3 noktadan geçen bir düzlemin genel denklemi. Düzlem denklemi

Bir düzlemin denklemi. Bir düzlemin denklemi nasıl yazılır?
Karşılıklı pozisyon uçaklar. Görevler

Uzaysal geometri “düz” geometriden çok daha karmaşık değildir ve uzaydaki uçuşlarımız bu makaleyle başlıyor. Konuya hakim olmak için iyi bir anlayışa sahip olmanız gerekir. vektörler Ek olarak, düzlemin geometrisine aşina olmanız tavsiye edilir - pek çok benzerlik, birçok benzetme olacak, böylece bilgiler çok daha iyi sindirilecektir. Bir dizi dersimde 2 boyutlu dünya bir makaleyle açılıyor Düzlemde düz bir çizginin denklemi. Ama şimdi Batman düz TV ekranını terk etti ve Baykonur Kozmodromundan fırlatılıyor.

Çizimler ve sembollerle başlayalım. Şematik olarak düzlem, uzay izlenimi yaratan bir paralelkenar şeklinde çizilebilir:

Düzlem sonsuzdur ama biz onun sadece bir parçasını tasvir etme imkanına sahibiz. Pratikte paralelkenarın yanı sıra bir oval veya hatta bir bulut da çizilir. Teknik nedenlerden dolayı uçağı tam olarak bu şekilde ve tam olarak bu konumda tasvir etmek benim için daha uygun. Pratik örneklerde ele alacağımız gerçek uçaklar herhangi bir şekilde yerleştirilebilir - çizimi zihinsel olarak elinize alın ve uzayda döndürerek uçağa herhangi bir eğim, herhangi bir açı verin.

Tanımlar: Uçaklar, görünüşe göre onları karıştırmamak için genellikle küçük Yunanca harflerle gösterilir. uçakta düz çizgi veya ile uzayda düz çizgi. Mektubu kullanmaya alışkınım. Çizimde "sigma" harfi var, hiç delik yok. Her ne kadar delikli uçak kesinlikle oldukça komik olsa da.

Bazı durumlarda, uçakları belirtmek için aynı Yunan harflerini daha düşük alt simgelerle kullanmak uygundur, örneğin .

Açıkçası, düzlem benzersiz bir şekilde üç tarafından belirlenir. çeşitli noktalar, aynı düz çizgide uzanmamak. Bu nedenle, uçakların üç harfli tanımları oldukça popülerdir - örneğin kendilerine ait noktalara göre vb. Çoğu zaman harfler parantez içine alınır: Düzlemi başka bir geometrik şekille karıştırmamak için.

Deneyimli okuyucular için vereceğim hızlı erişim menüsü:

Bir nokta ve iki vektör kullanarak bir düzlemin denklemi nasıl oluşturulur?
Bir nokta ve normal bir vektör kullanarak bir düzlemin denklemi nasıl oluşturulur?

ve uzun süre beklemekten vazgeçmeyeceğiz:

Genel düzlem denklemi

Düzlemin genel denklemi katsayıların aynı anda sıfıra eşit olmadığı şeklindedir.

Bir takım teorik hesaplamalar ve pratik problemler hem alışılagelmiş ortonormal baz hem de uzayın afin esası için geçerlidir (eğer petrol petrol ise derse geri dönün) Vektörlerin doğrusal (bağımsız) bağımlılığı. Vektörlerin temeli). Basitlik açısından, tüm olayların ortonormal temelde ve Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde gerçekleştiğini varsayacağız.

Şimdi mekansal hayal gücümüzü biraz deneyelim. Seninki kötüyse sorun değil, şimdi onu biraz geliştireceğiz. Sinirlerle oynamak bile eğitim gerektirir.

En genel durumda sayılar sıfıra eşit olmadığında düzlem üç koordinat eksenini de keser. Örneğin şöyle:

Uçağın her yöne süresiz olarak devam ettiğini bir kez daha tekrar ediyorum, sadece bir kısmını tasvir etme fırsatımız var.

Düzlemlerin en basit denklemlerini ele alalım:

Bu denklem nasıl anlaşılır? Bir düşünün: "X" ve "Y"nin herhangi bir değeri için "Z" HER ZAMAN sıfıra eşittir. Bu "yerel" koordinat düzleminin denklemidir. Aslında denklem resmi olarak şu şekilde yeniden yazılabilir: Buradan “x” ve “y”nin hangi değerleri alacağının bizi ilgilendirmediğini açıkça görebilirsiniz, “z”nin sıfıra eşit olması önemlidir.

Aynı şekilde:
– koordinat düzleminin denklemi;
– koordinat düzleminin denklemi.

Sorunu biraz karmaşıklaştıralım, bir düzlem düşünün (burada ve paragrafın ilerisinde sayısal katsayıların sıfıra eşit olmadığını varsayıyoruz). Denklemi şu şekilde yeniden yazalım: . Bunu nasıl anlayabilirim? “X” HER ZAMAN, “Y” ve “Z”nin herhangi bir değeri için belirli bir sayıya eşittir. Bu düzlem koordinat düzlemine paraleldir. Örneğin bir düzlem bir düzleme paraleldir ve bir noktadan geçer.

