Düz bir dairenin konumu. Ders "Bir çizginin ve bir dairenin göreceli konumu"

Karşılıklı düzenleme Doğru ve çember Bir doğru ile bir çemberin, göreceli konumlarına bağlı olarak kaç ortak noktası olabileceğini bulalım. Düz bir çizginin bir dairenin merkezinden geçmesi durumunda, daireyi üzerinde bulunan çapın iki ucunda kestiği açıktır. bu prima.

Düz olmasına izin ver R yarıçap dairesinin merkezinden geçmiyor R. Bir dik çizelim O düz bir çizgiye R ve harfle belirtmek D bu dikin uzunluğu, yani bu dairenin merkezinden düz çizgiye olan mesafe (Şekil 1) ). Aralarındaki ilişkiye bağlı olarak düz bir çizgi ile bir dairenin göreceli konumunu araştırıyoruz. D Ve R.Üç olası durum var.

1) d R noktadan N iki bölümü bir kenara bırakın AÇIK Ve NV, eşit uzunluklar (Şekil 1) Pisagor teoremine göre ÖA=,

0 B= Bu nedenle puan A Ve İÇİNDEçemberin üzerinde yer alır ve dolayısıyla doğrunun ortak noktalarıdır R ve verilen daire.

Doğrunun olduğunu kanıtlayalım R ve bu çemberin başka hiçbir ortak noktası yoktur. Diyelim ki bir ortak C noktası daha var. O halde medyan Aşırı doz ikizkenar üçgen OAS. üsse taşındı AC, bu üçgenin yüksekliği yani HAKKINDADP. Segmentler Aşırı doz Ve O eşleşmiyor

ortasından beri D bölüm AC bir noktaya sığmıyor N - segmentin orta noktası , AB. O noktasından iki dik çizginin çizildiğini bulduk: O Ve OD- düz bir çizgiye R, ki bu imkansızdır. Bu yüzden Eğer mesafe Çemberin merkezinden düz çizgiye olan uzaklık çemberin yarıçapından küçüktür (D< р), O düz çizgi ve daireİki ortak nokta var. Bu durumda hat çağrılır sekantçemberle ilgili olarak.

2) d=R. Bu durumda O=R, yani nokta Nçember üzerinde yer alır ve dolayısıyla doğru ile çemberin ortak noktasıdır (Şekil 1, B). Dümdüz R ve dairenin başka ortak noktası yoktur, çünkü herhangi bir nokta için M dümdüz R. noktadan farklı N, OM>OH= R(eğik OM daha dik O), ve bu nedenle , M noktası çember üzerinde yer almıyor. Yani eğer yarışlarÇemberin merkezinden düz çizgiye olan mesafe yarıçapa eşitse, bu durumda düz çizgi ile çemberin yalnızca bir ortak noktası vardır.

3) d>R Bu durumda -OH> R Bu yüzden . herhangi bir nokta için M dümdüz p 0MON.>R( pirinç . 1,A) Bu nedenle M noktası çemberin üzerinde değildir. Bu yüzden, .eğer dairenin merkezinden olan mesafeDüz çizgiye olan uzaklık çemberin yarıçapından büyükse, o zaman düz çizgi ile çemberin ortak noktaları yoktur.

Bir doğrunun ve bir dairenin bir veya iki ortak noktası olabileceğini ve hiçbir ortak noktasının olmayabileceğini kanıtladık. Bir daire ile düz bir çizgi sadece bir ortak noktaya çemberin teğeti denir, ve onların ortak noktaya doğrunun ve çemberin teğet noktası denir.Şekil 2'de düz bir çizgi var R- O merkezli bir daireye teğet, A- bağlantı noktası.

Teğet özelliğe ilişkin teoremi kanıtlayalım.

Teorem. Bir daireye teğet diktirİle temas noktasına çizilen yarıçap.

Kanıt. İzin vermek R- O merkezli bir daireye teğet. A- temas noktası (bkz. Şekil 2). Hadi kanıtlayalım. teğet nedir R yarıçapa dik OA.

Durumun böyle olmadığını varsayalım. Daha sonra yarıçap: OA düz bir çizgiye eğimlidir R. noktasından çizilen dikme nedeniyle HAKKINDA düz bir çizgiye R, daha az eğimli OA, ardından merkeze olan mesafeler HAKKINDA düz çizgiye daire R yarıçapından daha azdır. Bu nedenle düz R ve çemberin iki ortak noktası var. Ama bu durumla çelişiyor; dümdüz R- teğet. Böylece düz R yarıçapa dik OA. Teorem kanıtlandı.

