Uygulanan kuvvetler örneğini kullanarak sinüs ve kosinüs. Dar açının sinüs, kosinüs, teğet, kotanjantı

Bence bundan daha fazlasını hak ediyorsun. İşte trigonometri anahtarım:

• Kubbeyi, duvarı ve tavanı çizin
• Trigonometrik fonksiyonlar bundan başka bir şey değildir yüzde bu üç form.

Sinüs ve kosinüs metaforu: kubbe

Sadece üçgenlere bakmak yerine, gerçek hayattan belirli bir örnek bularak onları çalışırken hayal edin.

Bir kubbenin ortasında olduğunuzu ve bir film projektör ekranı asmak istediğinizi hayal edin. Parmağınızı kubbeye belirli bir “x” açısıyla doğrultuyorsunuz ve ekranın bu noktadan asılı kalması gerekiyor.

İşaret ettiğiniz açı şunları belirler:

• sinüs(x) = sin(x) = ekran yüksekliği (zeminden kubbe montaj noktasına kadar)
• kosinüs(x) = cos(x) = sizden ekrana olan mesafe (kata göre)
• hipotenüs, sizden ekranın tepesine olan mesafe, her zaman aynıdır, kubbenin yarıçapına eşittir

Ekranın mümkün olduğunca büyük olmasını mı istiyorsunuz? Doğrudan üzerinize asın.

Ekranın sizden mümkün olduğunca uzağa asılmasını mı istiyorsunuz? Düz bir şekilde dik olarak asın. Bu konumda ekranın yüksekliği sıfır olacak ve istediğiniz gibi en uzağa asılacaktır.

Yükseklik ve ekrana olan mesafe ters orantılıdır: ekran ne kadar yakınsa yüksekliği de o kadar artar.

Sinüs ve kosinüs yüzdedir

Ne yazık ki, eğitim yıllarım boyunca hiç kimse bana sinüs ve kosinüs trigonometrik fonksiyonların yüzdelerden başka bir şey olmadığını açıklamadı. Değerleri +%100 ile %0 ila -%100 arasında veya pozitif maksimumdan sıfıra ve negatif maksimuma kadar değişir.

Diyelim ki 14 ruble vergi ödedim. Ne kadar olduğunu bilmiyorsun. Ama yüzde 95 vergi ödedim derseniz, beni kandırdığımı anlayacaksınız.

Mutlak yükseklik hiçbir şey ifade etmez. Ancak sinüs değeri 0,95 ise TV'nin neredeyse kubbenizin tepesinde asılı olduğunu anlıyorum. Çok yakında ulaşacak maksimum yükseklik kubbenin ortasında yer alır ve daha sonra tekrar alçalmaya başlar.

Bu yüzdeyi nasıl hesaplayabiliriz? Çok basit: mevcut ekran yüksekliğini mümkün olan maksimum değere (kubbenin yarıçapı, aynı zamanda hipotenüs olarak da adlandırılır) bölün.

Bu yüzden bize “kosinüs = karşı kenar / hipotenüs” deniyor. Her şey ilgi çekmekle ilgili! Sinüsü "mümkün olan maksimumdan mevcut yüksekliğin yüzdesi" olarak tanımlamak en iyisidir. (Açınız "yeraltını" gösterirse sinüs negatif olur. Açı arkanızdaki kubbe noktasına doğru bakarsa kosinüs negatif olur.)

Birim çemberin merkezinde (yarıçap = 1) olduğumuzu varsayarak hesaplamaları basitleştirelim. Bölmeyi atlayıp sinüsü yüksekliğe eşitleyebiliriz.

Her daire aslında ölçeği büyütülmüş veya küçültülmüş bir birimdir. doğru boyut. Bu nedenle birim çember bağlantılarını belirleyin ve sonuçları kendi daire boyutunuza uygulayın.

Deney: Herhangi bir açıdan bakın ve ne olduğunu görün yüzde yükseklikten genişliğe şunu görüntüler:

Sinüs değerinin büyüme grafiği sadece düz bir çizgi değildir. İlk 45 derece yüksekliğin %70'ini kaplar, ancak son 10 derece (80°'den 90°'ye kadar) yalnızca %2'sini kaplar.

Bu sizin için daha açıklayıcı olacaktır: Bir daire içinde yürürseniz, 0°'de neredeyse dikey olarak yükselirsiniz, ancak kubbenin tepesine yaklaştıkça yükseklik giderek daha az değişir.

Teğet ve sekant. Duvar

Bir gün komşunun biri duvar ördü hemen yan yana senin kubbene. Pencereden görünüşünü ağladım ve iyi fiyat yeniden satış için!

Ancak bu durumda bir şekilde kazanmak mümkün mü?

