Eğik prizma formülünün yüzey alanı. Düzenli bir dörtgen prizmanın hacmi ve yüzey alanı

“A Alın” video kursu matematikte Birleşik Devlet Sınavını 60-65 puanla başarıyla geçmek için gerekli tüm konuları içerir. Matematikte Profil Birleşik Devlet Sınavının 1-13 arasındaki tüm görevlerini tamamlayın. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.

Gerekli tüm teori. Hızlı yollar Birleşik Devlet Sınavının çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olmak üzere 5 büyük konu içermektedir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.

Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Sözlü problemler ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor Püf Noktalarıçözümler, faydalı kopyalar, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların net açıklamaları. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Birleşik Devlet Sınavının 2. Kısmının karmaşık problemlerini çözmek için bir temel.

Bunlar günlük yaşamda ve doğada bulunan benzerleri arasında en yaygın görülen üç boyutlu figürlerdir. Stereometri veya uzaysal geometri bunların özelliklerini inceler. Bu yazımızda düzgün bir cismin yan yüzey alanını nasıl bulacağınız sorusunu ele alacağız. üçgen prizma, ayrıca dörtgen ve altıgen.

Prizma nedir?

Düzenli bir üçgen prizmanın ve bu şeklin diğer türlerinin yan yüzey alanını hesaplamadan önce bunların ne olduğunu anlamalısınız. Daha sonra ilgilenilen miktarları belirlemeyi öğreneceğiz.

Geometri açısından bir prizma, iki keyfi özdeş çokgen ve n paralelkenarla sınırlanan hacimsel bir gövdedir; burada n, bir çokgenin kenar sayısıdır. Böyle bir şekil çizmek kolaydır; bunun için bir tür çokgen çizmelisiniz. Daha sonra köşelerinin her birinden, diğerlerine eşit uzunlukta ve paralel olacak bir parça çizin. Daha sonra orijinaline eşit başka bir çokgen elde etmek için bu çizgilerin uçlarını birbirine bağlamanız gerekir.

Yukarıda şeklin iki beşgen (bunlara şeklin alt ve üst tabanları denir) ve şekildeki dikdörtgenlere karşılık gelen beş paralelkenar ile sınırlandığını görebilirsiniz.

Tüm prizmalar iki ana parametrede birbirinden farklıdır:

şeklin altında yatan çokgenin türü;
Paralelkenarlar ve tabanlar arasındaki açılar.

Dikdörtgenin kenar sayısı prizmaya adını verir. Buradan yukarıda bahsedilen üçgen, altıgen ve dörtgen şekilleri elde ederiz.

Ayrıca eğim miktarında da farklılık gösterirler. İşaretli açılara gelince, eğer 90 o'ya eşitse, böyle bir prizmaya düz veya dikdörtgen denir (eğim açısı sıfırdır). Açılardan bazıları doğru değilse bu şekle eğik denir. Aralarındaki fark ilk bakışta açıktır. Aşağıdaki resimde bu çeşitler gösterilmektedir.

Gördüğünüz gibi h yüksekliği uzunluğuna denk geliyor yan kaburga. Eğik açı durumunda bu parametre her zaman daha küçüktür.

Hangi prizmaya doğru denir?

Yan yüzey alanının nasıl bulunacağı sorusuna cevap vermemiz gerektiğinden doğru prizma(üçgen, dörtgen vb.), o zaman bu türü tanımlamanız gerekir hacimsel şekil. Malzemeyi daha ayrıntılı olarak analiz edelim.

Düzenli bir prizma, düzenli bir çokgenin aynı tabanları oluşturduğu dikdörtgen bir şekildir. Bu şekil eşkenar üçgen, kare veya başkaları olabilir. Kenar uzunlukları ve açıları aynı olan herhangi bir n-gon düzgün olacaktır.

Bu tür prizmaların bir kısmı aşağıdaki şekilde şematik olarak gösterilmiştir.

