksimum veya minimum) sahip olduğu fonksiyon argümanının değeridir. Onu bulmak için ihtiyacın var türevi bul f?(x) fonksiyonu ve bunu sıfıra eşitleyerek, denklemi çözün f?(x) = 0. Bu denklemin kökleri ve bu fonksiyonun türevinin mevcut olmadığı noktalar kritik noktalardır, yani bir ekstremum olabilecek argümanın değerleridir. Bakılarak kolaylıkla tespit edilebilirler. türev grafiği: fonksiyonun grafiğinin apsis ekseniyle (Ox ekseni) kesiştiği ve grafiğin süreksizliklere maruz kaldığı argümanın değerleriyle ilgileniyoruz.

Örneğin, bulalım bir parabolün ekstremumu.

Fonksiyon y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Fonksiyonun türevi: y?(x) = 6x + 2

Denklemi çözün: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Bu durumda kritik nokta x0=-1/3 olur. Fonksiyonun sahip olduğu bu argüman değeridir. ekstremum. Ona bulmak işlevin yerine “x” yerine ifadede bulunan sayıyı yazın:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Bir fonksiyonun maksimum ve minimumu nasıl belirlenir? onun en büyüğü ve en küçük değer?

Türevin işareti x0 kritik noktasından geçerken “artı”dan “eksi”ye değişirse, o zaman x0 maksimum nokta; türevin işareti eksiden artıya değişirse x0 minimum puan; işaret değişmezse, x0 noktasında ne maksimum ne de minimum vardır.

Ele alınan örnek için:

Kritik noktanın solundaki argümanın keyfi bir değerini alıyoruz: x = -1

x = -1'de türevin değeri y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 olacaktır (yani işareti “eksi”).

Şimdi kritik noktanın sağındaki argümanın keyfi bir değerini alıyoruz: x = 1

x = 1'de türevin değeri y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 olacaktır (yani işareti “artı”dır).

Gördüğünüz gibi kritik noktadan geçerken türevin işareti eksiden artıya değişti. Bu, x0 kritik değerinde minimum bir noktaya sahip olduğumuz anlamına gelir.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri aralıkta(bir segment üzerinde) aynı prosedür kullanılarak bulunur, ancak belki de tüm kritik noktaların belirtilen aralıkta olmayacağı gerçeği dikkate alınır. Aralığın dışındaki kritik noktalar değerlendirme dışı bırakılmalıdır. Aralığın içinde yalnızca bir kritik nokta varsa, bu noktanın ya maksimumu ya da minimumu olacaktır. Bu durumda fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini belirlemek için fonksiyonun aralığın uçlarındaki değerlerini de dikkate alıyoruz.

Örneğin fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulalım

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

aralıklarla:

Yani fonksiyonun türevi

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

3cos(x) - 0,5 = 0 denklemini çözüyoruz

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

[-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (aralığa dahil değildir)

x = -arccos(0,16667) - 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (aralığa dahil değildir)

Fonksiyon değerlerini argümanın kritik değerlerinde buluyoruz:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

[-9; 9] fonksiyon x = -4,88'de en büyük değere sahiptir:

x = -4,88, y = 5,398,

ve en küçüğü - x = 4,88'de:

x = 4,88, y = -5,398.

[-6; -3] tek bir kritik noktamız var: x = -4,88. Fonksiyonun x = -4,88'deki değeri y = 5,398'e eşittir.

Aralığın sonunda fonksiyonun değerini bulun:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

[-6; -3] fonksiyonun en büyük değerine sahibiz

y = 5,398, x = -4,88'de

en küçük değer -

x = -3'te y = 1,077

Bir fonksiyon grafiğinin bükülme noktaları nasıl bulunur ve dışbükey ve içbükey taraflar nasıl belirlenir?

Y = f(x) doğrusundaki tüm bükülme noktalarını bulmak için, ikinci türevi bulmanız, onu sıfıra eşitlemeniz (denklemi çözmeniz) ve ikinci türevin sıfır olduğu tüm x değerlerini test etmeniz gerekir, sonsuzdur veya yoktur. Bu değerlerden birinden geçerken ikinci türev işaret değiştirirse, fonksiyonun grafiği bu noktada bir bükülmeye sahiptir. Eğer değişmezse bükülme olmaz.

f denkleminin kökleri? (x) = 0, fonksiyonun ve ikinci türevinin olası süreksizlik noktalarının yanı sıra, fonksiyonun tanım bölgesini bir dizi aralığa böler. Aralıklarının her birindeki dışbükeylik, ikinci türevin işaretiyle belirlenir. İncelenen aralıktaki bir noktadaki ikinci türev pozitifse, o zaman y = f(x) doğrusu yukarıya doğru içbükeydir, negatifse aşağıya doğru içbükeydir.

İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunu nasıl bulabilirim?

Spesifikasyon tanım kümesinde türevlenebilir f(x,y) fonksiyonunun ekstremumunu bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

1) kritik noktaları bulun ve bunun için denklem sistemini çözün

fх? (x,y) = 0, yani? (x,y) = 0

2) her kritik nokta P0(a;b) için farkın işaretinin değişmeden kalıp kalmadığını araştırın

tüm (x;y) noktaları için P0'a yeterince yakın. Fark pozitif kalırsa, P0 noktasında minimumumuz olur, negatifse maksimumumuz olur. Eğer fark işaretini korumuyorsa P0 noktasında ekstremum yoktur.

Fonksiyonun ekstremumları benzer şekilde belirlenir. Daha argümanlar.

