Πώς να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα.

Τι είναι το άκρο μιας συνάρτησης και τι είναι αυτό απαραίτητη προϋπόθεσηάκρο?

Το άκρο μιας συνάρτησης είναι το μέγιστο και το ελάχιστο της συνάρτησης.

Η απαραίτητη προϋπόθεση για το μέγιστο και το ελάχιστο (ακρότατο) μιας συνάρτησης είναι η εξής: αν η συνάρτηση f(x) έχει άκρο στο σημείο x = a, τότε σε αυτό το σημείο η παράγωγος είναι είτε μηδέν, είτε άπειρη, είτε δεν υπάρχει.

Αυτή η προϋπόθεση είναι απαραίτητη, αλλά όχι επαρκής. Η παράγωγος στο σημείο x = a μπορεί να πάει στο μηδέν, στο άπειρο ή να μην υπάρχει χωρίς η συνάρτηση να έχει άκρο σε αυτό το σημείο.

Ποια είναι η επαρκής συνθήκη για το άκρο μιας συνάρτησης (μέγιστο ή ελάχιστο);

Πρώτη προϋπόθεση:

Εάν, σε επαρκή εγγύτητα με το σημείο x = a, η παράγωγος f?(x) είναι θετική στα αριστερά του a και αρνητική στα δεξιά του a, τότε στο σημείο x = a η συνάρτηση f(x) έχει ανώτατο όριο

Εάν, σε επαρκή εγγύτητα με το σημείο x = a, η παράγωγος f?(x) είναι αρνητική στα αριστερά του a και θετική στα δεξιά του a, τότε στο σημείο x = a η συνάρτηση f(x) έχει ελάχιστομε την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση f(x) εδώ είναι συνεχής.

Αντίθετα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη επαρκή συνθήκη για το άκρο μιας συνάρτησης:

Έστω στο σημείο x = a η πρώτη παράγωγος f?(x) εξαφανιστεί. αν η δεύτερη παράγωγος f??(a) είναι αρνητική, τότε η συνάρτηση f(x) έχει μέγιστο στο σημείο x = a, αν είναι θετική, τότε έχει ελάχιστο.

Ποιο είναι το κρίσιμο σημείο μιας συνάρτησης και πώς να το βρείτε;

Αυτή είναι η τιμή του ορίσματος συνάρτησης στο οποίο η συνάρτηση έχει ένα άκρο (δηλαδή μέγιστο ή ελάχιστο). Για να το βρείτε χρειάζεστε βρείτε την παράγωγοσυνάρτηση f?(x) και, εξισώνοντάς την με μηδέν, λύσει την εξίσωση f?(x) = 0. Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης, καθώς και εκείνα τα σημεία στα οποία δεν υπάρχει η παράγωγος αυτής της συνάρτησης, είναι κρίσιμα σημεία, δηλαδή, τιμές του ορίσματος στα οποία μπορεί να υπάρχει ακρότατο. Μπορούν εύκολα να αναγνωριστούν κοιτάζοντας παράγωγο γράφημα: μας ενδιαφέρουν εκείνες οι τιμές του ορίσματος στις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα της τετμημένης (άξονας Ox) και εκείνες στις οποίες το γράφημα υφίσταται ασυνέχειες.

Για παράδειγμα, ας βρούμε άκρο μιας παραβολής.

Συνάρτηση y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Παράγωγος της συνάρτησης: y?(x) = 6x + 2

Λύστε την εξίσωση: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Σε αυτή την περίπτωση, το κρίσιμο σημείο είναι x0=-1/3. Είναι με αυτήν την τιμή ορίσματος που έχει η συνάρτηση ακραίο. Σε αυτόν εύρημα, αντικαταστήστε τον αριθμό που βρέθηκε στην παράσταση για τη συνάρτηση αντί για "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Πώς να προσδιορίσετε το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης, π.χ. το μεγαλυτερο του και μικρότερη τιμή?

Εάν το πρόσημο της παραγώγου όταν διέρχεται από το κρίσιμο σημείο x0 αλλάξει από "συν" σε "πλην", τότε το x0 είναι μέγιστο σημείο; αν το πρόσημο της παραγώγου αλλάξει από μείον σε συν, τότε το x0 είναι ελάχιστο σημείο; αν το πρόσημο δεν αλλάζει, τότε στο σημείο x0 δεν υπάρχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο.

Για το εξεταζόμενο παράδειγμα:

Παίρνουμε μια αυθαίρετη τιμή του ορίσματος στα αριστερά του κρίσιμου σημείου: x = -1

Στο x = -1, η τιμή της παραγώγου θα είναι y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (δηλαδή το πρόσημο είναι "μείον").

Τώρα παίρνουμε μια αυθαίρετη τιμή του ορίσματος στα δεξιά του κρίσιμου σημείου: x = 1

Στο x = 1, η τιμή της παραγώγου θα είναι y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (δηλαδή το πρόσημο είναι "συν").

Όπως μπορείτε να δείτε, η παράγωγος άλλαξε πρόσημο από μείον σε συν όταν διέρχεται από το κρίσιμο σημείο. Αυτό σημαίνει ότι στην κρίσιμη τιμή x0 έχουμε ένα ελάχιστο σημείο.

Η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης στο διάστημα(σε ένα τμήμα) βρίσκονται χρησιμοποιώντας την ίδια διαδικασία, μόνο λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι, ίσως, δεν θα βρίσκονται όλα τα κρίσιμα σημεία εντός του καθορισμένου διαστήματος. Αυτά τα κρίσιμα σημεία που βρίσκονται εκτός του διαστήματος πρέπει να εξαιρεθούν από την εξέταση. Εάν υπάρχει μόνο ένα κρίσιμο σημείο μέσα στο διάστημα, θα έχει είτε μέγιστο είτε ελάχιστο. Σε αυτή την περίπτωση, για να προσδιορίσουμε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της συνάρτησης, λαμβάνουμε επίσης υπόψη τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος.

Για παράδειγμα, ας βρούμε τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές της συνάρτησης

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

κατά διαστήματα:

Άρα, η παράγωγος της συνάρτησης είναι

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Λύνουμε την εξίσωση 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Βρίσκουμε κρίσιμα σημεία στο διάστημα [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (δεν περιλαμβάνεται στο διάστημα)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos (0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (δεν περιλαμβάνεται στο διάστημα)

Βρίσκουμε τις τιμές συνάρτησης σε κρίσιμες τιμές του ορίσματος:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Μπορεί να φανεί ότι στο διάστημα [-9; 9] η συνάρτηση έχει τη μεγαλύτερη τιμή στο x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

και το μικρότερο - στο x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Στο διάστημα [-6; -3] έχουμε μόνο ένα κρίσιμο σημείο: x = -4,88. Η τιμή της συνάρτησης στο x = -4,88 είναι ίση με y = 5,398.

Βρείτε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Στο διάστημα [-6; -3] έχουμε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης

y = 5,398 σε x = -4,88

μικρότερη τιμή -

y = 1,077 σε x = -3

Πώς να βρείτε τα σημεία καμπής ενός γραφήματος συνάρτησης και να προσδιορίσετε την κυρτή και την κοίλη πλευρά;

Για να βρείτε όλα τα σημεία καμπής της ευθείας y = f(x), πρέπει να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο, να την εξισώσετε με το μηδέν (λύστε την εξίσωση) και να δοκιμάσετε όλες εκείνες τις τιμές του x για τις οποίες η δεύτερη παράγωγος είναι μηδέν, άπειρο ή δεν υπάρχει. Εάν, όταν διέρχεται από μία από αυτές τις τιμές, η δεύτερη παράγωγος αλλάζει πρόσημο, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει κλίση σε αυτό το σημείο. Αν δεν αλλάξει, τότε δεν υπάρχει στροφή.