Merkezi olan bir daireye iki teğet düşünün HAKKINDA, noktadan geçerek A ve daireye bazı noktalarda dokunmak İÇİNDE ve C (Şekil 3). Segmentler AB Ve AC Hadi arayalım teğet bölümlernykh, A noktasından çizilir. Kanıtlanmış teoremden çıkan aşağıdaki özelliğe sahiptirler:

Bir noktadan çizilen daireye teğet doğru parçaları eşit ve eşittir eşit açılar Bu noktadan ve dairenin merkezinden geçen düz bir çizgi ile.

Bu ifadeyi kanıtlamak için Şekil 3'e dönelim. Teğet özelliği ile ilgili teoreme göre 1 ve 2 numaralı açılar dik açıdır, dolayısıyla üçgendir ASG Ve ASO dikdörtgen. Hipotenüsleri ortak olduğundan eşittirler OA ve eşit bacaklar doğum günü Ve İŞLETİM SİSTEMİ. Buradan, AB=AC ve 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" width="432 height=163" height="163">

Pirinç. 2 Şek. 3

https://pandia.ru/text/78/143/images/image010_57.gif" genişlik = "101" yükseklik = "19 src = ">.

Çapın temas noktasından çizilmesi BEN, sahip olacak: ; Bu yüzden

Pirinç. 1 Şek. 2

https://pandia.ru/text/78/143/images/image014_12.jpg" genişlik = "191 yükseklik=177" yükseklik = "177">.jpg" genişlik = "227 yükseklik = 197" yükseklik = "197" >

Yaylar, akorlar ve akorların merkezden uzaklıkları arasındaki bağımlılık.

Teoremler. Bir daire içinde veya V eşit daireler :

1) yaylar eşitse, onları oluşturan kirişler eşit ve merkezden eşit uzaklıkta demektir;

2) yarım daireden daha küçük iki yay eşit değilse, bunlardan daha büyük olanı daha büyük akor tarafından desteklenir ve her iki akordan daha büyüğü merkeze daha yakın yerleştirilir. .

1) Yay olsun AB yaya eşit CD(Şekil 1), AB ve akorlarının kanıtlanması gerekmektedir. CD eşit ve aynı zamanda eşit ve dik OE Ve İLE İLGİLİ, merkezden akorlara indirildi.

Sektörü döndürelim OAJB merkezin etrafında HAKKINDA okla gösterilen yönde yarıçapı o kadar HAKKINDA ile çakıştı İŞLETİM SİSTEMİ. Sonra yay VA. bir yay şeklinde gidecek CD ve eşitlikleri nedeniyle bu yaylar örtüşecektir. Bu, AS akorunun akorla çakıştığı anlamına gelir CD ve dik OE ile örtüşecek İLE İLGİLİ(bir noktadan yalnızca bir dik açı düz bir çizgiye indirilebilir), yani. AB=CD Ve OE=İLE İLGİLİ.

2) Yay olsun AB(Şekil 2) daha az ark CD, ve ayrıca her iki yay da yarım daireden daha küçüktür; akorun olduğunu kanıtlamak gerekiyor AB daha az akor CD, ve dik OE daha dik İLE İLGİLİ. Hadi onu yayın üzerine koyalım CD yay SK, eşittir AB, ve yardımcı bir akor çizin SK Kanıtlanmış olana göre akora eşittir AB ve merkeze eşit uzaklıkta. Üçgenlerde MORİNA. Ve MEYVE SUYU birinin iki tarafı diğerinin iki tarafına eşittir (yarıçaplar gibi), ancak bu kenarlar arasında kalan açılar eşit değildir; bu durumda, bildiğimiz gibi, açılardan daha büyük olana karşı, yani. ICOD, daha büyük olan taraf yalan söylemeli, yani CD>CK, ve bu yüzden CD>AB.

Bunu kanıtlamak için OE>İLE İLGİLİ, biz yöneteceğiz OLXCK ve kanıtlanmış olanlara göre şunu dikkate alın: OE=OL; bu nedenle karşılaştırmamız yeterli İLE İLGİLİİle OL. Bir dik üçgende 0 FM(şekilde kısa çizgilerle gösterilmiştir) hipotenüs OM daha fazla bacak İLE İLGİLİ; Ancak OL>OM; bu daha da fazlası anlamına geliyor OL>İLE İLGİLİ. ve bu yüzden OE>İLE İLGİLİ.