Bu hizmetle şunları yapabilirsiniz: bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulmaÇözümün Word'de biçimlendirildiği bir f(x) değişkeni. Dolayısıyla f(x,y) fonksiyonu verilmişse, iki değişkenli fonksiyonun ekstremumunu bulmak gerekir. Artan ve azalan fonksiyonların aralıklarını da bulabilirsiniz.

İşlev girme kuralları:

Tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için gerekli koşul

Tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için yeterli koşul

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

O halde x * noktası, fonksiyonun yerel (global) minimum noktasıdır.

Eğer x * noktasında koşul karşılanırsa:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

O halde x * noktası yerel (global) bir maksimumdur.

Örnek No.1. Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun: segmentte.
Çözüm.

Kritik nokta bir x 1 = 2'dir (f'(x)=0). Bu nokta segmente aittir. (0∉ olduğundan x=0 noktası kritik değildir).
Fonksiyonun değerlerini segmentin uçlarında ve kritik noktada hesaplıyoruz.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Cevap: f min = 5/2, x=2; f maks =9, x=1'de

Örnek No.2. Daha yüksek dereceli türevleri kullanarak y=x-2sin(x) fonksiyonunun ekstremumunu bulun.
Çözüm.
Fonksiyonun türevini bulun: y'=1-2cos(x) . Kritik noktaları bulalım: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. y''=2sin(x)'i buluruz, hesaplarız, yani x= π / 3 +2πk, k∈Z fonksiyonun minimum noktalarıdır; , yani x=- π / 3 +2πk, k∈Z fonksiyonun maksimum noktalarıdır.

Örnek No. 3. x=0 noktası civarındaki ekstremum fonksiyonunu inceleyin.
Çözüm. Burada fonksiyonun ekstremumunu bulmak gerekir. Eğer ekstremum x=0 ise tipini bulun (minimum veya maksimum). Bulunan noktalar arasında x = 0 yoksa f(x=0) fonksiyonunun değerini hesaplayın.
Belirli bir noktanın her iki tarafındaki türev işaretini değiştirmediğinde, olası durumların türevlenebilir fonksiyonlar için bile tükenmediğine dikkat edilmelidir: noktanın bir tarafındaki keyfi olarak küçük bir komşuluk için x 0 veya her iki tarafta türevin işareti değişir. Bu noktalarda fonksiyonları uç noktada incelemek için başka yöntemler kullanmak gerekir.

Pratikte bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini hesaplamak için türevi kullanmak oldukça yaygındır. Bu eylemi maliyetleri nasıl en aza indireceğimizi, karı nasıl artıracağımızı, hesaplamayı nasıl yapacağımızı bulduğumuzda gerçekleştiririz. optimum yüküretim vb. için, yani belirlenmesinin gerekli olduğu durumlarda optimum değer herhangi bir parametre. Bu tür problemleri doğru bir şekilde çözebilmek için bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerinin ne olduğunu iyi anlamanız gerekir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tipik olarak bu değerleri belirli bir x aralığı içinde tanımlarız; bu da fonksiyonun tüm alanına veya bir kısmına karşılık gelebilir. Bir segment [a; b ] ve açık aralık (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), sonsuz aralık (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) veya sonsuz aralık - ∞ ; bir , (- ∞ ; bir ] , [ bir ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Bu materyalde size tek değişkenli y=f(x) y = f (x) ile açıkça tanımlanmış bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini nasıl hesaplayacağınızı anlatacağız.

Temel tanımlar

Her zaman olduğu gibi temel tanımların formülasyonuyla başlayalım.

Tanım 1

Belirli bir x aralığında y = f (x) fonksiyonunun en büyük değeri, m a x y = f (x 0) x ∈ X değeridir; bu, herhangi bir x x ∈ X değeri için, x ≠ x 0, f (x) eşitsizliğini yapar ≤ f(x) geçerli 0) .

Tanım 2

Belirli bir x aralığında y = f (x) fonksiyonunun en küçük değeri, m ben n x ∈ X y = f (x 0) değeridir; bu, herhangi bir x ∈ X değeri için x ≠ x 0, f(X f eşitsizliğini yapar) (x) ≥ f(x0) .

Bu tanımlar oldukça açıktır. Daha da basit bir şekilde şunu söyleyebiliriz: Bir fonksiyonun en büyük değeri, onun abscissa x 0'da bilinen bir aralıktaki en büyük değeridir; en küçüğü ise aynı aralıkta x 0'da kabul edilen en küçük değerdir.

Tanım 3

Durağan noktalar, türevinin 0 olduğu bir fonksiyonun argümanının değerleridir.

Durağan noktaların ne olduğunu neden bilmemiz gerekiyor? Bu soruyu cevaplamak için Fermat teoremini hatırlamamız gerekiyor. Bundan, durağan bir noktanın türevlenebilir fonksiyonun ekstremumunun (yani yerel minimum veya maksimum) bulunduğu nokta olduğu sonucu çıkar. Sonuç olarak, fonksiyon belirli bir aralıkta tam olarak durağan noktalardan birinde en küçük veya en büyük değeri alacaktır.

Bir fonksiyon, kendisinin tanımlandığı ve birinci türevinin bulunmadığı noktalarda da en büyük veya en küçük değeri alabilir.

Bu konuyu incelerken ortaya çıkan ilk soru: Her durumda, belirli bir aralıkta bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini belirleyebilir miyiz? Hayır, belirli bir aralığın sınırları tanım alanının sınırlarıyla çakıştığında veya sonsuz bir aralıkla karşı karşıya olduğumuzda bunu yapamayız. Aynı zamanda, belirli bir parçadaki veya sonsuzdaki bir fonksiyonun sonsuz küçük veya sonsuz zaman alması da mümkündür. büyük değerler. Bu durumlarda en büyük ve/veya en küçük değeri belirlemek mümkün değildir.