Οι ρίζες της εξίσωσης f; (x) = 0, καθώς και πιθανά σημεία ασυνέχειας της συνάρτησης και της δεύτερης παραγώγου, διαιρούν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σε έναν αριθμό διαστημάτων. Η κυρτότητα σε κάθε μεσοδιάστημά τους καθορίζεται από το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου. Εάν η δεύτερη παράγωγος σε ένα σημείο του υπό μελέτη μεσοδιάστημα είναι θετική, τότε η ευθεία y = f(x) είναι κοίλη προς τα πάνω, και εάν είναι αρνητική, τότε προς τα κάτω.

Πώς να βρείτε τα άκρα μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών;

Για να βρείτε τα άκρα της συνάρτησης f(x,y), διαφοροποιήσιμη στο πεδίο των προδιαγραφών της, χρειάζεστε:

1) βρείτε τα κρίσιμα σημεία και για αυτό - λύστε το σύστημα εξισώσεων

fх; (x,y) = 0, fу; (x,y) = 0

2) για κάθε κρίσιμο σημείο P0(a;b) διερευνήστε εάν το πρόσημο της διαφοράς παραμένει αμετάβλητο

για όλα τα σημεία (x;y) αρκετά κοντά στο P0. Εάν η διαφορά παραμένει θετική, τότε στο σημείο P0 έχουμε ένα ελάχιστο, εάν αρνητικό, τότε έχουμε ένα μέγιστο. Εάν η διαφορά δεν διατηρεί το πρόσημά της, τότε δεν υπάρχει ακρότατο στο σημείο P0.

Τα άκρα της συνάρτησης προσδιορίζονται παρόμοια για περισσότεροεπιχειρήματα.

Με αυτή την υπηρεσία μπορείτε βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησηςμία μεταβλητή f(x) με τη λύση μορφοποιημένη στο Word. Εάν δοθεί η συνάρτηση f(x,y), επομένως, είναι απαραίτητο να βρεθεί το άκρο της συνάρτησης δύο μεταβλητών. Μπορείτε επίσης να βρείτε τα διαστήματα των συναρτήσεων αύξησης και μείωσης.

Κανόνες εισαγωγής συναρτήσεων:

Απαραίτητη προϋπόθεση για το άκρο μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής

Επαρκής συνθήκη για το άκρο μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Τότε το σημείο x * είναι το τοπικό (καθολικό) ελάχιστο σημείο της συνάρτησης.

Εάν στο σημείο x * πληρούται η προϋπόθεση:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Τότε το σημείο x * είναι ένα τοπικό (συνολικό) μέγιστο.

Παράδειγμα Νο. 1. Βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της συνάρτησης: στο τμήμα.
Λύση.

Το κρίσιμο σημείο είναι ένα x 1 = 2 (f’(x)=0). Αυτό το σημείο ανήκει στο τμήμα. (Το σημείο x=0 δεν είναι κρίσιμο, αφού 0∉).
Υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και στο κρίσιμο σημείο.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2, f(3)=3 8 / 81
Απάντηση: f min = 5 / 2 στο x=2; f max =9 σε x=1

Παράδειγμα Νο. 2. Χρησιμοποιώντας παραγώγους υψηλότερης τάξης, βρείτε το άκρο της συνάρτησης y=x-2sin(x) .
Λύση.
Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης: y’=1-2cos(x) . Ας βρούμε τα κρίσιμα σημεία: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Βρίσκουμε y’’=2sin(x), υπολογίζουμε , που σημαίνει x= π / 3 +2πk, k∈Z είναι τα ελάχιστα σημεία της συνάρτησης. , που σημαίνει x=- π / 3 +2πk, k∈Z είναι τα μέγιστα σημεία της συνάρτησης.

Παράδειγμα Νο. 3. Διερευνήστε την ακραία συνάρτηση στην περιοχή του σημείου x=0.
Λύση. Εδώ είναι απαραίτητο να βρείτε τα άκρα της συνάρτησης. Αν το άκρο x=0, τότε μάθετε τον τύπο του (ελάχιστο ή μέγιστο). Αν ανάμεσα στα σημεία που βρέθηκαν δεν υπάρχει x = 0, τότε να υπολογίσετε την τιμή της συνάρτησης f(x=0).
Πρέπει να σημειωθεί ότι όταν η παράγωγος σε κάθε πλευρά ενός δεδομένου σημείου δεν αλλάζει πρόσημο, οι πιθανές καταστάσεις δεν εξαντλούνται ακόμη και για διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις: μπορεί να συμβεί ότι για μια αυθαίρετα μικρή γειτονιά στη μία πλευρά του σημείου x 0 ή και στις δύο πλευρές η παράγωγος αλλάζει πρόσημο. Σε αυτά τα σημεία είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν άλλες μέθοδοι για τη μελέτη συναρτήσεων σε ακραίο επίπεδο.

Στην πράξη, είναι αρκετά συνηθισμένο να χρησιμοποιείται η παράγωγος για τον υπολογισμό της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης. Εκτελούμε αυτήν την ενέργεια όταν καταλαβαίνουμε πώς να ελαχιστοποιήσουμε το κόστος, να αυξήσουμε τα κέρδη, να υπολογίσουμε βέλτιστο φορτίογια παραγωγή κ.λπ., δηλαδή σε περιπτώσεις που είναι απαραίτητο να καθοριστεί βέλτιστη τιμήοποιαδήποτε παράμετρο. Για να λύσετε σωστά τέτοια προβλήματα, πρέπει να κατανοήσετε καλά ποιες είναι οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Συνήθως ορίζουμε αυτές τις τιμές μέσα σε ένα συγκεκριμένο διάστημα x, το οποίο με τη σειρά του μπορεί να αντιστοιχεί σε ολόκληρο τον τομέα της συνάρτησης ή μέρος αυτής. Μπορεί να είναι σαν ένα τμήμα [a; b ] , και ανοιχτό διάστημα (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), άπειρο διάστημα (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) ή άπειρο διάστημα - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Σε αυτό το υλικό θα σας πούμε πώς να υπολογίσετε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας ρητά καθορισμένης συνάρτησης με μία μεταβλητή y=f(x) y = f (x) .

Βασικοί ορισμοί

Ας ξεκινήσουμε, όπως πάντα, με τη διατύπωση βασικών ορισμών.

Ορισμός 1

Η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης y = f (x) σε ένα ορισμένο διάστημα x είναι η τιμή m a x y = f (x 0) x ∈ X, η οποία για οποιαδήποτε τιμή x x ∈ X, x ≠ x 0 κάνει την ανίσωση f (x) ≤ f (x) ισχύει 0) .

Ορισμός 2

Η μικρότερη τιμή της συνάρτησης y = f (x) σε ένα ορισμένο διάστημα x είναι η τιμή m i n x ∈ X y = f (x 0) , η οποία για οποιαδήποτε τιμή x ∈ X, x ≠ x 0 κάνει την ανίσωση f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Αυτοί οι ορισμοί είναι αρκετά προφανείς. Ακόμα πιο απλό, μπορούμε να πούμε το εξής: η μεγαλύτερη τιμή μιας συνάρτησης είναι η μεγαλύτερη τιμή της σε ένα γνωστό διάστημα στην τετμημένη x 0, και η μικρότερη είναι η μικρότερη αποδεκτή τιμή στο ίδιο διάστημα στο x 0.