Prizmanın yan yüzeyi

Bu şekilde söylendiği gibi, kesişerek n + 2 yüz oluşturan n + 2 düzlemden oluşur. Bunlardan ikisi tabanlara ait, geri kalanı paralelkenarlardan oluşuyor. Tüm yüzeyin alanı belirtilen yüzlerin alanlarının toplamından oluşur. İki bazın değerlerini dahil etmezsek prizmanın yan yüzey alanı nasıl bulunur sorusunun cevabını almış oluruz. Yani anlamını ve temellerini birbirinden ayrı olarak belirleyebilirsiniz.

Aşağıda hangisi için yan yüzeyüç dörtgenden oluşur.

Hesaplama sürecini daha ayrıntılı olarak ele alalım. Açıkçası, prizmanın yan yüzeyinin alanı, karşılık gelen paralelkenarların n alanlarının toplamına eşittir. Burada n, şeklin tabanını oluşturan çokgenin kenar sayısıdır. Her paralelkenarın alanı, kenar uzunluğunun yüksekliğiyle çarpılmasıyla bulunabilir. Bu genel durum için geçerlidir.

İncelenen prizma düz ise, o zaman yan yüzeyinin Sb alanını belirleme prosedürü büyük ölçüde basitleştirilmiştir, çünkü böyle bir yüzey dikdörtgenlerden oluşur. Bu durumda aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:

Burada h şeklin yüksekliğidir, P o tabanının çevresidir

Düzenli prizma ve yan yüzeyi

Böyle bir rakam söz konusu olduğunda yukarıdaki paragrafta verilen formül çok özel bir biçime bürünür. Bir n-gon'un çevresi, kenar sayısı ile bir uzunluğunun çarpımına eşit olduğundan aşağıdaki formül elde edilir:

Burada a karşılık gelen n-gon'un kenar uzunluğudur.

Dörtgen ve altıgen yan yüzey alanı

Belirtilen üç şekil türü için gerekli değerleri belirlemek için yukarıdaki formülü kullanalım. Hesaplamalar şöyle görünecek:

Üçgen formülü için şu formu alacaktır:

Örneğin bir üçgenin bir kenarı 10 cm, şeklin yüksekliği 7 cm ise:

S 3 b = 3*10*7 = 210 cm2

Dörtgen prizma durumunda istenen ifade şu şekli alır:

Önceki örnekteki ile aynı uzunluk değerlerini alırsak şunu elde ederiz:

S 4 b = 4*10*7 = 280 cm2

Yan yüzey alanı altıgen prizma formülle hesaplanır:

Önceki durumlardakiyle aynı sayıları değiştirerek şunu elde ederiz:

S 6 b = 6*10*7 = 420 cm2

Herhangi bir tür düzenli prizma durumunda, yan yüzeyinin aynı dikdörtgenlerden oluştuğunu unutmayın. Yukarıdaki örneklerde her birinin alanı a*h = 70 cm2 idi.

Eğik prizma için hesaplama

Belirli bir şekil için yan yüzey alanının değerini belirlemek, dikdörtgen olana göre biraz daha zordur. Ancak yukarıdaki formül aynı kalıyor, sadece taban çevresi yerine dik kesim çevresi, yükseklik yerine ise yan kenar uzunluğu alınmalıdır.

Yukarıdaki resimde dörtgen eğik bir prizma gösterilmektedir. Gölgeli paralelkenar, çevresi P sr'nin hesaplanması gereken dik dilimdir. Şekilde yan kenarın uzunluğu C harfi ile gösterilmiştir. Daha sonra aşağıdaki formülü elde ederiz:

Yan yüzeyi oluşturan paralelkenarların açıları biliniyorsa kesimin çevresi bulunabilir.

Farklı prizmalar birbirinden farklıdır. Aynı zamanda pek çok ortak noktaları var. Prizmanın tabanının alanını bulmak için ne tür olduğunu anlamanız gerekir.

Genel teori

Prizma herhangi bir çokyüzlüdür taraflar paralelkenar şekline sahip olanlardır. Dahası, tabanı üçgenden n-gon'a kadar herhangi bir çokyüzlü olabilir. Üstelik prizmanın tabanları her zaman birbirine eşittir. Yan yüzler için geçerli olmayan şey, boyutlarının önemli ölçüde değişebilmesidir.