Bir çember için kanıtladığımız teorem, bir çember için de geçerli eşit dairelerçünkü bu tür daireler birbirinden yalnızca konum açısından farklılık gösterir.

Ters teoremler. Önceki paragrafta, aynı yarıçaptaki iki yayın karşılaştırmalı boyutuyla ilgili her türlü birbirini dışlayan durumlar dikkate alındığından ve kirişlerin karşılaştırmalı boyutu ve merkezden uzaklıkları konusunda birbirini dışlayan sonuçlar elde edildiğinden, o zaman bunun tersi önermelerin de olması gerekir. doğru, ç. Kesinlikle:

İÇİNDE bir daire veya eşit daireler:

1) eşit akorlar merkezden eşit derecede uzaktadır ve eşit yaylara karşılık gelir;

2) merkezden eşit uzaklıktaki akorlar eşittir ve eşit yaylara karşılık gelir;

3) iki eşit olmayan akordan büyük olanı merkeze daha yakındır ve daha büyük olan yayın karşısındadır;

4) merkezden eşit olmayan uzaklıktaki iki akorun merkeze daha yakın olan daha büyüktür ve daha büyük bir yaya karşılık gelir.

Bu önermeler çelişkiyle kolayca kanıtlanabilir. Örneğin, bunlardan ilkini kanıtlamak için şu şekilde mantık yürütüyoruz: eğer bu akorlar eşit olmayan yaylar içeriyorsa, o zaman doğrudan teoreme göre eşit olmazlar, bu da koşulla çelişir; bu, eşit akorların eşit yayları karşılaması gerektiği anlamına gelir; ve eğer yaylar eşitse, o zaman direkt teoreme göre, onları çevreleyen kirişler merkezden eşit derecede uzaktadır.

Teorem. Çap akorların en büyüğüdür .

Merkeze bağlanırsak HAKKINDA merkezden geçmeyen bir akorun uçları, örneğin bir akor AB(Şekil 3) sonra bir üçgen elde ederiz AOB, bir tarafın bu akor olduğu ve diğer ikisinin yarıçap olduğu, Ancak bir üçgende her bir taraf diğer iki tarafın toplamından daha azdır; bu nedenle akor AB iki yarıçapın toplamından daha az; oysa her çap CD iki yarıçapın toplamına eşittir. Bu, çapın merkezden geçmeyen herhangi bir kirişten daha büyük olduğu anlamına gelir. Ancak çap aynı zamanda bir akor olduğu için çapın akorların en büyüğü olduğunu söyleyebiliriz.

Pirinç. 1 Şek. 2

Teğet teoremi.

Daha önce de belirtildiği gibi, bir noktadan bir daireye çizilen teğet doğru parçaları aynı uzunluğa sahiptir. Bu uzunluğa denir teğet mesafe bir noktadan bir daireye.

Teğet teoremi olmadan, içi yazılı çemberlerle, yani bir çokgenin kenarlarına değen çemberlerle ilgili birden fazla problemi çözmek mümkün değildir.

Bir üçgende teğet uzaklıklar.

Üçgenin kenarlarının eşit olduğu bölümlerin uzunluklarını bulun ABC içine bir daire yazılan teğet noktalara bölünür (Şekil 1,a), örneğin teğet mesafe ta noktadan Açembere. Kenarları ekleyelim B Ve C ve ardından tarafı toplamdan çıkarın A. Bir köşeden çizilen teğetlerin eşitliğini dikkate alarak 2 elde ederiz. ta. Bu yüzden,

ta=(b+C-A)/ 2=P-A,

Nerede p=(a+b+C)/ 2 bu üçgenin yarı çevresidir. Köşelere bitişik yan bölümlerin uzunluğu İÇİNDE Ve İLE, sırasıyla eşittir P-B Ve P-C.

Aynı şekilde, dış daire(dış) tarafa dokunan üçgen A(Şekil 1, b), teğet mesafeler İÇİNDE Ve İLE sırasıyla eşittir P-C Ve P-B ve üstten A- Sadece P.

Bu formüllerin ters yönde de kullanılabileceğini unutmayın.