Tabii ki evet. Peki ya komşumuzun duvarına bir film ekranı assak? (x) açısını hedeflersiniz ve şunu elde edersiniz:

• tan(x) = tan(x) = duvardaki ekranın yüksekliği
• sizden duvara olan mesafe: 1 (bu sizin kubbenizin yarıçapıdır, duvar sizden hiçbir yere hareket etmiyor, değil mi?)
• secant(x) = sec(x) = kubbenin ortasında durduğunuz yerden asılı perdenin tepesine kadar “merdivenin uzunluğu”

Teğet veya ekran yüksekliğiyle ilgili birkaç noktayı açıklığa kavuşturalım.

• 0'dan başlar ve sonsuza kadar yükselebilir. En sevdiğiniz filmi izlemek için sonsuz bir tuval oluşturmak amacıyla ekranı duvarda giderek daha yükseğe uzatabilirsiniz! (Böylesine büyük bir şey için elbette çok para harcamanız gerekecek).
• teğet sinüsün sadece daha büyük bir versiyonudur! Kubbenin tepesine doğru ilerledikçe sinüsteki artış yavaşlarken, teğet büyümeye devam ediyor!

Sekansu'nun da övüneceği bir şey var:

• Seans 1'den başlar (merdiven yerde, sizden duvara doğru) ve oradan yükselmeye başlar.
• Sekant her zaman teğetten daha uzundur. Ekranınızı asmak için kullandığınız eğimli merdiven ekranın kendisinden daha uzun olmalı değil mi? (Gerçekçi olmayan boyutlarda, ekran çok uzun olduğunda ve merdivenin neredeyse dikey olarak yerleştirilmesi gerektiğinde boyutları hemen hemen aynıdır. Ancak o zaman bile sekant biraz daha uzun olacaktır).

Unutmayın, değerler yüzde. Ekranı 50 derecelik bir açıyla asmaya karar verirseniz tan(50)=1,19 olur. Ekranınız duvara olan mesafeden (kubbe yarıçapı) %19 daha büyüktür.

(x=0 girin ve sezginizi kontrol edin - tan(0) = 0 ve sec(0) = 1.)

Kotanjant ve kosekant. Tavan

İnanılmaz bir şekilde, komşunuz artık kubbenizin üzerine bir çatı inşa etmeye karar verdi. (Onun nesi var? Görünüşe göre bahçede çıplak dolaşırken onu gözetlemeni istemiyor...)

Artık çatıya bir çıkış yapıp komşunuzla konuşmanın zamanı geldi. Eğim açısını seçersiniz ve inşaata başlarsınız:

• çatı çıkışı ile zemin arasındaki dikey mesafe her zaman 1'dir (kubbenin yarıçapı)
• kotanjant(x) = cot(x) = kubbenin üstü ile çıkış noktası arasındaki mesafe
• cosecant(x) = csc(x) = çatıya giden yolunuzun uzunluğu

Teğet ve kesen duvarı, COtanjant ve COsekant ise tavanı tanımlar.

Bu seferki sezgisel sonuçlarımız öncekilere benzer:

• Açıyı 0°'ye eşit alırsanız tavana asla ulaşamayacağı için çatıya çıkışınız sonsuza kadar sürecektir. Sorun.
• Zemine 90 derecelik bir açıyla inşa ederseniz çatıya giden en kısa “merdiven” elde edilecektir. Kotanjant 0'a eşit olacaktır (çatı boyunca hiç hareket etmiyoruz, kesinlikle dik olarak çıkıyoruz) ve kosekant 1'e eşit olacaktır ("merdivenin uzunluğu" minimum olacaktır).

Bağlantıları görselleştirin

Her üç kasa da kubbe-duvar-tavan birleşiminde çizilirse sonuç şu şekilde olacaktır:

Hâlâ aynı üçgen, duvara ve tavana ulaşacak kadar büyütülmüş. Dikey kenarlarımız (sinüs, teğet), yatay kenarlarımız (kosinüs, kotanjant) ve “hipotenüslerimiz” (sekant, kosekant) vardır. (Oklarla her bir elemanın nereye ulaştığını görebilirsiniz. Kosekant sizden çatıya kadar olan toplam mesafedir).

Biraz sihir. Tüm üçgenler aynı eşitlikleri paylaşır:

Pisagor teoreminden (a 2 + b 2 = c 2) her üçgenin kenarlarının nasıl bağlandığını görüyoruz. Ayrıca “yükseklik-genişlik” oranları da tüm üçgenler için aynı olmalıdır. (En büyük üçgenden en küçüğüne geçin. Evet, boyut değişti ancak kenarların oranları aynı kalacak).

Her üçgenin hangi tarafının 1'e (kubbenin yarıçapı) eşit olduğunu bildiğimizde "sin/cos = tan/1" sonucunu kolaylıkla hesaplayabiliriz.