Bu noktalar grafiklerde gösterildikten sonra daha da netleşecektir:

İlk şekil bize [ - 6 ; 6].

İkinci grafikte belirtilen durumu detaylı olarak inceleyelim. Segmentin değerini [ 1 ; 6 ] ve fonksiyonun maksimum değerinin apsisin aralığın sağ sınırında olduğu noktada ve minimum değerinin sabit noktada elde edileceğini buluyoruz.

Üçüncü şekilde noktaların apsisleri doğru parçasının sınır noktalarını temsil etmektedir [-3; 2]. Belirli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerine karşılık gelirler.

Şimdi dördüncü resme bakalım. Burada fonksiyon m a xy'yi (en büyük değer) ve mi n y'yi (en küçük değer) açık aralıktaki (- 6; 6) sabit noktalarda alır.

[ 1 ; 6), o zaman üzerinde fonksiyonun en küçük değerine durağan bir noktada ulaşılacağını söyleyebiliriz. En büyük değer bizim için bilinmiyor olacak. Eğer x = 6 aralığa aitse fonksiyon maksimum değerini x'in 6'ya eşit olduğu noktada alabilir. Bu tam olarak grafik 5'te gösterilen durumdur.

Grafik 6'da bu fonksiyon en küçük değerini (-3; 2 ] aralığının sağ sınırında elde eder ve en büyük değer hakkında kesin çıkarımlara varamayız.

Şekil 7'de fonksiyonun apsisi 1'e eşit olan sabit bir noktada m a xy'ye sahip olacağını görüyoruz. Fonksiyon minimum değerine c aralığının sınırında ulaşacaktır. Sağ Taraf. Eksi sonsuzda fonksiyon değerleri asimptotik olarak y = 3'e yaklaşacaktır.

x ∈ 2 aralığını alırsak; + ∞ ise verilen fonksiyonun ne en küçük ne de en büyük değeri almayacağını göreceğiz. Eğer x 2'ye yöneliyorsa, o zaman fonksiyonun değerleri eksi sonsuza yönelecektir, çünkü x = 2 düz çizgisi dikey bir asimptottur. Eğer apsis artı sonsuza eğilim gösteriyorsa, o zaman fonksiyon değerleri asimptotik olarak y = 3'e yaklaşacaktır. Bu tam olarak Şekil 8'de gösterilen durumdur.

Bu paragrafta, belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini bulmak için yapılması gereken eylemlerin sırasını sunacağız.

1. Öncelikle fonksiyonun tanım tanım kümesini bulalım. Koşulda belirtilen segmentin koşula dahil olup olmadığını kontrol edelim.
2. Şimdi bu parçada yer alan ve birinci türevin bulunmadığı noktaları hesaplayalım. Çoğunlukla argümanları modül işareti altında yazılan fonksiyonlarda veya üssü kesirli rasyonel sayı olan kuvvet fonksiyonlarında bulunabilirler.
3. Daha sonra verilen segmentte hangi sabit noktaların düşeceğini öğreneceğiz. Bunu yapmak için, fonksiyonun türevini hesaplamanız, ardından onu 0'a eşitlemeniz ve elde edilen denklemi çözmeniz ve ardından uygun kökleri seçmeniz gerekir. Tek bir durağan nokta bulamazsak veya verilen segmente girmiyorsa bir sonraki adıma geçiyoruz.
4. Verilen durağan noktalarda (varsa) veya birinci türevin bulunmadığı noktalarda (varsa) fonksiyonun hangi değerleri alacağını belirleriz veya x = a ve değerlerini hesaplarız. x = b.
5. 5. Artık en büyüğünü ve en küçüğünü seçmemiz gereken bir dizi fonksiyon değerimiz var. Bunlar bulmamız gereken fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri olacak.

Sorunları çözerken bu algoritmanın nasıl doğru şekilde uygulanacağını görelim.

örnek 1

Durum: y = x 3 + 4 x 2 fonksiyonu verilmiştir. Segmentlerdeki en büyük ve en küçük değerlerini belirleyin [ 1 ; 4 ] ve [ - 4 ; -1] .

Çözüm:

Belirli bir fonksiyonun tanım tanım kümesini bularak başlayalım. Bu durumda 0 dışındaki tüm reel sayılar kümesi olacaktır. Başka bir deyişle, D(y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Koşulda belirtilen her iki segment de tanım alanının içinde olacaktır.

Şimdi fonksiyonun türevini kesir türevi kuralına göre hesaplıyoruz:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Bir fonksiyonun türevinin doğru parçalarının her noktasında bulunacağını öğrendik [ 1 ; 4 ] ve [ - 4 ; -1] .

Şimdi fonksiyonun durağan noktalarını belirlememiz gerekiyor. Bunu x 3 - 8 x 3 = 0 denklemini kullanarak yapalım. Tek bir gerçek kökü vardır, o da 2'dir. Fonksiyonun durağan bir noktası olacak ve ilk segmente düşecektir [1; 4 ] .

Birinci parçanın uçlarındaki ve bu noktada fonksiyonun değerlerini hesaplayalım; x = 1, x = 2 ve x = 4 için:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3, x = 1'de elde edilecektir ve en küçük m ben n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y(2) = 3 – x = 2'de.