Problemleri çözerken sadece prizmanın taban alanıyla karşılaşılmaz. Yan yüzeyin yani taban olmayan tüm yüzlerin bilinmesini gerektirebilir. Tam yüzey, prizmayı oluşturan tüm yüzlerin birleşimi olacaktır.

Bazen problemler yükseklikle ilgilidir. Tabanlara diktir. Bir çokyüzlünün köşegeni, aynı yüze ait olmayan herhangi iki köşeyi çiftler halinde birleştiren bir segmenttir.

Düz veya eğimli bir prizmanın taban alanının, yan yüzler ile aralarındaki açıya bağlı olmadığı unutulmamalıdır. Üst ve alt yüzleri aynı rakamlara sahipse alanları eşit olacaktır.

Üçgen prizma

Tabanında üç köşeli bir şekil, yani bir üçgen vardır. Bildiğiniz gibi farklı olabilir. Eğer öyleyse, alanının bacakların çarpımının yarısı kadar belirlendiğini hatırlamak yeterlidir.

Matematiksel gösterim şuna benzer: S = ½ av.

Tabanın alanını bulmak için Genel görünüm formüller işinize yarayacaktır: Balıkçıl ve kenarın yarısının kendisine çizilen yüksekliğe alındığı formül.

İlk formül şu şekilde yazılmalıdır: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Bu gösterim bir yarı-çevre (p), yani üç kenarın toplamının ikiye bölünmesiyle elde edilir.

İkincisi: S = ½ n a * a.

Düzenli olan bir üçgen prizmanın tabanının alanını bulmak istiyorsanız, üçgenin eşkenar olduğu ortaya çıkar. Bunun bir formülü var: S = ¼ a 2 * √3.

Dörtgen prizma

Tabanı bilinen dörtgenlerden herhangi biridir. Dikdörtgen veya kare, paralel yüzlü veya eşkenar dörtgen olabilir. Her durumda prizmanın tabanının alanını hesaplamak için kendi formülünüze ihtiyacınız olacak.

Taban bir dikdörtgen ise alanı şu şekilde belirlenir: S = ab, burada a, b dikdörtgenin kenarlarıdır.

Ne zaman Hakkında konuşuyoruz dörtgen bir prizma hakkında, daha sonra normal bir prizmanın tabanının alanı, kare formülü kullanılarak hesaplanır. Çünkü temelde yatan odur. S = a 2.

Tabanın paralel boru olması durumunda aşağıdaki eşitliğe ihtiyaç duyulacaktır: S = a * n a. Paralel yüzün tarafı ve açılardan biri verilir. Daha sonra yüksekliği hesaplamak için ek bir formül kullanmanız gerekecektir: n a = b * sin A. Üstelik A açısı “b” kenarına bitişiktir ve n yüksekliği bu açının karşısındadır.

Prizmanın tabanında bir eşkenar dörtgen varsa, o zaman alanını belirlemek için paralelkenarla aynı formüle ihtiyacınız olacaktır (çünkü bu onun özel bir durumudur). Ancak şunu da kullanabilirsiniz: S = ½ d 1 d 2. Burada d 1 ve d 2 eşkenar dörtgenin iki köşegenidir.

Düzenli beşgen prizma

Bu durum, çokgeni, alanlarını bulmanın daha kolay olduğu üçgenlere bölmeyi içerir. Her ne kadar rakamların farklı sayıda köşeleri olsa da.

Prizmanın tabanı düzgün bir beşgen olduğundan beş eşkenar üçgene bölünebilir. Daha sonra prizmanın tabanının alanı, böyle bir üçgenin alanına eşittir (formül yukarıda görülebilir), beş ile çarpılır.

Düzenli altıgen prizma

Beşgen prizma için açıklanan prensibi kullanarak tabanın altıgenini 6 eşkenar üçgene bölmek mümkündür. Böyle bir prizmanın taban alanı formülü öncekine benzer. Sadece altıyla çarpılmalıdır.

Formül şu şekilde görünecektir: S = 3/2 a 2 * √3.