Aynı şekilde:
– Koordinat düzlemine paralel olan bir düzlemin denklemi;
– Koordinat düzlemine paralel olan bir düzlemin denklemi.

Üye ekleyelim: . Denklem şu şekilde yeniden yazılabilir: yani "zet" herhangi bir şey olabilir. Bu ne anlama geliyor? "X" ve "Y", düzlemde belirli bir düz çizgi çizen ilişkiyle bağlanır (öğreneceksiniz) düzlemdeki bir doğrunun denklemi?). "Z" herhangi bir şey olabileceğinden, bu düz çizgi herhangi bir yükseklikte "çoğaltılır". Böylece denklem koordinat eksenine paralel bir düzlemi tanımlar

Aynı şekilde:
– Koordinat eksenine paralel olan bir düzlemin denklemi;
– Koordinat eksenine paralel olan bir düzlemin denklemi.

Serbest terimler sıfırsa, düzlemler doğrudan karşılık gelen eksenlerden geçecektir. Örneğin klasik “doğru orantılılık”: . Düzlemde düz bir çizgi çizin ve bunu zihinsel olarak yukarı ve aşağı doğru çarpın (“Z” herhangi bir sayı olduğundan). Sonuç: Denklemin tanımladığı düzlem koordinat ekseninden geçer.

İncelemeyi tamamlıyoruz: düzlemin denklemi orijinden geçer. Burada noktanın bu denklemi sağladığı oldukça açık.

Ve son olarak, çizimde gösterilen durum: – düzlem tüm koordinat eksenleriyle dosttur, ancak her zaman sekiz sekizliden herhangi birinde bulunabilen bir üçgeni “keser”.

Uzayda doğrusal eşitsizlikler

Bilgileri anlamak için iyi çalışmanız gerekir düzlemdeki doğrusal eşitsizliklerçünkü pek çok şey benzer olacak. Materyal pratikte oldukça nadir olduğundan, paragraf birkaç örnekle birlikte kısa bir genel bakış niteliğinde olacaktır.

Denklem bir düzlemi tanımlıyorsa eşitsizlikler
sormak yarım boşluklar. Eşitsizlik katı değilse (listedeki son ikisi), o zaman eşitsizliğin çözümü yarım uzaya ek olarak düzlemin kendisini de içerir.

Örnek 5

Düzlemin birim normal vektörünü bulun .

Çözüm: Birim vektör, uzunluğu bir olan bir vektördür. Bu vektörü ile gösterelim. Vektörlerin doğrusal olduğu kesinlikle açıktır:

İlk önce normal vektörü düzlemin denkleminden çıkarıyoruz: .

Birim vektör nasıl bulunur? Birim vektörü bulmak için ihtiyacınız olan şey Her vektör koordinatını vektör uzunluğuna böl.

Normal vektörü formda yeniden yazalım ve uzunluğunu bulalım:

Yukarıdakilere göre:

Cevap:

Doğrulama: Doğrulanması gerekenler.

Dersin son paragrafını dikkatle inceleyen okuyucular muhtemelen şunu fark etmişlerdir: birim vektörün koordinatları tam olarak vektörün yön kosinüsleridir:

Eldeki soruna biraz ara verelim: sıfır olmayan rastgele bir vektör verildiğinde ve duruma göre yön kosinüslerini bulmak gerekir (dersin son problemlerine bakın) Vektörlerin nokta çarpımı), o zaman aslında buna eşdoğrusal bir birim vektör bulursunuz. Aslında bir şişede iki görev.

Birim normal vektörü bulma ihtiyacı bazı matematiksel analiz problemlerinde ortaya çıkar.

Normal bir vektörü nasıl bulacağımızı bulduk, şimdi tam tersi soruyu cevaplayalım:

Bir nokta ve normal bir vektör kullanarak bir düzlemin denklemi nasıl oluşturulur?

Normal bir vektörün ve bir noktanın bu katı yapısı dart tahtası tarafından iyi bilinmektedir. Lütfen elinizi öne doğru uzatın ve zihinsel olarak uzayda rastgele bir nokta seçin; örneğin büfedeki küçük bir kedi. Açıkçası, bu noktadan elinize dik tek bir düzlem çizebilirsiniz.

Vektöre dik bir noktadan geçen bir düzlemin denklemi aşağıdaki formülle ifade edilir:

Uzaydaki herhangi üç noktadan tek bir düzlemin çizilebilmesi için bu noktaların aynı doğru üzerinde bulunmaması gerekir.

Genel Kartezyen koordinat sisteminde M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) noktalarını düşünün.

Rastgele bir M(x, y, z) noktasının M 1, M 2, M 3 noktalarıyla aynı düzlemde yer alması için, vektörlerin eş düzlemli olması gerekir.

(
) = 0

Böylece,

Üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi:

İki noktası ve düzleme eşdoğrusal bir vektörü verilen bir düzlemin denklemi.

M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) noktaları ve vektör verilsin
.

Verilen M 1 ve M 2 noktalarından ve vektöre paralel rastgele bir M (x, y, z) noktasından geçen bir düzlem için bir denklem oluşturalım .