İkinci bölüm tek bir durağan nokta içermediğinden, yalnızca verilen bölümün uçlarındaki fonksiyon değerlerini hesaplamamız gerekir:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Bunun anlamı m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m ben n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Cevap: Segment için [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m ben n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m ben n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Resmi görmek:

Bu yöntemi incelemeden önce, tek taraflı limiti ve sonsuzdaki limiti nasıl doğru bir şekilde hesaplayacağınızı gözden geçirmenizi ve bunları bulmanın temel yöntemlerini öğrenmenizi tavsiye ederiz. Bir fonksiyonun açık veya sonsuz bir aralıkta en büyük ve/veya en küçük değerini bulmak için aşağıdaki adımları sırayla uygulayın.

1. Öncelikle verilen aralığın verilen fonksiyonun tanım kümesinin bir alt kümesi olup olmayacağını kontrol etmeniz gerekir.
2. İstenilen aralıkta yer alan ve birinci türevin bulunmadığı tüm noktaları belirleyelim. Genellikle argümanın modül işareti içine alındığı fonksiyonlarda ve kesirli rasyonel üssü olan kuvvet fonksiyonlarında ortaya çıkarlar. Bu noktalar eksikse bir sonraki adıma geçebilirsiniz.
3. Şimdi hangi durağan noktaların verilen aralığa düşeceğini belirleyelim. Öncelikle türevi 0'a eşitliyoruz, denklemi çözüyoruz ve uygun kökleri seçiyoruz. Tek bir sabit noktamız yoksa veya belirtilen aralığa girmiyorlarsa hemen diğer işlemlere geçiyoruz. Aralık türüne göre belirlenirler.

• Aralık [ a ; b) ise fonksiyonun x = a noktasındaki değerini ve tek taraflı limiti lim x → b - 0 f(x)'i hesaplamamız gerekir.
• Aralık (a; b ] biçimindeyse, o zaman fonksiyonun değerini x = b noktasında ve tek taraflı limit lim x → a + 0 f(x)'de hesaplamamız gerekir.
• Aralık (a; b) biçimindeyse, tek taraflı limitleri lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x) hesaplamamız gerekir.
• Aralık [ a ; + ∞), o zaman x = a noktasındaki değeri ve artı sonsuz lim x → + ∞ f(x) noktasındaki limiti hesaplamamız gerekir.
• Aralık (- ∞ ; b ] gibi görünüyorsa, x = b noktasındaki değeri ve eksi sonsuzdaki limiti lim x → - ∞ f(x) hesaplarız.
• Eğer - ∞ ise; b ise tek taraflı limiti lim x → b - 0 f(x) ve eksi sonsuzdaki limiti lim x → - ∞ f(x) dikkate alırız
• Eğer - ∞ ise; + ∞ , sonra eksi ve artı sonsuzun limitlerini dikkate alırız lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Sonunda elde edilen fonksiyon değerlerine ve limitlere dayanarak bir sonuç çıkarmanız gerekiyor. Burada birçok seçenek mevcut. Dolayısıyla, tek taraflı limit eksi sonsuza veya artı sonsuza eşitse, fonksiyonun en küçük ve en büyük değerleri hakkında hiçbir şey söylenemeyeceği hemen anlaşılır. Aşağıda birine bakacağız tipik örnek. Detaylı Açıklamalar neyin ne olduğunu anlamanıza yardımcı olacaktır. Gerekirse malzemenin ilk kısmındaki Şekil 4 - 8'e dönebilirsiniz.

Koşul: verilen fonksiyon y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . - ∞ ; aralıklarındaki en büyük ve en küçük değerini hesaplayın; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .

Çözüm

Öncelikle fonksiyonun tanım tanım kümesini buluyoruz. Kesirin paydası şunları içerir: ikinci dereceden üç terimli 0'a gitmemesi gereken:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Koşulda belirtilen tüm aralıkların ait olduğu fonksiyonun tanım tanım kümesini elde ettik.

Şimdi fonksiyonun türevini alalım ve şunu elde edelim:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Sonuç olarak, bir fonksiyonun türevleri tüm tanım alanı boyunca mevcuttur.

Durağan noktaları bulmaya geçelim. Fonksiyonun türevi x = - 1 2'de 0 olur. Bu (- 3 ; 1 ] ve (- 3 ; 2) aralıklarında yer alan durağan bir noktadır.

Fonksiyonun (- ∞ ; - 4 ] aralığı için x = - 4'teki değerini ve eksi sonsuzdaki limitini hesaplayalım:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

3 e 1 6 - 4 > - 1 olduğundan, m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 olduğu anlamına gelir. Bu, denklemin en küçük değerini benzersiz bir şekilde belirlememize izin vermez. Fonksiyonun eksi sonsuzda asimptotik olarak yaklaştığı nokta bu değer olduğundan, yalnızca -1'in altında bir kısıtlama olduğu sonucuna varabiliriz.

İkinci aralığın özelliği, içinde tek bir sabit noktanın veya tek bir katı sınırın bulunmamasıdır. Sonuç olarak fonksiyonun ne en büyük değerini ne de en küçük değerini hesaplayamayız. Limiti eksi sonsuzda tanımladıktan sonra ve argüman sol tarafta -3'e doğru gittiğinden, yalnızca bir değer aralığı elde ederiz:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Bu, fonksiyon değerlerinin - 1 aralığında yer alacağı anlamına gelir; +∞

Fonksiyonun üçüncü aralıktaki en büyük değerini bulmak için, eğer x = 1 ise, x = - 1 2 sabit noktasındaki değerini belirleriz. Ayrıca argümanın sağ tarafta -3'e doğru yöneldiği durum için tek taraflı limiti de bilmemiz gerekecek:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Fonksiyonun en büyük değeri m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 noktasında alacağı ortaya çıktı. En küçük değeri ise belirleyemeyiz. Bildiğimiz her şey -4'e kadar bir alt sınırın varlığıdır.

