Eksi çarpı eksi artı verdiğinde. Eksi olan eylemler

"Düşmanımın düşmanı dostumdur"

Neden eksi bir çarpı eksi bir artı bire eşit oluyor? Neden eksi bir çarpı artı bir eşittir eksi bir? Cevap vermenin en kolay yolu şudur: “Çünkü bunlar eylem kurallarıdır. negatif sayılar" Okulda öğrendiğimiz ve hayatımız boyunca uyguladığımız kurallar. Ancak ders kitapları kuralların neden böyle olduğunu açıklamıyor. Bunu önce aritmetiğin gelişim tarihine dayanarak anlamaya çalışacağız, sonra bu soruyu modern matematik açısından cevaplayacağız.

Uzun zaman önce insanlar yalnızca doğal sayıları biliyordu: Bunlar mutfak eşyaları, ganimetleri, düşmanları vb. saymak için kullanılıyordu. Ancak sayıların kendisi oldukça işe yaramaz; onlarla başa çıkabilmeniz gerekiyor. Toplama açık ve anlaşılırdır, ayrıca iki doğal sayının toplamı da bir doğal sayıdır (bir matematikçi, doğal sayılar kümesinin toplama işlemine göre kapalı olduğunu söyler). Doğal sayılardan bahsediyorsak çarpma aslında toplama ile aynıdır. Hayatta, bu iki işlemle ilgili eylemleri sıklıkla gerçekleştiririz (örneğin, alışveriş yaparken toplama ve çarpma yaparız) ve atalarımızın bunlarla daha az karşılaştığını düşünmek garip - toplama ve çarpma insanlık tarafından çok uzun süre ustalaştı evvel. Çoğunlukla bazı miktarları diğerlerine bölmeniz gerekir, ancak burada sonuç her zaman doğal sayı olarak ifade edilmez - bu şekilde kesirli sayılar.

Elbette çıkarmadan da yapamazsınız. Ancak pratikte genellikle küçük sayıyı büyük sayıdan çıkarırız ve negatif sayıları kullanmaya gerek kalmaz. (Şekerim varsa ve onu kız kardeşime verirsem, o zaman biraz şekerim kalır ama istesem bile ona şeker veremem.) Bu, insanların neden uzun süredir negatif sayıları kullanmadığını açıklayabilir.

MS 7. yüzyıldan beri Hint belgelerinde negatif sayılar görülüyor; Görünüşe göre Çinliler bunları biraz daha erken kullanmaya başladı. Borçları hesaba katmak için veya denklemlerin çözümünü basitleştirmek için ara hesaplamalarda kullanıldılar - bu sadece olumlu bir cevap elde etmek için bir araçtı. Negatif sayıların pozitif sayıların aksine herhangi bir varlığın varlığını ifade etmemesi güçlü bir güvensizliğe neden oldu. İnsanlar kelimenin tam anlamıyla negatif sayılardan kaçınıyordu: Eğer bir problemin olumsuz bir cevabı varsa, hiçbir cevabın olmadığına inanıyorlardı. Bu güvensizlik çok uzun süre devam etti ve hatta modern matematiğin “kurucularından” biri olan Descartes bile onları “yanlış” olarak nitelendirdi (17. yüzyılda!).

Örnek olarak denklemi ele alalım. Bu şekilde çözülebilir: bilinmeyenli terimleri sol tarafa ve geri kalanını sağa taşıyın, ortaya çıkıyor , , . Bu çözüm sayesinde negatif sayılarla bile karşılaşmadık.

Ancak bunu yanlışlıkla farklı bir şekilde yapmak mümkündü: bilinmeyenli terimleri sağ tarafa taşıyın ve , alın. Bilinmeyeni bulmak için bir negatif sayıyı diğerine bölmeniz gerekir: . Ancak doğru cevap biliniyor ve şu sonuca varmak gerekiyor.

Bu basit örnek neyi gösteriyor? İlk olarak, negatif sayılara ilişkin eylemlerin kurallarını belirleyen mantık netleşiyor: Bu eylemlerin sonuçları, negatif sayılar olmadan farklı bir şekilde elde edilen cevaplarla örtüşmelidir. İkinci olarak, negatif sayıların kullanımına izin vererek can sıkıcı olanlardan kurtuluruz (eğer denklem daha karmaşık çıkarsa, Büyük bir sayı tüm eylemlerin yalnızca üzerinde gerçekleştirildiği bir çözüm yolunun aranması doğal sayılar. Üstelik artık her seferinde dönüştürülen niceliklerin anlamlılığı hakkında düşünmeyebiliriz - ve bu zaten matematiği soyut bir bilime dönüştürme yolunda atılmış bir adımdır.

Negatif sayılarla çalışma kuralları hemen oluşturulmadı, ancak uygulamalı problemleri çözerken ortaya çıkan çok sayıda örneğin genelleştirilmesi haline geldi. Genel olarak, matematiğin gelişimi aşamalara ayrılabilir: sonraki her aşama, nesneleri incelerken yeni bir soyutlama düzeyiyle bir öncekinden farklılık gösterir. Böylece, 19. yüzyılda matematikçiler, tüm dış farklılıklarına rağmen, tamsayılar ve polinomların pek çok ortak noktasının olduğunu fark ettiler: her ikisi de toplanabilir, çıkarılabilir ve çarpılabilir. Bu işlemler hem sayılar hem de polinomlar açısından aynı yasalara tabidir. Ancak tam sayıları birbirine bölerek sonucun yine tam sayı olmasını sağlamak her zaman mümkün olmuyor. Polinomlarda da durum aynıdır.

Daha sonra bu tür işlemlerin gerçekleştirilebileceği diğer matematiksel nesne kümeleri keşfedildi: biçimsel kuvvet serileri, sürekli fonksiyonlar... Son olarak, işlemlerin özelliklerini incelerseniz sonuçların hepsine uygulanabileceği anlayışı geldi. bu nesne kümeleri (bu yaklaşım tüm modern matematik için tipiktir).

Bunun sonucunda yeni bir kavram ortaya çıktı: yüzük. Bu yalnızca bir dizi öğe ve bunlar üzerinde gerçekleştirilebilecek eylemlerden oluşur. Buradaki temel kurallar, kümenin öğelerinin doğası değil, tam olarak eylemlerin tabi olduğu kurallardır (bunlara aksiyom denir) (işte burada, yeni seviye soyutlamalar!). Önemli olanın aksiyomları ortaya koyduktan sonra ortaya çıkan yapı olduğunu vurgulamak isteyen matematikçiler şöyle derler: bir tamsayılar halkası, bir polinomlar halkası vb. Aksiyomlardan yola çıkarak halkaların diğer özellikleri çıkarılabilir.

Halkanın aksiyomlarını formüle edeceğiz (bunlar elbette tamsayılarla işlem yapma kurallarına benzer) ve ardından herhangi bir halkada bir eksiyi bir eksi ile çarpmanın bir artı ürettiğini kanıtlayacağız.

Bir halka, geleneksel olarak toplama ve çarpma olarak adlandırılan iki ikili işlemden (yani her işlem halkanın iki öğesini içerir) ve aşağıdaki aksiyomlardan oluşan bir kümedir:

En genel yapıda halkaların, çarpmanın değiştirilebilirliğini, tersinirliğini (yani bölme her zaman yapılamaz) veya çarpmada nötr bir öğe olan bir birimin varlığını gerektirmediğini unutmayın. Bu aksiyomları ortaya koyarsak farklı cebirsel yapılar elde ederiz, ancak bunlarda halkalar için kanıtlanmış tüm teoremler doğru olacaktır.

Şimdi herhangi bir eleman ve rastgele bir halka için ilk olarak , ikinci olarak da bunun doğru olduğunu kanıtlayalım. Birimlerle ilgili ifadeler buradan kolayca çıkarılabilir: ve .

Bunu yapmak için bazı gerçekleri ortaya koymamız gerekecek. Öncelikle her elemanın yalnızca bir zıttı olabileceğini kanıtlıyoruz. Aslında bir öğenin iki zıttı olsun: ve . Yani . Miktarı dikkate alalım. Birleşme ve değişme yasalarını ve sıfırın özelliğini kullanarak, bir yandan toplamın eşit, diğer yandan eşit olduğunu buluruz. Araç, .

Şimdi her ikisinin de ve aynı öğenin karşıtları olduğuna dikkat edin, dolayısıyla eşit olmaları gerekir.

İlk gerçek şu şekilde ortaya çıkıyor: Yani zıttır, yani eşittir.

Matematiksel olarak titiz olmak için, herhangi bir element için nedenini de açıklayalım. Aslında, . Yani eklenmesi miktarı değiştirmez. Yani bu çarpım sıfıra eşit.

Ve halkada tam olarak bir sıfır olduğu gerçeğini (sonuçta aksiyomlar böyle bir unsurun var olduğunu söylüyor, ancak onun benzersizliği hakkında hiçbir şey söylenmiyor!), basit bir alıştırma olarak okuyucuya bırakacağız.

Evgeniy Epifanov
"Elementler"

Yorumlar: 0

Jacques Sesiano

İki bin yıl boyunca sayısal alanda üç önemli genişleme yaşandı. İlk olarak, MÖ 450 civarında. Pisagor okulundan bilim adamları irrasyonel sayıların varlığını kanıtladılar. Onların ilk hedeföyleydi sayısal ifade Birim karenin köşegenleri. İkincisi, XIII-XV. yüzyıllarda Avrupalı bilim adamları, sistemleri çözüyorlar. doğrusal denklemler, tek bir olumsuz karar olasılığına izin verdi. Üçüncüsü, 1572'de İtalyan cebirci Raphael Bombelli, belirli bir kübik denklemin gerçek çözümünü elde etmek için karmaşık sayıları kullandı.

Proskuryakov I.V.

Bu kitabın amacı sayıları, polinomları ve cebirsel kesirleri kesin bir şekilde tanımlamak ve bunların okuldan zaten bilinen özelliklerini gerekçelendirmek ve okuyucuyu yeni özelliklerle tanıştırmak değildir. Bu nedenle, okuyucu burada kendisi için yeni gerçekleri bulamayacak (bazı özellikler, gerçek ve karmaşık sayılar hariç), ancak "iki kere iki dört eder" ile başlayarak kendisi tarafından iyi bilinen şeylerin nasıl kanıtlandığını öğrenecek ve polinomlarla işlem kurallarıyla biten Ve cebirsel kesirler. Ancak okuyucu birçok şeyle tanışacaktır. Genel konseptler cebirde önemli bir rol oynamaktadır.

İlya Şçurov

Matematikçi Ilya Shchurov o ondalık sayılar Pi sayısının aşkınlığı ve irrasyonelliği.

Leon Takhtajyan

Bunlar dört kısa hikaye olacak. Sayılarla başlayacağız, sonra hareketten, değişimden bahsedeceğiz, sonra şekiller ve boyutlardan, sonra da başlangıç ve bitişten bahsedeceğiz. Biraz şifreli olan bu üslupla matematiğe içeriden ve dışarıdan, tam olarak bir konu olarak bakmaya çalışacağız. Matematikçilerin ne düşündüğü ve neyle yaşadığı - bunu daha sonra konuşabiliriz.

Vladlen Timorin

Matematikçi Vladlen Timorin karmaşık sayıların avantajlarını, Hamilton kuaterniyonlarını, sekiz boyutlu Cayley sayılarını ve geometrideki sayıların çeşitliliğini anlatıyor.

Jacques Sesiano

Diophantus hakkında çok az şey biliyoruz. Sanırım İskenderiye'de yaşıyordu. 4. yüzyıldan önce hiçbir Yunan matematikçi ondan bahsetmemiştir, dolayısıyla muhtemelen 3. yüzyılın ortalarında yaşamıştır. En çok asıl iş Diophanta, “Aritmetik” (Ἀριθμητικά), 13 “kitap”ın (βιβλία), yani bölümlerin başında yer almıştır. Bugün bunlardan 10 tanesine sahibiz: 6'sı Yunanca metinde ve 4'ü ortaçağ Arapça tercümesinde, yeri Yunanca kitapların ortasında yer alıyor: Yunanca I-III kitaplar, Arapça IV-VII, VIII-X Yunanistan 'da . Diophantus'un "Aritmetik"i öncelikle toplamda 260 civarında problemden oluşan bir derlemedir. Gerçeği söylemek gerekirse herhangi bir teori yoktur; sadece var genel talimatlar kitabın tanıtımında ve gerektiğinde bazı problemlerde özel yorumlara yer verilmiştir. "Aritmetik" zaten cebirsel bir incelemenin özelliklerine sahiptir. İlk Diophantus'un kullanımları farklı işaretler bilinmeyeni ve onun güçlerini ifade etmek, ayrıca bazı hesaplamalar yapmak; Orta Çağ'ın tüm cebirsel sembolizmi gibi, onun sembolizmi de matematiksel kelimelerden gelir. Daha sonra Diophantus problemin cebirsel olarak nasıl çözüleceğini açıklıyor. Ancak Diophantus'un problemleri alışılmış anlamda cebirsel değildir, çünkü neredeyse hepsi belirsiz bir denklemin veya bu tür denklem sistemlerinin çözümüne dayanmaktadır.

Matematik dünyası onlarsız, asal sayılar olmadan düşünülemez. Ne oldu asal sayılar, onlar hakkında özel olan şeyler ve onlar için ne gibi önemleri var? Gündelik Yaşam? Bu filmde İngiliz matematik profesörü Marcus du Sautoy asal sayıların sırrını ortaya çıkaracak.

Georgy Şabat

Okulda hepimize, Q rasyonel sayılar kümesinde, tüm aritmetik işlemlerin sürekli olduğu benzersiz bir doğal mesafenin (fark modülü) olduğu şeklindeki hatalı fikir aşılanmıştır. Bununla birlikte, her p sayısı için bir tane olmak üzere, p-adic adı verilen sonsuz sayıda mesafe de vardır. Ostrovsky'nin teoremine göre, "sıradan" mesafe, tüm p-adik mesafelerle birlikte, gerçekten de tüm makul mesafeleri tüketiyor Q. Adelik demokrasi terimi, Yu I. Manin tarafından tanıtıldı. Adelik demokrasi ilkesine göre, Q üzerindeki tüm makul mesafeler matematik yasaları önünde eşittir (belki de sadece geleneksel “biraz=biraz eşit…”). Kurs, çalışmanıza olanak tanıyan adelik halkayı tanıtacaktır. tüm bu mesafelerle aynı anda.

Vladimir Arnold

J.L. Lagrange, (belirli bir yerden başlayan) tamamlanmamış bölümler dizisinin ancak ve ancak x sayısının ikinci dereceden bir irrasyonel olması durumunda periyodik olduğunu kanıtladı. R. O. Kuzmin, hemen hemen her gerçek sayının eksik bölümleri dizisinde, m eksik bölüme eşit d_m kesirinin aynı olduğunu kanıtladı (tipik gerçek sayılar için). d_m kesri m→∞ kadar 1/m^2 kadar azalır ve değeri Gauss tarafından tahmin edilmiştir (hiçbir şey kanıtlamamıştır). V.I. Arnol (yaklaşık 20 yıl önce) Gauss-Kuzmin istatistiklerinin d_m'nin aynı zamanda köklerin devam eden kesirli dönemleri için de geçerli olduğu hipotezini ifade etmişti. ikinci dereceden denklemler x^2+px+q=0 (p ve q tamsayılarıyla): p^2+q^2≤R olan bu tür denklemlerin köklerinin tüm devam eden kesirlerinin periyotlarını oluşturan eksik bölümleri birlikte yazarsak ^2 ise eksik m bölümünün aralarındaki payı R→∞ olarak d_m sayısına yönelecektir. V. A. Bykovsky ve Habarovsk öğrencileri yakın zamanda bu uzun süredir devam eden hipotezi kanıtladılar. Buna rağmen, x^2+px+q=0 denkleminin herhangi bir x köküne ait sürekli kesirlerin periyotları olan harflerden değil, bunlardan oluşan kelimelerden oluşan istatistik sorunu çözülmekten çok uzaktır.

Kamış Milleri

Başlığı ve özeti mümkün olduğu kadar belirsiz bırakıyorum, böylece o gün ne hissediyorsam onun hakkında konuşabiliyorum. Çeşitlerin sınıflandırılmasında ilgi duyulan pek çok çeşit, bir Gorenstein halkasının Spec veya Proj'u olarak elde edilir. ⩽3 kod boyutunda, iyi bilinen yapı teorisi, Gorenstein halkalarıyla hesaplama yapmak için açık yöntemler sağlar. Buna karşılık, 4 eş boyutlu halkalar için kullanışlı bir yapı teorisi yoktur. Bununla birlikte, birçok durumda Gorenstein izdüşümü (ve bunun tersi olan Kustin-Miller izdüşümsüzlüğü) bu halkalara saldırmanın yöntemlerini sağlar. Bu yöntemler, düzenli cebirsel yüzeylerin kanonik halkalarının sporadik sınıflarına ve Q-Fano 3 katlarının, bunlar arasındaki Sarkisov bağlantılarının ve Mori teorisinin A Tipi 3 kat ters çevirmelerinin daha sistematik yapılarına uygulanır.

Eksi ve artı matematikte negatif ve pozitif sayıların işaretleridir. Kendileriyle farklı şekilde etkileşime girerler, bu nedenle sayılarla herhangi bir işlem gerçekleştirirken, örneğin bölme, çarpma, çıkarma, toplama vb. dikkate alınmalıdır. kuralları imzalamak. Bu kurallar olmadan en basit cebirsel veya geometrik problemi bile asla çözemezsiniz. Bu kuralları bilmeden sadece matematik değil, fizik, kimya, biyoloji ve hatta coğrafya çalışamazsınız.

İşaretlerin temel kurallarına daha yakından bakalım.

Bölüm.

“Artı”yı “eksi”ye bölersek her zaman “eksi” elde ederiz. “Eksi”yi “artı”ya bölersek her zaman “eksi” de elde ederiz. "Artı"yı "artı"ya bölersek "artı" elde ederiz. "Eksi"yi "eksi"ye bölersek, garip bir şekilde "artı" da elde ederiz.

Çarpma işlemi.

“Eksi”yi “artı” ile çarparsak her zaman “eksi” elde ederiz. “Artı”yı “eksi” ile çarparsak her zaman “eksi” de elde edilir. “Artı”yı “artı” ile çarparsak pozitif bir sayı yani “artı” elde ederiz. Aynı şey iki negatif sayı için de geçerlidir. "Eksi"yi "eksi" ile çarparsak "artı" elde ederiz.

Çıkarma ve ekleme.

Farklı prensiplere dayanmaktadırlar. Negatif bir sayının mutlak değeri pozitif sayımızdan büyükse, sonuç elbette negatif olacaktır. Elbette bir modülün ne olduğunu ve neden burada olduğunu merak ediyorsunuz. Her şey çok basit. Modül bir sayının değeridir ancak işareti yoktur. Örneğin -7 ve 3. Modulo -7 basitçe 7 olacak ve 3, 3 olarak kalacak. Sonuç olarak 7'nin daha büyük olduğunu görüyoruz, yani negatif sayımızın daha büyük olduğu ortaya çıkıyor. Yani -7+3 = -4 çıkıyor. Daha da basit hale getirilebilir. İlk sıraya pozitif bir sayı koyun ve sonuç 3-7 = -4 olacaktır, belki bu birisi için daha açıktır. Çıkarma işlemi tamamen aynı prensipte çalışır.

Çarpmayı doğru anlıyor muyuz?

"-A ve B borunun üzerinde oturuyorlardı. A düştü, B kayboldu, borunun üzerinde ne kaldı?
"I. mektubun kaldı."

("Evrendeki Gençler" filminden)

Bir sayıyı sıfırla çarpmak neden sıfırla sonuçlanır?

7 * 0 = 0

İki negatif sayının çarpımı neden pozitif bir sayı üretir?

7 * (-3) = + 21

Öğretmenler bu iki soruya cevap verebilmek için ellerinden geleni yapıyorlar.

Ama hiç kimse çarpma işleminin formüle edilmesinde üç anlamsal hata olduğunu kabul etmeye cesaret edemiyor!

Temel aritmetikte hata yapmak mümkün mü? Sonuçta matematik kendisini kesin bir bilim olarak konumlandırıyor...

Okul matematik ders kitapları bu soruların cevaplarını vermez, açıklamaların yerine ezberlenmesi gereken bir dizi kural koyar. Belki de bu konunun ortaokulda açıklanması zor olduğu düşünülüyor? Bu sorunları anlamaya çalışalım.

7 çarpandır. 3 bir çarpandır. 21-iş.

Resmi ifadeye göre:

bir sayıyı başka bir sayıyla çarpmak, çarpanın belirttiği sayıda çarpan eklemek anlamına gelir.

Kabul edilen formülasyona göre 3 faktörü bize eşitliğin sağ tarafında üç yedinin olması gerektiğini söylüyor.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Ancak çarpma işleminin bu formülasyonu yukarıda sorulan soruları açıklayamaz.

Çarpma ifadesini düzeltelim

Genellikle matematikte kastedilen çok şey vardır ancak bunlar hakkında konuşulmaz veya yazılmaz.

Bu, denklemin sağ tarafındaki ilk yediden önceki artı işaretini ifade eder. Bu artıyı yazalım.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Peki ilk yediye ne eklendi? Bu elbette sıfır anlamına gelir. Sıfırı yazalım.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

Peki ya üç eksi yedi ile çarparsak?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

Çarpan -7'nin toplamasını yazıyoruz ama aslında sıfırdan defalarca çıkarıyoruz. Parantezleri açalım.

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

Artık çarpmanın daha kesin bir formülünü verebiliriz.

Çarpma, çarpıma (-7) çarpanın gösterdiği sayıda tekrar tekrar ekleme (veya sıfırdan çıkarma) işlemidir. Çarpan (3) ve işareti (+ veya -), sıfıra eklenen veya sıfırdan çıkarılan işlem sayısını gösterir.

Çarpmanın bu geliştirilmiş ve biraz değiştirilmiş formülasyonunu kullanarak, çarpan negatif olduğunda çarpmanın "işaret kuralları" kolayca açıklanabilir.

7 * (-3) - sıfırdan sonra üç eksi işareti olmalıdır = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

7 * (-3) - yine sıfırdan sonra üç eksi işareti olmalıdır =

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Sıfırla çarpın

7 * 0 = 0 + ... sıfır işlemlerine ekleme yapılmaz.

Çarpma sıfıra toplama ise ve çarpan sıfıra ekleme işlemlerinin sayısını gösteriyorsa, sıfır çarpanı sıfıra hiçbir şeyin eklenmediğini gösterir. Bu yüzden sıfır kalıyor.

Dolayısıyla, mevcut çarpma formülasyonunda, iki "işaret kuralının" (çarpan negatif olduğunda) ve bir sayının sıfırla çarpılmasının anlaşılmasını engelleyen üç anlamsal hata bulduk.

Çarpanı eklemenize gerek yoktur, ancak sıfıra eklemeniz gerekir.
Çarpma sadece sıfıra eklemek değil aynı zamanda sıfırdan çıkarmaktır.
Çarpan ve işareti terim sayısını değil, çarpma işlemini terimlere (veya çıkarılmış olanlara) ayrıştırırken artı veya eksi işaretlerinin sayısını gösterir.

Formülasyonu biraz açıklığa kavuşturduktan sonra, çarpma işaretlerinin kurallarını ve bir sayının sıfırla çarpımını, değişmeli çarpma yasasının yardımı olmadan, dağıtım yasası olmadan, sayı doğrusuyla analojiler içermeden, denklemler olmadan açıklayabildik. , tersinden kanıt olmadan vb.

Çarpmanın rafine formülasyonuna ilişkin işaret kuralları çok basit bir şekilde türetilmiştir.

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

Çarpan ve işareti (+3 veya -3), denklemin sağ tarafındaki "+" veya "-" işaretlerinin sayısını gösterir.

Çarpmanın değiştirilmiş formülasyonu, bir sayıyı bir kuvvete yükseltme işlemine karşılık gelir.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2^0 = 1 (bir hiçbir şeyle çarpılmaz veya bölünmez, dolayısıyla bir olarak kalır)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Matematikçiler bir sayıyı pozitif kuvvete yükseltmenin bir kere çarpmak olduğu konusunda hemfikirdir. Ve bir sayıyı yükselterek negatif derece bir birimin çoklu bölümüdür.

Çarpma işlemi üstel alma işlemine benzer olmalıdır.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2*0 = 0 (sıfıra hiçbir şey eklenmez ve sıfırdan hiçbir şey çıkarılmaz)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

Çarpmanın değiştirilmiş formülasyonu matematikte hiçbir şeyi değiştirmez, ancak çarpma işleminin orijinal anlamını döndürür, bir sayıyı sıfırla çarparak "işaret kurallarını" açıklar ve çarpma ile üstel almayı uzlaştırır.

Çarpma formülümüzün bölme işlemiyle tutarlı olup olmadığını kontrol edelim.

15: 5 = 3 (çarpımın tersi 5*3 = 15)

Bölüm (3), çarpma sırasında sıfıra (+3) yapılan toplama işlemlerinin sayısına karşılık gelir.

15 sayısını 5'e bölmek, 15'ten 5'i kaç kez çıkarmanız gerektiğini bulmak anlamına gelir. Bu, sıfır sonuç elde edilene kadar sıralı çıkarma işlemiyle yapılır.

Bölme sonucunu bulmak için eksi işaretlerinin sayısını saymanız gerekir. Üç tane var.

15: 5 = Sıfır elde etmek için 15'ten beş çıkarmanın 3 işlemi.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (15:5 bölümü)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (5 * 3 ile çarpılır)

Kalanla bölme.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17: 5 = 3 ve 2 kalan

Kalanlı bölme varsa, neden ekli çarpma olmasın?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Hesap makinesindeki ifadelerdeki farka bakalım

Çarpmanın mevcut formülasyonu (üç terim).

10 + 10 + 10 = 30

Çarpma formülasyonu düzeltildi (sıfır işlemlere üç ekleme).

0 + 10 = = = 30

(Üç kez “eşittir” tuşuna basın.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

3 çarpanı, 10 çarpanının üç kez sıfıra eklenmesi gerektiğini gösterir.

(-10) * (-3) terimini (-10) eksi üç kez ekleyerek çarpmayı deneyin!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

Üçteki eksi işareti ne anlama geliyor? Belki bu yüzden?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

Ops... Ürünü terimlerin toplamına (veya farkına) (-10) ayrıştıramıyorum.

Revize edilen ifade bunu doğru bir şekilde yapıyor.

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Çarpan (-3), çarpanın (-10) üç kez sıfırdan çıkarılması gerektiğini belirtir.

Toplama ve çıkarma için işaret kuralları

Yukarıda, çarpma ifadesinin anlamını değiştirerek çarpma işareti kurallarını türetmenin basit bir yolunu gösterdik.

Ancak sonuç olarak toplama ve çıkarma için işaret kurallarını kullandık. Çarpma işlemiyle hemen hemen aynıdırlar. Birinci sınıf öğrencisinin bile anlayabilmesi için toplama ve çıkarma işaretlerinin kurallarının bir görselleştirmesini oluşturalım.

"Eksi", "negatif" nedir?

Doğada olumsuz hiçbir şey yoktur. HAYIR negatif sıcaklık, negatif yön yok, negatif kütle yok, negatif yük yok... Sinüs bile doğası gereği yalnızca pozitif olabilir.

Ancak matematikçiler negatif sayılar buldular. Ne için? "Eksi" ne anlama geliyor?

Eksi işareti ters yön anlamına gelir. Sol sağ. Üst alt. Saat yönünde - saat yönünün tersine. İleri geri. Soğuk sıcak. Hafif ağır. Yavaş hızlı. Düşünürseniz kullanımının uygun olduğu başka birçok örnek verebilirsiniz. negatif değerler miktarları

Bildiğimiz dünyada sonsuzluk sıfırdan başlayıp artı sonsuza gider.

Gerçek dünyada "Eksi sonsuzluk" yoktur. Bu, “eksi” kavramıyla aynı matematiksel kuraldır.

Yani “eksi” ters yönü ifade eder: hareket, döndürme, işlem, çarpma, toplama. Pozitif ve negatif (diğer yönde artan) sayıları toplarken ve çıkarırken farklı yönleri analiz edelim.

Toplama ve çıkarma işaretlerinin kurallarını anlamanın zorluğu, bu kuralların genellikle sayı doğrusu üzerinde açıklanmasından kaynaklanmaktadır. Sayı doğrusunda kuralların türetildiği üç farklı bileşen karıştırılmıştır. Ve kafa karışıklığından dolayı, farklı kavramların bir yığın halinde bir araya getirilmesinden dolayı, anlama zorlukları yaratılmaktadır.

Kuralları anlamak için bölmemiz gerekir:

ilk terim ve toplam (yatay eksende olacaklar);
ikinci terim (dikey eksende olacaktır);
Toplama ve çıkarma işlemlerinin yönü.

Bu bölünme şekilde açıkça gösterilmiştir. Zihinsel olarak dikey eksenin yatay eksenin üzerine binerek dönebileceğini hayal edin.

Toplama işlemi her zaman dikey eksenin saat yönünde (artı işareti) döndürülmesiyle gerçekleştirilir. Çıkarma işlemi her zaman dikey eksenin saat yönünün tersine (eksi işareti) döndürülmesiyle gerçekleştirilir.

Örnek. Sağ alt köşedeki diyagram.

Yakınlarda iki tane olduğu görülüyor ayakta işareti Eksi işareti (çıkarma işleminin işareti ve 3 sayısının işareti) farklı anlamlara sahiptir. İlk eksi çıkarma işleminin yönünü gösterir. İkinci eksi ise sayının dikey eksendeki işaretidir.

Yatay eksendeki ilk terimi (-2) bulun. İkinci terimi (-3) dikey eksende buluyoruz. (-3) yatay eksendeki (+1) sayısıyla aynı hizaya gelene kadar dikey ekseni zihinsel olarak saat yönünün tersine döndürün. (+1) sayısı toplamanın sonucudur.

Çıkarma işlemi

Diyagramın sağ üst köşesindeki toplama işlemiyle aynı sonucu verir.

Bu nedenle, iki bitişik eksi işareti bir artı işaretiyle değiştirilebilir.

Hepimiz hazır aritmetik kurallarını anlamını düşünmeden kullanmaya alışkınız. Bu nedenle, toplama (çıkarma) işaretlerinin kurallarının çarpma (bölme) işaret kurallarından ne kadar farklı olduğunu çoğu zaman fark etmiyoruz bile. Aynı mı görünüyorlar? Neredeyse... Aşağıdaki çizimde küçük bir fark görülebilir.

Artık çarpma işleminin işaret kurallarını türetmek için ihtiyacımız olan her şeye sahibiz. Çıkış sırası aşağıdaki gibidir.

Toplama ve çıkarma işaret kurallarının nasıl elde edildiğini açıkça gösteriyoruz.
Mevcut çarpma formülünde anlamsal değişiklikler yapıyoruz.
Çarpmanın değiştirilmiş formülasyonuna ve toplamaya ilişkin işaret kurallarına dayanarak, çarpmaya ilişkin işaretlerin kurallarını türetiyoruz.

Not.

Aşağıda yazılı Toplama ve çıkarma için işaret kuralları görselleştirmeden elde edilmiştir. Ve karşılaştırma için kırmızı renkte, matematik ders kitabındaki aynı işaret kuralları. Parantez içindeki gri artı, pozitif bir sayı için yazılmayan görünmez bir artıdır.

Terimlerin arasında her zaman iki işaret bulunur: işlem işareti ve sayı işareti (artı yazmıyoruz ama ciddiyiz). İşaret kuralları, toplama (çıkarma) sonucunu değiştirmeden bir karakter çiftinin başka bir çiftle değiştirilmesini öngörür. Aslında sadece iki kural var.

Kural 1 ve 3 (görselleştirme için) - kural 4 ve 2'nin kopyası.. Okul yorumundaki Kural 1 ve 3, görsel şemayla örtüşmez, bu nedenle ekleme için işaret kuralları için geçerli değildir. Bunlar başka kurallar...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+).......... + - = - (+) tamam

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - = + (+) tamam

Okul kuralı 1. (kırmızı renk) arka arkaya iki artıyı bir artı ile değiştirmenizi sağlar. Toplama ve çıkarma işlemlerinde işaretlerin değiştirilmesinde kural uygulanmaz.

Okul kuralı 3. (kırmızı), çıkarma işleminden sonra pozitif bir sayıya artı işareti yazmamanıza izin verir. Toplama ve çıkarma işlemlerinde işaretlerin değiştirilmesinde kural uygulanmaz.

Toplama işaretleri kurallarının anlamı, toplamanın sonucunu değiştirmeden bir işaret ÇİFTİNİN başka bir işaret ÇİFTİ ile değiştirilmesidir.

Okul metodolojistleri iki kuralı tek bir kuralda karıştırdılar:

Pozitif ve negatif sayıları toplarken ve çıkarırken iki işaret kuralı (bir işaret çiftini başka bir işaret çiftiyle değiştirmek);

Pozitif bir sayıya artı işareti yazmamanın iki kuralı.

İki farklı kurallar, bire karıştırıldığında, iki işaretin bir üçüncüyle sonuçlandığı çarpma işlemindeki işaret kurallarına benzer. Tamamen birbirine benziyorlar.

Büyük kafa karışıklığı! Dolaşıklığı daha iyi çözmek için yine aynı şey. İşlem işaretlerini sayı işaretlerinden ayırmak için kırmızı renkle vurgulayalım.

1. Toplama ve çıkarma. Terimler arasındaki işaret çiftlerinin değiştirildiği iki işaret kuralı. Operasyon işareti ve sayı işareti.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. Pozitif bir sayı için artı işaretinin yazılmamasına izin veren iki kural. Bunlar giriş formunun kurallarıdır. Ekleme için geçerli değildir. Pozitif bir sayı için sadece işlemin işareti yazılır.

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. Çarpma için işaretlerin dört kuralı. Faktörlerin iki işareti çarpımın üçüncü işaretiyle sonuçlandığında. Çarpma işareti kuralları yalnızca sayı işaretlerini içerir.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

Artık form kurallarını ayırdığımıza göre, toplama ve çıkarmaya ilişkin işaret kurallarının, çarpmaya ilişkin işaret kurallarına hiç benzemediğini açıkça görmeliyiz.

V. Kozarenko

İki olumsuz bir olumlu yapar- Bu okulda öğrendiğimiz ve hayatımız boyunca uyguladığımız bir kuraldır. Peki hangimiz bunun nedeni ile ilgileniyorduk? Elbette gereksiz sorular sormadan ve konunun özüne derinlemesine dalmadan bu ifadeyi hatırlamak daha kolaydır. Artık "sindirilmesi" gereken yeterli bilgi zaten var. Ancak bu soruyla hala ilgilenenler için bu matematiksel olgunun açıklamasını vermeye çalışacağız.

Antik çağlardan beri insanlar pozitif doğal sayılar kullanmışlardır: 1, 2, 3, 4, 5,... Sayılar çiftlik hayvanlarını, mahsulleri, düşmanları vb. saymak için kullanılmıştır. İki pozitif sayıyı toplarken ve çarparken her zaman pozitif bir sayı elde ettiler; bir miktarı diğerine bölerken her zaman doğal sayılar elde edemediler - kesirli sayılar bu şekilde ortaya çıktı. Peki ya çıkarma? Çocukluğumuzdan beri, daha çok şeye daha az eklemenin, daha çok şeyden daha az çıkarmanın daha iyi olduğunu biliyoruz ve yine negatif sayıları kullanmıyoruz. Meğerse 10 elmam varsa, ancak 10 ya da 10'dan az birine verebilirim. 13 elma vermem mümkün değil çünkü bende yok. Uzun süre negatif sayılara gerek yoktu.

Sadece MS 7. yüzyıldan itibaren. Bazı sayma sistemlerinde, cevapta pozitif bir sayı elde etmeyi mümkün kılan yardımcı büyüklükler olarak negatif sayılar kullanıldı.

Bir örneğe bakalım, 6x – 30 = 3x – 9. Cevabı bulmak için bilinmeyenli terimleri solda, geri kalanları sağda bırakmak gerekir: 6x – 3x = 30 – 9, 3x = 21, x = 7 Bu denklemi çözerken negatif sayılar bile yoktu. Bilinmeyenleri sağa, bilinmeyenleri olmayan terimleri sola taşıyabiliriz: 9 – 30 = 3x – 6x, (-21) = (-3x). Negatif bir sayıyı negatif bir sayıya böldüğümüzde pozitif cevap alırız: x = 7.

Ne görüyoruz?

Negatif sayılarla çalışmak bizi yalnızca sayılarla çalışmakla aynı cevaba götürmelidir. pozitif sayılar. Artık eylemlerin pratik imkansızlığı ve anlamlılığı hakkında düşünmemize gerek yok - bunlar denklemi yalnızca pozitif sayılardan oluşan bir forma indirgemeden sorunu çok daha hızlı çözmemize yardımcı oluyor. Örneğimizde karmaşık hesaplamalar kullanmadık ancak terim sayısı çok ise negatif sayılarla hesaplamalar işimizi kolaylaştırabilir.

Zamanla, uzun deneyler ve hesaplamalardan sonra, tüm sayıları ve bunlarla ilgili işlemleri yöneten kuralları belirlemek mümkün oldu (matematikte bunlara aksiyom denir). Burası nereden geldiği İki negatif sayı çarpıldığında pozitif bir sayı elde edileceğini belirten bir aksiyom.

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

1) Neden eksi bir çarpı eksi bir eşittir artı bir?

2) Neden eksi bir çarpı artı bir eşittir eksi bir?

Düşmanımın düşmanı dostumdur

En kolay cevap şudur: "Çünkü bunlar negatif sayılarla çalışmanın kurallarıdır." Okulda öğrendiğimiz ve hayatımız boyunca uyguladığımız kurallar. Ancak ders kitapları kuralların neden böyle olduğunu açıklamıyor. Bunu önce aritmetiğin gelişim tarihine dayanarak anlamaya çalışacağız, sonra bu soruyu modern matematik açısından cevaplayacağız.

Uzun zaman önce insanlar yalnızca doğal sayıları biliyordu: 1, 2, 3, ... Bunlar mutfak eşyaları, ganimetleri, düşmanları vb. saymak için kullanılıyordu. Ancak sayıların kendisi oldukça işe yaramaz; onlarla başa çıkabilmeniz gerekir. Toplama açık ve anlaşılırdır, ayrıca iki doğal sayının toplamı da bir doğal sayıdır (bir matematikçi, doğal sayılar kümesinin toplama işlemine göre kapalı olduğunu söyler). Doğal sayılardan bahsediyorsak çarpma aslında toplama ile aynıdır. Hayatta, bu iki işlemle ilgili eylemleri sıklıkla gerçekleştiririz (örneğin, alışveriş yaparken toplama ve çarpma yaparız) ve atalarımızın bunlarla daha az karşılaştığını düşünmek garip - toplama ve çarpma insanlık tarafından çok uzun süre ustalaştı evvel. Çoğu zaman bazı miktarları başkalarına bölmeniz gerekir, ancak burada sonuç her zaman doğal bir sayı olarak ifade edilmez - kesirli sayılar bu şekilde ortaya çıktı.

Elbette çıkarmadan da yapamazsınız. Ancak pratikte genellikle küçük sayıyı büyük sayıdan çıkarırız ve negatif sayıları kullanmaya gerek kalmaz. (Eğer 5 şekerim varsa ve kız kardeşime 3 verirsem, o zaman 5 - 3 = 2 şekerim kalır ama istesem bile ona 7 şeker veremem.) Bu, insanların neden negatif sayıları bir süre kullanmadıklarını açıklayabilir. uzun zaman.

Örneğin denklemi düşünün 7x – 17 = 2x – 2. Bu şekilde çözülebilir: bilinmeyenli terimleri sola, geri kalanını sağa taşıyın, ortaya çıkacaktır 7x – 2x = 17 – 2, 5x = 15, x = 3. Bu çözüm sayesinde negatif sayılarla bile karşılaşmadık.

Ancak bunu yanlışlıkla farklı bir şekilde yapmak mümkündü: bilinmeyenle ilgili terimleri sağ tarafa taşıyın ve 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Bilinmeyeni bulmak için bir negatif sayıyı diğerine bölmeniz gerekir: x = (–15)/(–5). Ancak doğru cevap biliniyor ve şu sonuca varmak gerekiyor: (–15)/(–5) = 3 .

Bu basit örnek neyi gösteriyor? Öncelikle negatif sayılarla çalışmanın kurallarını belirleyen mantık netleşiyor: bu eylemlerin sonuçları, negatif sayılar olmadan başka bir şekilde elde edilen cevaplarla eşleşmelidir. İkinci olarak, negatif sayıların kullanımına izin vererek, tüm eylemlerin yalnızca doğal sayılar üzerinde gerçekleştirildiği sıkıcı (eğer denklem daha karmaşık hale gelirse, çok sayıda terimle) bir çözüm aramaktan kurtuluruz. Üstelik artık her seferinde dönüştürülen niceliklerin anlamlılığı hakkında düşünmeyebiliriz - ve bu zaten matematiği soyut bir bilime dönüştürme yolunda atılmış bir adımdır.

Sonuç olarak yeni bir kavram ortaya çıktı: yüzük. Bu yalnızca bir dizi öğe ve bunlar üzerinde gerçekleştirilebilecek eylemlerden oluşur. Buradaki temel kurallar kurallardır (bunlara kurallar denir) aksiyomlar), kümenin öğelerinin doğasına değil, eylemlere tabi olanlardır (işte burada, yeni bir soyutlama düzeyi!). Önemli olanın aksiyomları ortaya koyduktan sonra ortaya çıkan yapı olduğunu vurgulamak isteyen matematikçiler şöyle derler: bir tamsayılar halkası, bir polinomlar halkası vb. Aksiyomlardan yola çıkarak halkaların diğer özellikleri çıkarılabilir.

Yüzük geleneksel olarak toplama ve çarpma olarak adlandırılan iki ikili işlemden (yani her işlem halkanın iki öğesini içerir) ve aşağıdaki aksiyomlardan oluşan bir kümedir:

halkanın elemanlarının eklenmesi değişmeye tabidir ( Bir + B = B + bir herhangi bir element için A Ve B) ve ilişkisel ( Bir + (B + C) = (A + B) + C) kanunlar; halkada özel bir unsur var 0 (toplama yoluyla nötr eleman) öyle ki A+0=A ve herhangi bir öğe için A zıt bir unsur var (belirtilen) (-A)), Ne Bir + (–A) = 0;
çarpma, kombinasyon yasasına uyar: A·(B·C) = (A·B)·C;
Toplama ve çarpma, parantez açmaya ilişkin aşağıdaki kurallarla ilişkilidir: (A + B) C = Bir C + B C Ve bir (B + C) = A B + A C.

Şimdi bunu herhangi bir element için kanıtlıyoruz A Ve B keyfi bir halkanın doğru olduğu ilk olarak, (–A) B = –(A B), ve ikinci olarak (–(–A)) = A. Birimlerle ilgili ifadeler buradan kolayca çıkarılabilir: (–1) 1 = –(1 1) = –1 Ve (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1.

Bunu yapmak için bazı gerçekleri ortaya koymamız gerekecek. Öncelikle her elemanın yalnızca bir zıttı olabileceğini kanıtlıyoruz. Aslında, öğenin A iki zıtlık var: B Ve İLE. Yani A + B = 0 = A + C. Miktarı dikkate alalım A+B+C. Birleşme ve değişme yasalarını ve sıfırın özelliğini kullanarak, bir yandan toplamın şuna eşit olduğunu elde ederiz: B:B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C ve diğer taraftan eşittir C:A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Araç, B=C.

Şimdi şunu not edelim A, Ve (-(-A)) aynı elementin zıttıdır (-A) yani eşit olmaları gerekir.

İlk gerçek şu şekildedir: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, yani (–A)·B zıt A·B yani eşittir –(A B).

Matematiksel olarak titiz olmak için nedenini de açıklayalım 0·B = 0 herhangi bir eleman için B. Aslında, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Yani, ekleme 0·B tutarı değiştirmez. Yani bu çarpım sıfıra eşit.