Vektörler
ve vektör
eş düzlemli olmalıdır, yani

(
) = 0

Düzlem denklemi:

Bir nokta ve iki vektör kullanılarak bir düzlemin denklemi,

düzlemle eşdoğrusaldır.

İki vektör verilsin
Ve
, eşdoğrusal düzlemler. Daha sonra düzleme ait rastgele bir M(x, y, z) noktası için vektörler
eş düzlemli olmalıdır.

Düzlem denklemi:

Bir düzlemin noktaya ve normal vektöre göre denklemi .

Teorem. Uzayda bir M noktası verilirse 0 (X 0 , sen 0 , z 0 ), daha sonra M noktasından geçen düzlemin denklemi 0 normal vektöre dik (A, B, C) şu forma sahiptir:

A(X – X 0 ) + B(sen – sen 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Kanıt. Düzleme ait rastgele bir M(x, y, z) noktası için bir vektör oluştururuz. Çünkü vektör normal vektör ise düzleme diktir ve dolayısıyla vektöre diktir
. Daha sonra skaler çarpım

= 0

Böylece düzlemin denklemini elde ederiz

Teorem kanıtlandı.

Bir düzlemin segmentlerdeki denklemi.

Genel denklemde Ax + By + Cz + D = 0 ise her iki tarafı da (-D)'ye böleriz

değiştirme
, düzlemin denklemini segmentler halinde elde ederiz:

a, b, c sayıları sırasıyla düzlemin x, y, z eksenleriyle kesişme noktalarıdır.

Vektör formunda bir düzlemin denklemi.

Nerede

- geçerli noktanın yarıçap vektörü M(x, y, z),

Orijinden bir düzleme dik doğrultuda düşen birim vektör.

,  ve  bu vektörün x, y, z eksenleriyle oluşturduğu açılardır.

p bu dikin uzunluğudur.

Koordinatlarda bu denklem şöyle görünür:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Bir noktadan bir düzleme olan mesafe.

Rastgele bir M 0 (x 0, y 0, z 0) noktasından Ax+By+Cz+D=0 düzlemine olan mesafe:

Örnek. P(4; -3; 12) noktasının orijinden bu düzleme bırakılan dikmenin tabanı olduğunu bilerek düzlemin denklemini bulun.

Yani A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, formülü kullanıyoruz:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Örnek.İki P(2; 0; -1) noktasından geçen bir düzlemin denklemini bulun ve

Q(1; -1; 3) 3x + 2y – z + 5 = 0 düzlemine dik.

3x + 2y – z + 5 = 0 düzlemine normal vektör
İstenilen düzleme paralel.

Şunu elde ederiz:

Örnek. A(2, -1, 4) noktalarından geçen düzlemin denklemini bulun ve

B(3, 2, -1) düzleme dik X + en + 2z – 3 = 0.

Düzlemin gerekli denklemi şu şekildedir: A X+B sen+C z+ D = 0, bu düzleme normal vektör (A, B, C). Vektör
(1, 3, -5) düzlemine aittir. Bize verilen istenilen düzleme dik olan düzlem normal bir vektöre sahiptir (1, 1, 2). Çünkü A ve B noktaları her iki düzleme de aittir ve düzlemler karşılıklı olarak diktir, bu durumda

Yani normal vektör (11, -7, -2). Çünkü A noktası istenen düzleme aitse, koordinatları bu düzlemin denklemini karşılamalıdır, yani. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Toplamda uçağın denklemini elde ederiz: 11 X - 7sen – 2z – 21 = 0.

Örnek. P(4, -3, 12) noktasının orijinden bu düzleme bırakılan dikmenin tabanı olduğunu bilerek düzlemin denklemini bulun.

Normal vektörün koordinatlarını bulma
= (4, -3, 12). Düzlemin gerekli denklemi şu şekildedir: 4 X – 3sen + 12z+ D = 0. D katsayısını bulmak için P noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyarız:

16 + 9 + 144 + Ç = 0

Toplamda gerekli denklemi elde ederiz: 4 X – 3sen + 12z – 169 = 0

Örnek. Verilenler piramidin köşelerinin koordinatları A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

A 1 A 2 kenarının uzunluğunu bulun.

A 1 A 2 ve A 1 A 4 kenarları arasındaki açıyı bulun.

A 1 A 4 kenarı ile A 1 A 2 A 3 yüzü arasındaki açıyı bulun.

İlk önce A 1 A 2 A 3 yüzüne normal vektörü buluyoruz vektörlerin çapraz çarpımı olarak
Ve
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Normal vektör ile vektör arasındaki açıyı bulalım
.

-4 – 4 = -8.

Vektör ile düzlem arasında istenen açı   = 90 0 - 'ye eşit olacaktır.

A 1 A 2 A 3 yüzünün alanını bulun.

Piramidin hacmini bulun.

A 1 A 2 A 3 düzleminin denklemini bulun.

Üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi için formülü kullanalım.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Bilgisayar sürümünü kullanırken “ Yüksek matematik kursu Yukarıdaki örneği piramidin köşelerinin herhangi bir koordinatı için çözecek bir program çalıştırabilirsiniz.