Bu gerçekleri her zaman basit görselleştirme yoluyla hatırlamaya çalıştım. Resimde bu bağımlılıkları açıkça görüyor ve nereden geldiklerini anlıyorsunuz. Bu teknik kuru formülleri ezberlemekten çok daha iyidir.

Diğer açıları unutmayın

Şşş... Teğetin her zaman 1'den küçük olduğunu düşünerek tek bir grafiğe takılıp kalmayın. Açıyı artırırsanız duvara ulaşmadan tavana ulaşabilirsiniz:

Pisagor bağlantıları her zaman işe yarar, ancak göreceli boyutlar değişebilir.

(Sinüs ve kosinüs oranlarının kubbenin içinde yer almasından dolayı her zaman en küçük olduğunu fark etmişsinizdir).

Özetlemek gerekirse: neyi hatırlamamız gerekiyor?

Çoğumuz için bunun yeterli olacağını söyleyebilirim:

• trigonometri daireler ve tekrarlanan aralıklar gibi matematiksel nesnelerin anatomisini açıklar
• Kubbe/duvar/çatı analojisi farklı trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişkiyi gösterir
• Trigonometrik fonksiyonlar yüzdelerle sonuçlanır ve bunu senaryomuza uygularız.

1 2 + cot 2 = csc 2 gibi formülleri ezberlemenize gerek yok. Bunlar yalnızca bir gerçeğin bilgisinin onu anlamak olarak aktarıldığı aptalca testler için uygundur. Bir dakikanızı ayırıp kubbe, duvar ve çatı şeklinde bir yarım daire çizin, elemanları etiketleyin; tüm formüller size kağıt üzerinde gelecektir.

Uygulama: Ters Fonksiyonlar

Herhangi bir trigonometrik fonksiyon, giriş parametresi olarak açıyı alır ve sonucu yüzde olarak döndürür. günah(30) = 0,5. Bu, 30 derecelik bir açının maksimum yüksekliğin %50'sini kapladığı anlamına gelir.

Ters trigonometrik fonksiyon sin -1 veya arcsin olarak yazılır. Ayrıca sıklıkla şu şekilde yazılır: çeşitli diller programlama.

Yüksekliğimiz kubbe yüksekliğinin %25'i ise açımız nedir?

Oranlar tablomuzda sekantın 1'e bölündüğü bir oran bulabilirsiniz. Örneğin, 1'e bölünen sekant (yatay hipotenüs) 1'in kosinüse bölünmesine eşit olacaktır:

Diyelim ki sekantımız 3,5, yani. Birim çemberin yarıçapının %350'si. Bu değer duvara hangi eğim açısına karşılık gelir?

Ek: Bazı örnekler

Sıkıcı bir görev. Sıradan "sinüs bulma" işlemini "Maksimumun (hipotenüs) yüzdesi olarak yükseklik nedir?" şeklinde karmaşıklaştıralım.

Öncelikle üçgenin döndürüldüğüne dikkat edin. Bunda yanlış bir şey yok. Üçgenin de bir yüksekliği vardır, şekilde yeşil renkle gösterilmiştir.

Hipotenüs neye eşittir? Pisagor teoremine göre şunu biliyoruz:

3 2 + 4 2 = hipotenüs 2 25 = hipotenüs 2 5 = hipotenüs

İyi! Sinüs, üçgenin en uzun kenarının veya hipotenüsünün yüksekliğinin yüzdesidir. Örneğimizde sinüs 3/5 veya 0,60'tır.

Elbette birkaç yoldan gidebiliriz. Artık sinüsün 0,60 olduğunu biliyoruz, arksinüsü kolayca bulabiliriz:

Asin(0,6)=36,9

İşte başka bir yaklaşım. Üçgenin "duvara dönük" olduğuna dikkat edin, böylece sinüs yerine teğet kullanabiliriz. Yükseklik 3, duvara olan mesafe 4, yani teğet ¾ veya %75'tir. Yüzde değerinden bir açıya geri dönmek için arktanjantı kullanabiliriz:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Örnek: Kıyıya yüzecek misin?

Bir teknedesiniz ve 2 km yol almaya yetecek kadar yakıtınız var. Artık kıyıdan 0,25 km uzaktasınız. Yeterli yakıta sahip olmak için kıyıya maksimum hangi açıda yüzebilirsiniz? Sorun açıklamasına ek olarak: elimizde yalnızca ark kosinüs değerleri tablosu var.

Elimizde ne var? Ünlü üçgenimizde kıyı şeridi bir “duvar” olarak temsil edilebilir ve duvara tutturulan “merdiven uzunluğu” teknenin kıyıya kadar kat edebileceği maksimum mesafedir (2 km). Bir sekant belirir.

