Γεωμετρικός τύπος αθροίσματος. Παρονομαστής γεωμετρικής προόδου: τύποι και ιδιότητες

Ήδη στην Αρχαία Αίγυπτο γνώριζαν όχι μόνο την αριθμητική, αλλά και τη γεωμετρική πρόοδο. Εδώ, για παράδειγμα, είναι ένα πρόβλημα από τον πάπυρο Rhind: «Επτά πρόσωπα έχουν επτά γάτες. Κάθε γάτα τρώει επτά ποντίκια, κάθε ποντίκι τρώει επτά στάχυα και κάθε στάχυ μπορεί να καλλιεργήσει επτά μέτρα κριθαριού. Πόσο μεγάλοι είναι οι αριθμοί αυτής της σειράς και το άθροισμά τους;

Ρύζι. 1. Πρόβλημα γεωμετρικής προόδου της αρχαίας Αιγύπτου

Αυτό το έργο επαναλήφθηκε πολλές φορές με διαφορετικές παραλλαγές μεταξύ άλλων λαών άλλες φορές. Για παράδειγμα, σε γραπτό τον 13ο αιώνα. Το «The Book of the Abacus» του Λεονάρντο της Πίζας (Φιμπονάτσι) έχει ένα πρόβλημα στο οποίο εμφανίζονται 7 γριές καθοδόν προς τη Ρώμη (προφανώς προσκυνητές), καθεμία από τις οποίες έχει 7 μουλάρια, καθένα από τα οποία έχει 7 τσάντες, καθεμία από τις οποίες περιέχει 7 καρβέλια, το καθένα από τα οποία έχει 7 μαχαίρια, το καθένα από τα οποία έχει 7 θήκες. Το πρόβλημα ρωτά πόσα αντικείμενα υπάρχουν.

Το άθροισμα των πρώτων n όρων της γεωμετρικής προόδου S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Αυτός ο τύπος μπορεί να αποδειχθεί, για παράδειγμα, ως εξής: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

Προσθέστε τον αριθμό b 1 q n στο S n και λάβετε:

Από εδώ S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), και παίρνουμε τον απαραίτητο τύπο.

Ήδη σε μια από τις πήλινες πλάκες της Αρχαίας Βαβυλώνας, που χρονολογείται από τον 6ο αιώνα. Π.Χ ε., περιέχει το άθροισμα 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Είναι αλήθεια, όπως σε πολλές άλλες περιπτώσεις, δεν γνωρίζουμε πώς αυτό το γεγονός ήταν γνωστό στους Βαβυλώνιους .

Η ταχεία αύξηση της γεωμετρικής προόδου σε έναν αριθμό πολιτισμών, ιδιαίτερα στον Ινδικό, χρησιμοποιείται επανειλημμένα ως οπτικό σύμβολο της απεραντοσύνης του σύμπαντος. Στο διάσημο μύθο για την εμφάνιση του σκακιού, ο ηγεμόνας δίνει στον εφευρέτη του την ευκαιρία να επιλέξει μόνος του την ανταμοιβή και ζητά τον αριθμό των κόκκων σιταριού που θα έβγαζε αν τοποθετηθεί κάποιος στο πρώτο τετράγωνο. σκακιέρα, δύο για τον δεύτερο, τέσσερα για τον τρίτο, οκτώ για τον τέταρτο κ.λπ., κάθε φορά που ο αριθμός διπλασιάζεται. Ο Vladyka νόμιζε ότι το πολύ μιλούσαμε για μερικές τσάντες, αλλά δεν υπολόγισε σωστά. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι και για τα 64 τετράγωνα της σκακιέρας ο εφευρέτης θα έπρεπε να λάβει (2 64 - 1) κόκκους, που εκφράζεται ως 20ψήφιος αριθμός. ακόμα κι αν είχε σπαρθεί ολόκληρη η επιφάνεια της Γης, θα χρειαζόταν τουλάχιστον 8 χρόνια για να συλλεχθεί η απαιτούμενη ποσότητα κόκκων. Αυτός ο μύθος μερικές φορές ερμηνεύεται ως υποδηλώνοντας τις ουσιαστικά απεριόριστες δυνατότητες που κρύβονται στο παιχνίδι του σκακιού.

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι αυτός ο αριθμός είναι πραγματικά 20ψήφιος:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (ένας πιο ακριβής υπολογισμός δίνει 1,84∙10 19). Αλλά αναρωτιέμαι αν μπορείτε να μάθετε με ποιο ψηφίο τελειώνει αυτός ο αριθμός;

Μια γεωμετρική πρόοδος μπορεί να αυξάνεται εάν ο παρονομαστής είναι μεγαλύτερος από 1 ή να μειώνεται εάν είναι μικρότερος από ένα. Στην τελευταία περίπτωση, ο αριθμός q n για αρκετά μεγάλο n μπορεί να γίνει αυθαίρετα μικρός. Ενώ η αυξανόμενη γεωμετρική πρόοδος αυξάνεται απροσδόκητα γρήγορα, η φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος μειώνεται εξίσου γρήγορα.

Όσο μεγαλύτερο είναι το n, τόσο πιο αδύναμος ο αριθμός q n διαφέρει από το μηδέν και τόσο πιο κοντά είναι το άθροισμα των n όρων της γεωμετρικής προόδου S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) στον αριθμό S = b 1 / ( 1 – q). (Για παράδειγμα, ο F. Viet συλλογίστηκε έτσι). Ο αριθμός S ονομάζεται το άθροισμα μιας απεριόριστα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου. Ωστόσο, για πολλούς αιώνες το ερώτημα για το ποιο είναι το νόημα της άθροισης ΟΛΟΚΛΗΡΗΣ της γεωμετρικής προόδου, με τον άπειρο αριθμό όρων της, δεν ήταν αρκετά σαφές στους μαθηματικούς.

Μια φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος μπορεί να φανεί, για παράδειγμα, στις απορία του Ζήνωνα «Half Division» και «Achilles and the Tortoise». Στην πρώτη περίπτωση, φαίνεται ξεκάθαρα ότι ολόκληρος ο δρόμος (υποθέτοντας μήκος 1) είναι το άθροισμα ενός άπειρου αριθμού τμημάτων 1/2, 1/4, 1/8 κ.λπ. Αυτό, φυσικά, συμβαίνει από η άποψη των ιδεών για ένα πεπερασμένο άθροισμα άπειρη γεωμετρική πρόοδο. Και όμως - πώς μπορεί να είναι αυτό;

Στην απορία για τον Αχιλλέα, η κατάσταση είναι λίγο πιο περίπλοκη, γιατί εδώ ο παρονομαστής της προόδου δεν είναι το 1/2, αλλά κάποιος άλλος αριθμός. Έστω, για παράδειγμα, ο Αχιλλέας να τρέχει με ταχύτητα v, η χελώνα κινείται με ταχύτητα u και η αρχική απόσταση μεταξύ τους είναι l. Ο Αχιλλέας θα διανύσει αυτή την απόσταση σε χρόνο l/v, και κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου η χελώνα θα μετακινηθεί σε απόσταση lu/v. Όταν ο Αχιλλέας τρέξει αυτό το τμήμα, η απόσταση μεταξύ αυτού και της χελώνας θα γίνει ίση με l (u /v) 2, κ.λπ. Αποδεικνύεται ότι το να φτάσουμε στη χελώνα σημαίνει να βρούμε το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου με τον πρώτο όρο l και ο παρονομαστής u /v. Αυτό το άθροισμα - το τμήμα που θα τρέξει τελικά ο Αχιλλέας στον τόπο συνάντησης με τη χελώνα - είναι ίσο με l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Αλλά, πάλι, πώς πρέπει να ερμηνευτεί αυτό το αποτέλεσμα και γιατί έχει νόημα; για πολύ καιρόδεν ήταν πολύ ξεκάθαρο.

Ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε το άθροισμα μιας γεωμετρικής προόδου για να προσδιορίσει το εμβαδόν ενός τμήματος παραβολής. Έστω αυτό το τμήμα της παραβολής να οριοθετηθεί από τη χορδή ΑΒ και έστω η εφαπτομένη στο σημείο Δ της παραβολής παράλληλη προς την ΑΒ. Έστω C το μέσο του AB, E το μέσο του AC, F το μέσο του CB. Ας τραβήξουμε ευθείες παράλληλες στο DC μέσω των σημείων A, E, F, B. Έστω η εφαπτομένη που σχεδιάζεται στο σημείο D τέμνει αυτές τις ευθείες στα σημεία K, L, M, N. Ας σχεδιάσουμε επίσης τμήματα AD και DB. Έστω η ευθεία EL τέμνει την ευθεία AD στο σημείο G και την παραβολή στο σημείο H. Η γραμμή FM τέμνει τη γραμμή DB στο σημείο Q και την παραβολή στο σημείο R. Σύμφωνα με γενική θεωρίακωνικές τομές, DC – διάμετρος της παραβολής (δηλαδή τμήμα παράλληλο προς τον άξονά της). αυτό και η εφαπτομένη στο σημείο D μπορούν να χρησιμεύσουν ως άξονες συντεταγμένων x και y, στους οποίους η εξίσωση της παραβολής γράφεται ως y 2 = 2px (x είναι η απόσταση από το D σε οποιοδήποτε σημείο μιας δεδομένης διαμέτρου, y είναι το μήκος του ένα τμήμα παράλληλο σε μια δεδομένη εφαπτομένη από αυτό το σημείο διαμέτρου σε κάποιο σημείο της ίδιας της παραβολής).

Δυνάμει της εξίσωσης της παραβολής, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, και αφού DK = 2DL, τότε KA = 4LH. Επειδή KA = 2LG, LH = HG. Το εμβαδόν του τμήματος ADB μιας παραβολής είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου ΔADB και τις περιοχές των τμημάτων AHD και DRB μαζί. Με τη σειρά του, η περιοχή του τμήματος AHD είναι παρόμοια με την περιοχή του τριγώνου AHD και τα υπόλοιπα τμήματα AH και HD, με καθένα από τα οποία μπορείτε να εκτελέσετε την ίδια λειτουργία - χωριστείτε σε τρίγωνο (Δ) και τα δύο υπόλοιπα τμήματα (), κ.λπ.:

Το εμβαδόν του τριγώνου ΔAHD είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του τριγώνου ΔALD (έχουν κοινά σημείαμ.Χ., και τα ύψη διαφέρουν κατά συντελεστή 2), το οποίο, με τη σειρά του, είναι ίσο με το μισό εμβαδόν του τριγώνου ΔAKD, και επομένως το μισό του εμβαδού του τριγώνου ΔACD. Έτσι, το εμβαδόν του τριγώνου ΔAHD είναι ίσο με το ένα τέταρτο του εμβαδού του τριγώνου ΔACD. Ομοίως, το εμβαδόν του τριγώνου ΔDRB είναι ίσο με το ένα τέταρτο του εμβαδού του τριγώνου ΔDFB. Έτσι, τα εμβαδά των τριγώνων ΔAHD και ΔDRB, λαμβανόμενα μαζί, είναι ίσα με το ένα τέταρτο του εμβαδού του τριγώνου ΔADB. Η επανάληψη αυτής της λειτουργίας όταν εφαρμόζεται στα τμήματα AH, HD, DR και RB θα επιλέξει τρίγωνα από αυτά, το εμβαδόν των οποίων, συνολικά, θα είναι 4 φορές μικρότερο από το εμβαδόν των τριγώνων ΔAHD και ΔDRB, μαζί και επομένως 16 φορές μικρότερο, από το εμβαδόν του τριγώνου ΔADB. Και ούτω καθεξής:

Έτσι, ο Αρχιμήδης απέδειξε ότι «κάθε τμήμα που περιέχεται μεταξύ μιας ευθείας γραμμής και μιας παραβολής αποτελεί τα τέσσερα τρίτα ενός τριγώνου που έχει την ίδια βάση και το ίδιο ύψος».

