Karekök. Kareköklü işlemler

Özellikler karekökler

Şu ana kadar sayılar üzerinde beş aritmetik işlem gerçekleştirdik: toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma ve hesaplamalarda bu işlemlerin çeşitli özellikleri aktif olarak kullanılmıştır, örneğin a + b = b + a, an-bn = (ab)n, vb.

Bu bölümde yeni bir işlem tanıtılmaktadır: çıkarma karekök negatif olmayan bir sayıdan. Başarılı bir şekilde kullanmak için bu bölümde yapacağımız bu işlemin özelliklerine aşina olmanız gerekir.

Kanıt. Aşağıdaki gösterimi tanıtalım: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="Eşitlik" width="120" height="25 id=">!}.

Bir sonraki teoremi tam olarak bu şekilde formüle edeceğiz.

(Pratikte kullanımı daha uygun olan kısa bir formülasyon: bir kesrin kökü, köklerin kesrine eşittir veya bölümün kökü, köklerin bölümüne eşittir.)

Bu sefer ispatın sadece kısa bir özetini vereceğiz ve siz de Teorem 1'in ispatının özünü oluşturan yorumlara benzer uygun yorumlar yapmaya çalışacaksınız.

Not 3. Elbette bu örnek, özellikle elinizde bir mikro hesap makinesi varsa farklı şekilde çözülebilir: 36, 64, 9 sayılarını çarpın ve ardından ortaya çıkan çarpımın karekökünü alın. Ancak yukarıda önerilen çözümün daha kültürel göründüğünü kabul edeceksiniz.

Not 4. İlk yöntemde hesaplamaları “kafa kafaya” yaptık. İkinci yol daha zariftir:
başvurduk formül a2 - b2 = (a - b) (a + b) ve karekök özelliğini kullandı.

Not 5. Bazı "ateşli kafalar" bazen Örnek 3'e bu "çözüm"ü sunar:

Bu elbette doğru değil: Görüyorsunuz - sonuç örnek 3'teki ile aynı değil. Gerçek şu ki hiçbir özellik yok https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="Görev" width="148" height="26 id=">!} Yalnızca kareköklerin çarpma ve bölünmesiyle ilgili özellikler vardır. Dikkatli ve dikkatli olun, arzulu düşüncelere kapılmayın.

Bu paragrafı bitirirken oldukça basit ve aynı zamanda bir şeye daha dikkat edelim. önemli özellik:
a > 0 ve n ise - doğal sayı, O

Karekök İşlemi İçeren İfadeleri Dönüştürme

Şu ana kadar yalnızca dönüşümler gerçekleştirdik rasyonel ifadeler bunun için polinomlara ilişkin eylem kurallarını kullanarak ve cebirsel kesirler, kısaltılmış çarpma formülleri vb. Bu bölümde yeni bir işlemi tanıttık: karekök işlemi; bunu tespit ettik

burada, geri çağırma, a, b negatif olmayan sayılardır.

Bunları kullanmak formüller karekök işlemi içeren ifadeler üzerinde çeşitli dönüşümler gerçekleştirebilirsiniz. Birkaç örneğe bakalım ve tüm örneklerde değişkenlerin yalnızca negatif olmayan değerler aldığını varsayacağız.

Örnek 3.Çarpanı karekök işaretinin altına girin:

Örnek 6. Çözüm ifadesini basitleştirin. Sıralı dönüşümler gerçekleştirelim:

Bir x sayısının karekökü bir a sayısıdır ve kendisiyle çarpıldığında x sayısını verir: a * a = a^2 = x, √x = a. Her sayıda olduğu gibi, toplama ve çıkarma aritmetik işlemlerini kareköklerle gerçekleştirebilirsiniz.

Talimatlar

Öncelikle karekökleri toplarken bu kökleri çıkarmaya çalışın. Kök işaretinin altındaki sayılar tam kare ise bu mümkün olacaktır. Örneğin √4 + √9 ifadesi verilsin. İlk 4 sayısı 2 sayısının karesidir. İkinci 9 sayısı da 3 sayısının karesidir. Böylece şu ortaya çıkar: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
Kök işaretinin altında tam kare yoksa, sayının çarpanını kök işaretinin altından kaldırmaya çalışın. Örneğin √24 + √54 ifadesi verilsin. Sayıları çarpanlara ayırın: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. 24 sayısının karekök işareti altında çıkarılabilecek 4 çarpanı vardır. 54 sayısının çarpanı 9'dur. Böylece şu ortaya çıkar: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . İÇİNDE bu örnekte Faktörün kök işaretinin altından çıkarılması sonucunda verilen ifadenin basitleştirilmesi mümkün olmuştur.
İki karekökün toplamı bir kesrin paydası olsun, örneğin A / (√a + √b). Ve göreviniz "paydadaki irrasyonellikten kurtulmak" olsun. Daha sonra aşağıdaki yöntemi kullanabilirsiniz. Kesrin payını ve paydasını √a - √b ifadesiyle çarpın. Böylece paydada kısaltılmış çarpma formülünü elde ederiz: (√a + √b) * (√a - √b) = a – b. Benzer şekilde, eğer payda kökler arasındaki farkı içeriyorsa: √a - √b, o zaman kesrin payı ve paydası √a + √b ifadesiyle çarpılmalıdır. Örneğin, kesir 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 -) olsun √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
Daha fazlasını düşünün karmaşık örnek paydadaki irrasyonellikten kurtulmak. 12 / (√2 + √3 + √5) kesri verilsin. Kesrin payını ve paydasını √2 + √3 - √5 ifadesiyle çarpmak gerekir:
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
Son olarak, yalnızca yaklaşık bir değere ihtiyacınız varsa, karekökleri hesaplamak için bir hesap makinesi kullanabilirsiniz. Her sayı için değerleri ayrı ayrı hesaplayın ve bunları gerekli hassasiyette (örneğin iki ondalık basamak) yazın. Daha sonra sıradan sayılarda olduğu gibi gerekli aritmetik işlemleri gerçekleştirin. Örneğin √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 ifadesinin yaklaşık değerini bulmanız gerektiğini varsayalım.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Sitede bir talep gönderdiğinizde toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız ve adresiniz dahil e-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerektiğinde - kanuna, adli prosedüre, hukuki işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Köklerin eklenmesi ve çıkarılması- Lisede matematik (cebir) dersi alanlar için en yaygın “tökezleyen engellerden” biri. Ancak bunları doğru şekilde toplamayı ve çıkarmayı öğrenmek çok önemlidir, çünkü köklerin toplamı veya farkı ile ilgili örnekler “matematik” disiplinindeki temel Birleşik Devlet Sınavı programında yer almaktadır.

Bu tür örnekleri çözmede ustalaşmak için iki şeye ihtiyacınız var: kuralları anlamak ve aynı zamanda pratik yapmak. Bir veya iki düzine tipik örneği çözen öğrenci, bu beceriyi otomatizme taşıyacak ve ardından Birleşik Devlet Sınavında artık korkacak hiçbir şeyi kalmayacak. Aritmetik işlemlerde uzmanlaşmaya toplama ile başlamanız önerilir çünkü bunları eklemek, çıkarmaktan biraz daha kolaydır.

Bunu açıklamanın en kolay yolu örnek olarak karekök kullanmaktır. Matematikte köklü bir "kare alma" terimi vardır. “Kare alma”, belirli bir sayının kendisiyle bir kez çarpılması anlamına gelir.. Örneğin 2'nin karesini alırsan 4 elde edersin. 7'nin karesini alırsan 49 elde edersin. 9'un karesi 81'dir. Yani 4'ün karekökü 2, 49'un karesi 7 ve 81'in karesi 9 olur.

Kural olarak matematikte bu konunun öğretilmesi kareköklerle başlar. Bunu hemen belirlemek için öğrenci liseÇarpım tablosunu ezbere bilmek gerekir. Bu tabloyu kesin olarak bilmeyenlerin ipuçlarından faydalanması gerekiyor. Genellikle bir sayının kök karesini çıkarma işlemi birçok okul matematik defterinin kapağında tablo şeklinde verilmektedir.

Kökler aşağıdaki türlerdendir:

kare;
kübik (veya sözde üçüncü derece);
dördüncü derece;
beşinci derece.

Ekleme kuralları

Tipik bir örneği başarılı bir şekilde çözebilmek için tüm kök sayıların aynı olmadığını akılda tutmak gerekir. birbirleriyle istiflenebilir. Bunların bir araya getirilebilmesi için tek bir kalıp haline getirilmesi gerekir. Eğer bu mümkün değilse sorunun çözümü yoktur. Bu tür problemler öğrencilere yönelik bir tür tuzak olarak matematik ders kitaplarında da sıklıkla yer almaktadır.

Köklü ifadelerin birbirinden farklı olması durumunda görevlerde ekleme yapılmasına izin verilmez. Bu şu şekilde gösterilebilir: açık örnek:

Öğrenci şu görevle karşı karşıyadır: 4 ile 9'un karekökünü ekleyin;
deneyimsiz öğrenci kuralları bilen, genellikle şöyle yazar: "4'ün kökü + 9'un kökü = 13'ün kökü."
Bu çözümün yanlış olduğunu kanıtlamak çok kolaydır. Bunu yapmak için 13'ün karekökünü bulmanız ve örneğin doğru çözülüp çözülmediğini kontrol etmeniz gerekir;
bir mikro hesap makinesi kullanarak bunun yaklaşık 3,6 olduğunu belirleyebilirsiniz. Artık geriye kalan tek şey çözümü kontrol etmektir;
4=2'nin kökü ve 9=3'ün kökü;
"İki" ve "üç" rakamlarının toplamı beşe eşittir. Dolayısıyla bu çözüm algoritmasının hatalı olduğu düşünülebilir.

Köklerin derecesi aynı fakat farklı ise sayısal ifadeler parantezlerden çıkarılıp parantez içine konur iki köklü ifadenin toplamı. Dolayısıyla bu miktardan zaten çıkarılmış oluyor.

Toplama algoritması

En basit sorunu doğru bir şekilde çözmek için yapmanız gerekenler:

Tam olarak neyin eklenmesi gerektiğini belirleyin.
Matematikteki mevcut kuralların rehberliğinde değerleri birbirine eklemenin mümkün olup olmadığını öğrenin.
Katlanamıyorlarsa katlanabilecek şekilde dönüştürmeniz gerekir.
Gerekli tüm dönüşümleri gerçekleştirdikten sonra eklemeyi yapmanız ve bitmiş cevabı yazmanız gerekir. Örneğin karmaşıklığına bağlı olarak kafanızdan veya mikro hesap makinesi kullanarak toplama işlemi yapabilirsiniz.

Benzer kökler nelerdir

Bir toplama örneğini doğru bir şekilde çözmek için önce onu nasıl basitleştirebileceğinizi düşünmelisiniz. Bunu yapmak için benzerliğin ne olduğuna dair temel bilgiye sahip olmanız gerekir.

Benzerleri tanımlama yeteneği, benzer toplama örneklerini hızlı bir şekilde çözmeye yardımcı olarak bunları basitleştirilmiş bir forma getirir. Tipik bir ekleme örneğini basitleştirmek için şunları yapmanız gerekir:

Benzer olanları bulun ve bunları bir gruba (veya birkaç gruba) ayırın.
Mevcut örneği aynı göstergeye sahip kökler birbirini net bir şekilde takip edecek şekilde yeniden yazın (buna “gruplama” denir).
Daha sonra ifadeyi bu sefer benzerleri (aynı göstergeye ve aynı radikal rakama sahip olanlar) da birbirini takip edecek şekilde tekrar yazmalısınız.

Bundan sonra basitleştirilmiş örneğin çözülmesi genellikle kolaydır.

Herhangi bir toplama örneğini doğru bir şekilde çözmek için, toplamanın temel kurallarını açıkça anlamanız, ayrıca kökün ne olduğunu ve ne olabileceğini bilmeniz gerekir.

Bazen bu tür problemler ilk bakışta çok zor görünebilir ancak genellikle benzer olanları gruplandırarak kolayca çözülürler. En önemli şey pratik yapmaktır ve ardından öğrenci "sorunları fındık gibi kırmaya" başlayacaktır. Kökleri eklemek matematiğin en önemli kısımlarından biridir, bu nedenle öğretmenlerin bu konu üzerinde çalışmaya yeterince zaman ayırması gerekir.

Video

Bu video kareköklü denklemleri anlamanıza yardımcı olacaktır.

Gerçek 1.
\(\bullet\) Hadi bazı olmayanları alalım negatif sayı\(a\) (yani \(a\geqslant 0\) ). O halde (aritmetik) karekök\(a\) sayısından negatif olmayan bir sayı \(b\) olarak adlandırılır, karesi alındığında \(a\) sayısını elde ederiz: \[\sqrt a=b\quad \text(aynı ile )\quad a=b^2\] Tanımdan şu sonuç çıkıyor \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Bu kısıtlamalar önemli bir durum karekökün varlığı ve bunların hatırlanması gerekir!
Herhangi bir sayının karesi alındığında negatif olmayan bir sonuç verdiğini hatırlayın. Yani, \(100^2=10000\geqslant 0\) ve \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) neye eşittir? \(5^2=25\) ve \((-5)^2=25\) olduğunu biliyoruz. Tanım gereği negatif olmayan bir sayı bulmamız gerektiğinden, \(-5\) uygun değildir, dolayısıyla \(\sqrt(25)=5\) (çünkü \(25=5^2\) ).
\(\sqrt a\) değerini bulmaya \(a\) sayısının karekökünü almaya, \(a\) sayısına ise köklü ifade denir.
\(\bullet\) Tanıma göre, \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), vb. ifadesi. mantıklı değil.

Gerçek 2.
Hızlı hesaplamalar için kareler tablosunu öğrenmek yararlı olacaktır. doğal sayılar\(1\)'den \(20\)'ye : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Gerçek 3.
Kareköklerle hangi işlemleri yapabilirsiniz?
\(\madde işareti\) Kareköklerin toplamı veya farkı, toplamın veya farkın kareköküne EŞİT DEĞİLDİR; yani \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Bu nedenle, örneğin \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) hesaplamanız gerekiyorsa, başlangıçta \(\sqrt(25)\) ve \(\ sqrt(49)\ ) ve ardından katlayın. Buradan, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] \(\sqrt a\) veya \(\sqrt b\) değerleri \(\sqrt a+\sqrt b\ eklenirken bulunamıyorsa), o zaman böyle bir ifade daha fazla dönüştürülmez ve olduğu gibi kalır. Örneğin, \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) toplamında \(\sqrt(49)\)'ın \(7\) olduğunu bulabiliriz, ancak \(\sqrt 2\) dönüştürülemez her neyse, bu yüzden \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Maalesef bu ifade daha fazla basitleştirilemez\(\bullet\) Kareköklerin çarpımı/bölümü, çarpımın/bölümün kareköküne eşittir, yani \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (eşitliğin her iki tarafının da anlamlı olması şartıyla)
Örnek: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Bu özellikleri kullanarak, kareköklerini bulmak uygundur. büyük sayılar
bunları çarpanlara ayırarak.
Bir örneğe bakalım. \(\sqrt(44100)\) bulalım. \(44100:100=441\) olduğundan, \(44100=100\cdot 441\) . Bölünebilme kriterine göre \(441\) sayısı \(9\)'a bölünebilir (rakamlarının toplamı 9 olduğundan ve 9'a bölünebildiğinden), dolayısıyla \(441:9=49\), yani, \(441=9\ cdot 49\) . Böylece şunu elde ettik:\[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Başka bir örneğe bakalım:
\(\bullet\) \(5\sqrt2\) ifadesi örneğini kullanarak karekök işaretinin altına sayıların nasıl girileceğini gösterelim (\(5\cdot \sqrt2\) ifadesinin kısa gösterimi). \(5=\sqrt(25)\) olduğundan, o zaman \ Şunu da unutmayın, örneğin,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Bu neden böyle? Örnek 1)'i kullanarak açıklayalım. Zaten anladığınız gibi, \(\sqrt2\) sayısını bir şekilde dönüştüremiyoruz. \(\sqrt2\) öğesinin bir \(a\) sayısı olduğunu düşünelim. Buna göre, \(\sqrt2+3\sqrt2\) ifadesi \(a+3a\)'dan (bir sayı \(a\) artı aynı sayıdan üç tane daha \(a\)) başka bir şey değildir. Ve bunun \(a\) gibi dört sayıya eşit olduğunu biliyoruz, yani \(4\sqrt2\) .

Gerçek 4.
\(\bullet\) Bir sayının değerini bulurken kökün (radikal) \(\sqrt()\\) işaretinden kurtulamadığınızda sıklıkla “kökü çıkaramazsınız” derler . Örneğin \(16\) sayısının kökünü alabilirsiniz çünkü \(16=4^2\) , dolayısıyla \(\sqrt(16)=4\) . Ancak \(3\) sayısının kökünü çıkarmak, yani \(\sqrt3\'ü bulmak imkansızdır çünkü karesi \(3\) verecek bir sayı yoktur.
Bu tür sayılar (veya bu sayıları içeren ifadeler) irrasyoneldir. Örneğin sayılar \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) vesaire. mantıksızdır.
Ayrıca \(\pi\) ("pi" sayısı, yaklaşık olarak \(3.14\)'e eşittir), \(e\) sayıları da irrasyoneldir (bu sayıya Euler sayısı denir, yaklaşık olarak \(2.7'ye eşittir) \)) vesaire.
\(\bullet\) Herhangi bir sayının ya rasyonel ya da irrasyonel olacağını lütfen unutmayın. Ve tüm rasyonel ve tüm irrasyonel sayılar birlikte, adı verilen bir küme oluşturur. bir dizi gerçek sayı. Bu küme \(\mathbb(R)\) harfiyle gösterilir.
Bu, açık olan tüm numaraların şu anda reel sayılar olarak adlandırıldığını biliyoruz.

Gerçek 5.
\(\bullet\) Bir \(a\) gerçel sayısının modülü, \(|a|\) noktasından \(a\) noktasından \(0\) noktasına olan mesafeye eşit, negatif olmayan bir sayıdır \(|a|\) gerçek çizgi. Örneğin, \(|3|\) ve \(|-3|\) 3'e eşittir, çünkü \(3\) ve \(-3\) ile \(0\) arasındaki mesafeler aynı ve eşit \(3 \) .
\(\bullet\) Eğer \(a\) negatif olmayan bir sayıysa, o zaman \(|a|=a\) .
Örnek: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) .
\(\bullet\) Eğer \(a\) negatif bir sayıysa, o zaman \(|a|=-a\) . Örnek: \(|-5|=-(-5)=5\) ;.
\(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\)
Negatif sayılar için modülün eksiyi “yer” olduğunu, pozitif sayıların ve \(0\) sayısının modül tarafından değişmeden kaldığını söylüyorlar. Bu kural yalnızca sayılar için geçerlidir. Modül işaretinizin altında bilinmeyen bir \(x\) (veya başka bir bilinmeyen), örneğin \(|x|\) varsa ve bunun pozitif mi, sıfır mı yoksa negatif mi olduğunu bilmediğimiz bir şey varsa, o zaman kurtulun yapamadığımız modül. Bu durumda bu ifade aynı kalır: \(|x|\) . \(\bullet\) Aşağıdaki formüller geçerlidir: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\]\[(\large((\sqrt(a))^2=a))), \text( sağlanan ) a\geqslant 0\] Çoğu zaman şu hata yapılır: \(\sqrt(a^2)\) ve \((\sqrt a)^2\)'nin tek ve aynı olduğunu söylerler. Bu yalnızca \(a\) – ise doğrudur pozitif sayı
veya sıfır. Ancak eğer \(a\) negatif bir sayı ise bu yanlıştır. Bu örneği dikkate almanız yeterli. \(a\) yerine \(-1\) sayısını alalım. O halde \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ancak \((\sqrt (-1))^2\) ifadesi hiç mevcut değil (sonuçta, Negatif sayıları koyan kök işaretini kullanmak imkansızdır!). Bu nedenle, \(\sqrt(a^2)\)'nin \((\sqrt a)^2\)'ye eşit olmadığı gerçeğine dikkatinizi çekeriz! Örnek: 1)\(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\)<0\) ;

, Çünkü \(-\sqrt2 \(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) .
\(\bullet\) \(\sqrt(a^2)=|a|\) olduğundan, \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
(\(2n\) ifadesi çift sayıyı belirtir)
Yani bir dereceye kadar olan bir sayının kökü alındığında bu derece yarıya iner.
Örnek:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)

2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (modül sağlanmazsa sayının kökünün \(-25\)'e eşit olduğunu unutmayın. ) ); ancak kökün tanımı gereği bunun olamayacağını hatırlıyoruz: bir kökü çıkarırken her zaman pozitif bir sayı veya sıfır almalıyız)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (çift kuvvete giden herhangi bir sayı negatif olmadığından)
Gerçek 6.<\sqrt b\) , то \(a(\(2n\) ifadesi çift sayıyı belirtir)
İki karekök nasıl karşılaştırılır? \(\bullet\) Karekökler için bu doğrudur: if \(\sqrt a 1) \(\sqrt(50)\) ve \(6\sqrt2\)'yi karşılaştırın. Öncelikle ikinci ifadeyi şuna dönüştürelim:<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
\(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\)
. Böylece \(50) beri<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
2) \(\sqrt(50)\) hangi tam sayılar arasında yer alır? Çünkü \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) ve \(49) 3) \(\sqrt 2-1\) ile \(0.5\)'ı karşılaştıralım. Diyelim ki \(\sqrt2-1>0.5\) :<0,5\) .
Eşitsizliğin her iki tarafına belirli bir sayının eklenmesinin işaretini etkilemediğini unutmayın. Bir eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayıyla çarpmak/bölmek de işaretini etkilemez, ancak negatif bir sayıyla çarpmak/bölmek eşitsizliğin işaretini tersine çevirir!
Bir denklemin/eşitsizliğin her iki tarafının karesini YALNIZCA her iki tarafın da negatif olmaması durumunda alabilirsiniz. Örneğin, önceki örnekteki eşitsizlikte, \(-3) eşitsizliğinde her iki tarafın karesini alabilirsiniz.<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Unutulmamalıdır ki \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\] Bu sayıların yaklaşık anlamlarını bilmek, sayıları karşılaştırırken size yardımcı olacaktır!
\(\bullet\) Kareler tablosunda yer almayan büyük bir sayıdan kökü çıkarmak için (çıkarılabilirse), önce bunun hangi “yüzler” arasında, sonra – hangi “ arasında olduğunu belirlemelisiniz. onlarca” yazın ve ardından bu sayının son rakamını belirleyin. Bunun nasıl çalıştığını bir örnekle gösterelim.
\(\sqrt(28224)\) alalım. \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), vb. olduğunu biliyoruz. \(28224\) öğesinin \(10\,000\) ile \(40\,000\) arasında olduğunu unutmayın. Bu nedenle, \(\sqrt(28224)\) \(100\) ile \(200\) arasındadır.
Şimdi sayımızın hangi “onlar” arasında (yani \(120\) ile \(130\) arasında yer aldığını belirleyelim. Ayrıca kareler tablosundan şunu biliyoruz: \(11^2=121\) , \(12^2=144\) vb., sonra \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Böylece \(28224\) öğesinin \(160^2\) ile \(170^2\) arasında olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla \(\sqrt(28224)\) sayısı \(160\) ile \(170\) arasındadır.
Son rakamı belirlemeye çalışalım. Hangi tek basamaklı sayıların karesi alındığında sonunda \(4\) geldiğini hatırlayalım. Bunlar \(2^2\) ve \(8^2\)'dir. Bu nedenle \(\sqrt(28224)\) ya 2 ya da 8 ile bitecektir. Bunu kontrol edelim. \(162^2\) ve \(168^2\)'yi bulalım:
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .

Matematikte Birleşik Devlet Sınavını yeterince çözebilmek için öncelikle sizi çok sayıda teorem, formül, algoritma vb. ile tanıştıran teorik materyali incelemeniz gerekir. İlk bakışta bu oldukça basit görünebilir. Ancak matematikte Birleşik Devlet Sınavı teorisinin herhangi bir eğitim seviyesindeki öğrenciler için kolay ve anlaşılır bir şekilde sunulduğu bir kaynak bulmak aslında oldukça zor bir iştir. Okul ders kitapları her zaman el altında tutulamaz. Ve matematikte Birleşik Devlet Sınavı için temel formülleri bulmak internette bile zor olabilir.

Matematikte teoriyi incelemek sadece Birleşik Devlet Sınavına girenler için neden bu kadar önemli?

Çünkü ufkunuzu genişletir. Matematikte teorik materyali incelemek, etrafındaki dünyanın bilgisiyle ilgili çok çeşitli sorulara yanıt almak isteyen herkes için faydalıdır. Doğada her şey düzenlidir ve açık bir mantığı vardır. Bu tam olarak bilime yansıyan ve onun sayesinde dünyayı anlamanın mümkün olduğu şeydir.
Çünkü zekayı geliştirir. Matematikte Birleşik Devlet Sınavı için referans materyallerini inceleyerek ve çeşitli problemleri çözerek, kişi mantıklı düşünmeyi ve akıl yürütmeyi, düşünceleri yetkin ve net bir şekilde formüle etmeyi öğrenir. Analiz etme, genelleme ve sonuç çıkarma yeteneğini geliştirir.

Sizi, eğitim materyallerinin sistemleştirilmesi ve sunumuna yönelik yaklaşımımızın tüm avantajlarını kişisel olarak değerlendirmeye davet ediyoruz.