Ορισμός 3

Σταθερά σημεία είναι εκείνες οι τιμές του ορίσματος μιας συνάρτησης στην οποία η παράγωγός της γίνεται 0.

Γιατί πρέπει να γνωρίζουμε ποια είναι τα ακίνητα σημεία; Για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα, πρέπει να θυμηθούμε το θεώρημα του Fermat. Από αυτό προκύπτει ότι ένα ακίνητο σημείο είναι το σημείο στο οποίο βρίσκεται το άκρο της διαφοροποιήσιμης συνάρτησης (δηλαδή, το τοπικό ελάχιστο ή μέγιστο). Συνεπώς, η συνάρτηση θα λάβει τη μικρότερη ή μεγαλύτερη τιμή σε ένα συγκεκριμένο διάστημα ακριβώς σε ένα από τα ακίνητα σημεία.

Μια συνάρτηση μπορεί επίσης να λάβει τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή στα σημεία εκείνα στα οποία ορίζεται η ίδια η συνάρτηση και η πρώτη της παράγωγος δεν υπάρχει.

Το πρώτο ερώτημα που προκύπτει κατά τη μελέτη αυτού του θέματος: σε όλες τις περιπτώσεις μπορούμε να προσδιορίσουμε τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο διάστημα; Όχι, δεν μπορούμε να το κάνουμε αυτό όταν τα όρια ενός δεδομένου διαστήματος συμπίπτουν με τα όρια της περιοχής ορισμού ή αν έχουμε να κάνουμε με ένα άπειρο διάστημα. Συμβαίνει επίσης μια συνάρτηση σε ένα δεδομένο τμήμα ή στο άπειρο να παίρνει απείρως μικρή ή άπειρα μεγάλες αξίες. Σε αυτές τις περιπτώσεις, δεν είναι δυνατός ο προσδιορισμός της μεγαλύτερης ή/και της μικρότερης τιμής.

Αυτά τα σημεία θα γίνουν πιο ξεκάθαρα αφού απεικονιστούν στα γραφήματα:

Το πρώτο σχήμα μας δείχνει μια συνάρτηση που παίρνει τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές (m a x y και m i n y) σε σταθερά σημεία που βρίσκονται στο τμήμα [ - 6 ; 6].

Ας εξετάσουμε λεπτομερώς την περίπτωση που υποδεικνύεται στο δεύτερο γράφημα. Ας αλλάξουμε την τιμή του τμήματος σε [ 1 ; 6 ] και βρίσκουμε ότι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης θα επιτευχθεί στο σημείο με την τετμημένη στο δεξί όριο του διαστήματος και η ελάχιστη τιμή στο ακίνητο σημείο.

Στο τρίτο σχήμα, οι τετμημένες των σημείων αντιπροσωπεύουν τα οριακά σημεία του τμήματος [ - 3 ; 2]. Αντιστοιχούν στη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή μιας δεδομένης συνάρτησης.

Ας δούμε τώρα την τέταρτη εικόνα. Σε αυτήν, η συνάρτηση παίρνει m a x y (η μεγαλύτερη τιμή) και m i n y (η μικρότερη τιμή) σε ακίνητα σημεία στο ανοιχτό διάστημα (- 6; 6).

Αν πάρουμε το διάστημα [ 1 ; 6), τότε μπορούμε να πούμε ότι η μικρότερη τιμή της συνάρτησης σε αυτό θα επιτευχθεί σε ένα ακίνητο σημείο. Η μεγαλύτερη αξία θα μας είναι άγνωστη. Η συνάρτηση θα μπορούσε να πάρει τη μέγιστη τιμή της στο x ίσο με 6 αν x = 6 ανήκε στο διάστημα. Αυτή ακριβώς είναι η περίπτωση που φαίνεται στο γράφημα 5.

Στο γράφημα 6, αυτή η συνάρτηση αποκτά τη μικρότερη τιμή της στο δεξιό όριο του διαστήματος (- 3; 2 ], και δεν μπορούμε να βγάλουμε ασφαλή συμπεράσματα για τη μεγαλύτερη τιμή.

Στο σχήμα 7 βλέπουμε ότι η συνάρτηση θα έχει m a x y σε ένα ακίνητο σημείο που έχει τετμημένη ίση με 1. Η συνάρτηση θα φτάσει την ελάχιστη τιμή της στο όριο του διαστήματος c σωστη πλευρα. Στο μείον άπειρο, οι τιμές της συνάρτησης θα προσεγγίσουν ασυμπτωτικά το y = 3.

Αν πάρουμε το διάστημα x ∈ 2 ; + ∞ , τότε θα δούμε ότι η δεδομένη συνάρτηση δεν θα πάρει ούτε τη μικρότερη ούτε τη μεγαλύτερη τιμή σε αυτήν. Αν το x τείνει στο 2, τότε οι τιμές της συνάρτησης θα τείνουν στο μείον το άπειρο, αφού η ευθεία x = 2 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη. Εάν η τετμημένη τείνει στο συν άπειρο, τότε οι τιμές της συνάρτησης θα προσεγγίσουν ασυμπτωτικά το y = 3. Αυτή ακριβώς είναι η περίπτωση που φαίνεται στο Σχήμα 8.

Σε αυτή την παράγραφο θα παρουσιάσουμε την ακολουθία των ενεργειών που πρέπει να εκτελεστούν για να βρεθεί η μεγαλύτερη ή η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα συγκεκριμένο τμήμα.

1. Αρχικά, ας βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Ας ελέγξουμε αν το τμήμα που καθορίζεται στη συνθήκη περιλαμβάνεται σε αυτό.
2. Τώρα ας υπολογίσουμε τα σημεία που περιέχονται σε αυτό το τμήμα στα οποία δεν υπάρχει η πρώτη παράγωγος. Τις περισσότερες φορές μπορούν να βρεθούν σε συναρτήσεις των οποίων το όρισμα είναι γραμμένο κάτω από το σύμβολο του συντελεστή ή σε συναρτήσεις ισχύος των οποίων ο εκθέτης είναι ένας κλασματικά ρητός αριθμός.
3. Στη συνέχεια, θα μάθουμε ποια ακίνητα σημεία θα πέσουν στο συγκεκριμένο τμήμα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης, στη συνέχεια να την εξισώσετε με 0 και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει και, στη συνέχεια, να επιλέξετε τις κατάλληλες ρίζες. Εάν δεν λάβουμε ούτε ένα ακίνητο σημείο ή δεν εμπίπτουν στο συγκεκριμένο τμήμα, τότε προχωράμε στο επόμενο βήμα.
4. Καθορίζουμε ποιες τιμές θα πάρει η συνάρτηση σε δεδομένα σταθερά σημεία (εάν υπάρχουν), ή σε εκείνα τα σημεία στα οποία δεν υπάρχει η πρώτη παράγωγος (αν υπάρχει), ή υπολογίζουμε τις τιμές για x = a και x = β.
5. 5. Έχουμε μια σειρά από τιμές συνάρτησης, από τις οποίες τώρα πρέπει να επιλέξουμε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη. Αυτές θα είναι οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές της συνάρτησης που πρέπει να βρούμε.

Ας δούμε πώς να εφαρμόσουμε σωστά αυτόν τον αλγόριθμο κατά την επίλυση προβλημάτων.

Παράδειγμα 1

Κατάσταση:δίνεται η συνάρτηση y = x 3 + 4 x 2. Προσδιορίστε τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές του στα τμήματα [ 1 ; 4 ] και [ - 4 ; - 1 ] .

