İkinci dereceden bir denklemin çoklu kökü. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin tanımı ve örnekleri

Bunun, a, b ve c'nin bilinmeyen x için gerçek katsayılar olduğu ve a ≠ o ve b ve c'nin aynı anda sıfır olacağı ax 2 + bx + c = o eşitliğinin özel bir versiyonu olduğu bilinmektedir. ayrı ayrı. Örneğin, c = o, b ≠ o veya tam tersi. İkinci dereceden denklemin tanımını neredeyse hatırladık.

İkinci derece trinomial sıfırdır. İlk katsayısı a ≠ o, b ve c herhangi bir değeri alabilir. X değişkeninin değeri, ikame onu doğru bir sayısal eşitliğe dönüştürdüğünde olacaktır. Gerçek köklere odaklanalım, ancak denklemin çözümleri de olabilir. Katsayılardan hiçbirinin o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o'ya eşit olmadığı bir denklemi tam olarak adlandırmak gelenekseldir.
Bir örnek çözelim. 2x 2 -9x-5 = ah, buluyoruz
D = 81+40 = 121,
D pozitiftir, yani kökler vardır, x 1 = (9+√121):4 = 5 ve ikinci x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Kontrol etmek doğru olduklarından emin olmanıza yardımcı olacaktır.

İşte ikinci dereceden denklemin adım adım çözümü

Diskriminant kullanarak, sol tarafında bilinen bir denklem olan herhangi bir denklemi çözebilirsiniz. ikinci dereceden üç terimli bir ≠ o için. Örneğimizde. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

İkinci dereceden eksik denklemlerin ne olduğunu düşünelim

1. ax 2 +in = o. Serbest terim, x 0'daki c katsayısı, burada ≠ o'da sıfıra eşittir.
   Bu türden tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem nasıl çözülür? Parantez içinde x'i çıkaralım. İki faktörün çarpımının sıfıra eşit olduğu zamanı hatırlayalım.
   x(ax+b) = o, bu x = o veya ax+b = o olduğunda olabilir.
   2.yi çözdükten sonra x = -в/а elde ederiz.
   Sonuç olarak, x 2 = -b/a hesaplamalarına göre köklerimiz x 1 = 0'dır.
2. Şimdi x'in katsayısı o'ya eşittir ve c (≠) o'ya eşit değildir.
   x 2 +c = o. C'yi eşitliğin sağ tarafına taşıyalım, x 2 = -с elde ederiz. Bu denklemin yalnızca -c olduğunda gerçek kökleri vardır pozitif sayı(‹ o ile),
   x 1 sırasıyla √(-c)'ye eşit olur, x 2 ise -√(-c) olur. Aksi takdirde denklemin hiçbir kökü yoktur.
3. Son seçenek: b = c = o, yani ax 2 = o. Doğal olarak bu kadar basit bir denklemin tek kökü vardır: x = o.

Özel durumlar

Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin nasıl çözüleceğine baktık ve şimdi herhangi bir türü ele alalım.

• Tam ikinci dereceden bir denklemde, x'in ikinci katsayısı şöyledir: çift ​​sayı.
  k = o.5b olsun. Diskriminant ve kökleri hesaplamak için formüllerimiz var.
  D/4 = k 2 - ac, D › o için kökler x 1,2 = (-k±√(D/4))/a olarak hesaplanır.
  D = o'da x = -k/a.
  D ‹ o için kök yoktur.
• Verilenler var ikinci dereceden denklemler x kare katsayısı 1 olduğunda genellikle x 2 +рх+ q = o şeklinde yazılır. Yukarıdaki formüllerin tümü onlar için geçerlidir, ancak hesaplamalar biraz daha basittir.
  Örnek, x 2 -4x-9 = 0. D: 2 2 +9, D = 13'ü hesaplayın.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• Ayrıca verilenlere uygulanması da kolaydır, denklemin köklerinin toplamının -p'ye eşit olduğunu, ikinci katsayının eksi (karşıt işaret anlamına gelir) olduğunu ve aynı köklerin çarpımının olacağını söylüyor. serbest terim olan q'ya eşit olsun. Bu denklemin köklerini sözlü olarak belirlemenin ne kadar kolay olacağını görün. İndirgenmemiş katsayılar için (sıfıra eşit olmayan tüm katsayılar için), bu teorem şu şekilde uygulanabilir: x 1 + x 2 toplamı -b/a'ya eşittir, x 1 ·x 2 çarpımı c/a'ya eşittir.

Serbest terim c ile birinci katsayı a'nın toplamı b katsayısına eşittir. Bu durumda, denklemin en az bir kökü vardır (kanıtlanması kolaydır), birincisi zorunlu olarak -1'e ve varsa ikincisi -c/a'ya eşit olacaktır. Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi kendiniz nasıl çözeceğinizi kontrol edebilirsiniz. Daha basit olamazdı. Katsayılar birbirleriyle belirli ilişkiler içinde olabilir.

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• Tüm katsayıların toplamı o'ya eşittir.
  Böyle bir denklemin kökleri 1 ve c/a'dır. Örnek, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Çeşitli ikinci derece denklemleri çözmenin başka yolları da vardır. Örneğin burada belirli bir polinomdan tam bir kare çıkarmak için bir yöntem var. Birkaç grafiksel yöntem vardır. Bu tür örneklerle sık sık karşılaştığınızda, tohum gibi “tıklamayı” öğreneceksiniz çünkü tüm yöntemler otomatik olarak aklınıza geliyor.

5x(x-4) = 0

5 x = 0 veya x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Birinci dereceden denklemleri çözmeyi öğrendikten sonra, elbette başkalarıyla, özellikle ikinci dereceden denklemlerle, aksi takdirde ikinci dereceden olarak adlandırılanlarla çalışmak istersiniz.

İkinci dereceden denklemler ax² + bx + c = 0 gibi değişkenin x olduğu, sayıların a, b, c olduğu, a'nın sıfıra eşit olmadığı denklemlerdir.

İkinci dereceden bir denklemde katsayılardan biri veya diğeri (c veya b) sıfıra eşitse, bu denklem tamamlanmamış ikinci dereceden denklem olarak sınıflandırılacaktır.

Öğrenciler şimdiye kadar yalnızca birinci dereceden denklemleri çözebilmişse, tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem nasıl çözülür? Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri düşünün farklı türler Ve basit yollar onların kararları.

a) Eğer c katsayısı 0'a eşitse ve b katsayısı sıfıra eşit değilse, ax ² + bx + 0 = 0, ax ² + bx = 0 formundaki bir denkleme indirgenir.

Böyle bir denklemi çözmek için, eksik ikinci dereceden bir denklemi çözme formülünü bilmeniz gerekir; bu, sol tarafının çarpanlara ayrılmasından ve daha sonra ürünün sıfıra eşit olması koşulunun kullanılmasından oluşur.

Örneğin, 5x² - 20x = 0. Her zamanki matematik işlemini gerçekleştirirken denklemin sol tarafını çarpanlara ayırıyoruz: ortak çarpanı parantezlerden çıkarıyoruz

5x(x-4) = 0

Çarpımların sıfıra eşit olması koşulunu kullanıyoruz.

5 x = 0 veya x - 4 = 0

Cevap şu olacaktır: ilk kök 0'dır; ikinci kök 4'tür.

b) Eğer b = 0 ve serbest terim sıfıra eşit değilse, ax ² + 0x + c = 0 denklemi ax ² + c = 0 formundaki bir denkleme indirgenir. Denklemler iki şekilde çözülür. : a) Denklemin sol tarafındaki polinomunu çarpanlara ayırarak; b) aritmetik karekökün özelliklerini kullanmak. Böyle bir denklem aşağıdaki yöntemlerden biri kullanılarak çözülebilir:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Cevap şu olacak: ilk kök 5/2; ikinci kök - 5/2'ye eşittir.

c) Eğer b 0'a ve c 0'a eşitse, ax ² + 0 + 0 = 0, ax ² = 0 formundaki bir denkleme indirgenir. Böyle bir denklemde x, 0'a eşit olacaktır.

Gördüğünüz gibi, tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin ikiden fazla kökü olamaz.

Hadi birlikte çalışalım ikinci dereceden denklemler. Bunlar çok popüler denklemler! tam olarak genel görünüm ikinci dereceden denklem şuna benzer:

Örneğin:

Burada A =1; B = 3; C = -4

Burada A =2; B = -0,5; C = 2,2

Burada A =-3; B = 6; C = -18

Peki, anlıyorsun...

İkinci dereceden denklemler nasıl çözülür?Önünüzde bu formda ikinci dereceden bir denklem varsa, o zaman her şey basittir. Haydi hatırlayalım sihirli kelime ayrımcı . Nadiren bir lise öğrencisi bu kelimeyi duymamıştır! “Ayrımcı aracılığıyla çözüyoruz” ifadesi güven ve güvence veriyor. Çünkü ayrımcıdan hile beklemeye gerek yok! Kullanımı basit ve sorunsuzdur. Yani ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü şöyle görünür:

Kök işaretinin altındaki ifade ayrımcı. Gördüğünüz gibi X'i bulmak için şunu kullanıyoruz: sadece a, b ve c. Onlar. ikinci dereceden bir denklemin katsayıları. Değerleri dikkatlice değiştirin a, b ve c Hesapladığımız formül bu. Hadi değiştirelim kendi işaretlerinle! Örneğin, ilk denklem için A =1; B = 3; C= -4. İşte bunu yazıyoruz:

Örnek neredeyse çözüldü:

İşte bu.

Bu formülü kullanırken hangi durumlar mümkündür? Sadece üç vaka var.

1. Diskriminant pozitiftir. Bu, kökün ondan çıkarılabileceği anlamına gelir. Kökün iyi mi yoksa kötü mü çıkarıldığı farklı bir sorudur. Önemli olan prensipte neyin çıkarıldığıdır. O halde ikinci dereceden denkleminizin iki kökü vardır. İki farklı çözüm.

2. Diskriminant sıfırdır. O zaman tek bir çözümünüz var. Aslına bakılırsa bu tek bir kök değil, iki özdeş. Ancak bu, konuyu daha ayrıntılı olarak inceleyeceğimiz eşitsizliklerde rol oynuyor.

3. Diskriminant negatiftir. İtibaren negatif sayı karekökçıkarılmadı. Oh iyi. Bu, hiçbir çözümün olmadığı anlamına gelir.

Çok basit. Peki hata yapmanın imkansız olduğunu mu düşünüyorsun? Evet, nasıl...
En yaygın hatalar işaret değerleriyle karışıklıktır a, b ve c. Daha doğrusu, işaretleriyle değil (nerede karıştırılmalı?), Kökleri hesaplama formülüne negatif değerlerin eklenmesiyle. Burada yardımcı olan, formülün belirli sayılarla ayrıntılı bir şekilde kaydedilmesidir. Hesaplamalarda sorun varsa, bunu yap!

Aşağıdaki örneği çözmemiz gerektiğini varsayalım:

Burada bir = -6; b = -5; c = -1

Diyelim ki ilk seferde nadiren yanıt alabildiğinizi biliyorsunuz.

Tembel olmayın. Fazladan bir satır ve hata sayısı yazmak yaklaşık 30 saniye sürecektir. keskin bir şekilde azalacak. Bu yüzden tüm parantez ve işaretlerle birlikte ayrıntılı olarak yazıyoruz:

Bu kadar dikkatli yazmak inanılmaz derecede zor görünüyor. Ama sadece öyle görünüyor. Bir deneyin. Peki ya da seç. Hangisi daha iyi, hızlı mı yoksa doğru mu? Üstelik seni mutlu edeceğim. Bir süre sonra her şeyi bu kadar dikkatli yazmaya gerek kalmayacak. Kendi kendine düzelecektir. Özellikle aşağıda açıklanan pratik teknikleri kullanıyorsanız. Pek çok eksiği olan bu kötü örnek, kolayca ve hatasız çözülebilir!

Bu yüzden, ikinci dereceden denklemler nasıl çözülür hatırladığımız diskriminant aracılığıyla. Veya öğrendiler ki bu da iyi. Nasıl doğru bir şekilde belirleneceğini biliyorsun a, b ve c. Nasıl olduğunu biliyor musun? dikkatle bunları kök formülde değiştirin ve dikkatle sonucu sayın. Buradaki anahtar kelimenin şu olduğunu anlıyorsunuz: dikkatle mi?

Ancak ikinci dereceden denklemler genellikle biraz farklı görünür. Örneğin şöyle:

Bu tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler . Ayrıca diskriminantla da çözülebilirler. Sadece burada neye eşit olduklarını doğru anlamanız gerekiyor. a, b ve c.

Anladın mı? İlk örnekte bir = 1; b = -4; A C? Hiç orada değil! Evet, doğru. Matematikte bu şu anlama gelir: c = 0 ! İşte bu. Bunun yerine formülde sıfırı değiştirin C, ve başaracağız. İkinci örnekle aynı. Yalnız burada sıfır yok İle, A B !

Ancak tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler çok daha basit bir şekilde çözülebilir. Hiçbir ayrım yapmadan. İlkini ele alalım tamamlanmamış denklem. Sol tarafta ne yapabilirsiniz? X'i parantezlerden çıkarabilirsiniz! Hadi çıkaralım.

Peki bundan ne haber? Ve çarpımın sıfıra eşit olması ancak ve ancak faktörlerden herhangi birinin sıfıra eşit olması durumunda! Bana inanmıyor musun? Tamam, o zaman çarpıldığında sıfır verecek iki sıfır olmayan sayı bulun!
Çalışmıyor mu? İşte bu...
Bu nedenle güvenle yazabiliriz: x = 0, veya x = 4

Tüm. Bunlar denklemimizin kökleri olacak. Her ikisi de uygundur. Bunlardan herhangi birini orijinal denklemde yerine koyduğumuzda doğru özdeşliği 0 = 0 elde ederiz. Gördüğünüz gibi çözüm, diskriminant kullanmaktan çok daha basittir.

İkinci denklem de basit bir şekilde çözülebilir. 9'u sağ tarafa taşıyın. Şunu elde ederiz:

Geriye kalan tek şey 9'dan kökü çıkarmak, hepsi bu. Ortaya çıkacak:

Ayrıca iki kök . x = +3 ve x = -3.

Tüm tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler bu şekilde çözülür. Ya X'i parantezlerin dışına yerleştirerek ya da sayıyı sağa taşıyıp ardından kökü çıkartarak.
Bu teknikleri karıştırmak son derece zordur. Basitçe, çünkü ilk durumda X'in kökünü çıkarmak zorunda kalacaksınız ki bu bir şekilde anlaşılmazdır ve ikinci durumda parantez içinde çıkarılacak hiçbir şey yoktur...

Şimdi hata sayısını önemli ölçüde azaltan pratik teknikleri not edin. Dikkatsizlikten kaynaklananların aynısı... Daha sonra acı verici ve rencide edici hale gelenler...

İlk randevu. İkinci dereceden bir denklemi çözmeden önce tembel olmayın ve onu standart görünüm. Bu ne anlama gelir?
Diyelim ki tüm dönüşümlerden sonra aşağıdaki denklemi elde ettiniz:

Kök formülünü yazmak için acele etmeyin! Neredeyse kesinlikle oranları karıştıracaksınız a, b ve c.Örneği doğru şekilde oluşturun. Önce X'in karesi, sonra karesiz, sonra da serbest terim. Bunun gibi:

Ve yine acele etmeyin! X karesinin önündeki eksi sizi gerçekten üzebilir. Unutmak kolaydır... Eksilerden kurtulun. Nasıl? Evet, önceki konuda öğretildiği gibi! Denklemin tamamını -1 ile çarpmamız gerekiyor. Şunu elde ederiz:

Ancak artık köklerin formülünü güvenle yazabilir, diskriminantı hesaplayabilir ve örneği çözmeyi tamamlayabilirsiniz. Kendiniz karar verin. Artık 2 ve -1 köklerine sahip olmalısınız.

Resepsiyon ikinci. Kökleri kontrol edin! Vieta teoremine göre. Korkma, her şeyi açıklayacağım! Kontrol ediliyor son denklem. Onlar. kök formülü yazarken kullandığımız formül. Eğer (bu örnekte olduğu gibi) katsayı bir = 1, kökleri kontrol etmek kolaydır. Bunları çoğaltmak yeterlidir. Sonuç ücretsiz bir üye olmalıdır, yani. bizim durumumuzda -2. Lütfen dikkat, 2 değil, -2! Ücretsiz üye senin burcunla . Eğer işe yaramazsa, bu zaten bir yerlerde hata yaptığınız anlamına gelir. Hatayı arayın. İşe yararsa kökleri eklemeniz gerekir. Son ve son kontrol. Katsayı şu şekilde olmalıdır: Bİle zıt aşina. Bizim durumumuzda -1+2 = +1. bir katsayı B X'ten önce gelen -1'e eşittir. Yani her şey doğru!
Bunun yalnızca x karenin saf olduğu ve katsayılı olduğu örnekler için bu kadar basit olması üzücü bir = 1. Ama en azından bu tür denklemleri kontrol edin! Tüm daha az hata irade.

Üçüncü resepsiyon. Denkleminizin kesirli katsayıları varsa kesirlerden kurtulun! Denklemi, yukarıda açıklandığı gibi ortak bir paydayla çarpın. önceki bölüm. Kesirlerle çalışırken bazı nedenlerden dolayı hatalar ortaya çıkmaya devam ediyor...

Bu arada, kötü örneği bir sürü eksiyle basitleştireceğime söz verdim. Lütfen! İşte burada.

Eksilerle karıştırılmamak için denklemi -1 ile çarpıyoruz. Şunu elde ederiz:

İşte bu! Çözmek bir zevktir!

O halde konuyu özetleyelim.

Pratik tavsiyeler:

1. Çözmeden önce ikinci dereceden denklemi standart forma getirip oluşturuyoruz Sağ.

2. X karenin önünde negatif bir katsayı varsa denklemin tamamını -1 ile çarparak onu ortadan kaldırırız.

3. Katsayılar kesirli ise denklemin tamamını karşılık gelen faktörle çarparak kesirleri ortadan kaldırırız.

4. Eğer x kare safsa katsayısı bire eşitse çözüm Vieta teoremi kullanılarak kolayca doğrulanabilir. Yap!

Kesirli denklemler. ODZ.

Denklemlere hakim olmaya devam ediyoruz. Doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerle nasıl çalışılacağını zaten biliyoruz. Geriye kalan son görünüm - kesirli denklemler. Veya çok daha saygın bir şekilde çağrılırlar - kesirli rasyonel denklemler. Aynı şey.

Kesirli denklemler.

Adından da anlaşılacağı gibi bu denklemlerin mutlaka kesirler içermesi gerekir. Ama sadece kesirler değil, aynı zamanda sahip olan kesirler paydada bilinmiyor. En azından birinde. Örneğin:

Size şunu hatırlatmama izin verin, eğer paydalar sadece sayılar bunlar doğrusal denklemlerdir.

Nasıl karar verilir? kesirli denklemler? Öncelikle kesirlerden kurtulun! Bundan sonra denklem çoğunlukla doğrusal veya ikinci dereceden hale gelir. Sonra da ne yapacağımızı biliyoruz... Bazı durumlarda 5=5 gibi bir özdeşliğe veya 7=2 gibi yanlış bir ifadeye dönüşebiliyor. Ancak bu nadiren olur. Aşağıda buna değineceğim.

Ama kesirlerden nasıl kurtuluruz!? Çok basit. Aynı özdeş dönüşümlerin uygulanması.

Denklemin tamamını aynı ifadeyle çarpmamız gerekiyor. Böylece tüm paydalar azaltılır! Her şey hemen kolaylaşacak. Bir örnekle açıklayayım. Denklemi çözmemiz gerekiyor:

İlkokulda nasıl eğitildiniz? Her şeyi bir tarafa taşıyoruz, ortak bir paydaya getiriyoruz vb. Nasıl olduğunu unut kötü rüya! Kesirleri eklerken veya çıkarırken yapmanız gereken şey budur. Veya eşitsizliklerle çalışırsınız. Ve denklemlerde, hemen her iki tarafı da bize tüm paydaları azaltma fırsatı verecek bir ifadeyle (yani özünde ortak bir paydayla) çarpıyoruz. Peki bu ifade nedir?

Sol tarafta, paydayı azaltmak için şununla çarpılması gerekir: x+2. Sağda ise 2 ile çarpmak gerekiyor. Bu da denklemin ile çarpılması gerektiği anlamına geliyor. 2(x+2). Çarp:

Bu, kesirlerin yaygın bir çarpımıdır, ancak bunu ayrıntılı olarak açıklayacağım:

Braketi henüz açmadığımı lütfen unutmayın (x + 2)! O yüzden tamamını yazıyorum:

Sol tarafta tamamen kasılır (x+2), ve sağda 2. Gereken de buydu! İndirgemeden sonra elde ederiz doğrusal denklem:

Ve herkes bu denklemi çözebilir! x = 2.

Biraz daha karmaşık olan başka bir örneği çözelim:

3 = 3/1 olduğunu hatırlarsak ve 2x = 2x/ 1, şunu yazabiliriz:

Ve yine gerçekten sevmediğimiz şeylerden - kesirlerden - kurtuluyoruz.

Paydayı X ile azaltmak için kesri şununla çarpmamız gerektiğini görüyoruz: (x – 2). Ve birkaçı bizim için engel değil. Peki çarpalım. Tüm sol taraf ve Tümü sağ taraf:

Tekrar parantez (x – 2) Açıklamıyorum. Parantezle bir bütün olarak sanki tek bir sayıymış gibi çalışıyorum! Bu her zaman yapılmalıdır, aksi takdirde hiçbir şey azalmayacaktır.

Derin bir tatmin duygusuyla azaltıyoruz (x – 2) ve cetvelle kesir içermeyen bir denklem elde ediyoruz!

Şimdi parantezleri açalım:

Benzerlerini getiriyoruz, her şeyi sol tarafa taşıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

Klasik ikinci dereceden denklem. Ancak önümüzdeki eksi iyi değil. Her zaman -1 ile çarparak veya bölerek bundan kurtulabilirsiniz. Ancak örneğe yakından bakarsanız, bu denklemi -2'ye bölmenin en iyisi olduğunu fark edeceksiniz! Bir anda eksi ortadan kaybolacak ve oranlar daha cazip hale gelecek! -2'ye bölün. Sol tarafta - terim terim ve sağda - sıfırı -2'ye (sıfır) bölerseniz şunu elde ederiz:

Diskriminant aracılığıyla çözüyoruz ve Vieta teoremini kullanarak kontrol ediyoruz. Aldık x = 1 ve x = 3. İki kök.

Gördüğünüz gibi ilk durumda dönüşümden sonra denklem doğrusal hale geldi, ancak burada ikinci dereceden hale geliyor. Kesirlerden kurtulduktan sonra tüm X'ler azalır. Geriye 5=5 gibi bir şey kalıyor. Bu şu anlama geliyor x herhangi bir şey olabilir. Ne olursa olsun yine de azalacak. Ve bunun saf gerçek olduğu ortaya çıkıyor: 5=5. Ancak kesirlerden kurtulduktan sonra 2=7 gibi tamamen yanlış olduğu ortaya çıkabilir. Ve bu şu anlama geliyor çözüm yok! Herhangi bir X'in doğru olmadığı ortaya çıkıyor.

Gerçekleştirilmiş ana yolçözümler kesirli denklemler? Basit ve mantıklıdır. Hoşumuza gitmeyen her şeyin kaybolması için orijinal ifadeyi değiştiriyoruz. Veya müdahale ediyor. Bu durumda bunlar kesirlerdir. Aynısını her türlü yapacağız karmaşık örnekler logaritmalar, sinüsler ve diğer dehşetlerle. Biz Her zaman Bütün bunlardan kurtulalım.

Ancak orijinal ifadeyi ihtiyacımız olan yönde değiştirmemiz gerekiyor. kurallara göre, evet... Ustalığı matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlıktır. Yani bunda ustalaşıyoruz.

Şimdi bunlardan birini nasıl atlayacağımızı öğreneceğiz. Birleşik Devlet Sınavında ana pusu! Ama önce bakalım bu duruma düşecek misiniz, düşmeyecek misiniz?

Basit bir örneğe bakalım:

Konu zaten tanıdık, her iki tarafı da çarpıyoruz (x – 2), şunu elde ederiz:

Parantezle hatırlatırım (x – 2) Sanki tek bir bütünsel ifadeyle çalışıyoruz!

Burada artık paydalara bir tane yazmadım, onursuz... Ve paydalara parantez çizmedim, hariç x – 2 hiçbir şey yok, çizmene gerek yok. Kısaltalım:

Parantezleri açın, her şeyi sola taşıyın ve benzerlerini verin:

Çözüyoruz, kontrol ediyoruz, iki kök alıyoruz. x = 2 Ve x = 3. Harika.

Ödevin kökü veya birden fazla kök varsa bunların toplamını yazmanız gerektiğini varsayalım. Ne yazacağız?

Cevabın 5 olduğuna karar verirseniz, pusuya düşürüldü. Ve görev size verilmeyecektir. Boşuna çalıştılar... Doğru cevap 3.

Sorun ne?! Ve bir kontrol yapmaya çalışıyorsun. Bilinmeyenlerin değerlerini yerine koyun orijinalörnek. Ve eğer x = 3 her şey harika bir şekilde birlikte büyüyecek, 9 = 9 elde edeceğiz, o zaman x = 2 Sıfıra bölünme olacak! Kesinlikle yapamayacağınız şey. Araç x = 2 bir çözüm değildir ve cevapta dikkate alınmaz. Bu sözde yabancı veya ekstra köktür. Sadece onu atıyoruz. Son kök birdir. x = 3.

Nasıl yani?! – Öfkeli ünlemler duyuyorum. Bize bir denklemin bir ifadeyle çarpılabileceği öğretildi! Bu aynı dönüşüm!

Evet, aynı. Şu tarihte: küçük durum– çarptığımız (böldüğümüz) ifade – sıfırdan farklı. A x – 2 en x = 2 sıfıra eşittir! Yani her şey adil.

Peki şimdi ne yapmalıyız? İfadeyle çarpmıyor musunuz? Her seferinde kontrol etmeli miyim? Yine belirsiz!

Sakin ol! Panik yapma!

Bu zor durumda bizi üç sihirli harf kurtaracak. Ne düşündüğünü biliyorum. Sağ! Bu ODZ . Kabul Edilebilir Değerler Alanı.

Tam bir ikinci dereceden denklemin tamamlanmamış bir denkleme dönüştürülmesi şuna benzer (\(b=0\ durumu için):

\(c=0\) veya her iki katsayının sıfıra eşit olduğu durumlarda her şey benzerdir.

Lütfen \(a\)'nın sıfıra eşit olmasının söz konusu olmadığını unutmayın; bu durumda şuna dönüşecektir:

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü.

Her şeyden önce, tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklemin hala bir olduğunu ve bu nedenle sıradan bir ikinci dereceden denklemle aynı şekilde (üzerinden) çözülebileceğini anlamalısınız. Bunu yapmak için denklemin eksik bileşenini sıfır katsayılı olarak ekleriz.

Örnek : \(3x^2-27=0\) denkleminin köklerini bulun
Çözüm :

Cevap : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Örnek : \(-x^2+x=0\) denkleminin köklerini bulun
Çözüm :

İkinci dereceden denklem problemleri de incelenmektedir. okul müfredatı ve üniversitelerde. a*x^2 + b*x + c = 0 formundaki denklemleri kastediyorlar; X- değişken, a, b, c – sabitler; A<>0. Görev denklemin köklerini bulmaktır.

İkinci dereceden denklemin geometrik anlamı

İkinci dereceden bir denklemle temsil edilen bir fonksiyonun grafiği bir paraboldür. İkinci dereceden bir denklemin çözümleri (kökleri), parabolün apsis (x) ekseni ile kesişme noktalarıdır. Buradan üç olası durumun olduğu anlaşılmaktadır:
1) parabolün apsis ekseni ile kesişme noktası yoktur. Bu, dalları yukarı bakacak şekilde üst düzlemde veya dalları aşağı bakacak şekilde altta olduğu anlamına gelir. Bu gibi durumlarda, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur (iki karmaşık kökü vardır).

2) parabolün Ox ekseni ile bir kesişme noktası vardır. Böyle bir noktaya parabolün tepe noktası denir ve buradaki ikinci dereceden denklem minimum veya maksimum değerini alır. Bu durumda, ikinci dereceden denklemin bir gerçek kökü (veya iki özdeş kökü) vardır.

3) Son durum pratikte daha ilginçtir - parabolün apsis ekseni ile kesiştiği iki nokta vardır. Bu, denklemin iki gerçek kökü olduğu anlamına gelir.

Değişkenlerin kuvvetlerinin katsayılarının analizine dayanarak parabolün yerleşimi hakkında ilginç sonuçlar çıkarılabilir.

1) a katsayısı sıfırdan büyükse parabolün dalları yukarı doğru, negatifse parabolün dalları aşağı doğru yönelir.

2) Eğer b katsayısı sıfırdan büyükse, parabolün tepe noktası sol yarı düzlemde yer alır. negatif değer- sonra sağda.

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için formülün türetilmesi

Sabiti ikinci dereceden denklemden aktaralım

eşittir işareti için ifadeyi elde ederiz

Her iki tarafı da 4a ile çarpın

Solda tam bir kare elde etmek için her iki tarafa da b^2 ekleyin ve dönüşümü gerçekleştirin

Buradan buluyoruz

İkinci dereceden bir denklemin diskriminant formülü ve kökleri

Diskriminant, radikal ifadenin değeridir. Pozitifse, denklemin formülle hesaplanan iki gerçek kökü vardır. Diskriminant sıfır olduğunda ikinci dereceden denklemin tek bir çözümü vardır (iki çakışan kök), bu da yukarıdaki D=0 formülünden kolayca elde edilebilir. Diskriminant negatif olduğunda denklemin gerçek kökleri yoktur. Ancak ikinci dereceden denklemin çözümleri karmaşık düzlemde bulunur ve değerleri aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır.

Vieta teoremi

İkinci dereceden bir denklemin iki kökünü ele alalım ve bunlara dayanarak ikinci dereceden bir denklem oluşturalım. Vieta teoreminin kendisi aşağıdaki gösterimden kolaylıkla çıkar: Eğer elimizde ikinci dereceden bir denklem varsa. bu durumda köklerinin toplamı, alınan p katsayısına eşittir. karşıt işaret ve denklemin köklerinin çarpımı serbest terim q'ya eşittir. Yukarıdaki formül şuna benzeyecektir: Klasik bir denklemde a sabiti sıfırdan farklıysa, o zaman tüm denklemi buna bölmeniz ve ardından Vieta teoremini uygulamanız gerekir.

İkinci dereceden denklem programını çarpanlara ayırma

Görev belirlensin: İkinci dereceden bir denklemi çarpanlarına ayırın. Bunu yapmak için önce denklemi çözeriz (kökleri buluruz). Daha sonra, bulunan kökleri ikinci dereceden denklemin açılım formülüne koyarız. Bu sorunu çözecektir.

İkinci dereceden denklem problemleri

Görev 1. İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulun

x^2-26x+120=0 .

Çözüm: Katsayıları yazın ve bunları diskriminant formülünde değiştirin.

Kökü verilen değer 14'e eşittir, hesap makinesiyle bulmak kolaydır veya sık kullanımla hatırlanır, ancak kolaylık sağlamak için makalenin sonunda bu tür problemlerde sıklıkla karşılaşılabilecek sayıların karelerinin bir listesini size vereceğim.
Bulunan değeri kök formülde değiştiririz

ve alıyoruz

Görev 2. Denklemi çöz

2x2 +x-3=0.

Çözüm: İkinci dereceden tam bir denklemimiz var, katsayıları yazıyoruz ve diskriminantı buluyoruz


İle bilinen formüller ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulma

Görev 3. Denklemi çöz

9x2 -12x+4=0.

Çözüm: İkinci dereceden tam bir denklemimiz var. Diskriminantın belirlenmesi

Köklerin çakıştığı bir durumla karşı karşıyayız. Formülü kullanarak köklerin değerlerini bulun

Görev 4. Denklemi çöz

x^2+x-6=0 .

Çözüm: X'in katsayılarının küçük olduğu durumlarda Vieta teoreminin uygulanması tavsiye edilir. Durumuna göre iki denklem elde ederiz

İkinci koşuldan çarpımın -6'ya eşit olması gerektiğini buluyoruz. Bu, köklerden birinin negatif olduğu anlamına gelir. Aşağıdaki olası çözüm çiftine sahibiz (-3;2), (3;-2) . İlk koşulu dikkate alarak ikinci çözüm çiftini reddediyoruz.
Denklemin kökleri eşittir

Problem 5. Çevresi 18 cm ve alanı 77 cm2 olan bir dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulun.

Çözüm: Dikdörtgenin çevresinin yarısı komşu kenarlarının toplamına eşittir. Büyük kenar olarak x'i gösterelim, o zaman 18-x küçük kenar olsun. Dikdörtgenin alanı bu uzunlukların çarpımına eşittir:
x(18-x)=77;
veya
x 2 -18x+77=0.
Denklemin diskriminantını bulalım

Denklemin köklerinin hesaplanması

Eğer x=11, O 18'ler=7 , bunun tersi de doğrudur (eğer x=7 ise 21'ler=9).

Problem 6. İkinci dereceden denklemi 10x 2 -11x+3=0 çarpanlarına ayırın.

Çözüm: Denklemin köklerini hesaplayalım, bunun için diskriminantı bulalım

Bulunan değeri kök formüle koyarız ve hesaplarız

İkinci dereceden bir denklemi köklere göre ayrıştırmak için formülü uyguluyoruz

Parantezleri açarak bir kimlik elde ederiz.

Parametreli ikinci dereceden denklem

Örnek 1. Hangi parametre değerlerinde A ,(a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 denkleminin tek kökü var mı?

Çözüm: a=3 değerini doğrudan yerine koyarsak çözümü olmadığını görürüz. Daha sonra, sıfır diskriminantlı denklemin çokluk 2'nin bir köküne sahip olduğu gerçeğini kullanacağız. Diskriminantını yazalım

Sadeleştirip sıfıra eşitleyelim

a parametresine göre çözümü Vieta teoremi kullanılarak kolaylıkla elde edilebilen ikinci dereceden bir denklem elde ettik. Köklerin toplamı 7, çarpımı 12'dir. Basit bir arama yaparak 3,4 sayılarının denklemin kökleri olacağını tespit ederiz. Hesaplamaların başında a=3 çözümünü zaten reddettiğimiz için tek doğru çözüm şu olacaktır: a=4. Dolayısıyla a=4 için denklemin bir kökü vardır.

Örnek 2. Hangi parametre değerlerinde A , denklem a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 birden fazla kökü var mı?

Çözüm: Öncelikle tekil noktaları ele alalım, bunlar a=0 ve a=-3 değerleri olacaktır. a=0 olduğunda denklem 6x-9=0 şeklinde basitleştirilecektir; x=3/2 ve bir kök olacak. a= -3 için 0=0 kimliğini elde ederiz.
Diskriminantı hesaplayalım

ve a'nın pozitif olduğu değerini bulun

İlk koşuldan a>3 elde ederiz. İkinci olarak denklemin diskriminantını ve köklerini buluyoruz.


Fonksiyonun pozitif değer aldığı aralıkları belirleyelim. a=0 noktasını değiştirerek şunu elde ederiz: 3>0 . Yani (-3;1/3) aralığının dışında fonksiyon negatiftir. Asıl noktayı unutma a=0, orijinal denklemin içinde bir kökü olduğundan bu hariç tutulmalıdır.
Sonuç olarak problemin koşullarını sağlayan iki aralık elde ederiz.

Pratikte pek çok benzer görev olacak, görevleri kendiniz çözmeye çalışın ve birbirini dışlayan koşulları hesaba katmayı unutmayın. İkinci dereceden denklemleri çözmek için kullanılan formülleri iyi inceleyin; bunlara hesaplama yaparken sıklıkla ihtiyaç duyulur; farklı görevler ve bilimler.