Kesik bir piramidin yan tarafının alanı. Piramit
Bu derste kesik bir piramite bakacağız, normal kesik piramidi tanıyacağız ve özelliklerini inceleyeceğiz.
Üçgen piramit örneğini kullanarak n-gonal piramit kavramını hatırlayalım. ABC üçgeni veriliyor. Üçgen düzleminin dışında, üçgenin köşelerine bağlı bir P noktası alınıyor. Ortaya çıkan çokyüzlü yüzeye piramit adı verilir (Şekil 1).
Pirinç. 1. Üçgen piramit
Piramidi, piramidin taban düzlemine paralel bir düzlemle keselim. Bu düzlemler arasında elde edilen şekle kesik piramit adı verilir (Şekil 2).
Pirinç. 2. Kesik piramit
Temel unsurlar:
Üst taban;
ABC alt tabanı;
Yan yüz;
PH orijinal piramidin yüksekliği ise, o zaman kesik piramidin yüksekliğidir.
Kesik bir piramidin özellikleri, yapım yönteminden, yani taban düzlemlerinin paralelliğinden kaynaklanır:
Kesik bir piramidin tüm yan yüzleri yamuktur. Örneğin kenarı düşünün. Paralel düzlem özelliğine sahiptir (düzlemler paralel olduğundan, orijinal AVR piramidinin yan yüzünü paralel düz çizgiler boyunca keserler), ancak aynı zamanda paralel değildirler. Açıkçası, dörtgen, kesik piramidin tüm yan yüzleri gibi bir yamuktur.
Bazların oranı tüm yamuklar için aynıdır:
Aynı benzerlik katsayısına sahip birkaç çift benzer üçgenimiz var. Örneğin üçgenler ve RAB, düzlemlerin paralelliği ve benzerlik katsayısı nedeniyle benzerdir:
Aynı zamanda üçgenler ve RVS benzerlik katsayısı ile benzerdir:
Açıkçası, benzer üçgenlerin üç çiftinin hepsinin benzerlik katsayıları eşittir, dolayısıyla tabanların oranı tüm yamuklar için aynıdır.
Düzenli bir kesik piramit, normal bir piramidin tabana paralel bir düzlemle kesilmesiyle elde edilen kesik bir piramittir (Şekil 3).
Pirinç. 3. Düzenli kesik piramit
Tanım.
Tabanı düzenli bir n-gon ise ve tepe noktası bu n-gon'un merkezine (yazılı ve sınırlı dairenin merkezi) yansıtılıyorsa, bir piramit düzenli olarak adlandırılır.
Bu durumda piramidin tabanında bir kare bulunur ve üst kısmı köşegenlerinin kesişme noktasında yansıtılır. Ortaya çıkan düzenli dörtgen kesik piramit ABCD'nin bir alt tabanı ve bir üst tabanı vardır. Orijinal piramidin yüksekliği RO, kesik piramidin yüksekliğidir (Şekil 4).
Pirinç. 4. Düzenli dörtgen kesik piramit
Tanım.
Kesik bir piramidin yüksekliği, bir tabanın herhangi bir noktasından ikinci tabanın düzlemine çizilen diktir.
Orijinal piramidin özeti RM'dir (M, AB'nin ortasıdır), kesik piramidin özetidir (Şekil 4).
Tanım.
Kesik bir piramidin özü, herhangi bir yan yüzün yüksekliğidir.
Kesik piramidin tüm yan kenarlarının birbirine eşit olduğu, yani yan yüzlerin eşit ikizkenar yamuk olduğu açıktır.
Düzenli bir kesik piramidin yan yüzeyinin alanı, tabanların ve apothemin çevrelerinin toplamının yarısına eşittir.