Λύση:

Ας ξεκινήσουμε βρίσκοντας το πεδίο ορισμού μιας δεδομένης συνάρτησης. Σε αυτήν την περίπτωση, θα είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών εκτός από το 0. Με άλλα λόγια, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Και τα δύο τμήματα που καθορίζονται στη συνθήκη θα βρίσκονται εντός της περιοχής ορισμού.

Τώρα υπολογίζουμε την παράγωγο της συνάρτησης σύμφωνα με τον κανόνα της διαφοροποίησης των κλασμάτων:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Μάθαμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης θα υπάρχει σε όλα τα σημεία των τμημάτων [1; 4 ] και [ - 4 ; - 1 ] .

Τώρα πρέπει να προσδιορίσουμε τα ακίνητα σημεία της συνάρτησης. Ας το κάνουμε αυτό χρησιμοποιώντας την εξίσωση x 3 - 8 x 3 = 0. Έχει μόνο μια πραγματική ρίζα, η οποία είναι 2. Θα είναι ένα ακίνητο σημείο της συνάρτησης και θα εμπίπτει στο πρώτο τμήμα [1; 4 ] .

Ας υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του πρώτου τμήματος και σε αυτό το σημείο, δηλ. για x = 1, x = 2 και x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Βρήκαμε ότι η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 θα επιτευχθεί στο x = 1, και το μικρότερο m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – σε x = 2.

Το δεύτερο τμήμα δεν περιλαμβάνει ένα μόνο σταθερό σημείο, επομένως πρέπει να υπολογίσουμε τις τιμές συνάρτησης μόνο στα άκρα του δεδομένου τμήματος:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Αυτό σημαίνει m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Απάντηση:Για το τμήμα [1; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , για το τμήμα [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Δείτε εικόνα:

Πριν μελετήσετε αυτήν τη μέθοδο, σας συμβουλεύουμε να ελέγξετε πώς να υπολογίσετε σωστά το μονόπλευρο όριο και το όριο στο άπειρο, καθώς και να μάθετε τις βασικές μεθόδους εύρεσης τους. Για να βρείτε τη μεγαλύτερη ή/και τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα ανοιχτό ή άπειρο διάστημα, εκτελέστε τα ακόλουθα βήματα διαδοχικά.

1. Αρχικά, πρέπει να ελέγξετε εάν το δεδομένο διάστημα θα είναι υποσύνολο του τομέα της δεδομένης συνάρτησης.
2. Ας προσδιορίσουμε όλα τα σημεία που περιέχονται στο απαιτούμενο διάστημα και στα οποία δεν υπάρχει η πρώτη παράγωγος. Συνήθως εμφανίζονται για συναρτήσεις όπου το όρισμα περικλείεται στο πρόσημο του συντελεστή και για συναρτήσεις ισχύος με κλασματικά ορθολογικό εκθέτη. Εάν λείπουν αυτά τα σημεία, τότε μπορείτε να προχωρήσετε στο επόμενο βήμα.
3. Τώρα ας προσδιορίσουμε ποια ακίνητα σημεία θα εμπίπτουν στο δεδομένο διάστημα. Αρχικά, εξισώνουμε την παράγωγο με 0, λύνουμε την εξίσωση και επιλέγουμε τις κατάλληλες ρίζες. Εάν δεν έχουμε ούτε ένα ακίνητο σημείο ή δεν εμπίπτουν στο καθορισμένο διάστημα, τότε προχωράμε αμέσως σε περαιτέρω ενέργειες. Καθορίζονται από τον τύπο του διαστήματος.

• Αν το διάστημα είναι της μορφής [ a ; β) , τότε πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο x = a και το μονόπλευρο όριο lim x → b - 0 f (x) .
• Εάν το διάστημα έχει τη μορφή (a; b ], τότε πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο x = b και το μονόπλευρο όριο lim x → a + 0 f (x).
• Εάν το διάστημα έχει τη μορφή (a; b), τότε πρέπει να υπολογίσουμε τα μονόπλευρα όρια lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Αν το διάστημα είναι της μορφής [ a ; + ∞), τότε πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή στο σημείο x = a και το όριο στο συν άπειρο lim x → + ∞ f (x) .
• Αν το διάστημα μοιάζει με (- ∞ ; b ] , υπολογίζουμε την τιμή στο σημείο x = b και το όριο στο μείον άπειρο lim x → - ∞ f (x) .
• Αν - ∞ ; b , τότε θεωρούμε το μονόπλευρο όριο lim x → b - 0 f (x) και το όριο στο μείον άπειρο lim x → - ∞ f (x)
• Εάν - ∞; + ∞ , τότε θεωρούμε τα όρια στο μείον και συν άπειρο lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Στο τέλος, πρέπει να βγάλετε ένα συμπέρασμα με βάση τις λαμβανόμενες τιμές και όρια συνάρτησης. Υπάρχουν πολλές διαθέσιμες επιλογές εδώ. Έτσι, εάν το μονόπλευρο όριο είναι ίσο με μείον άπειρο ή συν άπειρο, τότε είναι αμέσως σαφές ότι τίποτα δεν μπορεί να ειπωθεί για τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές της συνάρτησης. Παρακάτω θα δούμε ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα. Αναλυτικές Περιγραφέςθα σας βοηθήσει να καταλάβετε τι είναι τι. Εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να επιστρέψετε στις Εικόνες 4 - 8 στο πρώτο μέρος του υλικού.

Συνθήκη: δεδομένη συνάρτηση y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Υπολογίστε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή του στα διαστήματα - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞, [4; + ∞) .

Λύση

Πρώτα απ 'όλα, βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Ο παρονομαστής του κλάσματος περιέχει τετραγωνικό τριώνυμο, το οποίο δεν πρέπει να πάει στο 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Λάβαμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης στην οποία ανήκουν όλα τα διαστήματα που καθορίζονται στη συνθήκη.

Τώρα ας διαφοροποιήσουμε τη συνάρτηση και πάρουμε:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Κατά συνέπεια, παράγωγοι μιας συνάρτησης υπάρχουν σε όλο το πεδίο ορισμού της.

Ας προχωρήσουμε στην εύρεση σταθερών σημείων. Η παράγωγος της συνάρτησης γίνεται 0 στο x = - 1 2 . Αυτό είναι ένα ακίνητο σημείο που βρίσκεται στα διαστήματα (- 3 ; 1 ] και (- 3 ; 2) .

Ας υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης στο x = - 4 για το διάστημα (- ∞ ; - 4 ], καθώς και το όριο στο μείον το άπειρο:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Εφόσον 3 e 1 6 - 4 > - 1, σημαίνει ότι m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Αυτό δεν μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε μοναδικά τη μικρότερη τιμή του Μπορούμε μόνο να συμπεράνουμε ότι υπάρχει ένας περιορισμός κάτω από - 1, αφού σε αυτήν την τιμή η συνάρτηση προσεγγίζει ασυμπτωτικά στο μείον άπειρο.