Programı başlatmak için simgeye çift tıklayın:

Açılan program penceresinde piramidin köşelerinin koordinatlarını girin ve Enter tuşuna basın. Bu sayede tüm karar noktaları tek tek elde edilebilmektedir.

Not: Programı çalıştırmak için, MapleV Sürüm 4'ten başlayarak herhangi bir sürümdeki Maple programının ( Waterloo Maple Inc.) bilgisayarınıza kurulu olması gerekir.

Bu dersimizde determinantın nasıl kullanılacağına bakacağız. düzlem denklemi. Determinantın ne olduğunu bilmiyorsanız dersin ilk kısmına gidin: “Matrisler ve determinantlar”. Aksi takdirde günümüzün materyallerinden hiçbir şey anlamama riskiyle karşı karşıya kalırsınız.

Üç noktayı kullanan bir düzlemin denklemi

Neden bir düzlem denklemine ihtiyacımız var? Çok basit: Bunu bilerek C2 problemindeki açıları, mesafeleri ve diğer saçmalıkları kolayca hesaplayabiliriz. Genel olarak bu denklem olmadan yapamazsınız. Bu nedenle sorunu formüle ediyoruz:

Görev. Uzayda aynı doğru üzerinde olmayan üç nokta verilmiştir. Koordinatları:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x3, y3, z3);

Bu üç noktadan geçen düzlem için denklem oluşturmanız gerekiyor. Ayrıca denklem şu şekilde görünmelidir:

Ax + By + Cz + D = 0

burada A, B, C ve D sayıları aslında bulunması gereken katsayılardır.

Peki, sadece noktaların koordinatları biliniyorsa bir düzlemin denklemi nasıl elde edilir? En kolay yol, koordinatları Ax + By + Cz + D = 0 denkleminde yerine koymaktır. Kolayca çözülebilen üç denklemden oluşan bir sistem elde edersiniz.

Birçok öğrenci bu çözümü son derece sıkıcı ve güvenilmez bulmaktadır. Geçen yıl matematikte yapılan Birleşik Devlet Sınavı, hesaplama hatası yapma olasılığının gerçekten yüksek olduğunu gösterdi.

Bu nedenle en ileri düzeydeki öğretmenler daha basit ve daha zarif çözümler aramaya başladı. Ve onu buldular! Doğru, elde edilen teknik daha çok yüksek matematikle ilgilidir. Şahsen, bu tekniği herhangi bir gerekçe veya kanıt olmadan kullanma hakkına sahip olduğumuzdan emin olmak için Federal Ders Kitapları Listesinin tamamını karıştırmak zorunda kaldım.

Bir düzlemin determinant üzerinden denklemi

Bu kadar şarkı sözü yeter, hadi işimize dönelim. Başlangıç olarak, bir matrisin determinantı ile düzlem denkleminin nasıl ilişkili olduğuna dair bir teoremle başlayalım.

Teorem. Düzlemin çizilmesi gereken üç noktanın koordinatları verilsin: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). O zaman bu düzlemin denklemi determinant aracılığıyla yazılabilir:

Örnek olarak, C2 probleminde gerçekten ortaya çıkan bir çift düzlem bulmaya çalışalım. Bakın her şey ne kadar hızlı hesaplanıyor:

bir 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Bir determinant oluşturuyoruz ve onu sıfıra eşitliyoruz:

Determinantı genişletiyoruz:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z – 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x - y + z - 1 = 0;

Gördüğünüz gibi d sayısını hesaplarken x, y ve z değişkenlerinin doğru sırada olması için denklemi biraz "tardım". İşte bu! Düzlem denklemi hazır!

Görev. Noktalardan geçen bir düzlem için bir denklem yazın:

bir = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Noktaların koordinatlarını hemen determinantın yerine koyarız:

Determinantı tekrar genişletiyoruz:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a - b = z - (x + y ) = z - x - y;
d = 0 ⇒ z - x - y = 0 ⇒ x + y - z = 0;

Böylece düzlemin denklemi yeniden elde edilir! Yine son adımda daha “güzel” bir formül elde etmek için içindeki işaretleri değiştirmek zorunda kaldık. Bu çözümde bunu yapmak hiç gerekli değildir, ancak yine de sorunun daha ileri çözümünü basitleştirmek için tavsiye edilir.

Gördüğünüz gibi bir düzlemin denklemini oluşturmak artık çok daha kolay. Noktaları matrise yerleştiriyoruz, determinantı hesaplıyoruz - işte bu, denklem hazır.

Bu dersi bitirebilir. Ancak birçok öğrenci determinantın içinde ne olduğunu sürekli unutuyor. Örneğin hangi satır x 2 veya x 3'ü içeriyor ve hangi satır yalnızca x içeriyor. Bunu gerçekten aradan çıkarmak için her sayının nereden geldiğine bakalım.

Determinantlı formül nereden geliyor?

Öyleyse, determinantlı bu kadar sert bir denklemin nereden geldiğini bulalım. Bu, onu hatırlamanıza ve başarılı bir şekilde uygulamanıza yardımcı olacaktır.

