Kuvvetli denklemleri çözün. Üstel denklemler
Bu derste daha karmaşık üstel denklemlerin çözümüne bakacağız ve üstel fonksiyonla ilgili temel teorik ilkeleri hatırlayacağız.
1. Üstel fonksiyonun tanımı ve özellikleri, en basit üstel denklemleri çözme yöntemleri
Üstel fonksiyonun tanımını ve temel özelliklerini hatırlayalım. Tüm üstel denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümü bu özelliklere dayanmaktadır.
Üstel fonksiyon formun bir fonksiyonudur, burada taban derecedir ve Burada x bağımsız değişken, argümandır; y bağımlı değişkendir, fonksiyon.
Pirinç. 1. Üstel fonksiyonun grafiği
Grafik artan ve azalan üstel sayıları göstermektedir. üstel fonksiyon tabanı sırasıyla birden büyük ve birden küçük ancak sıfırdan büyük olan.
Her iki eğri de (0;1) noktasından geçer
Üstel Fonksiyonun Özellikleri:
Kapsam: ;
Değer aralığı: ;
Fonksiyon monotondur, artar, azalır.
Monotonik bir fonksiyon, değerlerinin her birini tek bir argüman değeri verildiğinde alır.
Argüman eksiden artı sonsuza arttığında, fonksiyon sıfır dahil artı sonsuza kadar artar. Tersine, argüman eksiden artı sonsuza arttığında fonksiyon sonsuzdan sıfıra azalır, bu kapsayıcı değildir.
2. Standart üstel denklemlerin çözülmesi
En basit üstel denklemlerin nasıl çözüleceğini size hatırlatalım. Çözümleri üstel fonksiyonun monotonluğuna dayanmaktadır. Hemen hemen tüm karmaşık üstel denklemler bu tür denklemlere indirgenebilir.
Üslerin eşitliği eşit şartlardaüstel fonksiyonun özelliğinden, yani monotonluğundan dolayı.
Çözüm yöntemi:
Derece tabanlarını eşitleyin;
Üsleri eşitleyin.
Daha karmaşık üstel denklemleri ele almaya devam edelim; amacımız her birini en basitine indirgemektir.
Sol taraftaki kökten kurtulup dereceleri aynı tabana getirelim:
Karmaşık bir üstel denklemi en basitine indirgemek için sıklıkla değişkenlerin ikamesi kullanılır.
Power özelliğini kullanalım:
Bir yedek sunuyoruz. Olsun o zaman 
Ortaya çıkan denklemi ikiyle çarpalım ve tüm terimleri sol tarafa taşıyalım:
İlk kök y değerlerinin aralığını karşılamadığından onu atıyoruz. Şunu elde ederiz:
Dereceleri aynı göstergeye indirelim:
Bir değiştirmeyi tanıtalım:
Olsun o zaman 
. Böyle bir değiştirmeyi kesinlikle kabul ettiğiniz açıktır. pozitif değerler. Şunu elde ederiz:
Bu tür ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğini biliyoruz, cevabı yazabiliriz:
Köklerin doğru şekilde bulunduğundan emin olmak için Vieta teoremini kullanarak kontrol edebilirsiniz, yani köklerin toplamını ve çarpımını bulabilir ve bunları denklemin karşılık gelen katsayılarıyla karşılaştırabilirsiniz.
Şunu elde ederiz:
3. İkinci dereceden homojen üstel denklemleri çözme metodolojisi
Aşağıdaki önemli üstel denklem türlerini inceleyelim:
Bu tür denklemlere f ve g fonksiyonlarına göre ikinci dereceden homojen denir. Sol tarafta var ikinci dereceden üç terimli g parametresi ile f'ye göreli veya f parametresi ile g'ye göre ikinci dereceden üç terimli.
Çözüm yöntemi:
Bu denklem ikinci dereceden bir denklem olarak çözülebilir, ancak bunu farklı şekilde yapmak daha kolaydır. Göz önünde bulundurulması gereken iki durum vardır:
İlk durumda elde ettiğimiz
İkinci durumda, en yüksek dereceye bölme ve şunu elde etme hakkına sahibiz:
Değişkenlerde bir değişiklik yapmalıyız, şunu elde ederiz: ikinci dereceden denklem y'ye göre:
f ve g fonksiyonlarının herhangi biri olabileceğini belirtelim, ancak bunların üstel fonksiyonlar olduğu durumla ilgileniyoruz.
4. Homojen denklemleri çözme örnekleri
Tüm terimleri denklemin sol tarafına taşıyalım:
Üstel fonksiyonlar kesinlikle pozitif değerler elde ettiğinden, aşağıdaki durumları dikkate almadan denklemi hemen bölme hakkına sahibiz:
Şunu elde ederiz:
Bir değiştirmeyi tanıtalım: 
(üstel fonksiyonun özelliklerine göre)
İkinci dereceden bir denklemimiz var:
Kökleri Vieta teoremini kullanarak belirliyoruz:
İlk kök, y'nin değer aralığını karşılamıyor, onu atarız ve şunu elde ederiz:
Derecelerin özelliklerini kullanalım ve tüm dereceleri basit tabanlara indirgeyelim:
f ve g işlevlerini fark etmek kolaydır:
Üstel fonksiyonlar kesinlikle pozitif değerler elde ettiğinden, durumu dikkate almadan denklemi hemen bölme hakkına sahibiz.
1°. Üstel denklemlerÜslü değişken içeren denklemlere denir.
Üstel denklemlerin çözümü kuvvetlerin özelliğine dayanır: aynı tabana sahip iki kuvvet ancak ve ancak üslerinin eşit olması durumunda eşittir.
2°. Üstel denklemleri çözmek için temel yöntemler:
1) en basit denklemin bir çözümü vardır;
2) tabana göre logaritmik formda bir denklem A biçimlendirmek için azaltın;
3) formdaki bir denklem denkleme eşdeğerdir;
4) formun denklemi 
denklemine eşdeğerdir.
5) formdaki bir denklem, bir denklemin değiştirilmesi yoluyla indirgenir ve daha sonra bir dizi basit üstel denklem çözülür;
6) karşılıklı denklem 
yerine koyma yoluyla bir denkleme indirgerler ve ardından bir dizi denklemi çözerler;
7) göre homojen denklemler a g(x) Ve bg(x) buna göre 
tür 
yerine koyma yoluyla bir denkleme indirgerler ve ardından bir dizi denklemi çözerler.
Üstel denklemlerin sınıflandırılması.
1. Bir tabana giderek çözülen denklemler.
Örnek 18. Denklemi çözün 
.
Çözüm: Tüm kuvvet tabanlarının 5: sayısının kuvvetleri olduğu gerçeğinden yararlanalım.
2. Bir üsse geçilerek çözülen denklemler.
Bu denklemler orijinal denklemin forma dönüştürülmesiyle çözülür. Orantı özelliği kullanılarak en basit haline indirgenmiştir.
Örnek 19. Denklemi çözün:
3. Parantezlerin ortak çarpanı çıkarılarak çözülen denklemler.
Bir denklemdeki her bir üs diğerinden belirli bir sayı kadar farklıysa, en küçük üssün bulunduğu üs parantez dışına alınarak denklemler çözülür.
Örnek 20. Denklemi çözün.
Çözüm: Denklemin sol tarafındaki parantez içindeki üssün en küçük olduğu dereceyi alalım:
Örnek 21. Denklemi çözün 
Çözüm: Denklemin sol tarafında 4 tabanındaki kuvvetleri içeren terimleri, sağ tarafında 3 tabanındaki kuvvetleri içeren terimleri ayrı ayrı gruplayalım, ardından en küçük üslü kuvvetleri parantezlerin dışına koyalım:
4. İkinci dereceden (veya kübik) denklemlere indirgenen denklemler.
Aşağıdaki denklemler yeni bir y değişkeni için ikinci dereceden bir denkleme indirgenir:
a) bu durumda oyuncu değişikliğinin türü;
b) oyuncu değişikliğinin türü ve.
Örnek 22. Denklemi çözün 
.
Çözüm: Değişken değişikliği yapalım ve ikinci dereceden denklemi çözelim:
.
Cevap: 0; 1.
5. Üstel fonksiyonlara göre homojen olan denklemler.
Formun bir denklemi homojen denklem bilinmeyenlere göre ikinci derece bir x Ve bx. Bu tür denklemler, önce her iki tarafı da bölerek ve ardından bunları ikinci dereceden denklemlere koyarak indirgenir.
Örnek 23. Denklemi çözün.
Çözüm: Denklemin her iki tarafını da şuna bölün:
Koyarak kökleri olan ikinci dereceden bir denklem elde ederiz.
Şimdi sorun bir dizi denklemin çözümüne geliyor 
. İlk denklemden bunu buluyoruz. İkinci denklemin kökleri yoktur, çünkü herhangi bir değer için X.
Cevap: -1/2.
6. Üstel fonksiyonlara göre rasyonel denklemler.
Örnek 24. Denklemi çözün.
Çözüm: Kesrin payını ve paydasını aşağıdaki sayıya bölün: 3x ve iki yerine bir üstel fonksiyon elde ediyoruz:
7. Formun denklemleri 
.
Koşul tarafından belirlenen bir dizi kabul edilebilir değere (APV) sahip bu tür denklemler, denklemin her iki tarafının logaritması alınarak eşdeğer bir denkleme indirgenir ve bu da iki denklem veya bir diziye eşdeğerdir.
Örnek 25. Denklemi çözün: .
.
Didaktik materyal.
Denklemleri çözün:
1. ; 2. ; 3. 
;
4. 
; 5. ; 6. ;
9. 
; 10. 
; 11. 
;
14. 
; 15. ;
16. 
; 17. 
;
18. ; 19. 
;
20. ; 21. 
;
22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
.
26. Denklemin köklerinin çarpımını bulun 
.
27. Denklemin köklerinin toplamını bulun 
.
İfadenin anlamını bulun:
28. , nerede x 0– denklemin kökü;
29. , nerede x 0– denklemin tam kökü 
.
Denklemi çözün:
31. 
; 32. .
Cevaplar: 1.0; 2.-2/9; 3.1/36; 4.0, 0.5; 5.0; 6.0; 7.-2; 8.2; 9.1, 3; 10.8; 11.5; 12.1; 13.¼; 14.2; 15. -2, -1; 16.-2, 1; 17.0; 18.1; 19.0; 20. -1, 0; 21.-2, 2; 22. -2, 2; 23.4; 24.-1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27.3; 28.11; 29.54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .
8 numaralı konu.
Üstel eşitsizlikler.
1°. Üssü değişken içeren eşitsizliğe denir üstel eşitsizlik.
2°. Formun üstel eşitsizliklerinin çözümü aşağıdaki ifadelere dayanmaktadır:
eğer ise eşitsizlik şuna eşittir;
eğer ise eşitsizlik eşittir.
Üstel eşitsizlikleri çözerken, üstel denklemleri çözerken kullandığınız tekniklerin aynısını kullanın.
Örnek 26. Eşitsizliği çözün 
(tek bir üsse taşınma yöntemi).
Çözüm: O zamandan beri 
ise verilen eşitsizlik şu şekilde yazılabilir: 
. O zamandan beri, bu eşitsizlik eşitsizliğe eşdeğerdir 
.
Son eşitsizliği çözerek şunu elde ederiz:
Örnek 27. Eşitsizliği çözün: ( ortak çarpanı parantezlerden çıkararak).
Çözüm: Eşitsizliğin sol tarafındaki, sağ tarafındaki parantezleri çıkarıp eşitsizliğin her iki tarafını da (-2)'ye bölerek eşitsizliğin işaretini ters yönde değiştirelim:
O zamandan beri göstergelerin eşitsizliğine geçildiğinde eşitsizliğin işareti yine tersine değişiyor. Anlıyoruz. Dolayısıyla bu eşitsizliğin tüm çözümlerinin kümesi aralıktır.
Örnek 28. Eşitsizliği çözün ( yeni bir değişken ekleyerek).
Çözüm: Let . O zaman bu eşitsizlik şu şekli alacaktır: 
veya 
, bunun çözümü aralıktır.
Buradan. Fonksiyon arttığına göre .
Didaktik materyal.
Eşitsizliğin çözüm kümesini listeleyin:
1. ; 2. ; 3. ;
6. Hangi değerlerde X Fonksiyon grafiğindeki noktalar düz çizginin altında mı bulunuyor?
7. Hangi değerlerde X Fonksiyonun grafiğindeki noktalar en az düz çizgi kadar alçakta mı bulunuyor?
Eşitsizliği çözün:
8. 
; 9. 
; 10. ;
13. Eşitsizliğin en büyük tamsayı çözümünü belirtin 
.
14. Eşitsizliğin en büyük tam sayı ile en küçük tam sayı çözümlerinin çarpımını bulun 
.
Eşitsizliği çözün:
15. ; 16. 
; 17. 
;
18. 
; 19. ; 20. ;
21. 
; 22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
; 26. 
.
Fonksiyonun etki alanını bulun:
27. 
; 28. 
.
29. Her fonksiyonun değerinin 3'ten büyük olduğu argüman değerleri kümesini bulun:
Ve 
.
Cevaplar: 11.3; 12.3; 13.-3; 14.1; 15.(0;0,5); 16. ; 17.(-1;0)U(3;4); 18. [-2; 2]; 19.(0; +∞); 20.(0;1); 21.(3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23.(0;1); 24.(-1;1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. )