>>Μαθηματικά: Γεωμετρική πρόοδος

Για τη διευκόλυνση του αναγνώστη, η παράγραφος αυτή είναι κατασκευασμένη ακριβώς σύμφωνα με το ίδιο σχέδιο που ακολουθήσαμε στην προηγούμενη παράγραφο.

1. Βασικές έννοιες.

Ορισμός.Μια αριθμητική ακολουθία, της οποίας όλα τα μέλη είναι διαφορετικά από το 0 και κάθε μέλος της οποίας, ξεκινώντας από το δεύτερο, προκύπτει από το προηγούμενο μέλος πολλαπλασιάζοντάς το με τον ίδιο αριθμό, ονομάζεται γεωμετρική πρόοδος. Στην περίπτωση αυτή, ο αριθμός 5 ονομάζεται παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου.

Έτσι, μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια αριθμητική ακολουθία (b n) που ορίζεται επαναλαμβανόμενα από τις σχέσεις

Είναι δυνατόν να δούμε μια αριθμητική ακολουθία και να προσδιορίσουμε αν πρόκειται για γεωμετρική πρόοδο; Κουτί. Εάν είστε πεπεισμένοι ότι ο λόγος οποιουδήποτε μέλους της ακολουθίας προς το προηγούμενο μέλος είναι σταθερός, τότε έχετε μια γεωμετρική πρόοδο.
Παράδειγμα 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Παράδειγμα 2.

Αυτή είναι μια γεωμετρική πρόοδος που έχει
Παράδειγμα 3.

Αυτή είναι μια γεωμετρική πρόοδος που έχει
Παράδειγμα 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Αυτή είναι μια γεωμετρική πρόοδος στην οποία b 1 - 8, q = 1.

Σημειώστε ότι αυτή η ακολουθία είναι επίσης μια αριθμητική πρόοδος (βλ. παράδειγμα 3 από § 15).

Παράδειγμα 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Αυτή είναι μια γεωμετρική πρόοδος στην οποία b 1 = 2, q = -1.

Προφανώς, μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια αύξουσα ακολουθία εάν b 1 > 0, q > 1 (βλ. παράδειγμα 1) και μια φθίνουσα ακολουθία εάν b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Για να υποδείξετε ότι η ακολουθία (b n) είναι μια γεωμετρική πρόοδος, μερικές φορές είναι βολικό ο ακόλουθος συμβολισμός:

Το εικονίδιο αντικαθιστά τη φράση "γεωμετρική πρόοδος".
Ας σημειώσουμε μια περίεργη και ταυτόχρονα προφανή ιδιότητα της γεωμετρικής προόδου:
Αν η ακολουθία είναι μια γεωμετρική πρόοδος, τότε η ακολουθία των τετραγώνων, δηλ. είναι μια γεωμετρική πρόοδος.
Στη δεύτερη γεωμετρική πρόοδο, ο πρώτος όρος είναι ίσος και ίσος με q 2.
Εάν σε μια γεωμετρική πρόοδο απορρίψουμε όλους τους όρους που ακολουθούν το b n , παίρνουμε μια πεπερασμένη γεωμετρική πρόοδο
Σε περαιτέρω παραγράφους αυτής της ενότητας θα εξετάσουμε τις πιο σημαντικές ιδιότητες της γεωμετρικής προόδου.

2. Τύπος για τον ένατο όρο μιας γεωμετρικής προόδου.

Εξετάστε μια γεωμετρική πρόοδο παρονομαστής q. Έχουμε:

Δεν είναι δύσκολο να μαντέψει κανείς ότι για οποιονδήποτε αριθμό n η ισότητα ισχύει

Αυτός είναι ο τύπος για τον nο όρο μιας γεωμετρικής προόδου.

Σχόλιο.

Εάν έχετε διαβάσει τη σημαντική παρατήρηση από την προηγούμενη παράγραφο και την καταλάβατε, τότε προσπαθήστε να αποδείξετε τον τύπο (1) χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής, όπως ακριβώς έγινε και για τον τύπο για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου.

Ας ξαναγράψουμε τον τύπο για τον nο όρο της γεωμετρικής προόδου

και εισάγουμε τον συμβολισμό: Παίρνουμε y = mq 2, ή, πιο αναλυτικά,
Το όρισμα x περιέχεται στον εκθέτη, επομένως αυτή η συνάρτηση ονομάζεται εκθετική συνάρτηση. Αυτό σημαίνει ότι μια γεωμετρική πρόοδος μπορεί να θεωρηθεί ως μια εκθετική συνάρτηση που ορίζεται στο σύνολο N των φυσικών αριθμών. Στο Σχ. Το 96α δείχνει το γράφημα της συνάρτησης Σχ. 966 - γράφημα συνάρτησης Και στις δύο περιπτώσεις, έχουμε απομονωμένα σημεία (με τετμημένα x = 1, x = 2, x = 3, κ.λπ.) που βρίσκονται σε μια συγκεκριμένη καμπύλη (και τα δύο σχήματα δείχνουν την ίδια καμπύλη, μόνο διαφορετικά τοποθετημένα και απεικονισμένα σε διαφορετικές κλίμακες). Αυτή η καμπύλη ονομάζεται εκθετική καμπύλη. Περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με την εκθετική συνάρτηση και τη γραφική παράσταση της θα συζητηθούν στο μάθημα άλγεβρας της 11ης τάξης.

Ας επιστρέψουμε στα παραδείγματα 1-5 από την προηγούμενη παράγραφο.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Αυτή είναι μια γεωμετρική πρόοδος για την οποία b 1 = 1, q = 3. Ας δημιουργήσουμε τον τύπο για τον nο όρο
2) Αυτή είναι μια γεωμετρική πρόοδος για την οποία Ας δημιουργήσουμε έναν τύπο για τον nο όρο

Αυτή είναι μια γεωμετρική πρόοδος που έχει Ας δημιουργήσουμε τον τύπο για τον nο όρο
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Αυτή είναι μια γεωμετρική πρόοδος για την οποία b 1 = 8, q = 1. Ας δημιουργήσουμε τον τύπο για τον ν ο όρο
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Αυτή είναι μια γεωμετρική πρόοδος στην οποία b 1 = 2, q = -1. Ας δημιουργήσουμε τον τύπο για τον nο όρο

Παράδειγμα 6.

Δίνεται μια γεωμετρική πρόοδος

Σε όλες τις περιπτώσεις, η λύση βασίζεται στον τύπο του ντος όρου της γεωμετρικής προόδου

α) Βάζοντας n = 6 στον τύπο για τον nο όρο της γεωμετρικής προόδου, παίρνουμε

β) Έχουμε

Αφού 512 = 2 9, παίρνουμε n - 1 = 9, n = 10.

δ) Έχουμε

Παράδειγμα 7.

Η διαφορά μεταξύ του έβδομου και του πέμπτου όρου της γεωμετρικής προόδου είναι 48, το άθροισμα του πέμπτου και του έκτου όρου της προόδου είναι επίσης 48. Βρείτε τον δωδέκατο όρο αυτής της προόδου.

Πρώτο στάδιο.Σχεδιάζοντας ένα μαθηματικό μοντέλο.

Οι συνθήκες του προβλήματος μπορούν να γραφτούν εν συντομία ως εξής:

Χρησιμοποιώντας τον τύπο για τον nο όρο μιας γεωμετρικής προόδου, παίρνουμε:
Τότε η δεύτερη συνθήκη του προβλήματος (b 7 - b 5 = 48) μπορεί να γραφτεί ως

Η τρίτη συνθήκη του προβλήματος (b 5 + b 6 = 48) μπορεί να γραφτεί ως

Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο μεταβλητές b 1 και q:

το οποίο, σε συνδυασμό με τη συνθήκη 1) που γράφτηκε παραπάνω, αντιπροσωπεύει ένα μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος.

Δεύτερο στάδιο.

Εργασία με το μεταγλωττισμένο μοντέλο. Εξισώνοντας τις αριστερές πλευρές και των δύο εξισώσεων του συστήματος, παίρνουμε:

(διαιρέσαμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τη μη μηδενική έκφραση b 1 q 4).

Από την εξίσωση q 2 - q - 2 = 0 βρίσκουμε q 1 = 2, q 2 = -1. Αντικαθιστώντας την τιμή q = 2 στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος, παίρνουμε
Αντικαθιστώντας την τιμή q = -1 στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος, λαμβάνουμε b 1 1 0 = 48; αυτή η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

Άρα, b 1 =1, q = 2 - αυτό το ζεύγος είναι η λύση στο μεταγλωττισμένο σύστημα εξισώσεων.

Τώρα μπορούμε να γράψουμε τη γεωμετρική πρόοδο για την οποία μιλάμε γιαστο πρόβλημα: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Τρίτο στάδιο.

Απάντηση στην προβληματική ερώτηση. Πρέπει να υπολογίσετε το b 12. έχουμε

Απάντηση: b 12 = 2048.

3. Τύπος για το άθροισμα των όρων μιας πεπερασμένης γεωμετρικής προόδου.

Ας δοθεί μια πεπερασμένη γεωμετρική πρόοδος

Ας συμβολίσουμε με S n το άθροισμα των όρων του, δηλ.

Ας βγάλουμε έναν τύπο για την εύρεση αυτού του ποσού.

Ας τα πάρουμε από την αρχή απλή υπόθεση, όταν q = 1. Τότε η γεωμετρική πρόοδος b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn αποτελείται από n αριθμούς ίσους με b 1 , δηλ. η εξέλιξη μοιάζει με b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Το άθροισμα αυτών των αριθμών είναι nb 1.

Έστω τώρα q = 1 Για να βρούμε το S n, εφαρμόζουμε μια τεχνητή τεχνική: εκτελούμε μερικούς μετασχηματισμούς της έκφρασης S n q. Έχουμε:

Κατά την εκτέλεση μετασχηματισμών, πρώτα χρησιμοποιήσαμε τον ορισμό μιας γεωμετρικής προόδου, σύμφωνα με τον οποίο (δείτε την τρίτη γραμμή συλλογισμού). δεύτερον, πρόσθεσαν και αφαίρεσαν, γι' αυτό και το νόημα της έκφρασης, φυσικά, δεν άλλαξε (βλ. τέταρτη γραμμή συλλογισμού). Τρίτον, χρησιμοποιήσαμε τον τύπο για τον ένατο όρο μιας γεωμετρικής προόδου:

Από τον τύπο (1) βρίσκουμε:

Αυτός είναι ο τύπος για το άθροισμα των n όρων μιας γεωμετρικής προόδου (για την περίπτωση που q = 1).