Kanıt (normal dörtgen kesik piramit için - Şekil 4):
O halde şunu kanıtlamamız gerekiyor:
Buradaki yan yüzeyin alanı, yan yüzlerin - yamuk alanlarının toplamından oluşacaktır. Yamuklar aynı olduğundan, elimizde:
Kare ikizkenar yamuk tabanların ve yüksekliğin toplamının yarısının çarpımıdır, apothem yamuğun yüksekliğidir. Sahibiz:
Q.E.D.
N-genel bir piramit için:
Burada n piramidin yan yüzlerinin sayısıdır, a ve b yamuğun tabanlarıdır ve apothemdir.
Tabanın kenarları düzenli olarak kesilmiştir dörtgen piramit 
3 cm ve 9 cm'ye eşit, yükseklik - 4 cm. Yan yüzeyin alanını bulun.
Pirinç. 5. Problem 1 için örnek resim
Çözüm. Durumu şöyle açıklayalım:
Sordu: , ,
O noktasından alt tabanın iki kenarına paralel bir MN düz çizgisi çiziyoruz ve benzer şekilde bu noktadan da düz bir çizgi çiziyoruz (Şekil 6). Kesik piramidin tabanlarındaki kareler ve yapılar paralel olduğundan yan yüzlere eşit bir yamuk elde ediyoruz. Üstelik tarafı, yan yüzlerin üst ve alt kenarlarının ortasından geçecek ve kesik piramidin özü olacaktır.
Pirinç. 6. Ek yapılar
Ortaya çıkan yamuğu ele alalım (Şekil 6). Bu yamukta üst taban, alt taban ve yükseklik bilinmektedir. Belirli bir kesik piramidin özeti olan tarafı bulmanız gerekir. MN'ye dik çizelim. Bu noktadan itibaren dikey NQ'yu indiriyoruz. Daha büyük tabanın üç santimetrelik () parçalara bölündüğünü görüyoruz. Bir dik üçgen düşünün, içindeki bacaklar biliniyor, bu Mısır üçgeni Pisagor teoremini kullanarak hipotenüsün uzunluğunu belirleriz: 5 cm.
Artık piramidin yan yüzeyinin alanını belirleyecek tüm unsurlar var:
Piramit tabana paralel bir düzlemle kesişiyor. Üçgen piramit örneğini kullanarak, piramidin yan kenarlarının ve yüksekliğinin bu düzlem tarafından orantılı parçalara bölündüğünü kanıtlayın.
Kanıt. Örnekleyelim:
Pirinç. 7. Problem 2 için örnek resim
RABC piramidi verilmiştir. PO - piramidin yüksekliği. Piramit bir düzlemle kesilir, kesik bir piramit elde edilir ve. Nokta - RO'nun yüksekliğinin kesik piramidin taban düzlemi ile kesişme noktası. Kanıtlamak gereklidir:
Çözümün anahtarı paralel düzlemlerin özelliğidir. İki paralel düzlem herhangi bir üçüncü düzlemi keser, böylece kesişme çizgileri paralel olur. Buradan: . Karşılık gelen çizgilerin paralelliği, dört çift benzer üçgenin varlığına işaret eder:
Üçgenlerin benzerliğinden karşılık gelen kenarların orantılılığı gelir. Önemli Özellik bu üçgenlerin benzerlik katsayılarının aynı olmasıdır:
Q.E.D.
Tabanın yüksekliği ve yan tarafı olan düzenli bir üçgen piramit RABC, ABC tabanına paralel PH yüksekliğinin ortasından geçen bir düzlem tarafından parçalanıyor. Ortaya çıkan kesik piramidin yan yüzey alanını bulun.