Problem C2'de görünen tüm düzlemler üç noktayla tanımlanır. Bu noktalar her zaman çizim üzerinde işaretlenir, hatta doğrudan problemin metninde belirtilir. Her durumda, bir denklem oluşturmak için koordinatlarını yazmamız gerekecek:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Düzlemimizde rastgele koordinatlara sahip başka bir noktayı ele alalım:

T = (x, y, z)

İlk üç noktadan herhangi bir noktayı alın (örneğin M noktası) ve bu noktadan kalan üç noktaya vektörler çizin. Üç vektör elde ediyoruz:

MN = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 );
MK = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1 );
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1 ).

Şimdi bu vektörlerden bir kare matris oluşturalım ve determinantını sıfıra eşitleyelim. Vektörlerin koordinatları matrisin satırları haline gelecek ve teoremde belirtilen determinantı elde edeceğiz:

Bu formül, MN, MK ve MT vektörleri üzerine kurulu bir paralelyüzün hacminin sıfıra eşit olduğu anlamına gelir. Bu nedenle üç vektörün tümü aynı düzlemde yer alır. Özellikle, rastgele bir T = (x, y, z) noktası tam olarak aradığımız şeydir.

Bir determinantın noktalarını ve çizgilerini değiştirme

Determinantların bunu daha da kolaylaştıran birçok harika özelliği vardır. C2 sorununun çözümü. Örneğin vektörleri hangi noktadan çizdiğimiz bizim için önemli değil. Bu nedenle aşağıdaki determinantlar yukarıdakiyle aynı düzlem denklemini verir:

Ayrıca determinantın çizgilerini de değiştirebilirsiniz. Denklem değişmeden kalacaktır. Örneğin, birçok kişi en üstte T = (x; y; z) noktasının koordinatlarını içeren bir çizgi yazmayı sever. Eğer sizin için uygunsa lütfen:

Bazı insanlar, satırlardan birinin, noktaları değiştirirken kaybolmayan x, y ve z değişkenlerini içermesi gerçeğiyle karıştırılıyor. Ama kaybolmamalılar! Sayıları determinantın yerine koyarsak şu yapıyı elde etmeliyiz:

Daha sonra dersin başında verilen diyagrama göre determinant genişletilir ve düzlemin standart denklemi elde edilir:

Ax + By + Cz + D = 0

Bir örneğe göz atın. Bugünkü dersin sonuncusu. Cevabın düzlemin aynı denklemini vereceğinden emin olmak için çizgileri kasıtlı olarak değiştireceğim.

Görev. Noktalardan geçen bir düzlem için bir denklem yazın:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Yani 4 noktayı göz önünde bulunduruyoruz:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Öncelikle standart bir determinant oluşturalım ve onu sıfıra eşitleyelim:

Determinantı genişletiyoruz:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a - b = y - (2 - x - z ) = y - 2 + x + z = x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z - 2 = 0;

İşte bu, cevabı bulduk: x + y + z − 2 = 0.

Şimdi determinanttaki birkaç doğruyu yeniden düzenleyelim ve ne olacağını görelim. Örneğin x, y, z değişkenlerinin altta değil üstte olduğu bir satır yazalım:

Ortaya çıkan determinantı tekrar genişletiyoruz:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a - b = 2 - x - z - y;
d = 0 ⇒ 2 - x - y - z = 0 ⇒ x + y + z - 2 = 0;

Tamamen aynı düzlem denklemini elde ettik: x + y + z − 2 = 0. Bu, gerçekte satırların sırasına bağlı olmadığı anlamına gelir. Geriye sadece cevabı yazmak kalıyor.

Dolayısıyla düzlem denkleminin çizgilerin sırasına bağlı olmadığına inanıyoruz. Benzer hesaplamalar yaparak düzlemin denkleminin koordinatlarını başka noktalardan çıkardığımız noktaya bağlı olmadığını ispatlayabiliriz.

Yukarıda ele alınan problemde B 1 = (1, 0, 1) noktasını kullandık, ancak C = (1, 1, 0) veya D 1 = (0, 1, 1) almak oldukça mümkündü. Genel olarak istenen düzlemde yer alan koordinatları bilinen herhangi bir nokta.

Ayarlayabilirsiniz farklı şekillerde(bir nokta ve bir vektör, iki nokta ve bir vektör, üç nokta, vb.). Düzlemin denklemi bunu akılda tutarak olabilir. çeşitli türler. Ayrıca tabi olarak belirli koşullar Düzlemler paralel, dik, kesişen vb. olabilir. Bu yazımızda bunun hakkında konuşacağız. Bir düzlemin genel denklemini ve daha fazlasını nasıl oluşturacağımızı öğreneceğiz.

Normal denklem biçimi

Diyelim ki dikdörtgen XYZ koordinat sistemine sahip bir R3 uzayı var. Başlangıç noktası O'dan serbest bırakılacak olan α vektörünü tanımlayalım. α vektörünün ucu boyunca ona dik olacak bir P düzlemi çizeriz.

P üzerinde keyfi bir noktayı Q = (x, y, z) olarak gösterelim. Q noktasının yarıçap vektörünü p harfiyle işaretleyelim. Bu durumda α vektörünün uzunluğu р=IαI ve ɲ=(cosα,cosβ,cosγ)'ya eşittir.

Bu, α vektörü gibi yana doğru yönlendirilmiş bir birim vektördür. α, β ve γ, sırasıyla Ʋ vektörü ile uzay eksenleri x, y, z'nin pozitif yönleri arasında oluşan açılardır. Herhangi bir QϵП noktasının Ʋ vektörüne izdüşümü p'ye eşit olan sabit bir değerdir: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Yukarıdaki denklem p=0 olduğunda anlamlıdır. Tek şey, bu durumda P düzleminin, koordinatların orijini olan O (α = 0) noktasıyla kesişmesi ve O noktasından serbest bırakılan Ʋ birim vektörünün yönüne rağmen P'ye dik olmasıdır. Ʋ vektörünün işarete göre doğru olarak belirlendiği anlamına gelir. Önceki denklem P düzlemimizin vektör formunda ifade edilen denklemidir. Ancak koordinatlarda şöyle görünecek:

Burada P 0'dan büyük veya eşittir. Uzaydaki düzlemin denklemini normal formda bulduk.

Genel denklem

Koordinatlardaki denklemi sıfıra eşit olmayan herhangi bir sayıyla çarparsak, buna eşdeğer, o düzlemi tanımlayan bir denklem elde ederiz. Şunun gibi görünecek:

Burada A, B, C aynı anda sıfırdan farklı olan sayılardır. Bu denkleme genel düzlem denklemi denir.

Düzlem denklemleri. Özel durumlar

Denklem genel görünüm ek koşullara bağlı olarak değiştirilebilir. Bunlardan bazılarına bakalım.

A katsayısının 0 olduğunu varsayalım. Bu, bu düzlemin verilen Ox eksenine paralel olduğu anlamına gelir. Bu durumda denklemin formu değişecektir: Ву+Cz+D=0.

Benzer şekilde denklemin formu aşağıdaki koşullar altında değişecektir:

Öncelikle B = 0 ise denklem Ax + Cz + D = 0 olarak değişecektir, bu da Oy eksenine paralelliği gösterecektir.
İkinci olarak, eğer C=0 ise denklem Ax+By+D=0'a dönüştürülecektir, bu da verilen Oz eksenine paralelliği gösterecektir.
Üçüncüsü, eğer D=0 ise denklem Ax+By+Cz=0 gibi görünecektir, bu da düzlemin O (orijin) ile kesiştiği anlamına gelecektir.
Dördüncüsü, eğer A=B=0 ise denklem Cz+D=0 olarak değişecektir ve bu da Oxy'ye paralel olacaktır.
Beşinci olarak, eğer B=C=0 ise denklem Ax+D=0 olur, bu da Oyz düzleminin paralel olduğu anlamına gelir.
Altıncısı, eğer A=C=0 ise denklem Ву+D=0 formunu alacaktır, yani Oxz'ye paralellik bildirecektir.

Segmentlerdeki denklem türü

A, B, C, D sayılarının sıfırdan farklı olması durumunda denklemin (0) formu aşağıdaki gibi olabilir:

x/a + y/b + z/c = 1,

burada a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Sonuç olarak şunu elde ediyoruz: Bu düzlemin Ox eksenini (a,0,0), Oy - (0,b,0) ve Oz - (0,0,c) koordinatlarında keseceğini belirtmekte fayda var. ).

x/a + y/b + z/c = 1 denklemi dikkate alındığında, düzlemin belirli bir koordinat sistemine göre yerleşimini görsel olarak hayal etmek zor değildir.

Normal vektör koordinatları

P düzlemine normal vektör n, katsayı olan koordinatlara sahiptir genel denklem belirli bir düzlemin, yani n (A, B, C).

Normal n'nin koordinatlarını belirlemek için belirli bir düzlemin genel denklemini bilmek yeterlidir.

Genel bir denklem kullanırken olduğu gibi x/a + y/b + z/c = 1 formundaki parçalar halinde bir denklem kullanırken, belirli bir düzlemin herhangi bir normal vektörünün koordinatlarını yazabilirsiniz: (1/a) + 1/b + 1/ İle).

Normal vektörün çeşitli sorunların çözülmesine yardımcı olduğunu belirtmekte fayda var. En yaygın olanları, düzlemlerin dikliğini veya paralelliğini kanıtlamayı içeren problemleri, düzlemler arasındaki açıları veya düzlemler ile düz çizgiler arasındaki açıları bulma problemlerini içerir.

Noktanın koordinatlarına ve normal vektöre göre düzlem denklemi türü

Belirli bir düzleme dik sıfırdan farklı bir n vektörüne, belirli bir düzlem için normal denir.

Koordinat uzayında (dikdörtgen koordinat sistemi) Oxyz'in verildiğini varsayalım:

koordinatları olan Mₒ noktası (xₒ,yₒ,zₒ);
sıfır vektörü n=A*i+B*j+C*k.

N normaline dik Mₒ noktasından geçecek bir düzlem için denklem oluşturmak gerekir.