Παράδειγμα 8.

Δίνεται μια πεπερασμένη γεωμετρική πρόοδος

α) το άθροισμα των όρων της προόδου· β) το άθροισμα των τετραγώνων των όρων του.

β) Παραπάνω (βλ. σελ. 132) έχουμε ήδη σημειώσει ότι αν όλοι οι όροι μιας γεωμετρικής προόδου είναι τετράγωνοι, τότε παίρνουμε μια γεωμετρική πρόοδο με τον πρώτο όρο b 2 και τον παρονομαστή q 2. Στη συνέχεια, το άθροισμα των έξι όρων της νέας προόδου θα υπολογιστεί με

Παράδειγμα 9.

Να βρείτε τον 8ο όρο της γεωμετρικής προόδου για τον οποίο

Στην πραγματικότητα, έχουμε αποδείξει το ακόλουθο θεώρημα.

Μια αριθμητική ακολουθία είναι μια γεωμετρική πρόοδος εάν και μόνο εάν το τετράγωνο κάθε όρου της, εκτός από το πρώτο Θεώρημα (και το τελευταίο, στην περίπτωση μιας πεπερασμένης ακολουθίας), είναι ίσο με το γινόμενο των προηγούμενων και των επόμενων όρων (α χαρακτηριστική ιδιότητα μιας γεωμετρικής προόδου).

Ο τύπος για τον ένατο όρο μιας γεωμετρικής προόδου είναι πολύ απλός. Και σε νόημα και σε γενική εμφάνιση. Αλλά υπάρχουν κάθε λογής προβλήματα στον τύπο του nου όρου - από πολύ πρωτόγονα έως αρκετά σοβαρά. Και στη διαδικασία της γνωριμίας μας, σίγουρα θα εξετάσουμε και τα δύο. Λοιπόν, ας γνωριστούμε;)

Οπότε, για αρχή, στην πραγματικότητα τύποςn

Εδώ είναι:

b n = σι 1 · qn -1

Η φόρμουλα είναι απλώς μια φόρμουλα, τίποτα υπερφυσικό. Φαίνεται ακόμη πιο απλό και πιο συμπαγές από μια παρόμοια φόρμουλα. Η έννοια της φόρμουλας είναι επίσης τόσο απλή όσο οι μπότες από τσόχα.

Αυτός ο τύπος σάς επιτρέπει να βρείτε ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ μέλος μιας γεωμετρικής προόδου ΑΝΑ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΤΟΥ " n".

Όπως μπορείτε να δείτε, το νόημα είναι πλήρης αναλογία με μια αριθμητική πρόοδο. Γνωρίζουμε τον αριθμό n - μπορούμε επίσης να μετρήσουμε τον όρο κάτω από αυτόν τον αριθμό. Όποια θέλουμε. Χωρίς επανειλημμένα πολλαπλασιασμό με "q" πολλές, πολλές φορές. Αυτό είναι όλο το νόημα.)

Κατανοώ ότι σε αυτό το επίπεδο εργασίας με προόδους, όλες οι ποσότητες που περιλαμβάνονται στη φόρμουλα θα πρέπει να είναι ήδη σαφείς σε εσάς, αλλά εξακολουθώ να θεωρώ καθήκον μου να αποκρυπτογραφήσω την καθεμία. Για παν ενδεχόμενο.

Λοιπόν, εδώ πάμε:

σι 1 – πρώταόρος γεωμετρικής προόδου.

q – ;

n– αριθμός μέλους·

b n – ντος (nου)όρος μιας γεωμετρικής προόδου.

Αυτός ο τύπος συνδέει τις τέσσερις κύριες παραμέτρους οποιασδήποτε γεωμετρικής προόδου - σιn, σι 1 , qΚαι n. Και όλα τα προβλήματα προόδου περιστρέφονται γύρω από αυτά τα τέσσερα βασικά στοιχεία.

«Πώς αφαιρείται;»– Ακούω μια περίεργη ερώτηση... Δημοτικό! Ματιά!

Τι ισούται με δεύτεροςμέλος της προόδου; Καμία ερώτηση! Γράφουμε απευθείας:

b 2 = b 1 ·q

Τι γίνεται με το τρίτο μέλος; Ούτε πρόβλημα! Πολλαπλασιάζουμε τον δεύτερο όρο για άλλη μια φοράq.

Τοιουτοτροπώς:

B 3 = b 2 q

Ας θυμηθούμε τώρα ότι ο δεύτερος όρος, με τη σειρά του, είναι ίσος με b 1 ·q και να αντικαταστήσουμε αυτήν την έκφραση στην ισότητά μας:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Παίρνουμε:

σι 3 = b 1 ·q 2

Τώρα ας διαβάσουμε την καταχώρισή μας στα ρωσικά: τρίτοςόρος είναι ίσος με τον πρώτο όρο πολλαπλασιασμένο επί q in δεύτεροςβαθμούς. Το καταλαβαίνεις; Οχι ακόμη; Εντάξει, ένα ακόμη βήμα.

Ποιος είναι ο τέταρτος όρος; Όλα είναι ίδια! Πολλαπλασιάζω προηγούμενος(δηλαδή ο τρίτος όρος) στο q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Σύνολο:

σι 4 = b 1 ·q 3

Και πάλι μεταφράζουμε στα ρωσικά: τέταρτοςο όρος είναι ίσος με τον πρώτο όρο πολλαπλασιασμένο επί q in τρίτοςβαθμούς.

Και ούτω καθεξής. Πώς λοιπόν; Έπιασες το μοτίβο; Ναί! Για οποιονδήποτε όρο με οποιονδήποτε αριθμό, ο αριθμός των πανομοιότυπων παραγόντων q (δηλαδή ο βαθμός του παρονομαστή) θα είναι πάντα ένα λιγότερο από τον αριθμό του επιθυμητού μέλουςn.

Επομένως, ο τύπος μας θα είναι, χωρίς επιλογές:

b n =σι 1 · qn -1

Αυτό είναι όλο.)

Λοιπόν, ας λύσουμε τα προβλήματα, υποθέτω;)

Επίλυση προβλημάτων τύπουnο όρος μιας γεωμετρικής προόδου.

Ας ξεκινήσουμε, ως συνήθως, με την άμεση εφαρμογή του τύπου. Εδώ είναι ένα τυπικό πρόβλημα:

Στη γεωμετρική πρόοδο είναι γνωστό ότι σι 1 = 512 και q = -1/2. Να βρείτε τον δέκατο όρο της προόδου.

Φυσικά, αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χωρίς καθόλου τύπους. Άμεσα με την έννοια της γεωμετρικής προόδου. Αλλά πρέπει να ζεσταθούμε με τη φόρμουλα για τον nο όρο, σωστά; Εδώ ζεσταίνουμε.

Τα δεδομένα μας για την εφαρμογή του τύπου είναι τα εξής.

Το πρώτο μέλος είναι γνωστό. Αυτό είναι 512.

σι 1 = 512.

Ο παρονομαστής της προόδου είναι επίσης γνωστός: q = -1/2.

Το μόνο που μένει είναι να καταλάβουμε ποιος είναι ο αριθμός του μέλους n. Καμία ερώτηση! Μας ενδιαφέρει η δέκατη θητεία; Οπότε αντικαθιστούμε δέκα αντί για n στον γενικό τύπο.

Και υπολογίστε προσεκτικά την αριθμητική:

Απάντηση: -1

Όπως μπορείτε να δείτε, ο δέκατος όρος της εξέλιξης αποδείχθηκε μείον. Τίποτα περίεργο: ο παρονομαστής της προόδου μας είναι -1/2, δηλ. αρνητικόςαριθμός. Και αυτό μας λέει ότι τα σημάδια της εξέλιξής μας εναλλάσσονται, ναι.)

Όλα είναι απλά εδώ. Εδώ υπάρχει ένα παρόμοιο πρόβλημα, αλλά λίγο πιο περίπλοκο όσον αφορά τους υπολογισμούς.

Στη γεωμετρική πρόοδο, είναι γνωστό ότι:

σι 1 = 3

Βρείτε τον δέκατο τρίτο όρο της προόδου.

Όλα είναι ίδια, μόνο που αυτή τη φορά ο παρονομαστής της εξέλιξης είναι παράλογος. Ρίζα δύο. Λοιπόν, δεν πειράζει. Ο τύπος είναι ένα καθολικό πράγμα, μπορεί να αντιμετωπίσει οποιουσδήποτε αριθμούς.

Εργαζόμαστε απευθείας σύμφωνα με τον τύπο:

Η φόρμουλα βέβαια λειτούργησε όπως έπρεπε, αλλά... εδώ κολλάνε κάποιοι. Τι να κάνετε μετά με τη ρίζα; Πώς να σηκώσετε μια ρίζα στη δωδέκατη δύναμη;

Πώς-πώς... Πρέπει να καταλάβετε ότι οποιοσδήποτε τύπος, φυσικά, είναι καλός, αλλά η γνώση όλων των προηγούμενων μαθηματικών δεν ακυρώνεται! Πώς να χτίσετε; Ναι, θυμηθείτε τις ιδιότητες των μοιρών! Ας μετατρέψουμε τη ρίζα σε κλασματικός βαθμόςκαι – σύμφωνα με τον τύπο για την αύξηση του πτυχίου σε ένα βαθμό.

Τοιουτοτροπώς:

Απάντηση: 192

Και αυτό είναι όλο.)

Ποια είναι η κύρια δυσκολία στην άμεση εφαρμογή του τύπου nου όρου; Ναί! Η κύρια δυσκολία είναι δουλεύοντας με πτυχία!Δηλαδή εκθετική αρνητικοί αριθμοί, κλάσματα, ρίζες και παρόμοιες δομές. Όσοι λοιπόν έχουν προβλήματα με αυτό, παρακαλούμε να επαναλάβουν τα πτυχία και τις ιδιότητες τους! Διαφορετικά, θα επιβραδύνεις και αυτό το θέμα, ναι...)

Τώρα ας λύσουμε τυπικά προβλήματα αναζήτησης ένα από τα στοιχεία του τύπου, αν δοθούν όλα τα άλλα. Για την επιτυχή επίλυση τέτοιων προβλημάτων, η συνταγή είναι ομοιόμορφη και τρομερά απλή - γράψτε τον τύποnτο μέλος σε γενική άποψη! Ακριβώς στο σημειωματάριο δίπλα στην κατάσταση. Και μετά από την συνθήκη καταλαβαίνουμε τι μας δίνεται και τι λείπει. Και εκφράζουμε την επιθυμητή τιμή από τον τύπο. Ολοι!

Για παράδειγμα, ένα τέτοιο αβλαβές πρόβλημα.