Çözüm. Örnekleyelim:
Pirinç. 8. Problem 3 için örnek resim
ACB düzgün bir üçgendir, H bu üçgenin merkezidir (yazılı ve sınırlı dairelerin merkezi). RM belirli bir piramidin özüdür. - kesik bir piramidin özeti. Paralel düzlemlerin özelliğine göre (kesişme çizgileri paralel olacak şekilde iki paralel düzlem herhangi bir üçüncü düzlemi keser), eşit benzerlik katsayısına sahip birkaç benzer üçgen çiftimiz vardır. Özellikle aşağıdaki ilişkiyle ilgileniyoruz:
NM'yi bulalım. Bu, tabana yazılan bir dairenin yarıçapıdır; buna karşılık gelen formülü biliyoruz:
Şimdi PHM dik üçgeninden, Pisagor teoremini kullanarak, orijinal piramidin özeti olan RM'yi buluyoruz:
Başlangıç oranından:
Artık kesik bir piramidin yan yüzeyinin alanını bulmak için tüm unsurları biliyoruz:
Böylece kesik piramit ve düzenli kesik piramit kavramlarını tanıdık, temel tanımlar verdik, özellikleri inceledik ve yan yüzey alanına ilişkin teoremi kanıtladık. Bir sonraki ders problem çözmeye odaklanacaktır.
Kaynakça
- I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometri. 10-11. Sınıflar: öğrenciler için ders kitabı Eğitim Kurumları(temel ve profil seviyeleri) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. baskı, rev. ve ek - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta.
- Sharygin I.F. 10-11 sınıf: Genel eğitime yönelik ders kitabı Eğitim Kurumları/ Sharygin I.F. - M .: Bustard, 1999. - 208 s .: hasta.
- E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometri. 10. Sınıf: Genel eğitim kurumları için matematik alanında derinlemesine ve uzmanlaşmış çalışma içeren ders kitabı /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. baskı, stereotip. - M.: Bustard, 2008. - 233 s.: hasta.
- Uztest.ru ().
- Fmclass.ru ().
- Webmath.exponenta.ru ().
Ev ödevi
- 29.05.2016
Salınım devresi - elektrik devresi bir indüktör, bir kapasitör ve bir elektrik enerjisi kaynağı içerir. Devre elemanları seri bağlandığında salınım devresine seri, paralel bağlandığında ise paralel denir. Salınım devresi - en basit sistem serbest elektromanyetik salınımların meydana gelebileceği yer. Devrenin rezonans frekansı Thomson formülü olarak adlandırılan formülle belirlenir: ƒ = 1/(2π√(LC)) ...
- 20.09.2014
Alıcı, DV aralığındaki (150 kHz…300 kHz) sinyalleri alacak şekilde tasarlanmıştır. Alıcının ana özelliği, geleneksel manyetik antenden daha yüksek endüktansa sahip antendir. Bu, ayarlama kapasitörünün kapasitansının 4...20 pF aralığında kullanılmasını mümkün kılar ve ayrıca böyle bir alıcının RF yolunda kabul edilebilir bir hassasiyeti ve hafif bir kazancı vardır. Alıcı kulaklıklar (kulaklıklar) için çalışır, güçle çalışır...
- 24.09.2014
Bu cihaz, sıvı seviyesi yükseldiği anda tanklardaki sıvı seviyesini izlemek üzere tasarlanmıştır. yerleşik seviye Sıvı seviyesi kritik seviyeye ulaştığında cihaz sürekli sesli uyarı vermeye başlayacaktır. Cihaz aralıklı olarak sesli uyarı vermeye başlayacaktır. Gösterge 2 jeneratörden oluşur, E sensör elemanı tarafından kontrol edilir. Tankın içine ...
- 22.09.2014
KR1016VI1, ILC3-5\7 göstergesiyle çalışmak üzere tasarlanmış dijital çok programlı bir zamanlayıcıdır. Geçerli zamanın saat ve dakika olarak, haftanın gününün ve kontrol kanal numarasının (9 alarm) sayılmasını ve görüntülenmesini sağlar. Çalar saat devresi şekilde gösterilmiştir. Mikro devre saatlidir. 32768Hz'de rezonatör Q1. yiyecek negatif, toplam artı...
Piramit. Kesilmiş piramit
Piramit yüzlerinden biri çokgen olan bir çokyüzlüdür ( temel ) ve diğer tüm yüzler ortak bir köşe noktasına sahip üçgenlerdir ( yan yüzler ) (Şek. 15). Piramit denir doğru tabanı düzenli bir çokgen ise ve piramidin tepesi tabanın ortasına doğru çıkıntı yapıyorsa (Şekil 16). Tüm kenarları eşit olan üçgen piramit denir dörtyüzlü .
Yan kaburga Bir piramidin yan yüzünün tabana ait olmayan tarafı Yükseklik piramit, tepesinden taban düzlemine kadar olan mesafedir. Düzenli bir piramidin tüm yan kenarları birbirine eşittir, tüm yan yüzler eşit ikizkenar üçgenlerdir. Düzgün bir piramidin tepe noktasından çizilen yan yüzünün yüksekliğine ne denir? özlü söz . Çapraz bölüm Aynı yüze ait olmayan iki yan kenardan geçen düzleme piramidin kesiti denir.
Yan yüzey alanı piramit tüm yan yüzlerin alanlarının toplamıdır. Toplam yüzey alanı tüm yan yüzlerin ve tabanın alanlarının toplamına denir.
Teoremler
1. Bir piramitte tüm yan kenarlar taban düzlemine eşit olarak eğimliyse, piramidin tepesi tabanın yakınında çevrelenen dairenin merkezine yansıtılır.
2. Bir piramitte tüm yan kenarlar varsa eşit uzunluklar daha sonra piramidin tepesi, tabanın yakınında çevrelenen dairenin merkezine yansıtılır.
3. Bir piramidin tüm yüzleri taban düzlemine eşit derecede eğimliyse, piramidin tepesi tabanda yazılı bir dairenin merkezine yansıtılır.
Rastgele bir piramidin hacmini hesaplamak için doğru formül şöyledir:
Nerede V- hacim;
S tabanı– üs alanı;
H– piramidin yüksekliği.
Düzenli bir piramit için aşağıdaki formüller doğrudur:
Nerede P– taban çevresi;
ha bir– özlü söz;
H- yükseklik;
S dolu
S tarafı
S tabanı– üs alanı;
V– düzenli bir piramidin hacmi.
Kesilmiş piramit piramidin taban ile piramidin tabanına paralel bir kesme düzlemi arasında kalan kısmına denir (Şekil 17). Düzenli kesik piramit Düzenli bir piramidin tabanı ile piramidin tabanına paralel kesme düzlemi arasında kalan kısmıdır.
Gerekçeler kesik piramit - benzer çokgenler. Yan yüzler – yamuklar. Yükseklik Kesik bir piramidin tabanları arasındaki mesafedir. Diyagonal kesik bir piramit, aynı yüzde yer almayan köşelerini birleştiren bir bölümdür. Çapraz bölüm kesik piramidin aynı yüze ait olmayan iki yan kenardan geçen bir düzlemle kesitidir.
Kesik bir piramit için aşağıdaki formüller geçerlidir:
(4)
Nerede S 1 , S 2 – üst ve alt tabanların alanları;
S dolu- toplam yüzey alanı;
S tarafı– yan yüzey alanı;
H- yükseklik;
V– kesik bir piramidin hacmi.
Düzenli bir kesik piramit için formül doğrudur:
Nerede P 1 , P 2 – tabanların çevreleri;
ha bir– düzenli kesik piramidin özeti.
Örnek 1. Sağda Üçgen piramit tabandaki dihedral açı 60°'dir. Eğim açısının tanjantını bulun yan kaburga taban düzlemine.
Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 18).
 |
Piramit düzenlidir, yani tabanda bir eşkenar üçgen vardır ve tüm yan yüzler eşit ikizkenar üçgenlerdir. Tabandaki dihedral açı, piramidin yan yüzünün taban düzlemine eğim açısıdır. Doğrusal açı açıdır A iki dik arasında: vb. Piramidin tepesi üçgenin merkezine (çevrel dairenin merkezi ve üçgenin yazılı dairesi) yansıtılır. ABC). Yan kenarın eğim açısı (örneğin S.B.) kenarın kendisi ile taban düzlemine izdüşümü arasındaki açıdır. Kaburga için S.B. bu açı açı olacak SBD. Teğeti bulmak için bacakları bilmeniz gerekir BU YÜZDEN Ve O.B.. Segmentin uzunluğuna izin verin BD 3'e eşittir A. Nokta HAKKINDAçizgi segmenti BD parçalara ayrılmıştır: ve Bulduğumuz yerden BU YÜZDEN: 
Şunu buluyoruz: 
Cevap:
Örnek 2. Tabanlarının köşegenleri cm ve cm'ye eşit ve yüksekliği 4 cm ise düzgün kesik dörtgen piramidin hacmini bulun.
Çözüm. Kesik bir piramidin hacmini bulmak için formül (4)'ü kullanırız. Tabanların alanını bulmak için taban karelerinin köşegenlerini bilerek kenarlarını bulmanız gerekir. Tabanların kenarları sırasıyla 2 cm ve 8 cm'ye eşittir. Bu, tabanların alanları anlamına gelir ve tüm verileri formülde yerine koyarak kesik piramidin hacmini hesaplarız:
Cevap: 112 cm3.
Örnek 3. Taban kenarları 10 cm ve 4 cm, piramidin yüksekliği 2 cm olan düzgün üçgen kesik piramidin yan yüzünün alanını bulun.
Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 19).
Bu piramidin yan yüzü ikizkenar yamuktur. Bir yamuğun alanını hesaplamak için tabanını ve yüksekliğini bilmeniz gerekir. Tabanlar duruma göre verilir, sadece yüksekliği bilinmez. Onu nereden bulacağız A 1 e bir noktadan dik A 1 alt taban düzleminde, A 1 D– itibaren dik A başına 1 AC. A 1 e= 2 cm, çünkü bu piramidin yüksekliğidir. Bulmak AlmanyaÜstten görünümü gösteren ek bir çizim yapalım (Şek. 20). Nokta HAKKINDA– üst ve alt tabanların merkezlerinin projeksiyonu. o zamandan beri (bkz. Şekil 20) ve Öte yandan TAMAM– dairenin içine yazılan yarıçap ve 
OM– bir daire içine yazılan yarıçap:
MK = DE.
Pisagor teoremine göre
Yan yüz alanı: 
Cevap:
Örnek 4. Piramidin tabanında ikizkenar bir yamuk bulunur; tabanları A Ve B (A> B). Her bir yan yüz, piramidin taban düzlemine eşit bir açı oluşturur J. Piramidin toplam yüzey alanını bulun.
Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 21). Piramidin toplam yüzey alanı SABCD alanların toplamına ve yamuğun alanına eşit ABCD.
Piramidin tüm yüzleri taban düzlemine eşit derecede eğimliyse, tepe noktasının tabanda yazılı dairenin merkezine yansıtılacağı ifadesini kullanalım. Nokta HAKKINDA– köşe projeksiyonu S piramidin tabanında. Üçgen SODüçgenin dik izdüşümüdür CSD tabanın düzlemine. Düzlemsel bir şeklin ortogonal izdüşümü alanına ilişkin teoremi kullanarak şunu elde ederiz:
Aynı şekilde şu anlama gelir 
Böylece sorun yamuğun alanını bulmaya indirgendi ABCD. Bir yamuk çizelim ABCD ayrı ayrı (Şek. 22). Nokta HAKKINDA- yamuk içine yazılmış bir dairenin merkezi.
Bir daire yamuk içine yazılabildiğinden, o zaman veya Pisagor teoreminden elimizdeki