Uzayda herhangi bir rastgele noktayı seçiyoruz ve onu M (x y, z) olarak gösteriyoruz. Herhangi bir M (x,y,z) noktasının yarıçap vektörü r=x*i+y*j+z*k olsun ve Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* noktasının yarıçap vektörü olsun i+yₒ *j+zₒ*k. MₒM vektörü n vektörüne dik ise M noktası belirli bir düzleme ait olacaktır. Skaler çarpımı kullanarak diklik koşulunu yazalım:

[MₒM, n] = 0.

MₒM = r-rₒ olduğundan düzlemin vektör denklemi şöyle görünecektir:

Bu denklemin başka bir formu da olabilir. Bunu yapmak için skaler çarpımın özellikleri kullanılır ve dönüşüm yapılır. sol taraf denklemler

= - . c olarak gösterirsek, aşağıdaki denklemi elde ederiz: - c = 0 veya = c, bu, düzleme ait belirli noktaların yarıçap vektörlerinin normal vektörüne izdüşümlerinin sabitliğini ifade eder.

Artık düzlemimizin vektör denklemini = 0 yazmanın koordinat biçimini elde edebiliriz. r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k olduğundan ve n = A*i+B *j+С*k, elimizde:

Normal n'ye dik bir noktadan geçen bir düzlem için bir denklemimiz olduğu ortaya çıktı:

A(x- xₒ)+B(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

İki noktanın koordinatlarına ve düzleme eşdoğrusal bir vektöre göre düzlem denklemi türü

İki keyfi M′ (x′,y′,z′) ve M″ (x″,y″,z″) noktasının yanı sıra bir a (a′,a″,a‴) vektörünü belirtelim.

Şimdi, mevcut M′ ve M″ noktalarından ve ayrıca verilen a vektörüne paralel (x, y, z) koordinatlarına sahip herhangi bir M noktasından geçecek belirli bir düzlem için bir denklem oluşturabiliriz.

Bu durumda, M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) ve M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) vektörleri vektörle aynı düzlemde olmalıdır a=(a′,a″,a‴), bunun anlamı (M′M, M″M, a)=0'dır.

Yani uzaydaki düzlem denklemimiz şöyle görünecek:

Diyelim ki aynı doğruya ait olmayan (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) üç noktamız var. Verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denklemini yazmak gerekir. Geometri teorisi bu tür bir düzlemin gerçekten var olduğunu iddia eder, ancak bu tek ve benzersizdir. Bu düzlem (x′,y′,z′) noktasını kestiği için denkleminin formu aşağıdaki gibi olacaktır:

Burada A, B, C aynı anda sıfırdan farklıdır. Ayrıca verilen düzlem iki noktayı daha kesiyor: (x″,y″,z″) ve (x‴,y‴,z‴). Bu bağlamda aşağıdaki şartların yerine getirilmesi gerekmektedir:

Artık beste yapabiliriz homojen sistem bilinmeyen u, v, w ile:

bizim durum x,y veya z, denklem (1)'i karşılayan rastgele bir nokta görevi görür. Denklem (1) ve denklem sistemi (2) ve (3) verildiğinde, yukarıdaki şekilde gösterilen denklem sistemi önemsiz olmayan N (A,B,C) vektörü tarafından karşılanır. Bu sistemin determinantının sıfıra eşit olmasının nedeni budur.

Elde ettiğimiz denklem (1) düzlemin denklemidir. Tam olarak 3 noktadan geçer ve bunu kontrol etmek kolaydır. Bunu yapmak için determinantımızı ilk satırdaki öğelere genişletmemiz gerekiyor. Determinantın mevcut özelliklerinden, düzlemimizin başlangıçta verilen üç noktayı (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) aynı anda kestiği sonucu çıkar. . Yani bize verilen görevi çözdük.

Düzlemler arasındaki dihedral açı

Dihedral açı, bir düz çizgiden çıkan iki yarım düzlemin oluşturduğu uzaysal geometrik bir şekildir. Yani uzayın bu yarım düzlemlerle sınırlanan kısmı burasıdır.

Diyelim ki aşağıdaki denklemlere sahip iki düzlemimiz var:

N=(A,B,C) ve N¹=(A¹,B¹,C¹) vektörlerinin verilen düzlemlere göre dik olduğunu biliyoruz. Bu bakımdan N ve N¹ vektörleri arasındaki φ açısı, bu düzlemler arasında bulunan açıya (dihedral) eşittir. Nokta çarpımı şu forma sahiptir:

NN¹=|N||N¹|çünkü φ,

tam olarak çünkü

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

0≤φ≤π olduğunu dikkate almak yeterlidir.

Aslında kesişen iki düzlem iki açı (dihedral) oluşturur: φ 1 ve φ 2. Toplamları π'ye eşittir (φ 1 + φ 2 = π). Kosinüslerine gelince, mutlak değerleri eşittir, ancak işaret bakımından farklılık gösterirler, yani cos φ 1 = -cos φ 2. Eğer denklem (0)'da A, B ve C'yi sırasıyla -A, -B ve -C sayılarıyla değiştirirsek, elde ettiğimiz denklem aynı düzlemi, tek düzlemi, cos denklemindeki φ açısını belirleyecektir. φ= NN 1 /| N||N 1 | π-φ ile değiştirilecektir.