Ο πέμπτος όρος μιας γεωμετρικής προόδου με παρονομαστή 3 είναι 567. Βρείτε τον πρώτο όρο αυτής της προόδου.

Τίποτα περίπλοκο. Δουλεύουμε απευθείας σύμφωνα με το ξόρκι.

Ας γράψουμε τον τύπο για τον nο όρο!

b n = σι 1 · qn -1

Τι μας δόθηκε; Αρχικά, δίνεται ο παρονομαστής της προόδου: q = 3.

Επιπλέον, μας δίνονται πέμπτο μέλος: σι 5 = 567 .

Ολοι; Όχι! Μας έχει δοθεί και ο αριθμός ν! Αυτό είναι πέντε: n = 5.

Ελπίζω να έχετε ήδη καταλάβει τι υπάρχει στην ηχογράφηση σι 5 = 567 δύο παράμετροι κρύβονται ταυτόχρονα - αυτός είναι ο ίδιος ο πέμπτος όρος (567) και ο αριθμός του (5). Έχω ήδη μιλήσει για αυτό σε ένα παρόμοιο μάθημα, αλλά νομίζω ότι αξίζει να το αναφέρω και εδώ.)

Τώρα αντικαθιστούμε τα δεδομένα μας στον τύπο:

567 = σι 1 ·3 5-1

Κάνουμε την αριθμητική, απλοποιούμε και παίρνουμε κάτι απλό γραμμική εξίσωση:

81 σι 1 = 567

Λύνουμε και παίρνουμε:

σι 1 = 7

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχουν προβλήματα με την εύρεση του πρώτου όρου. Αλλά όταν ψάχνετε για τον παρονομαστή qκαι αριθμοί nΜπορεί επίσης να υπάρξουν εκπλήξεις. Και πρέπει επίσης να είστε προετοιμασμένοι για αυτές (εκπλήξεις), ναι.)

Για παράδειγμα, αυτό το πρόβλημα:

Ο πέμπτος όρος μιας γεωμετρικής προόδου με θετικό παρονομαστή είναι 162 και ο πρώτος όρος αυτής της προόδου είναι 2. Βρείτε τον παρονομαστή της προόδου.

Αυτή τη φορά μας δίνονται ο πρώτος και ο πέμπτος όρος και μας ζητείται να βρούμε τον παρονομαστή της εξέλιξης. Πάμε λοιπόν.

Γράφουμε τον τύποnτο μέλος!

b n = σι 1 · qn -1

Τα αρχικά μας δεδομένα θα είναι τα εξής:

σι 5 = 162

σι 1 = 2

n = 5

Λείπει τιμή q. Καμία ερώτηση! Ας το βρούμε τώρα.) Αντικαθιστούμε όλα όσα γνωρίζουμε στον τύπο.

Παίρνουμε:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Μια απλή εξίσωση τέταρτου βαθμού. Και τώρα - προσεκτικά!Σε αυτό το στάδιο της λύσης, πολλοί μαθητές εξάγουν αμέσως με χαρά τη ρίζα (του τέταρτου βαθμού) και παίρνουν την απάντηση q=3 .

Τοιουτοτροπώς:

q4 = 81

q = 3

Αλλά στην πραγματικότητα, αυτή είναι μια ημιτελής απάντηση. Πιο συγκεκριμένα, ελλιπής. Γιατί; Το θέμα είναι ότι η απάντηση q = -3 επίσης κατάλληλο: (-3) 4 θα είναι επίσης 81!

Αυτό συμβαίνει επειδή η εξίσωση ισχύος x n = έναέχει πάντα δύο αντίθετες ρίζεςστο ακόμη καιn . Με τα συν και τα πλην:

Και τα δύο είναι κατάλληλα.

Για παράδειγμα, όταν αποφασίζετε (δηλ. δεύτεροςβαθμούς)

x 2 = 9

Για κάποιο λόγο δεν σας εκπλήσσει η εμφάνιση δυορίζες x=±3; Το ίδιο είναι και εδώ. Και με οποιοδήποτε άλλο ακόμη καιβαθμός (τέταρτος, έκτος, δέκατος κ.λπ.) θα είναι το ίδιο. Λεπτομέρειες υπάρχουν στο θέμα για

Γι' αυτό η σωστή απόφασηθα είναι έτσι:

q 4 = 81

q= ±3

Εντάξει, τακτοποιήσαμε τα σημάδια. Ποιο είναι το σωστό - συν ή πλην; Λοιπόν, ας διαβάσουμε ξανά τη δήλωση προβλήματος σε αναζήτηση πρόσθετες πληροφορίες. Φυσικά, μπορεί να μην υπάρχει, αλλά σε αυτό το πρόβλημα τέτοιες πληροφορίες διαθέσιμος.Η κατάστασή μας δηλώνει σε απλό κείμενο ότι δίνεται μια εξέλιξη θετικός παρονομαστής.

Επομένως η απάντηση είναι προφανής:

q = 3

Όλα είναι απλά εδώ. Τι πιστεύετε ότι θα συνέβαινε εάν η δήλωση προβλήματος ήταν ως εξής:

Ο πέμπτος όρος μιας γεωμετρικής προόδου είναι 162 και ο πρώτος όρος αυτής της προόδου είναι 2. Βρείτε τον παρονομαστή της προόδου.

Ποια είναι η διαφορά; Ναί! Σε κατάσταση Τίποταδεν γίνεται αναφορά στο πρόσημο του παρονομαστή. Ούτε άμεσα ούτε έμμεσα. Και εδώ το πρόβλημα θα είχε ήδη δύο λύσεις!

q = 3 Και q = -3

Ναι, ναι! Και με ένα συν και με ένα μείον.) Μαθηματικά, αυτό το γεγονός θα σήμαινε ότι υπάρχουν δύο προόδους, που ταιριάζουν στις συνθήκες του προβλήματος. Και το καθένα έχει τον δικό του παρονομαστή. Απλά για διασκέδαση, εξασκηθείτε και γράψτε τους πέντε πρώτους όρους του καθενός.)

Τώρα ας εξασκηθούμε στην εύρεση του αριθμού του μέλους. Αυτό το πρόβλημα είναι το πιο δύσκολο, ναι. Αλλά και πιο δημιουργική.)

Δίνεται μια γεωμετρική πρόοδος:

3; 6; 12; 24; …

Ποιος αριθμός σε αυτήν την εξέλιξη είναι ο αριθμός 768;

Το πρώτο βήμα παραμένει το ίδιο: γράψτε τον τύποnτο μέλος!

b n = σι 1 · qn -1

Και τώρα, ως συνήθως, αντικαθιστούμε τα δεδομένα που γνωρίζουμε σε αυτό. Χμ... δεν κάνει! Πού είναι ο πρώτος όρος, πού είναι ο παρονομαστής, πού είναι όλα τα άλλα;!

Πού, πού... Γιατί χρειαζόμαστε μάτια; Να χτυπάς τις βλεφαρίδες σου; Αυτή τη φορά η εξέλιξη μας δίνεται απευθείας στη φόρμα ακολουθίες.Μπορούμε να δούμε το πρώτο μέλος; Βλέπουμε! Αυτό είναι ένα τριπλό (b 1 = 3). Τι γίνεται με τον παρονομαστή; Δεν το βλέπουμε ακόμα, αλλά είναι πολύ εύκολο να το μετρήσουμε. Αν φυσικά καταλαβαίνεις...

Οπότε μετράμε. Απευθείας σύμφωνα με την έννοια μιας γεωμετρικής προόδου: παίρνουμε οποιονδήποτε από τους όρους της (εκτός από τον πρώτο) και διαιρούμε με τον προηγούμενο.

Τουλάχιστον έτσι:

q = 24/12 = 2

Τι άλλο ξέρουμε; Γνωρίζουμε επίσης κάποιον όρο αυτής της προόδου, ίσο με 768. Κάτω από κάποιον αριθμό n:

b n = 768

Δεν γνωρίζουμε τον αριθμό του, αλλά το καθήκον μας είναι ακριβώς να τον βρούμε.) Ψάχνουμε λοιπόν. Έχουμε ήδη κατεβάσει όλα τα απαραίτητα δεδομένα για αντικατάσταση στον τύπο. Εν αγνοία σας.)

Εδώ αντικαθιστούμε:

768 = 3 2n -1

Ας κάνουμε τα στοιχειώδη - διαιρέστε και τις δύο πλευρές με το τρία και ξαναγράψτε την εξίσωση σε στη συνηθισμένη μορφή: άγνωστο στα αριστερά, γνωστό στα δεξιά.

Παίρνουμε:

2 n -1 = 256

Αυτή είναι μια ενδιαφέρουσα εξίσωση. Πρέπει να βρούμε το "n". Τι, ασυνήθιστο; Ναι, δεν διαφωνώ. Στην πραγματικότητα, αυτό είναι το πιο απλό πράγμα. Ονομάζεται έτσι επειδή το άγνωστο (στην περίπτωση αυτή είναι ο αριθμός n) κόστος σε δείκτηςβαθμούς.

Στο στάδιο της εξοικείωσης με τη γεωμετρική πρόοδο (αυτή είναι η ένατη τάξη) εκθετικές εξισώσειςΔεν σου μαθαίνουν πώς να αποφασίζεις, ναι... Αυτό είναι θέμα για το γυμνάσιο. Αλλά δεν υπάρχει τίποτα τρομακτικό. Ακόμα κι αν δεν ξέρετε πώς λύνονται τέτοιες εξισώσεις, ας προσπαθήσουμε να βρούμε το δικό μας n, με γνώμονα την απλή λογική και την κοινή λογική.

Ας αρχίσουμε να μιλάμε. Αριστερά έχουμε ένα δυάρι σε κάποιο βαθμό. Δεν γνωρίζουμε ακόμη τι ακριβώς είναι αυτό το πτυχίο, αλλά αυτό δεν είναι τρομακτικό. Όμως ξέρουμε σίγουρα ότι αυτός ο βαθμός ισούται με 256! Θυμόμαστε λοιπόν σε ποιο βαθμό το δύο μας δίνει 256. Θυμάστε; Ναί! ΣΕ όγδοοβαθμούς!

256 = 2 8

Εάν δεν θυμάστε ή αντιμετωπίζετε προβλήματα με την αναγνώριση των μοιρών, τότε δεν πειράζει: απλώς τετράγωνο δύο, κύβος, τέταρτος, πέμπτος και ούτω καθεξής. Επιλογή, μάλιστα, αλλά σε αυτό το επίπεδο θα λειτουργήσει αρκετά καλά.

Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, παίρνουμε:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Άρα 768 είναι ένατοςμέλος της προόδου μας. Αυτό είναι όλο, το πρόβλημα λύθηκε.)

Απάντηση: 9

Τι; Ανιαρός; Κουραστήκατε από στοιχειώδη πράγματα; Συμφωνώ. Κι εγώ επίσης. Ας περάσουμε στο επόμενο επίπεδο.)

Πιο πολύπλοκες εργασίες.