Görevler

No. 1. Düzenli bir düz çizgi verildiğinde, köşegeni 22 cm, çokyüzlünün yüksekliği 14 cm'dir. Prizmanın tabanının ve tüm yüzeyin alanını hesaplayın.

Çözüm. Prizmanın tabanı karedir ancak kenarı bilinmemektedir. Değerini prizmanın köşegeni (d) ve yüksekliği (h) ile ilişkili olan karenin köşegeninden (x) bulabilirsiniz. x2 = d2 - n2. Öte yandan bu “x” parçası, kenarları karenin kenarına eşit olan bir üçgenin hipotenüsüdür. Yani x 2 = a 2 + a 2. Böylece a 2 = (d 2 - n 2)/2 olduğu ortaya çıkar.

D yerine 22 sayısını değiştirin ve "n" değerini - 14 ile değiştirin, karenin kenarının 12 cm olduğu ortaya çıkıyor. Şimdi sadece tabanın alanını bulun: 12 * 12 = 144 cm. 2.

Tüm yüzeyin alanını bulmak için taban alanının iki katını ve yan alanın dört katını eklemeniz gerekir. İkincisi, bir dikdörtgen formülü kullanılarak kolayca bulunabilir: çokyüzlünün yüksekliğini ve tabanın yan tarafını çarpın. Yani 14 ve 12, bu sayı 168 cm2'ye eşit olacaktır. Toplam alanı Prizmanın yüzeyi 960 cm2 olarak çıkıyor.

Cevap. Prizmanın tabanının alanı 144 cm2'dir. Tüm yüzey 960 cm2'dir.

No. 2. Tabanda bir kenarı 6 cm olan bir üçgen vardır. Bu durumda yan yüzün köşegeni 10 cm'dir. Taban ve yan yüzey.

Çözüm. Prizma düzgün olduğundan tabanı eşkenar üçgendir. Bu nedenle alanı 6'nın karesine, ¼ ile çarpımına ve 3'ün kareköküne eşit olur. Basit bir hesaplama şu sonuca yol açar: 9√3 cm2. Bu prizmanın bir tabanının alanıdır.

Tüm yan yüzler aynıdır ve kenarları 6 ve 10 cm olan dikdörtgenlerdir. Alanlarını hesaplamak için bu sayıları çarpmanız yeterlidir. Sonra bunları üçle çarpın çünkü prizmanın tam olarak bu kadar çok yan yüzü var. Daha sonra yaranın yan yüzeyinin alanı 180 cm2 olur.

Cevap. Alanlar: taban - 9√3 cm2, prizmanın yan yüzeyi - 180 cm2.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Sitede bir talep gönderdiğinizde toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız ve adresiniz dahil E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerektiğinde - kanuna, adli prosedüre, hukuki işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamusal önem amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Prizmanın yan yüzey alanı. Merhaba! Bu yayında stereometrideki bir grup problemi analiz edeceğiz. Bir prizma ve bir silindir gibi cisimlerin bir kombinasyonunu ele alalım. Açık şu an Bu makale, stereometride görev türlerinin dikkate alınmasıyla ilgili tüm makale dizisini tamamlamaktadır.

Görev bankasında yenileri görünürse, elbette gelecekte bloga eklemeler olacaktır. Ancak sınavın bir parçası olarak tüm sorunları kısa bir cevapla nasıl çözeceğinizi öğrenmeniz için zaten var olan şey oldukça yeterli. Gelecek yıllar için yeterli materyal olacak (matematik programı statiktir).

Sunulan görevler bir prizmanın alanının hesaplanmasını içerir. Aşağıda düz bir prizma (ve buna göre düz bir silindir) düşündüğümüzü not ediyorum.

Herhangi bir formül bilmeden, bir prizmanın yan yüzeyinin tüm yan yüzlerinden oluştuğunu anlıyoruz. Düz prizmanın dikdörtgen yan yüzleri vardır.