Η ιδιαιτερότητα του δεύτερου διαστήματος είναι ότι δεν υπάρχει ούτε ένα ακίνητο σημείο και ούτε ένα αυστηρό όριο σε αυτό. Κατά συνέπεια, δεν θα μπορούμε να υπολογίσουμε ούτε τη μεγαλύτερη ούτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης. Έχοντας ορίσει το όριο στο μείον άπειρο και καθώς το όρισμα τείνει στο - 3 στην αριστερή πλευρά, παίρνουμε μόνο ένα διάστημα τιμών:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Αυτό σημαίνει ότι οι τιμές της συνάρτησης θα βρίσκονται στο διάστημα - 1. +∞

Για να βρούμε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης στο τρίτο διάστημα, προσδιορίζουμε την τιμή της στο ακίνητο σημείο x = - 1 2 αν x = 1. Θα χρειαστεί επίσης να γνωρίζουμε το μονόπλευρο όριο για την περίπτωση που το όρισμα τείνει σε - 3 στη δεξιά πλευρά:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Αποδείχθηκε ότι η συνάρτηση θα πάρει τη μεγαλύτερη τιμή σε ένα ακίνητο σημείο m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Όσο για τη μικρότερη τιμή, δεν μπορούμε να την προσδιορίσουμε. Όλα όσα γνωρίζουμε , είναι η παρουσία ενός κατώτερου ορίου στο -4.

Για το διάστημα (- 3 ; 2), πάρτε τα αποτελέσματα του προηγούμενου υπολογισμού και υπολογίστε ξανά το όριο με το οποίο είναι το μονόπλευρο όριο όταν τείνετε στο 2 στην αριστερή πλευρά:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Αυτό σημαίνει ότι m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, και η μικρότερη τιμή δεν μπορεί να προσδιοριστεί και οι τιμές της συνάρτησης περιορίζονται από κάτω από τον αριθμό - 4 .

Με βάση αυτά που πήραμε στους δύο προηγούμενους υπολογισμούς, μπορούμε να πούμε ότι στο διάστημα [ 1 ; 2) η συνάρτηση θα λάβει τη μεγαλύτερη τιμή στο x = 1, αλλά είναι αδύνατο να βρεθεί η μικρότερη.

Στο διάστημα (2 ; + ∞) η συνάρτηση δεν θα φτάσει ούτε τη μεγαλύτερη ούτε τη μικρότερη τιμή, δηλ. θα πάρει τιμές από το διάστημα - 1 . + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Έχοντας υπολογίσει ποια θα είναι η τιμή της συνάρτησης στο x = 4, διαπιστώνουμε ότι m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , και η δεδομένη συνάρτηση στο συν άπειρο θα προσεγγίσει ασυμπτωτικά την ευθεία y = - 1 .

Ας συγκρίνουμε τι πήραμε σε κάθε υπολογισμό με το γράφημα της δεδομένης συνάρτησης. Στο σχήμα, οι ασύμπτωτες φαίνονται με διακεκομμένες γραμμές.

Αυτό είναι το μόνο που θέλαμε να σας πούμε σχετικά με την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης. Οι ακολουθίες ενεργειών που έχουμε δώσει θα σας βοηθήσουν να κάνετε τους απαραίτητους υπολογισμούς όσο το δυνατόν πιο γρήγορα και απλά. Αλλά να θυμάστε ότι είναι συχνά χρήσιμο να μάθετε πρώτα σε ποια διαστήματα η συνάρτηση θα μειώνεται και σε ποια θα αυξάνεται, μετά από την οποία μπορείτε να βγάλετε περαιτέρω συμπεράσματα. Με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να προσδιορίσετε με μεγαλύτερη ακρίβεια τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της συνάρτησης και να αιτιολογήσετε τα αποτελέσματα που προέκυψαν.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης

Η μεγαλύτερη τιμή μιας συνάρτησης είναι η μεγαλύτερη, η ελάχιστη τιμή είναι η μικρότερη από όλες τις τιμές της.

Μια συνάρτηση μπορεί να έχει μόνο μία μεγαλύτερη και μόνο μία μικρότερη τιμή ή μπορεί να μην έχει καθόλου. Η εύρεση των μεγαλύτερων και των μικρότερων τιμών συνεχών συναρτήσεων βασίζεται στις ακόλουθες ιδιότητες αυτών των συναρτήσεων:

1) Αν σε συγκεκριμένο διάστημα (πεπερασμένο ή άπειρο) η συνάρτηση y=f(x) είναι συνεχής και έχει μόνο ένα άκρο και αν αυτό είναι μέγιστο (ελάχιστο), τότε θα είναι η μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης σε αυτό το διάστημα.

2) Εάν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε ένα συγκεκριμένο τμήμα, τότε έχει απαραίτητα τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές σε αυτό το τμήμα. Αυτές οι τιμές επιτυγχάνονται είτε σε ακραία σημεία που βρίσκονται μέσα στο τμήμα είτε στα όρια αυτού του τμήματος.

Για να βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές σε ένα τμήμα, συνιστάται να χρησιμοποιήσετε το ακόλουθο σχήμα:

1. Βρείτε την παράγωγο.

2. Βρείτε κρίσιμα σημεία της συνάρτησης στα οποία =0 ή δεν υπάρχει.

3. Βρείτε τις τιμές συνάρτησης στο κρίσιμα σημείακαι στα άκρα του τμήματος και επιλέξτε από αυτά τη μεγαλύτερη f max και τη μικρότερη f max.

Κατά την επίλυση εφαρμοζόμενων προβλημάτων, ιδιαίτερα εκείνων βελτιστοποίησης, είναι σημαντικά τα προβλήματα εύρεσης της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής (συνολικό μέγιστο και καθολικό ελάχιστο) μιας συνάρτησης στο διάστημα X. Για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, θα πρέπει, με βάση την συνθήκη , επιλέξτε μια ανεξάρτητη μεταβλητή και εκφράστε την υπό μελέτη τιμή μέσω αυτής της μεταβλητής. Στη συνέχεια, βρείτε την επιθυμητή μεγαλύτερη ή μικρότερη τιμή της συνάρτησης που προκύπτει. Στην περίπτωση αυτή, το διάστημα μεταβολής της ανεξάρτητης μεταβλητής, που μπορεί να είναι πεπερασμένο ή άπειρο, προσδιορίζεται και από τις συνθήκες του προβλήματος.

Παράδειγμα.Η δεξαμενή, που έχει σχήμα ανοιχτής κορυφής ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου με τετράγωνο πυθμένα, πρέπει να επικασσιτερωθεί εσωτερικά με κασσίτερο. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις της δεξαμενής αν η χωρητικότητά της είναι 108 λίτρα; νερό ώστε το κόστος κονσερβοποίησης του να είναι ελάχιστο;

Λύση.Το κόστος επίστρωσης μιας δεξαμενής με κασσίτερο θα είναι ελάχιστο εάν, για μια δεδομένη χωρητικότητα, η επιφάνεια της είναι ελάχιστη. Ας συμβολίσουμε με a dm την πλευρά της βάσης, b dm το ύψος της δεξαμενής. Τότε το εμβαδόν S της επιφάνειάς του είναι ίσο με

ΚΑΙ

Η σχέση που προκύπτει καθορίζει τη σχέση μεταξύ της επιφάνειας της δεξαμενής S (συνάρτηση) και της πλευράς της βάσης a (όρισμα). Ας εξετάσουμε τη συνάρτηση S για ένα άκρο. Ας βρούμε την πρώτη παράγωγο, την εξισώσουμε με το μηδέν και ας λύσουμε την εξίσωση που προκύπτει:

Άρα a = 6. (a) > 0 για a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Παράδειγμα. Βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης στο διάστημα.

Λύση: Καθορισμένη λειτουργίασυνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Παράγωγος συνάρτησης

Παράγωγο για και για . Ας υπολογίσουμε τις τιμές συνάρτησης σε αυτά τα σημεία:

.