Bırak gitsin köşeye SEN bir daire yazılmıştır ve açının tepe noktasından daireye olan teğet mesafesi eşittirP veyaP- A, NeredeP– bir üçgenin yarı çevresi ABC, A a=BC. Sonra daire çizgiye dokunuyor Güneş(sırasıyla üçgenin dışında veya içinde).

Aslında örneğin teğet mesafesi eşit olsun P-A. Daha sonra dairelerimiz üçgenin iç çemberiyle aynı noktalarda açının kenarlarına değiyor ABC yani onunla örtüşüyor demektir. Bu nedenle çizgiye dokunuyor Güneş.

Çevrelenmiş dörtgen. Teğetlerin eşitliği teoreminden hemen şu sonuç çıkar (Şekil 2a):

Bir daire bir dörtgene yazılabilirse, karşıt kenarlarının toplamı eşittir:

AD+ BC= AB+ CD

Tanımlanan dörtgenin mutlaka dışbükey olduğuna dikkat edin. Bunun tersi de doğrudur:

Dörtgen dışbükeyse ve karşıt kenarlarının toplamları eşitse, içine bir daire yazılabilir.

Bunu paralelkenar dışındaki bir dörtgen için kanıtlayalım. Örneğin bir dörtgenin karşılıklı iki kenarı olsun AB Ve DC, devam edildiğinde bir noktada kesişecekler e(Şekil 2,b). Bir üçgenin içine bir daire çizelim ADE. Teğet mesafesi te diyeceğim şey şu ki e formülle ifade edilir

te=½ (AE+ED-AD).

Ancak şarta göre bir dörtgenin karşılıklı kenarlarının toplamı eşittir, yani AD+BC=AB+CD, veya reklam=AB+CD-M.Ö.. Bu değeri ifadede yerine koymak te, alıyoruz

te=½ ((AE...AB)+(ED-CD)+BC)= ½ (BE +EC+M.Ö),

ve bu üçgenin yarı çevresi M.Ö.. Yukarıda kanıtlanan teğetlik koşulundan dairemizin birbirine değdiği sonucu çıkar M.Ö..

https://pandia.ru/text/78/143/images/image020_13.jpg" width = "336" height = "198 src = ">

Dairenin dışındaki bir noktadan daireye çizilen iki teğet eşittir ve bu noktayı merkeze bağlayan düz çizgi ile eşit açılar oluşturur; bu, AOB ve AOB1 dik üçgenlerinin eşitliğinden kaynaklanır.

Sunum önizlemelerini kullanmak için kendiniz için bir hesap oluşturun ( hesap) Google'a gidin ve giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

DÜZ VE DAİRE GEOMETRİSİNİN BAĞIL KONUMU L.A. Atanasyan'ın ders kitabına göre 8. Sınıf

Sizce bir doğru ile bir dairenin kaç ortak noktası olabilir? HAKKINDA

O Öncelikle çemberin nasıl tanımlandığını hatırlayalım. Çember (O, r) r – yarıçap r A B AB – kiriş C D CD – çap

İlk durumda düz çizginin ve dairenin göreceli konumunu inceleyelim: d – dairenin merkezinden düz çizgiye olan mesafe O A B N d

İkinci durum: O N r bir ortak nokta d = r d – dairenin merkezinden d düz çizgisine olan mesafe

Üçüncü durum: O H d r d > r d – çemberin merkezinden düz çizgiye kadar olan mesafenin ortak noktası yoktur

Bir doğru ile bir dairenin kaç ortak noktası olabilir? d r iki ortak nokta bir ortak noktanın ortak noktası yoktur Çemberin merkezinden düz çizgiye olan uzaklık çemberin yarıçapından küçükse, o zaman düz çizgi ile çemberin iki ortak noktası vardır. Çemberin merkezinden düz çizgiye olan uzaklık çemberin yarıçapına eşitse, o zaman düz çizgi ile çemberin yalnızca bir ortak noktası vardır. Çemberin merkezinden düz çizgiye olan mesafe çemberin yarıçapından büyükse, o zaman düz çizgi ile çemberin ortak noktaları yoktur.

Çembere teğet Tanım: Bir çemberle yalnızca bir ortak noktası olan doğruya çembere teğet, ortak noktalarına da doğrunun ve çemberin teğet noktası denir. Ö s = r M m

Aşağıdaki durumlarda çizginin ve dairenin göreceli konumunu bulun: r = 15 cm, s = 11 cm r = 6 cm, s = 5,2 cm r = 3,2 m, s = 4,7 m r = 7 cm, s = 0,5 dm r = 4 cm, s = 4 0 mm düz çizgi - kesen çizgi - kesen çizgi ortak noktası yok düz çizgi - kesen çizgi - teğet

Teğet özelliği: Bir daireye teğet, teğet noktasına çizilen yarıçapa diktir. m – merkezli daireye teğet O M – temas noktası OM – yarıçap O M m

Bir noktadan geçen teğetlerin özelliği: ▼ Teğet özelliği ile ∆ ABO, ∆ ACO–dikdörtgen ∆ ABO= ∆ ACO–hipotenüs ve kenar ile: OA – genel, OB=OS – yarıçap AB=AC ve ▲ O BCA A 1 2 3 4 Bir noktadan çizilen bir daireye teğet olan parçalar, bu noktadan ve dairenin merkezinden geçen bir doğru ile eşit ve eşit açılar yapar.

Teğet işareti: Bir doğru, dairenin üzerinde bulunan yarıçapın ucundan geçiyorsa ve yarıçapa dik ise, o zaman teğettir. OM m yarıçaplı O merkezli daire – M ve m noktasından geçen düz bir çizgi – O M m teğeti

633 numaralı soruyu çözün. Verilenler: OABC karesi AB = 6 cm O merkezli, yarıçapı 5 cm olan daire Bulunan: OA, AB, BC, AC O A B C O doğrularından kesen parçalar

638, 640 numaralı soruyu çözün. d/z: notları öğrenin, No. 631, 635

Konuyla ilgili: metodolojik gelişmeler, sunumlar ve notlar

Amaç: Düz bir çizginin ve düzlemin göreceli konumunu belirleme yeteneğini pekiştirmek, problem çözme becerilerini test etmek ve takım çalışması duygusunu geliştirmek. ...

düz bir çizginin ve bir dairenin göreceli konumu. 8. sınıf.

Sunum, hazır çizimler kullanılarak çözülen dört sözlü problem içermektedir. Hedef: öğrencileri yeni materyaller öğrenmeye hazırlamak...

Düz bir çizginin ve bir dairenin göreceli konumu. İki dairenin göreceli konumu.

"Bir çizginin ve bir dairenin göreceli konumu. İki dairenin göreceli konumu" konulu ders için notlar ve sunum. 6. sınıfta "Matematik - 6" ders kitabını kullanarak ders. G.V. Dorofeev, ben...

Önemli bir tanımı hatırlayalım: Çemberin tanımı.]

Tanım:

Merkezi O noktasında ve yarıçapı R olan bir daire, O noktasından R mesafesinde bulunan düzlemin tüm noktalarının kümesidir.

Çemberin bir küme olduğuna dikkat edelim herkes Tanımlanan koşulu karşılayan noktalar. Bir örneğe bakalım:

Karenin A, B, C, D noktaları E noktasına eşit uzaklıktadır ancak bunlar bir daire değildir (Şekil 1).

Pirinç. 1. Örnek olarak illüstrasyon

Bu durumda şekil bir dairedir, çünkü hepsi merkezden eşit uzaklıktaki bir dizi noktadır.

Bir daire üzerinde herhangi iki noktayı birleştirirseniz bir akor elde edersiniz. Merkezden geçen kirişe çap denir.

MB - akor; AB - çap; MnB bir yaydır, MV akoru tarafından daraltılır;

Açıya merkezi denir.

O noktası çemberin merkezidir.

Pirinç. 2. Örnek olarak illüstrasyon

Böylece dairenin ne olduğunu ve ana unsurlarını hatırladık. Şimdi dairenin ve düz çizginin göreceli konumunu düşünmeye geçelim.

Merkezi O ve yarıçapı r olan bir daire veriliyor. Düz çizgi P, merkezden düz çizgiye, yani OM'ye dik olan mesafe d'ye eşittir.

O noktasının P doğrusu üzerinde olmadığını varsayalım.

Bir daire ve bir doğru verildiğinde ortak noktaların sayısını bulmamız gerekir.