(-3 ; 2) aralığı için, önceki hesaplamanın sonuçlarını alın ve sol tarafta 2'ye yönelirken tek taraflı limitin neye eşit olduğunu bir kez daha hesaplayın:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Bu, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 olduğu ve en küçük değerin belirlenemediği ve fonksiyonun değerlerinin aşağıdan - 4 sayısı ile sınırlandırıldığı anlamına gelir. .

Önceki iki hesaplamada elde ettiğimiz sonuçlara dayanarak şunu söyleyebiliriz: [ 1 ; 2) Fonksiyon en büyük değerini x = 1 noktasında alacaktır ancak en küçüğünü bulmak imkansızdır.

(2 ; + ∞) aralığında fonksiyon ne en büyük ne de en küçük değere ulaşmayacaktır; - 1 aralığından değerler alacaktır; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Fonksiyonun değerinin x = 4'te neye eşit olacağını hesapladıktan sonra m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 ve artı sonsuzda verilen fonksiyon y = - 1 düz çizgisine asimptotik olarak yaklaşacaktır.

Her hesaplamada elde ettiğimiz sonuçları verilen fonksiyonun grafiğiyle karşılaştıralım. Şekilde asimptotlar noktalı çizgilerle gösterilmiştir.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma konusunda size anlatmak istediklerimiz bu kadardı. Verdiğimiz eylem dizileri, gerekli hesaplamaları olabildiğince hızlı ve basit bir şekilde yapmanıza yardımcı olacaktır. Ancak, öncelikle fonksiyonun hangi aralıklarla azalacağını ve hangi aralıklarla artacağını bulmanın genellikle yararlı olduğunu, ardından daha fazla sonuç çıkarabileceğinizi unutmayın. Bu şekilde fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini daha doğru bir şekilde belirleyebilir ve elde edilen sonuçları doğrulayabilirsiniz.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri

Bir fonksiyonun en büyük değeri, değerlerinin en büyüğü, en küçük değeri ise en küçüğüdür.

Bir fonksiyonun yalnızca bir en büyük ve yalnızca bir en küçük değeri olabilir ya da hiç değeri olmayabilir. Sürekli fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerinin bulunması, bu fonksiyonların aşağıdaki özelliklerine dayanmaktadır:

1) Belirli bir aralıkta (sonlu veya sonsuz) y=f(x) fonksiyonu sürekli ise ve yalnızca bir ekstremuma sahipse ve bu bir maksimum (minimum) ise, fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri olacaktır. bu aralıkta.

2) Eğer f(x) fonksiyonu belirli bir doğru parçası üzerinde sürekli ise bu durumda zorunlu olarak bu parça üzerinde en büyük ve en küçük değerlere sahip olur. Bu değerlere ya segmentin içinde yer alan ekstremum noktalarda ya da bu segmentin sınırlarında ulaşılır.

Bir segmentteki en büyük ve en küçük değerleri bulmak için aşağıdaki şemanın kullanılması önerilir:

1. Türevi bulun.

2. Fonksiyonun =0 veya bulunmayan kritik noktalarını bulun.

3. Fonksiyon değerlerini bulun kritik noktalar ve segmentin uçlarında ve bunlardan en büyük f max ve en küçük f max'ı seçin.

Uygulamalı problemleri, özellikle de optimizasyon problemlerini çözerken, X aralığında bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini (global maksimum ve global minimum) bulma problemleri önemlidir. , bağımsız bir değişken seçin ve incelenen değeri bu değişken aracılığıyla ifade edin. Daha sonra elde edilen fonksiyonun istenen en büyük veya en küçük değerini bulun. Bu durumda sonlu veya sonsuz olabilen bağımsız değişkenin değişim aralığı da problemin koşullarından belirlenir.

Örnek.Üstü açık dikdörtgen paralel yüzlü, tabanı kare şeklinde olan tankın içi kalaylanmalıdır. Kapasitesi 108 litre ise tankın boyutları ne olmalıdır? kalaylama maliyeti minimum düzeyde olacak şekilde su?

Çözüm. Belirli bir kapasite için yüzey alanı minimum düzeydeyse, bir tankı kalayla kaplamanın maliyeti minimum düzeyde olacaktır. Tabanın kenarını a dm ile, tankın yüksekliğini b dm ile gösterelim. O zaman yüzeyinin alanı S eşittir

VE

Ortaya çıkan ilişki, rezervuarın yüzey alanı S (fonksiyon) ile tabanın tarafı a (argüman) arasındaki ilişkiyi kurar. Bir ekstremum için S fonksiyonunu inceleyelim. Birinci türevi bulalım, sıfıra eşitleyelim ve elde edilen denklemi çözelim:

Dolayısıyla a = 6. a > 6 için (a) > 0, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Örnek. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma aralıkta.

Çözüm: Belirtilen işlev sayı doğrusu boyunca süreklidir. Bir fonksiyonun türevi

için ve için türev. Bu noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayalım:

.

Verilen aralığın uçlarındaki fonksiyonun değerleri eşittir. Dolayısıyla fonksiyonun en büyük değeri at'a, en küçük değeri ise at'ye eşittir.

Kendi kendine test soruları

1. Formdaki belirsizlikleri ortaya çıkarmak için L'Hopital kuralını formüle edin. Liste Çeşitli türler L'Hopital kuralının kullanılabileceği belirsizlikler.

2. Artan ve azalan fonksiyonun işaretlerini formüle edin.

3. Bir fonksiyonun maksimum ve minimumunu tanımlayın.

4. Bir ekstremumun varlığı için gerekli koşulu formüle edin.

5. Argümanın hangi değerlerine (hangi noktalara) kritik denir? Bu noktalar nasıl bulunur?

6. Bir fonksiyonun ekstremumunun varlığının yeterli işaretleri nelerdir? Birinci türevi kullanarak bir fonksiyonu ekstremumda incelemek için bir şemanın ana hatlarını çizin.

7. İkinci türevi kullanarak ekstremumdaki bir fonksiyonu incelemek için bir şemanın ana hatlarını çizin.

8. Bir eğrinin dışbükeyliğini ve içbükeyliğini tanımlayın.

9. Bir fonksiyonun grafiğinin dönüm noktasına ne denir? Bu noktaları bulmak için bir yöntem belirtin.

10. Belirli bir parça üzerinde bir eğrinin dışbükeylik ve içbükeyliğinin gerekli ve yeterli işaretlerini formüle edin.

11. Bir eğrinin asimptotunu tanımlayın. Bir fonksiyonun grafiğinin dikey, yatay ve eğik asimptotları nasıl bulunur?

12. Taslak genel şema Bir fonksiyonu araştırmak ve grafiğini çizmek.

13. Belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için bir kural oluşturun.

Ve bunu çözmek için konu hakkında minimum bilgiye ihtiyacınız olacak. Bir sonraki biter akademik yıl, herkes tatile gitmek istiyor ve bu anı daha da yakınlaştırmak için doğrudan konuya gireceğim:

Bölgeyle başlayalım. Koşulda belirtilen alan sınırlı kapalı bir düzlem üzerindeki noktalar kümesi. Örneğin, TAM üçgen de dahil olmak üzere bir üçgenin sınırladığı noktalar kümesi (Eğer itibaren sınırlar en az bir noktayı "dikerseniz" bölge artık kapatılmayacaktır). Uygulamada dikdörtgen, dairesel ve biraz daha büyük alanlar da bulunmaktadır. karmaşık şekiller. Matematiksel analiz teorisinde katı tanımların verildiğine dikkat edilmelidir. sınırlamalar, izolasyon, sınırlar vb., ancak herkesin bu kavramların sezgisel düzeyde farkında olduğunu düşünüyorum ve artık daha fazlasına gerek yok.

Düz bir bölge standart olarak harfle gösterilir ve kural olarak analitik olarak birkaç denklemle belirtilir. (mutlaka doğrusal olması gerekmez); daha az sıklıkla eşitsizlikler. Tipik laf kalabalığı: “kapalı alan, çizgilerle sınırlı ».

Söz konusu görevin ayrılmaz bir parçası, çizimdeki bir alanın inşasıdır. Nasıl yapılır? Listelenen tüm çizgileri çizmeniz gerekir (bu durumda 3) dümdüz) ve olanları analiz edin. Aranan alan genellikle hafif gölgelidir ve sınırları kalın bir çizgiyle işaretlenir:


Aynı alan da ayarlanabilir doğrusal eşitsizlikler: , bazı nedenlerden dolayı genellikle numaralandırılmış bir liste olarak yazılır. sistem.
Sınır bölgeye ait olduğundan tüm eşitsizlikler elbette gevşek.

Ve şimdi görevin özü. Eksenin orijinden doğrudan size doğru çıktığını hayal edin. Şöyle bir fonksiyon düşünün sürekli her birinde alan noktası. Bu fonksiyonun grafiği bazı yüzey Ve küçük mutluluk, günümüzün sorununu çözmek için bu yüzeyin neye benzediğini bilmemize gerek olmamasıdır. Daha yükseğe, daha aşağıya yerleştirilebilir, düzlemle kesişebilir - bunların hepsi önemli değil. Ve aşağıdakiler önemlidir: göre Weierstrass'ın teoremleri, sürekli V sınırlı kapalı fonksiyonun en büyük değerine ulaştığı alan (en yüksek") ve en az (en düşük") bulunması gereken değerler. Bu değerlere ulaşıldı veya V sabit noktalar, bölgeye aitD , veya bu alanın sınırında kalan noktalarda. Bu, basit ve şeffaf bir çözüm algoritmasına yol açar:

örnek 1

Sınırlı olarak kapalı alan

Çözüm: Öncelikle çizimdeki alanı tasvir etmeniz gerekiyor. Maalesef sorunun etkileşimli bir modelini yapmak benim için teknik olarak zor ve bu nedenle araştırma sırasında bulunan tüm "şüpheli" noktaları gösteren son çizimi hemen sunacağım. Genellikle keşfedildiklerinde birbiri ardına listelenirler:

Giriş kısmına dayanarak, karar rahatlıkla iki noktaya ayrılabilir:

I) Durağan noktaları bulun. Bu, sınıfta tekrar tekrar uyguladığımız standart bir eylemdir. birkaç değişkenin ekstremumları hakkında:

Bulunan sabit nokta ait alanlar: (çizim üzerinde işaretleyin) Bu, fonksiyonun değerini belirli bir noktada hesaplamamız gerektiği anlamına gelir:

- makalede olduğu gibi Bir fonksiyonun bir segmentteki en büyük ve en küçük değerleriÖnemli sonuçları kalın harflerle vurgulayacağım. Bunları bir defterde kalemle takip etmek uygundur.

İkinci mutluluğumuza dikkat edin - kontrol etmenin bir anlamı yok bir ekstremum için yeterli koşul. Neden? Fonksiyonun ulaştığı bir noktada bile, örneğin, yerel minimum, o zaman bu, elde edilen değerin şu şekilde olacağı anlamına gelmez: en az bölge genelinde (bkz: dersin başlangıcı koşulsuz aşırılıklar hakkında) .