Οι τιμές της συνάρτησης στα άκρα του δεδομένου διαστήματος είναι ίσες. Επομένως, η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης είναι ίση με , η μικρότερη τιμή της συνάρτησης είναι ίση με .

Ερωτήσεις αυτοδιαγνωστικού ελέγχου

1. Διατυπώστε τον κανόνα του L'Hopital για την αποκάλυψη αβεβαιοτήτων της μορφής. Λίστα Διάφοροι τύποιαβεβαιότητες για τις οποίες μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο κανόνας του L'Hopital.

2. Διατυπώστε τα σημάδια της αυξανόμενης και φθίνουσας συνάρτησης.

3. Ορίστε το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης.

4. Διατυπώστε μια απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη ακραίου.

5. Ποιες τιμές του επιχειρήματος (ποια σημεία) ονομάζονται κρίσιμες; Πώς να βρείτε αυτά τα σημεία;

6. Ποια είναι τα επαρκή σημάδια της ύπαρξης ακρότατου συνάρτησης; Περιγράψτε ένα σχήμα για τη μελέτη μιας συνάρτησης σε ένα άκρο χρησιμοποιώντας την πρώτη παράγωγο.

7. Περιγράψτε ένα σχήμα για τη μελέτη μιας συνάρτησης σε ένα άκρο χρησιμοποιώντας τη δεύτερη παράγωγο.

8. Ορίστε την κυρτότητα και την κοιλότητα μιας καμπύλης.

9. Τι ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης; Υποδείξτε μια μέθοδο για την εύρεση αυτών των σημείων.

10. Να διατυπώσετε τα απαραίτητα και επαρκή σημάδια κυρτότητας και κοιλότητας μιας καμπύλης σε ένα δεδομένο τμήμα.

11. Ορίστε την ασύμπτωτη μιας καμπύλης. Πώς να βρείτε τις κάθετες, οριζόντιες και πλάγιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης;

12. Περίγραμμα γενικό σχέδιοερευνώντας μια συνάρτηση και κατασκευάζοντας το γράφημά της.

13. Διατυπώστε έναν κανόνα για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο διάστημα.

Και για να το λύσετε θα χρειαστείτε ελάχιστη γνώση του θέματος. Το επόμενο τελειώνει ακαδημαϊκό έτος, όλοι θέλουν να πάνε διακοπές και για να φέρω αυτή τη στιγμή πιο κοντά, θα μπω κατευθείαν στο θέμα:

Ας ξεκινήσουμε με την περιοχή. Η περιοχή που αναφέρεται στην κατάσταση είναι περιορισμένος κλειστό σύνολο σημείων σε ένα επίπεδο. Για παράδειγμα, το σύνολο των σημείων που οριοθετούνται από ένα τρίγωνο, συμπεριλαμβανομένου ΟΛΟΚΛΗΡΟΥ του τριγώνου (αν από σύνορα«βγάλτε» τουλάχιστον ένα σημείο, τότε η περιοχή δεν θα είναι πλέον κλειστή). Στην πράξη, υπάρχουν και περιοχές που είναι ορθογώνιες, κυκλικές και ελαφρώς μεγαλύτερες. σύνθετα σχήματα. Πρέπει να σημειωθεί ότι στη θεωρία της μαθηματικής ανάλυσης δίνονται αυστηροί ορισμοί περιορισμοί, απομόνωση, όρια κ.λπ., αλλά νομίζω ότι όλοι γνωρίζουν αυτές τις έννοιες σε διαισθητικό επίπεδο, και τώρα δεν χρειάζεται τίποτα περισσότερο.

Μια επίπεδη περιοχή υποδηλώνεται τυπικά με το γράμμα και, κατά κανόνα, προσδιορίζεται αναλυτικά - με πολλές εξισώσεις (όχι απαραίτητα γραμμικό); σπανιότερα ανισότητες. Τυπική ρητορική: «κλειστή περιοχή, που οριοθετείται από γραμμές ».

Αναπόσπαστο μέρος της εργασίας που εξετάζεται είναι η κατασκευή μιας περιοχής στο σχέδιο. Πως να το κάνεις? Πρέπει να σχεδιάσετε όλες τις γραμμές που αναφέρονται (σε ​​αυτήν την περίπτωση 3 ευθεία) και αναλύστε τι συνέβη. Η περιοχή αναζήτησης είναι συνήθως ελαφρώς σκιασμένη και το περίγραμμά της σημειώνεται με μια παχιά γραμμή:


Μπορεί επίσης να ρυθμιστεί η ίδια περιοχή γραμμικές ανισότητες: , τα οποία για κάποιο λόγο συχνά γράφονται ως απαριθμημένη λίστα και όχι Σύστημα.
Εφόσον το όριο ανήκει στην περιοχή, τότε όλες οι ανισότητες, φυσικά, αμελής.

Και τώρα η ουσία του έργου. Φανταστείτε ότι ο άξονας βγαίνει κατευθείαν προς εσάς από την αρχή. Σκεφτείτε μια συνάρτηση που συνεχής σε κάθεσημείο περιοχής. Το γράφημα αυτής της συνάρτησης αντιπροσωπεύει μερικά επιφάνεια, και η μικρή ευτυχία είναι ότι για να λύσουμε το σημερινό πρόβλημα δεν χρειάζεται να ξέρουμε πώς μοιάζει αυτή η επιφάνεια. Μπορεί να βρίσκεται ψηλότερα, χαμηλότερα, να τέμνει το επίπεδο - όλα αυτά δεν έχουν σημασία. Και είναι σημαντικό το εξής: σύμφωνα με Θεωρήματα Weierstrass, συνεχής V περιορισμένη κλειστήπεριοχή η συνάρτηση φτάνει στη μέγιστη τιμή της (το υψηλότερο")και το λιγότερο (το χαμηλότερο")αξίες που πρέπει να βρεθούν. Τέτοιες αξίες επιτυγχάνονται ή V ακίνητα σημεία, που ανήκουν στην περιοχήρε , ήσε σημεία που βρίσκονται στα όρια αυτής της περιοχής. Αυτό οδηγεί σε έναν απλό και διαφανή αλγόριθμο λύσης:

Παράδειγμα 1

Σε περιορισμένο κλειστό χώρο

Λύση: Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να απεικονίσετε την περιοχή στο σχέδιο. Δυστυχώς, είναι τεχνικά δύσκολο για μένα να φτιάξω ένα διαδραστικό μοντέλο του προβλήματος και ως εκ τούτου θα παρουσιάσω αμέσως την τελική απεικόνιση, η οποία δείχνει όλα τα «ύποπτα» σημεία που βρέθηκαν κατά την έρευνα. Συνήθως παρατίθενται το ένα μετά το άλλο καθώς ανακαλύπτονται:

Με βάση το προοίμιο, η απόφαση μπορεί εύκολα να χωριστεί σε δύο σημεία:

Θ) Βρείτε ακίνητα σημεία. Αυτή είναι μια τυπική ενέργεια που πραγματοποιήσαμε επανειλημμένα στην τάξη. σχετικά με τα άκρα πολλών μεταβλητών:

Βρέθηκε ακίνητο σημείο ανήκειπεριοχές: (σημειώστε το στο σχέδιο), που σημαίνει ότι πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο:

- όπως στο άρθρο Οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα, θα τονίσω σημαντικά αποτελέσματα με έντονους χαρακτήρες. Είναι βολικό να τα εντοπίσετε σε ένα σημειωματάριο με ένα μολύβι.