Dik bir düzlemin denklemi

Açısı 90 derece olan düzlemlere dik denir. Yukarıda sunulan malzemeyi kullanarak diğerine dik bir düzlemin denklemini bulabiliriz. Diyelim ki iki düzlemimiz var: Ax+By+Cz+D=0 ve A¹x+B¹y+C¹z+D=0. cosφ=0 ise dik olacaklarını söyleyebiliriz. Bu, NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0 anlamına gelir.

Paralel düzlem denklemi

Ortak noktaları olmayan iki düzleme paralel denir.

Koşul (denklemleri önceki paragraftakiyle aynıdır), kendilerine dik olan N ve N¹ vektörlerinin eşdoğrusal olmasıdır. Bu, aşağıdaki orantılılık koşullarının karşılandığı anlamına gelir:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Orantılılık koşulları genişletilirse - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

bu, bu düzlemlerin çakıştığını gösterir. Bu, Ax+By+Cz+D=0 ve A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 denklemlerinin bir düzlemi tanımladığı anlamına gelir.

Noktadan düzleme uzaklık

Diyelim ki (0) denklemiyle verilen bir P düzlemimiz var. Koordinatları (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ olan bir noktadan ona olan mesafeyi bulmak gerekir. Bunu yapmak için P düzleminin denklemini normal forma getirmeniz gerekir:

(ρ,v)=р (р≥0).

Bu durumda ρ (x, y, z), P üzerinde yer alan Q noktamızın yarıçap vektörüdür, p, sıfır noktasından serbest bırakılan P dikinin uzunluğudur, v ise birim vektördür. yön a.

P'ye ait bir Q = (x, y, z) noktasının ρ-ρ° yarıçap vektörü farkı ve belirli bir Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) noktasının yarıçap vektörü böyle bir vektördür, v üzerine Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ)'den P'ye bulunması gereken d mesafesine eşit olan projeksiyonun mutlak değeri:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ancak

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Yani ortaya çıktı

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Böylece ortaya çıkan ifadenin mutlak değerini, yani istenen d'yi bulacağız.

Parametre dilini kullanarak şunu açıkça görüyoruz:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Belirli bir Q 0 noktası, koordinatların orijini gibi P düzleminin diğer tarafındaysa, ρ-ρ 0 vektörü ile v arasında bu nedenle:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Q 0 noktasının koordinatların kökeni ile birlikte P'nin aynı tarafında olması durumunda, oluşturulan açı dardır, yani:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Sonuç olarak, ilk durumda (ρ 0 ,v)>р, ikinci durumda (ρ 0 ,v) olduğu ortaya çıktı.<р.

Teğet düzlem ve denklemi

M° temas noktasında yüzeye teğet düzlem, yüzeyde bu noktadan çizilen eğrilere olası tüm teğetleri içeren bir düzlemdir.

Bu tür yüzey denklemi F(x,y,z)=0 ile, M°(x°,y°,z°) teğet noktasındaki teğet düzlemin denklemi şöyle görünecektir:

F x (x°,y°,z°)(x- x°)+ F x (x°, y°, z°)(y- y°)+ F x (x°, y°,z°)(z-z°)=0.

Yüzeyi açıkça z=f (x,y) biçiminde belirtirseniz, teğet düzlem aşağıdaki denklemle tanımlanacaktır:

z-z° =f(x°, y°)(x- x°)+f(x°, y°)(y- y°).

İki düzlemin kesişimi

Koordinat sisteminde (dikdörtgen) Oxyz bulunur, kesişen ve çakışmayan iki П′ ve П″ düzlemi verilmiştir. Dikdörtgen koordinat sisteminde yer alan herhangi bir düzlem genel bir denklemle belirlendiğinden, P' ve P″'nin A′x+B′y+C′z+D′=0 ve A″x denklemleriyle verildiğini varsayacağız. +B″y+ С″z+D″=0. Bu durumda, P' düzleminin normal n' (A',B',C')'sine ve P" düzleminin normal n″'sine (A″,B″,C″) sahibiz. Düzlemlerimiz paralel olmadığından ve çakışmadığından bu vektörler eşdoğrusal değildir. Matematik dilini kullanarak bu koşulu şu şekilde yazabiliriz: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. P' ve P″'nin kesiştiği noktada bulunan düz çizginin a harfiyle gösterilmesine izin verin, bu durumda a = P′ ∩ P″.

a, (ortak) P′ ve P″ düzlemlerinin tüm noktalarının kümesinden oluşan düz bir çizgidir. Bu, a doğrusuna ait herhangi bir noktanın koordinatlarının aynı anda A′x+B′y+C′z+D′=0 ve A″x+B″y+C″z+D″=0 denklemlerini sağlaması gerektiği anlamına gelir. . Bu, noktanın koordinatlarının aşağıdaki denklem sisteminin kısmi çözümü olacağı anlamına gelir:

Sonuç olarak, bu denklem sisteminin (genel) çözümünün, P' ve P″'nin kesişme noktası görevi görecek çizginin noktalarının her birinin koordinatlarını belirleyeceği ve düz çizgiyi belirleyeceği ortaya çıktı. a uzaydaki Oxyz (dikdörtgen) koordinat sisteminde.