Sabit nokta bölgeye ait DEĞİLSE ne yapmalı? Hemen hemen hiçbir şey! Bunu not edip bir sonraki noktaya geçmek gerekiyor.

II) Bölgenin sınırlarını araştırıyoruz.

Kenarlık bir üçgenin kenarlarından oluştuğu için çalışmayı 3 alt bölüme ayırmak uygun olacaktır. Ama yine de yapmamak daha iyidir. Benim bakış açıma göre, öncelikle koordinat eksenlerine paralel olan bölümleri ve her şeyden önce eksenlerin üzerinde yer alan bölümleri dikkate almak daha avantajlıdır. Eylemlerin tüm sırasını ve mantığını kavramak için, "tek nefeste" sonunu incelemeye çalışın:

1) Üçgenin alt tarafını ele alalım. Bunu yapmak için doğrudan işlevin yerine şunu yazın:

Alternatif olarak bunu şu şekilde de yapabilirsiniz:

Geometrik olarak bu, koordinat düzleminin (bu aynı zamanda denklemde de verilmektedir)"oyuyor" yüzeyler Tepesi hemen şüphe konusu olan "uzaysal" bir parabol. Hadi bulalım o nerede:

– ortaya çıkan değer alana “düştü” ve bu noktada pekala ortaya çıkabilir (çizimde işaretlenmiştir) fonksiyon tüm bölgedeki en büyük veya en küçük değere ulaşır. Öyle ya da böyle, hesaplamaları yapalım:

Diğer “adaylar” ise elbette segmentin sonları. Fonksiyonun değerlerini noktalarda hesaplayalım (çizimde işaretlenmiştir):

Bu arada burada, "sadeleştirilmiş" bir versiyonu kullanarak sözlü bir mini kontrol yapabilirsiniz:

2) Üçgenin sağ tarafını incelemek için onu fonksiyona yerleştirin ve "işleri düzene koyun":

Burada, segmentin önceden işlenmiş ucunu "çaldırarak" hemen kaba bir kontrol gerçekleştireceğiz:
, Harika.

Geometrik durum bir önceki noktayla ilgilidir:

– ortaya çıkan değer aynı zamanda “çıkar alanlarımıza da girdi”, yani ortaya çıkan noktadaki fonksiyonun neye eşit olduğunu hesaplamamız gerekiyor:

Segmentin ikinci ucunu inceleyelim:

Fonksiyonun kullanılması , bir kontrol kontrolü gerçekleştirelim:

3) Muhtemelen herkes geri kalan tarafı nasıl keşfedeceğini tahmin edebilir. Bunu fonksiyona yerleştiriyoruz ve basitleştirmeler yapıyoruz:

Segmentin sonları zaten araştırıldı, ancak taslakta hala işlevi doğru bulup bulmadığımızı kontrol ediyoruz :
– 1. alt paragrafın sonucuyla çakıştı;
– 2. alt paragrafın sonucuyla çakıştı.

Segmentte ilginç bir şey olup olmadığını öğrenmek için kalıyor:

- Orada! Düz çizgiyi denklemde yerine koyarsak, bu "ilginçliğin" ordinatını elde ederiz:

Çizimde bir noktayı işaretliyoruz ve fonksiyonun karşılık gelen değerini buluyoruz:

Hesaplamaları “bütçe” versiyonunu kullanarak kontrol edelim :
, emir.

Ve son adım: Tüm “cesur” sayıları DİKKATLİCE inceliyoruz, hatta yeni başlayanlara tek bir liste yapmalarını öneriyorum:

buradan en büyük ve en küçük değerleri seçiyoruz. Cevap Bulma problemi tarzında yazalım bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri:

Her ihtimale karşı, sonucun geometrik anlamı hakkında bir kez daha yorum yapacağım:
– burası bölgedeki yüzeyin en yüksek noktası;
– burası bölgedeki yüzeyin en alçak noktasıdır.

Analiz edilen görevde 7 "şüpheli" nokta belirledik ancak bunların sayısı görevden göreve değişiyor. Üçgensel bir bölge için minimum “araştırma seti” üç noktadan oluşur. Bu, örneğin fonksiyon şunu belirttiğinde meydana gelir: uçak– hiçbir durağan noktanın olmadığı ve fonksiyonun maksimum/en küçük değerlerine yalnızca üçgenin köşelerinde ulaşabileceği tamamen açıktır. Ancak yalnızca bir veya iki benzer örnek var; genellikle bazılarıyla uğraşmanız gerekir. 2. dereceden yüzey.

Bu tür görevleri biraz çözerseniz üçgenler başınızı döndürebilir, bu yüzden kare yapmak için sizin için sıra dışı örnekler hazırladım :))

Örnek 2

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma çizgilerle sınırlanmış kapalı bir alanda

Örnek 3

Sınırlı kapalı bir bölgedeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun.

Özel dikkat Hesaplama hatalarını neredeyse tamamen önleyecek olan ara kontrol zincirinin yanı sıra, bölgenin sınırını incelemenin rasyonel düzenine ve tekniğine dikkat edin. Genel olarak konuşursak, bunu istediğiniz şekilde çözebilirsiniz, ancak bazı problemlerde, örneğin Örnek 2'de, hayatınızı çok daha zorlaştırma şansı her şekilde vardır. Dersin sonundaki final ödevlerinin yaklaşık bir örneği.