İlk önce yüzdelere gitmeniz gerekiyor. Elimizde 2/0.25 = 8 var, yani kıyıya (veya duvara) olan düz mesafenin 8 katı kadar bir mesafeyi yüzebiliriz.

Şu soru ortaya çıkıyor: "8'in sekantı nedir?" Ancak elimizde yalnızca yay kosinüsleri olduğu için buna cevap veremeyiz.

Sekantı kosinüsle ilişkilendirmek için önceden türetilmiş bağımlılıklarımızı kullanırız: "sn/1 = 1/cos"

8'in sekantı ⅛'nin kosinüsüne eşittir. Kosinüsü ⅛ olan bir açı acos(1/8) = 82,8'e eşittir. Ve bu, belirtilen miktarda yakıtla bir teknede karşılayabileceğimiz en büyük açıdır.

Fena değil, değil mi? Kubbe-duvar-tavan benzetmesi olmasaydı bir sürü formül ve hesaplamanın içinde kaybolurdum. Sorunu görselleştirmek, çözüm arayışını büyük ölçüde basitleştirir ve sonuçta hangi trigonometrik fonksiyonun yardımcı olacağını görmek de ilginçtir.

Her problem için şunu düşünün: Kubbeyle (sin/cos), duvarla (tan/sn) veya tavanla (karyola/csc) ilgileniyor muyum?

Ve trigonometri çok daha keyifli hale gelecek. Sizin için kolay hesaplamalar!

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant kavramları, matematiğin bir dalı olan trigonometrinin ana kategorileridir ve açının tanımıyla ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır. Bu matematik bilimine hakim olmak, formüllerin ve teoremlerin ezberlenmesini ve anlaşılmasının yanı sıra gelişmiş mekansal düşünmeyi gerektirir. Bu nedenle trigonometrik hesaplamalar genellikle okul çocukları ve öğrenciler için zorluklara neden olur. Bunların üstesinden gelmek için trigonometrik fonksiyonlara ve formüllere daha aşina olmalısınız.

Trigonometride kavramlar

Trigonometrinin temel kavramlarını anlamak için öncelikle dik üçgenin ve daire içindeki açının ne olduğunu ve neden tüm temel trigonometrik hesaplamaların bunlarla ilişkili olduğunu anlamalısınız. Açılarından birinin ölçüsü 90 derece olan üçgen dikdörtgendir. Tarihsel olarak bu figür insanlar tarafından mimari, navigasyon, sanat ve astronomi alanlarında sıklıkla kullanılmıştır. Buna göre, insanlar bu şeklin özelliklerini inceleyerek ve analiz ederek, parametrelerinin karşılık gelen oranlarını hesaplamaya geldiler.

Dik üçgenlerle ilişkili ana kategoriler hipotenüs ve bacaklardır. Hipotenüs - bir üçgenin karşı tarafı dik açı. Bacaklar sırasıyla diğer iki taraftır. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamı her zaman 180 derecedir.

Küresel trigonometri, trigonometrinin okulda incelenmeyen bir bölümüdür, ancak astronomi ve jeodezi gibi uygulamalı bilimlerde bilim adamları bunu kullanır. Küresel trigonometride bir üçgenin özelliği, açılarının toplamının her zaman 180 dereceden büyük olmasıdır.

Bir üçgenin açıları

Bir dik üçgende bir açının sinüsü, istenilen açının karşısındaki kenarın üçgenin hipotenüsüne oranıdır. Buna göre kosinüs oranıdır bitişik bacak ve hipotenüs. Hipotenüs her zaman bacaktan daha uzun olduğundan, bu değerlerin her ikisinin de büyüklüğü her zaman birden küçüktür.

Bir açının tanjantı, istenen açının karşı tarafının bitişik tarafına veya sinüsün kosinüse oranına eşit bir değerdir. Kotanjant ise istenen açının bitişik tarafının karşı tarafa oranıdır. Bir açının kotanjantı, bir açının tanjant değerine bölünmesiyle de elde edilebilir.

Birim çember

Geometride birim çember, yarıçapı bire eşit olan bir çemberdir. Böyle bir daire, dairenin merkezi başlangıç ​​noktasıyla çakışacak şekilde Kartezyen koordinat sisteminde inşa edilir ve başlangıç ​​pozisyonu Yarıçap vektörü, X ekseninin (apsis ekseni) pozitif yönü ile belirlenir. Çember üzerindeki her noktanın iki koordinatı vardır: XX ve YY, yani apsis ve ordinat koordinatları. XX düzlemindeki daire üzerinde herhangi bir noktayı seçip apsis eksenine dik bir noktayı bırakarak, yarıçapın seçilen noktaya (C harfiyle gösterilir) oluşturduğu, X eksenine çizilen dik bir üçgen elde ederiz. (kesişme noktası G harfiyle gösterilir) ve apsis ekseninin segmenti koordinatların başlangıcı (nokta A harfiyle gösterilir) ile kesişme noktası G arasındadır. Ortaya çıkan ACG üçgeni, içinde yazılı bir dik üçgendir. AG'nin hipotenüs, AC ve GC'nin ise kenarlar olduğu bir daire. AC dairesinin yarıçapı ile apsis ekseninin AG işaretli bölümü arasındaki açı α (alfa) olarak tanımlanır. Yani, çünkü α = AG/AC. AC'nin birim çemberin yarıçapı olduğu ve bire eşit olduğu dikkate alındığında cos α=AG olduğu ortaya çıkar. Benzer şekilde sin α=CG.

Ek olarak, bu verileri bilerek, çember üzerindeki C noktasının koordinatını belirleyebilirsiniz, çünkü cos α=AG ve sin α=CG, yani C noktası verilen koordinatlara sahiptir (cos α;sin α). Teğetin sinüsün kosinüs oranına eşit olduğunu bilerek tan α = y/x ve cot α = x/y olduğunu belirleyebiliriz. Açıları negatif koordinat sisteminde dikkate alarak bazı açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin negatif olabileceğini hesaplayabilirsiniz.

Hesaplamalar ve temel formüller

Trigonometrik fonksiyon değerleri

Trigonometrik fonksiyonların özünü birim çember üzerinden ele alarak, bu fonksiyonların değerlerini bazı açılar için türetebiliriz. Değerler aşağıdaki tabloda listelenmiştir.

En basit trigonometrik kimlikler

Trigonometrik fonksiyonun işareti altında bilinmeyen bir değer bulunan denklemlere trigonometrik denir. sin x = α, k - herhangi bir tam sayı değerine sahip kimlikler:

1. günah x = 0, x = πk.
2. 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. günah x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. günah x = a, |a| > 1, çözüm yok.
5. günah x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

k'nin herhangi bir tam sayı olduğu cos x = a değerine sahip kimlikler:

1. çünkü x = 0, x = π/2 + πk.
2. çünkü x = 1, x = 2πk.
3. çünkü x = -1, x = π + 2πk.
4. çünkü x = a, |a| > 1, çözüm yok.
5. çünkü x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

k'nin herhangi bir tam sayı olduğu tg x = a değerine sahip kimlikler:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arktan α + πk.

ctg x = a değerine sahip kimlikler; burada k herhangi bir tamsayıdır:

1. bebek karyolası x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Azaltma formülleri

Bu sabit formül kategorisi, formun trigonometrik işlevlerinden bir argümanın işlevlerine geçebileceğiniz, yani herhangi bir değerin açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantını açının karşılık gelen göstergelerine indirgeyebileceğiniz yöntemleri belirtir. Daha fazla hesaplama kolaylığı için 0 ile 90 derece arasındaki aralık.

Bir açının sinüsüne göre fonksiyonların azaltılmasına yönelik formüller şuna benzer:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Açının kosinüsü için:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Yukarıdaki formüllerin kullanımı iki kurala bağlı olarak mümkündür. Birincisi, eğer açı bir değer (π/2 ± a) veya (3π/2 ± a) olarak temsil edilebiliyorsa, fonksiyonun değeri değişir:

• günahtan cos'a;
• çünkü günahtan günaha;
• tg'den ctg'ye;
• ctg'den tg'ye.

Açı (π ± a) veya (2π ± a) olarak temsil edilebiliyorsa fonksiyonun değeri değişmeden kalır.

İkinci olarak, indirgenmiş fonksiyonun işareti değişmez: başlangıçta pozitifse, öyle kalır. Negatif fonksiyonlarla aynı şey.

Toplama formülleri

Bu formüller trigonometrik fonksiyonları aracılığıyla iki dönme açısının toplamı ve farkının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerini ifade eder. Tipik olarak açılar α ve β olarak gösterilir.

Formüller şöyle görünür:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * günah.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * günah.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Bu formüller herhangi bir α ve β açısı için geçerlidir.

Çift ve üçlü açı formülleri

Çift ve üçlü açı trigonometrik formülleri sırasıyla 2a ve 3a açılarının fonksiyonlarını a açısının trigonometrik fonksiyonlarıyla ilişkilendiren formüllerdir. Toplama formüllerinden türetilmiştir:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Toplamdan ürüne geçiş

2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) olduğunu düşünürsek, bu formülü basitleştirerek sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 özdeşliğini elde ederiz. Benzer şekilde sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Üründen toplama geçiş

Bu formüller, bir toplamın bir ürüne geçişinin kimliklerinden kaynaklanır:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Derece azaltma formülleri

Bu özdeşliklerde sinüs ve kosinüsün kare ve kübik kuvvetleri, bir çoklu açının birinci kuvvetinin sinüsü ve kosinüsü cinsinden ifade edilebilir:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 a = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Evrensel ikame

Evrensel trigonometrik ikame formülleri, trigonometrik fonksiyonları yarım açının tanjantı cinsinden ifade eder.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), x = π + 2πn ile;
• çünkü x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), burada x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), burada x = π + 2πn;
• karyola x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), x = π + 2πn ile.

Özel durumlar

En basit trigonometrik denklemlerin özel durumları aşağıda verilmiştir (k herhangi bir tamsayıdır).

Sinüs için bölümler:

Kosinüs için bölümler:

Teğet için bölümler:

Kotanjant için bölümler:

Teoremler

Sinüs teoremi

Teoremin iki versiyonu vardır: basit ve genişletilmiş. Basit sinüs teoremi: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Bu durumda sırasıyla a, b, c üçgenin kenarları, α, β, γ ise karşıt açılardır.

Rastgele bir üçgen için genişletilmiş sinüs teoremi: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Bu özdeşlikte R, verilen üçgenin içine yazıldığı dairenin yarıçapını belirtir.

Kosinüs teoremi

Kimlik şu şekilde görüntülenir: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Formülde a, b, c üçgenin kenarları, α ise a kenarının karşısındaki açıdır.

Teğet teoremi

Formül, iki açının teğetleri ile karşı tarafların uzunlukları arasındaki ilişkiyi ifade eder. Kenarlar a, b, c olarak etiketlenmiştir ve karşılık gelen karşıt açılar α, β, γ'dır. Teğet teoreminin formülü: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Kotanjant teoremi

Bir üçgenin içine yazılan bir dairenin yarıçapını kenarlarının uzunluğuna bağlar. Eğer a, b, c üçgenin kenarları ve sırasıyla A, B, C bunların karşısındaki açılar ise, r yazılı dairenin yarıçapı ve p üçgenin yarı çevresi ise, aşağıdaki kimlikler geçerlidir:

• bebek karyolası A/2 = (p-a)/r;
• bebek karyolası B/2 = (p-b)/r;
• bebek karyolası C/2 = (p-c)/r.

Başvuru

Trigonometri sadece teorik bir bilim değildir. matematiksel formüller. Özellikleri, teoremleri ve kuralları pratikte insan faaliyetinin çeşitli dalları (astronomi, hava ve havacılık) tarafından kullanılmaktadır. deniz navigasyonu, müzik teorisi, jeodezi, kimya, akustik, optik, elektronik, mimari, ekonomi, makine mühendisliği, ölçüm çalışmaları, bilgisayar grafikleri, haritacılık, oşinografi ve diğerleri.

Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant trigonometrinin temel kavramlarıdır; bunların yardımıyla bir üçgenin kenarlarının açıları ve uzunlukları arasındaki ilişkiler matematiksel olarak ifade edilebilir ve gerekli miktarlar kimlikler, teoremler ve kurallar aracılığıyla bulunabilir.

Dik üçgenin çözümüyle ilgili problemler göz önüne alındığında, sinüs ve kosinüs tanımlarını ezberlemek için bir teknik sunacağıma söz verdim. Bunu kullanarak, hangi tarafın hipotenüse (komşu veya karşı) ait olduğunu her zaman hızlı bir şekilde hatırlayacaksınız. Fazla uzatmamaya karar verdim gerekli malzeme aşağıda lütfen okuyun 😉

Gerçek şu ki 10-11. sınıf öğrencilerinin bu tanımları hatırlamakta ne kadar zorlandıklarını defalarca gözlemledim. Bacağın hipotenüsü ifade ettiğini çok iyi hatırlıyorlar ama hangisi- unuturlar ve kafası karışmış. Sınavda bildiğiniz gibi hatanın bedeli kaybedilen puandır.

Direkt olarak sunacağım bilgilerin matematikle alakası yoktur. Figüratif düşünmeyle ve sözel düşünmeyle ilişkilidir. mantıksal bağlantı. Tam olarak böyle hatırlıyorum, ilk ve son keztanım verileri. Bunları unutursanız, sunulan teknikleri kullanarak her zaman kolayca hatırlayabilirsiniz.

Size dik üçgende sinüs ve kosinüs tanımlarını hatırlatmama izin verin:

Kosinüs dar açı Bir dik üçgende bu, bitişik kenarın hipotenüse oranıdır:

Sinüs Bir dik üçgende dar açı, karşı kenarın hipotenüse oranıdır:

Peki kosinüs kelimesiyle ne gibi çağrışımlarınız var?

Muhtemelen herkesin kendine ait bir yeri vardır 😉Bağlantıyı unutmayın:

Böylece ifade hemen hafızanızda görünecektir -

«… YANINDAKİ bacağın hipotenüse oranı».

Kosinüs belirleme sorunu çözüldü.

Dik üçgende sinüs tanımını hatırlamanız gerekiyorsa, o zaman kosinüs tanımını hatırlayarak, dik üçgendeki akut açının sinüsünün karşı tarafın hipotenüse oranı olduğunu kolayca belirleyebilirsiniz. Sonuçta, yalnızca iki bacak vardır; eğer bitişik bacak kosinüs tarafından "işgal edilmişse", o zaman yalnızca karşı bacak sinüste kalır.

Peki ya teğet ve kotanjant? Karışıklık aynı. Öğrenciler bunun bir bacak ilişkisi olduğunu biliyorlar, ancak sorun hangisinin hangisine atıfta bulunduğunu hatırlamaktır - ya bitişiktekinin tersi ya da tam tersi.

Tanımlar:

Teğet Bir dik üçgende dar açı, karşı tarafın bitişik kenara oranıdır:

Kotanjant Bir dik üçgende dar açı, bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır:

Nasıl hatırlanır? İki yol var. Biri aynı zamanda sözlü-mantıksal bir bağlantı kullanıyor, diğeri ise matematiksel bir bağlantı kullanıyor.

MATEMATİKSEL YÖNTEM

Böyle bir tanım var - akut açının tanjantı, açının sinüsünün kosinüsüne oranıdır:

*Formülü ezberledikten sonra, bir dik üçgendeki dar açının tanjantının karşı kenarın bitişik kenara oranı olduğunu her zaman belirleyebilirsiniz.

Aynı şekilde.Akut açının kotanjantı, açının kosinüsünün sinüsüne oranıdır:

Bu yüzden! Bu formülleri hatırlayarak her zaman şunu belirleyebilirsiniz:

- Bir dik üçgende dar bir açının tanjantı, karşı tarafın bitişik olana oranıdır.

- Bir dik üçgende bir dar açının kotanjantı, komşu kenarın karşı kenara oranıdır.

KELİME-MANTIK YÖNTEMİ

Teğet hakkında. Bağlantıyı unutmayın:

Yani teğetin tanımını hatırlamanız gerekiyorsa, bu mantıksal bağlantıyı kullanarak ne olduğunu kolayca hatırlayabilirsiniz.

“... karşı tarafın bitişik tarafa oranı”

Kotanjant hakkında konuşursak, tanjant tanımını hatırlayarak kotanjant tanımını kolayca dile getirebilirsiniz -

“...bitişik tarafın karşı tarafa oranı”

Yemek yemek ilginç teknik sitedeki teğet ve kotanjantı hatırlama hakkında " Matematiksel tandem " , Bakmak.

EVRENSEL YÖNTEM

Sadece ezberleyebilirsiniz.Ancak uygulamanın gösterdiği gibi, sözel-mantıksal bağlantılar sayesinde kişi, yalnızca matematiksel olanları değil, bilgileri uzun süre hatırlar.

Umarım materyal sizin için yararlı olmuştur.

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh

Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.

A noktasında ortalanmıştır.
α, radyan cinsinden ifade edilen açıdır.

Teğet ( ten rengi α) hipotenüs ile bir dik üçgenin kenarı arasındaki α açısına bağlı olan ve karşı kenarın uzunluğunun oranına eşit olan |BC|

bitişik bacağın uzunluğuna |AB| . Kotanjant () ctg α

hipotenüs ile bir dik üçgenin kenarı arasındaki α açısına bağlı olan ve bitişik kenarı |AB| uzunluğunun oranına eşit olan trigonometrik bir fonksiyondur.

karşı bacağın uzunluğuna |BC| . Teğet Nerede

N
.
;
;
.

- tüm.

Batı literatüründe teğet şu şekilde ifade edilir:

karşı bacağın uzunluğuna |BC| . Teğet Nerede

Teğet fonksiyonunun grafiği, y = tan x
.
Kotanjant
;
;
.

Batı literatüründe kotanjant şu şekilde ifade edilir:

Aşağıdaki gösterimler de kabul edilir:

Kotanjant fonksiyonunun grafiği, y = ctg x

Teğet ve kotanjantın özellikleri Periyodiklik Fonksiyonlar y = tgx ve y =

ctgx

π periyodu ile periyodiktir.

Parite

Teğet ve kotanjant fonksiyonlar tektir. Teğet Tanım ve değer alanları, artan, azalan

Sıfırlar, y =

Ordinat ekseniyle kesişme noktaları, x =

; ;
; ;
;

Formüller

Sinüs ve kosinüs kullanan ifadeler

Toplam ve farktan teğet ve kotanjant formülleri

Geriye kalan formüllerin elde edilmesi kolaydır; örneğin

Teğetlerin çarpımı

Teğetlerin toplamı ve farkı için formül

Bu tablo, argümanın belirli değerleri için teğet ve kotanjant değerlerini sunar.

;
;

Karmaşık sayılar kullanan ifadeler

; .

.
Hiperbolik fonksiyonlar aracılığıyla ifadeler
.
Türevler

Fonksiyonun x değişkenine göre n'inci dereceden türevi:

Teğet formüllerinin türetilmesi > > > ; kotanjant için > > >

İntegraller Seri genişletmeler Teğetin x'in kuvvetleri cinsinden açılımını elde etmek için, fonksiyonlara yönelik bir kuvvet serisindeki açılımın birkaç terimini almanız gerekir. günah x Ve

çünkü x

ve bu polinomları birbirine bölelim, .
Bu, aşağıdaki formülleri üretir. ..
;
;
Nerede
Bn

- Bernoulli sayıları. Bunlar ya yineleme ilişkisinden belirlenir:

Nerede . Veya Laplace'ın formülüne göre:

Ters fonksiyonlar

Ters fonksiyonlar Teğet Nerede

tanjant ve kotanjant sırasıyla arktanjant ve arkkotanjanttır.

Ters fonksiyonlar Teğet Nerede

Arktanjant, arktg
, Nerede
G. Korn, Bilim Adamları ve Mühendisler için Matematik El Kitabı, 2012.

Sinüs ve kosinüs başlangıçta dik üçgenlerdeki miktarları hesaplama ihtiyacından doğmuştur. Bir dik üçgende açıların derece ölçüsü değiştirilmezse, bu kenarların uzunluğu ne kadar değişirse değişsin en boy oranının daima aynı kaldığı fark edildi.

Sinüs ve kosinüs kavramları bu şekilde tanıtıldı. Bir dik üçgende dar açının sinüsü, karşı tarafın hipotenüse oranı, kosinüs ise hipotenüse komşu olan tarafın oranıdır.

Kosinüs ve sinüs teoremleri

Ancak kosinüsler ve sinüsler dik üçgenlerden daha fazlası için kullanılabilir. Herhangi bir üçgenin geniş veya dar açısının veya kenarının değerini bulmak için kosinüs ve sinüs teoremini uygulamak yeterlidir.

Kosinüs teoremi oldukça basittir: "Bir üçgenin bir kenarının karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamından bu kenarların çarpımının iki katı ve aralarındaki açının kosinüsüne eşittir."

Sinüs teoreminin iki yorumu vardır: küçük ve genişletilmiş. Minöre göre: “Bir üçgende açılar karşı kenarlarla orantılıdır.” Bu teorem genellikle bir üçgenin çevrelenen dairesinin özelliği nedeniyle genişletilir: "Bir üçgende açılar karşıt kenarlarla orantılıdır ve bunların oranı çevrelenen dairenin çapına eşittir."

Karmaşık sayılar kullanan ifadeler

Türev, bir fonksiyonun argümanındaki değişikliğe göre ne kadar hızlı değiştiğini gösteren matematiksel bir araçtır. Türevler geometride ve birçok teknik disiplinde kullanılmaktadır.

Problemleri çözerken trigonometrik fonksiyonların türevlerinin tablo değerlerini bilmeniz gerekir: sinüs ve kosinüs. Sinüsün türevi kosinüstür ve kosinüs sinüstür ancak eksi işareti vardır.

Matematikte uygulama

Sinüsler ve kosinüsler özellikle çözerken sıklıkla kullanılır dik üçgenler ve bunlarla ilgili görevler.

Sinüs ve kosinüslerin rahatlığı teknolojiye de yansır. Karmaşık şekilleri ve nesneleri "basit" üçgenlere ayıran kosinüs ve sinüs teoremlerini kullanarak açıları ve kenarları değerlendirmek kolaydı. Çoğunlukla en boy oranları ve derece ölçümleri hesaplamalarıyla uğraşan mühendisler, tablo dışı açıların kosinüslerini ve sinüslerini hesaplamak için çok fazla zaman ve çaba harcadılar.

Daha sonra binlerce sinüs, kosinüs, teğet ve farklı açılardan kotanjant değerlerini içeren Bradis tabloları kurtarmaya geldi. İÇİNDE Sovyet dönemi bazı öğretmenler öğrencilerini Bradis tablolarının sayfalarını ezberlemeye zorladı.

Radyan, uzunluğu yarıçapa veya 57,295779513° dereceye eşit olan bir yayın açısal değeridir.

Bir derece (geometride) bir dairenin 1/360'ı veya bir dik açının 1/90'ıdır.

π = 3,141592653589793238462… (Pi'nin yaklaşık değeri).

Açılar için kosinüs tablosu: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.