Τώρα ας λύσουμε πιο δύσκολα προβλήματα. Όχι ακριβώς σούπερ κουλ, αλλά χρειάζονται λίγη δουλειά για να φτάσουμε στην απάντηση.

Για παράδειγμα, αυτό.

Βρείτε τον δεύτερο όρο μιας γεωμετρικής προόδου αν ο τέταρτος όρος της είναι -24 και ο έβδομος όρος είναι 192.

Αυτό είναι ένα κλασικό του είδους. Κάποιοι δύο διαφορετικοί όροι της εξέλιξης είναι γνωστοί, αλλά πρέπει να βρεθεί ένας άλλος όρος. Επιπλέον, όλα τα μέλη ΔΕΝ είναι γειτονικά. Κάτι που στην αρχή προκαλεί σύγχυση, ναι...

Όπως και στο, για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων θα εξετάσουμε δύο μεθόδους. Η πρώτη μέθοδος είναι καθολική. Αλγεβρικός. Λειτουργεί άψογα με οποιαδήποτε πηγή δεδομένων. Από εκεί θα ξεκινήσουμε λοιπόν.)

Περιγράφουμε κάθε όρο σύμφωνα με τον τύπο nτο μέλος!

Όλα είναι ακριβώς τα ίδια όπως με μια αριθμητική πρόοδο. Μόνο που αυτή τη φορά συνεργαζόμαστε άλλοςγενικός τύπος. Αυτό είναι όλο.) Αλλά η ουσία είναι η ίδια: παίρνουμε και ένα προς έναΑντικαθιστούμε τα αρχικά μας δεδομένα στον τύπο για τον nο όρο. Για κάθε μέλος - το δικό τους.

Για τον τέταρτο όρο γράφουμε:

σι 4 = σι 1 · q 3

-24 = σι 1 · q 3

Φάω. Μια εξίσωση είναι έτοιμη.

Για την έβδομη περίοδο γράφουμε:

σι 7 = σι 1 · q 6

192 = σι 1 · q 6

Συνολικά, πήραμε δύο εξισώσεις για την ίδια εξέλιξη .

Συγκεντρώνουμε ένα σύστημα από αυτά:

Παρά την απειλητική του εμφάνιση, το σύστημα είναι αρκετά απλό. Η πιο προφανής λύση είναι η απλή αντικατάσταση. εκφραζόμαστε σι 1 από την επάνω εξίσωση και αντικαταστήστε την στην κάτω:

Αφού ψάξουμε λίγο με την κάτω εξίσωση (μειώνοντας τις δυνάμεις και διαιρώντας με -24), έχουμε:

q 3 = -8

Παρεμπιπτόντως, αυτή η ίδια εξίσωση μπορεί να επιτευχθεί με πιο απλό τρόπο! Ποιο; Τώρα θα σας δείξω ένα άλλο μυστικό, αλλά πολύ όμορφο, δυνατό και χρήσιμος τρόποςλύσεις για τέτοια συστήματα. Τέτοια συστήματα, οι εξισώσεις των οποίων περιλαμβάνουν λειτουργεί μόνο.Τουλάχιστον σε ένα. Κάλεσαν μέθοδος διαίρεσηςμια εξίσωση στην άλλη.

Έτσι, έχουμε ένα σύστημα μπροστά μας:

Και στις δύο εξισώσεις στα αριστερά - εργασία, και στα δεξιά είναι απλώς ένας αριθμός. Αυτό είναι πολύ καλό σημάδι.) Ας το πάρουμε και... διαιρούμε, ας πούμε, την κάτω εξίσωση με την πάνω! Τι σημαίνει αυτό ας διαιρέσουμε μια εξίσωση με την άλλη;Πολύ απλό. Ας το πάρουμε αριστερή πλευράμία εξίσωση (κάτω) και χώρισμααυτήν επάνω αριστερή πλευράάλλη εξίσωση (πάνω). Η δεξιά πλευρά είναι παρόμοια: δεξιά πλευράμια εξίσωση χώρισμαεπί δεξιά πλευράάλλος.

Η όλη διαδικασία διαίρεσης μοιάζει με αυτό:

Τώρα, μειώνοντας όλα όσα μπορούν να μειωθούν, παίρνουμε:

q 3 = -8

Τι καλό έχει αυτή η μέθοδος; Ναι, γιατί στη διαδικασία μιας τέτοιας διαίρεσης κάθε κακό και άβολο μπορεί να μειωθεί με ασφάλεια και παραμένει μια εντελώς ακίνδυνη εξίσωση! Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο είναι τόσο σημαντικό να έχουμε πολλαπλασιασμό μόνοσε μία τουλάχιστον από τις εξισώσεις του συστήματος. Δεν υπάρχει πολλαπλασιασμός - δεν υπάρχει τίποτα να μειωθεί, ναι...

Γενικά, αυτή η μέθοδος (όπως και πολλές άλλες μη τετριμμένες μέθοδοι επίλυσης συστημάτων) αξίζει ακόμη και ένα ξεχωριστό μάθημα. Σίγουρα θα το ψάξω πιο αναλυτικά. Κάποια μέρα…

Ωστόσο, δεν έχει σημασία πόσο ακριβώς λύνετε το σύστημα, σε κάθε περίπτωση, τώρα πρέπει να λύσουμε την εξίσωση που προκύπτει:

q 3 = -8

Κανένα πρόβλημα: εξαγάγετε τη ρίζα του κύβου και είστε έτοιμοι!

Λάβετε υπόψη ότι δεν χρειάζεται να βάλετε ένα συν/πλην εδώ κατά την εξαγωγή. Η ρίζα μας είναι περιττού (τρίτου) βαθμού. Και η απάντηση είναι επίσης η ίδια, ναι.)

Άρα, βρέθηκε ο παρονομαστής της προόδου. Μείον δύο. Μεγάλος! Η διαδικασία είναι σε εξέλιξη.)

Για τον πρώτο όρο (ας πούμε, από την άνω εξίσωση) παίρνουμε:

Μεγάλος! Γνωρίζουμε τον πρώτο όρο, ξέρουμε τον παρονομαστή. Και τώρα έχουμε την ευκαιρία να βρούμε οποιοδήποτε μέλος της εξέλιξης. Συμπεριλαμβανομένου του δεύτερου.)

Για τον δεύτερο όρο όλα είναι πολύ απλά:

σι 2 = σι 1 · q= 3·(-2) = -6

Απάντηση: -6

Έτσι, αναλύσαμε την αλγεβρική μέθοδο για την επίλυση του προβλήματος. Δύσκολος; Όχι πραγματικά, συμφωνώ. Μακρύ και κουραστικό; Ναι, σίγουρα. Αλλά μερικές φορές μπορείτε να μειώσετε σημαντικά τον όγκο της εργασίας. Για αυτό υπάρχει γραφική μέθοδος.Καλό παλιό και οικείο σε εμάς.)

Ας σχεδιάσουμε ένα πρόβλημα!

Ναί! Αυτό είναι σωστό. Και πάλι απεικονίζουμε την πρόοδό μας στον αριθμητικό άξονα. Δεν είναι απαραίτητο να ακολουθήσετε έναν χάρακα, δεν είναι απαραίτητο να διατηρήσετε ίσα διαστήματα μεταξύ των όρων (που, παρεμπιπτόντως, δεν θα είναι τα ίδια, αφού η εξέλιξη είναι γεωμετρική!), αλλά απλά σχηματικώςΑς σχεδιάσουμε τη σειρά μας.

Το πήρα έτσι:

Τώρα κοιτάξτε την εικόνα και ανακαλύψτε την. Πόσους ταυτόσημους παράγοντες «q» χωρίζουν τέταρτοςΚαι έβδομοςμέλη; Σωστά, τρία!

Επομένως, έχουμε κάθε δικαίωμα να γράψουμε:

-24·q 3 = 192

Από εδώ είναι πλέον εύκολο να βρείτε το q:

q 3 = -8

q = -2

Αυτό είναι υπέροχο, έχουμε ήδη τον παρονομαστή στην τσέπη μας. Τώρα ας δούμε ξανά την εικόνα: πόσοι τέτοιοι παρονομαστές βρίσκονται ανάμεσα δεύτεροςΚαι τέταρτοςμέλη; Δυο! Επομένως, για να καταγράψουμε τη σύνδεση μεταξύ αυτών των όρων, θα κατασκευάσουμε τον παρονομαστή τετράγωνο.

Γράφουμε λοιπόν:

σι 2 · q 2 = -24 , όπου σι 2 = -24/ q 2

Αντικαθιστούμε τον βρεθέντα παρονομαστή στην έκφραση για b 2, μετράμε και παίρνουμε:

Απάντηση: -6

Όπως μπορείτε να δείτε, όλα είναι πολύ πιο απλά και πιο γρήγορα από ό, τι μέσω του συστήματος. Επιπλέον, εδώ δεν χρειάστηκε καν να μετρήσουμε την πρώτη θητεία! Καθόλου.)

Εδώ είναι ένας τόσο απλός και οπτικός τρόπος-φως. Έχει όμως και ένα σοβαρό μειονέκτημα. Το μαντέψατε; Ναί! Είναι καλό μόνο για πολύ σύντομα κομμάτια εξέλιξης. Εκείνες όπου οι αποστάσεις μεταξύ των μελών που μας ενδιαφέρουν δεν είναι πολύ μεγάλες. Αλλά σε όλες τις άλλες περιπτώσεις είναι ήδη δύσκολο να σχεδιάσουμε μια εικόνα, ναι... Τότε λύνουμε το πρόβλημα αναλυτικά, μέσω του συστήματος.) Και τα συστήματα είναι καθολικά πράγματα. Μπορούν να χειριστούν οποιονδήποτε αριθμό.

Άλλη μια επική πρόκληση:

Ο δεύτερος όρος της γεωμετρικής προόδου είναι 10 περισσότερος από τον πρώτο και ο τρίτος όρος είναι 30 περισσότερος περισσότερο από το δεύτερο. Βρείτε τον παρονομαστή της προόδου.

Τι, ωραίο; Καθόλου! Όλα είναι ίδια. Και πάλι μεταφράζουμε τη δήλωση του προβλήματος σε καθαρή άλγεβρα.

1) Περιγράφουμε κάθε όρο σύμφωνα με τον τύπο nτο μέλος!

Δεύτερος όρος: b 2 = b 1 q

Τρίτος όρος: b 3 = b 1 q 2

2) Καταγράφουμε τη σύνδεση μεταξύ των μελών από τη δήλωση προβλήματος.

Διαβάζουμε την προϋπόθεση: "Ο δεύτερος όρος της γεωμετρικής προόδου είναι 10 μεγαλύτερος από τον πρώτο."Σταματήστε, αυτό είναι πολύτιμο!

Γράφουμε λοιπόν:

σι 2 = σι 1 +10

Και μεταφράζουμε αυτή τη φράση σε καθαρά μαθηματικά:

σι 3 = σι 2 +30

Έχουμε δύο εξισώσεις. Ας τα συνδυάσουμε σε ένα σύστημα:

Το σύστημα φαίνεται απλό. Υπάρχουν όμως πάρα πολλοί διαφορετικοί δείκτες για τα γράμματα. Ας αντικαταστήσουμε αντί για τον δεύτερο και τον τρίτο όρο τις εκφράσεις τους μέσω του πρώτου όρου και του παρονομαστή! Μάταια τα βάψαμε;

Παίρνουμε:

Αλλά ένα τέτοιο σύστημα δεν είναι πλέον δώρο, ναι... Πώς να το λύσετε αυτό; Δυστυχώς, δεν υπάρχει καθολικό μυστικό ξόρκι για την επίλυση συμπλόκων μη γραμμικόΔεν υπάρχουν συστήματα στα μαθηματικά και δεν μπορούν να υπάρχουν. Αυτό είναι φανταστικό! Αλλά το πρώτο πράγμα που πρέπει να έρχεται στο μυαλό σας όταν προσπαθείτε να σπάσετε ένα τόσο σκληρό καρύδι είναι να το καταλάβετε Αλλά δεν είναι μία από τις εξισώσεις του συστήματος αναγωγίσιμη σε όμορφη θέα, επιτρέποντας, για παράδειγμα, να εκφράσει εύκολα μια από τις μεταβλητές ως προς μια άλλη;

Ας το καταλάβουμε. Η πρώτη εξίσωση του συστήματος είναι σαφώς απλούστερη από τη δεύτερη. Θα τον βασανίσουμε.) Δεν πρέπει να προσπαθήσουμε από την πρώτη εξίσωση κάτιεκφράζουν μέσω κάτι;Αφού θέλουμε να βρούμε τον παρονομαστή q, τότε θα ήταν πιο συμφέρον για εμάς να εκφράσουμε σι 1 διά μέσου q.

Ας προσπαθήσουμε λοιπόν να κάνουμε αυτή τη διαδικασία με την πρώτη εξίσωση, χρησιμοποιώντας τις παλιές καλές:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Ολοι! Εκφραστήκαμε λοιπόν περιττόςδώστε μας τη μεταβλητή (b 1) μέσω απαραίτητος(ιζ). Ναι, δεν είναι η πιο απλή έκφραση που έχουμε. Κάποιο κλάσμα... Αλλά το σύστημά μας είναι αξιοπρεπούς επιπέδου, ναι.)

Τυπικός. Ξέρουμε τι να κάνουμε.

Γράφουμε ODZ (Αναγκαίως!) :

q ≠ 1

Πολλαπλασιάζουμε τα πάντα με τον παρονομαστή (q-1) και ακυρώνουμε όλα τα κλάσματα:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Διαιρούμε τα πάντα κατά δέκα, ανοίγουμε τις αγκύλες και μαζεύουμε τα πάντα από τα αριστερά:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Λύνουμε το αποτέλεσμα και παίρνουμε δύο ρίζες:

q 1 = 1

q 2 = 3

Υπάρχει μόνο μια τελική απάντηση: q = 3 .

Απάντηση: 3

Όπως μπορείτε να δείτε, η διαδρομή για την επίλυση των περισσότερων προβλημάτων που αφορούν τον τύπο του nου όρου μιας γεωμετρικής προόδου είναι πάντα η ίδια: διαβάστε προσεχτικάσυνθήκη του προβλήματος και χρησιμοποιώντας τον τύπο του ν ου όρου μεταφράζουμε ολόκληρο χρήσιμες πληροφορίεςσε καθαρή άλγεβρα.

Δηλαδή:

1) Περιγράφουμε ξεχωριστά κάθε όρο που δίνεται στο πρόβλημα σύμφωνα με τον τύποnτο μέλος.

2) Από τις συνθήκες του προβλήματος μεταφράζουμε τη σύνδεση μεταξύ των μελών σε μαθηματική μορφή. Συνθέτουμε μια εξίσωση ή ένα σύστημα εξισώσεων.

3) Λύνουμε την εξίσωση ή σύστημα εξισώσεων που προκύπτει, βρίσκουμε τις άγνωστες παραμέτρους της προόδου.

4) Σε περίπτωση διφορούμενης απάντησης, διαβάζουμε προσεκτικά τις συνθήκες εργασίας αναζητώντας πρόσθετες πληροφορίες (εάν υπάρχουν). Ελέγχουμε επίσης την απάντηση που λάβαμε με τους όρους του DL (εάν υπάρχουν).

Τώρα ας απαριθμήσουμε τα κύρια προβλήματα που οδηγούν συχνότερα σε σφάλματα στη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων γεωμετρικής προόδου.

1. Στοιχειώδης αριθμητική. Πράξεις με κλάσματα και αρνητικούς αριθμούς.

2. Εάν υπάρχουν προβλήματα με τουλάχιστον ένα από αυτά τα τρία σημεία, τότε αναπόφευκτα θα κάνετε λάθη σε αυτό το θέμα. Δυστυχώς... Μην τεμπελιάζετε λοιπόν και επαναλάβετε όσα αναφέρθηκαν παραπάνω. Και ακολουθήστε τους συνδέσμους - πηγαίνετε. Μερικές φορές βοηθάει.)

Τροποποιημένοι και επαναλαμβανόμενοι τύποι.

Τώρα ας δούμε μερικά τυπικά προβλήματα εξετάσεων με μια λιγότερο οικεία παρουσίαση της πάθησης. Ναι, ναι, το μαντέψατε! Αυτό τροποποιήθηκεΚαι επαναλαμβανόμενοςτύποι nου όρου. Έχουμε ήδη συναντήσει τέτοιους τύπους και έχουμε εργαστεί στην αριθμητική πρόοδο. Όλα είναι παρόμοια εδώ. Η ουσία είναι η ίδια.

Για παράδειγμα, αυτό το πρόβλημα από το OGE:

Η γεωμετρική πρόοδος δίνεται από τον τύπο b n = 3 2 n . Να βρείτε το άθροισμα του πρώτου και του τέταρτου όρου του.

Αυτή τη φορά η εξέλιξη δεν είναι όπως συνήθως για εμάς. Με τη μορφή κάποιου είδους φόρμουλας. Και λοιπόν; Αυτή η φόρμουλα είναι επίσης μια φόρμουλαnτο μέλος!Εσείς και εγώ γνωρίζουμε ότι ο τύπος για τον nο όρο μπορεί να γραφτεί τόσο σε γενική μορφή, χρησιμοποιώντας γράμματα και για συγκεκριμένη εξέλιξη. ΜΕ ειδικόςπρώτος όρος και παρονομαστής.

Στην περίπτωσή μας, στην πραγματικότητα, μας δίνεται ένας γενικός τύπος όρου για μια γεωμετρική πρόοδο με τις ακόλουθες παραμέτρους:

σι 1 = 6

q = 2

Ας ελέγξουμε;) Ας γράψουμε τον τύπο για τον nο όρο σε γενική μορφή και ας τον αντικαταστήσουμε με σι 1 Και q. Παίρνουμε:

b n = σι 1 · qn -1

b n= 6 2n -1

Απλοποιούμε χρησιμοποιώντας παραγοντοποίηση και ιδιότητες των δυνάμεων και παίρνουμε:

b n= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Όπως μπορείτε να δείτε, όλα είναι δίκαια. Αλλά ο στόχος μας δεν είναι να δείξουμε την παραγωγή ενός συγκεκριμένου τύπου. Αυτό είναι έτσι, μια λυρική παρέκβαση. Καθαρά για κατανόηση.) Στόχος μας είναι να λύσουμε το πρόβλημα σύμφωνα με τον τύπο που μας δίνεται στη συνθήκη. Το καταλαβαίνετε;) Επομένως, εργαζόμαστε απευθείας με τον τροποποιημένο τύπο.

Μετράμε τον πρώτο όρο. Ας αντικαταστήσουμε n=1 στον γενικό τύπο:

σι 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Τοιουτοτροπώς. Παρεμπιπτόντως, δεν θα είμαι τεμπέλης και για άλλη μια φορά θα επιστήσω την προσοχή σας σε ένα τυπικό λάθος με τον υπολογισμό του πρώτου όρου. ΜΗΝ, κοιτάζοντας τον τύπο b n= 3 2n, βιαστείτε αμέσως να γράψετε ότι ο πρώτος όρος είναι τρεις! Αυτό είναι ένα χονδροειδές λάθος, ναι...)

Ας συνεχίσουμε. Ας αντικαταστήσουμε n=4 και μετρήστε τον τέταρτο όρο:

σι 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Και τέλος, υπολογίζουμε το απαιτούμενο ποσό:

σι 1 + σι 4 = 6+48 = 54

Απάντηση: 54

Άλλο πρόβλημα.

Η γεωμετρική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες:

σι 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Βρείτε τον τέταρτο όρο της προόδου.

Εδώ η εξέλιξη δίνεται από έναν επαναλαμβανόμενο τύπο. Λοιπόν, εντάξει.) Πώς να εργαστείτε με αυτόν τον τύπο – ξέρουμε κι εμείς.

Οπότε δρούμε. Βήμα βήμα.

1) Μετρήστε δύο συνεχήςμέλος της προόδου.

Η πρώτη θητεία μας έχει ήδη δοθεί. Μείον επτά. Αλλά ο επόμενος, δεύτερος όρος, μπορεί εύκολα να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο της επανάληψης. Αν καταλαβαίνετε την αρχή της λειτουργίας του, φυσικά.)

Μετράμε λοιπόν τον δεύτερο όρο Με γνωστός πρώτος:

σι 2 = 3 σι 1 = 3·(-7) = -21

2) Υπολογίστε τον παρονομαστή της προόδου

Ούτε πρόβλημα. Κατευθείαν, ας χωρίσουμε δεύτεροςπουλί επάνω πρώτα.

Παίρνουμε:

q = -21/(-7) = 3

3) Γράψτε τον τύποnτο μέλος στη συνήθη μορφή και υπολογίστε το απαιτούμενο μέλος.

Έτσι, γνωρίζουμε και τον πρώτο όρο και τον παρονομαστή. Γράφουμε λοιπόν:

b n= -7·3n -1

σι 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Απάντηση: -189

Όπως μπορείτε να δείτε, η εργασία με τέτοιους τύπους για μια γεωμετρική πρόοδο ουσιαστικά δεν διαφέρει από αυτήν για μια αριθμητική πρόοδο. Είναι σημαντικό μόνο να κατανοήσουμε τη γενική ουσία και το νόημα αυτών των τύπων. Λοιπόν, πρέπει επίσης να κατανοήσετε την έννοια της γεωμετρικής προόδου, ναι.) Και τότε δεν θα υπάρχουν ανόητα λάθη.

Λοιπόν, ας αποφασίσουμε μόνοι μας;)

Πολύ βασικές εργασίες για προθέρμανση:

1. Δίνεται μια γεωμετρική πρόοδος στην οποία σι 1 = 243, α q = -2/3. Βρείτε τον έκτο όρο της προόδου.

2. Ο γενικός όρος της γεωμετρικής προόδου δίνεται από τον τύπο b n = 5∙2 n +1 . Βρείτε τον αριθμό του τελευταίου τριψήφιου όρου αυτής της προόδου.

3. Η γεωμετρική πρόοδος δίνεται από τις συνθήκες:

σι 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Βρείτε τον πέμπτο όρο της προόδου.

Λίγο πιο περίπλοκο:

4. Δίνεται μια γεωμετρική πρόοδος:

σι 1 =2048; q =-0,5

Με τι ισούται ο έκτος αρνητικός όρος;

Τι φαίνεται εξαιρετικά δύσκολο; Καθόλου. Η λογική και η κατανόηση της έννοιας της γεωμετρικής προόδου θα σας σώσουν. Λοιπόν, ο τύπος για τον nο όρο, φυσικά.

5. Ο τρίτος όρος της γεωμετρικής προόδου είναι -14 και ο όγδοος όρος είναι 112. Βρείτε τον παρονομαστή της προόδου.

6. Το άθροισμα του πρώτου και του δεύτερου όρου της γεωμετρικής προόδου είναι 75, και το άθροισμα του δεύτερου και του τρίτου όρου είναι 150. Βρείτε τον έκτο όρο της προόδου.

Απαντήσεις (σε αταξία): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Αυτό είναι σχεδόν όλο. Το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να μάθουμε να μετράμε το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας γεωμετρικής προόδουναι ανακαλύψτε απείρως φθίνουσα γεωμετρική πρόοδοκαι το ποσό του. Ένα πολύ ενδιαφέρον και ασυνήθιστο πράγμα, παρεμπιπτόντως! Περισσότερα για αυτό στα επόμενα μαθήματα.)

Οδηγίες

10, 30, 90, 270...

Πρέπει να βρείτε τον παρονομαστή μιας γεωμετρικής προόδου.
Διάλυμα:

Επιλογή 1. Ας πάρουμε έναν αυθαίρετο όρο της προόδου (για παράδειγμα, 90) και ας τον διαιρέσουμε με τον προηγούμενο (30): 90/30=3.

Εάν το άθροισμα πολλών όρων μιας γεωμετρικής προόδου ή το άθροισμα όλων των όρων μιας φθίνουσας γεωμετρικής προόδου είναι γνωστό, τότε για να βρείτε τον παρονομαστή της προόδου, χρησιμοποιήστε τους κατάλληλους τύπους:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), όπου Sn είναι το άθροισμα των πρώτων n όρων της γεωμετρικής προόδου και
S = b1/(1-q), όπου S είναι το άθροισμα μιας απεριόριστα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου (το άθροισμα όλων των όρων της προόδου με παρονομαστή μικρότερο του ενός).
Παράδειγμα.

Ο πρώτος όρος μιας φθίνουσας γεωμετρικής προόδου είναι ίσος με ένα και το άθροισμα όλων των όρων της είναι ίσο με δύο.

Απαιτείται να προσδιοριστεί ο παρονομαστής αυτής της προόδου.
Διάλυμα:

Αντικαταστήστε τα δεδομένα από το πρόβλημα στον τύπο. Θα αποδειχθεί:
2=1/(1-q), από όπου – q=1/2.

Μια πρόοδος είναι μια ακολουθία αριθμών. Σε μια γεωμετρική πρόοδο, κάθε επόμενος όρος προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τον προηγούμενο με έναν ορισμένο αριθμό q, που ονομάζεται παρονομαστής της προόδου.

Οδηγίες

Εάν είναι γνωστοί δύο γειτονικοί γεωμετρικοί όροι b(n+1) και b(n), για να λάβετε τον παρονομαστή, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό με τον μεγαλύτερο με αυτόν που προηγείται: q=b(n+1)/b (ν). Αυτό προκύπτει από τον ορισμό της προόδου και τον παρονομαστή της. Σημαντική προϋπόθεσηείναι η ανισότητα του πρώτου όρου και ο παρονομαστής της προόδου στο μηδέν, διαφορετικά θεωρείται αόριστος.

Έτσι, δημιουργούνται οι ακόλουθες σχέσεις μεταξύ των όρων της προόδου: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Χρησιμοποιώντας τον τύπο b(n)=b1 q^(n-1), μπορεί να υπολογιστεί οποιοσδήποτε όρος της γεωμετρικής προόδου στον οποίο είναι γνωστός ο παρονομαστής q και ο όρος b1. Επίσης, κάθε μία από τις προόδους είναι ίση σε συντελεστή με τον μέσο όρο των γειτονικών μελών της: |b(n)|=√, όπου η πρόοδος πήρε το .

Ένα ανάλογο μιας γεωμετρικής προόδου είναι το απλούστερο εκθετική συνάρτηση y=a^x, όπου x είναι εκθέτης, a είναι ένας ορισμένος αριθμός. Στην περίπτωση αυτή, ο παρονομαστής της προόδου συμπίπτει με τον πρώτο όρο και ισούται με τον αριθμό α. Η τιμή της συνάρτησης y μπορεί να γίνει κατανοητή ως η θητείαπρόοδος εάν το όρισμα x ληφθεί ως φυσικός αριθμός n (μετρητής).

Κάτι ακόμα σημαντική περιουσίαγεωμετρική πρόοδος, η οποία έδωσε γεωμετρική πρόοδο

Αν για κάθε φυσικό αριθμό n ταιριάζει με έναν πραγματικό αριθμό a n , τότε λένε ότι δίνεται σειρά αριθμών :

ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , . . . , a n , . . . .

Άρα, η αριθμητική ακολουθία είναι συνάρτηση του φυσικού ορίσματος.

Αριθμός ένα 1 κάλεσε πρώτος όρος της ακολουθίας , αριθμός ένα 2 — δεύτερος όρος της ακολουθίας , αριθμός ένα 3 — τρίτος και ούτω καθεξής. Αριθμός a n κάλεσε η θητείαακολουθίες και ένας φυσικός αριθμός n — τον αριθμό του .

Από δύο παρακείμενα μέλη a n Και a n +1 μέλος της ακολουθίας a n +1 κάλεσε μεταγενέστερος (σε σχέση με a n ), Α a n — προηγούμενος (σε σχέση με a n +1 ).

Για να ορίσετε μια ακολουθία, πρέπει να καθορίσετε μια μέθοδο που σας επιτρέπει να βρείτε ένα μέλος της ακολουθίας με οποιονδήποτε αριθμό.

Συχνά η ακολουθία καθορίζεται χρησιμοποιώντας τύποι nου όρου , δηλαδή ένας τύπος που σας επιτρέπει να προσδιορίσετε ένα μέλος μιας ακολουθίας από τον αριθμό της.

Για παράδειγμα,

ακολουθία θετικών περιττοί αριθμοίμπορεί να δοθεί από τον τύπο

a n= 2n- 1,

και η ακολουθία των εναλλασσόμενων 1 Και -1 - φόρμουλα

σι n = (-1)n +1 . ◄

Η σειρά μπορεί να προσδιοριστεί επαναλαμβανόμενη φόρμουλα, δηλαδή ένας τύπος που εκφράζει οποιοδήποτε μέλος της ακολουθίας, ξεκινώντας από μερικά, μέσα από τα προηγούμενα (ένα ή περισσότερα) μέλη.

Για παράδειγμα,

Αν ένα 1 = 1 , Α a n +1 = a n + 5

ένα 1 = 1,

ένα 2 = ένα 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ένα 3 = ένα 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ένα 4 = ένα 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ένα 5 = ένα 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Αν α 1= 1, α 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , μετά τα πρώτα επτά μέλη σειρά αριθμώνεγκαταστήστε ως εξής:

α 1 = 1,

α 2 = 1,

α 3 = α 1 + α 2 = 1 + 1 = 2,

α 4 = α 2 + α 3 = 1 + 2 = 3,

α 5 = α 3 + α 4 = 2 + 3 = 5,

ένα 6 = ένα 4 + ένα 5 = 3 + 5 = 8,

ένα 7 = ένα 5 + ένα 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Οι ακολουθίες μπορεί να είναι τελικός Και ατέλειωτος .

Η ακολουθία ονομάζεται τελικός , εάν έχει πεπερασμένο αριθμό μελών. Η ακολουθία ονομάζεται ατέλειωτος , αν έχει άπειρα μέλη.

Για παράδειγμα,

ακολουθία διψήφιων φυσικών αριθμών:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

τελικός.

Ακολουθία πρώτων αριθμών:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

ατέλειωτος. ◄

Η ακολουθία ονομάζεται αυξανόμενη , αν καθένα από τα μέλη του, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι μεγαλύτερο από το προηγούμενο.

Η ακολουθία ονομάζεται μειώνεται , αν καθένα από τα μέλη του, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι μικρότερο από το προηγούμενο.

Για παράδειγμα,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — αυξανόμενη ακολουθία.

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — φθίνουσα ακολουθία. ◄

Μια ακολουθία της οποίας τα στοιχεία δεν μειώνονται όσο αυξάνεται ο αριθμός ή, αντίθετα, δεν αυξάνονται, ονομάζεται μονότονη ακολουθία .

Οι μονοτονικές αλληλουχίες, ειδικότερα, είναι αλληλουχίες αύξησης και φθίνουσας αλληλουχίας.

Αριθμητική πρόοδος

Αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία στην οποία κάθε μέλος, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι ίσο με το προηγούμενο, στο οποίο προστίθεται ο ίδιος αριθμός.

ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , . . . , a n, . . .

είναι μια αριθμητική πρόοδος αν υπάρχει φυσικός αριθμός n πληρούται η προϋπόθεση:

a n +1 = a n + ρε,

Οπου ρε - έναν ορισμένο αριθμό.

Έτσι, η διαφορά μεταξύ των επόμενων και των προηγούμενων όρων μιας δεδομένης αριθμητικής προόδου είναι πάντα σταθερή:

α 2 - ένα 1 = α 3 - ένα 2 = . . . = a n +1 - a n = ρε.

Αριθμός ρε κάλεσε διαφορά αριθμητικής προόδου.

Για να ορίσουμε μια αριθμητική πρόοδο, αρκεί να υποδείξουμε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της.

Για παράδειγμα,

Αν ένα 1 = 3, ρε = 4 , τότε βρίσκουμε τους πέντε πρώτους όρους της ακολουθίας ως εξής:

α 1 =3,

α 2 = α 1 + ρε = 3 + 4 = 7,

α 3 = α 2 + ρε= 7 + 4 = 11,

α 4 = α 3 + ρε= 11 + 4 = 15,

ένα 5 = ένα 4 + ρε= 15 + 4 = 19. ◄

Για μια αριθμητική πρόοδο με τον πρώτο όρο ένα 1 και η διαφορά ρε αυτήν n

a n = α 1 + (n- 1)ρε.

Για παράδειγμα,

βρείτε τον τριακοστό όρο της αριθμητικής προόδου

1, 4, 7, 10, . . .

α 1 =1, ρε = 3,

ένα 30 = α 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

ένα n-1 = α 1 + (n- 2)ρε,

a n= α 1 + (n- 1)ρε,

a n +1 = ένα 1 + nd,

τότε προφανώς

Κάθε μέλος μιας αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με τον αριθμητικό μέσο όρο των προηγούμενων και των επόμενων μελών.

Οι αριθμοί α, β και γ είναι διαδοχικοί όροι κάποιας αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ένας από αυτούς είναι ίσος με τον αριθμητικό μέσο όρο των άλλων δύο.

Για παράδειγμα,

a n = 2n- 7 , είναι μια αριθμητική πρόοδος.

Ας χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω δήλωση. Έχουμε:

a n = 2n- 7,

ένα n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

ένα n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Οθεν,

◄

Σημειώστε ότι n Ο όρος μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να βρεθεί όχι μόνο μέσω ένα 1 , αλλά και κάθε προηγούμενο ένα κ

a n = ένα κ + (n- κ)ρε.

Για παράδειγμα,

Για ένα 5 μπορεί να καταγραφεί

α 5 = α 1 + 4ρε,

α 5 = α 2 + 3ρε,

α 5 = α 3 + 2ρε,

α 5 = α 4 + ρε. ◄

a n = ένα ν-κ + κδ,

a n = ένα ν+κ - κδ,

τότε προφανώς

οποιοδήποτε μέλος μιας αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από τη δεύτερη, ισούται με το μισό του αθροίσματος των ίσων απεχόντων μελών αυτής της αριθμητικής προόδου.

Επιπλέον, για οποιαδήποτε αριθμητική πρόοδο ισχύει η ακόλουθη ισότητα:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Για παράδειγμα,

σε αριθμητική πρόοδο

1) ένα 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ένα 9 + ένα 11 )/2;

2) 28 = ένα 10 = α 3 + 7ρε= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) ένα 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ένα 7 + ένα 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, επειδή

α 2 + α 12= 4 + 34 = 38,

ένα 5 + ένα 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

πρώτα n Οι όροι μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσοι με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των ακραίων όρων και του αριθμού των όρων:

Από εδώ, συγκεκριμένα, προκύπτει ότι αν χρειαστεί να συνοψίσετε τους όρους

ένα κ, ένα κ +1 , . . . , a n,

τότε ο προηγούμενος τύπος διατηρεί τη δομή του:

Για παράδειγμα,

σε αριθμητική πρόοδο 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

μικρό 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = μικρό 10 - μικρό 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Εάν δοθεί αριθμητική πρόοδος, μετά τις ποσότητες ένα 1 , a n, ρε, nΚαιμικρό n συνδέονται με δύο τύπους:

Επομένως, εάν δίνονται οι τιμές τριών από αυτές τις ποσότητες, τότε οι αντίστοιχες τιμές των άλλων δύο μεγεθών καθορίζονται από αυτούς τους τύπους, συνδυαζόμενες σε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.

Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια μονότονη ακολουθία. Σε αυτή την περίπτωση:

• Αν ρε > 0 , τότε αυξάνεται.
• Αν ρε < 0 , τότε μειώνεται.
• Αν ρε = 0 , τότε η ακολουθία θα είναι ακίνητη.

Γεωμετρική πρόοδος

Γεωμετρική πρόοδος είναι μια ακολουθία στην οποία κάθε μέλος, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι ίσο με το προηγούμενο πολλαπλασιασμένο με τον ίδιο αριθμό.

σι 1 , σι 2 , σι 3 , . . . , b n, . . .

είναι μια γεωμετρική πρόοδος εάν για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό n πληρούται η προϋπόθεση:

b n +1 = b n · q,

Οπου q ≠ 0 - έναν ορισμένο αριθμό.

Έτσι, ο λόγος του επόμενου όρου μιας δεδομένης γεωμετρικής προόδου προς τον προηγούμενο είναι ένας σταθερός αριθμός:

σι 2 / σι 1 = σι 3 / σι 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Αριθμός q κάλεσε παρονομαστής της γεωμετρικής προόδου.

Για να ορίσουμε μια γεωμετρική πρόοδο, αρκεί να υποδείξουμε τον πρώτο όρο και τον παρονομαστή της.

Για παράδειγμα,

Αν σι 1 = 1, q = -3 , τότε βρίσκουμε τους πέντε πρώτους όρους της ακολουθίας ως εξής:

β 1 = 1,

β 2 = β 1 · q = 1 · (-3) = -3,

β 3 = β 2 · q= -3 · (-3) = 9,

β 4 = β 3 · q= 9 · (-3) = -27,

σι 5 = σι 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

σι 1 και παρονομαστής q αυτήν n Ο όρος μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

b n = σι 1 · qn -1 .

Για παράδειγμα,

βρείτε τον έβδομο όρο της γεωμετρικής προόδου 1, 2, 4, . . .

σι 1 = 1, q = 2,

σι 7 = σι 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = β 1 · qn -2 ,

b n = β 1 · qn -1 ,

b n +1 = σι 1 · qn,

τότε προφανώς

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

κάθε μέλος της γεωμετρικής προόδου, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με το γεωμετρικό μέσο (αναλογικό) των προηγούμενων και των επόμενων μελών.

Εφόσον ισχύει και το αντίστροφο, ισχύει η ακόλουθη δήλωση:

οι αριθμοί a, b και c είναι διαδοχικοί όροι κάποιας γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν το τετράγωνο ενός από αυτούς είναι ίσο με το γινόμενο των άλλων δύο, δηλαδή ένας από τους αριθμούς είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος των άλλων δύο.

Για παράδειγμα,

Ας αποδείξουμε ότι η ακολουθία που δίνεται από τον τύπο b n= -3 2 n , είναι μια γεωμετρική πρόοδος. Ας χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω δήλωση. Έχουμε:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Οθεν,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

που αποδεικνύει την επιθυμητή δήλωση. ◄

Σημειώστε ότι n Ο όρος μιας γεωμετρικής προόδου μπορεί να βρεθεί όχι μόνο μέσω σι 1 , αλλά και οποιοδήποτε προηγούμενο μέλος β κ , για το οποίο αρκεί να χρησιμοποιήσετε τον τύπο

b n = β κ · qn - κ.

Για παράδειγμα,

Για σι 5 μπορεί να καταγραφεί

β 5 = β 1 · q 4 ,

β 5 = β 2 · q 3,

β 5 = β 3 · q 2,

β 5 = β 4 · q. ◄

b n = β κ · qn - κ,

b n = b n - κ · q k,

τότε προφανώς

b n 2 = b n - κ· b n + κ

το τετράγωνο οποιουδήποτε όρου μιας γεωμετρικής προόδου, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι ίσο με το γινόμενο των όρων αυτής της προόδου που ισαπέχουν από αυτόν.

Επιπλέον, για οποιαδήποτε γεωμετρική πρόοδο ισχύει η ισότητα:

b m· b n= β κ· β λ,

m+ n= κ+ μεγάλο.

Για παράδειγμα,

σε γεωμετρική πρόοδο

1) σι 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = σι 5 · σι 7 ;

2) 1024 = σι 11 = σι 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) σι 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = σι 4 · σι 8 ;

4) σι 2 · σι 7 = σι 4 · σι 5 , επειδή

σι 2 · σι 7 = 2 · 64 = 128,

σι 4 · σι 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= σι 1 + σι 2 + σι 3 + . . . + b n

πρώτα n μέλη μιας γεωμετρικής προόδου με παρονομαστή q ≠ 0 υπολογίζεται με τον τύπο:

Και πότε q = 1 - σύμφωνα με τον τύπο

S n= σημ 1

Σημειώστε ότι εάν χρειάζεται να συνοψίσετε τους όρους

β κ, β κ +1 , . . . , b n,

τότε χρησιμοποιείται ο τύπος:

Για παράδειγμα,

σε γεωμετρική πρόοδο 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

μικρό 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = μικρό 10 - μικρό 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Αν δίνεται γεωμετρική πρόοδος, τότε οι ποσότητες σι 1 , b n, q, nΚαι S n συνδέονται με δύο τύπους:

Επομένως, εάν δοθούν οι τιμές οποιωνδήποτε τριών από αυτές τις ποσότητες, τότε οι αντίστοιχες τιμές των άλλων δύο ποσοτήτων καθορίζονται από αυτούς τους τύπους, συνδυαζόμενες σε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.

Για μια γεωμετρική πρόοδο με τον πρώτο όρο σι 1 και παρονομαστής q λαμβάνουν χώρα τα ακόλουθα ιδιότητες της μονοτονίας :

• Η εξέλιξη αυξάνεται εάν πληρούται μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

σι 1 > 0 Και q> 1;

σι 1 < 0 Και 0 < q< 1;

• Η εξέλιξη μειώνεται εάν πληρούται μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

σι 1 > 0 Και 0 < q< 1;

σι 1 < 0 Και q> 1.

Αν q< 0 , τότε η γεωμετρική πρόοδος εναλλάσσεται: οι όροι του με περιττούς αριθμούς έχουν το ίδιο πρόσημο με τον πρώτο όρο και οι όροι με ζυγούς αριθμούς έχουν το αντίθετο πρόσημο. Είναι σαφές ότι μια εναλλασσόμενη γεωμετρική πρόοδος δεν είναι μονότονη.

Προϊόν του πρώτου n Τα μέλη μιας γεωμετρικής προόδου μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τον τύπο:

P n= β 1 · β 2 · β 3 · . . . · b n = (β 1 · b n) n / 2 .

Για παράδειγμα,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος

Απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος ονομάζεται άπειρη γεωμετρική πρόοδος της οποίας ο συντελεστής παρονομαστή είναι μικρότερος 1 , δηλαδή

|q| < 1 .

Σημειώστε ότι μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος μπορεί να μην είναι μια φθίνουσα ακολουθία. Ταιριάζει στην περίσταση

1 < q< 0 .

Με έναν τέτοιο παρονομαστή, η ακολουθία εναλλάσσεται. Για παράδειγμα,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου ονομάστε τον αριθμό στον οποίο πλησιάζει το άθροισμα των πρώτων χωρίς όριο n μέλη μιας προόδου με απεριόριστη αύξηση του αριθμού n . Αυτός ο αριθμός είναι πάντα πεπερασμένος και εκφράζεται με τον τύπο

Για παράδειγμα,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Σχέση αριθμητικών και γεωμετρικών προόδων

Οι αριθμητικές και οι γεωμετρικές προόδους συνδέονται στενά. Ας δούμε μόνο δύο παραδείγματα.

ένα 1 , ένα 2 , ένα 3 , . . . ρε , Αυτό

β α 1 , β α 2 , β α 3 , . . . β δ .

Για παράδειγμα,

1, 3, 5, . . . - αριθμητική πρόοδος με διαφορά 2 Και

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - γεωμετρική πρόοδος με παρονομαστή 7 2 . ◄

σι 1 , σι 2 , σι 3 , . . . - γεωμετρική πρόοδος με παρονομαστή q , Αυτό

καταγραφή α β 1, καταγραφή α β 2, καταγραφή α β 3, . . . - αριθμητική πρόοδος με διαφορά κούτσουρο αq .

Για παράδειγμα,

2, 12, 72, . . . - γεωμετρική πρόοδος με παρονομαστή 6 Και

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - αριθμητική πρόοδος με διαφορά lg 6 . ◄