Çözüm algoritmasını sistematize edelim, aksi halde benim bir örümcek olarak gösterdiğim titizlik nedeniyle, 1. örneğin uzun yorum dizisinde bir şekilde kaybolup gitti:

– İlk adımda bir alan oluşturuyoruz, onu gölgelemeniz ve sınırı kalın bir çizgiyle vurgulamanız tavsiye edilir. Çözüm sırasında çizimde işaretlenmesi gereken noktalar ortaya çıkacaktır.

– Durağan noktaları bulun ve fonksiyonun değerlerini hesaplayın sadece onlardan bölgeye aittir. Ortaya çıkan değerleri metinde vurgularız (örneğin, bunları bir kalemle daire içine alın). Sabit bir nokta bölgeye ait DEĞİLSE bu durumu bir simgeyle veya sözlü olarak işaretliyoruz. Hiç sabit nokta yoksa, bunların bulunmadığına dair yazılı bir sonuca varırız. Ne olursa olsun bu nokta atlanamaz!

– Bölgenin sınırlarını araştırıyoruz. Öncelikle koordinat eksenlerine paralel olan düz çizgileri anlamakta fayda var. (eğer varsa). Ayrıca “şüpheli” noktalarda hesaplanan fonksiyon değerlerini de ön plana çıkarıyoruz. Yukarıda çözüm tekniği hakkında çok şey söylendi ve aşağıda başka bir şey daha söylenecek - okuyun, yeniden okuyun, derinlemesine araştırın!

– Seçilen sayılardan en büyük ve en küçük değerleri seçip cevabı veriniz. Bazen bir fonksiyonun aynı anda birkaç noktada bu tür değerlere ulaşması mümkündür - bu durumda tüm bu noktaların cevaba yansıtılması gerekir. Örneğin, ve bunun en küçük değer olduğu ortaya çıktı. Sonra bunu yazıyoruz

Son örnekler başkalarına ithaf edilmiştir faydalı fikirler pratikte faydalı olacaktır:

Örnek 4

Kapalı bir bölgedeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun .

Bölgenin ikili eşitsizlik biçiminde verildiği yazarın formülasyonunu korudum. Bu koşul, eşdeğer bir sistemle veya bu problem için daha geleneksel bir biçimde yazılabilir:

şunu hatırlatırım doğrusal olmayanüzerinde eşitsizliklerle karşılaştık ve eğer gösterimin geometrik anlamını anlamıyorsanız, lütfen gecikmeyin ve durumu hemen açıklığa kavuşturmayın;-)

Çözüm, her zaman olduğu gibi, bir tür “taban”ı temsil eden bir alan inşa etmekle başlar:

Hmm, bazen sadece bilimin granitini çiğnemek zorunda kalmazsın...

I) Durağan noktaları bulun:

Sistem bir aptalın hayalidir :)

Sabit bir nokta bölgeye aittir, yani sınırında yer alır.

Ve böylece sorun yok... ders iyi geçti - doğru çayı içmenin anlamı budur =)

II) Bölgenin sınırlarını araştırıyoruz. Daha fazla uzatmadan x ekseniyle başlayalım:

1) Eğer öyleyse

Parabolün tepe noktasının nerede olduğunu bulalım:
– böyle anların kıymetini bilin – her şeyin zaten net olduğu noktaya kadar “vurdunuz”. Ancak yine de kontrol etmeyi unutmuyoruz:

Segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayalım:

2) "Tek oturuşta" "tabanın" alt kısmını ele alalım - herhangi bir kompleks olmadan onu fonksiyona yerleştireceğiz ve sadece segmentle ilgileneceğiz:

Kontrol:

Bu zaten tırtıklı pistteki monoton sürüşe biraz heyecan katıyor. Kritik noktaları bulalım:

Haydi karar verelim ikinci dereceden denklem, bununla ilgili başka bir şey hatırlıyor musun? ...Ancak, elbette unutmayın, aksi takdirde bu satırları okumazdınız =) Önceki iki örnekte hesaplamalar olsaydı ondalık sayılar(ki bu arada nadirdir), o zaman burada olağan olanlar bizi bekliyor ortak kesirler. "X" köklerini buluyoruz ve "aday" noktaların karşılık gelen "oyun" koordinatlarını belirlemek için denklemi kullanıyoruz:


Fonksiyonun değerlerini bulunan noktalarda hesaplayalım:

İşlevi kendiniz kontrol edin.

Şimdi kazanılan kupaları dikkatlice inceliyoruz ve yazıyoruz cevap:

Bunlar “aday”, bunlar “aday”!

Kendiniz çözmek için:

Örnek 5

Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulma kapalı bir alanda

Kıvrımlı parantezlerin olduğu bir giriş şu şekilde okunur: "şöyle bir nokta kümesi."

Bazen bu tür örneklerde kullanırlar Lagrange çarpanı yöntemi, ancak onu kullanmaya gerçek bir ihtiyaç olması pek olası değildir. Yani, örneğin, aynı alana sahip bir “de” fonksiyonu verilirse, o zaman onun yerine başka bir şey koyduktan sonra türevi hiçbir zorluk olmadan; Üstelik üst ve alt yarım daireleri ayrı ayrı dikkate almaya gerek kalmadan her şey “tek satırda” (işaretlerle) çizilmiştir. Ama elbette daha fazlası da var karmaşık vakalar Lagrange fonksiyonu olmadan (örneğin bir dairenin denkleminin aynı olduğu yer) Geçinmek zor - tıpkı iyice dinlenmeden idare etmenin zor olduğu gibi!

Herkese iyi eğlenceler, gelecek sezon görüşmek üzere!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2: Çözüm: Çizimdeki alanı gösterelim: