En küçük ortak kat nasıl bulunur? Bölenler ve katlar.

Cevrimici hesap makinesi en büyüğünü hızlı bir şekilde bulmanızı sağlar ortak bölen ve iki sayının veya başka herhangi bir sayının en küçük ortak katı.

GCD ve LCM'yi bulmak için hesap makinesi

GCD ve LOC'yi bulun

Bulunan GCD ve LOC: 5806

Hesap makinesi nasıl kullanılır?

Giriş alanına sayıları girin
Yanlış karakterler girerseniz giriş alanı kırmızı renkle vurgulanır
"GCD ve LOC Bul" düğmesini tıklayın

Sayılar nasıl girilir

Sayılar boşluk, nokta veya virgülle ayrılarak girilir
Girilen sayıların uzunluğu sınırlı değildir, yani gcd ve lcd'yi bulun uzun sayılar zor olmayacak

GCD ve NOC nedir?

En büyük ortak böleni birkaç sayı, tüm orijinal sayıların kalansız bölünebildiği en büyük doğal tamsayıdır. En büyük ortak bölen şu şekilde kısaltılır: GCD.
En küçük ortak Kat Birkaç sayı, orijinal sayıların her birine kalansız bölünebilen en küçük sayıdır. En küçük ortak kat şu şekilde kısaltılır: NOC.

Bir sayının başka bir sayıya kalansız bölünüp bölünemediği nasıl kontrol edilir?

Bir sayının diğerine kalansız bölünüp bölünemeyeceğini öğrenmek için sayıların bazı bölünebilme özelliklerini kullanabilirsiniz. Daha sonra bunları birleştirerek bazılarının bölünebilirliğini ve kombinasyonlarını kontrol edebilirsiniz.

Sayıların bölünebilirliğine ilişkin bazı işaretler

1. Bir sayının 2'ye bölünebilme testi
Bir sayının ikiye bölünebilir olup olmadığını (çift olup olmadığını) belirlemek için bu sayının son rakamına bakmak yeterlidir: 0, 2, 4, 6 veya 8'e eşitse sayı çifttir, yani 2'ye bölünebilir.
Örnek: 34938 sayısının 2'ye bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Son rakama bakıyoruz: 8 - bu, sayının ikiye bölünebildiği anlamına gelir.

2. Bir sayının 3'e bölünebilme testi
Bir sayının rakamlarının toplamı üçe bölünüyorsa bu sayı 3'e bölünür. Dolayısıyla bir sayının 3'e bölünüp bölünmediğini belirlemek için rakamların toplamını hesaplayıp 3'e bölünüp bölünmediğini kontrol etmeniz gerekir. Rakamların toplamı çok büyük olsa bile aynı işlemi tekrarlayabilirsiniz.
Örnek: 34938 sayısının 3'e bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Sayıların toplamını sayıyoruz: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 3'e bölünüyor, yani sayı 3'e bölünüyor.

3. Bir sayının 5'e bölünebilme testi
Bir sayının son rakamı sıfır veya beş ise 5'e bölünür.
Örnek: 34938 sayısının 5'e bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: son rakama bakın: 8, sayının beşe bölünmediği anlamına gelir.

4. Bir sayının 9'a bölünebilme testi
Bu işaret üçe bölünebilme işaretine çok benzer: Bir sayı, rakamlarının toplamı 9'a bölünüyorsa 9'a bölünebilir.
Örnek: 34938 sayısının 9'a bölünüp bölünemeyeceğini belirleyin.
Çözüm: Sayıların toplamını sayıyoruz: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 9'a bölünüyor, yani sayı dokuza bölünüyor.

İki sayının GCD'si ve LCM'si nasıl bulunur?

İki sayının gcd'si nasıl bulunur

En basit bir şekildeİki sayının en büyük ortak bölenini hesaplamak, bu sayıların tüm olası bölenlerini bulmak ve içlerinden en büyüğünü seçmektir.

Bu yöntemi OBEB(28, 36) bulma örneğini kullanarak ele alalım:

Her iki sayıyı da çarpanlarına ayırıyoruz: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
Ortak faktörleri, yani her iki sayının da sahip olduğu faktörleri buluyoruz: 1, 2 ve 2.
Bu faktörlerin çarpımını hesaplıyoruz: 1 2 2 = 4 - bu, 28 ve 36 sayılarının en büyük ortak bölenidir.

İki sayının LCM'si nasıl bulunur?

İki sayının en küçük katını bulmanın en yaygın iki yolu vardır. İlk yöntem, iki sayının ilk katlarını yazabilmeniz ve ardından bunların arasından her iki sayı için ortak ve aynı zamanda en küçük olan sayıyı seçebilmenizdir. İkincisi ise bu sayıların gcd'sini bulmak. Sadece onu düşünelim.

LCM'yi hesaplamak için orijinal sayıların çarpımını hesaplamanız ve ardından bunu daha önce bulunan GCD'ye bölmeniz gerekir. Aynı 28 ve 36 sayıları için LCM'yi bulalım:

28 ve 36 sayılarının çarpımını bulun: 28·36 = 1008
OBEB(28, 36), zaten bilindiği gibi, 4'e eşittir
LCM(28, 36) = 1008/4 = 252 .

Birkaç numara için GCD ve LCM'yi bulma

En büyük ortak bölen sadece iki sayı için değil birden fazla sayı için bulunabilir. Bu amaçla en büyük ortak bölen için bulunacak sayılar şu şekilde ayrıştırılır: asal faktörler, daha sonra bu sayıların ortak asal çarpanlarının çarpımını bulun. Birkaç sayının gcd'sini bulmak için aşağıdaki ilişkiyi de kullanabilirsiniz: OBEB(a, b, c) = OBEB(a, b), c).

Benzer bir ilişki en küçük ortak kat için de geçerlidir: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Örnek: 12, 32 ve 36 sayıları için OBE ve LCM'yi bulun.

Öncelikle sayıları çarpanlarına ayıralım: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
Ortak çarpanları bulalım: 1, 2 ve 2.
Çarpımları OBEB'yi verecektir: 1·2·2 = 4
Şimdi LCM'yi bulalım: Bunu yapmak için önce LCM(12, 32)'yi bulalım: 12·32 / 4 = 96.
Herkesin NOC'sini bulmak için üç sayı, GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2·2·3 = bulmanız gerekir 12.
LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Çözümü düşünelim sonraki görev. Oğlanın adımı 75 cm, kızın adımı ise 60 cm'dir. Her ikisinin de tam sayı sayıda adım attığı en küçük mesafeyi bulmak gerekir.

Çözüm. Adamların geçeceği yolun tamamı 60 ve 70'e bölünebilir olmalı çünkü her birinin tam sayıda adım atması gerekiyor. Yani cevap hem 75'in hem de 60'ın katı olmalıdır.

Öncelikle 75 sayısının tüm katlarını yazacağız. Şunu elde ederiz:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Şimdi 60'ın katı olacak sayıları yazalım. Şunu elde ederiz:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Şimdi her iki satırdaki sayıları buluyoruz.

Sayıların ortak katları 300, 600 vb. olacaktır.

Bunlardan en küçüğü 300 sayısıdır. Bu durumda 75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı denilecektir.

Sorunun durumuna dönecek olursak, erkeklerin tam sayı adım atacağı en küçük mesafe 300 cm olacaktır. Erkek çocuk bu yolu 4 adımda kat edecek, kız çocuğun ise 5 adım atması gerekecektir.

En Küçük Ortak Katın Belirlenmesi

a ve b gibi iki doğal sayının en küçük ortak katı en küçüktür doğal sayı, hem a'nın hem de b'nin katıdır.

İki sayının en küçük ortak katını bulmak için bu sayıların tüm katlarını arka arkaya yazmaya gerek yoktur.

Aşağıdaki yöntemi kullanabilirsiniz.

En küçük ortak kat nasıl bulunur

Öncelikle bu sayıları asal faktörlere ayırmanız gerekir.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

Şimdi birinci sayının (2,2,3,5) açılımındaki tüm çarpanları yazalım ve buna ikinci sayının (5) açılımındaki tüm eksik çarpanları ekleyelim.

Sonuç olarak bir dizi asal sayı elde ederiz: 2,2,3,5,5. Bu sayıların çarpımı bu sayılar için en az ortak faktör olacaktır. 2*2*3*5*5 = 300.

En küçük ortak katı bulmak için genel şema

1. Sayıları asal faktörlere bölün.
2. Bunlardan birinin parçası olan asal faktörleri yazın.
3. Bu faktörlere diğerlerinin genişlemesinde olan ancak seçilende olmayanları ekleyin.
4. Tüm yazılı faktörlerin çarpımını bulun.

Bu yöntem evrenseldir. Herhangi bir sayıda doğal sayının en küçük ortak katını bulmak için kullanılabilir.

İki sayının en küçük ortak katı, bu sayıların en büyük ortak böleniyle doğrudan ilişkilidir. Bu GCD ve NOC arasındaki bağlantı aşağıdaki teorem ile belirlenir.

Teorem.

İki pozitif a ve b tam sayısının en küçük ortak katı, a ve b'nin çarpımının a ve b'nin en büyük ortak bölenine bölünmesine eşittir; LCM(a, b)=a b:OBEB(a, b).

Kanıt.

İzin vermek M, a ve b sayılarının bazı katlarıdır. Yani M, a'ya bölünebilir ve bölünebilirliğin tanımı gereği, M=a·k eşitliğinin doğru olmasını sağlayan bir k tamsayısı vardır. Ancak M aynı zamanda b'ye de bölünebilirse a·k b'ye de bölünebilir.

gcd(a, b)'yi d olarak gösterelim. O zaman a=a 1 ·d ve b=b 1 ·d eşitliklerini yazabiliriz ve a 1 =a:d ve b 1 =b:d göreceli asal sayılar olacaktır. Sonuç olarak, önceki paragrafta elde edilen a · k'nin b'ye bölünebilmesi koşulu şu şekilde yeniden formüle edilebilir: a 1 · d · k, b 1 · d'ye bölünür ve bu, bölünebilirlik özellikleri nedeniyle şu koşula eşdeğerdir: a 1 · k'nın b 1'e bölünebilmesi.

Ayrıca ele alınan teoremin iki önemli sonucunu da yazmanız gerekir.

İki sayının ortak katları, en küçük ortak katlarının katlarına eşittir.

Bu gerçekten de böyledir, çünkü a ve b sayılarının herhangi bir ortak katı, bir t tamsayı değeri için M=LMK(a, b)·t eşitliği ile belirlenir.

Karşılıklı asal pozitif sayılar a ve b'nin en küçük ortak katı, çarpımlarına eşittir.

Bu gerçeğin mantığı oldukça açıktır. a ve b aralarında asal olduğundan, ebcd(a, b)=1 olur, dolayısıyla, OBEB(a, b)=a b: OBEB(a, b)=a b:1=a b.

Üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katı

Üç veya daha fazla sayının en küçük ortak katını bulmak, iki sayının LCM'sini sırayla bulmaya indirgenebilir. Bunun nasıl yapılacağı aşağıdaki teoremde gösterilmektedir: a 1 , a 2 , …, a k, m k-1 ve a k sayılarının ortak katlarıyla çakışır, dolayısıyla m k sayısının ortak katlarıyla çakışır. Ve m k sayısının en küçük pozitif katı m k sayısının kendisi olduğundan, a 1, a 2, ..., a k sayılarının en küçük ortak katı m k'dir.

Kaynakça.

Vilenkin N.Ya. ve diğerleri. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için ders kitabı.
Vinogradov I.M. Sayı teorisinin temelleri.
Mikhelovich Sh.H. Sayı teorisi.
Kulikov L.Ya. ve diğerleri. Cebir ve sayılar teorisindeki problemlerin toplanması: öğretici fizik ve matematik öğrencileri için. pedagoji enstitülerinin uzmanlık alanları.

İkinci sayı: b=

Bin ayırıcı Boşluk ayırıcı olmadan "'

Sonuç:

En büyük ortak bölen gcd( A,B)=6

LCM'nin en küçük ortak katı( A,B)=468

a ve b sayılarına kalansız bölünebilen en büyük doğal sayıya ne denir en büyük ortak böleni(GCD) bu sayıların. gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) veya hcf(a,b) ile gösterilir.

En küçük ortak Katİki a ve b tam sayısının LCM'si, a ve b'ye kalansız bölünebilen en küçük doğal sayıdır. LCM(a,b) veya lcm(a,b) ile gösterilir.

a ve b tam sayılarına denir karşılıklı olarak asal+1 ve -1 dışında ortak bölenleri yoksa.

En büyük ortak böleni

İki tane verilsin pozitif sayılar A 1 ve A 2 1). Bu sayıların ortak bölenini bulmak gerekiyor yani. böyle bir numara bul λ sayıları bölen A 1 ve A 2 aynı anda. Algoritmayı açıklayalım.

1) Bu yazıda sayı kelimesi tam sayı olarak anlaşılacaktır.

İzin vermek A 1 ≥ A 2 ve izin ver

Nerede M 1 , A 3 bazı tam sayılardır, A 3 <A 2 (bölmenin geri kalanı A başına 1 A 2 daha az olmalı A 2).

Öyleymiş gibi yapalım λ böler A 1 ve A 2 o zaman λ böler M 1 A 2 ve λ böler A 1 −M 1 A 2 =A 3 (“Sayıların bölünebilirliği. Bölünebilirlik testi” makalesinin 2. ifadesi). Buradan her ortak bölenin A 1 ve A 2 ortak bölendir A 2 ve A 3. Bunun tersi de geçerliyse λ ortak bölen A 2 ve A 3 o zaman M 1 A 2 ve A 1 =M 1 A 2 +A 3 de bölünebilir λ . Bu nedenle ortak bölen A 2 ve A 3 aynı zamanda bir ortak bölendir A 1 ve A 2. Çünkü A 3 <A 2 ≤A 1 ise sayıların ortak bölenini bulma probleminin çözümünü söyleyebiliriz. A 1 ve A 2 sayıların ortak bölenini bulma gibi daha basit bir probleme indirgenmiştir A 2 ve A 3 .

Eğer A 3 ≠0 ise bölebiliriz A 2 açık A 3. Daha sonra

Nerede M 1 ve A 4 bazı tam sayılardır, ( A Bölmeden kalan 4 A 2 açık A 3 (A 4 <A 3)). Benzer akıl yürütmeyle sayıların ortak bölenlerinin olduğu sonucuna varıyoruz. A 3 ve A 4, sayıların ortak bölenleriyle çakışır A 2 ve A 3 ve ayrıca ortak bölenlerle A 1 ve A 2. Çünkü A 1 , A 2 , A 3 , A 4, ... sürekli azalan sayılardır ve aralarında sonlu sayıda tam sayı olduğundan A 2 ve 0, sonra bir aşamada N, bölümün geri kalanı A hayır A n+1 sıfıra eşit olacaktır ( A n+2 =0).

Her ortak bölen λ sayılar A 1 ve A 2 aynı zamanda sayıların bölenidir A 2 ve A 3 , A 3 ve A 4 , .... A n ve A n+1 . Bunun tersi de doğrudur, sayıların ortak bölenleri A n ve A n+1 aynı zamanda sayıların bölenleridir A n−1 ve A N , .... , A 2 ve A 3 , A 1 ve A 2. Ancak sayıların ortak böleni A n ve A n+1 bir sayıdır A n+1 çünkü A n ve A n+1 şunlara bölünebilir: A n+1 (unutmayın A n+2 =0). Buradan A n+1 aynı zamanda sayıların bölenidir A 1 ve A 2 .

Numaraya dikkat edin A n+1 sayıların en büyük böleni A n ve A n+1 , en büyük bölenden beri A n+1 kendisidir A n+1 . Eğer A n+1 tam sayıların çarpımı olarak gösterilebilirse bu sayılar aynı zamanda sayıların ortak bölenleridir. A 1 ve A 2. Sayı A n+1 denir en büyük ortak böleni sayılar A 1 ve A 2 .

Sayılar A 1 ve A 2 pozitif ya da negatif sayı olabilir. Sayılardan biri sıfıra eşitse bu sayıların en büyük ortak böleni diğer sayının mutlak değerine eşit olacaktır. Sıfır sayıların en büyük ortak böleni tanımsızdır.

Yukarıdaki algoritma denir Öklid algoritmasıİki tam sayının en büyük ortak bölenini bulmak için

İki sayının en büyük ortak bölenini bulma örneği

630 ve 434 sayılarının en büyük ortak bölenini bulun.

Adım 1. 630 sayısını 434'e bölün. Geri kalan 196'dır.
Adım 2. 434 sayısını 196'ya bölün. Geri kalan 42 olur.
Adım 3. 196 sayısını 42'ye bölün. Geri kalan 28'dir.
Adım 4. 42 sayısını 28'e bölün. Geri kalan 14'tür.
Adım 5. 28 sayısını 14'e bölün. Geri kalan 0'dır.

5. adımda bölmeden kalan 0 olur. Dolayısıyla 630 ve 434 sayılarının en büyük ortak böleni 14'tür. 2 ve 7 sayılarının aynı zamanda 630 ve 434 sayılarının da bölenleri olduğuna dikkat edin.

Eş asal sayılar

Tanım 1. Sayıların en büyük ortak böleni olsun A 1 ve A 2 bire eşittir. Daha sonra bu numaralar çağrılır karşılıklı asal sayılar , ortak böleni yoktur.

Teorem 1. Eğer A 1 ve A 2 eş asal sayı ve λ bir sayı, ardından sayıların herhangi bir ortak böleni λa 1 ve A 2 aynı zamanda sayıların ortak bölenidir λ Ve A 2 .

Kanıt. Sayıların en büyük ortak bölenini bulmak için Öklid algoritmasını düşünün A 1 ve A 2 (yukarıya bakın).

Teoremin koşullarına göre sayıların en büyük ortak böleni şu şekildedir: A 1 ve A 2 ve bu nedenle A n ve A n+1 eşittir 1. Yani A n+1 =1.

Bütün bu eşitlikleri şununla çarpalım: λ , Daha sonra

Ortak bölen olsun A 1 λ Ve A 2 evet δ . Daha sonra δ çarpan olarak dahil edilir A 1 λ , M 1 A 2 λ ve A 1 λ -M 1 A 2 λ =A 3 λ (bkz. "Sayıların bölünebilirliği", Açıklama 2). Daha öte δ çarpan olarak dahil edilir A 2 λ Ve M 2 A 3 λ ve bu nedenle bir faktör olarak dahil edilmiştir. A 2 λ -M 2 A 3 λ =A 4 λ .

Bu şekilde akıl yürüterek, şuna ikna olduk: δ çarpan olarak dahil edilir A n−1 λ Ve M n−1 A N λ ve bu nedenle A n−1 λ −M n−1 A N λ =A n+1 λ . Çünkü A n+1 =1 ise δ çarpan olarak dahil edilir λ . Bu nedenle sayı δ sayıların ortak böleni λ Ve A 2 .

Teorem 1'in özel durumlarını ele alalım.

Sonuçlar 1. İzin vermek A Ve C Asal sayılar görecelidir B. Daha sonra onların ürünü AC göre bir asal sayıdır B.

Gerçekten mi. Teorem 1'den AC Ve B aynı ortak bölenlere sahip C Ve B. Ama sayılar C Ve B nispeten basit, yani tek bir ortak böleni var 1. Sonra AC Ve B ayrıca tek bir ortak bölen 1 var. Bu nedenle AC Ve B karşılıklı olarak basit.

Sonuçlar 2. İzin vermek A Ve B eş asal sayılar ve izin ver B böler tamam. Daha sonra B böler ve k.

Gerçekten mi. Onay koşulundan tamam Ve B ortak bir böleni var B. Teorem 1'e göre, B ortak bölen olmalı B Ve k. Buradan B böler k.

Sonuç 1 genelleştirilebilir.

Sonuçlar 3. 1. Sayıları bırakın A 1 , A 2 , A 3 , ..., A m sayıya göre asaldır B. Daha sonra A 1 A 2 , A 1 A 2 · A 3 , ..., A 1 A 2 A 3 ··· A m, bu sayıların çarpımı sayıya göre asaldır B.

2. İki satırlık sayılarımız olsun

Öyle ki, birinci serideki her sayı, ikinci serideki her sayıya göre asaldır. Daha sonra ürün

Bu sayıların her birine bölünebilen sayıları bulmanız gerekir.

Bir sayı bölünebiliyorsa A 1, o zaman formu var sa 1 nerede S bir miktar. Eğer Q sayıların en büyük ortak böleni A 1 ve A 2, o zaman

Nerede S 1 bir tam sayıdır. Daha sonra

dır-dir sayıların en küçük ortak katları A 1 ve A 2 .

A 1 ve A 2 aralarında asalsa sayıların en küçük ortak katıdır A 1 ve A 2:

Bu sayıların en küçük ortak katını bulmamız gerekiyor.

Yukarıdakilerden herhangi bir sayının katları olduğu sonucu çıkar A 1 , A 2 , A 3 sayının katı olmalı ε Ve A 3 ve geri. sayıların en küçük ortak katı olsun ε Ve A 3 evet ε 1. Daha sonra sayıların katları A 1 , A 2 , A 3 , A 4 sayının katı olmalı ε 1 ve A 4. sayıların en küçük ortak katı olsun ε 1 ve A 4 evet ε 2. Böylece sayıların tüm katlarının olduğunu öğrendik. A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m belirli bir sayının katlarıyla çakışıyor ε n'ye verilen sayıların en küçük ortak katı denir.

Sayıların olduğu özel durumda A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m göreceli olarak asaldır, bu durumda sayıların en küçük ortak katıdır A 1 , AŞekil 2, yukarıda gösterildiği gibi (3) formuna sahiptir. Sonraki, beri A Sayılara göre 3 asal A 1 , A 2 o zaman A 3 asal sayı A 1 · A 2 (Sonuç 1). Sayıların en küçük ortak katı anlamına gelir A 1 ,A 2 ,A 3 bir sayıdır A 1 · A 2 · A 3. Benzer şekilde akıl yürüterek aşağıdaki ifadelere ulaşıyoruz.

İfade 1. Eş asal sayıların en küçük ortak katı A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m onların çarpımına eşittir A 1 · A 2 · A 3 ··· A M.

İfade 2. Eş asal sayıların her birine bölünebilen herhangi bir sayı A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m aynı zamanda çarpımlarına da bölünebilir A 1 · A 2 · A 3 ··· A M.

Ortak katlar

Basitçe söylemek gerekirse, verilen sayıların her birine bölünebilen herhangi bir tam sayı Ortak çoklu tamsayılar verilmiştir.

İkinin ortak katını bulabilirsin Daha tamsayılar.

örnek 1

İki sayının ortak katını hesaplayın: $2$ ve $5$.

Çözüm.

Tanım gereği, $2$ ve $5$'ın ortak katı $10$'dır, çünkü $2$ sayısının ve $5$ sayısının katıdır:

$2$ ve $5$ sayılarının ortak katları aynı zamanda $–10, 20, –20, 30, –30$ vb. sayılar olacaktır, çünkü hepsi $2$ ve $5$ sayılarına bölünmüştür.

Not 1

Sıfır, herhangi bir sayıda sıfırdan farklı tam sayıların ortak katıdır.

Bölünebilme özelliklerine göre, eğer belirli bir sayı birkaç sayının ortak katı ise, o zaman işaretli karşısındaki sayı da verilen sayıların ortak katı olacaktır. Bu, ele alınan örnekten görülebilir.

Verilen tam sayıların ortak katlarını her zaman bulabilirsiniz.

Örnek 2

$111$ ve $55$'ın ortak katını hesaplayın.

Çözüm.

Verilen sayıları çarpalım: $111\div 55=6105$. $6105$ sayısının $111$ ve $55$ sayılarına bölünebildiğini doğrulamak kolaydır:

$6105\div 111=$55;

6105$\böl 55=111$.

Dolayısıyla $6105$, $111$ ve $55$'ın ortak katıdır.

Cevap: $111$ ve $55$'ın ortak katı $6105$'dır.

Ancak önceki örnekte de gördüğümüz gibi bu ortak kat bir değildir. Diğer ortak katlar $–6105, 12210, –12210, 61050, –61050$ vb. olacaktır. Böylece şu sonuca vardık:

Not 2

Herhangi bir tamsayı kümesinin sonsuz sayıda ortak katı vardır.

Pratikte bunlar yalnızca pozitif tamsayı (doğal) sayıların ortak katlarını bulmakla sınırlıdır, çünkü Belirli bir sayının katları ve karşıtının kümeleri çakışır.

En Küçük Ortak Katın Belirlenmesi

Verilen sayıların tüm katları arasında en az ortak kat (LCM) en sık kullanılır.

Tanım 2

Verilen tam sayıların en küçük pozitif ortak katı en küçük ortak Kat bu sayılar.

Örnek 3

$4$ ve $7$ sayılarının LCM'sini hesaplayın.

Çözüm.

Çünkü bu sayıların ortak bölenleri yoktur, bu durumda $LCM(4,7)=28$ olur.

Cevap: $NOK (4,7)=28$.

GCD aracılığıyla NOC'yi bulma

Çünkü LCM ve GCD arasında bir bağlantı var, onun yardımıyla hesaplayabilirsiniz İki pozitif tam sayının LCM'si:

Not 3

Örnek 4

$232$ ve $84$ sayılarının LCM'sini hesaplayın.

Çözüm.

LCM'yi GCD aracılığıyla bulmak için formülü kullanalım:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$

Öklid algoritmasını kullanarak $232$ ve $84$ sayılarının OBE'sini bulalım:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

Onlar. $OBEB(232, 84)=4$.

$LCC (232, 84)$'ı bulalım:

$NOK (232,84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

Cevap: $NOK (232,84)=$4872.

Örnek 5

$LCD(23, 46)$ değerini hesaplayın.

Çözüm.

Çünkü $46$, $23$'a bölünebilir, bu durumda $gcd (23, 46)=23$ olur. LOC'yi bulalım:

$NOK (23,46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

Cevap: NOK (23,46)=46$.

Böylece formüle edilebilir kural:

Not 4