Böyle bir prizmanın yan yüzeyinin alanı, tüm yan yüzlerinin (yani dikdörtgenlerin) alanlarının toplamına eşittir. İçine silindirin yazılı olduğu normal bir prizmadan bahsediyorsak, bu prizmanın tüm yüzlerinin EŞİT dikdörtgenler olduğu açıktır.

Resmi olarak, düzenli bir prizmanın yan yüzey alanı şu şekilde yansıtılabilir:

27064. Taban yarıçapı ve yüksekliği 1'e eşit olan bir silindirin çevresine düzgün bir dörtgen prizma çevrelenmiştir. Prizmanın yan yüzey alanını bulun.

Bu prizmanın yan yüzeyi eşit alanlı dört dikdörtgenden oluşur. Yüzün yüksekliği 1, prizmanın tabanının kenarı 2'dir (bunlar silindirin iki yarıçapıdır), dolayısıyla yan yüzün alanı şuna eşittir:

Yan yüzey alanı:

73023. Taban yarıçapı √0,12 ve yüksekliği 3 olan bir silindirin çevrelediği düzgün üçgen prizmanın yan yüzey alanını bulun.

Bu prizmanın yan yüzey alanı toplamına eşittir üç kare yan yüzler (dikdörtgenler). Yan yüzün alanını bulmak için yüksekliğini ve taban kenarının uzunluğunu bilmeniz gerekir. Yükseklik üçtür. Taban kenarının uzunluğunu bulalım. Projeksiyonu düşünün (üstten görünüm):

İçinde yarıçapı √0,12 olan bir dairenin yazılı olduğu normal bir üçgenimiz var. AOC dik üçgeninden AC'yi bulabiliriz. Ve sonra AD (AD=2AC). Teğet tanımı gereği:

Bu, AD = 2AC = 1,2 anlamına gelir. Dolayısıyla yan yüzey alanı şuna eşittir:

27066. Taban yarıçapı √75 ve yüksekliği 1 olan bir silindirin çevrelediği düzgün altıgen prizmanın yan yüzey alanını bulun.

Gerekli alan tüm yan yüzlerin alanlarının toplamına eşittir. Düzenli bir altıgen prizmanın yan yüzleri eşit dikdörtgenlere sahiptir.

Bir yüzün alanını bulmak için yüksekliğini ve taban kenarının uzunluğunu bilmeniz gerekir. Yükseklik biliniyor, 1'e eşit.

Taban kenarının uzunluğunu bulalım. Projeksiyonu düşünün (üstten görünüm):

İçinde yarıçapı √75 olan bir dairenin yazılı olduğu düzgün bir altıgenimiz var.

Hadi düşünelim dik üçgen AVO. OB ayağını biliyoruz (bu, silindirin yarıçapıdır). Ayrıca AOB açısını da belirleyebiliriz, 300'e eşittir (AOC üçgeni eşkenardır, OB bir açıortaydır).

Bir dik üçgende teğetin tanımını kullanalım:

AC = 2AB, OB ortanca olduğundan yani AC'yi ikiye böler, yani AC = 10 olur.

Böylece yan yüzün alanı 1∙10=10 ve yan yüzeyin alanı:

76485. Taban yarıçapı 8√3 ve yüksekliği 6 olan bir silindirin içine yazılan düzgün üçgen prizmanın yan yüzey alanını bulun.

Üç eşit boyutlu yüzün (dikdörtgenler) belirtilen prizmasının yan yüzeyinin alanı. Alanı bulmak için prizmanın tabanının kenarının uzunluğunu bilmeniz gerekir (yüksekliğini biliyoruz). İzdüşümü (üstten görünüm) dikkate alırsak, daire içine yazılmış düzenli bir üçgenimiz olur. Bu üçgenin kenarı yarıçap cinsinden şu şekilde ifade edilir:

Bu ilişkinin ayrıntıları. Yani eşit olacak

O zaman yan yüzün alanı: 24∙6=144 olur. Ve gerekli alan:

245354. Taban yarıçapı 2 olan bir silindirin çevresine düzgün bir dörtgen prizma çevrelenmiştir. Prizmanın yan yüzey alanı 48'dir. Silindirin yüksekliğini bulun.