Dava 1 - dairenin merkezinden düz çizgiye olan mesafe dairenin yarıçapından daha azdır:

İlk durumda, d mesafesi r dairesinin yarıçapından küçük olduğunda M noktası dairenin içinde yer alır. Bu noktadan itibaren MA ve MB olmak üzere iki segment çizeceğiz ve bunların uzunluğu . r ve d'nin değerlerini biliyoruz, d r'den küçüktür, bu da ifadenin var olduğu ve A ve B noktalarının var olduğu anlamına gelir. Bu iki nokta yapı itibariyle düz bir çizgi üzerinde yer almaktadır. Çemberin üzerinde uzanıp yatmadıklarını kontrol edelim. Pisagor teoremini kullanarak OA ve OB mesafesini hesaplayalım:

Pirinç. 3. Durum 1 için örnek resim

Merkezden iki noktaya olan mesafe çemberin yarıçapına eşit olduğundan A ve B noktalarının çembere ait olduğunu kanıtlamış olduk.

Yani, A ve B noktaları yapı itibariyle doğruya aittirler, kanıtlanmış olana göre çembere aittirler - çember ve doğrunun iki ortak noktası vardır. Başka hiçbir noktanın olmadığını kanıtlayalım (Şekil 4).

Pirinç. 4. Kanıt için örnek

Bunu yapmak için, düz bir çizgi üzerinde rastgele bir C noktası alın ve bunun bir daire üzerinde bulunduğunu varsayın - OS = r mesafesi. Bu durumda, üçgen ikizkenardır ve OM segmenti ile çakışmayan medyanı ON, yüksekliktir. Bir çelişkiyle karşı karşıyayız: O noktasından bir düz çizgiye iki dik çizgi bırakılıyor.

Dolayısıyla P doğrusu üzerinde çemberle başka ortak nokta yoktur. d mesafesinin r çemberinin yarıçapından küçük olması durumunda düz çizgi ile çemberin yalnızca iki ortak noktasının olduğunu kanıtladık.

İkinci durum - dairenin merkezinden düz çizgiye olan mesafe dairenin yarıçapına eşittir (Şekil 5):

Pirinç. 5. Durum 2 için örnek resim

Bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafenin dikin uzunluğu olduğunu hatırlayın, bu durumda OH diktir. Koşul gereği OH uzunluğu çemberin yarıçapına eşit olduğundan, H noktası çembere aittir, dolayısıyla H noktası doğru ve çemberle ortaktır.

Başka hiçbir ortak noktanın olmadığını kanıtlayalım. Buna karşılık, doğru üzerindeki C noktasının çembere ait olduğunu varsayalım. Bu durumda OS mesafesi r'ye eşittir ve bu durumda OS, OH'ye eşittir. Ancak bir dik üçgende hipotenüs OC, OH kenarından daha büyüktür. Bir çelişki yaşadık. Dolayısıyla varsayım yanlıştır ve H dışında doğru ve çemberin ortak noktası yoktur. Bu durumda tek bir ortak noktanın olduğunu kanıtladık.

Durum 3 - dairenin merkezinden düz çizgiye olan mesafe dairenin yarıçapından daha büyüktür:

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe dikmenin uzunluğudur. O noktasından P çizgisine dik bir çizgi çizeriz, dairenin üzerinde yer almayan H noktasını elde ederiz, çünkü OH koşul gereği dairenin yarıçapından daha büyüktür. Doğru üzerindeki herhangi bir noktanın çemberin üzerinde olmadığını kanıtlayalım. Bu açıkça görülüyor dik üçgen OM hipotenüsü OH kenarından daha büyüktür ve bu nedenle dairenin yarıçapından daha büyüktür, dolayısıyla M noktası, doğru üzerindeki diğer herhangi bir nokta gibi daireye ait değildir. Bu durumda daire ile düz çizginin ortak noktalarının olmadığını kanıtladık (Şekil 6).

Pirinç. 6. Durum 3 için örnek resim

Hadi düşünelim teorem . AB düz çizgisinin daireyle iki ortak noktası olduğunu varsayalım (Şekil 7).

Pirinç. 7. Teoremin gösterimi

AB akorumuz var. H noktası geleneksel olarak AB kirişinin ortasıdır ve CD çapı üzerinde yer alır.

Bu durumda çapın kirişe dik olduğunun kanıtlanması gerekmektedir.

Kanıt:

OAB ikizkenar üçgenini düşünün, ikizkenardır çünkü .

H noktası, geleneksel olarak, kirişin orta noktasıdır; bu, bir ikizkenar üçgenin ortanca AB'sinin orta noktası anlamına gelir. Bir ikizkenar üçgenin kenarortayının tabanına dik olduğunu, yani yüksekliğinin olduğunu biliyoruz; böylece kirişin ortasından geçen çapın ona dik olduğu kanıtlanmış olur.

Adil ve ters teoremi : çap akora dik ise ortasından geçer.

Merkezi O olan, çapı CD ve kirişi AB olan bir çember veriliyor. Çapın akora dik olduğu bilinmektedir; ortasından geçtiğini kanıtlamak gerekir (Şekil 8).

Pirinç. 8. Teoremin gösterimi

Kanıt:

OAB ikizkenar üçgenini düşünün, ikizkenardır çünkü . OH, çap kirişe dik olduğundan, geleneksel olarak üçgenin yüksekliğidir. Bir ikizkenar üçgenin yüksekliği aynı zamanda ortancadır, yani AN = HB, yani H noktası AB kirişinin orta noktasıdır, bu da kirişe dik olan çapın orta noktasından geçtiği kanıtlanmış demektir.

Doğrudan ve ters teorem aşağıdaki gibi genelleştirilebilir.

Teorem:

Bir çap, ancak ve ancak orta noktasından geçiyorsa kirişe diktir.

Bu nedenle, bir çizginin ve bir dairenin göreceli konumunun tüm durumlarını göz önünde bulundurduk. Bir sonraki dersimizde çemberin teğetine bakacağız.

Kaynakça

1. Alexandrov M.S. vb. Geometri 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri 8. - M.: Eğitim, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri 8. sınıf. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Edu.glavsprav.ru ().
2. Webmath.exponenta.ru ().
3. Fmclass.ru ().

Ev ödevi

Görev 1. Akorun uzunluğu 16 cm ise ve çapı ona dikse, daire çapının bölündüğü akorun iki bölümünün uzunluğunu bulun.

Görev 2. Aşağıdaki durumlarda bir doğrunun ve bir dairenin ortak noktalarının sayısını belirtin:

a) Düz çizgiden dairenin merkezine olan mesafe 6 cm ve dairenin yarıçapı 6,05 cm'dir;

b) düz çizgiden dairenin merkezine olan mesafe 6,05 cm ve dairenin yarıçapı 6 cm'dir;

c) Düz çizgiden dairenin merkezine olan mesafe 8 cm ve dairenin yarıçapı 16 cm'dir.

Görev 3. Çap ona dik ise akorun uzunluğunu bulun ve çapına göre kesilen bölümlerden biri 2 cm ise.

Daire- belirli bir noktadan belirli bir mesafede bulunan düzlemin tüm noktalarından oluşan geometrik bir şekil.

Bu noktaya (O) denir. dairenin merkezi.
Daire yarıçapı- bu, merkezi daire üzerindeki herhangi bir noktaya bağlayan bir segmenttir. Tüm yarıçaplar aynı uzunluğa sahiptir (tanım gereği).
Akor- bir daire üzerindeki iki noktayı birleştiren bir doğru parçası. Çemberin merkezinden geçen kirişe denir çap. Bir dairenin merkezi herhangi bir çapın orta noktasıdır.
Bir daire üzerindeki herhangi iki nokta onu iki parçaya böler. Bu parçaların her birine denir bir dairenin yayı. Ark denir yarım daire uçlarını birleştiren segment bir çap ise.
Birim yarım dairenin uzunluğu şu şekilde gösterilir: π .
Uçları ortak olan bir dairenin iki yayının derece ölçülerinin toplamı eşittir 360°.
Düzlemin çemberle sınırlanan kısmına denir her yerde.
Dairesel sektör- bir yay ve yayın uçlarını dairenin merkezine bağlayan iki yarıçapla sınırlanan bir dairenin parçası. Sektörü sınırlayan yaya denir sektörün yayı.
Merkezi ortak olan iki çembere denir eşmerkezli.
Dik açılarla kesişen iki çembere denir dikey.

Düz bir çizginin ve bir dairenin göreceli konumu

1. Çemberin merkezinden düz çizgiye olan mesafe çemberin yarıçapından küçükse ( d), o zaman düz çizgi ile dairenin iki ortak noktası vardır. Bu durumda hat çağrılır sekantçemberle ilgili olarak.
2. Çemberin merkezinden düz çizgiye olan uzaklık çemberin yarıçapına eşitse, o zaman düz çizgi ile çemberin yalnızca bir ortak noktası vardır. Bu çizgiye denir çembere teğet ve bunların ortak noktası denir bir çizgi ile bir daire arasındaki teğet nokta.
3. Çemberin merkezinden düz çizgiye olan uzaklık çemberin yarıçapından büyükse, o zaman düz çizgi ve çember ortak noktaları yok
.

Merkezi ve yazılı açılar

Merkezi açı tepe noktası çemberin merkezinde olan bir açıdır.
Yazılı açı- Tepe noktası daire üzerinde bulunan ve kenarları daireyle kesişen açı.

Yazılı açı teoremi

Yazılı bir açı, dayandığı yayın yarısıyla ölçülür.

• Sonuç 1.
  Aynı yayı gören yazılı açılar eşittir.


• Sonuç 2.
  Yarım dairenin kapsadığı yazılı açı dik açıdır.

Kesişen akor parçalarının çarpımı üzerine teorem.

Bir dairenin iki kirişi kesişirse, bir akorun bölümlerinin çarpımı diğer akorun bölümlerinin çarpımına eşittir.

Temel formüller

• Çevre:

• Dairesel yay uzunluğu:

• Çap:

• Dairesel yay uzunluğu:

• Bir dairenin alanı:

• Dairesel sektörün alanı:

Bir dairenin denklemi

• Dikdörtgen koordinat sisteminde yarıçaplı bir dairenin denklemi R bir noktada merkezlenmiş C(x o;y o) şu şekle sahiptir:

• Merkezi orijinde olan r yarıçaplı bir dairenin denklemi şu şekildedir:

Bir matematik öğretmeni tarafından derlenmiştir

MBOU Ortaokulu No. 18, Krasnoyarsk

Andreeva Inga Viktorovna

Düz bir çizginin ve bir dairenin göreceli konumu

HAKKINDA R - yarıçap

İLE D - çap

AB- akor

• Merkezi bir noktada olan daire HAKKINDA yarıçap R
• Merkezden geçmeyen düz bir çizgi HAKKINDA
• Çemberin merkezinden düz çizgiye olan mesafeyi harfle belirtelim S

Üç durum mümkündür:

• 1) S

• az çemberin yarıçapı, o zaman düz çizgi ve çemberin iki ortak nokta .

Doğrudan AB denir sekant çemberle ilgili olarak.

Üç durum mümkündür:

• 2 ) S = R

• Çemberin merkezinden düz çizgiye olan mesafe ise eşittir çemberin yarıçapı, o zaman düz çizgi ve çemberin tek bir ortak nokta .

S = R

Üç durum mümkündür:

• 3 ) efendim

• Çemberin merkezinden düz çizgiye olan mesafe ise Daha bir dairenin yarıçapı, ardından bir düz çizgi ve bir daire ortak noktaları yok .

Bir daireye teğet

Tanım: P bir çemberle yalnızca bir ortak noktası olan doğruya çembere teğet, ortak noktalarına da doğrunun ve çemberin teğet noktası denir.

S = R

• düz çizgi - sekant
• düz çizgi - sekant
• ortak nokta yok
• düz çizgi - sekant
• düz çizgi - teğet

• r = 15 cm, s = 11 cm
• r = 6 cm, s = 5,2 cm
• r = 3,2 m, s = 4,7 m
• r = 7 cm, s = 0,5 dm
• r = 4 cm, s = 4 0 mm

633 numarayı çözün.

• OABC karesi
• AB = 6 cm
• O merkezi yarıçapı 5 cm olan daire

OA, AB, BC, AC düz çizgilerinden sekantlar

Teğet özelliği: Bir daireye teğet, teğet noktasına çizilen yarıçapa diktir.

M-merkezli bir daireye teğet HAKKINDA

M- bağlantı noktası

OM- yarıçap

Teğet işareti: Düz bir çizgi, bir daire üzerinde bulunan bir yarıçapın ucundan geçiyorsa ve yarıçapa dik ise, o zaman bu bir asatif.

merkezi olan daire HAKKINDA

yarıçap OM

M- bir noktadan geçen düz çizgi M

M – teğet

Bir noktadan geçen teğetlerin özelliği:

Teğet bölümler

çizilmiş daireler

aynı noktadan eşit ve

eşit açılar yapın

içinden geçen düz bir çizgiyle

bu nokta ve çemberin merkezi.

▼ Teğet özelliğine göre

∆ AVO, ∆ ASO–dikdörtgen

∆ ABO= ∆ ACO – hipotenüs ve kenar boyunca:

OA - genel,