Δώστε προσοχή στη δεύτερη ευτυχία μας - δεν έχει νόημα να ελέγξουμε επαρκής συνθήκη για εξτρέμ. Γιατί; Ακόμα κι αν σε ένα σημείο η συνάρτηση φτάσει, για παράδειγμα, τοπικό ελάχιστο, τότε αυτό ΔΕΝ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ότι η τιμή που προκύπτει θα είναι ελάχιστοςσε όλη την περιοχή (δείτε την αρχή του μαθήματος για ακραίες άνευ όρων) .

Τι να κάνετε αν το ακίνητο σημείο ΔΕΝ ανήκει στην περιοχή; Σχεδόν τίποτα! Θα πρέπει να σημειωθεί ότι και να προχωρήσουμε στο επόμενο σημείο.

ΙΙ) Εξερευνούμε τα σύνορα της περιοχής.

Δεδομένου ότι το περίγραμμα αποτελείται από τις πλευρές ενός τριγώνου, είναι βολικό να χωρίσετε τη μελέτη σε 3 υποενότητες. Αλλά είναι καλύτερα να μην το κάνετε έτσι κι αλλιώς. Από την άποψή μου, είναι πρώτα πιο πλεονεκτικό να εξετάσουμε τα τμήματα παράλληλα με τους άξονες συντεταγμένων και πρώτα απ 'όλα αυτά που βρίσκονται στους ίδιους τους άξονες. Για να κατανοήσετε ολόκληρη τη σειρά και τη λογική των ενεργειών, προσπαθήστε να μελετήσετε το τέλος "σε μια ανάσα":

1) Ας ασχοληθούμε με την κάτω πλευρά του τριγώνου. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε απευθείας στη συνάρτηση:

Εναλλακτικά, μπορείτε να το κάνετε ως εξής:

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι το επίπεδο συντεταγμένων (που δίνεται και από την εξίσωση)«χαράζει» έξω από επιφάνειεςμια «χωρική» παραβολή, η κορυφή της οποίας τίθεται αμέσως υπό υποψία. Ας ανακαλύψουμε που βρίσκεται:

– η προκύπτουσα τιμή "έπεσε" στην περιοχή και μπορεί κάλλιστα να αποδειχθεί ότι στο σημείο (σημειώνεται στο σχέδιο)η συνάρτηση φτάνει τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή σε ολόκληρη την περιοχή. Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, ας κάνουμε τους υπολογισμούς:

Οι άλλοι «υποψήφιοι» είναι φυσικά τα άκρα του τμήματος. Ας υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης σε σημεία (σημειώνεται στο σχέδιο):

Εδώ, παρεμπιπτόντως, μπορείτε να εκτελέσετε έναν προφορικό μίνι έλεγχο χρησιμοποιώντας μια "απογυμνωμένη" έκδοση:

2) Για να μελετήσετε τη δεξιά πλευρά του τριγώνου, αντικαταστήστε τη στη συνάρτηση και «βάλτε τα πράγματα σε τάξη»:

Εδώ θα εκτελέσουμε αμέσως έναν πρόχειρο έλεγχο, «κουδουνίζοντας» το ήδη επεξεργασμένο άκρο του τμήματος:
, Εξαιρετική.

Η γεωμετρική κατάσταση σχετίζεται με το προηγούμενο σημείο:

– η προκύπτουσα τιμή «μπήκε επίσης στη σφαίρα των ενδιαφερόντων μας», πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να υπολογίσουμε τι ισούται με τη συνάρτηση στο εμφανιζόμενο σημείο:

Ας εξετάσουμε το δεύτερο τέλος του τμήματος:

Χρησιμοποιώντας τη λειτουργία , ας κάνουμε έναν έλεγχο ελέγχου:

3) Μάλλον όλοι μπορούν να μαντέψουν πώς να εξερευνήσουν την υπόλοιπη πλευρά. Το αντικαθιστούμε στη συνάρτηση και πραγματοποιούμε απλοποιήσεις:

Τα άκρα του τμήματος έχουν ήδη ερευνηθεί, αλλά στο προσχέδιο εξακολουθούμε να ελέγχουμε αν βρήκαμε σωστά τη συνάρτηση :
– συνέπεσε με το αποτέλεσμα του 1ου εδαφίου·
– συνέπεσε με το αποτέλεσμα του 2ου εδαφίου.

Μένει να μάθουμε αν υπάρχει κάτι ενδιαφέρον μέσα στο τμήμα:

- Υπάρχει! Αντικαθιστώντας την ευθεία στην εξίσωση, παίρνουμε την τεταγμένη αυτής της «ενδιαφέροντος»:

Σημειώνουμε ένα σημείο στο σχέδιο και βρίσκουμε την αντίστοιχη τιμή της συνάρτησης:

Ας ελέγξουμε τους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας την έκδοση «προϋπολογισμού». :
, Σειρά.

Και το τελευταίο βήμα: Εξετάζουμε ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ όλους τους «τολμηρούς» αριθμούς, συνιστώ στους αρχάριους να κάνουν ακόμη και μια ενιαία λίστα:

από το οποίο επιλέγουμε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές. ΑπάντησηΑς γράψουμε στο ύφος του προβλήματος της εύρεσης οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα:

Για κάθε ενδεχόμενο, θα σχολιάσω για άλλη μια φορά τη γεωμετρική σημασία του αποτελέσματος:
– εδώ είναι το υψηλότερο σημείο της επιφάνειας στην περιοχή.
– εδώ είναι το χαμηλότερο σημείο της επιφάνειας στην περιοχή.

Στην εργασία που αναλύθηκε, εντοπίσαμε 7 «ύποπτα» σημεία, αλλά ο αριθμός τους διαφέρει από εργασία σε εργασία. Για μια τριγωνική περιοχή, το ελάχιστο «σύνολο έρευνας» αποτελείται από τρία σημεία. Αυτό συμβαίνει όταν η συνάρτηση, για παράδειγμα, καθορίζει επίπεδο– είναι απολύτως σαφές ότι δεν υπάρχουν ακίνητα σημεία και η συνάρτηση μπορεί να φτάσει τις μέγιστες/μικρότερες τιμές της μόνο στις κορυφές του τριγώνου. Αλλά υπάρχουν μόνο ένα ή δύο παρόμοια παραδείγματα - συνήθως πρέπει να αντιμετωπίσετε μερικά επιφάνεια 2ης τάξης.

Εάν λύσετε λίγο τέτοιες εργασίες, τότε τα τρίγωνα μπορούν να κάνουν το κεφάλι σας να γυρίζει και γι' αυτό σας έχω ετοιμάσει ασυνήθιστα παραδείγματα για να το κάνετε τετράγωνο :))

Παράδειγμα 2

Βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε κλειστή περιοχή που οριοθετείται από γραμμές

Παράδειγμα 3

Βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε μια περιορισμένη κλειστή περιοχή.

Ιδιαίτερη προσοχήΔώστε προσοχή στην ορθολογική σειρά και τεχνική μελέτης του ορίου της περιοχής, καθώς και στην αλυσίδα των ενδιάμεσων ελέγχων, που θα αποφύγουν σχεδόν πλήρως τα υπολογιστικά λάθη. Σε γενικές γραμμές, μπορείτε να το λύσετε με όποιον τρόπο θέλετε, αλλά σε ορισμένα προβλήματα, για παράδειγμα, στο Παράδειγμα 2, υπάρχει κάθε πιθανότητα να κάνετε τη ζωή σας πολύ πιο δύσκολη. Ένα κατά προσέγγιση δείγμα των τελικών εργασιών στο τέλος του μαθήματος.

Ας συστηματοποιήσουμε τον αλγόριθμο λύσης, αλλιώς με την επιμέλειά μου ως αράχνη, κάπως χάθηκε στο μακρύ νήμα των σχολίων του 1ου παραδείγματος:

– Στο πρώτο βήμα χτίζουμε μια περιοχή, καλό είναι να την σκιάσουμε και να τονίσουμε το περίγραμμα με έντονη γραμμή. Κατά τη διάρκεια της λύσης θα εμφανιστούν σημεία που πρέπει να σημειωθούν στο σχέδιο.

– Βρείτε σταθερά σημεία και υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης μόνο σε αυτάπου ανήκουν στην περιοχή. Επισημαίνουμε τις τιμές που προκύπτουν στο κείμενο (για παράδειγμα, κυκλώστε τις με ένα μολύβι). Εάν ένα ακίνητο σημείο ΔΕΝ ανήκει στην περιοχή, τότε σημειώνουμε αυτό το γεγονός με εικονίδιο ή προφορικά. Αν δεν υπάρχουν καθόλου ακίνητα σημεία, τότε βγάζουμε γραπτό συμπέρασμα ότι απουσιάζουν. Σε κάθε περίπτωση, αυτό το σημείο δεν μπορεί να παραλειφθεί!

– Εξερευνούμε τα σύνορα της περιοχής. Πρώτον, είναι ωφέλιμο να κατανοήσουμε τις ευθείες γραμμές που είναι παράλληλες με τους άξονες συντεταγμένων (αν υπάρχουν). Επισημαίνουμε επίσης τις τιμές συναρτήσεων που υπολογίζονται σε "ύποπτα" σημεία. Πολλά έχουν ειπωθεί παραπάνω για την τεχνική της λύσης και κάτι άλλο θα ειπωθεί παρακάτω - διαβάστε, ξαναδιαβάστε, εμβαθύνετε σε αυτό!

– Από τους επιλεγμένους αριθμούς, επιλέξτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές και δώστε την απάντηση. Μερικές φορές συμβαίνει ότι μια συνάρτηση φτάνει σε τέτοιες τιμές σε πολλά σημεία ταυτόχρονα - σε αυτήν την περίπτωση, όλα αυτά τα σημεία πρέπει να αντικατοπτρίζονται στην απάντηση. Ας, για παράδειγμα, και αποδείχθηκε ότι αυτή είναι η μικρότερη τιμή. Μετά το γράφουμε

Τα τελευταία παραδείγματα είναι αφιερωμένα σε άλλα χρήσιμες ιδέεςπου θα είναι χρήσιμο στην πράξη:

Παράδειγμα 4

Βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε μια κλειστή περιοχή .

Διατήρησα τη διατύπωση του συγγραφέα, στην οποία το εμβαδόν δίνεται με τη μορφή διπλής ανισότητας. Αυτή η συνθήκη μπορεί να γραφτεί από ένα ισοδύναμο σύστημα ή σε μια πιο παραδοσιακή μορφή για αυτό το πρόβλημα:

Σας θυμίζω ότι με μη γραμμικόσυναντήσαμε ανισότητες και αν δεν καταλαβαίνετε τη γεωμετρική σημασία της σημειογραφίας, τότε μην καθυστερείτε και διευκρινίζετε την κατάσταση αυτή τη στιγμή;-)

Λύση, όπως πάντα, ξεκινά με την κατασκευή μιας περιοχής που αντιπροσωπεύει ένα είδος «σόλας»:

Χμ, μερικές φορές πρέπει να μασήσεις όχι μόνο τον γρανίτη της επιστήμης...

I) Βρείτε ακίνητα σημεία:

Το σύστημα είναι το όνειρο ενός ηλίθιου :)

Ένα ακίνητο σημείο ανήκει στην περιοχή, δηλαδή, βρίσκεται στα όριά της.

Και έτσι, δεν πειράζει... το μάθημα πήγε καλά - αυτό σημαίνει να πίνεις το σωστό τσάι =)

ΙΙ) Εξερευνούμε τα σύνορα της περιοχής. Χωρίς περαιτέρω καθυστέρηση, ας ξεκινήσουμε με τον άξονα x:

1) Αν, τότε

Ας βρούμε πού είναι η κορυφή της παραβολής:
– εκτιμήστε τέτοιες στιγμές – έχετε «χτυπήσει» ακριβώς στο σημείο από το οποίο όλα είναι ήδη ξεκάθαρα. Αλλά εξακολουθούμε να μην ξεχνάμε τον έλεγχο:

Ας υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος:

2) Ας ασχοληθούμε με το κάτω μέρος της "σόλας" "σε μία θέση" - χωρίς κανένα σύμπλεγμα το αντικαθιστούμε στη συνάρτηση και θα μας ενδιαφέρει μόνο το τμήμα:

Ελεγχος:

Αυτό φέρνει ήδη κάποιο ενθουσιασμό στη μονότονη οδήγηση κατά μήκος της στριμωγμένης διαδρομής. Ας βρούμε κρίσιμα σημεία:

Ας αποφασίσουμε τετραγωνική εξίσωση, θυμάσαι κάτι άλλο για αυτό; ...Ωστόσο, να θυμάστε, φυσικά, διαφορετικά δεν θα διαβάζατε αυτές τις γραμμές =) Εάν στα δύο προηγούμενα παραδείγματα οι υπολογισμοί στο δεκαδικά(που, παρεμπιπτόντως, είναι σπάνιο), τότε εδώ μας περιμένουν τα συνηθισμένα κοινά κλάσματα. Βρίσκουμε τις ρίζες «Χ» και χρησιμοποιούμε την εξίσωση για να προσδιορίσουμε τις αντίστοιχες συντεταγμένες «παιχνιδιού» των «υποψήφιων» σημείων:


Ας υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης στα σημεία που βρέθηκαν:

Ελέγξτε τη λειτουργία μόνοι σας.

Τώρα μελετάμε προσεκτικά τα τρόπαια που κατακτήθηκαν και γράφουμε απάντηση:

Αυτοί είναι «υποψήφιοι», αυτοί είναι «υποψήφιοι»!

Για να το λύσετε μόνοι σας:

Παράδειγμα 5

Βρείτε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές μιας συνάρτησης σε κλειστό χώρο

Μια καταχώρηση με σγουρά τιράντες έχει ως εξής: "ένα σύνολο σημείων έτσι ώστε."

Μερικές φορές σε τέτοια παραδείγματα χρησιμοποιούν Μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange, αλλά είναι απίθανο να υπάρχει πραγματική ανάγκη χρήσης του. Έτσι, για παράδειγμα, εάν δοθεί μια συνάρτηση με την ίδια περιοχή "de", τότε μετά από αντικατάσταση σε αυτήν - με την παράγωγο από καμία δυσκολία. Επιπλέον, όλα συντάσσονται σε "μία γραμμή" (με σημάδια) χωρίς να χρειάζεται να ληφθούν υπόψη τα άνω και κάτω ημικύκλια ξεχωριστά. Αλλά, φυσικά, υπάρχουν περισσότερα πολύπλοκες περιπτώσεις, όπου χωρίς τη συνάρτηση Lagrange (όπου, για παράδειγμα, είναι η ίδια εξίσωση ενός κύκλου)Είναι δύσκολο να τα βγάλεις πέρα ​​– όπως είναι δύσκολο να τα βγάλεις πέρα ​​χωρίς καλή ξεκούραση!

Καλά να περάσετε όλοι και τα λέμε σύντομα την επόμενη σεζόν!

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 2: Λύση: Ας απεικονίσουμε την περιοχή στο σχέδιο: